华东师大版八年级上册数学课件12.5第2课时公式法
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华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
1因式分解第2课时公式法因式分解课件华东师大版数学八年级上册
试一试：
(a+2b)·(a-2b)=____a_2_-_4_b_2 __； (a+2)·(a-2)=_____a_2-_4_____.
视察上面两个等式，可以得到： a2-4b2=( a+2b)(a-2b )； a2-4 =( a+2 )( a-2 ).
想一想：根据整式乘法和因式分解的互逆关系，你 对因式分解的方法有什么新的发现？
解： (1) 73.562-26.442 =(73.56+26.44)(73.56-26.44) =100×47.12 =4 712；
(2) 8002-2×800×799&知x-y=1，xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：因为x-y=1，xy=2， 所以x3y-2x2y2+xy3 = xy(x2-2xy+y2) = xy(x-y)2 = 2×1 = 2．
➢ 完全平方公式中的字母a，b不仅可以代表数，还可以 代表单项式或多项式.
把乘法公式的等号两边互换位置， 就可以得到用于分解因式的公式， 用来把某些具有特殊情势的多项 式分解因式，这种因式分解的方 法叫做公式法.
例2 分解因式： (1) x2+4xy+4y2；
解: (1) x2+4xy+4y2 = x2+2·x ·2y + (2y)2 = (x+2y)2；
把整式乘法的平方差公式，反过来就得到因式分解 的公式：
(a+b)(a-b)
整式乘法 因式分解
a2-b2
根据a2-b2 = (a+b)(a-b)可知：
➢ 等式左边为两个数平方的差， 等式右边为两个数的和与这两个数的差的积. 即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的 差的积.
2022秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解2公式法__平方差公式课件新版华东师大版
答案显示
a2－b2＝_(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_，即两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积．
1．【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分 解因式的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
2．【中考·济宁】多项式4a－a3分解因式的结果是( B ) A．a(4－a2) B．a(2－a)(2＋a) C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
(3)因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用a2－b2＝(a＋ b)(a－b)简算：
①999.92－0.12；
解：999.92－0.12 ＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1) ＝999.8×1 000 ＝99962 ＝356－3316×356＋3316 ＝－1138×1 ＝－1138.
任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)说明这个规律的正确性．
解：设m、n为两个整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和 2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当 m、n同是奇数或同是偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m －n)一定是8的倍数；②当m、n一奇一偶时，m＋n＋1一 定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述， 任意两个奇数的平方差是8的倍数．
【点拨】设较小的偶数为2n，则较大的偶数为2n＋2， 则(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2) ＝4(2n＋1)． ∴能被4整除，故选C.
15．【中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的
密码手册中，有这样一条信息：a－b、x－y、x＋y、
a＋b、x2－y2、a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱
12.5 因式分解(第2课时 运用两数和乘以这两数的差公式因式分解)
5652 4352
利用因式分解计算
巩固
4. 计算：
(65 1 )2 (34 1 )2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
4 ( )2
3 ( )2
结论：
a ( a )2 (a 0)
范例 例4 在实数范围内因式分解：
(1)x2 3
(2) 5 4a2
巩固 5.在实数范围内因式分解：
4
范例 例2 因式分解：
(1)16(x y)2 9(x y)2 (2) 4 (2m n)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4. 把下列各式因式分解：
(1)(a b)2 c2 (2)( x p)2 (x q)2 (3)( x y)2 (z m)2
范例 例3 简便计算：
作业
2.已知 a b 3, a2 b2 12， 求 a b 的值。
范例 例1 因式分解：
(1)x2 4 (2) 4n2 9m2
先确定a2和b2
巩固
2.下列多项式能否用两数和乘以这两数 的差的公式因式分解？
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a2和b2的符号相反
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
巩固 3. 因式分解：
(1) 9 4x2 (2)x2 y2 1 z2
探究
Ⅰ.怎样将多项式 a 2 b2 进行因式分
解？
(a b)(a b) a2 b2
整式乘法
a2 b2 (a b)(a b)
因式分解
归纳
因式分解方法
公式法分解因式：
两数的平方差，等于这两数的和 与这两数差的积。
利用因式分解计算
巩固
4. 计算：
(65 1 )2 (34 1 )2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
