15年考研数学19-24(战地黄花)
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C )【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】(A )【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知,212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =⨯=,从而原方程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A )(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛,则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】(B )【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。
战地黄花——线代部分
一.欲说《线代》先方程大自然中最简单的图形是直线。
社会生活中最简单的关系是“成比例”。
据说当年“工 x 队”进驻清华。
有一位队员对“井岗山”群众讲话。
开场白说,我们工人阶级大老粗,不象你们知识分子弯弯多。
我们是“一根肠子通屁眼——直来直去”。
一句话让满场红28团的钢杆粉丝们笑得捧腹弯腰,花枝乱颤。
“直”代表简单,早已融进人们的思维。
初等数学以引入负数为起点,以方程为其重心之一。
最简单的方程是一元一次方程。
最基本的概念是方程的“根”或“解”。
什么东东叫一个方程(组)的根——把东东代入这个方程(组),方程(组)化为恒等式。
这个概念是学习《线性代数》的基本需要。
不少人读到“齐次线性方程组有限个解的线性组合,仍然是该方程组的解”感觉盲然没反应,一是忘了概念,二是不动笔。
应对这些貌似理论的语句,其实方法很简单。
是不是“解”,代入方程(组)算一算。
由一元一次方程出发,关于方程的研究向两个方向发展:(1)一元 n 次方程(2)n 元一次方程组(线性方程组)大学数学《线性代数》教材有两大板块。
第一板块解线性方程组。
基本工具是矩阵,核心概念是矩阵的秩,理论重心是“齐次线性方程组解集的构造”。
第二板块是矩阵特征理论基础知识。
n 阶方阵 A 的特征方程是个一元 n 次方程。
一元 n 次方程的讨论点为:求根公式,根的个数,根与系数的关系。
一元二次方程有求根公式,在复数范围内有两个根。
(二重根算两个根。
)有韦达定理显示根与系数的关系。
人们努力探索了大半个世纪,也没能找到一元五次方程的求根公式。
回头又花了几十年,证明了所期盼的求根公式不存在。
同时也证明了一元 n 次方程在复数范围内有 n 个根。
(k 重根算 k 个根。
)还同样找到了高次方程的“韦达定理”。
对线性方程组的讨论则衍生出若干基本理论。
可以合称为线性理论。
依靠着完美透彻的线性理论,所有的线性问题(线性方程组,线性微分方程组,- - - )都得到了园满解决。
在研究非线性问题时,人们找到了“有限元”,“边界元”等线性化计算方法。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案
y
z
2 sin cos ,
,
从
2
到
2
I ( y z)dx (z 2 x 2 y)dy (x 2 y 2)dz L
2
(
2 sin cos )sin
2 sin
2 cos (cos 2 2sin 2 ) sin d
2
2
2
2
sin 2
1 2
sin
2
sin
sin3
W
W
02
0
4
13、【答案】 2n1 2
【考点】行列式的计算 【难易度】★★★ 【详解】按第一行展开得
2n1 2 14、【答案】 1
2
【考点】 【难易度】★★
【详解】(X ,Y ) ~ N(1, 0,1,1, 0) , X ~ N (1,1),Y ~ N (0,1), 且 X ,Y 独立
X 1 ~ N(0,1) , PXY Y 0 P(X 1)Y 0
1 0
0 1 2k
k
1 k
k
0 ,得 k
0 ,并解得
x
c
0 1
,
c
为任意常数。
从而 c1 c3, c 为任意常数。
21、【考点】相似矩阵,相似对角化
【难易度】★★★
0 2 3
1 2 0
【详解】由
A
1 1
3 2
3 a
相似于
B
0 0
b 3
0 1
0 3 a 1 b 1
0 2 3 1 2
P(AB) P(A) P(B) 故选(C) 2
8、【答案】(D) 【考点】 【难易度】★★★ 【详解】
E X X Y 2 E X 2 XY 2X E X 2 E XY 2E X
2015【考研数一】真题及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C )【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】(A )【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知,212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =⨯=,从而原方程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A )(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛,则 =x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】(B )【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛,即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点,所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1,收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点,发散点.故选(B ).(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =,y =围成的平面区域,函数(),f x y 在D 上连续,则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(B )【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形,所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰,故选(B )(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若集合{}1,2Ω=,则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,由()(,)3r A r A b =<,故1a =或2a =,同时1d =或2d =。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及详解
D1 (r , ) 0 , 0 r 2sin 4 D2 (r , ) , 0 r 2cos 4 2
所以
D
f ( x, y)dxdy 4 d
0
2sin
0
f (r cos , r sin )rdr 2 d
(8) 设总体 X ~ B m, , X1 , X 2 , 值,则 E X i X (A)
, X n 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均
n i 1
2
(
) (B) m n 1 1 (D) mn 1
m 1 n 1
判别法可得
n
n 1
n!
n
收敛;
(1)n 1 (1)n 1 (1) n 对于选项 C, ,根据莱布尼茨判别法知 收敛, ln n n 1 n 1 ln n n 1 ln n n 1 ln n
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d (e x2 y 3 z xyz) e x2 y 3 z d ( x 2 y 3z ) d ( xyz ) e x2 y 3 z (dx 2dy 3dz ) yzdx xzdy xydz 0
把 x 0 , y 0 , z 0 代入上式,得 dx 2dy 3dz 0 所以 dz (0,0) dx
【解析】原极限 lim
x 0
(10)设函数 f ( x) 连续, ( x)
x2
0
xf (t )dt , 若 (1) 1, (1) 5, 则 f (1) ________ .
