2017高中数学学业分层测评23向量的应用新人教B版4

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高中数学向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4学案

高中数学向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4学案一、学习目标：1.掌握向量数量积的坐标运算和度量公式。

2.能够应用向量数量积的坐标运算和度量公式解决相关问题。

二、学习内容：1.向量数量积的坐标运算（1）向量的数量积定义（2）向量数量积的坐标运算方法2.向量数量积的度量公式（1）向量的模长（2）向量数量积的几何意义（3）向量数量积的度量公式三、学习步骤：1.引入向量数量积的概念，以例题引导学生体会向量数量积的几何意义。

2.介绍向量数量积的坐标运算方法，并通过例题进行引导。

3.根据向量数量积的坐标运算方法，完成一些练习题，巩固所学知识。

4.引入向量的模长，介绍向量数量积的几何意义，并推导出向量数量积的度量公式。

5.通过例题演示，让学生掌握向量数量积的度量公式的应用方法。

6.给学生提供一些练习题，让他们独立思考并解决问题。

7.给学生布置相关作业，检测他们对所学知识的掌握情况。

四、学习要点：1.向量数量积的定义和几何意义。

2.向量数量积的坐标运算方法。

3.向量的模长和向量数量积的度量公式。

五、学习方法：1.多思考，多举例。

2.注重讲解和实践相结合。

3.合作探究、归纳总结。

六、学习反思：在本学案中，我们学习了高中数学《向量数量积的坐标运算与度量公式》这部分内容。

通过学习，我们掌握了向量数量积的坐标运算和度量公式，能够应用它们解决相关问题。

学案中，我们通过例题引导学生体会向量数量积的几何意义，介绍了向量数量积的坐标运算方法，并通过练习题让学生巩固所学知识。

我们还引入了向量的模长，推导出向量数量积的度量公式，并通过例题演示了它们的应用方法。

最后，给学生布置了相关作业，检测他们对所学知识的掌握情况。

通过本学案的学习，我们掌握了向量数量积的坐标运算和度量公式，提高了解决相关问题的能力。

高中数学第二章平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.1 平面向量基本定理示范教案新人教B版必修4

2.2.1 平面向量基本定理示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图：过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略．应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF ＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①② B．②③ C ．①③ D．①②③ 活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B图7．a>0，b<0 ．a<0，b<0 思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →. ∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB 中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B 组 2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1＋λ2e 2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC 中，D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b .设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .①又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →.∴C、P 、L 三点共线．∴AD、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB →C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB →2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.611。

高中数学人教B版选修4-1学业分层测评1.3.1 圆幂定理 Word版含答案

学业分层测评(八)
圆幂定理
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、选择题(每小题分，共分)
切⊙于，割线经过点交⊙于、，若＝，＝，则∠＝( )
【解析】如图所示，连接，根据切割线定理，可得
＝·，
×，即＝
∴＝，
∴＝－＝，
∴＝＝，＝＋＝，
∴∠＝＝.
【答案】
.如图--，已知是⊙的直径，⊥
于，是过点的弦，已知＝，＝，＝，则和分别为( )
图--
和
和
和
和
【解析】∵·＝，
∴＝，＝，∴＝.
∵·＝，∴＝，
∴＝＋＝.
【答案】
.如图--，在△中，∠＝°，＝，＝.以上一点为圆心作⊙与、都相切，又⊙与的另一个交点为，则线
段的长为( )
图--
【解析】观察图形，与⊙切于点，与⊙切于点，
则＝＝.
如图，连接，由切线长定理得＝＝，
故＝－＝－＝.
根据切割线定理得·＝，
即＝，故＝.
【答案】
.如图--所示，四边形内接于⊙，∶
＝∶，＝，＝，则过点的⊙的切线长是( )
图--
【解析】由圆内接四边形的性质定理，
可得△与△相似.∴＝，
即＝，解得＝.
若设过点的⊙的切线长为，。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用课件1新人教B版选修2_1

（回到图形问题）
各抒己见百家争鸣
链接高考202X
强化作业：在直三棱柱ABC－
A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝ BC＝2，D为AA1上一点．
(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长
前置作业反馈
立体几何中的向量方法
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
数乘减法:三角形法则
运算数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零
运加法交换律 a b b a 算加法结合律律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与平面α的法向量所成的锐角的余角，所以有