4 ( )2
3 ( )2
结论：
a ( a )2 (a 0)
范例 例4 在实数范围内因式分解：
(1)x2 3
(2) 5 4a2
巩固 5.在实数范围内因式分解：
4
范例 例2 因式分解：
(1)16(x y)2 9(x y)2 (2) 4 (2m n)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4. 把下列各式因式分解：
(1)(a b)2 c2 (2)( x p)2 (x q)2 (3)( x y)2 (z m)2
范例 例3 简便计算：
作业
2.已知 a b 3, a2 b2 12， 求 a b 的值。
范例 例1 因式分解：
(1)x2 4 (2) 4n2 9m2
先确定a2和b2
巩固
2.下列多项式能否用两数和乘以这两数 的差的公式因式分解？
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a2和b2的符号相反
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
巩固 3. 因式分解：
(1) 9 4x2 (2)x2 y2 1 z2
探究
Ⅰ.怎样将多项式 a 2 b2 进行因式分
解？
(a b)(a b) a2 b2
整式乘法
a2 b2 (a b)(a b)
因式分解
归纳
因式分解方法
公式法分解因式：
两数的平方差，等于这两数的和 与这两数差的积。
12.5 因式分解 第2课时 公式法 【八年级上册数学(华东师大版)】
解：∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab －2bc－2ac＝0，∴a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋a2＋c2－2ac＝0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，c－a ＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形
原创新课堂
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3．因式分解： (1)(2017·河池)x2－25＝_(_x_＋__5_)(_x_－__5_)_； (2)(孝感中考)(a－b)2－4b2＝__(a_＋__b_)_(a_－__3_b_)__．
4．(例题1变式)因式分解： (1)4a2－64； 解：原式＝4(a＋4)(a－4)
(2)9x2－ 1 y2.
b2＝40，∴a－b＝2.将 a－b＝2 与 a＋b＝20 联立成方程组，解
得 a＝11，b＝9，∴a2＝121，b2＝81，答：这两个花坛的面积分
别为 121 m2 和 81 m2
16．如果△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足等式a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，试说明△ABC是等边三 角形．
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第十二章 整式的乘除
12．5 因式分解
第2课时 公式法
华师专版·八年级上册
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1．下列多项式不能用平方差公式分解因式的是( D ) A．－a2＋b2 B．16m2－25m4 C．2x2－ 1 y2 D．－4x2－9
2
2．下列因式分解正确的是( D ) A．a2－2b2＝(a＋2b)(a－2b) B．－x2＋y2＝(－x＋y)(x－y) C．－a2＋9b2＝－(a＋9b)(a－9b) D．4x2－0.01y2＝(2x＋0.1y)(2x－0.1y)
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9．两个连续奇数的平方差是( B ) A．6的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．16的倍数
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3．因式分解： (1)(2017·河池)x2－25＝_(_x_＋__5_)(_x_－__5_)_； (2)(孝感中考)(a－b)2－4b2＝__(a_＋__b_)_(a_－__3_b_)__．
4．(例题1变式)因式分解： (1)4a2－64； 解：原式＝4(a＋4)(a－4)
(2)9x2－ 1 y2.
b2＝40，∴a－b＝2.将 a－b＝2 与 a＋b＝20 联立成方程组，解
得 a＝11，b＝9，∴a2＝121，b2＝81，答：这两个花坛的面积分
别为 121 m2 和 81 m2
16．如果△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足等式a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，试说明△ABC是等边三 角形．
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第十二章 整式的乘除
12．5 因式分解
第2课时 公式法
华师专版·八年级上册
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1．下列多项式不能用平方差公式分解因式的是( D ) A．－a2＋b2 B．16m2－25m4 C．2x2－ 1 y2 D．－4x2－9
2
2．下列因式分解正确的是( D ) A．a2－2b2＝(a＋2b)(a－2b) B．－x2＋y2＝(－x＋y)(x－y) C．－a2＋9b2＝－(a＋9b)(a－9b) D．4x2－0.01y2＝(2x＋0.1y)(2x－0.1y)
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9．两个连续奇数的平方差是( B ) A．6的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．16的倍数
新华师大版八年级上册初中数学 类型二 公式法 教学课件
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. “两个数”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可
以是多项式.
第五页，共三十二页。
新课讲解
知识点1 用平方差公式分解因式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a2 - b2
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两 个数的平方差 .