考研数学15年16题
考研数学15年16题解析这是一道考研数学题,属于15年的真题。
本文将对这道题的解析进行详细介绍,帮助考生更好地理解和掌握这道题型。
题目如下:设A、B、C为数学矩阵,则以下四个结论中正确的是()。
A. (A + B)C = AC + BCB. (A - B)C = AC - BCC. (AB)^T = A TB TD. (AB)^T = BA我们需要判断哪个结论是正确的。
解析如下:A. (A + B)C = AC + BC首先,我们将(A + B)进行展开运算,得到:(A + B)C = AC + BC这个展开运算是正确的,因此结论A是正确的。
B. (A - B)C = AC - BC同样地,我们将(A - B)进行展开运算,得到:(A - B)C = AC - BC这个展开运算也是正确的,因此结论B是正确的。
C. (AB)^T = A TB T我们将(AB)^T进行展开运算,得到:(AB)^T = B TA T因此,结论C是错误的。
D. (AB)^T = BA同样地,我们将(AB)^T进行展开运算,得到:(AB)^T = B TA T因此,结论D是错误的。
综上所述,正确的结论是A和B。
总结:本题考察了关于矩阵的运算和转置的知识点。
我们需要熟悉矩阵的加法、减法、乘法、转置等基本运算法则,以及它们之间的相互关系。
通过这道题的解析,我们可以更好地理解和掌握矩阵的运算规律,为解答类似的矩阵题提供基础。
希望本文对考生能够有所帮助,让大家对这道题的解析有更清晰的认识。
祝愿所有考生都能在考试中取得好成绩!加油!。
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C )【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】(A )【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知,212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =⨯=,从而原方程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A )(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛,则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】(B )【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。
2015年考研数学(二)真题与答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2x.+∞⎰(B) 2ln d xx.x+∞⎰(C) 21d ln x.x x+∞⎰(D) 2d e xx x.+∞⎰【答案】(D) 【解析】()d 1e e xx x x x ,-=-+⎰则()()2222d 1e3e lim 1e 3e e x x x x x x x x .+∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰(2) 函数()20sin lim 1x tt t f x x →⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞内( ) (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】()220sin lim0sin lim 1ee 0t x t x tx x tt t f x ,x ,x →→⎛⎫=+==≠ ⎪⎝⎭故()f x 有可去间断点0x =.(3) 设函数()()1cos 00000x ,x f x ,x,x αβαβ⎧>⎪=>>⎨⎪≤⎩,若()f x '在0x =处连续则 ( ) (A) 0.αβ-> (B) 01.αβ<-≤ (C) 2.αβ-> (D) 02.αβ<-≤ 【答案】(A) 【解析】0x <时,()()()1000001cos10lim lim cos x x f x ,f ,x x f x .x xαβαβ++--+→→'='=-'==0x >时,()()()1111111cos1sin 11cos sin f x x x x x x x x .x xααβββααβββαβαβ-+---'=+--=+()f x '在0x =处连续,则()()1100lim cos 010x f f x .xαβα+--+→''===⇒-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x ,x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭则10αβ-->,答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()f x ''的图形如图所示,则曲线()y f x =的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】观察图像,二阶导数有两次变号,则拐点个数为2个. (5) 设函数(),f u v 满足22y f x y,x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则11u v f u==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,0.2 (B) 10,.2 (C) 1,0.2- (D) 10,.2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=,则,11u uvx y v v==++,从而22y f x y,x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭变为()()2221111u v u uv f u,v v v v -⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 则()()2221211u v f f u ,u v v v -∂∂==-∂+∂+,因而 111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.选(D ).(6) 设D 是第一象限由曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)π13sin 2π142sin 2d (cos ,sin )d .f r r r r θθθθθ⎰⎰(B)π3π4d (cos ,sin )d .f r r r r θθθ⎰(C)π13sin 2π142sin 2d (cos ,sin )d .f r r r θθθθθ⎰⎰(D)π3π4d (cos ,sin )d .f r r r θθθ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得,在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为ππ43D (r,)r θθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩所以π3π4(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r θθθ=⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵22111112,.14a d a d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b =若集合{}12,,Ω=则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) a ,d .∉Ω∉Ω (B) a ,d .∉Ω∈Ω (C) a ,d .∈Ω∉Ω (D) a ,d .∈Ω∈Ω【答案】(D)【解析】()()()()()221111111112011114001212,a d a d ,ad a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A b由()()r r 3,,=<A A b 故1a =或2a =,同时1d =或2d =.故选(D ).(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ,其中()123,,=P e e e ,若()132,,=-Q e e e ,则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232.y y y -+ (B) 2221232.y y y +- (C) 2221232.y y y -- (D) 2221232.y y y ++【答案】(A)【解析】由=x Py ,故()T T T 2221232f y y y .===+-x Ax y P AP y且T 200010001.⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦P AP由已知可得:100001010⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Q P PC,故有()T T T 200010001,⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q AQ C P AP C所以()T T T 2221232f y y y .===-+x Ax y Q AQ y .选(A )二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9) 3arctan 3x t,y t t =⎧⎨=+⎩则 212d d t yx ==【答案】48 【解析】()2222d d 33d 31d 1d d 1yy tt t x xt t +===++()()()()2222222222d 31121d d d 31121d 1d d d 1t t t y t t t t x x x tt ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+⎡⎤=+===+⎢⎥⎣⎦+221d 48d t y .x ==(10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)n f =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得()()()()()(2)2220(1)0222ln 2(1)ln 2.2n n n n x nx n n fCn n ---=-===- (11) 设()f x 连续,()()2d x x x f t t ϕ=⎰,若()()11,15ϕϕ'==,则()1f =【答案】2【解析】 已知()()2d x x x f t t ϕ=⎰,求导得2220()()d 2()x x f t t x f x ϕ'=+⎰,故有1(1)()d 1,(1)12(1)5,f t t f ϕϕ=='=+=⎰则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解,且在0x =处()y x 取得极值3,则()y x = .【答案】2e2e xx -+【解析】由题意知:()03y =,()00y '=,由特征方程:220λλ+-=解得121,2λλ==-所以微分方程的通解为:212e e x x y C C -=+代入()03y =,()00y '=解得:12C =21C = 解得:22e e.xxy -=+(13)若函数(),Z z x y =由方程23e 1x y zxyz +++=确定,则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+【解析】当0,0x y ==时0z =,则对该式两边求偏导可得2323(3e )e ,x y z x y z zxy yz x++++∂+=--∂ 2323(3e )2e .x y z x y z zxy xz y++++∂+=--∂ 将(0,0,0)点值代入即有(0,0)(0,0)12,.33z z xy∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121d |d d d 2d .333z x y x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-,2=-+B A A E ,其中E 为3阶单位阵,则行列式=B . 【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1,-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121.=⨯⨯=B .