高中数学本册素养等级测评课时作业(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学试题

本册素养等级测评一、单选题(本大题共5小题，每小题8分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x ＜0，使x 2－3x ＋1≥0”的否定是( C ) A ．∃x ＜0，使x 2－3x ＋1＜0 B ．∃x ≥0，使x 2－3x ＋1＜0 C ．∀x ＜0，使x 2－3x ＋1＜0 D ．∀x ≥0，使x 2－3x ＋1＜0解析：命题“∃x ＜0，使x 2－3x ＋1≥0”的否定是“∀x ＜0，x 2－3x ＋1＜0”，故选C ． 2．设f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(其中a 、b 、c 为常数，x ∈R )，若f (－7)＝－17，则f (7)＝( A )A ．31B ．17C ．－31D ．24解析：令g (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ，则g (x )为奇函数． ∴f (－7)＝g (－7)＋7＝－17，∴g (－7)＝－24. ∴f (7)＝g (7)＋7＝24＋7＝31.3．对于α：a －1a ＋1＞0，β：关于x 的方程x 2－ax ＋1＝0有实数根，则α是β成立的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由α：a －1a ＋1＞0解得a ＞1或a ＜－1，β：关于x 的方程x 2－ax ＋1＝0有实数根，则Δ＝a 2－4≥0，解得a ≥2或a ≤－2.∵{a |a ≥2或a ≤－2}{a |a ＞1或a ＜－1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选B ．4．关于x 的不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集为R ，则实数a 的取值X 围为( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－35，1C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1∪{－1} D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1 解析：当a 2－1＝0时，a ＝±1，若a ＝1，则原不等式可化为－1＜0，显然恒成立；若a ＝－1，则原不等式可化为2x －1＜0，不恒成立，所以a ＝－1舍去；当a 2－1≠0时，因为(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集为R ，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＜0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1＜0，解得－35＜a ＜1.综上，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1.故选D ． 5．若关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图像可以是( D )解析：因为关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y ＝f (x )与y ＝2的图像在(－∞，0)内有交点，观察图像可知只有D 中图像满足要求．6．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( B )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a ＞0)，当且仅当y＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立，所以a ≥4，故选B ．7．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是( C )A ．a ＜α＜b ＜βB ．a ＜α＜β＜bC ．α＜a ＜b ＜βD ．α＜a ＜β＜b解析：∵α，β是函数f (x )的两个零点，∴f (α)＝f (β)＝0.又∵f (a )＝f (b )＝－2＜0，结合二次函数的图像(如图所示)可知a ，b 必在α，β之间，故它们之间的关系可能为α＜a ＜b ＜β.故选C ．8．函数f (x )＝x |x |.若存在x ∈[1，＋∞)，使得f (x －2k )－k ＜0，则实数k 的取值X 围是( D )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(12，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 解析：当k ≤12时，x －2k ≥0，因此f (x －2k )－k ＜0，可化为(x －2k )2－k ＜0，即存在x∈[1，＋∞)，使g (x )＝x 2－4kx ＋4k 2－k ＜0成立，由于g (x )＝x 2－4kx ＋4k 2－k 的对称轴为直线x ＝2k ≤1，所以g (x )＝x 2－4kx ＋4k 2－k 在[1，＋∞)上单调递增，因此只要g (1)＜0，即1－4k ＋4k 2－k ＜0，解得14＜k ＜1.又因为k ≤12，所以14＜k ≤12.当k ＞12时，f (x －2k )＝(x －2k )|x －2k |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2k 2，1≤x ≤2k ，x －2k 2，x ＞2k .当1≤x ≤2k 时，f (x －2k )－k ＝－(x －2k )2－k ＜0恒成立，满足存在x ∈[1，＋∞)，使得f (x －2k )－k ＜0成立．综上，k ＞14.故选D ．二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．设全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合M ＝{0,1,4}，N ＝{0,1,3}，则( AC ) A ．M ∩N ＝{0,1} B ．∁U N ＝{4} C ．M ∪N ＝{0,1,3,4} D ．集合M 的真子集个数为8解析：由题意，M ∩N ＝{0,1}，A 正确；∁U N ＝{2,4}，B 不正确；M ∪N ＝{0,1,3,4}，C 正确；集合M 的真子集个数为23－1＝7，D 不正确；故选AC ．10．下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是( ABD )A ．M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，N ＝{－6，－3,1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－6，f (1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1 B ．M ＝N ＝{x |x ≥－1}，f (x )＝2x ＋1 C ．M ＝N ＝{1,2,3}，f (x )＝2x ＋1D ．M ＝Z ，N ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1解析：对于A ，M ＝{12，132}，N ＝{－6，－3,1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－6，f (1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，满足函数的定义“集合M 中每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应”，则f 能构成从集合M 到集合N 的函数，满足题意；对于B ，M ＝N ＝{x |x ≥－1}，f (x )＝2x ＋1，满足函数的定义“集合M 中每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应”，则f 能构成从集合M 到集合N 的函数，满足题意；对于C ，M ＝N ＝{1,2,3}，f (x )＝2x ＋1，∵f (2)＝5∉N ，∴不满足函数的定义“集合M 中每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应”，则f 不能构成从集合M 到集合N 的函数，不满足题意；对于D ，M ＝Z ，N ＝{－1,1}，n 为奇函数时，f (n )＝－1，n 为偶函数时，f (n )＝1，满足函数的定义“集合M 中每一个元素在集合N 中都有唯一的元素与之对应”，则f 能构成从集合M 到集合N 的函数，满足题意；故选ABD ．11．已知f (x )＝x ＋1x －1(x ≠±1)，则下列各式成立的是( CD ) A ．f (x )＋f (－x )＝0 B ．f (x )·f (－x )＝－1 C ．f (x )－1f －x＝0D ．f (x )·f (－x )＝1解析：∵f (x )＋f (－x )＝x ＋1x －1＋－x ＋1－x －1＝2x 2＋2x 2－1≠0，∴A 不符合题意，∵f (x )·f (－x )＝x ＋1x －1×－x ＋1－x －1＝1，∴B 不符合题意，D 符合题意，∵f (x )－1f －x ＝x ＋1x －1－－x －1－x ＋1＝0，∴C 符合题意；故选CD ．12．下列命题中正确的是( AC ) A ．y ＝x ＋1x(x ＜0)的最大值是－2B ．y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值是2C ．y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值是2－4 3D ．y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最小值是2－4 3解析：y ＝x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以A 正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2＞2，取不到最小值2，所以B 错误；y ＝2－3x －4x (x ＞0)＝2－⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－43，当且仅当3x ＝4x 时，等号成立，所以C 正确；y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值是2－43，所以D 错误．故选AC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则函数f (x )的解析式为__f (x )＝2x ＋7__.解析：由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． ∵f (x )满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17， ∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17，即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7.14．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是__[－3,1]__，值域为__[0,2]__.解析：要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1.∴定义域为[－3,1]．∵－x 2－2x ＋3＝－(x －1)2＋4 ∴y ＝－x 2－2x ＋3的值域为[0,2]．15．关于x 的不等式x 2－ax ＋a ＋3≥0在区间[－2,0]上恒成立，则实数a 的取值X 围是__[－2，＋∞)__.解析：由题意得a ≥x 2＋3x －1＝(x －1)＋4x －1＋2.因为－2≤x ≤0，所以－3≤x －1≤－1.所以(x －1)＋4x －1＋2＝－[(1－x )＋41－x]＋2≤－24＋2＝－2. 当且仅当x ＝－1时取到等号．所以a ≥－2. 故实数a 的取值X 围为[－2，＋∞)． 16．给出以下四个命题：①若集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，A ＝B ，则x ＝1，y ＝0；②若函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)； ③函数f (x )＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)；④若f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f 2f 1＋f 4f 3＋…＋f 2 018f 2 017＋f 2 020f 2 019＝2 020.其中正确的命题有__①②__.(写出所有正确命题的序号)解析：①由A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，A ＝B 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝x 2.(舍)故x ＝1，y＝0，正确；②由函数f (x )的定义域为(－1,1)，得函数f (2x ＋1)满足－1＜2x ＋1＜1，解得－1＜x ＜0，即函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，正确；③函数f (x )＝1x的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不能用并集符号，错误；④由题意f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f 2f 1＋f 4f 3＋…＋f 2 018f 2 017＋f 2 020f 2 019＝f 1·f 1f 1＋f 3·f 1f 3＋…＋f 2 017·f 1f 2 017＋f 2 019·f 1f 2 019＝f (1)＋f (1)＋…＋f (1)＝1＋1＋…＋1＝1010，错误．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |mx ＋2＝0}． (1)若A ∪(∁R B )＝R ，某某数a 的取值X 围； (2)若C ∩B ＝C ，某某数m 的取值X 围．解：(1)∵B ＝{x |1≤x ≤2}，∴∁R B ＝{x |x ＜1或x ＞2}．又∵A ＝{x |x ＜a }，A ∪(∁R B )＝R ，∴a ＞2，即实数a 的取值X 围是(2，＋∞)． (2)∵C ∩B ＝C ，∴C ⊆B . 当C ＝∅时，m ＝0符合题意．当C ≠∅时，由mx ＋2＝0得x ＝－2m ，故1≤－2m≤2，解得－2≤m ≤－1.综上可知，实数m 的取值X 围为[－2，－1]∪{0}．18．(12分)若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2＋x ＋a ＝0}，且B ⊆A ，某某数a 的取值X 围．解：A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0，①当Δ＝1－4a ＜0，即a ＞14时，B ＝∅，B ⊆A 成立；②当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，B ⊆A 不成立；③当Δ＝1－4a ＞0，即a ＜14时，若B ⊆A 成立，则B ＝{－3,2}，∴a ＝－3×2＝－6. 综上，a 的取值X 围为a ＞14或a ＝－6.19．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1(a ≠0)． (1)若函数f (x )有两个零点，某某数a 的取值X 围；(2)若函数f (x )在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，某某数a 的取值X 围．解：(1)函数f (x )有两个零点，即方程ax 2－2x ＋1＝0(a ≠0)有两个不等实根，令Δ＞0，即4－4a ＞0，解得a ＜1.又因为a ≠0，所以实数a 的取值X 围为(－∞，0)∪(0,1)．(2)若函数f (x )在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，由f (x )的图像过点(0,1)可知，只需⎩⎪⎨⎪⎧f 0＞0，f 1＜0，f 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＞0，a －1＜0，4a －3＞0，解得34＜a ＜1.所以实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1. 20．(12分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定X 围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/米3)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/米3)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．解析：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x－4，0≤x ≤4，20－2x ，4＜x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4.当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4＜x ≤8.综上，得0≤x ≤8，即若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天． (2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4≥214－x ·16a14－x－a －4＝8a －a －4.因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4.所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6. 21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )＜0的解集；(2)若对一切x ＞2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)g (x )＝2x 2－4x －16＜0，即(2x ＋4)(x －4)＜0， ∴－2＜x ＜4，∴不等式g (x )＜0的解集为{x |－2＜x ＜4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8.当x ＞2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15，即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．∴对一切x ＞2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2x －1×4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)，∴实数m 的取值X 围是(－∞，2]．22．(12分)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，且函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(1)求f (－1)，并证明函数y ＝f (x )是偶函数；(2)若f (4)＝2，解不等式f (x －5)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ≤1.解：(1)令x ＝y ≠0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0. 再令x ＝1，y ＝－1可得f (－1)＝f (1)－f (－1) ＝－f (－1)，∴f (－1)＝0.证明：令y ＝－1可得f (－x )＝f (x )－f (－1)＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)∵f (2)＝f (4)－f (2)，∴f (2)＝12f (4)＝1.又f (x －5)－f (3x )＝f (x 2－5x 3)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5x 3≤f (2)．∵f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增， ∴－2≤x 2－5x3≤2且x 2－5x3≠0，解得－1≤x ＜0或0＜x ≤2或3≤x ＜5或5＜x ≤6.所以不等式的解集为{x |－1≤x ＜0或0＜x ≤2或3≤x ＜5或5＜x ≤6}．。

高中数学第2章平面向量 2.1.4 数乘向量练习新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学试题

