《高中数学：对数函数的图像与性质-吕建国》进阶练习 (二)

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高一数学必修第一册2019(A版)_4.4.2_对数函数的图像和性质_练习(2)(解析版)

4.4.2 对数函数的图像和性质基础巩固1.已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,则当x ∈(0,+∞)时,f(x)=|log 2x|,若a=f(-3),b=f(14),c=f(2),则a,b,c 的大小关系是( ) (A)a>b>c(B)b>a>c (C)c>a>b(D)a>c>b【答案】B 【解析】因为函数y=f(x+2)的图象关于x=-2对称,所以函数y=f(x)的图象关于y 轴对称,所以函数y=f(x)是偶函数.所以a=f(-3)=f(3)=|log 23|=log 23,又b=f （14）=|log 214|=|-2|=2, c=f(2)=|log 22|=1,所以c<a<b.2.若函数y=f(x)与函数y=ln √x +1的图象关于直线y=x 对称,则f(x)等于( )(A)e2x-2 (B)e 2x (C)e 2x+1 (D)e 2x+2【答案】A【解析】若两个函数的图象关于直线y=x 对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln √x +1的反函数为y=e 2x-2,故选A.3.若log m 8.1<log n 8.1<0,那么m,n 满足的条件是( )(A)m>n>1 (B)n>m>1(C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1【答案】C【解析】由题意知m,n 一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,当x>1时,底数越大,函数值越小,故选C.4.已知函数f(x)=log (a-1)(2x+1)在（-12,0）内恒有f(x)>0,则a 的取值范围是( )(A)(1,+∞) (B)(0,1)(C)(0,2) (D)(1,2)【答案】D【解析】由-1<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.所以1<a<2.故选D.25.函数y=log2|x|的图象大致是( )【答案】A【解析】因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为.【答案】0【解析】函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.x|的单调增区间为.7.函数f(x)=|lo g12【答案】[1,+∞)x|可得函数的大致图象如图所示,【解析】由函数f(x)=|lo g12所以函数的单调增区间为[1,+∞).8.已知f(x)=log4(4x-1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;,2]上的值域.(3)求f(x)在区间[12【答案】（1）(0,+∞)（2）f(x)在(0,+∞)上单调递增（3）值域为[0,log415].【解析】(1)由4x-1>0,解得x>0,因此f(x)的定义域为(0,+∞).(2)设0<x1<x2,则0<4x1-1<4x2-1,因此log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上单调递增.(3)因为f(x)在区间[12,2]上单调递增,又f(12)=0,f(2)=log 415, 因此f(x)在区间[12,2]上的值域为[0,log 415].能力提升9.已知log 2b<log 2a<log 2c,则( )(A)(12)b >(12)a >(12)c(B)(12)a >(12)b >(12)c (C)(12)c >(12)b >(12)a (D)(12)c >(12)a >(12)b【答案】A【解析】因为log 2b<log 2a<log 2c,所以c>a>b,所以(12)b >（12）a >（12）c .故选A.10.已知函数f(x)={f(x +1),x <4,2x ,x ≥4,则f(2+log 23)等于( ) (A)8 (B)12(C)16 (D)24【答案】D【解析】因为1<log 23<2,所以3<2+log 23<4,所以f(2+log 23)=f(3+log 23). 又4<3+log 23<5,所以f(3+log 23)=2(3+log 23)=23×2log 23=8×3=24.故选D. 9.当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a x与y=log a x 的图象是( )【答案】D【解析】因为函数y=a x与y=log a x 互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x 对称, 且当0<a<1时,函数y=a x 与y=log a x 都是减函数,观察图象知,D 正确.故选D.12.已知函数f(x)=ln(ax 2+2x+1).(1)若f(x)的定义域为R,求实数a 的取值范围;(2)若f(x)的值域为R,求实数a 的取值范围.【答案】（1）a 的取值范围为(1,+∞)（2）a 的取值范围为[0,1].【解析】(1)因为f(x)的定义域为R,所以ax 2+2x+1>0恒成立.当a=0时,2x+1>0,x>-12,不合题意;所以a ≠0.由{a >0,Δ=4−4a <0,得a>1. 故实数a 的取值范围为(1,+∞).(2)因为f(x)的值域为R,所以{y|y=ax 2+2x+1,x ∈R}⊇(0,+∞).(也可以说y=ax 2+2x+1取遍一切正数)①当a=0时,y=2x+1可以取遍一切正数,符合题意,②当a ≠0时,需{a >0,Δ=4−4a ≥0,即0<a ≤1. 综上,实数a 的取值范围为[0,1].素养达成13.已知函数f(x)=log 2(x+1),g(x)=log 2(3x+1).(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x 的取值范围;(2)当x ∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.【答案】（1）[0,+∞).（2）[0,log 23).【解析】(1)因为f(x)=log 2(x+1),g(x)=log 2(3x+1),g(x)≥f(x),所以3x+1≥x+1>0,所以x ≥0.即使g(x)≥f(x)成立的x 的取值范围为[0,+∞).(2)因为y=g(x)-f(x)=log 2(3x+1)-log 2(x+1) =log 23x+1x+1(x ≥0).令h(x)=3x+1x+1=3-2x+1,则h(x)为[0,+∞)上的增函数,所以1≤h(x)<3, 故y=g(x)-f(x)∈[0,log 23),即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0,log 23).。

高中数学人教B版必修第二册对数函数的性质与图像(二)课件

log0.5m<log0.5n⟶m
<
log 2 0.6
>
log 2 0.8;
log 2 < log 2 ⟶ m
log1.56
<
log1.58.
log1.5m<log1.5n ⟶ < .
3
3
3
3
n;
<
n;
课堂小结
课堂小结
谈一谈你的收获：
1.对数函数与指数函数；
2.对数函数值比较大小；
3.求对数函数的定义域.Βιβλιοθήκη y axy ax
y log a x
yx
y log a x
yx
a 1
a 1
新课讲授
二、y=log 和 y=log 1 的关系

y log a x
y log 1 x
a
新课讲授
总结：
1.对数函数y=log 与指数函数 y=ax 关于y=x对称;
2.对数函数 y=log 与y=log 1 关于x轴对称.

3.一般的,函数与其反函数关于y=x 对称.
例题精解
例题精解
例题一比较下列各题中两个值
解：
的大小：
(1)因为0<0.3<1，所以y=log 0.3 是
(1)log 0.3 3与log 0.3 5；
(2)ln3与ln3.001;
(3) log 7 0.5与0.
减函数.又因为3<5，故log 0.3 3 >
R
R
单调性
增函数
减函数
过定点
（1,0）
(1,0)
奇偶性
非奇非偶

【2020新教材】人教B版高中数学必修第二册新学案第四章习题课(二) 对数函数的性质与图像

习题课（二）对数函数的性质与图像一、选择题1．若函数f (x )＝a x －k －1(a >0，a ≠1)过定点(2,0)，且f (x )在定义域R 上是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图像是( )解析：选A 由题意可知f (2)＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －2－1，又f (x )在定义域R 上是减函数，所以0<a <1.此时g (x )＝log a (x ＋2)，定义域为(－2，＋∞)，单调递减，且过点(－1,0)，故选A.2．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A f (x )的定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A.3．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，∴x 的取值范围是(2,7]，故选B.4．函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么f (x )在(1，＋∞)上( ) A ．递增且无最大值 B ．递减且无最小值 C ．递增且有最大值D ．递减且有最小值解析：选A 由|x －1|＞0，得函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞1，－x ＋1，x ＜1，则有g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．∵f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，∴a ＞1. ∴f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值．5．若函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－1,0)上有f (x )＞0，则f (x )( ) A ．在(－∞，0)上是增函数 B ．在(－∞，0)上是减函数 C ．在(－∞，－1)上是增函数 D ．在(－∞，－1)上是减函数解析：选C 当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1. ∵log a |x ＋1|＞0，∴0＜a ＜1，∴函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减．6．已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1解析：选A 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.二、填空题7．不等式log 14(5＋x )<log 14(1－x )的解集为________．解析：不等式满足⎩⎪⎨⎪⎧5＋x >0，1－x >0，5＋x >1－x ，得－2<x <1.答案：{x |－2<x <1}8．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )＞g (1)时，x 的取值范围是________．解析：因为g (lg x )＞g (1)，所以f (|lg x |)＞f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |＞1，从而lg x ＞1或lg x ＜－1，解得0＜x ＜110或x ＞10.答案：⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞) 9．已知函数f (x )＝log a (x ＋3)的区间[－2，－1]上总有|f (x )|＜2，则实数a 的取值范围为________________．解析：∵x ∈[－2，－1]，∴1≤x ＋3≤2. 当a ＞1时，log a 1≤log a (x ＋3)≤log a 2，即0≤f (x )≤log a 2.∵|f (x )|＜2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 2＜2，解得a ＞ 2.当0＜a ＜1时，log a 2≤log a (x ＋3)≤log a 1，即log a 2≤f (x )≤0.∵|f (x )|＜2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 2＞－2，解得0＜a ＜22.综上可得，实数a 的取值范围是0，22∪(2，＋∞)．答案：0，22∪(2，＋∞) 三、解答题10．已知对数函数f (x )的图像过点(4,2)，试解不等式f (2x －3)＞f (x )．解：设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)＞f (x )⇒log 2(2x －3)＞log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，x ＞0，2x －3＞x⇒x ＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．11．设定义域均为[2，8]的两个函数f (x )和g (x )，其解析式分别为f (x )＝log 2x －2和g (x )＝log 4x －12.(1)求函数y ＝f (x )的值域； (2)求函数G (x )＝f (x )·g (x )的值域．解：(1)因为y ＝log 2x 在[2，8]上是增函数，所以log 22≤log 2x ≤log 28，即log 2x ∈⎣⎡⎦⎤12，3. 故log 2x －2∈⎣⎡⎦⎤－32，1，即函数y ＝f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1. (2)G (x )＝f (x )·g (x )＝(log 2x －2)⎝⎛⎭⎫log 4x －12 ＝(log 2x －2)⎝⎛⎭⎫12log 2x －12 ＝12[(log 2x )2－3log 2x ＋2]，令t ＝log 2x ，x ∈[2，8]，t ∈⎣⎡⎦⎤12，3，则y ＝12(t 2－3t ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫t －322－18，t ∈⎣⎡⎦⎤12，3，故当t ＝32时，y 取最小值，最小值为－18；当t ＝3时，y 取最大值，最大值为1. 所以函数G (x )＝f (x )·g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－18，1. 12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∴当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)，x ≥0，log a (－x ＋1)，x <0.(2)∵－1<f (1)<1，∴－1<log a 2<1， ∴log a 1a <log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．。