三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++,3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小,求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】方法一:因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++,33sin ()3!x x x o x =-+,由等价无穷小的定义得()()()()()302333330234330ln 1sin 1lim236lim 1236lim x x x x a x bx xkx x x x x a x o x bx x o x kx a a b a x b x x x o x .kx→→→+++=⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭=可得10,1,10,,2211,.33a a a b b a k k ⎧⎧⎪⎪+==-⎪⎪⎪⎪-=⇒=-⎨⎨⎪⎪⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩方法二:由等价无穷小的定义得()()320ln 1sin 1lim1sin cos 1lim 3x x x a x bx xkx ab x bx x x kx →→+++=++++=洛必法达则 因为分子的极限为0,则1a =-,继续使用洛必达法则得()212cos sin 1lim16x b x bx x x ,kx→--+-+=分子的极限为0,12b =-,再次使用洛必达法则得 ()22sin sin cos 111lim1633x b x b x bx xx k .kk →----+=-=⇒=- 故111,,.23a b k =-=-=- (16) (本题满分10分)设A>0,D 是由曲线段πsin (0)2y A x x =≤≤及直线0y =,π2x =所围成的平面区域,1V ,2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积,若12V V =,求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式,得πππ22222222101cos 2ππ()d π(sin )d πd ,24x A V f x x A x x Ax -====⎰⎰⎰ππ22202π()d 2πd cos 2π.V xf x x A x x A ==-=⎰⎰由题,V V 21=求得8A .π= (17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足2(,)2(1)e ,(,0)(1)e ,(0,)2,x x xyx f x y y f x x f y y y '''=+=+=+求 (,)f x y 的极值.【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】(,)2(1)e xxyf x y y ''=+两边对y 积分,得 221(,)2()e ()(2)e (),2x x x f x y y y x y y x φφ'=++=++故(,0)()(1)e x x f x x x φ'==+, 求得()e (1)x x x φ=+,故2(,)(2)e e (1)x x x f x y y y x '=+++,两边关于x 积分,得22222(,)(2)e e (1)d (2)e (1)de (2)e (1)e e d (2)e (1)e e C (2)e e C,x x x xx x x x x x x x f x y y y x xy y x y y x x y y x y y x =+++=+++=+++-=+++-+=+++⎰⎰⎰ 由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=,求得.0=C所以2(,)(2)e e .xxf x y y y x =++令2(2)e e e 0,(22)e 0,x x xx xy f y y x f y '⎧=+++=⎪⎨'=+=⎪⎩求得⎩⎨⎧-==10y x . 又2(2)e 2e e ,2(1)e ,2e ,x x x xxx xyx yyf y y x f y f ''=+++''=+''=当1,0-==y x 时,(0,1)1,B (0,1)0,(0,1)2,xxxy yy A f f C f ''''''=-==-==-= 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰,其中{}222(,)2,D x y xy y x =+≤≥【答案】π245- 【解析】221201220π122400ππ2224200()d d d d 2d d 2)d 22222sin 2cos d 5522π22sin 2d sin d .5545DDxx t u t x x y x y x x y x yx x xx x t t t t t u u =+====--=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21x f x t t =+⎰⎰,求()f x 零点的个数?【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值. 而11224112241()2,f t t t tt t t =+=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰在1(,1)2故11220,t t -<⎰⎰从而有1()0.2f <2221111lim()lim[],lim()lim[]lim[],xxx xx x xxx x xf x t tf x t t t t→-∞→-∞→+∞→+∞→+∞=+=+∞=+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim,xx xt==+∞所以lim()xf x→+∞=+∞.所以函数()f x在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点,所以零点个数为2.(20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为120C︒的物体在20C︒的恒温介质中冷却,30min 后该物体降至30C︒,若要将该物体的温度继续降至21C︒,还需冷却多长时间?【答案】30min【解析】设t时刻物体温度为()x t,比例常数为(0)k>,介质温度为m,则d()dxk x mt=--,从而()e.ktx t C m-=+(0)120,20x m==,所以100C=,即()100e20.ktx t-=+又1()30,2x=所以2ln10k=,所以11()20.100tx t-=+当21x=时,t=1,所以还需要冷却30min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x在区间[]+a∞,上具有2阶导数,()0f a=,()0f x'>,()0f x''>,设b a>,曲线()y f x=在点()(),b f b处的切线与x轴的交点是()x,,证明0a x b<<.【证明】根据题意得点(,())b f b处的切线方程为()()()y f b f b x b'-=-令0y=,得()()f bx bf b=-'因为(x)0f'>所以(x)f单调递增,又因为(a)0f=,所以(b)0f>.又因为()0f b'>,所以(),()f bx b bf b=-<'又因为0()()f b x a b a f b -=--',而在区间(),a b 上应用拉格朗日中值定理有 ()()()(),,f b f a f a b b aξξ-'=∈- 所以0()()()()()().()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为()0f x ''>所以(x)f '单调递增,所以()()f b f ξ''>.所以00x a ->,即0x a >,所以0a x b <<,结论得证.(22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a a a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 且3=A O . ()I 求a 的值;()II 若矩阵X 满足22--+=X XA AX AXA E ,E 为3阶单位阵,求X .【解析】()I323100100111100.011a a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=-A O A()II 由题意知()()()()()()()()()222211122212,A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=--X XA AX AXA E X E A X E A EE A X E A E X E A E A E A E A X E A A 2011111,112-⎡⎤⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦E A A011100111010111010011100112001112001111010111010011100011100021011001211110201100010111010001211001----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥→-→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦312111.211-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故312111.211-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦X(23) (本题满分11分)设矩阵02313312a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 相似于矩阵12000031b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B =.()I 求,a b 的值;()II 求可逆矩阵P ,使1-P AP 为对角矩阵..【解析】()I ()()tr tr 311~a b ,⇒=⇒+=++A B A B0231201330012031b ,a --=⇒--=-A B则有14235a b ,a ,a b ,b .-=-=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩()II 思路一:由()I 知023133.124-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A由于矩阵A 相似于矩阵B ,所以()()215,λλλλ-=-=--E A E B故A 的特征值为1231, 5.λλλ===当121λλ==时,由方程组()-=0E A x ,得线性无关的特征向量T T 12(2,1,0);(3,0,1),==-ξξ当35λ=时,由方程组(5)-=0E A x ,得线性无关的特征向量T 3(1,1,1).=--ξ令123231(,,)101,011--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ξξξ则 111.5-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP P 为所求可逆矩阵.思路二:023100123133010123124001123---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=+--=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E C, []12311231123.1231---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦C C 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)-=0E C x 的基础解系为T T 12(2,1,0);(3,0,1),==-ξξ 5λ=时(4)-=0E C x 的基础解系为T 3(1,1,1).=--ξ A 的特征值1:1,1,5.A C λλ=+令123231(,,)101,011--⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ξξξ则 111.5-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P APP 为所求可逆矩阵.。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
)(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。
;;;,因此(D)是收敛的。
综上所述,本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限,直接有,在处无定义,且所以是的可去间断点,选B。
综上所述,本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数().若(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出再有于是,存在此时.当,,=因此,在连续。
选A综上所述,本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续,其二阶导函数的图形如右图所示,则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-∞,+∞)内连续,除点外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个,如上图所示,A点两侧恒正,对应的点不是拐点,B点两侧,对应的点就是的拐点。
虽然不存在,但点两侧异号,因而() 是的拐点。
综上所述,本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述,本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域,函数在D上连续,则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域,作极坐标变换,将化为累次积分。
2015年考研数学一真题及答案详细解析-2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案
(17)(本题满分 10 分) 已知函数 f
( x, y ) = x + y + xy ,曲线 C: x 2 + y 2 + xy = 3 ,求 f ( x, y )
在曲线 C 上的最大方向导数.