2.1.4 数乘向量课时跟踪检测 [A 组基础过关]1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )等于( ) A ．2a －b B.2b －a C ．b －aD.a －b解析：原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(6b －3a )＝2b －a .答案：B2．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD →C.BC →D.12BC → 解析：EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB → ＝12AC →＋12AB →＝AD →，故选A. 答案：A3．设x 是未知向量，a ，b 是已知向量，且满足3(x ＋a )＋3(b －a )＋x －a －2b ＝0，则x 等于( )A.14a －14bB.a ＋bC.12a －b D.0解析：∵3(x ＋a )＋3(b －a )＋x －a －2b ＝0，∴4x ＋3a －3a －a ＋3b －2b ＝0，∴4x ＝a －b ，∴x ＝14a －14b ，故选A.答案：A4.下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝ma －mb ； ②对于实数m ，n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝ma －na ； ③若ma ＝mb (m ∈R)，则a ＝b ； ④若ma ＝na (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B.2 C ．3D.4解析：由向量的运算律知①②④正确，故选C. 答案：C5．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )A.23AD →－AB →B.12AD →－23AB →C.12AB →＋13AD → D.12AB →－23AD → 解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC →＝AD →，DC →＝AB →.∵点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，∴EC →＝12DC →，CF →＝23CB →，∴EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12DC →－23BC →＝12AB →－23AD →.答案：D6．若点C 在线段AB 上，AC CB ＝52，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.解析：由题可知AC →＝52CB →，∴AC →＝57AB →，BC →＝－27AB →.答案：57 －277．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b －3x ＋c )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝________.解析：原式变形为2x －23a －12b ＋32x －12c ＋b ＝0，∴72x ＝23a －12b ＋12c ，∴x ＝421a －17b ＋17c . 答案：421a －17b ＋17c8．化简：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 解：(1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. [B 组技能提升]1．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面ABC 内一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：∵AB →＝PB →－PA →，∴PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，即2PA →＋PC →＝0，故AP →＝12PC →，∴P 是AC边的一个三等分点．答案：D2．点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定过△ABC 的( ) A ．内心 B.外心 C ．垂心D.重心解析：∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.设AD →＝AB →|AB →|，AE →＝AC →|AC →|，如图所示，则AD →与AB →共线且同向，AE →与AC →共线且同向，AD →和AE →均是单位向量．设AD →＋AE →＝AG →，则四边形ADGE 是菱形， ∴点G 在∠BAC 的平分线上.AP →＝λAG →，又∵λ∈[0，＋∞)，∴点P 在射线AG 上．∴点P 的轨迹是∠BAC 的平分线，一定过△ABC 的内心，故选A. 答案：A3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝3DB →，CD →＝14CA →＋λCB →，则λ＝________.解析：AD →＝3DB →， ∴CD →－CA →＝3(CB →－CD →)， ∴CD →＝14CA →＋34CB →，∴λ＝34.答案：344．已知四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF →＝________.解析：如图所示，EF →＝EC →＋CD →＋DF →＝12AC →＋CD →＋12DB →＝12(AB →＋BC →)＋CD →＋12(DC →＋CB →)＝12(AB→＋DC →)＋CD →＝12(AB →＋CD →)＝12(a －2c ＋5a ＋6b －8c )＝3a ＋3b －5c .答案：3a ＋3b －5c5.如图，已知△OAB 中，点C 是以点A 为对称中心的点B 的对称点，OD ＝2DB ，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .用a ，b 表示向量OC →，DC →.解：由题意知A 是BC 的中点，则OA →＝12(OB →＋OC →)，从而OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，又OD ＝2DB ，所以OD →＝23OB →＝23b .DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .6. 如图，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，延长PA ，与CM 的延长线交于点Q ，若AP →＝QA →，MQ →＝λCM →，试确定λ的值．解：AP →＝NP →－NA →＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12(BC →－BM →)＝12MC →.∴λ＝12.。

2016_2017学年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修4

3.3 三角函数的积化和差与和差化积1.能根据公式S α±β和C α±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)[基础·初探]教材整理积化和差与和差化积公式阅读教材P 149内容，完成下列问题. 1.积化和差公式：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)].2.和差化积公式：设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y2，β＝x －y2.这样，上面的四个式子可以写成，sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y2cos x －y2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cosx ＋y2cosx －y2； cos x －cos y ＝－2sinx ＋y2sinx －y2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cosB.( )(2)sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sinB.( ) (3)cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) (4)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【精彩点拨】在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.【自主解答】 (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝32cos 10°cos 50°cos 70°＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos 60°＋cos 40°·cos 70° ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.[再练一题]1.求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50°的值.【解】原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用(2016·平原高一检测)已知cos α－cos β＝2，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值.【导学号：72010090】【精彩点拨】解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解. 【自主解答】 ∵cos α－cos β＝12，∴－2sinα＋β2sinα－β2＝12.① 又∵sin α－sin β＝－13，∴2cosα＋β2sinα－β2＝－13.②∵sinα－β2≠0，∴由①②，得－tanα＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止.[再练一题]2.(2016·银川高一检测)已知sin α＝－45，π＜α＜32π，求sin α2，cos α2，tanα2的值.【解】 ∵π＜α＜32π，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2＜α2＜34π，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sinα2cosα2＝－2. [探究共研型]三角函数公式在解决三角形问题中的应用探究1 【提示】注意三角形中的隐含条件的应用，如A ＋B ＋C ＝π，a ＋b >c 等. 探究2 在△ABC 中有哪些重要的三角关系？【提示】在△ABC 中的三角关系：sin(A ＋B )＝sin C ， cos(A ＋B )＝－cos C ， sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2， sin(2A ＋2B )＝－sin 2C ， cos(2A ＋2B )＝cos 2C .在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2.【精彩点拨】利用和差化积进行转化，转化时要注意A ＋B ＋C ＝π. 【自主解答】左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C2·cosB ＋C2＝2sin B ＋C2cosB ＋C2＋2sin B －C2cosB ＋C2＝2cosB ＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫sinB ＋C 2＋sinB －C 2＝4sin A2sin B2cos C2＝右边，∴原等式成立.证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.[再练一题]3.在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2·cos B 2cos C2.【证明】由A ＋B ＋C ＝180°，得C ＝180°－(A ＋B )，即C 2＝90°－A ＋B2， ∴cos C 2＝sin A ＋B 2.∴sin A ＋sin B ＋sin C ＝2sin A ＋B2·cos A －B2＋sin(A ＋B ) ＝2sinA ＋B 2·cosA －B 2＋2sinA ＋B2·cosA ＋B2＝2sinA ＋B 2⎝⎛⎭⎪⎫cosA －B2＋cosA ＋B 2＝2cos C 2·2cos A2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－B 2＝4cos A2cos B 2cos C2，∴原等式成立. [构建·体系]1.计算sin 105°cos75°的值是( ) A.12 B.14 C.－14D.－12【解析】 sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.【答案】 B2.sin 75°－sin 15°的值为( ) A.12 B.22C.32D.－12【解析】 sin 75°－sin 15＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B. 【答案】 B3.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )【导学号：72010091】A.12B.14C.1D.22【解析】 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14.∴取最大值14.【答案】 B4.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则sin αcos β＝________.【解析】 sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝1330.【答案】13305.化简下列各式：(1)cos A ＋cos 120°＋B ＋cos 120°－B sin B ＋sin 120°＋A －sin 120°－A ； (2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5A sin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A. 【解】 (1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos Bsin B ＋2cos 120°sin A＝cos A －cos Bsin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sinB －A 22cos A ＋B 2sinB －A2＝tanA ＋B2.(2)原式＝sin A ＋sin 5A ＋2sin 3Asin 3A ＋sin 7A ＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A ＋2sin 3A2sin 5A cos 2A ＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A ＋12sin 5Acos 2A ＋1＝sin 3Asin 5A.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.sin 37.5°cos 7.5°＝( ) A.22 B.24 C.2＋14D.2＋24【解析】原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14. 【答案】 C2.(2016·吉林高一检测)sin 10°＋sin 50°sin 35°·sin 55°＝( )A.14B.12C.2D.4【解析】原式＝2sin 30°cos 20°sin 35°cos 35°＝cos 20°12sin 70°＝2cos 20°cos 20°＝2.【答案】 C3.若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A.－23B.－13C.13D.23【解析】 ∵cos(α＋β)cos(α－β) ＝12(cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β， ∴cos 2α－sin 2β＝13.【答案】 C4.(2016·沈阳高一检测)在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形【解析】由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12cos(A －B )－12cos(A ＋B )＝1＋cos C 2， ∴12cos(A －B )＋12cos C ＝12＋12cos C ，即cos (A －B )＝1， ∴A －B ＝0，即A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形. 【答案】 B5.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( ) A.12 B.22C.32D.1【解析】 sin 20°＋s in 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80° ＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】 C 二、填空题6.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最大值是________. 【解析】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝12⎩⎨⎧cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋⎭⎬⎫cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋cos 4x ＝12cos 4x －14.∴取最大值14.【答案】 147.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________. 【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )，又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.(2016·日照高一检测)化简：sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝________.【导学号：72010092】【解析】 sin 42°－cos 12°＋sin 54° ＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18° ＝2cos 36°sin 18°＝2cos 36°sin 18°cos 18°cos 18°＝cos 36°sin 36°cos 18°＝2cos 36°sin 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝12.【答案】 12三、解答题9.(2016·济宁高一检测)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋2cos A 2sin A 2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论.【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B ＋C 2. ∴y ＝tan A 2＋2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋cos B －C 2＝tan A 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B 2cos C 2＋cos B 2sin C 22cos B 2cos C 2＝tan A 2＋tan B 2＋tan C 2. 因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变. 10.求函数f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期与最值. 【解】 f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin x ·2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]，∴取最大值34，取最小值－14. [能力提升]1.若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )A.－2π3B.－π3C.π3D.2π3 【解析】 ∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，∴cos β＞cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数，∴β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知：2sin α＋β2cos α－β2 ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2sin β－α2， ∴tan α－β2＝3，∴α－β2＝π3，∴α－β＝2π3. 【答案】 D2.在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( )A.[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14 【解析】 cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1，∴cos A sin C ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 【答案】 C3.sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°＝________.【解析】原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2＋ 32sin 100°－32sin 60°＝14－12cos 40°－12cos 20°＋32sin 100° ＝14－12×2cos 30°cos 10°＋32cos 10° ＝14－32cos 10°＋32cos 10°＝14. 【答案】 144.已知3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12， ∴32⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α－sin π6＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋sin π6， ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12， ∴sin 2α＝1.。