《高中数学：微积分基本定理应用-吕建国》进阶练习(一)-1-2

《高中数学：微积分基本定理应用-吕建国》进阶练习一、选择题1. : . ■■ . ■ ■=(A.2B.4 )C. nD.2 nr-j i ］2. ■■=( )T Q 0A.ln 2+B.ln 2-C.ln 28 2M D.ln 2-t I3.下列命题或等式正确的是( )A. 若f (x)是奇函数，则f (0) =0B. / (-x+1 ) dx=0C. 函数f (x) =cos2x是周期为n的减函数D. 若a € R则“ a2v a”是“ a> 0”的必要条件、解答题4.计算求值：.；：2(1)计算，(sin +cos ) dx;(2)已知复数z满足z?二i (：匸)=1-(方)求z.5.已知F(x) =:：U' + C —'J dt , (x>0).Jo(1)求F (x)的单调区间；(2)求函数F (x)在［1 , 3］上的最值.参考答案【参考答案】1. A2.A3.Bth: —ainjuh7T 汀=-.；------------- '”呷；1=■_ ;(2)设z=a+bi (a, b € R), 则由z? -i C ) =1-()，得a2+b2-i[3 (a-bi ) ]=1+3i .2 2-- a +b -3b-3ai=1+3i-z= -1 或-1+3i .5.解：依题意得，i 一, 定义域是(0, +R). (2分)2(1)F' (x) =x+2x-8,令F' (x)> 0,得x>2 或X V -4 ; 令F' (x)V 0,得-4 V x V 2,且函数定义域是(0, +R),-函数F (x)的单调增区间是(2, +R)，单调递减区间是(0, 2). ( 6分)(2)令F' (x) =0,得x=2 (x=-4 舍)，由于函数在区间(0, 2)上为减函数，区间(2, 3)上为增函数，r 、2t) 28且一一石，’,F (3) =-6 ,-F ( x)在[1 , 3]上的最大值是F (3) =-6，最小值是□丈—-；.(10分)9$【解析】1. 解：•••( -cosx-sinx )' =sinx -cosx ,- CiffiJ hl J =曲皿一f‘mLT)|；=2. j '故选A.利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出.熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键.f 1 I ] , 1 1 . II ] 72. 解：/ 一十「十飞)必=(Inx- h) | i = (l n2- - , ) - (l n1-1- )=1 n 2+ ,.Ji J L i!* j!-1J- 2 h 2 h 故选A.利用定积分的定义，找出被积函数的原函数，然后计算结果.本题考查了定积分的计算；关键是熟记基本初等函数的求导公式，求出被积函数的原函数.3. 解：选项A:若f (x)是奇函数，则f (0)=0，需要考虑其定义域，故不正确.I I选项B:/ (-x+1 ) dx= , . = =0,故正确.选项C:余弦函数的单调性不一致，故不正确.2选项D：可以举反例，例如：令a=1，则1 =1，故不正确. 故选：B.本题需根据奇函数的性质，微积分基本定理，余弦函数的性质，必要条件分别加以判别，得出正确选项.本题考查了奇函数的性质，微积分基本定理，余弦函数的性质，必要条件基础知识，属于基础题.4.(1)把被积函数平方，然后展开，求出各被积函数的原函数，分别代入积分上限和下限后作差得答案；(2)设出复数z，代入z? -i C ) =1-()，由复数相等的条件列式求解. 本题考查了微积分基本定理，考查了复数相等的条件，是基础的计算题.5.1 “ ，(1)由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出.再利用导3数，研究F' ( x)的正负，即可得到函数 F (x)的单调增区间是(2, +R)，单调递减区间是(0, 2).(2)根据F ( x)的单调性，分别求出 F (1)、F ( 2)、F ( 3)的值并比较大小，可得F(x)在［1 , 3］上的最大值是 F (3) =-6，最小值是3本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值. 着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题.。