(18)(本题满分 10 分) (I)设函数 u ( x) , v( x) 可导,利用导数定义证明[u(= x)v( x)]′
∫∫ f ( x, y ) dxdy =
D
1
(A)
π
∫π
3 4
π
3
4
dθ ∫ sin12θ f ( r cos θ , r sin θ )rdr
2sin 2θ
1
(B)
∫π dθ ∫
π
3 4
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f ( r cos θ , r sin θ )rdr
3
( x) 与
g ( x ) 在 x → 0 是等价无穷小,求 a, b, k 的值.
3
(16)(本题满分 10 分) 设函数 f ( x ) 在定义域 I 上的导数大于零,若对任意的 x0 ∈ I ,由线
y =f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处的切线与直线 x = x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4,且 f ( 0 ) = 2 ,求 f ( x ) 的表达式.
∑a
n =1
∞
n
条件收敛,则 x =
3 与 x = 3 依次为幂级数 ∑ nan ( x − 1) n 的
n =1
∞
收敛点,收敛点 收敛点,发散点 发散点,收敛点 发散点,发散点
(4)
【考研故事分享】我的东南考研之路
凯程考研历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!【考研故事分享】我的东南考研之路一直想着有一天等我考上了研究生一定要把自己的经验记录下来,可真到考上的时候又觉得实在是没什么可写的。
与其说是经验不如说是运气更多一些。
不想把文章写的太矫情,所以呢下面我就记录下我的考研流水账,主要是想让自己今后回忆起来有个念想,如果对后来的学弟学妹还能有些帮助的话,也算是意外收获吧。
先报个到,本人lychee(真名?不用了吧),今年有幸考上了东南大学研究生,集成电路设计专业。
初始成绩擦线,复试的超常发挥以及运气因素有幸成为时龙兴教授的门生。
在这里要感谢牛导给自己这么好的机会。
自己现在也是抓紧一分一秒的时间学习,不枉导师对自己的期望。
要说考研计划,应该从大二刚定下专业开始的。
(ps:本人是普通二本学校的学生,本科阶段实行大文大理的制度,大二下半学期才选定了专业——电子信息工程)大二的那个暑假开始规划自己的未来。
当时真的这么想的,因为电子行业——基本上都是凭能力吃饭的。
从百度那里了解了些情况后就开始学习51单片机了(学电子的同学都知道,不解释),当时特别崇拜一个人——哈工程的郭天祥。
所以从那时起就打消了进学生会的想法,也没有进社团活动而是走进了实验室,现在想想当时的决定太对了。
考研的念头基本上从那时就开始有了,开始主要是想给自己镀镀金,想有个更好的学历背景,(ps:绝对没有贬低母校的意思,我周围好多没有考研的同学都找到了很好地工作,所以那些成天抱怨母校不好的同学,先审视下自己这四年是怎么过来的)。
随着进一步的学习,逐渐改变了最初的看法。
这个行业就像一张大网,横向纵向都需要延伸,而核心的东西更是需要足够的功力才能深入进去的。
引用XX的话,复杂的问题需要复杂的工具来解决,而复杂的工具需要一段时间来学习(当然有些人说两年的工作经验抵得上十年的在校学习,这里我还是保留自己的看法——工作之后?让你分心的事情太多了……)。
15年考研数学59-62(战地黄花)
x1 x2 2 x3 0, 例 7 1 把齐次线性方程组 x1 x2 x3 0, 的系数矩阵记为 A ,若有三阶非零 x x x 0 1 2 3
阵 B ,使得 AB 0 ,则 (A) 2 且 B 0 ; (B) 2 且 B 0 ; (C) 1 且 B 0 ; (D) 1 且 B 0 . 分 析 已知得 AB 0 ,B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax = 0 的解. 但 A 与 B 都是非 0 阵,故 |A| = 0,|B| = 0,如果 2 ,算得 A 0 , 应选答案(C)。 (潜台词:AB = 0 的推理熟,才会下意识地验算系数行列式。这是高级思维。)
1 2 3 Q 已知 2 4 t , P 为三阶非零阵,且满足 PQ 0 ,则 3 6 9
例 72
(A) t 6 时, P 的秩必为 1 (B) t 6 时, P 的秩必为 2 (C) t 6 时, P 的秩必为 1 (D) t 6 时, P 的秩必为 2 分 析 已知 PQ 0 , Q 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Px 0 的解 t 6 时 Q 的秩为 1 ,P x = 0 解集的秩 = 3-R(P)≥ R( Q )=1 , R(P)≤2 又已知矩阵 P 非零,即 R(P)≥1 ,无法再进一步夹逼。 故(A)、 (B)皆可能而非必然。 不是答案。 t 6 时 , Q 的秩为 2 , Px 0 的解集秩 = 3 R ( P) 2 , R ( P ) 1 已知 R ( P ) 1 ,因而只有 R ( P ) 1 ,应选答案(C)。
2015 年考研数学讲座第 59—62 讲(线性方程组四讲)
第 59 讲。解集理论 “滚瓜熟 ”
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(农)试题解析
x f dx 31 f 3 y dy 2 3
1
令 3 y t 得:
f 3 y dy
1 1 1 f t dt I 3 1 3
令
2 x u 得: 2 2
1 x f dx 2 f t du 2 I 1 2
三、解答题:15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明 ... 过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)
x xe , x 0, 设函数 f x 求 f ( x) . 2 sin sin x , x 0,
] 上单调递增; 0 x 当 x 时,f ( x) 0 故函数在 [ , ] 2 时,f ( x) 0 故函数在 [0, 2 2 2
上单调递减,则可知函数在 x
u
2
处取得最大值。最小值为 min{ f (0), f ( )} ,由于
u
f (0) 0, f ( ) e cos udu e cos udu e
(12)设 f x, y 为连续函数,交换积分次序,
2 1
2 x x dx 2 f x, ( x, y ) |1 x 2, 2 x y 得
2 x x 2 ,交换积分次序,
2
1
dx
【解析】 x 0 时 f ( x) e (1 x) ; x 0 时 f ( x) cos(sin x)sin 2 x ;
x
2
f (0) lim
x 0
f ( x) f (0) xe x lim 1; x 0 x x f ( x) f (0) sin(sin 2 x) lim 0; f (0) 不存在. x 0 x x
2015年考研数学(二)真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)下列反常积分收敛的是( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰ (C)21ln dx x x +∞⎰(D) 2x x dx e +∞⎰ 【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰,则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==,0x ≠,故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ->(D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时,()0f x '=()00f -'=()1001cos010lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时,()()()11111cos 1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则:()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得:10αβ-->,答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点,二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C)1,02- (D) 10,2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=,则,11u uv x y v v ==++,从而22(,)y f x y x y x+=-变为 222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+, 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选(D ). (6)设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =,3y x =围成的平面区域,函数(),f x y 在D 上连续,则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】(B)【解析】根据图可得,在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为(,),432sin 2sin 2D r r ππθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭所以n 23142sin 2(,)(cos ,sin )si Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθθ=⎰⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=,则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,由()(,)3r A r A b =<,故1a =或2a =,同时1d =或2d =.故选(D )(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-,其中123(,,)=P e e e ,若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =,故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选(A ) 二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩则212t d y dx ==【答案】48【解析】2222333(1)11dydy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==.(10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得:()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续,()()2x x x f t dt ϕ=⎰,若()()11,15ϕϕ'==,则()1f =【答案】2【解析】已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰,求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰,故有10(1)()1,f t dt ϕ==⎰ (1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解,且在0x =处()y x 取得极值3,则()y x =. 