湖北省武汉市 八年级(下)期末数学试卷

八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.函数y=中自变量x的取值范围是（）
A. B. C. D.
2.已知三角形三边的长分别为3、2、，则该三角形的形状是（）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
3.在平行四边形中，不一定具有下列性质的是（）
A. 对边相等
B. 对边平行
C. 对角线相等
D. 内角和为
4.如图分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y不是x的函数是（）
A. B.
C. D.
5.如果一组数据3、4、x、5的平均数是4，那么x的值为（）
A. 2
B. 3
C.
D. 4
6.已知A(x1，y1)、B(x2，y2)，是一次函数y＝－2x＋3的图象上的点．当x1＞x2时，y1、
y2的大小关系为（）
A. B.
C. D. 以上结论都有可能
7.如图，函数y=kx和y=ax+b的图象相交于点A（1，3），
则不等式kx≥ax+b的解集为（）
A.
B.
C.
D.
8.如图所示，购买水果所付金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象，则一
次购买5千克这种水果比分五次每次购买1千克这种水果可节省（）元
A. 10
B. 6
C. 5
D. 4
9.如图，在3×3的网格中（每一个小正方形的边长为1），直
角△ABC的顶点均在格点．若△ABC的面积为，则满足条件
的直角三角形有（）
A. 12个
B. 16个
C. 20个
D. 24个
10.已知函数y=（k-1）x+2k-1与y=|x-1|，当满足0≤x≤3时，两个函数的图象存在2个
公共点，则k满足的条件是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.计算：=______．
12.已知直角三角形的两直角边分别为5、12，则另一条边是______．
13.一组数据2、3、x、4的众数与平均数相等，则x=______
14.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=2，三角形的中线BE、CD
交于点O，点F、G分别为OB、OC的中点．若四边形DFGE
是正方形，则△ABC的面积为______
15.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，
分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原
地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的
整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的
时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米．16.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，
直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离
为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线
EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17.计算：
（1）
（2）
四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）
18.如图，正方形ABCD中，点P为BC的中点，求证：AP=DP．
19.已知一次函数的图象经过（-1，0）和（1，4）两点，求一次函数的解析式
20.某校在七年级设立了六个课外兴趣小组，每个参加者只能参加一个兴趣小组，下面
是六个兴趣小组不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解决下列问题：
（1）七年级共有______人参加了兴趣小组；
（2）体育兴趣小组对应扇形圆心角的度数为______；
（3）以各小组人数组成一组新数据，求这组新数据的中位数．
21.学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3
只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B 型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22.如图，直线l：y=2x+4
（1）①直接写出直线l关于y轴对称的直线l1的解
析式______
②直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l2
的解析式______
（2）在（1）的基础上，点M是x轴上一点，过点
M作x轴的垂线交直线l1于点Q、交直线l2于点P．若
PM=2PQ，求M点的坐标
23.如图，已知正方形ABCD的边长是2，点P沿A→B→C→D运动，到达点D停止
（1）连接PD，设点P运动的距离为x，请用x表示△APD的面积y（直接写出结果）；
（2）作DE⊥AP于点E
①如图2，点P在线段BC上，将△APB沿AP翻折得到△APB′，连接DB′，求
∠B′DE的度数；
②连接EC，若△CDE是等腰三角形，则DE=______（直接写出结果）．
24.已知直线a：y=（x+1）k+1与x轴交于点P、与y轴交于点Q
（1）直线a经过定点A，则点A的坐标为：______（直接写出结果）
（2）直线b：y=（k-1）x+k与y轴交于点M，与直线a交于点B，求证：无论k取何值，△BQM的面积为定值
（3）如图，过点Q在第二象限内作线段CQ⊥PQ，且CQ=AQ，连接AC，取AC的中点D．当k的值从3逐步变化到1时，求点D运动的路径长
