丰台区2011年高三年级第二学期统一练习(二)1

丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（文科）2011.5 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若2∈{1，a，a2-a}，则a=(A) -1(B) 0(C) 2(D) 2或-12．下列四个命题中，假命题为(A) ，(B) ，(C) ，(D) ，．已知a>0且a≠1，函数，在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．已知数列中，，，则(A)(B)(C)(D)5．如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是ABCO(A)(B)(C)(D)6．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是xyO21-1(A)(B)(C)(D)7．已知x，y的取值如下表：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则(A) 3.25(B) 2.6(C) 2.2(D) 08．用表示a，b两个数中的最大数，设，若函数有2个零点，则k的取值范围是(A)(B)(C)(D)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数对应的点位于第象限．10．圆C：的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是．11．若，则函数的单调递增区间是．12．已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是___元．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．11正视图侧视图20.62.4俯视图0.6ABCADP1P2P3P4P514．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A 为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是___，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为___．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求函数的最小值及取得最小值时的x值．16.（本小题共13分）已知梯形ABCD中，，，，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且，沿CG将△CDG翻折到△．（Ⅰ）求证：EF//平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面．ABCEDFGFGEABC17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．18.（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时函数取得极小值，求a的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．19.（本小题共14分）已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为，，求证：为定值．20.（本小题共13分）已知数列的前项和为，且．数列为等比数列，且，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，数列中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（文科）参考答案2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案A B D C A A B C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．Ⅲ 10．3 11．写成闭区间也给满分12．1513．12 14． 8，注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小值，及取得最小值时的x的值．解：（Ⅰ）∵，………………5分∴．………………7分（Ⅱ）∵∴．∴．………………9分∴，即．………………11分∴此时∴．………………12分∴当时，．………………13分16.（本小题共13分）已知梯形ABCD中，，，，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且，沿直线CG将△CDG翻折成△．（Ⅰ）求证：EF//平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面．ABCEDFGFGEABC证明：（Ⅰ）∵E，F分别是BC，CD的中点，即E，F分别是BC，C的中点，∴EF为△的中位线．∴EF//．………………2分又∵平面，平面，………………4分∴EF // 平面． ………………6分（Ⅱ）∵G是AD的中点，，即，∴．又∵，，∴在中，∴．………………9分∴，．∵∩=，∴平面．………………12分又∵平面，∴平面⊥平面． ………………13分17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．解：（Ⅰ）分数在内的频率为：．………………3分（Ⅱ）平均分为：．………………6分（Ⅲ）由题意，分数段的人数为：人；………………7分分数段的人数为：人；………………8分∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；分数段抽取1人，记为M．………………9分因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的分数一定是在分数段，所以只需在分数段抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件，………………10分则基本事件空间包含的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)共15种．事件包含的基本事件有(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)5种．………………12分∴恰有1人的分数不低于90分的概率为．………………13分18.（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时函数取得极小值，求a的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．解：（Ⅰ）函数的定义域为∪， ………………1分．………………3分∵时函数取得极小值，∴．………………4分∴．………………5分当时，在内，在内， ………………6分∴是函数的极小值点．∴有意义．………………7分（Ⅱ）的定义域为∪，．令，得．………………9分（ⅰ）当时，极小值11分（ⅱ）当时，极小值综上所述： (13)分当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．14分19.（本小题共14分）已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为，，求证：为定值．（实际上，P是不同于A，B的任一点，结论都成立．）解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x轴上，且，， ………………1分∴， ．………………2分∴椭圆C的标准方程为． ………………4分（Ⅱ）（ⅰ） ………………5分∴ 或，………………7分即，，．所以．………………9分（ⅱ）证明：设，．椭圆的右顶点为，消y整理得，不妨设x1>0>x2，∴，；，．……………12分………………13分∴ 为定值． (14)分20.（本小题共13分）已知数列的前项和为，且．数列为等比数列，且首项，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和为；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问数列中是否存在三项，使得这三项成等差数列．若存在，求出此三项，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∵数列的前项和为，且，∴当时，．当时，亦满足上式，故，．………………3分又数列为等比数列，设公比为，∵，，∴．∴ ．………………6分（Ⅱ）．．所以 ．………………9分（Ⅲ）假设数列中存在三项成等差数列，不妨设因为 ，所以，且三者成等差数列．所以 ，即，，即．（方法一）因为 ，所以，．所以 ，，所以与矛盾．所以数列中不存在成等差数列的三项．………………13分（方法二）所以， 即．所以．因为，所以，均为偶数，而1为奇数，所以等式不成立．所以数列中不存在三项，使得这三项成等差数列．………………13分。