高中数学复习：对数函数的图像和性质练习及答案

高中数学复习：对数函数的图像和性质练习及答案1.已知函数f (x)＝133,1log,1x xx x⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y＝f (1－x)的大致图象是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】先画出函数f (x)＝133,1log,1x xx x⎧≤⎪⎨>⎪⎩的草图，令函数f (x)的图象关于y轴对称，得函数f (－x)的图象，再把所得的函数f (－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f (1－x)的图象，故选：D.2.函数f（x）=10x与函数g（x）=lgx的图象A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于y=x 对称【答案】D【解析】因为f （x ）=10x 与函数g （x ）=lgx 是一对反函数，所以其图象关于y=x 对称.故选D.3.函数f （x ）=ln|11x x +-|的大致图象是（） A. B. C. D.【答案】D【解析】因为()()11ln ln 11x x f x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.4.函数f （x ）=log 2（x+1）与g （x ）=2﹣x +1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】定义域为，函数为增函数；定义域为，函数为减函数，所以结合指数函数对数函数的性质可知B 图像正确5.已知函数f(x)＝－x 2＋2，g(x)＝log 2|x |，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，函数()(),f x g x 为偶函数，∴函数()()()F x f x g x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，故只需考虑0x >时的情形即可.由函数()(),f x g x 的取值情况可得，当0x >时，函数()F x 的取值情况为先负、再正、再负，所以结合各选项得B 满足题意.故选B.6.设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（） A.1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B.()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A【解析】因为函数()()21ln 11f x x x =+-+定义域为R ，关于原点对称，且()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-，所以函数()f x 是偶函数，又()f x 在()0,∞+是增函数，所以()()21f x f x >-等价于()()21fx f x >-，所以2213410x x x x >--+<，，解得113x <<，故选：A7.函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为（） A. B. C.D.【答案】C 【解析】函数2()ln(1)x x e e f x x --=+，则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项；当x →+∞时，2()ln(1)x xe ef x x --=→+∞+，所以排除A 选项；当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项；综上可知，C 为正确选项，故选：C.8.函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为（） A. B. C. D.【答案】A【解析】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足.故选：A.9.函数()()22ln 11x f x x +=+的大致图像为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为()()22ln 11x f x x +=+是由()22ln x g x x=向左平移一个单位得到的，因为()22ln ()(0)()x g x g x x x --==≠-，所以函数()22ln x g x x =为偶函数，图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于1x =-对称，故可排除A ，D 选项；又当2x <-或0x >时，2ln 10x +>，()210x +>，所以()0f x >，故可排除C 选项故选：B .10.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（） A. B. C. D.【答案】D【解析】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.故选：D11.函数()24ln x f x x =的部分图象大致为（） A. B. C. D.【答案】A【解析】因为()24ln x f x x =是偶函数，排除B ，当01x <<时，ln 0x <，()204ln x f x x=<，排除C ，当x e =时()214e f e =>，排除D. 故选：A.12.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x 2﹣2x ﹣3，求当x ≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】由函数为奇函数可知当x ≤0时，不等式f （x ）≥0整数解的个数与0x ≥时()0f x ≤的个数相同，由奇函数可知()00f =，由2230x x --≤得()()320x x -+≤，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要求的整数点有4个 13.若x 1，x 2是方程2x ＝12⎛⎫⎪⎝⎭+1-1x 的两个实数解，则x 1＋x 2＝________.【答案】-1【解析】∵2x ＝1112x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，∴2x ＝112x - ，∴x ＝1x－1，∴x 2＋x －1＝0.∴x 1＋x 2＝－1.故答案：－114.已知函数()lg f x x =. (1)画出函数()y f x =的草图,并根据草图求出满足()1f x >的x 的集合；(2)若0a b <<,且()()f a f b >,求证：1ab <.【答案】(1)图见解析，(0，110)∪(10，＋∞).(2)证明见解析【解析】(1)画出函数()y f x =的草图,如图所示：令()1f x =,则lg 1,lg 1x x ==±,可得10x =或110x =. 故满足()1f x >的x 的集合为1(0,)(10,)10⋃+∞. (2)证明：若0a b <<,且()()f a f b >,则lg lg a b >.当01a b <<≤时, lg lg a b >显然成立且1ab <.当01a b <≤≤,因为lg lg a b >则lg lg lg +lg 0lg 01a b a b ab ab -><⇒<⇒<，成立当1a b ≤<时, lg lg a b >不成立.综上所述1ab <成立.15.已知函数2()4||3f x x x =-+，（1）试证明函数()f x 是偶函数；（2）画出()f x 的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用黑色签字笔描摹，否则不给分）（3）请根据图象指出函数()f x 的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）（4）当实数k 取不同的值时，讨论关于x 的方程24||3x x k -+=的实根的个数；（不必求出方程的解）【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）增区间()()+∞-,2,0,2减区间)2,0(),2,(--∞（4）①当1k <-时，方程无实数根；②当1k =-或3k >时，方程有两个实数根；③当3k =时，方程有三个实数根；④当13k -<<时，方程有四个实数根【解析】（1）()f x 的定义域为R ,且2()()4||3f x x x -=---+24||3()x x f x =-+=故()f x 为偶函数；（2）如图（3）递增区间有：()()+∞-,2,0,2递减区间有：)2,0(),2,(--∞（4）根据图象可知，①当1k <-时，方程无实数根；②当1k =-或3k >时，方程有两个实数根；③当3k =时，方程有三个实数根；④当13k -<<时，方程有四个实数根；16.已知函数f (x )＝x ln x －x .（1）设g (x )＝f (x )＋|x －a |，a ∈R.e 为自然对数的底数.①当32a e =-时，判断函数g (x )零点的个数； ②1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数g (x )的最小值. （2）设0＜m ＜n ＜1，求证：()2201m f n m +<+ 【答案】（1）① g (x )有且仅有两个零点.②a －e.（2）证明见解析【解析】（1）①当32a e =-时， g (x )＝x ln x －x ＋|x ＋32e |＝x ln x ＋32e ， g ′(x )＝1＋ln x ，当0＜x ＜1e 时，g ′(x )＜0；当x ＞1e时，g ′(x )＞0；因此g (x )在(0，1e )上单调递减，在(1e ，＋∞)上单调递增，又434412424g =0e e e e e -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，g (1e )＝－1e ＋23322e e e-=＜0，g (1)＝32e ＞0，所以g (x )有且仅有两个零点.②（i ）当a ≤1e 时，g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ，因为x ∈[1e，e ]，g ′(x )＝1＋lnx ≥0恒成立，所以g (x )在[1e ，e ]上单调递增，所以此时g (x )的最小值为g (1e )＝－1e－a . （ii ）当a ≥e 时，g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ，因为x ∈[1e，e]，g ′(x )＝ln x －1≤0恒成立，所以g (x )在[1e，e ]上单调递减，所以此时g (x )的最小值为g (e )＝a －e . （iii ）当1e＜a ＜e 时，若1e ≤x ≤a ，则g (x )＝x ln x －x ＋a －x ＝x ln x －2x ＋a ，若a ≤x ≤e ，则g (x )＝x ln x －x ＋x －a ＝x ln x －a ，由（i ），（ii ）知g (x )在[1e，a ]上单调递减，在[a ，e ]上单调递增，所以此时g (x )的最小值为g (a )＝a ln a －a ，综上有：当a ≤1e 时，g (x )的最小值为－1e－a ；当1e＜a ＜e 时，g (x )的最小值为a ln a －a ；当a ≥e 时，g (x )的最小值为a －e . （2）设h (x )＝221x x +，则当x ∈(0，1)时，h ′(x )＝()()222211x x -+＞0，于是h (x )在(0，1)单调递增，又0＜m ＜n ＜1，所以h (m )＜h (n )，从而有()()()2222ln 111m f n f n h n n n m n ⎛⎫+<+=-+ ⎪++⎝⎭设φ(x )＝22ln 11n n -++，x ＞0 则φ′(x )＝()()()222222114011x x x x x x --=≥++因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，因为0＜n ＜1，所以φ(n )＜φ(1)＝0，即ln n －1＋221n +＜0，因此()2222ln 1011m f n n n m n ⎛⎫+<-+< ⎪++⎝⎭ 即原不等式得证.17.已知函数f (x )＝xln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e 为自然对数的底数，a ∈R ).（1）判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数；（2）当1[,]x e e ∈时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）3＜a ≤e ＋2e＋1. 【解析】（1）()1f x lnx '=+，所以切线的斜率()11k f ='=，又()10f =，所以曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩，得2(1)10x a x +-+=，由△22(1)423(1)(3)a a a a a =--=--=+-可得，当△0>时，即1a <-或3a >时，有两个公共点，当△0=时，即1a =-或3a =时，有一个公共点，当△0<时，即13a -<>时，没有公共点，（2）2()()2y f x g x x ax xlnx =-=-++，由0y =，得2a x lnx x=++，令2()h x x lnx x=++，则2(1)(2)()x x h x x -+'=，当1[x e∈，]e 时，由()0h x '=，得1x =，所以()h x 在1[e，]e 上单调递减，在[1，]e 上单调递增，因此()()13min h x h ==，由11()21h e e e =+-，()21h e e e =++，比较可知()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，结合函数图象可得，当231a e e<++时，函数()()y f x g x =-有两个零点. 18.根据函数f(x)＝log 2x 的图像和性质解决以下问题： (1)若f(a)>f(2)，求a 的取值范围； (2)求y ＝log 2(2x －1)在[2,14]上的最值.【答案】(1) (2，＋∞) (2) 最小值为log 23，最大值为log 227【解析】（1）由函数2()log f x x =的单调性及()(2)f a f >，即可求出a 的取值范围；（2）根据定义域为[2,14]，表示出21x -的取值范围，结合对数函数的性质，即可求得最值. 试题解析：函数f (x )＝log 2x 的图象如图：(1)因为f (x )＝log 2x 是增函数，故f (a )>f (2)，即log 2a >log 22，则a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞). (2)∵2≤x ≤14，∴3≤2x －1≤27， ∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227.∴函数y ＝log 2(2x －1)在[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227.19.已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()()111f x f x f x -=+=-，当[]12x ∈，时，2()log f x x =，若方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根，则正实数a 的值为（） A.2log eeB.1ln 2e C.12D.2【答案】C【解析】由()()()111f x f x f x -=+=-，可知()f x 为偶函数，且一条对称轴为1x =，再由()()11f x f x +=-，可得()2()f x f x +=，即函数()f x 的周期为2.根据[]12x ∈，时，2()log f x x =作出函数()f x 的草图，如图所示：方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根， ∴函数y ax =与()y f x =的图象在y 轴右侧有两个交点，设y ax =与2log y x =相切时，切点坐标为()020log x x ，，由1ln2y x '=，得2000log 1ln2x x x =，解得02x e =>.∴由图象可知，当直线y ax =过点()21，时，方程()0f x ax -=在()0+∞，上恰好有两个实数根， 12a ∴=. 故选：C .20.已知函数2|1|,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x xx x++的取值范围是（）.A.(1,)-+∞ B.[1,1)- C.(,1)-∞ D.(]1,1-【答案】D【解析】函数()21,0|log,0x xf xx x⎧+⎪=⎨>⎪⎩，的图象如下：根据图象可得：若方程()f x a=有四个不同的解1x，2x，3x，4x，且1234x x x x<<<，则11x a+=-，21x a+=，23log x a=-，24log x a=.(01)a<≤122x x+=-，32ax-=，42ax=∴则31222344()22221222a aa a ax x xx x---++=-⋅+=-⋅.令2a t，(1t∈，2]，而函数2y tt=-在(1，2]单调递增.所以211tt-<-≤，则21212aa∴-<-.故选：D.21.函数()log1xaf x a x=-有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.()1,10 B.()1,+∞C.0,1D.()10,+∞【答案】B【解析】函数()f x有两个零点等价于1xya⎛⎫= ⎪⎝⎭与log ay x=的图象有两个交点，当01a<<时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a>时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.22.