高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.1.1相似三角形判定定理学业分层测评新人教B版选修4_1

1.1.1 相似三角形判定定理(建议用时：40分钟)[学业达标] 一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图1111，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )图1111【解析】 △ABC 中，AB ＝2，BC ＝2，∠ABC ＝135°.选项A 的三角形，有一个内角为135°，且该角的两边长分别为1和2，根据相似三角形的判定定理知，两三角形相似，故选A. 【答案】A2.如图1112，在△ABC 中，M 在BC 上，N 在AM 上，CM ＝CN ，且AM AN ＝BM CN ，下列结论中正确的是( )图1112A.△ABM ∽△ACBB.△ANC ∽△AMBC.△ANC ∽△ACMD.△CMN ∽△BCA【解析】 ∵CM ＝CN ，∴∠CMN ＝∠CNM ， ∵∠AMB ＝∠CNM ＋∠MCN ， ∠ANC ＝∠CMN ＋∠MCN ， ∴∠AMB ＝∠ANC .又AM AN ＝BM CN ，∴△ANC ∽△AMB . 【答案】B3.如图1113，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO DO 等于( )图1113 A.255B.13C.23 D.12 【解析】 ∵AF ⊥DE ， ∴Rt △DAO ∽Rt △DEA ，∴AO DO ＝AE DA ＝12. 【答案】D4.如图1114所示，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，BE 、CF 相交于点G ，FG ＝2，则CF 的长为( )图1114 A.4 B.4.5 C.5D.6 【解析】 ∵E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，∴FE ∥BC ，由平行线的性质，得△FEG ∽△CBG ， ∴FG GC ＝EF BC ＝12. 又FG ＝2，∴GC ＝4，∴CF ＝6. 【答案】D 二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1115所示，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b .则BD ＝________(用a ，b 表示).。