【答案】22x x e e -+【解析】由题意知:()03y =,()00y '=,由特征方程:220λλ+-=解得121,2λλ==-所以微分方程的通解为:212x xy C e C e -=+代入()03y =,()00y '=解得:12C =21C =解得:22x xy e e -=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定,则()0,0dz =.【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =,则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将(0,0,0)点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-,2B A A E =-+,其中E 为3阶单位阵,则行列式B =.【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1.所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++,3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小,求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一:因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++,33sin ()3!x x x o x =-+, 那么,23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===, 可得:100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩,所以,11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩.方法二: 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ,得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ,求得c ;于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→)(x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim2203cos )1(sin )1(limkxxx bx x x b x x ++++=→ kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→ 由分母06lim 0=→kx x ,得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ,求得21-=b ; 进一步,b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxxx x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim 0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=,求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0,D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =,2x π=所围成的平面区域,1V ,2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积,若12V V =,求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式,得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π= dx x xf ⎰=202)(2V ππA x d x A -πππ2cos 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+,'(,0)(1)xx f x x e =+,2(0,)2f y y y =+,求(,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分,得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=,故xx e x x x f )1()()0,(+=='ϕ, 求得)1()(+=x e x xϕ,故)1()2(),(2x e e y y y x f xx x +++=',两边关于x 积分,得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2⎰+++=x x de x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y x x x )1()2(2C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=,求得.0=C所以xx xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ,求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2, x xye yf )1(2+='',x yy e f 2='', 当1,0-==y x 时,(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC , 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰,其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π- 【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()1Xf x =+⎰⎰,求()f x 零点的个数?【答案】2个【解析】()21)f x x '==- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而1112241()2f =+=-⎰⎰⎰11224=--⎰⎰⎰在1(,1)2<故11220-<⎰⎰从而有1()02f <21lim ()lim[]x x x x f x →-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim ()lim[]lim[]x x xx x x f x →+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim limx x x ==+∞,所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点,所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却,30min后该物体降至30C ︒,若要将该物体的温度继续降至21C ︒,还需冷却多长时间? 【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ,比例常数为(0)k >,介质温度为m ,则()dxk x m dt=--,从而()kt x t Ce m -=+, (0)120,20x m ==,所以100C =,即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =,所以11()20100t x t -=+ 当21x =时,t =1,所以还需要冷却30min. (21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞,上具有2阶导数,()0f a =,()0f x '>,()''0f x >,设b a >,曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ,,证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=- 令0y =,得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增,又因为(a)0f = 所以(b)0f >,又因为()0f b '> 所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--',而在区间(a,b )上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->,即0x a >,所以0a x b <<,结论得证. (22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值;(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=,E 为3阶单位阵,求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)3231010*********1a A O A a a a a a a a a =⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A EE A X E A E X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭,011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求,a b 的值;(2)求可逆矩阵P ,使1P AP -为对角阵.【答案】(1)4,5a b ==;(2)231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++231201330012031--=⇒--=-A B b a 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ,1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪⎪⎝⎭P AP。
2015年全国考研数学一真题
1
)
2 3
(A) 2 y2 y2 y2
(C) 2 y2 y2 y2
1 2 3
(B) 2 y2 y2 y2
1 2
3
(D) 2 y2 y2 y2
1 2
3
7、若 A, B 为任意两个随机事件,则(
(A) P( AB) P( A ) P ( B )
)
(B) P( AB) P( A ) P ( B )
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4、 设 D 是第一象限中曲线2xy 1, 4xy 1 与直线 y x, y 函数 f ( x, y) 在 D 上连续,则
1
3x 围成的平面区域,
f (x, y)dxdy (
D
)
sin 2 f (r cos,r sin)rdr (A) 2 d 1 4 2sin 2 1
1 1 1 d 0 1 0 0 d2
1 a 1 a 1a 2
d 1 d 1d 2 1
Ax b 有无穷多解 R( A) R( A, b) 3 a 1或 a 2 且 d 1 或 d 2
23、 (本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为 1 f ( x;)= 1 0
x1
其他
其中为未知参数, X1,X 2 ..... Xn 为来自该总体的简单随机样本. (Ⅰ)求的矩估计. (Ⅱ)求的最大似然估计.