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：由题意得，1-x≥0，
解得x≤1．
故选C．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2.【答案】B
【解析】
解：∵22+（）2=32，
∴该三角形是直角三角形，
故选：B．
两小边的平方和等于最长边的平方，即可由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和
与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3.【答案】C
【解析】
解：因为平行四边形对边相等，对边平行，内角和为360°，对角线不一定相等，故选：C．
根据平行四边形的性质即可判断．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是记住平行四边形的性质，属于中
解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以B中y不是x的函数．
故选：B．
函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
5.【答案】D
【解析】
解：根据题意知=4，
解得：x=4，
故选：D．
运用平均数的计算公式即可求得x的值．
本题考查的是样本平均数的求法及运用，即平均数公式：=．
6.【答案】A
【解析】
解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=-2x+3的图象上的点，
∴y1=-2x1+3，y2=-2x2+3，
又∵x1＞x2，
∴-2x1+3＜-2x2+3，即y1＜y2．
故选：A．
利用一次函数图象上点的坐标特征可得出y1=-2x1+3、y2=-2x2+3，结合x1＞x2即可得出y1＜y2，此题得解（利用一次函数的性质解决该题亦可）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
解：函数y=kx和y=ax+b的图象相交于点A（1，3），
由图可知，不等式kx≥ax+b的解集为x≥1．
故选：A．
以交点为分界，结合图象写出不等式kx≥ax+b的解集即可．
本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合
8.【答案】B
【解析】
解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将（2，20）、（4，36）代入y=kx+b中，
，解得：，
∴y=8x+4（x≥2）．
当x=5时，y=44．
∵x=1时，y=10，
50-44=6，
则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省6元，故选：B．
求出直线AB的解析式即可解决问题；
本题考查了一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】D
【解析】
解：设直角三角形的两直角边是a和b
∵△ABC的面积为
∴ab=
∴ab=3
又：直角△ABC的顶点均在格点上，小正方形的边长为1．
∴它的两直角边的长度为1和3满足条件．
如图所示，取线段AB，可构造两个符合要求的三角形．
类似图中线段AB的线段共有12条，每条线段可以构造两个三角形
所以，总共可以找到的三角形个数是：12×2=24（个）
故选：D．
通过直角三角形的面积可以得到两直角边的乘积是3，结合各顶点在格点的
要求，可以知道直角边为1和3满足要求，通过作图探索，可以发现这样的三角形共有24个．
这是典型的探索格点三角形个数的题目，重在考察学生对直角三角形的认识、面积的计算方法、直观想象能力．作答此类题目，要做到数三角形的个数时“不重不漏”．
10.【答案】D
【解析】
解：由已知，当x=-2时，y=2（k-1）+2k-1=2
∴函数y=（k-1）x+2k-1的图象过定点A（-2，1）
如图：
y=|x-1|的图象如图为折线BCD，其中点B（0，1），C（1，0），D（3，2）
当函数y=（k-1）x+2k-1的图象过点C（1，0）时，与折线BCD恰一个交点
k=
当过直线过点A、B时，AB∥x轴，直线AB与折线BCD有两个交点
此时，k-1=0
∴k=1
故选：D．
观察函数y=（k-1）x+2k-1图象，其过定点A（-2，1）则其图象绕点A旋转，且画出y=|x-1|的图象，将y=（k-1）x+2k-1的图象旋转找到临界点．
本题考查了一次函数图象性质和临界点问题．本题解题关键在于发现带有参数的函数解析式过定点．
11.【答案】2
【解析】
解：==2．
故答案为2．
根据算术平方根的性质进行化简，即=|a|．
此题考查了算术平方根的性质，能够能够算术平方根的性质进行化简，是一道基础题．
12.【答案】13
【解析】
解：在直角三角形中，已知两直角边为5、12，
则另一条边为斜边，边长为=13，
故答案为13．
在直角三角形中，三边边长符合勾股定理，已知两直角边为5、12，则另一条边即斜边可以根据勾股定理求解．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理求第三边是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】
解：当这组数的众数是2时，则平均数是：（2+x+3+4）=2，
解得：x=-1，
当这组数的众数是3时，则平均数是：（2+x+3+4）=3，
解得：x=3，
当这组数的众数是4时，则平均数是：（2+x+3+4）=4，
解得：x=7，
则x=3时，数据2、3、x、4的众数与平均数相等；
故答案为：3．
根据众数和平均数的定义以及众数与平均数相等，分别进行解答即可．
此题考查了众数和平均数，注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
14.【答案】3
【解析】
解：∵四边形DFGE是正方形，
∴DG⊥EF，OE=OF，OD=OG，∠EGF=90°，
∵CD是△ABC的中线，