第十页，共三十二页。
新课导入
思考
a2+b2+2ab和a2+b2-2ab
上面多项式有什么特点？ 可以化为两个数的和或差的平方的形式. 能用提公因式法或平方差公式来分解因式吗？ 不能.没有公因式也不符合平方差公式.
第十一页，共三十二页。
新课导入
思考
a2+b2+2ab和a2+b2-2ab
能用完全平方公式来解决这个问题吗？
分析：在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 4 x2 － 9 =(2 x) 2 －3 2 ，即可用 平方 差公式分解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式； (1) 4x2 － 9 =(2 x ）2 － 3 2= (2x ＋ 3)(2x － 3)；
在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整体，设x ＋ p = m， x ＋ q = n ，则
（3） a2+ab+b2；不是
（4） a2 -4a+4 ．是，(a-2)2
第十六页，共三十二页。
新课讲解
知识点1 用完全平方公式分解因式
完全平方公式：把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(ab)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2.
以是多项式.
第五页，共三十二页。
新课讲解
知识点1 用平方差公式分解因式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a2 - b2
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两 个数的平方差 .
第十页，共三十二页。
新课导入
思考
a2+b2+2ab和a2+b2-2ab
上面多项式有什么特点？ 可以化为两个数的和或差的平方的形式. 能用提公因式法或平方差公式来分解因式吗？ 不能.没有公因式也不符合平方差公式.
第十一页，共三十二页。
新课导入
思考
a2+b2+2ab和a2+b2-2ab
能用完全平方公式来解决这个问题吗？
分析：在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 4 x2 － 9 =(2 x) 2 －3 2 ，即可用 平方 差公式分解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式； (1) 4x2 － 9 =(2 x ）2 － 3 2= (2x ＋ 3)(2x － 3)；
在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整体，设x ＋ p = m， x ＋ q = n ，则
（3） a2+ab+b2；不是
（4） a2 -4a+4 ．是，(a-2)2
第十六页，共三十二页。
新课讲解
知识点1 用完全平方公式分解因式
完全平方公式：把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(ab)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2.
【华师大版】八年级上册数学12.5.2 公式法PPT课件
精选
例2 分解因式：
(1) x4 y 4 ;
解： (1)原式 ( x 2) ( y
2
(2) a3 b ab.
2
2
2 2 2
) ( x y )( x y ) 2 2 ( x y )( x y)( x y);
2
(2)原式 ab( ……二套（公式）
它们有什么关系？
1. a(x+y)=ax+ay 2. ax+ay=a(x+y) 整式乘法 因式分解
它们是互为方向相反的变形
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提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取 出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法.
pa+ pb +pc = p ( a+b+c )
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
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…………一提（公因式）
9
二 运用完全平方公式因式分解
2 2 完全平方公式: a 2ab b =（a ± b）2
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解. a2 ± 2 . a . b + b2 = (a ± b)²
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2 2 首2 2 首 尾 尾 ( 首 尾 ) 中小学课件精品
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利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
12-5 第2课时 公式法(一)(课件)华东师大版八年级数学上册
(3)(a－b)3＋(b－a)．
解：原式＝(a－b)3－(a－b) ＝(a－b)[(a－b)2－1] ＝(a－b)(a－b＋1)(a－b－1)．
能力提升 9．计算252120－0022482的结果为 500 ． 10．若 a、b 为一元二次方程a＋3b＝8，的解，则 a2－9b2＝ 56 ．