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2015 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷
由 4xy 1 得, 4r 2 cossin1, r
1
所以
D
f (x, y)dxdy 3 d sin 2 1f (r cos, r sin)rdr
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C )【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】(A )【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知,212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =⨯=,从而原方程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A )(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛,则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】(B )【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题:1〜8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上•1、 设函数f(X )在(-::,+ ::)连续,其2阶导函数f (x)的图形如下图所示,则曲线 y =f(x)的 拐点个数为() (A ) 0 ( B ) 1 (C ) 2 ( D ) 3【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上,并且在这点的左右两侧二阶导数异号,因此,由 「(X )的图形可知,曲线 y 二f (x)存在两个拐点,故选(C).1 f 1、”2、 设y = —e 2x 十I x -一 ©x 是二阶常系数非齐次线性微分方程y +ay" + by = ce x 的一个特解,2 I 3丿则()【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★—2 x — x ..2 【详解】 e , e 为齐次方程的解,所以 2、1为特征方程 '+^ b = 0的根,从而a - - 1 • 2 - -3,b =1 2=2,再将特解 y =xe x 代入方程 y :3y ,2y =ce x 得:c = -1.3、若级数送a n 条件收敛,则x = J 3与x = 3依次为幕级数送na n (x T 『的:n :—(A )收敛点,收敛点 (B )收敛点,发散点 (C )发散点,收敛点 (D )发散点,发散点【答案】(B)【考点】级数的敛散性a — -3,b = ——,c =-—(B ) a=3,b=2,c--1. (C ) a --3,b = 2, c = 1.(D ) a=3,b=2,c=1.n :—【难易度】★★★【详解】因为瓦a n 条件收敛,故x = 2为幕级数送a n (x -1 $的条件收敛点,进而得 n 4n 卫Q Q\」a n x -1 n 的收敛半径为1,收敛区间为 0,2,又由于幕级数逐项求导不改变收敛区间,故n 40C1、na nx -1 n的收敛区间仍为n a_ °°0,2,因而x = -、3与x=3依次为幕级数7 na nx_1的收敛n 4点、发散点4、设D 是第一象限中曲线 2xy =1,4xy =1与直线y 二x, y —、.3x 围成的平面区域,函数f (x, y) 在D 上连续,则11 f (x, y)dxdy 二D【难易度】★★★JI/【详解】由"X 得,"4 ; 由 y 「3x 得,"3 由 2xy =1 得,2r 2cos = sin ^-1,r2由 4xy =1 得,4r cos^sin )-1,r二 ?.所以 JJ f (x,y)dxdy = J ;d 日广晋日 f (rcos8,rsin 日)rdrq 1 1、「1 )5、设矩阵A=1 2 a ,b = d,若集合0 ={1,2},则线性方程组<14 2a丿<d2>Ax = b 有无穷多个解的充分必要条件为H1(A )2.dv sin i 2r f (r COST , rsin "rdr4 2sin2 71 H1(C )3出「in 严 f (rcosv,rsinRdr42sin 2 -71【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换(B ) (D)_1 .即利祠严 f (r cos8,rsin8)rdr4:2si n2.^TL[第d&f (rcos^,r sin&)dr42sin2 =1 2sin 2^(A )1 1, d 1 1(B )1 1, d 1 1(C ) a",d(D , d -1【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★1 1 1【详解】lA,b 】=12 a 1 4 a 2Ax =b 有无穷多解二R(A)二R (代b) ::3 =a =1 或 a = 2 且 d = 1 或 d = 22 2 26、设二次型 仁为必压)在正交变换x =Py 下的标准形为2力• y 2 -y 3,其中PNet ,包),若Q=(e,-QG),则f(x 1,X 2,X 3)在正交变换x=Qy 下的标准形为222222(A )2y 1 - y 2 y 3( B ) 2% y ? -y ?222222(C )2y 1 -y 2 -y 3 ( D ) 2^ y ? y 3【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★2 0 0【详解】由 x = Py ,故 f =x T Ax = y T (P T AP)y =2y :+y ;-y :且:P T AP= 0 1■0 0 -1 _jT T T 2 2 2所以 f =x Ax =y (Q AA)y = 2y 1 f g ,故选(A)7、若A, B 为任意两个随机事件,则1 1 1 1 1a -1d —1 0 (a -1 丫 a -2 )(d -1 X d -2(A )P(AB)岂 P(A)P(B)(C )P(AB) ’恥貝2【答案】(C) 【考点】 【难易度】★★(B )P(AB) - P(A)P(B)(D )P(AB)-P(A) P(B)21 1d ——;0.2I丄d」V(C) a",d (D , d -1【详解】P(A) - P(AB), P(B) - P(AB)P(AB)乞 P (A )2P(B )故选(C )8、设随机变量 X, Y 不相关,且EX =2,EY=1,DX =3,则E X X ・丫一2二 (A ) -3 ( B ) 3(C ) -5( D ) 5【答案】(D) 【考点】 【难易度】★★★ 【详解】二、填空题:9〜14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上•In cosx9、 lim2—二XX 2 1 【答案】-丄 2【考点】极限的计算【难易度】★★H 2【答案】 一4【考点】积分的计算【难易度】★★11、若函数 z=z(x,y)由方程 e z + xyz+x + cosx = 2 确定,则 dz (叩)= _______________【答案】【考点】隐函数求导 【难易度】★★【详解】lim^^T x 2=lim x —.0 ln(1 cosx -1)x 2cosx -12 x1 2-x =lim 22 x 10 x 210、和严-+ 1 cosx x )dx 二sin x 1 cosx Tt+|x)dx = 2『xdx = IT【详兀2【详解】令 F (x, y, z) = e z xyz x cosx -2,贝y F x = yz 1 -sin x , F y = xz , F z二 xy ,又当 x=0,y=1 时,z=0,所以—=_E =_1,竺C F/-h,"(0,1)F zCyy (0,1)12、设i ]是由平面x 亠y 亠z =1与二个坐标平面所围成的空间区域,贝U1【答案】-4【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★【详解】由轮换对称性,得其中D z 为平面z = z 截空间区域 W 所得的截面,其面积为 -(1- z )2.