∴S△BDC=S△ADC，
∵点F、G分别为OB、OC的中点，
∴FG是△OBC的中位线，
∴FG=BC=1，
由勾股定瑆得：DG=EF=，
∴OD=OG=CG=，
∴CD=，OB=，
∴S △ABC=2S△BDC=2××CD×OB=×=3，
故答案为：3．
先根据三角形中线平分三角形面积得：S△BDC=S△ADC，再根据三角形中位线定理计算GF=1，即正方形DFGE为1，可得对角线的长为，根据三角形面积公式可得结论．
本题考查了三角形的面积、中线和中位线定理，正方形的性质，熟练掌握这些定理是本题的关键．
15.【答案】175
【解析】
解：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，
设乙的速度为m米/秒，则（m-2.5）×（180-30）=75，
解得：m=3米/秒，
则乙的速度为3米/秒，
乙到终点时所用的时间为：=500（秒），
此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），
甲距终点的距离是1500-1325=175（米）．
故答案为：175．
根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点时甲所走的路程，最后用总路程-甲所走的路程即可得出答案．
本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．
16.【答案】2或4-2
【解析】
解：如图，当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵AB=4，AD=BC=2，
∴AD=AE=EB=BC=2，
∴△ADE、△ECB是等腰直角三角
形，
∴∠AED=∠BEC=45°，
∴∠DEC=90°，
∵l∥EC，
∴ED⊥l，
∴EM=2=AE，
∴点A、点M关于直线EF对称，
∵∠MDF=∠MFD=45°，
∴DM=MF=DE-EM=2-2，
∴DF=DM=4-2．
当直线l在直线EC下方时，
∵∠DEF1=∠BEF1=∠DF1E，
∴DF
=DE=2，
1
综上所述DF的长为2或4-2．
故答案为2或4-2．
当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，只要证明△DFM是等腰
直角三角形即可利用DF=DM解决问题，当直线l在直线EC下方时，由∠DEF1=∠BEF1=∠DF1E，
得到DF1=DE，由此即可解决问题．
本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是正确画出图形，注意有两种情形，属于中考常考题型．
17.【答案】解：（1）原式=3-=；
（2）原式=2-．
【解析】
（1）原式化简后，合并即可得到结果；
（2）原式利用多项式除以单项式法则即可求出值．
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵P是BC中点，
∴BP=CP，
∴△ABP≌△DCP．
∴AP=DP．
【解析】
正方形的四边相等，四个角是直角，即AB=DC，∠B=∠C，且BP=PC，很容易
证得△ABP≌△DCP，从而可得到结论．
本题考查正方形的性质，四边相等，四个角相等，以及全等三角形的判定和
性质．
19.【答案】解：设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），
由题意，得，
解得．
则该函数的解析式为y=2x+2．
【解析】
设函数解析式为y=kx+b（k≠0），将（-1，0）和（1，4）分别代入解析式，组成关于k、b的方程组，解方程组即可．
本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意设出函数解析式，把已知点的坐标代入得出关于k、b的方程组是解答此题的关键．
20.【答案】320；108°
【解析】
解：（1）七年级参加了兴趣小组的人数为：32÷10%=320人．
故答案为：320．
（2）体育兴趣小组对应扇形圆心角的度数为360×=108°．故答案为：108°．
（3）将各小组人数组成的数据按从小到大的顺序排列为：16，32，48，64，64，
96，中间两个分别是48，64，所以中位数是（48+64）÷2=56．
（1）根据总人数=参加某项的人数÷所占比例求解即可；
（2）根据体育兴趣小组对应扇形圆心角的度数=360°×对应的百分比计算．（3）将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数（或中间两个数据的平均数）就是这组数据的中位数求解．
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及中位数；解题的关键是读懂统计图，从中获得准确的信息．
21.【答案】解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据题意，得：，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购进A型节能灯m只，总费用为W元，
根据题意，得：W=5m+7（50-m）=-2m+350，
∵-2＜0，
∴W随m的增大而减小，
又∵m≤3（50-m），解得：m≤37.5，
而m为正整数，
∴当m=37时，W最小=-2×37+350=276，
此时50-37=13，
答：当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱．
【解析】
（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据：“1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元”列方程组求解即可；
（2）首先根据“A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型灯的只数之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