2a－6b＝14
式；(3)先提公因式，再利用公式分解因式．
【答案】解：(1)原式＝(3m)2－n2 ＝(3m＋n)(3m－n)． (2)原式＝22－(2a＋1)2 ＝[2＋(2a＋1)][2－(2a＋1)] ＝(3＋2a)(1－2a)． (3)原式＝ab(x2－y2) ＝ab(x＋y)(x－y)．
【方法归纳】利用公式时，一定注意公式中的字母可以表示单独一个数或 字母，也可以表示一个整式．因式分解需注意两个问题：一是有公因式要 先提取公因式；二是因式分解要分解到不能再分解为止．
1．下列各式能用平方差公式分解的是( C )
A．－14a2－b2
B．a2＋b2
C．－(a＋b)2＋(a－2b)2
D．x2－2x＋1
2．将下列各式分解因式：
(1)9－(2－x)2； 解：原式＝32－(2－x)2 ＝[3＋(2－x)][3－(2－x)] ＝(5－x)(1＋x)．
(2)169(a＋b)2－121(a－b)2； 解：原式＝[13(a＋b)]2－[11(a－b)]2 ＝[13(a＋b)＋11(a－b)][13(a＋b)－11(a－b)] ＝(24a＋2b)(2a＋24b) ＝4(12a＋b)(a＋12b)．
在绿心公园的长凳上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个青年，他们 在交谈．老人说：“我俩的年龄的平方差是 195……”不等老人说完，年 轻人就说：“真巧，我俩年龄的平方差也是 195.”这时，一对中年夫妇也 凑过来说：“真是巧极了，我俩年龄的平方差也是 195.”已知这三对人的 年龄都是正整数，现在请你计算，这三对人的年龄各是多少岁．
八年级数学上册第十二章因式分解第2课时公式法作业课件新版华东师大版ppt
一、选择题(每小题3分，共12分) 11．分解因式2x2－4x＋2的最终结果是( C ) A．2x(x－2) B．2(x2－2x＋1) C．2(x－1)2 D．(2x－2)2
12．a4－(b2＋2ab)2 分解因式的结果是( B ) A．(a2＋b2＋2ab)(a2－b2－2ab) B．(a＋b)2(a2－b2－2ab) C．(a＋b)2(a－b)2 D．(a2－b2－2ab)2
(2)5752－4252. 解：150 000
用完全平方公式分解因式 5．(2 分)把多项式 x2－4x＋4 分解因式，所得结果是( C ) A．x(x－4)＋4 B．(x－2)(x＋2) C．(x－2)2 D．(x＋2)2
6．(2 分)下列多项式：①x2＋xy－y2；②－x2＋2xy－y2；③x2＋xy＋ y2；④1－x＋x42 .其中能用完全平方公式分解因式的有( D ) A．①② B．①③ C．①④ D．②④
9．(2 分)利用完全平方公式计算： 2×1012＋2×101×98＋2×492＝__4_5_0_0_0___．
10．(8分)把下列各式因式分解： (1)4x2＋y2－4xy； 解：(2x－y)2
(2)9－12a＋4a2； 解：(3－2a)2
(3)x3－6x2＋9x； 解：x(x－3)2
(4)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 解：(m＋n－3)2
7．(6分)因式分解： (1)(张家界中考)a2＋2a＋1＝___(_a_＋__1_)2______； (2)(威海中考)－12 a2＋2a－2＝_－__12__(a_－__2_)_2____．
(3)(2019·沈阳)－x2－4y2＋4xy＝－__(_x_－__2_y_)_2 ____．
8．(4 分)(1)(2019·桂林)若 x2＋ax＋4＝(x－2)2，则 a＝_－__4_． (2)当 m＋n＝3 时，式子 m2＋2mn＋n2 的值为__9__.
八年级数学华师版上册PPT课件 12.5 第2课时 公式法
在直接应用完全平方公式分解因式时应当注意：
1、先找平方项 ，再运用公式.
2、若平方项前面是负号，先把负号提到括号外面， 然后再考虑用完全平方公式
例2 分解因式 (1)3ax2+6axy+3ay2； (2)(a+b)2-12(a+b)+36．
思考：多项式含有公因式的分解时应当怎么做？对于 一些平方项的底数是多项式的，又应当如何看待？
第2课时 公式法
创设情景 明确目标
问题1：看谁算得最快： ①982 －22=________; ②已知x+y=4，x －y=2，则x2 -y2=________;
问题2：你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解 因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?
1.能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平 方差公式分解因式. 2.掌握利用平方差公式因式分解的步骤 . 3.会判断完全平方式 . 4.能直接利用完全平方公式进行因式分解 .
探究点四 运用完全平方公式分解因式
把乘法公式逆向变形为: a2+2ab+b2＝_(_a_＋_b_)_2_； a2-2ab+b2＝__(_a_-b_)_2 _.
可以发现,通过变形把一个完全平方式也 变成了两个因式积的形式(平方也就是两 个相同因式积的形式),即:
a2 2ab b2 a b2
探究点二 运用平方差公式因式分解
例1 分解因式 （1）4x2－9；
（2）(x+p)2－(x+q)2．
例2 分解因式 （1）x4－y4；
（2）a3b－ab
思考：一个多项式第一次分解后若还能进行分解，应怎 么做？
1.分解因式的一般步骤:一提二套三分组即先看有没有 _____,若有提出_____,再看能不能运用公式,若能运用公 式进行分解;若不能则考虑分组,分组的原则:①分组后有 _____可提;②分组后有____可套.
