判定平行四边形的五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE, 所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形. 图1图2AB C DEF图3四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别 例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF 是平行四边形.理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，所以AF ∥EC .又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE ∥CF . 所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。

一、 两组对边分别平行如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD =CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF =AE ，连结AF 、BE 和CFAFABC DE F图4132(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。

解：（1）选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EF A=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF是平行四边形。

点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。

二、一组对边平行且相等例2已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。

分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC 为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。

求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。

解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°∴∠DBF=∠ABC又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF∴AC=DF=AE 同理△ABC≌△EFC∴AB=EF=AD∴四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。

四、对角线互相平分例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。

图4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。

证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，∴∠AEO=∠CGO，∵∠AOE=∠COG，OA=OC∴△AOE≌△COG，∴OE=OG同理△BOF≌△DOH∴OF=OH∴四边形EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。

五、两组对角相等例5 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由。

(1)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：。

分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。

解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠ADC1，∠BC1D1=1∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB所以四边形ABC 1D 1是平行四边形 点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置时，始终有AB ∥C 1D 1，故ABC 1D 1是平行四边形。

判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1：证明两组对边分别相等例1 如图1所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，并且AF ＝CE .求证：四边形ACEF 是平行四边形. 证明：∵DE 是BC 的垂直平分线， ∴DF ⊥BC ，DB = DC . ∴∠FDB = ∠ACB = 90°.∴DF ∥AC .∴CE = AE =21AB . ∴∠1 = ∠2 .又∵EF ∥AC ，AF = CE = AE ， ∴∠2 =∠1 =∠3 =∠F . ∴△ACE ≌△EF A . ∴AC = EF .∴四边形ACEF 是平行四边形. 思路2：证明两组对边分别平行==例 2 已知：如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，D 在BC 上，延长ED 到F ，使ED = DF = EB . 连结FC .求证：四边形AEFC 是平行四边形.证明：∵AB ＝AC ，∴∠B =∠ACB . ∵ED = EB ，∴∠B =∠EDB . ∴∠ACB =∠EDB . ∴EF ∥AC .∵E 是AB 的中点，∴BD = CD .∵∠EDB =∠FDC ，ED = DF ，∴△EDB ≌△FDC . ∴∠DEB =∠F .∴AB ∥CF .∴四边形AEFC 是平行四边形. 思路3：证明一组对边平行且相等例3 如图3，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，AE = CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点.求证：四边形ENFM 是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD = BC ，∠A =∠C .又∵AE = CF ，∴△ADE ≌△CBF .∴∠1 =∠2，DE = BF . ∵M 、N 分别是DE 、BF 的中点， ∴EM = FN .∵DC ∥AB ，∴∠3 =∠2. ∴∠1 =∠3. ∴EM ∥FN .∴四边形ENFM 是平行四边形.二、考虑“对角”关系思路：证明两组对角分别相等例4 如图4，在正方形ABCD 中，点E 、 F 分别是AD 、BC 的中点.求证：（1）△ABE ≌△CDF ；（2）四边形BFDE 是平行四边形. 证明：（1）在正方形ABCD 中，AB = CD ，AD = BC ，∠A =∠C =90°，∵AE =21AD ，CF =21BC ， ∴AE = CF . ∴△ABE ≌△CDF .（2）由（1）△ABE ≌△CDF 知，∠1 =∠2，∠3 =∠4. ∴∠BED =∠DFB .∵在正方形ABCD 中，∠ABC =∠ADC ， ∴∠EBF =∠EDF .∴四边形BFDE 是平行四边形. 三、考虑“对角线”的关系思路：证明两条对角线相互平分例5 如图5，在平行四边形ABCD 中， P 1、P 2是对角线BD 的三等分点.求证：四边形AP 1CP 2是平行四边形. 证明：连结AC 交BD 于O .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC ，OB = OD . ∵BP 1 = DP 2 ，∴OP 1 = OP 2 .∴四边形AP 1CP 2是平行四边形.平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。