22.【答案】y=-2x+4；y=2x
【解析】
解：①如图，记直线y=2x+4与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，
∴A（-2，0），B（0，4），
∴点B关于y轴的对称点C的坐标为（2，0），
设直线l1的解析式的解析式为y=kx+4，
∴2k+4=0，
∴k=-2，
∴直线l1的解析式y=-2x+4；
②直线l：y=2x+4向右平移2个单位得到的直线l2的解析式y=2（x-2）+4=2x，故答案为y=-2x+4，y=2x；
（2）如图，
设点M（m，0），
∵点P在直线l2：y=-2x+4上，
∴P（m，-2m+4），
∵点Q在直线l1：y=2x+4上，
∴Q（m，2m+4），
∴PM=|-2m+4|，PQ=|-2m+4-（2m+4）|=4|m|，
∵PM=2PQ，
∴|-2m+4|=2×4|m|，
∴m=-或m=，
∴M（-，0）或（，0）．
（1）①先求出点A，B坐标，再利用对称性求出点C坐标，最后利用待定系数法即可得出结论；
②利用平移的性质即可得出结论；
（3）设出点M坐标，进而表示出点P，Q坐标，即可表示出PM，PQ，最后建立方程求解即可得出结论．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，对称的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
23.【答案】2或或
【解析】
解：（1）分三种情况：①当点
P在边AB上时，如图1，
0≤x≤2，
y=S△APD=AP•AD=
x•2=x；
②当点P在边BC上时，如
图2，2＜x≤4，
y=S△APD=AP•AD=×2×2=2，
③当点P在边CD上时，如图3，4＜x≤6，
∴S△APD=PD•AD=（6-x）×2=6-x；
（2）①如图4，过A作AF⊥B'D于F，交DE于G，由折叠得：AB=AB'，∠BAP=∠B'AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠B'AF=∠DAF，
∴∠B'AP+∠B；AF=∠BAP+∠DAF=∠BAD=45°，即∠EAG=45°，
∴∠AGE=∠FGD=45°，
∴∠B'DE=45°；
②当P在边AB上时，如图1，此时E与A重合，∴ED=DC=2，
当P在边BC上时，如图5，当DE=EC时，
过E作GF⊥CD于F，交AB于G，则FG⊥AB，DF=FC=1，
∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
易得△AGE∽△EFD，
∴，
∴，
∴EF=1，
∴DE=，此时P与C重合；
当点P在边BC上，如图6，CE=CD时，
过C作CQ⊥ED于Q，则DQ=EQ，
设DQ=x，则DE=2x，
∵AD=CD，∠ADE=∠DCQ，∠AED=∠DQC=90°，
∴△AED≌△DQC，
∴AE=DQ=x，
由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，
∴x2+（2x）2=22，
∴x=，
ED=；
综上所述，ED的长是2或或．
（1）分三种情况：点P分别在边AB、BC、CD上，根据三角形面积公式可得：y 与x的关系式子；
（2）①如图4，过A作AF⊥B'D于F，交DE于G，根据∠BAP=∠B'AP，
∠B'AF=∠DAF，得∠EAG=45°，可得∠B'DE=45°；
②分三种情况：E与A重合时，ED=2；
P与C重合时，ED为对角线的一半，ED=；
当CE=CD时，如图6，根据等腰三角形的性质和三角形全等可得AE的长，从而得DE的长．
此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积及动点问题．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
24.【答案】（-1，1）
【解析】
解：（1）y=（x+1）k+1中，当x=-1时，y=1，
∴直线a经过定点A（-1，1），
故答案为：（-1，1）；
（2）由，解得，
即B（-1，1），
将x=0代入y=（k-1）x+k，可得y=k，
即M（0，k）．
将x=0代入y=（x+1）k+1，可得y=k+1，
即Q（0，k+1），
∵S△BQM=QM•|x B|=×1×1=，
∴无论k取何值，△BQM的面积为定值；
（3）如图，过A作AM⊥y轴于M，连接DQ、DM，过D作DN⊥DM交MA的延长线于N点，
∵三角形ADQ是等腰直角三角形，
∴AD=DQ，
又∵∠ADN+∠ADM=∠QDM+∠ADM=90°，
∴∠ADN=∠QDM，
∴△ADN≌△QDM（ASA），
∴AN=QM=k+1-1=k，NM=AN+AM=k+1，
∠QMD=∠AND=45°，
∴点D的运动轨迹为直线DM，
∵△MDN为等腰直角三角形，MN∥x轴，
∴D（，），
设，
当k=3时，D1（-2，3），
当k=1时，D2（-1，2），
∴D
D2==．
1
（1）根据y=（x+1）k+1中，当x=-1时，y=1，即可得到直线a经过定点A（-1，1）；（2）通过解方程组即可得到两直线交点B（-1，1），将x=0代入y=（k-1）x+k，可得M（0，k）．将x=0代入y=（x+1）k+1，可得Q（0，k+1），依据S△BQM=
QM•|x B|=×1×1=，可得无论k取何值，△BQM的面积为定值；
（3）过A作AM⊥y轴于M，连接DQ、DM，过D作DN⊥DM交MA的延长线于N点，判定△ADN≌△QDM，可得AN=QM=k+1-1=k，NM=AN+AM=k+1，
依据D （
，），设，根据k=3时，D1（-2，3），k=1时，D2
（-1，2），即可得到点D运动的路径长．
本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及两点间距离公式的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等求解．
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