1、先找平方项 ，再运用公式.
2、若平方项前面是负号，先把负号提到括号外面， 然后再考虑用完全平方公式
例2 分解因式 (1)3ax2+6axy+3ay2； (2)(a+b)2-12(a+b)+36．
思考：多项式含有公因式的分解时应当怎么做？对于 一些平方项的底数是多项式的，又应当如何看待？
第2课时 公式法
创设情景 明确目标
问题1：看谁算得最快： ①982 －22=________; ②已知x+y=4，x －y=2，则x2 -y2=________;
问题2：你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解 因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?
1.能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平 方差公式分解因式. 2.掌握利用平方差公式因式分解的步骤 . 3.会判断完全平方式 . 4.能直接利用完全平方公式进行因式分解 .
探究点四 运用完全平方公式分解因式
把乘法公式逆向变形为: a2+2ab+b2＝_(_a_＋_b_)_2_； a2-2ab+b2＝__(_a_-b_)_2 _.
可以发现,通过变形把一个完全平方式也 变成了两个因式积的形式(平方也就是两 个相同因式积的形式),即:
a2 2ab b2 a b2
探究点二 运用平方差公式因式分解
例1 分解因式 （1）4x2－9；
（2）(x+p)2－(x+q)2．
例2 分解因式 （1）x4－y4；
（2）a3b－ab
思考：一个多项式第一次分解后若还能进行分解，应怎 么做？
1.分解因式的一般步骤:一提二套三分组即先看有没有 _____,若有提出_____,再看能不能运用公式,若能运用公 式进行分解;若不能则考虑分组,分组的原则:①分组后有 _____可提;②分组后有____可套.
年华师大版八年级数学上册《公式法》优质课课件
号．
▪
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/302021/7/30Friday, July 30, 2021
▪ 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021 1:49:46 AM
▪ 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021
▪ 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/302021/7/30July 30, 2021
12.5.2 运用平方差公式因式分解
12.5.2 运用平方差公式因式分解
探究新知
活动1 知识准备
12.5.2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用平方差公式因式分解
2．运用平方差公式计算：
(1)(3a＋b)(3a－b)＝__
__；
(2)(x＋2y)(x－2y)＝___ _；
(3)12x－y12x＋y＝___
_；
(4)(－1＋5a)(－1－5a)＝__ _．
[归纳总结] 运用平方差公式分解因式时需注意： (1)适用范围：多项式为二项式，且其中一项为(或可化 为)a2 的形式，另一项为－b2 的形式． (2)这里的 a，b 可以是数也可以是整式．
12.5.2 运用平方差公式因式分解
探究问题二 平方差公式因式分解的应用 例 2 [课本例 1 变式题] 计算：522－482. 解：原式＝(52＋48)(52－48)＝400.
华师大版八年级数学上册 课件：12.5.2 因式分解公式法
这个公式来分解因式了，我们把它称 为“完全平方公式”
a2 2ab b2 a2 2ab b2
议一议
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、首尾平方,乘积二倍
3、平方项符号相同
首2 2首尾尾2
a 2 2ab b 2
形辨如明a真2相 2ab b2
的式子
称为完全平方式.
3 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
例题
分解因式: (2x+y)2-6(2x+y)+9
解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32 =[(2x+y)-3]2
=(2x+y-3)2
注意:本例把2x+y看 作是一个整体,或者 说设2x+y=a,这种数 学思想称为换元思想.
思考
你能将多项式x2－16 与多项式 m 2－4n2分解因式吗?这两个多项式有
什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
两个数的平方差,等于这两个数的 和与这两个数的差的积.
例1 分解因式:
(1)4x2 – 9 ; (2)(x+p)2 – (x+q)2.
1、如果100x2+kxy+y2可以分解为
（10x-y)2,那么k的值是（ B ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
2、如果x2+mxy+9y2是一个完全平
方式，那么m的值为（ B ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
3、把 a b2 4a b 4 分解因式得
a2 2ab b2 a2 2ab b2
议一议
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、首尾平方,乘积二倍
3、平方项符号相同
首2 2首尾尾2
a 2 2ab b 2
形辨如明a真2相 2ab b2
的式子
称为完全平方式.