所以2 -10 2 ■I ■1 III III Fi0 0 1i22rHI0 ■10 AIII q2 r2 13、n 阶行列式0 0 III -1 2【答案】2n1-2 【考点】行列式的计算 【难易度】★★★【详解】按第一行展开得14、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N (1,0,1,1,0),贝U P(XY -Y ::: 0)=1【答案】12【考点】 【难易度】★★【详解】;(X,Y)~N(1,0,1,1,0), • X~N(1,1)Y~ N(0,1),且 X,Y 独立:、X -1~ N(0,1),卩仪丫-Y "} = p{(X -1)Y <01三、解答题:15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15、(本题满分10分)设函数 f(x)=x al n(1 x) bx si nx , g(x) = kx 3,若 f (x)与 g(x)在 x —; 0 是等价无穷小, 求a , b , k 值。
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对比思考 —— 若取 α = 1 ,则仅有 |
∆ y | ≤ c ,无法判定导数是否存在。但原条 ∆ x
件能说明函数一定连续。 显然,若取 α < 1 ,则是函数连续的一个充分条件。即“里普希兹条件”。 例 186 已知函数 f (x) 在区间(a,b)内单增,则 (A) f (x) 是连续函数。 (B) 若 f (x) 连续,它必有最小值和最大值。 (C) 若 f (x) 可导,必有 f ′( x ) > 0 (D) 若 f (x) 可导,必有 f ′( x ) ≥ 0 分 析 单增函数不一定连续;连续函数在开区间(a,b)上不一定有最值;单增又可 导的函数,其导函数也可能有零点。例如,函数 y = x 3 就是这样。应选(D)。 (潜台词:函数单增的定义是,自变量变大,相应的函数值一定也变大。) 例 187 设函数 f ( x) 连续,且 f ′(0) > 0 ,则存在 δ > 0 ,使 (A) f ( x) 在 ( 0, δ ) 单增 (B) f ( x) 在 ( −δ, 0 ) 单减 (C) 在 ( 0, δ ) 内 f ( x) > f (0) (D) 在 ( −δ, 0 ) 内 f ( x ) > f (0) 分 析 用导数定义式表示 f ′(0) ,分别在 0 点左右側“体念符号”。 (参看第 11 讲, 基本推理 1)。 就知应选(C)。 (画外音:本例对比了“导数大于 0”与“一点导数大于 0”的差异。有含金量哦。) “逐阶说单调”—— 一个很好玩的游戏
则必有 (A) f (x)g (b) > f (b)g (x) (C) f (x)g (x) > f (b)g (b) (B) f (x)g (a) > f (a)g (x) (D) f (x)g (x) > f (a)g (a)
分 析 只要熟悉求导法则,就能联想到,已知不等式条件的左端象是 “商函数求导公 式”的分子。可以试配分母 g 2(x)再观察,即知
ln(1 +
从而 当 0 < x < +∞时
f ′( x) > 0, f ( x ) 单增。
1 1 )− x x +1
⇒ 在 x 0 点左側,一阶导数单减,且由正单减到 0;在 x 0 点右側,一阶导数单增,且
由 0 单增为正。f ′( x 0) = 0 是一阶导数的极小值。导数的一个孤立零点。 ⇒ 在函数 f 在点 x0 邻近单增 *在例 207 中,我将用泰勒公式论述更一般情形下的判断法。
2
′( x) > 0 ,则在点 x0 右侧,有 例 189 设 y = f ( x ) 有二阶导数,且 f ′( x ) > 0 , f ′
而 0 < dy = f ′( x 0 ) ∆x = f ′( x 0 )( x − x 0 ) ,由 f ′(ξ ) > f ′( x0 ) 知应选(A)。 例 190 已知 f (x) 和 g (x )都是非负可导函数,且满足条件
f ′( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′( x) < 0 ,则若 a < x < b,
f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≤ c | x1 − x 2 |α −1 即 x1 − x 2 f ( x) − f ( x 0 ) ≤ c | x − x 0 |α −1 x − x0
用夹逼法求极限,可以证得 f ′( x ) 在区间 X 上恒为零。f (x)是常函数。 (潜台词:这个条件太苛刻了,没有实际意义。)
15 年第 19—24 讲
第 19 讲 . 图形特征先单调
单调性是函数最重要的图形特征。 在每一个单调区间上,连续函数至多只有一个零点。 如果一个连续函数分段单调,那么,单调性改变的分界点,就是函数的极值点。这就 自然而然地产生了极值点的“第一判别法”。 讨论单调性,依靠拉格郎日公式的推论。 推论( 1) 可导函数恒为常数的充分必要条件是其导函数恒为零。 推论( 2)设函数 f ( x)在区间( a , b)内可导,且导函数 f ′( x)> 0 ,则 f ( x)在此区间上单增。 推论(1)是一个很好的“相对讨论”练习题。即任选一点 x 0 固定,再任给一点 x ,比较 两个函数值的差。我们就可以应用拉格郎日公式,并联系已知条件得到结论。 “导函数 f ′(x)> 0 ”不是函数单增的充分必要条件 —— 为什么呢?这是因为单增的可导函数也可能在若干个孤立点上导数为 0 。 比如,立 方函数单增,而它的导数在原点为 0 。 1 2x π = 例 184 试证当 x ≥ 1 时,恒有 arctgx − arccos 2 2 4 1+ x 分 析 证明可导函数 F(x) 在区间 X 上恒为常数的步骤为: (1) 验证 F ′( x ) = 0 (2) 在区间 X 上选定函数 f (x) 取值易算的特殊点 x0 ,则有 F (x) ≡ F (x0) 解 令 F(x) = 等式左端的表达式,
F ′( x) = 1 1+ x2 − 2(1 + x 2 ) − 2 x ⋅ 2 x 1 −1 ⋅ ⋅ 2 (1 + x 2 ) 2 1 − ( 2 x /(1 + x 2 )) 2
=
1 1+ x2
−
1
x2 −1 1 + x2
⋅
x2 −1
=0
(其中, | 1 − x 2 |= x 2 −1 )
F (x) 是常数。又,显然有 F (1) =
′ ′( x ) 在点 x0 连续。又已知其一,二阶导数在点 x0 例 188 设函数 f ( x) 三阶可导, f ′
都为 0,而三阶导数不为 0,你能由此得到什么样的信息?