已知函数()2,11,12x a x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，其中a R ∈.如果函数()f x 恰有两个零点，则a 的取值范围为（）A.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B.[)2,-+∞C.12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】当1x ≤时，(]2,2xy a a a =+∈+，当1x >时，11,22y x a a ⎛⎫=+∈++∞ ⎪⎝⎭，两段均为增函数，函数()f x 恰有两个零点，可得102200a a a ⎧+<⎪⎪⎨+≥⎪⎪<⎩，解得12,2a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭. 故选：D23.给出下列四个结论：(1)若集合A ={x,y }，B ={0，2x },且A=B ,则x =1,y =0;(2)若函数f (x )的定义域为（-1,1），则函数f (2x +1)的定义域为（-1，0); (3)函数1()f x x=的单调减区间是{}0x x ≠； (4)若()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)2f =，则(2)(4)(2014)(2016)(2018)2018(1)(3)(2013)(2015)(2017)f f f f f f f f f f +++++=其中不正确的有______.【答案】（3）【解析】（1）因为A=B ，所以20,0,1x y x x x ≠==∴=，故（1）正确；（2）因为函数f (x )的定义域为（-1,1），所以121110x x -<+<∴-<<，故（2）正确；（3）函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞，故（3）错误；（4）因为()()()f x y f x f y +=⋅，所以(1)()(1)2()f x f x f f x +=⋅=，因此(2)(4)(2014)(2016)(2018)210092018(1)(3)(2013)(2015)(2017)f f f f f f f f f f +++++=⨯=，故（4）正确；故答案为：（3） 24.已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）. A.b a c << B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】C 【解析】12125757a -⎛⎫=⎛⎫= ⎝⎭⎪⎭⎪⎝<135()7b =，225log log 107c =<= 因此c a b << 故选：C.25.函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（）A.2,13⎛⎫⎪⎝⎭B.(0,1)C.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.[)3,+∞ 【答案】C【解析】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数，所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数，由对数函数性质知230a ->，即23<a ，综上023a <<. 故选：C .26.设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则（） A.b a c << B.a c b <<C.c b a <<D.c a b <<【答案】D【解析】因为333log 7(log 3,log 9)a =∈，所以(1,2)a ∈； 1.122b =>； 3.100.80.81c =<=；所以c a b <<，故选D.27.三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是（）A.60.70.7log 60.76<<B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<<D.60.70.70.7log 66<<【答案】A【解析】因为0.70661>=，6000.70.71<<=，0.70.7log 6log 10<=；所以60.70.7log 60.76<<.故选：A.28.已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A.x y z << B.y z x << C.z y x << D.z x y <<【答案】B 【解析】0.4221x =>=，2lg lg105y =<=，0.421525z ⎛⎫<= ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，又0z >，即01z <<. 因此，y z x <<. 故选：B.考点1函数的反函数1.函数y＝ln x＋1(x>0)的反函数为( )A．y＝e x＋1(x∈R)B．y＝e x－1(x∈R)C．y＝e x＋1(x>1)D．y＝e x－1(x>1)【答案】B【解析】由y＝ln x＋1，得x＝e y－1.又因为函数y＝ln x＋1的值域为R，于是y＝ln x＋1的反函数为y＝e x－1(x∈R)．故选B.2.函数f(x)＝(x－1)2＋1(x<1)的反函数为( )A．f－1(x)＝1＋(x>1)B．f－1(x)＝1－(x>1)C．f－1(x)＝1＋(x≥1)D．f－1(x)＝1－(x≥1)【答案】B【解析】∵x<1⇒y＝(x－1)2＋1，∴(x－1)2＝y－1⇒x－1＝－，∴反函数为f－1(x)＝1－(x>1)．3.已知指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，且g(x)过点(4,2)，则f(x)的解析式是( )A．f(x)＝log4xB．f(x)＝log2xC．f(x)＝2xD．f(x)＝4x【答案】C【解析】指数函数的解析式为：f(x)＝a x(a>0，a≠1)，∵f(x)的反函数记为y＝g(x)函数的图象经过(4,2)点，∴f(x)的图象经过(2,4)点，∴4＝a2，a＝2，∴指数函数的解析式为y＝2x.故选C.4.已知函数f(x)的反函数为g(x)＝log2x＋1，则f(2)＋g(2)等于( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为函数f(x)的反函数为g(x)＝log2x＋1，所以f(2)＋g(2)＝f(2)＋2.而根据反函数的图象与性质可知f(2)＝2，因此选D.5.函数y＝f(x)的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(4x－x2)的递增区间是________．【答案】(0,2)【解析】∵函数y＝f(x)的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，∴y＝f(x)与y＝2x互为反函数，∵y＝2x的反函数为y＝log2x，∴f(x)＝log2x，f(4x－x2)＝log2(4x－x2)．令t＝4x－x2，则t>0，即4x－x2>0，∴x∈(0,4)，又∵t＝4x－x2的对称轴为x＝2，且对数的底数大于1，∴y＝f(4x－x2)的递增区间为(0,2)．6.设f－1(x)为f(x)＝2x－2＋，x∈[0,2]的反函数，则y＝f(x)＋f－1(x)的最大值为________．【答案】4【解析】由题意得：f(x)在[0,2]上单调递增，值域为[，2]，所以f－1(x)在[，2]上单调递增，因此y ＝f(x)＋f－1(x)在[，2]上单调递增，其最大值为f(2)＋f－1(2)＝2＋2＝4.7.函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)，令y1＝a x，y2＝log a(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝a x与y2＝log a(x＋1)同增或同减．因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋log a2＋1＋0＝a，解得a＝.8.设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a等于( ) A．－1 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】设(x，y)是函数y＝f(x)的图象上任意一点，它关于直线y＝－x对称点为(－y，－x)，由已知知(－y，－x)在函数y＝2x＋a的图象上，∴－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，即f(x)＝－log2(－x)＋a，∴f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2.9.方程log2x＋log2(x－1)＝1的解集为M，方程22x＋1－9·2x＋4＝0的解集为N，那么M与N的关系是( ) A．M＝N B．M N C．M N D．M∩N＝∅【答案】B【解析】由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，解得x＝－1(舍)或x＝2，故M＝{2}；由22x＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x)2－9·2x＋4＝0，解得2x＝4或2x＝，即x＝2或x＝－1，故N＝{2，－1}，因此有M N.10.已知函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)【答案】C【解析】①当a>0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝，f(a)>f(－a)，即log2a>＝log2，∴a>，解得a>1.②当a<0时，f(a)＝，f(－a)＝log2(－a)，f(a)>f(－a)，即>log2(－a)＝，∴－a<，解得－1<a<0，由①②得－1<a<0或a>1.11.若函数f(x)＝x2lg a－2x＋1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是( ) A．0<a<10B．1<a<10C．0<a<1D．0<a<1或1<a<10【答案】D【解析】lg a≠0且Δ＝4－4lg a>0，解得0<a<1或1<a<10，故选D.12.已知集合A＝{x|x2≥1，x∈R}，B＝{x|log2x<2，x∈R}，则∁R A∩B等于( ) A．[0,1]B．(0,1)C．(－3,1)D．[－3,1]【答案】B【解析】集合A＝{x|x2≥1，x∈R}＝{x|x≥1，或x≤－1}，B＝{x|log2x<2，x∈R}＝{x|0<x<4}，∴∁R A＝(－1,1)，∴∁R A∩B＝(0,1)，故选B.13.已知函数f(x)＝log a(x－1)(a>0，且a≠1)，g(x)＝log a(3－x)(a>0，且a≠1)．(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围．【答案】(1)要使函数h(x)＝f(x)－g(x)＝log a(x－1)－log a(3－x)有意义，需有解得1<x<3，故函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为(1,3)．(2)因为不等式f(x)≥g(x)，即log a(x－1)≥log a(3－x)，当a>1时，有解得2≤x<3.当0<a<1时，有解得1<x≤2.综上可得，当a>1时，不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围为[2,3)；当0<a<1时，不等式f(x)≥g(x)中x 的取值范围为(1,2]．14.已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，(a>0，且a≠1)．(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值；(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．【答案】(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.(2)f(x)－g(x)>0，即log a(1＋x)>log a(1－x)，①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0<x<1.②当0<a<1时，0<1＋x<1－x，得－1<x<0.15.下列函数关系中，可以看成是指数型函数y＝ka x(k∈R，a＞0且a≠1)模型的是( )A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系C．如果某人t s内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D．信件的邮资与其重量间的函数关系【答案】B【解析】A：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；B：我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系，是指数型函数关系；C：如果某人t s内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系，是反比例函数关系；D：信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系．故选B.16.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为如图所示的( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设原来森林蓄积量是a，则a(1＋10.4%)y＝ax,1.104y＝x，所以y＝log1.104x，故选D.17.如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过30m2；③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3则有t1＋t2＝t3；其中正确的说法有________．(请把正确的说法的序号都填在横线上)【答案】①②④【解析】∵其关系为指数函数，图象过(4,16)点，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t＝5时，s＝32＞30，故②正确；4对应的t＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴有t1＋t2＝t3，故④正确．综上可知，①②④正确．故答案为①②④.18.我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫做14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′(与a之间满足a′＝a·e－kt)．现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．【答案】因为a′＝a·e－kt，即＝e－kt.两边取对数，得lg＝－kt lge．①又知14C的半衰期是5570年，即当t＝5570时，＝.故lg＝－5570k lge，即k lge＝.代入①式，并整理，得t＝－.这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的是0.879，代入公式，得t＝－≈1036.即古莲子约是1036年前的遗物．19.诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把资金总额平均分成6份，奖励在6个领域(物理学、化学、文学、经济学、医学或生理学、和平事业)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%，资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元，设f(x)表示为第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依此类推)．(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129≈1.32,1.031210≈1.36)【答案】(1)由题意知f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)×6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)(1＋6.4%)－f(2)×6.24%＝f(1)(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9≈26107(万美元)．2009年诺贝尔奖各项金额为×f(10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元．故该新闻是假的．20.某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数解析式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该城市人口总数将达到120万人．(精确到1年)[参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.210]【答案】(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3…故x年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．(3)令y＝120，则有100(1＋1.2%)x＝120，解得x≈16.即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．。