新教材人教B版高中数学必修第四册全册各章知识点汇总及配套习题

人教B高中数学必修第四册全册各章知识点汇总第九章解三角形.................................................................................................................... - 1 - 第十章复数 ......................................................................................................................... - 12 - 第十一章立体几何初步...................................................................................................... - 19 -第九章解三角形知识体系题型探究利用正弦、余弦定理解三角形【例1】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝5，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．[思路探究] (1)由面积公式求出sin ∠ABD ，进而得cos ∠ABD 的值，利用余弦定理可解；(2)由AB ⊥BC 可以求出sin ∠CBD 的大小，再由二倍角公式求出sin ∠BCD ，可判断△CBD 为等腰三角形，利用正弦定理求出CD 的大小，最后利用面积公式求解．[解] (1)由S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠ABD ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55.又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ，所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理知，BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12×54×54×45＝58.利用正、余弦定理解三角形要注意以下几个方面(1)画图，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求． (2)明确解题过程中所使用的定理，有些题目两个定理都适用．(3)注意对三角形内角和定理、大边对大角的应用，避免出现增解或漏解的错误．(4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中利用正、余弦定理求解．[跟进训练]1．如图所示，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长． [解] (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437，所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.三角变换与解三角形的综合问题【例2】在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2b 2sin A cos B ＝2a 2cos A sin B ，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理，得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判定三角形形状的三个注意点(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的关系．(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．(3)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[跟进训练]2．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C . ∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°. ∴2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C . 展开整理得32sin C ＋12cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1. ∵0°<C <120°， ∴C ＋30°＝90°. ∴C ＝60°，则A ＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，化简得(a －c )2＝0. ∴a ＝c .又B ＝60°， ∴a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．角度2 三角形边、角、面积的求解【例3】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．[解] (1)由已知，根据正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B . 又A ＝π－(B ＋C )，∴sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝sin C sin B ， ∵sin C ≠0，∴cos B ＝sin B 且B 为三角形内角， ∴B ＝π4.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝24ac ，由正弦定理知a ＝b sin A sin B ＝222×sin A ＝22sin A ，同理，c ＝22sin C ，∴S △ABC ＝24×22sin A ×22sin C ＝22sin A sin C ＝22sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝22sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4cos A －cos 3π4sin A＝2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝sin 2A ＋1－cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＋1，∴当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时，S △ABC 有最大值2＋1.求解三角形中的边、角、面积的解题策略该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．[跟进训练]3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .[解] 因为cos B ＝2cos 2B 2－1＝35，故B 为锐角，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin (π－B －C ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝sin B cos π4＋cos B sin π4 ＝7210. 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.正弦、余弦定理在实际中的应用【例4A 处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B 处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[思路探究] 假设经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解．[解] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x 海里，BC ＝10x 海里，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－34舍去.故AC ＝28海里，BC ＝20海里．根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314.应用解三角形知识解决实际问题四步曲(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语．(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[跟进训练]4．甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？[解] 设甲、乙两船经t 小时后相距最近且分别到达P ，Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．①当0≤t <2时，如图①，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ，所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ×AP ×cos 120° ＝(20－10t )2＋(8t )2－2×(20－10t )×8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝84t 2－240t ＋400 ＝221t 2－60t ＋100； ②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16； ③当t >2时，如图②，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，∴PQ＝AQ2＋AP2－2AQ×AP×cos 60°＝221t2－60t＋100.综合①②③知，PQ＝221t2－60t＋100(t≥0)．当且仅当t＝3021＝107时，PQ最小．所以甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．[培优层·素养升华]【例题】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sin C.[思路探究](1)利用正弦定理结合余弦定理求解角A的大小；(2)根据(1)中的结论结合正弦定理化简题中的等量关系，利用两角差的正弦公式求解sin C.[解](1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，整理得cos(C＋60°)＝－2 2.因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝2 2，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、两角差的正弦公式，综合性较强.综合应用正、余弦定理解三角形一直是高考的热点内容之一，着重考查直观想象、数学运算等学科素养.[素养提升练]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5 C．4 D．3A[∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－(4c2＋b2)2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.]第十章复数知识体系·题型探究复数的概念【例1】 32 (1)z ∈R ；(2)z 为虚数．[思路探究] 根据复数的分类列不等式组求解． [解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0，③由②得x ＝4，经验证满足①③式．所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0，③由①得x >3＋212或x <3－212. 由②得x ≠4，由③得x >3. 所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．[跟进训练]1．(1)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D ．45(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．(1)D (2)1 [(1)∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.故选D ．(2)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋b i ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i. 由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ －b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1.法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1.]复数的四则运算【例2】 (1)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z－＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i[思路探究] (1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解． (2)利用方程思想求解并化简．(1)C (2)A [(1)∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴z i ＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝2.故选C ．(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.]复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z 为实数.[跟进训练]2．(1)复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35iB ．35i C ．－i D ．i(2)已知复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.(1)C (2)4＋2i [(1)依题意知，2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i5＝i ，∴其共轭复数为－i. (2)z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)·(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，因为z 1·z 2∈R ，所以a ＝4. 所以z 2＝4＋2i.]复数的几何意义【例3】 (1)在复平面内，复数i1－i对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)在复平面内，复数1－2i2＋i对应的点的坐标为( ) A ．(0，－1) B ．(0,1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35[思路探究] 先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． (1)B (2)A [(1)复数i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i. ∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.∴复数i1－i在复平面内对应的点位于第二象限．故选B ． (2)∵1－2i 2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A ．]1．复数的几何表示法复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z 与Z 1之间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)|z －z 1|＝r 表示复数对应的点的轨迹是以z 1对应的点为圆心，半径为r 的圆．(2)|z －z 1|＝|z －z 2|表示以复数z 1，z 2的对应点为端点的线段的垂直平分线．[跟进训练]3．(1)已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H(1)A (2)D [(1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z ＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A ．(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．]函数与方程思想【例4】已知f (z )＝|1＋z |－z ，且f (－z )＝10＋3i ，求复数z .[思路探究] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由复数相等列方程组求解即可．[解] ∵f (z )＝|1＋z |－z －，∴f (－z )＝|1－z |＋z －. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i.由f (－z )＝10＋3i ，得|1－(a ＋b i)|＋a －b i ＝10＋3i ，∴⎩⎨⎧(1－a )2＋b 2＋a ＝10，－b ＝3，解方程组得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3，∴复数z ＝5－3i.一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的方程(组)，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．[跟进训练]4．满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．[解] 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i ，z ＋3＝(x ＋3)＋y i.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y2＝0，x ＋3＝－y ，因为y ≠0，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足题设条件．[培优层·素养升华]【例1】设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2iD ．－1－2iD [∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.] 【例2】设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0Da 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．]高考对复数的考查较为基础，通常以选择题的形式考查复数的概念与四则运算，属容易题，重点体现数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养.[素养提升练] 1．设z ＝3－i1＋2i，则|z |＝( ) A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．1C [∵z ＝3－i 1＋2i ＝(3－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－7i5，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝ 2.] 2．i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________．13 [∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.]第十一章立体几何初步知识体系[提升层·题型探究]空间几何体的表面积与体积【例们将体积公式“V ＝kD 3”中的常数k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V ＝kD 3，其中，在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么，k 1∶k 2∶k 3＝( )A ．π4∶π6∶1B ．π6∶π4∶2C ．1∶3∶12πD ．1∶32∶6πD [球中，V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 23＝π6D 3＝k 1D 3，所以k 1＝π6；等边圆柱中，V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 22·D ＝π4D 3＝k 2D 3，所以k 2＝π4；正方体中，V ＝D 3＝k 3D 3，所以k 3＝1，所以k 1∶k 2∶k 3＝π6∶π4∶1＝1∶32∶6π.]记牢常见几何体的表面积、体积公式是解决此类问题的关键.涉及古代文化背景的题目，首先读懂题意，再按题意与所学的知识联系起来，将问题转化为我们熟悉的问题后再解决.[跟进训练]1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．142π平方尺B ．140π平方尺C ．138π平方尺D ．128π平方尺C [可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为72＋52＋82＝138尺，所以表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫13822＝138π平方尺．] 与球有关的切、接问题【例2 [思路探究] 正四面体的内切球、外接球、棱切球的球心与正四面体的中心O 重合，则内切球的半径为点O 到各面的距离，外接球的半径为点O 到各顶点的距离，棱切球的半径为点O 到各棱的距离．[解] 由正四面体的对称性与球的对称性知正四面体的外接球、内切球、棱切球的球心都与正四面体的中心重合．如图所示，设正四面体A -BCD 的高为AG ，O 为正四面体的中心，连接CG 并延长交BD 于点E ，连接OC ，OE ，则外接球的半径R ＝OA ＝OC ．由题意可得CE ＝3a 2，则CG ＝23CE ＝3a 3，EG ＝13CE ＝3a 6，所以AG ＝AC 2－CG 2＝6a 3.所以OG ＝6a 3－R .在Rt △OCG 中，OC 2＝OG 2＋CG 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 3－R 2＋a 23，解得R ＝6a 4. 所以内切球的半径r ＝OG ＝6a 3－6a 4＝6a 12.棱切球的半径为OE ＝EG 2＋OG 2＝a 212＋a 224＝2a 4.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案如下：[跟进训练]2．(1)已知正方体的外接球的体积是32π3，那么正方体的棱长是( )A ．2 2B ．233C ．423D ．433(2)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．543(1)D(2)B[(1)根据球的体积，求得其半径r＝2，再由r＝3a2可得棱长a为43 3.(2)设等边△ABC的边长为x，则12x2sin 60°＝93，解得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－(23)2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值V max＝13S△ABC×6＝13×93×6＝18 3.]空间中的平行关系【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．[思路探究]假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF，PM，则必有AF∥PM，又PB ＝2MA，则点F是PB的中点．[解]当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝12PB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD．又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD．又MA 12PB，∴PF MA．∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD．又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC．∴平面AFC∥平面PMD．空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.[证明]连接AC交BD于O，连接MO，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为AC的中点，又因为M为PC的中点，所以MO∥AP，又因为MO⊂平面BDM，P A⊄平面BDM，所以P A∥平面BDM，又因为P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BDM＝GH，所以P A∥GH.空间中的垂直关系【例4】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C．[解](1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，所以AD⊥侧面BB1C1C．所以AD⊥CC1.(2)延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.因为AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.因为A1C1＝A1N＝A1B1，所以C1N⊥B1C1，所以C1N⊥侧面BB1C1C．因为C1N⊂截面MBC1，所以截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ．空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．[跟进训练]4．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上(P 不与B ，C 重合)，E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .(1)证明：BP ⊥平面DCP ；(2)若BC ＝2，当三棱锥D -BPC 的体积最大时，求E 到平面BDP 的距离．[解] (1)证明：因为平面ABCD ⊥平面BPC ，ABCD 是正方形，平面ABCD ∩平面BPC ＝BC ，所以DC ⊥平面BPC ．因为BP ⊂平面BPC ，所以BP ⊥DC ．因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP ⊥PC ．又DC ∩PC ＝C ，所以BP ⊥平面DCP .(2)当点P 位于BC ︵的中点时，△BCP 的面积最大，三棱锥D -BPC 的体积也最大．因为BC ＝2，所以PE ＝1，所以△BEP 的面积为12×1×1＝12，所以三棱锥D -BEP 的体积为13×12×2＝13.因为BP ⊥平面DCP ，所以BP ⊥DP ，DP＝(22)2－(2)2＝6，△BDP的面积为12×2×6＝ 3.设E到平面BDP的距离为d，由于V D-BEP＝V E-BDP，则13×3×d＝13，得d＝33，即E到平面BDP的距离为33.空间中的角的求解【例5】如图，在三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝23，SC ＝1.(1)画出二面角S-AB-C的平面角，并求它的度数；(2)求三棱锥S-ABC的体积．[解](1)取AB中点D，连接SD，CD，因为SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，所以SD⊥AB，CD⊥AB，且SD⊂平面SAB，CD⊂平面CAB，所以∠SDC是二面角S-AB-C的平面角．在直角三角形SDA中，SD＝SA2－AD2＝22－(3)2＝1，在直角三角形CDA中，CD ＝CA 2－AD 2＝22－(3)2＝1，所以SD ＝CD ＝SC ＝1，所以△SDC 是等边三角形，所以∠SDC ＝60°.(2)法一：因为SD ⊥AB ，CD ⊥AB ，SD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面SDC ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面SDC ，且平面ABC ∩平面SDC ＝CD ，在平面SDC 内作SO ⊥DC 于O ，则SO ⊥平面ABC ，即SO 是三棱锥S -ABC 的高．在等边△SDC 中，SO ＝32，所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC ＝13S △ABC ·SO ＝13×12×23×1×32＝12.法二：因为SD ⊥AB ，CD ⊥AB ，SD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面SDC ．在等边△SDC 中，S △SDC ＝34SD 2＝34，所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC ＝V A -SDC ＋V B -SDC ＝13S △SDC ·AB ＝13×34×23＝12.1．两条异面直线所成的角(1)一般通过平移(在所给图形内平移一条直线或平移两条直线)或补形(补形的目的仍是平移)，把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计算．(2)平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位线、成比例线段来实现，补形时经常把空间图形补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、平行六面体等)．2．直线和平面所成的角当直线为平面的斜线时，它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角，然后通过解直角三角形加以求出．3．求解二面角的平面角的步骤一找(寻找现成的二面角的平面角)；二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角)；三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值)．[跟进训练]5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32A [如图，分别取BC ，CD ，AD ，BD 的中点M ，N ，P ，Q ，连接MN ，NP ，MP ，PQ ，MQ ，则MN ∥BD ，NP ∥AC ，所以∠PNM 即为异面直线AC 和BD 所成的角(或其补角)．又由题意得PQ ⊥MQ ，PQ ＝12AB ，MQ ＝12CD ．设AB ＝BC ＝CD ＝2，则PM ＝ 2.又MN ＝12BD ＝2，NP ＝12AC ＝2，所以△PNM 为等边三角形，所以∠PNM ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角为60°，其余弦值为12.][培优层·素养升华]【例题】如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．[思路探究](1)连接B1C，ME，可得四边形MNDE为平行四边形，进而得出MN∥DE，可证MN∥平面C1DE.(2)由已知可证DE⊥平面C1CE，过点C作CH⊥C1E于点H，则DE⊥CH，进而可证CH⊥平面C1DE，计算可得CH的长，从而得所求距离．[解](1)证明：如图所示，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)如图所示，过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝417 17.从而点C到平面C1DE的距离为417 17.本题属中档题，难度不大，考查了线面平行的证明及点面距离的计算，充分体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.[素养提升练]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD．[证明](1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，所以AB⊥PD．又因为P A⊥PD，P A∩AB＝A，所以PD⊥平面P AB．所以平面P AB⊥平面PCD．(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC．因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC．所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学业分层测评新人教B版选修21

