第八章 立体几何

第七章立体几何初步

【知识图解】

【方法点拨】

立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点：1．注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。

2．归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。

3．抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。

4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。

第1课 空间几何体

【考点导读】

1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；

3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式； 4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。 【基础练习】

1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 个面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面。

2. A B C '''∆是正ABC ∆的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若A B C '''∆

那么ABC ∆的面积为 。

3.（1）如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 。

（2）如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是图的 （要求：把可能的图的序号都．

填上）

.

4.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 。

5.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 。 【范例导析】 例1．（1）下列结论中，正确的是 。 （1）各个面都是三角形的几何体是三棱锥

（2）以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 （3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

① ② ③ ④

A

B

C

D

∙

∙∙

E

F G

（2）下列命题中，假命题是 。（选出所有可能的答案） （1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 （2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 （4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体

例2．C B A '''∆是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若C B A '''∆的面积为3，那么△ABC 的面积为_______________。

例3．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：

①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7

以上结论正确的为____________________（写出所有正确结论的编

号）

例4．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球心O ，且与BC ，DC 分别交于E 、F ，如果截

面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则S 1，S 2

的大小关系是 。

备用题：1。如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=

3

π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上；

（2）求这个平行六面体的体积。

图2 A B C D A 1 B 1 C 1

D 1 α

B

图3

变式题1．如图2是一个几何体的三视图（单位：cm ） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．

【反馈演练】

1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 。

2．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则

r

R

= 。

3．在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 。

4．如图所示，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 。

5．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 。

6．正四棱柱的底面边长为a ，高为)(b a b <，一蚂蚁从顶点A 出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点1C ，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为 。

7．空间四边形ABCD 中，8=AC ，12=BD ，H G F E 、、、分别是DA CD BC AB 、、、边上的点，且EFGH 为平行四边形，则四边形EFGH 的周长的取值范围是__________。

8．设棱长为4的平行六面体1111D C B A ABCD -的体积为V ，G F E 、、分别是棱1AA AD AB 、、

上的点，且321===AG AF AE ，，，则三棱锥EFG A -的体积=/V