4.2.3对数函数的性质与图像练习题- 高中数学人教版B版(2019)必修第二册

对数函数的性质与图像一、选择题1．若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2log 4x C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4x D ．不确定2．函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( ) A ．[4，＋∞) B ．(10，＋∞) C ．(4,10)∪(10，＋∞)D ．[4,10)∪(10，＋∞)3．函数y ＝lg(x ＋1)的图像大致是( )A B C D4．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c5．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3) D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)二、填空题6．函数f (x )＝log a (x ＋3)＋12(a >0，a ≠1)的图像恒过定点P ，且点P 在函数y ＝b x (b >0，b ≠1)上，则b ＝________.7．如果函数f (x )＝(3－a )x ，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________．9．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性．10．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．素养达标11．(多选题)已知实数a ，b 满足等式log 2a ＝log 3b ，则下列四个选项中，可能成立的有( )A ．a ＞b ＞1B ．a ＜b ＜1C ．b ＜a ＜1D ．a ＝b12．已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图像如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<113．函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a ＝________. 14．已知f (x )＝log 13⎝⎛⎭⎪⎫132－mx －x 2，若f (x )在(－1,2)上单调递减，则实数m 的取值范围是__________；当m ＝________时，f (x )的单调减区间的长度最小．15．已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．1．若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2log 4x C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定A [由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x ，则log a 4＝2，解得a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x .]2．函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4,10)∪(10，＋∞)D ．[4,10)∪(10，＋∞)D[由⎩⎨⎧x －4≥0，lg x －1≠0，x ＞0，解得⎩⎨⎧x ≥4，x ≠10，x ＞0，∴x ≥4且x ≠10，∴函数f (x )的定义域为[4,10)∪(10，＋∞)．故选D ．]3．函数y ＝lg(x ＋1)的图像大致是( )A B C DC [由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图像向左平移1个单位．(或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)]4．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >cD [因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1， log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .]5．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( )A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B [画出函数f (x )＝log a |x |的图像(图略)，可知该函数是偶函数．因为函数在(0，＋∞)上单调递增，所以f (1)＜f (2)＝f (－2)＜f (3)，故选B ．]二、填空题6．函数f (x )＝log a (x ＋3)＋12(a >0，a ≠1)的图像恒过定点P ，且点P 在函数y ＝b x (b >0，b ≠1)上，则b ＝________.2 [f (x )＝log a (x ＋3)＋12恒过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，所以b －2＝12，解得b ＝ 2.]7．如果函数f (x )＝(3－a )x ，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．(1,2) [若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎨⎧3－a ＞1，a ＞1，即1＜a ＜2. 若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎨⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1无解．] 8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) [∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图像关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上为减函数，做出函数图像如图所示．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.∴f (log 18x )＞0⇒log 18x ＜－13或log 18x ＞13⇒x ＞2或0＜x ＜12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性．[解] (1)要使函数有意义，则有x ＋1x －1>0，即⎩⎨⎧ x ＋1>0，x －1>0或⎩⎨⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． (2)f (－x )＝log a－x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．10．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．[解] 要使y ＝log 12(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1,1)．令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 12(1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 12(1－x 2)是增函数．故函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 12(1－02)＝0.素养达标11．(多选题)已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列四个选项中，可能成立的有()A．a＞b＞1 B．a＜b＜1C．b＜a＜1 D．a＝bCD[实数a，b满足等式log2a＝log3b，即y＝log2x在x＝a处的函数值和y ＝log3x在x＝b处的函数值相等，当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时D成立；令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知A不成立；令log2a＝log3b＝－1，可得a＝12，b＝13，由此知C成立，B不成立．综上知可能成立的有CD两项．]12．已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图像如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1A[令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图像可知函数y＝log a g(x)是单调递增的，所以必有a>1．又由图像知函数图像与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1<f(0)<0，所以－1<log a b<0，故a－1<b<1，因此0<a－1<b<1．]13．函数f(x)＝log a x(a＞0且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.3[当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，则log a3＝1，∴a＝3.当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，则log a2＝1，∴a＝2(不合题意舍去)．综上得a＝3.]14．已知f (x )＝log 13⎝⎛⎭⎪⎫132－mx －x 2，若f (x )在(－1,2)上单调递减，则实数m 的取值范围是__________；当m ＝________时，f (x )的单调减区间的长度最小．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－112，－4 262 [若函数f (x )＝log 13⎝⎛⎭⎪⎫132－mx －x 2在(－1,2)上单调递减，则令t ＝132－mx －x 2，知其在(－1,2)上单调递增，且恒为正．由t ＝132－mx －x 2的图像开口向下，且以直线x ＝－m2为对称轴，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2≥2，132＋m －1≥0，解得－112≤m ≤－4.对于t ＝132－mx －x 2，则Δ＞0，即(－m )2＋4×132＞0知m ∈R ，单调减区间的长度⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 2a－－b －Δ2a ＝Δ2＝12m 2＋26，∴当m ＝0时，单调减区间的长度最小为262.] 15．已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．[解] (1)若f (x )的定义域为R ，则关于x 的不等式ax 2＋2x ＋1>0的解集为R .当a ＝0时，x >－12，这与x ∈R 矛盾，∴a ≠0，因此，不等式需满足⎩⎨⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a >1．∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)若f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)值域为R ，设t ＝ax 2＋2x ＋1的值域为A ，则(0，＋∞)⊆A ， ①当a ＝0时，t ＝2x ＋1，与题意相符；②当a ≠0时，结合二次函数的性质，得⎩⎨⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1．综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]．。

对数函数

特点 1：定义域： 0,
特点 2：值域： R
特点 3：单调性：单调增
特点 4：奇偶性：无奇偶性
特点 5：定点：过定点 1, 0
特点 6：当 x 1 时， f ( x ) 0 当 0 x 1 时， f ( x ) 0
特点 7：渐进线： y 轴负半轴
对数函数图象与性质江苏省前黄高级中学吕杨春

y 轴正半轴
在 R 上单调减
当 x 1 时， f ( x ) 0 当 0 x 1 时， f ( x ) 0
江苏省前黄高级中学吕杨春

y lo g a x 的图象与 y lo g 1 x 的图象关系
a
结论 1： y lo g a x 的图象与 y lo g 1 x 的图象关于 x 轴对称
定义域定义域
R
值域 0, 值域
R
0, xຫໍສະໝຸດ 观察：y 2 与 y log 2 x 的图象关系
1 y 与 y lo g 1 x 的图象关系 2 2
对数函数图象与性质江苏省前黄高级中学吕杨春
x
关于指数函数 y lo g 2 x 的图像
对数函数图象与性质江苏省前黄高级中学吕杨春
5、利用对数函数的性质解对数方程和对数不等式
1、解方程（1） lo g 2 2 x lo g 2 x 1 1
6 2 （2） 3 2、解不等式
x 2 x 1 2 x2
（1） 0 lo g 1 x 1 x
1、指数函数的定义域与值域和函数的定义域与值域之间的关系
对应的对数
2、指数函数和其对应的对数函数的图象关于 y x 对称

专题28对数函数的图像和性质(二)(解析版)

专题28对数函数的图像和性质（二）考点1函数的反函数1.函数y＝ln x＋1(x>0)的反函数为()A．y＝e x＋1(x∈R)B．y＝e x－1(x∈R)C．y＝e x＋1(x>1)D．y＝e x－1(x>1)【答案】B【解析】由y＝ln x＋1，得x＝e y－1.又因为函数y＝ln x＋1的值域为R，于是y＝ln x＋1的反函数为y＝e x－1(x∈R)．故选B.2.函数f(x)＝(x－1)2＋1(x<1)的反函数为()A．f－1(x)＝1＋√x−1(x>1)B．f－1(x)＝1－√x−1(x>1)C．f－1(x)＝1＋√x−1(x≥1)D．f－1(x)＝1－√x−1(x≥1)【答案】B【解析】∵x<1⇒y＝(x－1)2＋1，∴(x－1)2＝y－1⇒x－1＝－√y−1，∴反函数为f－1(x)＝1－√x−1(x>1)．3.已知指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，且g(x)过点(4,2)，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝log4xB．f(x)＝log2xC．f(x)＝2xD．f(x)＝4x【答案】C【解析】指数函数的解析式为：f(x)＝a x(a>0，a≠1)，∵f(x)的反函数记为y＝g(x)函数的图象经过(4,2)点，∴f(x)的图象经过(2,4)点，∴4＝a2，a＝2，∴指数函数的解析式为y＝2x.故选C.4.已知函数f(x)的反函数为g(x)＝log2x＋1，则f(2)＋g(2)等于()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】因为函数f(x)的反函数为g(x)＝log2x＋1，所以f(2)＋g(2)＝f(2)＋2.而根据反函数的图象与性质可知f (2)＝2，因此选D.5.函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝f (4x －x 2)的递增区间是________．【答案】(0,2)【解析】∵函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，∴y ＝f (x )与y ＝2x 互为反函数，∵y ＝2x 的反函数为y ＝log 2x ，∴f (x )＝log 2x ，f (4x －x 2)＝log 2(4x －x 2)．令t ＝4x －x 2，则t >0，即4x －x 2>0，∴x ∈(0,4)，又∵t ＝4x －x 2的对称轴为x ＝2，且对数的底数大于1，∴y ＝f (4x －x 2)的递增区间为(0,2)．6.设f －1(x )为f (x )＝2x －2＋x 2，x ∈[0,2]的反函数，则y ＝f (x )＋f －1(x )的最大值为________．【答案】4【解析】由题意得：f (x )在[0,2]上单调递增，值域为[14，2]，所以f －1(x )在[14，2]上单调递增，因此y ＝f (x )＋f －1(x )在[14，2]上单调递增，其最大值为f (2)＋f －1(2)＝2＋2＝4.考点2 指数函数和对数函数的关系7.函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A ．14B ．12C．2D．4【答案】B【解析】函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)，令y1＝a x，y2＝log a(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝a x与y2＝log a(x＋1)同增或同减．.因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋log a2＋1＋0＝a，解得a＝128.设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a 等于()A．－1B．1C．2D．4【答案】C【解析】设(x，y)是函数y＝f(x)的图象上任意一点，它关于直线y＝－x对称点为(－y，－x)，由已知知(－y，－x)在函数y＝2x＋a的图象上，∴－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，即f(x)＝－log2(－x)＋a，∴f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2.A．M＝NB．M NC．M ND．M∩N＝∅【答案】B【解析】由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，解得x＝－1(舍)或x＝2，故M＝{2}；解得2x＝4或2x＝12，即x＝2或x＝－1，故N＝{2，－1}，因此有M N. 考点3对数不等式10.已知函数f(x)＝{log2x,x>0,log12(−x),x<0,若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)【答案】C【解析】①当a>0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝log12a，f(a)>f(－a)，即log2a>log12a＝log21a，∴a>1a，解得a>1.②当a<0时，f(a)＝log12(−a)，f(－a)＝log2(－a)，f(a)>f(－a)，即log12(−a)>log2(－a)＝log121−a，∴－a<1−a，解得－1<a<0，由①②得－1<a<0或a>1.11.若函数f(x)＝x2lg a－2x＋1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是() A．0<a<10B．1<a<10C．0<a<1D．0<a<1或1<a<10【答案】D【解析】lg a≠0且Δ＝4－4lg a>0，解得0<a<1或1<a<10，故选D.12.已知集合A＝{x|x2≥1，x∈R}，B＝{x|log2x<2，x∈R}，则∁R A∩B等于() A．[0,1]B．(0,1)C．(－3,1)D．[－3,1]【答案】B【解析】集合A ＝{x |x 2≥1，x ∈R }＝{x |x ≥1，或x ≤－1}，B ＝{x |log 2x <2，x ∈R }＝{x |0<x <4}，∴∁R A ＝(－1,1)，∴∁R A ∩B ＝(0,1)，故选B.13.已知函数f (x )＝log a (x －1)(a >0，且a ≠1)，g (x )＝log a (3－x )(a >0，且a ≠1)．(1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围．【答案】(1)要使函数h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (x －1)－log a (3－x )有意义，需有{x −1>0,3−x >0,解得1<x <3，故函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为(1,3)．(2)因为不等式f (x )≥g (x )，即log a (x －1)≥log a (3－x )，当a >1时，有{x −1>0,3−x >0,x −1≥3−x,解得2≤x <3.当0<a <1时，有{x −1>0,3−x >0,x −1≤3−x,解得1<x ≤2.综上可得，当a >1时，不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围为[2,3)；当0<a <1时，不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围为(1,2]．14.已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a >0，且a ≠1)．(1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值；(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．【答案】(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.(2)f(x)－g(x)>0，即log a(1＋x)>log a(1－x)，①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0<x<1.②当0<a<1时，0<1＋x<1－x，得－1<x<0.考点4 建立函数模型解决实际问题15.下列函数关系中，可以看成是指数型函数y＝ka x(k∈R，a＞0且a≠1)模型的是() A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系C．如果某人t s内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D．信件的邮资与其重量间的函数关系【答案】B【解析】A：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；B：我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系，是指数型函数关系；C：如果某人t s内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系，是反比例函数关系；D：信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系．故选B.16.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为如图所示的()A．B．C．D．【答案】D【解析】设原来森林蓄积量是a，则a(1＋10.4%)y＝ax,1.104y＝x，所以y＝log1.104x，故选D.17.如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过30m2；③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3则有t1＋t2＝t3；其中正确的说法有________．(请把正确的说法的序号都填在横线上)【答案】①②④【解析】∵其关系为指数函数，图象过(4,16)点，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t ＝5时，s ＝32＞30，故②正确；4对应的t ＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴有t 1＋t 2＝t 3，故④正确．综上可知，①②④正确．故答案为①②④.两边取对数，得lg a′a ＝－kt lge ．①又知14C 的半衰期是5570年，即当t ＝5570时，a′a ＝12.故lg 12＝－5570k lge ，即k lge ＝lg25570.代入①式，并整理，得t ＝－5570lga′a lg2.这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的a′a 是0.879，代入公式，得t＝－5570lg0.879lg2≈1036.即古莲子约是1036年前的遗物．(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129≈1.32,1.031210≈1.36)【答案】(1)由题意知f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)×6.24%＝f (1)×(1＋3.12%)， f (3)＝f (2)(1＋6.4%)－12f (2)×6.24%＝f (1)(1＋3.12%)2，∴f (x )＝19800(1＋3.12%)x －1(x ∈N *)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝19800(1＋3.12%)9≈26107(万美元)．2009年诺贝尔奖各项金额为16×12f (10)×6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元．故该新闻是假的．20.某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数解析式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该城市人口总数将达到120万人．(精确到1年)[参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.210]【答案】(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3…故x年后该城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．(3)令y＝120，则有100(1＋1.2%)x＝120，解得x≈16.即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．。

巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修一《对数函数的图像和性质》基础强化训练及解析

北师大版高中数学必修一双基限时练(二十五) 对数函数的图像和性质(二)基础强化1．若函数y＝log(a－3)x在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，－3)B. (0,1)∪(1,3)C. (3,4)D. (4，＋∞)解析由0<a－3<1，得3<a<4.答案 C2．已知log12b<log12a<log12c，则( )A. 2b>2a>2cB. 2a<2b<2cC. 2c<2b<2aD. 2c>2a>2b解析由对数函数的单调性可知b>a>c，由指数函数的性质知2b>2a>2c，故选A.答案 A3．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )A. (2，＋∞)B. (－∞，2)C. [2，＋∞)D. [3，＋∞)解析∵x≥1，∴log2x≥0，∴2＋log2x≥2，故选C.答案 C4．已知f(x)＝|lgx|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，f(2)的大小关系为( )A ．f(2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13>f(2)C ．f(2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14>f(2)解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝|lg 14|＝|－lg4|＝lg4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝lg3，f(2)＝|lg2|＝lg2，∵lg4>lg3>lg2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13>f(2)．答案 B5．设a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<b<a解析 ∵c ＝1.10.9>1，b ＝log 1.10.9<0，又0<log 0.70.8<log 0.70.7＝1， ∴b<a<c. 答案 C6．已知log a (a 2＋1)<log a (2a)<0，则a 的取值范围是( )A. (0,1)B. ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12C. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1 D. (1，＋∞)解析原不等式可化为log a (a 2＋1)<log a (2a)<log a 1，当a>1时，显然log a 2a<log a 1不成立；当0<a<1时，由函数的单调性可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1>2a ，2a>1，得a>12，且a ≠1.又由0<a<1，∴12<a<1.综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1.答案 C7．函数y ＝log 2(x ＋k)的图像恒过(0,0)点，则函数y ＝log 12(x －k)的图像恒过点________．解析由题意得，log 2k ＝0，∴k ＝1，∴y ＝log 12(x －1)的图像恒过(2,0)点．答案 (2,0)能力提升8．已知0<a<1,0<b<1，若alog b (x －3)<1，则x 的取值范围是________．解析∵0<a<1，∴由alog b(x－3)<1知log b(x－3)>0，又0<b<1，∴0<x－3<1，得3<x<4.答案(3,4)9．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③f(x1)－f(x2)x1－x2>0；④f(x)的值域为R.当f(x)＝lnx时，上述结论中正确结论的序号是________．解析∵lnx1＋lnx2＝ln(x1x2)，∴①不正确，②正确；又y＝lnx为单调递增函数，∴③正确；结合y＝lnx的图像可知④正确．答案②③④10．已知f(x)＝log12(x2－ax＋2)(1)写出当a＝3时，f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解(1)当a＝3时，f(x)＝log12(x2－3x＋2)＝log12(x－1)(x－2)．函数f(x)在(－∞，1)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．(2)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋2≥0，得a ≤3.11．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a>0，且a ≠1)的定义域和值域都为[0,1]．(1)求a 的值；(2)试比较log a 5与log 5a 的大小．解析 (1)当a>1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (1)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2；当0<a<1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f (1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝1，log a 2＝0，无解．综上可知a ＝2.(2)由(1)知a ＝2，则log a 5＝log 25>2，log 5a ＝log 52<1，所以log a 5>log 5a. 12．已知函数f(x)＝log a (3－ax)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围． (2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)当x ∈[0,2]时，f(x)恒有意义，必须3－2a>0，a<32.又a 是底数，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32.(2)令t ＝3－ax ，则t 在[1,2]上递减，要使f(x)在[1,2]上为减函数，必须a>1，而t 在x ∈[1,2]上必须恒大于0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a>0，3－2a>0.∴1<a<32.∵f(1)＝log a (3－a)＝1， ∴3－a ＝a. ∴a ＝32.∴不存在这样的a ，使得f(x)在[1,2]上为减函数且最大值为1.考题速递13．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>bD ．a>b>c解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c ，故选D.答案 D。

新教材苏教版高中数学必修一 4.4.2 对数函数的图象和性质(二)