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学业分层测评新人教B 版选修21(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＋y 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．0【解析】因为m 与n 共线，所以x a ＋y b ＋c ＝z (a －b ＋c )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝－z ，1＝z .所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.【答案】 D2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →，∴BD →与BA →共线，又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1，∴点P ，A ，B ，C 四点共面．4．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此pq ，q ⇒p .【答案】 B5．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO →2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →3，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB →＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→，由空间向量的基本定理，得x ＝y ＝z ＝1. 【答案】 A 二、填空题6．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，则λ2＋μ2＋v 2＝________.【解析】 ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3为不共面向量．又∵λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，∴λ＝μ＝v ＝0，∴λ2＋μ2＋v 2＝0. 【答案】 07．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________.【导学号：15460063】【解析】由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.8．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.【解析】由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8.【答案】－8 三、解答题9．如图3118所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：图3118(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 【解】由题意知|PB →|＝2，|CD →|＝2，PB →＝PA →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA →·DA →＝PA →·AB →＝PA →·BC →＝0， ∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →＝0， ∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，∴PB →·DC →＝(PA →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →) ＝AB →2＝|AB →|2＝1，又∵|PB →|＝2，|CD →|＝2，∴cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12，∴〈PB →，DC →〉＝60°，∴PB 与CD 所成的角为60°.10．正方体OABC O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c . (1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 【解】 (1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC→2＝12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°×3＝ 6.[能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若α＋β＝1，则PA →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PA 1→＋6(PA 1→－PB →)－4(PD 1→－PA 1→)＝11PA 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C.【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.【导学号：15460064】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4．如图3119所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN →与向量AD →，BC →是否共面．图3119【解】由题图可得MN →＝MA →＋AD →＋DN →，① ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →，② 又MA →＝－MB →，DN →＝－CN →，所以①＋②得 2MN →＝AD →＋BC →，即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。

高中数学学业分层测评2弧度制和弧度制与角度制的换算(含解析)新人教B版必修4(2021学年)

201６-2017学年高中数学学业分层测评2 弧度制和弧度制与角度制的换算（含解析）新人教Ｂ版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(201６-20１７学年高中数学学业分层测评2 弧度制和弧度制与角度制的换算(含解析）新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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学业分层测评（二）弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时：４５分钟)[学业达标]一、选择题1。

－＼f（25π,６)的角是（)A.第一象限的角ﻩB.第二象限的角C.第三象限的角ﻩD.第四象限的角【解析】因为-＼f(25π,6)=－错误!－4π，所以－错误!与-错误!的终边相同，为第四象限的角.【答案】D２．若2 rａd的圆心角所对的弧长为４ｃm,则这个圆心角所对的扇形面积是( ) A。

４cｍ2B。

2 cm2C。

4π ｃm2ﻩＤ。

2πcm2【解析】r＝错误!=错误!=2(ｃm），S＝错误!lr＝错误!×4×2=4(ｃm2)。

【答案】 A3.圆的半径是6 cｍ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（)A.＼f(π,2） cm2B.错误! cｍ2C.π cm２ﻩD.３πcm2【解析】 1５°＝错误!，则Ｓ＝错误!|α｜r2=错误!×错误!×62＝＼f(3π，2)(cm2)。

【答案】 B4。

下列说法不正确的是( )A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B。

1°的角是周角的＼f(１,360），1弧度的角是周角的错误!C．1 rad的角比１°的角要大Ｄ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径无关。

高中数学人教B版必修4 向量的概念

2．1.1向量的概念(1)向量是如何定义的？怎样表示向量？(2)向量的相关概念有哪些？[新知初探]1．向量的概念及表示印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头2．与向量有关的概念长度等于0的向量规定：零向量与任意向量都平行共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量能比较大小．()(2)向量的模是一个正实数．( ) (3)向量AB 与向量BA 是相等向量．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的个数( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案：B3．下列结论中正确的是( ) ①由a ＝b 可知a ∥b 且|a |＝|b |； ②由a ＝b 不能得到a ∥b 且|a |＝|b |； ③a 与b 方向相同且|a |＝|b |等价于a ＝b ； ④由a 与b 方向相反或|a |＝|b |可知a ＝b . A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①③④ 答案：A4.如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED 相等的向量有______．答案：AB ，DC[典例] 给出下列命题：①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形ABCD 中，一定有AB ―→＝DC ―→； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．[解析] 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故①不正确．单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O 时，终点都在以O 为圆心，1为半径的圆上，故②正确．③④显然正确，故所有正确命题的序号为②③④.[答案]②③④有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；(2)AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；(3)BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC 如图所示．用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.解：如图所示．共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.(3)与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，EA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．解：与向量BC相等的向量有OD，AO，FE.2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．2．设O 为△ABC 的外心，则AO ―→，BO ―→，CO ―→是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量D ．起点相同的向量解析：选C ∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OB ＝OC ，即|AO ―→|＝|BO ―→|＝|CO ―→|. 3．向量AB 与向量BC 共线，下列关于向量AC 的说法中，正确的为( ) A ．向量AC 与向量AB 一定同向B ．向量AC ，向量AB ，向量AC 一定共线 C ．向量AC 与向量BC 一定相等D ．以上说法都不正确解析：选B 根据共线向量定义，可知AB ，BC ，AC 这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE 平行的向量有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 根据向量的基本概念可知与AE 平行的向量有BE ，FD ，FC ，共3个． 5．已知向量a ，b 是两个非零向量，AO ，BO 分别是与a ，b 同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是( )A ．AO ＝BOB ． AO ＝BO 或AO ＝－BOC ．AO ＝1D ．|AO |＝|BO |解析：选D 由于a 与b 的方向不知，故AO 与BO 无法判断是否相等，故A 、B 选项均错．又AO 与BO 均为模为1的向量．∴|AO |＝|BO |，故C 错D 对．6．已知|AB |＝1，|AC |＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC |＝________. 解析：由勾股定理可知，BC ＝AC 2－AB 2＝3，所以|BC |＝ 3. 答案： 37.如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC 平行且长度为22的向量个数是______．解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为22，在其中一个正方形中，与AC 平行且长度为22的向量有2个，所以共8个．答案：88．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.答案：①③④9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．解：(1)与向量AB相等的向量是DC.(2)与OA的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO.10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．解：(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．(2)由题意知AD＝BC.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．所以AB＝DC，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是()A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PE解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：A中，AD与BC方向不同，故AD＝BC错误；B中，AC与BD方向不同，故AC＝BD错误；C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF错误；D中，EP与PF方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF正确．2．下列命题正确的是()A．若|a|＜|b|，则a＜bB．若a≠b，则|a|≠|b|C．若|a|＝|b|，则a与b可能共线D．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线解析：选C因为向量不能比较大小，因此A错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误．不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C正确，D错误．3.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有()A．一组B．二组C．三组D．四组解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是()A．与AB相等的向量只有一个(不含AB)B．与AB的模相等的向量有9个(不含AB)C．BD的模为DA模的3倍D．CB与DA不共线解析：选D A项，由相等向量的定义知，与AB相等的向量只有DC，故A正确；B 项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与AB的模相等的向量除AB外有9个，正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝32DA，所以BD＝3DA，故C项正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以CB与DA共线，故D项错误，选D.5．四边形ABCD满足AD＝BC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．解析：∵AD＝BC，∴AD∥BC且|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD是平行四边形．又|AC|＝|BD|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．答案：矩形6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为______．(填图中所画出的向量)解析：∵O 是正三角形ABC 的中心，∴OA ＝OB ＝OC ，易知四边形AOCD 和四边形AOBE 均为菱形，∴与AD 相等的向量为OC ；与OA 共线的向量为DC ，EB ；与OA 的模相等的向量为OB ，OC ，DC ，EB ，AD .答案：OC DC ，EB OB ，OC ，DC ，EB ，AD 7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量． (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量．解：(1)与DE 长度相等的向量是EF ，FD ，AF ，FC ，BD ，DA ，CE ，EB .(2)与FD 相等的向量是CE ，EB(3)与DE 共线的向量是AC ，AF ，FC ；与FD 共线的向量是CE ，EB ，CB .8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，|AB |＝1.解：(1)要使AB ＝0，当且仅当点A 与点B 重合，于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－22.(2)如图，由已知，l ∥m 且点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－22，所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有 |AB 1|2＝|OA |2＋|OB 1|2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1，即|AB 1|＝1.同理可得，当B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，|AB 2|＝1. 综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－22，y ＝－2时，|AB |＝1.。