3 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
例题
分解因式: (2x+y)2-6(2x+y)+9
解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32 =[(2x+y)-3]2
=(2x+y-3)2
注意:本例把2x+y看 作是一个整体,或者 说设2x+y=a,这种数 学思想称为换元思想.
思考
你能将多项式x2－16 与多项式 m 2－4n2分解因式吗?这两个多项式有
什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
两个数的平方差,等于这两个数的 和与这两个数的差的积.
例1 分解因式:
(1)4x2 – 9 ; (2)(x+p)2 – (x+q)2.
1、如果100x2+kxy+y2可以分解为
（10x-y)2,那么k的值是（ B ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
2、如果x2+mxy+9y2是一个完全平
方式，那么m的值为（ B ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
3、把 a b2 4a b 4 分解因式得
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这个公式可以用文字表述为：
两个数的平方和加上（或减去）这 两个数的积的两倍，等于这两个数的和 （或差）的平方。
（1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
例1 分解因式 (1)16x2+24x+9； (2)-x2+4xy-4y2． 思考：若所要分解的多项式是二项式，应当考虑应用 什么公式分解？若所要分解的多项式是三项式，应当 考虑应用什么公式分解？
(4) 5m2a4 ຫໍສະໝຸດ 5m2b4 (5) 3xy 3 3xy
3、简便计算：
（1） 4292 1712 （2）5152 24 4852 24
4.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )
A、x2+xy+y2
B、x2－2x－1
C、-x2-2x-1
D、x2+4y2
5.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )
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第2课时 公式法
创设情景 明确目标
问题1：看谁算得最快： ①982 －22=________; ②已知x+y=4，x －y=2，则x2 -y2=________;
问题2：你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解 因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?
1.能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平 方差公式分解因式. 2.掌握利用平方差公式因式分解的步骤 . 3.会判断完全平方式 . 4.能直接利用完全平方公式进行因式分解 .
4.分解到最后一定要检查是否分解到不能再分解为止.
达标检测 反思目标
1、下列多项式中，能否用平方差分解因式？ (1) x -xy (2) x +xy (3) x2+y2 (4) x2-y2 (5) - x2+y2 (6) - x2-y2 (7) x3-y2 (8)x4-y4 2、分解因式：
(1) x xy 2 (2) –a4+16 （3）(2x 3y)2 (3x 2 y)2
在直接应用完全平方公式分解因式时应当注意：
1、先找平方项 ，再运用公式.
2、若平方项前面是负号，先把负号提到括号外面， 然后再考虑用完全平方公式
例2 分解因式 (1)3ax2+6axy+3ay2； (2)(a+b)2-12(a+b)+36．
思考：多项式含有公因式的分解时应当怎么做？对于 一些平方项的底数是多项式的，又应当如何看待？
课后作业
课后作业: 见“学生用书”.
3.应用完全平方公式分解因式一定要熟记公式特征
4.完全平方式的结构特征： （1）项数必须是三项；（2）其中有两项是平方项且 都是正的；（3）还有一项是两平方项底数乘积的两倍
5.分解因式的一般思路： 一提（提公因式法）二套 （运用公式法）平方差公式法 (两项) 完全平方公式 法(三项) 三分组（针对分解因式是三项式且不能直 接分解的， 要考虑分组分解。
探究点四 运用完全平方公式分解因式
把乘法公式逆向变形为: a2+2ab+b2＝_(_a_＋_b_)_2_； a2-2ab+b2＝__(_a_-b_)_2 _.
可以发现,通过变形把一个完全平方式也 变成了两个因式积的形式(平方也就是两 个相同因式积的形式),即:
a2 2ab b2 a b2
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解,用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个数的 和与这两个数的差的积。
运用平方差公式的条件:
多项式是_____,且两项符号____(可转化为差的形式) 两项的绝对值分别可化为一个数(整式)的_____的形式.
理解平方差公式
1、能提取公因式的要先_______; 2、灵活地将x＋y看作一个_____; 3、分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再 分解为止.
了解公式法的概念
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于 分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分 解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
总结梳理 内化目标
A.10 B.20 C.－20 D.±20
6.-x2+2xy-y2的一个因式是x-y，则另一个因式是____.
