练习三

第3章 数字特征

1． （1987年、数学一、填空）

设随机变量X 的概率密度函数,1)(1

22

-+-=

x x e

x f π

则

E(X)=( ),)(X D =( ).

[答案 填：1；2

1.]

由X 的概率密度函数可见X ～N(1,

2

1),则E(X)=1，)(X D =

2

1.

2． （1990年、数学一、填空）

设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ).

[答案 填：4]

3． （1990年、数学一、计算）

设二维随机变量(X,Y)在区域D:0

⎧<<<=

0,x |y |1,x 1 ,1),(其他y x f

当0

x

X 21),()(==

=⎰

⎰

-+∞

∞

-，其他情况下

0)(=x f X .

（2）3

22)( )(1

=

⋅=

=

⎰

⎰

∞

+∞

-xdx x dx x f x X E X

2

12)( )(1

2

2

2

=

⋅==

⎰

⎰

∞

+∞-xdx x dx x f x X E X

18

1))

(()(2

2

=

-=X E EX X D

4． （1991年、数学一、填空）

设X ～N(2，2σ）且P{2

[答案 填：0.2]

3

.02

12)0(2220}42{=-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<=<<σσσσX P X P 即8.02=⎪⎭

⎫

⎝⎛Φσ,则2.021222}0{=⎪⎭

⎫

⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎭⎬

⎫⎩⎨⎧-<-=<σσσσX P X P 5． （1992年、数学一、填空）

设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则=+-)(2X e X E （ ）.

[答案 填：

3

4]

6． （1995年、数学一、填空）

设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则2EX =（ ）。

[答案 填：18.4]

X ～B(10,0.4）,则4.18164.2)())((2

2

=+=+=X D X E EX

7． （1996年、数学一、填空）

设两个随机变量X 与Y 相互独立且均服从分布N(0,

2

1),则E|X-Y|=( ).

[答案 填：

π

2

]

令U=X-Y,则U ～N(0,1),从而

E|X-Y|=E|U|=⎰

⎰∞

+-

∞

+∞

--

=

2

2

2

2

2221|

|du ue

du e

u u

u

ππ

=π

π

π

2222)2

(220

2

2

2

=

-

=-

-

⎰

⎰

∞

+∞

+-dt e u

d e

t

u

8． （1996年、数学一、计算）

设两个随机变量ξ与η相互独立且同分布，ξ的分布律为P(ξ=k)=

3

1,k=1,2,3,又X=max(ξ,η),Y=min(ξ,η).

（1）写出(X,Y)的分布律; （2）求E(X). 解： （1）(X,Y)的分布律如下：

9

19

2923

0919220

0911

321X Y

（2）X 的边缘分布为:

9

53

19

1321p

X

则E(X)=9

22.

9． （1997年、数学一、选择）

设随机变量X 与Y 相互独立且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)=( ). A.8 B.16 C.28 D.44

[答案 选：D]

D(3x-2Y)=9D(x)+4D(Y)=44 10． （1997年、数学一、计算）

从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事

件是相互独立的，其概率均为0.4，用X 表示途中遇到红灯的次数，求X 的分布律、分布函数和数学期望。

解：显然X ～B(3,0.4),其分布律为13136.04.0}{-==i C i X P ，i=0,1,2,3,分布函数为：⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤<=x 2 12

x 1 125

81

1x 0 125

270

0)(x x F ， E(X)= 56

11． （1998年、数学一、计算）

设随机变量X 与Y 相互独立，均服从N(0,0.5)分布，求|X-Y|的方差。

解：显然X-Y ～N(0,1),则1)(2=-Y X E ,而E|X-Y|=π

2

(见第102题），

故|X-Y|=1-π

2

12．

（2000年、数学一、计算）

某流水生产线上每个产品不合格的概率为p （0

i X P i 1

}{-==，i=1,2,…

∑∑∑

∞

=∞

=∞

=-='⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-='='==

1

1

1

1

11)()()(i i i i

i

i p q

q p q p q p p iq

X E ∑∑

∑∞=∞

=∞

=--='

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-='='==

1

1

22

11

2

2

2)1()()()(i i i i

i i p p q q p iq p iq p p q

i

X E 则： 2

2

2

1)]([)()(p

p X E X E X D -=-=

13．

（1987年、数学三、计算）