4.4.2 对数函数的图象和性质（二）一、选择题1．下列式子中成立的是( ) A ．log 0.44＜log 0.46 B ．1.013.4＞1.013.5 C ．3.50.3＜3.40.3 D ．log 76＜log 672．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b3．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )4．函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，则a 的值为( ) A ．2 B ．12C ．2或12D ．35．若点(a ，b )在函数f (x )＝ln x 的图象上，则下列点中，不在函数f (x )图象上的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1a ，－b B ．(a ＋e,1＋b ) C.⎝⎛⎭⎫ea ，1－b D ．(a 2,2b )6．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a ＞0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的大致图象是( )7．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b二、填空题8．函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为________．9．函数f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )的单调递减区间是________．10．已知函数y ＝log a (2－ax )(a >0，且a ≠1)在[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．三、解答题11．比较下列各组数的大小 (1)log 0.13与log 0.1π； (2)log 45与log 65； (3)3log 45与2log 23；(4)log a (a ＋2)与log a (a ＋3)(a ＞0且a ≠1)．12．已知f (x )＝|lg x |，且1c ＞a ＞b ＞1，试比较f (a )，f (b )，f (c )的大小．13．是否存在实数a ，使函数y ＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．14．设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫1－ax ，其中0＜a ＜1. (1)证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)若f (x )＞1，求x 的取值范围．15．森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q 与森林面积S 的关系是Q ＝50log 2S10.(1)若要保证森林具有净化效果(Q ≥0)，则森林面积至少为多少个单位？ (2)当某森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为多少个单位？答案：1、解析：选D 因为y ＝log 0.4x 为减函数，故log 0.44＞log 0.46，故A 错；因为y ＝1.01x为增函数，所以1.013.4＜1.013.5，故B 错；由幂函数的性质知，3.50.3＞3.40.3，故C 错．2、解析：选D ∵0＜a ＝2-13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，∴c ＞a ＞b .故选D.3、解析：选A 函数的定义域为(－∞，1)，排除B 、D ，函数f (x )＝log 2(1－x )在定义域内为减函数，排除C ，故A 正确．4、解析：选B 法一：函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数为y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝log a x 的图象过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.法二：∵函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，∴函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过点(a ，a )，∴a a ＝a ＝a 12，即a ＝12.5、解析：选B 因为点(a ，b )在f (x )＝ln x 的图象上，所以b ＝ln a ，所以－b ＝ln 1a ，1－b ＝ln ea ，2b ＝2ln a ＝ln a 2，故选B.6、解析：选A f (x )＝(k －1)a x －a －x (a ＞0，且a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)＝(k －1)a 0－a 0＝k －2＝0，∴k ＝2.∵f (x )是减函数，∴0＜a ＜1，∴g (x )＝log a (x ＋k )的图象是选项A 中的图象．7、解析：选B ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab <1，∴ab <a ＋b <0.8、解析：由2－x ＞0，得x ＜2.又函数y ＝2－x ，x ∈(－∞，2)为减函数， ∴函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为(－∞，2)．答案：(－∞，2)9、解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，4－x ＞0得－2＜x ＜4，因此函数f (x )的定义域为(－2,4)．f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )＝ln(－x 2＋2x ＋8) ＝ln [－(x －1)2＋9]，设u ＝－(x －1)2＋9，又y ＝ln u 是增函数， u ＝－(x －1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f (x )的单调递减区间为(1,4)．答案：(1,4)10、解析：令u ＝2－ax ，则y ＝log a u ，因为a ＞0，所以u ＝2－ax 递减，由题意知y ＝log a u 在[0,1]内递增，所以a ＞1.又u ＝2－ax 在x ∈[0,1]上恒大于0，所以2－a ＞0，即a ＜2.综上，1＜a ＜2.答案：(1,2)11、解：(1)∵函数y ＝log 0.1x 是减函数，π>3， ∴log 0.13>log 0.1π.(2)法一：∵函数y ＝log 4x 和y ＝log 6x 都是增函数， ∴log 45>log 44＝1，log 65<log 66＝1. ∴log 45>log 65.法二：画出y ＝log 4x 和y ＝log 6x 在同一坐标系中的图象如图所示，由图可知log 45＞log 65. (3)∵3log 45＝log 453＝log 4125＝log 2125log 24＝12log 2125＝log 2125，2log 23＝log 232＝log 29，又∵函数y ＝log 2x 是增函数，125>9， ∴log 2125>log 29，即3log 45>2log 23. (4)∵a ＋2＜a ＋3，故①当a ＞1时，log a (a ＋2)＜log a (a ＋3)； ②当0＜a ＜1时，log a (a ＋2)＞log a (a ＋3)．12、解：先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象位于x 轴下方的部分折到x 轴上方，于是得f (x )＝|lg x |图象(如图)，由图象可知，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由1c ＞a ＞b ＞1得：f 1c ＞f (a )＞f (b )，而f 1c ＝⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c )．∴f (c )＞f (a )＞f (b )． 13、解：存在．设u ＝g (x )＝ax 2－x ，则y ＝log a u .假设符合条件的a 值存在． (1)当a ＞1时，只需g (x )在[2,4]上为增函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，g (2)＝4a －2＞0.解得a ＞12.∴a ＞1.(2)当0＜a ＜1时，只需g (x )在[2,4]上为减函数，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，g (4)＝16a －4＞0.无解．综上所述，当a ＞1时，函数y ＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数．14、解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(a ，＋∞)，不妨令0＜a ＜x 1＜x 2，g (x )＝1－ax ，则g (x 1)－g (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－a x 1－⎝⎛⎭⎫1－ax 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2， ∵0＜a ＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴g (x 1)－g (x 2)＜0， ∴g (x 1)＜g (x 2)，∴g (x )为增函数，又∵0＜a ＜1，∴f (x )是(a ，＋∞)上的减函数． (2)∵log a ⎝⎛⎭⎫1－a x ＞1，∴0＜1－ax ＜a ， ∴1－a ＜ax ＜1.又∵0＜a ＜1，∴1－a ＞0，∴a ＜x ＜a1－a， ∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫a ，a1－a .15、解：(1)由题意，当Q ＝0时，代入关系式可得0＝50log 2S10，解得S ＝10，因为Q 随S 的增大而增大，所以当Q ＞0时S ≥10. 所以森林面积至少有10个单位． (2)将S ＝80代入关系式，得Q ＝50log 28010＝150，所以当森林面积为80个单位时，它能净化的空气量为150个单位．。

高中数学第四章对数运算与对数函数3对数函数第2课时习题课对数函数图象和性质的应用课后习题北师大版必修

第2课时　习题课　对数函数图象和性质的应用A级必备知识基础练1.已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为( )A.(0,+∞)B.(0,12)C.(1,2)D.(-∞,0)2.已知函数f(x)=lg5x+45x+m的值域为R,则m的取值范围为( )A.(-4,+∞)B.[-4,+∞)C.(-∞,4)D.(-∞,-4]3.已知函数f(x)={lo g2x,x>0,3x,x≤0,直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是 .4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f(13)=0,则不等式f(lo g18x)>0的解集为 .5.求函数y=log a(a-ax)的单调区间.6.已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明.B级关键能力提升练7.若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,4)B.(-4,4]C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4)8.已知函数f(x)={lo g2x+a,x>0,ax+1,x≤0,若f(4)=3,则f(x)>0的解集为( )A.{x|x>-1}B.{x|-1<x≤0}C.{x|x>-1,且x≠0}D.{x∨-1<x≤0,或x>12}9.(多选题)(2021江苏镇江扬中第二高级中学高一期末)下列结论中正确的有( )A.函数f(x)=a x-1+3(a>0,a≠1)的图象一定过定点P(1,3)B.函数f(x-1)的定义域是(1,3),则函数f(x)的定义域为(2,4)C.若log a 12>1,则a的取值范围是12,1D.若2-x-2y>ln x-ln(-y)(x>0,y<0),则x+y<010.已知函数y=log a x(a>0,且a≠1),当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是 .11.已知函数f(x)=log21+axx-1(a为常数)是奇函数.(1)求a的值与函数f(x)的定义域;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围.C级学科素养创新练12.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则实数k的取值范围是( )A.(0,1)B.[0,1)C.(-∞,0]∪[1,+∞)D.[1,+∞)第2课时　习题课　对数函数图象和性质的应用1.B　由于函数f(x)=log3(1-ax)在(-∞,2]上为减函数,且函数y=log3u为增函数,则函数u=1-ax 在(-∞,2]上为减函数,且u=1-ax>0在(-∞,2]上恒成立,∴-a<0,得a>0,且u min=1-2a>0,解得a< 12.因此,实数a的取值范围是(0,12).故选B.2.D　令t=5x+45x+m≥2√5x·45x+m=4+m,当且仅当x=log52时,等号成立.则y=lg t.∵值域为R,∴t可取(0,+∞)上的每一个正数,∴4+m≤0,∴m≤-4,故选D.3.(0,1]　函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0<a≤1.4.(0,12)∪(2,+∞)　∵f(x)是R上的偶函数,∴它的图象关于y轴对称.∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0]上单调递减.由f(13)=0,得f(-13)=0.∴f(lo g18x)>0,∴lo g18x<-13或lo g18x>13,解得x>2或0<x<12,∴x∈(0,12)∪(2,+∞).5.解令t=a-ax.①当a>1时,y=log a t在定义域内是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax<a,所以x<1.所以y=log a(a-ax)在区间(-∞,1)上单调递减.②当0<a<1时,y=log a t在定义域内是减函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax<a,所以x<1.所以y=log a(a-ax)在区间(-∞,1)上单调递增.综上所述,当a>1时,函数y=log a(a-ax)在区间(-∞,1)上单调递减;当0<a<1时,函数y=log a(a-ax)在区间(-∞,1)上单调递增.6.解(1)要使函数f(x)有意义,则{x+2>0,2-x>0,解得-2<x<2.故所求函数f(x)的定义域为(-2,2).(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为(-2,2),设任意的x∈(-2,2),则-x∈(-2,2),且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),故f(x)为奇函数.7.D　令g(x)=x2-ax-3a,则由函数f(x)=log2t在区间(-∞,-2]上单调递减,可得函数g(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,所以g(-2)>0,且a2≥-2,解得-4≤a<4,故选D.8.D　∵f(4)=log24+a=3,∴a=1,∴f(x)={lo g2x+1,x>0,x+1,x≤0,当x>0时,log2x+1>0,∴log2x>-1=log212,∴x>12.当x≤0时,x+1>0,∴x>-1.∴-1<x≤0.综上,-1<x≤0或x>12.9.CD　对于A选项,f(x)=a x-1+3(a>0,a≠1),令x-1=0,可得x=1,f(1)=a0+3=4,所以函数f(x)的图象过定点(1,4),A选项错误;对于B选项,1<x<3,则0<x-1<2,所以函数f(x)的定义域为(0,2),B选项错误;对于C选项,当0<a<1时,由log a12>1=log a a,可得a>12,此时12<a<1;当a>1时,由log a12>1=log a a,可得a<12,此时a∈⌀.综上所述,实数a的取值范围是12,1,C选项正确;对于D选项,当x>0,y<0时,由2-x-2y>ln x-ln(-y),可得2-x-ln x>2y-ln(-y),构造函数f(x)=2-x-ln x(x>0),则f(x)>f(-y),由于函数y1=2-x,y2=-ln x在(0,+∞)上均为减函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,则x<-y,即x+y<0,D选项正确.故选CD.10.[12,1)∪(1,2]　当a>1时,y=log a x在区间(2,+∞)上单调递增,由log a2≥1,得1<a≤2;当0<a<1时,y=log a x在区间(2,+∞)上单调递减,且log a2≤-1,得12≤a<1.故a的取值范围是[12,1)∪(1,2].11.解(1)∵函数f(x)=log21+axx-1是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴log21-ax-x-1=-log21+axx-1.即log2ax-1x+1=log2x-11+ax,∴a=±1.当a=-1时,f(x)=log21-xx-1无意义,舍去,∴a=1.令1+xx-1>0,解得x<-1或x>1.所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),当x>1时,x+1>2,∴log2(1+x)>log22=1.∵x∈(1,+∞),f(x)+log2(x-1)>m恒成立,∴m≤1.故m的取值范围是(-∞,1].12.C　令t=x2-2kx+k,由y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,故其真数x2-2kx+k必能取到(0,+∞)内的所有值,故函数t=x2-2kx+k的图象一定恒与x轴有交点,所以Δ=4k2-4k≥0,即k≤0或k≥1.。