7.分解因式
（1）y2+2y+1 （2）16m2－72 m +81
8.分解因式 (1)(x+y)2+6(x+y)+9 （2）4xy2-4x2y-y3
9.已知(a+b)2=25,(a-b)2=9,求a2+b2和ab的值.
创设情景 明确目标
探究点一 探索平方差公式
你能将多项式 y2-25 与多项式 x2-4 分解因式吗？
（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？ （2）这两个多项式有什么共同的特点？ （3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 来解决这个问题吗？
１.对于问题1中的计算,我们都逆运用了乘法公式 中的平方差公式,即:
1. 能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平 方差公式分解因式
2.对于多项式的因式分解要注意：
①如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这 个公因式 ; ②如果多项式各项没有公因式，则第一步是考虑用 公式分解因式 ; ③第一步分解因式后，所含的多项式还可以继续分 解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式 都不能再分解为止 .
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？
乘法公式中: (a＋b)2＝a2+2ab+b2 和(a－b)2＝a2-2ab+b2
等号右边的式子即:
a2+2ab+b2 和a2-2ab+b2
叫做完全平方式. 思考：完全平方式的特征是什么？
完全平方式满足两个条件： （1）是一个三项式; (2)两数的平方___加上或减去这两数_____.
① 16x2 + 24x + 9 ② – 4x2 + 4xy – y2 ③ x2 + 2x – 1 ④ 4x2 – 8xy + 4y2
形如 a2±2ab+b2的式子 叫做完全平方式。
⑤ 1 – 2a2 + a4
完全平方式一
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
定可以利用完全平 方公式因式分解
2.公式中的“a”,“b”可表示单项式也可表示____;若表示 多项式,应将多项式用括号括起来.
3.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解 为止.
探究点三 完全平方公式
你能将多项式 a2+2ab+b2 与多项式 a2 -2ab+b2分解 因式吗？
追问1 你能用提公因式法或平方差公式来分解因 式吗？
探究点二 运用平方差公式因式分解
例1 分解因式 （1）4x2－9；
（2）(x+p)2－(x+q)2．
例2 分解因式 （1）x4－y4；
（2）a3b－ab
思考：一个多项式第一次分解后若还能进行分解，应怎 么做？
1.分解因式的一般步骤:一提二套三分组即先看有没有 _____,若有提出_____,再看能不能运用公式,若能运用公 式进行分解;若不能则考虑分组,分组的原则:①分组后有 _____可提;②分组后有____可套.
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什 么？ （1） x2+y2； × （2） x2 -y2； √ （3） -x2+y2； √ （4） -x2 -y2． ×
理解平方差公式
（1）平方差公式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项 式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．
两个数的平方和加上（或减去）这 两个数的积的两倍，等于这两个数的和 （或差）的平方。
（1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
例1 分解因式 (1)16x2+24x+9； (2)-x2+4xy-4y2． 思考：若所要分解的多项式是二项式，应当考虑应用 什么公式分解？若所要分解的多项式是三项式，应当 考虑应用什么公式分解？
(4) 5m2a4 ຫໍສະໝຸດ 5m2b4 (5) 3xy 3 3xy
3、简便计算：
（1） 4292 1712 （2）5152 24 4852 24
4.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )
A、x2+xy+y2
B、x2－2x－1
C、-x2-2x-1
D、x2+4y2
5.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
第2课时 公式法
创设情景 明确目标
问题1：看谁算得最快： ①982 －22=________; ②已知x+y=4，x －y=2，则x2 -y2=________;
问题2：你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解 因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?
1.能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平 方差公式分解因式. 2.掌握利用平方差公式因式分解的步骤 . 3.会判断完全平方式 . 4.能直接利用完全平方公式进行因式分解 .
4.分解到最后一定要检查是否分解到不能再分解为止.
达标检测 反思目标
1、下列多项式中，能否用平方差分解因式？ (1) x -xy (2) x +xy (3) x2+y2 (4) x2-y2 (5) - x2+y2 (6) - x2-y2 (7) x3-y2 (8)x4-y4 2、分解因式：
(1) x xy 2 (2) –a4+16 （3）(2x 3y)2 (3x 2 y)2
在直接应用完全平方公式分解因式时应当注意：
1、先找平方项 ，再运用公式.