′ ′( x 0 ) >0 ,则有 分 析 不仿设 f ′
⇒ 在点 x0 邻近三阶导数 f ′ ′ ′( x ) 恒大于零。
,问题得证。 4 例 185 若函数 f (x)在区间 X 上有定义,且对区间 X 上任意两点 x1、x2 总有
π
| f ( x1 ) − f ( x2 ) | ≤ C | x1 − x2 |α , α > 1, 常数 C > 0
则 f (x) 必在区间 X 上恒为常量。 分 析 由已知关系式中 α > 1, α − 1 > 0 ,可以想到构造增量商 Δy / Δx
f ′( x) > 0, lim+ f ( x) ≥ 0 ,则 x > x 0 时时恒有 f ( x) > 0 ” x→ x
0
(潜台词:如果 f (x) 在点 x0 连续, 初始条件自然是 f (x0) ≥ 0 ) 其实在例 188 中“逐阶说单调”,已经说了好多花样。这里还可以拓展的是: “若函数 f ( x) 单减,且当 x 趋于 +∞ 时为无 穷 小,则 f ( x)> 0” “单调法”证明函数不等式 逻辑程序 —— “证明 x >x0 时 ,f (x) >g (x)” 即,“证明 x >x0 时 , F(x)= f (x)-g (x) > 0” 能否运用单调法,先得看看,有没有“初始信息”,再对 F 求导。看导数正负说单调。 两者结合确定函数 F 的符号。 “求最值法”证明函数不等式 ——在某些特殊情形下,也可以用“求最值法” 证 明简单的函数不等式。即,如果能证明函数的最大值或最小值为 0,则函数定号。
第 20 讲 . 单调法是重 头 戏
图形特征先单调,讨论单调说符号。 函数的导函数天然满足“介值定理”。因而导函数在自 己 的相邻两个零点 之 间不变 号。从而函数在相应区间上单调。在定义域上单调或分段单调。 选定 x 0 为中心点,也可以说是以 x 0 为初始点。有了初始点的信息,又知道函数的单调 性,就能判定函数的符号。 “单调性判定函数符号”基本 逻辑 —— “若函数 f (x) 在 x > x 0 时可导 ,且 满足
(
f ( x) f ′( x) g ( x ) − f ( x ) g ′( x ) )′ = < 0, g ( x) g 2 ( x)
, 应选(A)
f ( x) 单减 g ( x)
从而
f (b) f ( x) f (a) < < g (b) g ( x) g (a )
*例 191 设 f (x) 在 [a,b] 上连续,在(a,b)内有二阶导数,且 f ( a ) = f (b) ≥ 0 , 而在(a,b)内一点 c 处有 f (c ) < 0 ,则在(a,b)内至少有一点 ξ,使得 f ′′(ξ ) > 0 分 析 反证法,构造法相结合,讨论导数符号,实实在在分析函数的单调性。
例 195 试证,当 x > 1 时恒有
ln( x + 1) x > ln x 1+ x 证 明 因为 x.>1 ,故 ln x > 0 ,1+x > 0 ,只需证明 (1+x)l n (1+x) > x ln x 问题演变成,证明 。实际上确有
x >1 时 , ( x ln x) ′ = 1 + ln x > 0 ,x ≥ 1 时函数连续,而 y(1)= 0
′( x) ≤ 0 ,则函数 f ′( x ) 在(a,b)内不增。 若在(a ,b)内恒有 f ′
(画外音:好象没有线索了。点 c 处的一阶导数值是正还是负?可以穷尽讨论。) 若 f ′(c) ≤ 0 ,则 f ′( x ) 在(c,b)上非正,函数 f (x)不增, f (c) ≥ f (b) ≥ 0 ,矛 盾。 若 f ′(c ) > 0 ,则 f ′( x ) 在[a, c]上恒正,函数 f (x)单增, f (a ) < f (c ) < 0 ,也矛盾。 (画外音:已知 3 个点的函数值符号,可以试探着逐阶使用拉格朗日公式,产生一个可 以定号的二阶导数值。它可能就合于所求。) **例 192 设函数 f (x) 在 (-∞,+∞) 内单调有界,{x n}为数列,下面命题正确的是 (A)若{ x n }收敛 ,则{f (x n) }收敛。 (B)若{ x n }单调 ,则{ f (x n)}收敛。 (C)若{ f (x n)}收敛,则{ x n }收敛。 (D)若{ f (x n)}单调,则{ x n }收敛。 分 析 单调函数不一定连续。若有跳跃间断点 x0 ,取 x n 既有子列从左边,又有子列从 右边趋向点 x0 ,则相应的函数值列就不收敛。(A)错。由此易构造一个反例 x 小于 0 时 , f (x) = a r c t g x