高中数学2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4

2。

3。

3 向量数量积的坐标运算与度量公式1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算。

(重点）2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系.（难点)［基础·初探]教材整理1 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示阅读教材P112“思考与讨论"以上内容，完成下列问题.1。

向量内积的坐标运算:已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.2。

用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a＝(a1，a2），b＝(b1,b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0。

已知a＝(1,－1），b＝（2，3）,则a·b＝( ）A。

5 B.4C。

－2 D.－1【解析】a·b＝(1,－1)·（2,3）＝1×2＋（－1）×3＝－1.【答案】D教材整理2 向量的长度、距离和夹角公式阅读教材P112～P113内容，完成下列问题。

1。

向量的长度：已知a＝(a1，a2），则|a｜＝错误!。

2。

两点间的距离:如果A（x1,y1）,B（x2,y2)，则｜错误!｜＝错误!。

3.两向量的夹角：设a＝（a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos<a，b>＝错误!。

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)两个非零向量a＝（x1，y1),b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度.（）(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

（)（3）若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.（）【解析】(1）×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°。

(2)√。

由向量数量积定义可知正确。

（3）×。

因为两向量的夹角有可能为180°。

【答案】（1)×（2）√（3)×[质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1:_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问2:_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑:_________________________________________________________［小组合作型］平面向量数量积的坐标运算(1）(2016·安溪高一检测）已知向量a＝(1,2），b＝(2，x），且a·b＝－1，则x的值等于（)A.12B.－错误!C。

_新教材高中数学课时检测2空间向量的数量积含解析新人教B版选择性必修第一册

课时跟踪检测（二）空间向量的数量积[A 级基础巩固]1．已知两向量分别为a ，b ，且|a|＝|b|＝1，a ·b ＝－12 ，则两向量的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b | ＝－12，所以θ＝120°.2．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A ∵p ⊥q 且|p|＝|q|＝1，∴a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q)＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3＋0－2＝1.3．(多选)若a ，b ，c 是空间任意三个向量，λ∈R ，下列关系中，不恒成立的是( ) A ．|a ＋b|＝|b －a| B ．(a ＋b )·c ＝a ·(b ＋c) C ．λ(a ＋b)＝λa ＋λbD ．b ＝λa解析：选ABD 由向量加法的平行四边形法则，只有a ⊥b ，即a ·b ＝0时，才有|a ＋b|＝|b －a|，A 不恒成立；由数量积的运算律有(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ，a ·(b ＋c)＝a ·b ＋a ·c ，a ·b 与b ·c 不一定相等，B 不恒成立；向量数乘法则，C 一定恒成立；只有a ，b 共线且a ≠0时，才存在λ，使得b ＝λa ，D 不恒成立．故选A 、B 、D.4．(多选)如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( )A ．A 1B ―→·B 1C ―→＝a 2B ．AB ―→·AC 1―→＝2 a 2 C ．AB ―→·AO ―→＝12 a 2D ．BC ―→·DA 1―→＝a 2解析：选AC 连接A 1D (图略)，则A 1B ―→·B 1C ―→＝A 1B ―→·A 1D ―→＝|A 1B ―→||A 1D ―→|cos 〈A 1B ―→，A 1D ―→〉＝2 a ×2 a ×cos 60°＝a 2.A 正确．AB ―→·AC 1―→＝AB ―→·(AB ―→＋BC ―→＋CC 1―→)＝AB ―→2＋AB ―→·BC ―→＋AB ―→·CC 1―→＝a 2，故B 错误．AB ―→·AO ―→＝AB ―→·12 AC 1―→＝12 AB ―→·(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→)＝12 (AB ―→2＋AB ―→·AD ―→＋AB ―→·AA 1―→)＝12 AB ―→2＝12 |AB ―→|2＝12 a 2.C 正确．BC ―→·DA 1―→＝BC ―→·(AA 1―→－AD ―→)＝BC ―→·AA 1―→－BC ―→·AD ―→＝－a 2.D 错误．5．在四面体OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3 ，则cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝( )A ．12 B ．22C ．－12D ．0解析：选 D OA ―→·BC ―→＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→)＝OA ―→·OC ―→－OA ―→·OB ―→＝|OA ―→||OC ―→|cos 〈OA ―→，OC ―→〉－|OA ―→||OB ―→|·cos 〈OA ―→，OB ―→〉，因为〈OA ―→，OC ―→〉＝〈OA ―→，OB ―→〉＝π3 ，|OB ―→|＝|OC ―→|，所以OA ―→·BC ―→＝0，所以OA ―→⊥BC ―→，所以cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝0.6．如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱，AB 是一条侧棱，P i (i ＝1，2，…，10)是正方体其余的10个顶点，则AB ―→·AP i ―→(i ＝1，2，…，10)的不同值的个数为________个．解析：当i ＝1，2，3，4，5时，AB ―→⊥AP i ―→，故AB ―→·AP i ―→＝0，当i ＝6，7，8，9，10时，AP i ―→＝AB ―→＋BP i ―→， ∴AB ―→·AP i ―→＝AB ―→·(AB ―→＋BP i ―→)＝AB ―→2＋AB ―→·BP i ―→， ∵AB ―→⊥BP i ―→，∴AB ―→·BP i ―→＝0，∴AB ―→·AP i ―→＝1， ∴AB ―→·AP i ―→(i ＝1，2，…，10)的不同值的个数为2个．答案：27．已知a ，b 是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a －b|＝7 ，则cos 〈a ，b 〉＝________．解析：将|a －b|＝7 两边平方，得(a －b)2＝7.因为|a|＝2，|b|＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18 .答案：188.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为________；B 1C ―→·A 1P ―→＝________．解析：法一：如图，连接A 1D ，则∠PA 1D 就是B 1C ―→与A 1P ―→所成角．连接PD ，在△PA 1D 中，易得PA 1＝DA 1＝PD ＝2 ，即△PA 1D 为等边三角形，从而∠PA 1D ＝60°，即B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为60°.因此B 1C ―→·A 1P ―→＝2 ×2 ×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C ―→·A 1P ―→＝(A 1A ―→＋AD ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AB ―→ ＝AD ―→2＝1.由题意可得PA 1＝B 1C ＝2 ，则2 ×2 ×cos 〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝1，从而〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝60°.答案：60° 19.如图，在空间四边形OABC 中，2BD ―→＝DC ―→，点E 为AD 的中点，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c.(1)试用向量a ，b ，c 表示向量OE ―→；(2)若OA ＝OC ＝3，OB ＝2，∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°，求OE ―→·AC ―→的值．解：(1)∵2BD ―→＝DC ―→，∴BD ―→＝13 BC ―→＝13 (OC ―→－OB ―→)＝13 (c －b)，故OD ―→＝OB ―→＋BD ―→＝b ＋13 (c －b)＝23 b ＋13 c ，∵点E 为AD 的中点，故OE ―→＝12 (OA ―→＋OD ―→)＝12 a ＋13 b ＋16 c.(2)由题意得a ·c ＝92 ，a ·b ＝3，c ·b ＝3，AC ―→＝c －a ，故OE ―→·AC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋13b ＋16c ·(c －a)＝－12 a 2＋16 c 2＋13 a ·c ＋13 b ·c －13 b ·a＝－12 ×9＋16 ×9＋13 ×92 ＋13 ×3－13 ×3＝－32 .10.如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面边长为2 .(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1； (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3 ，求侧棱的长．解：(1)证明：AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→，BC 1―→＝BB 1―→＋BC ―→． ∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1―→·AB ―→＝0，BB 1―→·BC ―→＝0. 又△ABC 为正三角形，∴〈AB ―→，BC ―→〉＝π－〈BA ―→，BC ―→〉＝π－π3 ＝2π3 .∵AB 1―→·BC 1―→＝(AB ―→＋BB 1―→)·(BB 1―→＋BC ―→)＝AB ―→·BB 1―→＋AB ―→·BC ―→＋BB 1―→2＋BB 1―→·BC ―→＝|AB ―→||BC ―→|cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2 ＝－1＋1＝0，∴AB 1⊥BC 1.(2)由(1)知AB 1―→·BC 1―→＝|AB ―→||BC ―→|cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝BB 1―→2－1.又|AB 1―→|＝ AB ―→2＋BB 1―→2 ＝ 2＋BB 1―→2 ＝|BC 1―→|，∴cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝BB 1―→2－12＋BB 1―→2 ＝12 ，∴|BB 1―→|＝2，即侧棱长为2.[B 级综合运用]11．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ―→·AC ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AD ―→＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B ∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→，BC ―→＝AC ―→－AB ―→， ∴BD ―→·BC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝AD ―→·AC ―→－AD ―→·AB ―→－AB ―→·AC ―→＋|AB ―→|2＝|AB ―→|2>0， ∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC ―→，BD ―→〉＝BC ―→·BD ―→|BC ―→||BD ―→| >0，∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角， ∴△BCD 为锐角三角形．12．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有( )A ．(a ·b)c －(c ·a)b ＝0B ．|a|－|b|<|a －b|C ．(b ·a)c －(c ·a)b 不与c 垂直D ．(3a ＋2b )·(3a －2b)＝9|a|2－4|b|2解析：选BD 根据空间向量数量积的定义及性质，可知a ·b 和c ·a 是实数，而c 与b 不共线，故(a ·b)c 与(c ·a)b 一定不相等，故A 错误；因为[(b ·a)c －(c ·a)b ]·c ＝(b ·a)c 2－(c ·a)(b ·c)，当a ⊥b ，且a ⊥c 或b ⊥c 时，[(b ·a)c －(c ·a)b ]·c ＝0，即(b ·a)c －(c ·a)b 与c 垂直，故C 错误；由向量两两不共线，可得B 正确；由运算律可得D 正确，故选B 、D.。