2、若平方项前面是负号，先把负号提到括号外面， 然后再考虑用完全平方公式
例2 分解因式 (1)3ax2+6axy+3ay2； (2)(a+b)2-12(a+b)+36．
思考：多项式含有公因式的分解时应当怎么做？对于 一些平方项的底数是多项式的，又应当如何看待？
课后作业
课后作业: 见“学生用书”.
3.应用完全平方公式分解因式一定要熟记公式特征
4.完全平方式的结构特征： （1）项数必须是三项；（2）其中有两项是平方项且 都是正的；（3）还有一项是两平方项底数乘积的两倍
5.分解因式的一般思路： 一提（提公因式法）二套 （运用公式法）平方差公式法 (两项) 完全平方公式 法(三项) 三分组（针对分解因式是三项式且不能直 接分解的， 要考虑分组分解。
探究点四 运用完全平方公式分解因式
把乘法公式逆向变形为: a2+2ab+b2＝_(_a_＋_b_)_2_； a2-2ab+b2＝__(_a_-b_)_2 _.
可以发现,通过变形把一个完全平方式也 变成了两个因式积的形式(平方也就是两 个相同因式积的形式),即:
a2 2ab b2 a b2
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解,用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个数的 和与这两个数的差的积。
运用平方差公式的条件:
多项式是_____,且两项符号____(可转化为差的形式) 两项的绝对值分别可化为一个数(整式)的_____的形式.
理解平方差公式
1、能提取公因式的要先_______; 2、灵活地将x＋y看作一个_____; 3、分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再 分解为止.
了解公式法的概念
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于 分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分 解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
总结梳理 内化目标
A.10 B.20 C.－20 D.±20
6.-x2+2xy-y2的一个因式是x-y，则另一个因式是____.
7.分解因式
（1）y2+2y+1 （2）16m2－72 m +81
8.分解因式 (1)(x+y)2+6(x+y)+9 （2）4xy2-4x2y-y3
9.已知(a+b)2=25,(a-b)2=9,求a2+b2和ab的值.
创设情景 明确目标
探究点一 探索平方差公式
你能将多项式 y2-25 与多项式 x2-4 分解因式吗？
（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？ （2）这两个多项式有什么共同的特点？ （3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 来解决这个问题吗？
１.对于问题1中的计算,我们都逆运用了乘法公式 中的平方差公式,即:
1. 能说出平方差公式的特点．能较熟练地应用平 方差公式分解因式
2.对于多项式的因式分解要注意：
①如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这 个公因式 ; ②如果多项式各项没有公因式，则第一步是考虑用 公式分解因式 ; ③第一步分解因式后，所含的多项式还可以继续分 解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式因式 都不能再分解为止 .
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？
乘法公式中: (a＋b)2＝a2+2ab+b2 和(a－b)2＝a2-2ab+b2
等号右边的式子即:
a2+2ab+b2 和a2-2ab+b2
叫做完全平方式. 思考：完全平方式的特征是什么？
完全平方式满足两个条件： （1）是一个三项式; (2)两数的平方___加上或减去这两数_____.
① 16x2 + 24x + 9 ② – 4x2 + 4xy – y2 ③ x2 + 2x – 1 ④ 4x2 – 8xy + 4y2
形如 a2±2ab+b2的式子 叫做完全平方式。
⑤ 1 – 2a2 + a4
完全平方式一
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
定可以利用完全平 方公式因式分解
2.公式中的“a”,“b”可表示单项式也可表示____;若表示 多项式,应将多项式用括号括起来.
3.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解 为止.
探究点三 完全平方公式
你能将多项式 a2+2ab+b2 与多项式 a2 -2ab+b2分解 因式吗？
追问1 你能用提公因式法或平方差公式来分解因 式吗？
探究点二 运用平方差公式因式分解
例1 分解因式 （1）4x2－9；
（2）(x+p)2－(x+q)2．
例2 分解因式 （1）x4－y4；
（2）a3b－ab
思考：一个多项式第一次分解后若还能进行分解，应怎 么做？
1.分解因式的一般步骤:一提二套三分组即先看有没有 _____,若有提出_____,再看能不能运用公式,若能运用公 式进行分解;若不能则考虑分组,分组的原则:①分组后有 _____可提;②分组后有____可套.
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什 么？ （1） x2+y2； × （2） x2 -y2； √ （3） -x2+y2； √ （4） -x2 -y2． ×
理解平方差公式
（1）平方差公式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项 式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．