高中数学同步练习对数函数的图像和性质

第三章 3.5 第2课时A 级基础巩固1．如果log 12 x<log 12y<0,那么( D )A ．y<x<1B ．x<y<1C ．1<x<yD ．1<y<x [解析] 因为y ＝log 12x 为(0,＋∞)上的减函数,所以x>y>1.2．已知y ＝4x 的反函数为y ＝f(x),若f(x 0)＝12,则x 0的值为( C ) A ．－2 B ．－1 C ．2D ．12 [解析] ∵y ＝4x 的反函数f(x)＝log 4x,又f(x 0)＝12,∴log 4x 0＝12. ∴x 0＝2.3．(2019·天津文,5)已知a ＝log 27,b ＝log 38,c ＝0.30.2,则a,b,c 的大小关系为( A )A ．c<b<aB ．a<b<cC ．b<c<aD ．c<a<b [解析] a ＝log 27>log 24＝2,log 38<log 39＝2,log 38>log 33＝1,∴1<b<2,c ＝0.30.2<0.30＝1,∴c<b<a,故选A ．4．设a ＝log 2π,b ＝log 12 π,c ＝π－2,则( C )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>b>a[解析] ∵a ＝log 2π>1,b ＝log 12 π<0,c ＝π－2＝1π2∈(0,1),∴a>c>b. 5．(2019·浙江高考,6)在同一直角坐标系中,函数y ＝1a x ,y ＝log a (x ＋12),(a>0且a≠0)的图像可能是( D )[解析] 令x ＋12＝1,得x ＝12, ∴函数y ＝log a (x ＋12)的图像过点(12,0),排除A 、C ；又函数y ＝1a x 与y ＝log a (x ＋12)的单调性相反,排除B,故选D ．6．函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( D )A ．(－∞,－2)B ．(－∞,1)C ．(1,＋∞)D ．(4,＋∞) [解析] 由x 2－2x －8>0,得x<－2或x>4.令g(x)＝x 2－2x －8,函数g(x)在(4,＋∞)上单调递增,在(－∞,－2)上单调递减,∴函数f(x)的单调递增区间为(4,＋∞)．7．函数y ＝log 12(1－2x)的单调递增区间为(－∞,12). [解析] 令u ＝1－2x,函数u ＝1－2x 在区间(－∞,12)内递减,而y ＝log 12u 是减函数, 故函数y ＝log 12(1－2x)在(－∞,12)内递增． 8．若函数f(x)＝xln(x ＋a ＋x 2)为偶函数,则a ＝1.[解析] 由题知y ＝ln(x ＋a ＋x 2)是奇函数,所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝ln(a ＋x 2－x 2)＝ln a ＝0,解得a ＝1.9．已知f(x)＝ln 1＋x 1－x. (1)求f(x)的定义域；(2)求使f(x)>0的x 的取值范围．[解析] (1)要使函数有意义,应满足1＋x 1－x>0, ∴(x －1)(x ＋1)<0,∴－1<x<1,∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．(2)要使f(x)＝ln 1＋x 1－x>0,则有1＋x1－x >1,∴1＋x1－x －1>0,∴2x1－x >0,∴x(x －1)<0,∴0<x<1,∴使f(x)>0的x 的取值范围为(0,1)．10．(1)已知log a 12>1,求a 的取值范围；(2)已知log 0.72x<log 0.7(x －1),求x 的取值范围．[解析] (1)由log a 12>1得log a 12>log a a.①当a>1时,有a<12,此时无解．②当0<a<1时,有12<a,从而12<a<1.∴a 的取值范围是(12,1)．(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0,＋∞)上是减少的,∴由log 0.72x<log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x>0，x －1>0，2x>x －1，解得x>1.即x 的取值范围是(1,＋∞)．B 级素养提升1．(2019·天津理,6)已知a ＝log 52,b ＝log 0.50.2,c ＝0.50.2,则a,b,c 的大小关系为( A )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．b<c<aD ．c<a<b[解析] a ＝log 52<log 55＝12,b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1,0.51<0.50.2<0.50,∴12<0.50.2<1,∴12<c<1,∴a<c<b,故选A ．2．(2019·全国卷Ⅲ理,11)设f(x)为定义域为R 的偶函数,且在(0,＋∞)上单调递减,则( C) A ．f(log 314)>f(2-32 )>f(2-23 )B ．f(log 314)>f(2-23 )>f(2-32 )C ．f(2－32)>f(2-23 )>f(log 314) D ．f(2－23)>f(2-32 )>f(log 314) [解析] ∵f(x)的定义域为R 的偶函数,∴f(log 314)＝f(－log 34)＝f(log 34)．又log 34>log 33＝1,0<2-23 <1,0<2-23 <1,且2-23 >2－32, ∴log 34>2-23 >2-32 >0,又∵f(x)在(0,＋∞)上单调递减,∴f(log 34)<f(2-23 )<f(2-32 ),∴f(2－32)>f(2-23 )>f(log 314),故选C ． 3．已知函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1),如果对于任意x ∈[3,＋∞)都有|f(x)|≥1成立,则a 的取值范围是[13,1)∪(1,3]. [解析] 由题意知,在区间[3,＋∞)上,当a>1时,因为|f(x)|≥1,∴f(x)≥1,∴log a 3≥1.所以1<a≤3.当0<a<1时,因为|f(x)|≥1,∴f(x)≤－1,∴log a 3≤－1.所以13≤a<1. 综上,可得a 的取值范围是[13,1)∪(1,3]． 4．已知函数f(x)＝log a x(0<a<1),对于下列叙述：①若x>1,则f(x)<0；②若0<x<1,则f(x)>0；③若f(x 1)>f(x 2),则x 1>x 2；④f(xy)＝f(x)＋f(y)(x>0,y>0)．其中正确的序号是①②④.(写出所有叙述正确的序号)[解析] f(x)＝log a x(0<a<1)在(0,＋∞)上是减函数,易知①②正确,③错误；④符合对数的运算法则,正确．5．比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3,ln2；(2)log a 3.1,log a 5.2(a>0,且a ≠1)；(3)log 30.2,log 40.2；(4)log 3π,log π3.[解析] (1) 因为函数y ＝lnx 是增函数,且0.3<2,所以ln0.3<ln2.(2)当a>1时,函数y ＝log a x 在(0,＋∞)上是增函数,又3.1<5.2, 所以log a 3.1<log a 5.2；当0<a<1时,函数y ＝log a x 在(0,＋∞)上是减函数, 又3.1<5.2,所以log a 3.1>log a 5.2.(3)解法1：因为0>log 0.23>log 0.24,所以1log 0.23<1log 0.24,即log 30.2<log 40.2. 解法2：如图所示由图可知log 40.2>log 30.2.(4)因为函数y ＝log 3x 是增函数,且π>3,所以log 3π>log 33＝1.同理,1＝log ππ>log π3,所以log 3π>log π3.6．(2019·河北沧州市高一期中测试)已知x 满足(log 12 x)2－log 12x －6≤0,求f(x)＝(1＋log 2x)log 2x 4的最大值与最小值及相应x 的值．[解析] 由(log 12 x)2－log 12 x －6≤0,得－2≤log 12x≤3,∴18≤x≤4. f(x)＝(1＋log 2x)(log 2x －2),令t ＝log 2x ∈[－3,2],∴y ＝(t ＋1)(t －2)＝t 2－t －2＝(t －12)2－94, ∴当 t ＝12,即log 2x ＝12,x ＝2时,函数取最小值－94；当t ＝－3,即log 2x ＝－3,x ＝18时,函数的最大值(－3－12)2－94＝10. C 级能力拔高已知f(x)＝log a (x ＋1),g(x)＝log a (1－x)(其中a>0且a≠1)．(1)求f(x)＋g(x)的定义域；(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性并说明理由；(3)求使f(x)＋g(x)<0成立的x 的集合．[解析] (1)f(x)＋g(x)的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>01－x>0,∴－1<x<1,∴定义域为(－1,1)．(2)f(x)＋g(x)为偶函数设F(x)＝f(x)＋g(x),则F(－x)＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x)＝F(x),又因为F(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称,所以f(x)＋g(x)为偶函数．(3)由f(x)＋g(x)<0得log a (x ＋1)＋log a (1－x)<0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x<1log a 1－x 2<0, 当a>1时⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x<10<1－x 2<1,得x ∈(－1,0)∪(0,1)；当0<a<1时⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x<11－x 2>1,解集为空集．综上所述当a>1时,使f(x)＋g(x)<0成立的x 的集合为(－1,0)∪(0,1)；当0<a<1时使f(x)＋g(x)<0成立的x 的集合为∅.。