高中数学(人教B版)必修第二册：向量基本定理【精品课件】

λ=μ.
激趣诱思
知识点拨
名师点析对共线向量基本定理的理解
(1)共线向量基本定理中条件“a≠0”必不可少,这是因为如果a=0,则
一定有b与a共线(零向量与任意向量共线),此时b有两种情况:
①b=0;②b≠0.若b=0,此时b=λa中的λ有无数个;若b≠0,此时不存在λ
使得b=λa成立.这两种情况违背λ“存在且唯一”的特点.
其中正确的结论的序号为
.
解析:如图,
1
1
= + =-b+2 =-b-2a,①正确;
1
= + =a+2b,②正确;
1
1
1
1
= + =-b-a, = + 2 =b+2(-b-a)=2b-2a,③正确;
④ =
1
1
=-2a,④不正确.
性.唯一性是指如果c=xa+yb=μa+vb,那么x=μ且y=v.
(3)当a与b不共线时,xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为
0.
激趣诱思
知识点拨
2.基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上
向量的一组基底,此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下
若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=
b.
5
解析:由题意知a=- 7 b.
5
答案:-
7
微拓展
对于任意两个向量a,b,若存在不全为0的实数对(λ,μ)使λa+μb=0,则
a与b共线.
激趣诱思
知识点拨
微练习 2
已知向量 a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三

新教材高中数学第一章空间向量与立体几何加练课1空间向量的运算及其应用课件新人教B版选择性必修第一册

2
+ ) −
p+r⋅p
2 cos 60∘ − 2 ) = 0.
∴ ⊥
（2）求||；
1

2
− p2 )
=
=
1
(
2
+ − )，
1
(2 cos 60∘
2
+
[答案] 由（1）可知 =
1
( +
2
∴∣
∣2 =
− )，
1
( + − )2
4
1 2
= + 2 + 2 + 2 ⋅ − ⋅ − ⋅
2. 若，，是空间的一组基底，则，，中至多有一个零向量.( )
×
3. 若对于非零向量，有 ⋅ = ⋅ ，则 = .( ) ×
二、夯实基础，自我检测
4. 已知 = (1， −
A.
2
3
3
5
， )，
2
2
B.
= (−3，， −
9
2
C.
所以1 =
解得 =
1
− ，
3
=
=
为的中点，所以 (
3 1
, , 0)
2 2
.点为的中点，所以
(−
2
3
1

, − , 0),设（，，），因为
4
4

= 4[( +
3 2
)
4
+ (
1 2
+ )
4
= 2，所以( + 3)2 + ( + 1)2 +
+ 2 ]，化简得 2 + 2 + 2 = 1，所以点在以

高中数学人教B版选修4-5学业分层测评第1章 1.2 基本不等式 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题.设>，>，且＋≤，则有( )＋≥≥≤≥【解析】≥＋≥，∴≤，∴≥，＋≥≥.【答案】.设，∈，＞，＞，若＝＝，＋＝，则＋的最大值为( )【解析】因为，∈，＞，＞，且＝＝，＋＝，所以＝，＝，＋＝＋＝＋＝()，由均值定理，≤＝，故＋＝＋＝＋＝()≤＝.【答案】.设＞，＞，若是与的等比中项，则＋的最小值为( )【解析】由题意，知·＝，即＋＝，故＋＝.因为＞，＞，所以＋＝·(＋)＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝时，等号成立.【答案】.已知＝＋＋(＞)，＝(＜)，则，之间的大小关系是( )【导学号：】＞＜＝≤【解析】因为＞，所以＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝时，等号成立.又因为＜，所以＝＜＝，所以＞.【答案】.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为元.若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )件件件件【解析】每批生产件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥＝，当且仅当＝，即＝时“＝”成立，∴每批应生产产品件，故选.【答案】二、填空题.已知＜，则函数＝＋的最大值为.【解析】因为＜，所以－＜，所以－＞.所以＝＋＝(－)＋＋＝－＋≤－＋＝，当且仅当－＝，即＝时，等号成立.故当＝时，取最大值，即＝.【答案】.设点(，)在直线＋＝位于第一象限内的图象上运动，则＋的最大值是.【解析】要求＋的最大值，即求()的最大值，应先求的最大值.显然当＝＝时，的最大值为，故＋的最大值为－.【答案】－.函数＝(＋)－(＞，≠)的图象恒过定点，若点在直线＋＋＝上，其中＞，则＋的最小值为.【导学号：】【解析】因为＝(＋)－恒过点(－，－)，所以(－，－).因为在直线上，所以－－＋＝，即＋＝.又因为＞，所以＞，＞.又因为＋＝＋＝＋＋＋≥＋＝，当＝，＝时，等号成立，所以＋的最小值为.。