2019-2020年新人教A版全国通用高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理课件理

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2019-2020学年高中新创新一轮复习理数通用版：第三章导数及其应用Word版含解析.doc

第一节导数的概念及运算本节主要包括2个知识点： 1.导数的运算； 2.导数的几何意义.突破点(一)导数的运算［基本知识］1. 函数y = f(x)在x = x o 处的导数称函数y = f(x)在x = x 0处的瞬时变化率 Hm 0 ~^y= jj m 0 f "0+ :为函数y = f(x)在 x o 处的导数，记作f '(X o )或y ' |x = x o , 即 f '(x \ r 型 |im fx o + & f pj即f (x o )=师&=竺- 空 .2. 函数f(x)的导函数称函数f ' (x)= lim f x +严 =f x 为f(x)的导函数.^x ^Q- A x3.4. 导数运算法则(1) [f(x) ±(x)] ' = f ' (x) ±' (x)；(2) [f(x) g(x)]' = f ' (x)g(x)土f(x)g ' (x); ⑶話'=話宀x (如0)- 5. 复合函数的导数复合函数y = f(g(x))的导数和函数y = f(u), u = g(x)的导数间的关系为 y x '= yj %',第三章导数及其应用x =即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.［基本能力］1. 判断题(1) f'(X0)与(f(x o))'的计算结果相同.()(2) 求f' (x o)时，可先求f(x o)再求f' (x o).( )(3) f‘(x o)是导函数f' (x)在x = x o处的函数值.()(Q, n(4) sin 3 = cos 3.( )(5) 若(In x)' = x，贝V x ' = ln x.( )(6) 函数f(x)= sin(-x)的导数为f' (x)= cosx.( )(7) y= cos 3< 由函数y= cosu, u = 3x 复合而成.()答案：(1)X (2)X (3) V (4) X (5) X (6) X (7) V2. 填空题(1) 已知f(x)= 13—8x + 2x , f'(X o)= 4，贝U x o= ______ .解析：T f' (x)=—8+ 4x,.・.f' (x o) =—8 + 4x o= 4，解得x°= 3. 答案：3 ln x(2) 函数y= --er的导函数为________________ .1 —xln xx答案：yxe⑶已知f(x)= 2sin x+ X,贝y f' 4 = _________ .解析：T f(x)= 2sin x + x,「. f' (x) = 2cosx + 1,贝U f'才=2cos 1 = 2+ 1.答案：.2+ 1研透高考*讲练区［全析考法］2［典例］⑴函数f(x)= (x + 1) (x —3)，则其导函数f' (x)=( )A. 3x2—2xB. 3x2—2x — 52 2C. 3x —xD. 3x —x—5(2)(2018钦州模拟)已知函数f(x) = xln x,则f' (1) + f(4)的值为( )A . 1— 8ln 2B . 1+ 8ln 2D . — 8ln 2 — 1nn n 5 nA ・3B .6C .4 咋2［解析］(1)法一：因为 f(x) = (x + 1) (x — 3) = (x + 1)(x + 1)(x — 3)，所以 f ' (x)= ［(x + 1)(x + 1)］' (x — 3) + (x + 1)(x + 1)(x — 3)' = 2(x + 1)(x — 3) + (x + 1)2= 3x 2— 2x — 5.法二：f(x) = (x + 1)2(x — 3)= x 3— x 2— 5x — 3，贝y f ' (x) = 3x 2 — 2x — 5.(2)因为 f ' (x)= ln x + 1,所以 f ' (1)= 0+ 1 = 1,所以 f ' (1) + f(4) = 1 + 4ln 4= 1 + 8ln 2. 故选B.(3) 因为 f(x)= sin xcos $— cosxsin $— 1 ()<扌，所以 f ' (x) = cosxcos $+ sin xsin $=［方法技巧］导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导分式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数幕的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数如含f ' (X 0), a , b 等的形式，先将待定系数看成常数，再求导复合函数确定复合关系，由外向内逐层求导［全练题点］1.下列函数中满足f(x)= f ' (x)的是( ) A . f(x)= 3 + x B . f(x) =— x C . f(x)= ln xD . f(x) = 0解析：选 D 若 f(x) = 0,贝U f ' (x) = 0,从而有 f(x)= f ' (x).故选 D. 2. (2018 延安模拟)设函数 f(x) = ax + 3，若 f ' (1)= 3,贝U a =( )A . 2B . — 2C . 3D . — 3解析：选C 由题意得，f ' (x)= a ，因为f ' (1) = 3,所以a = 3,故选C.cos(x —妨，因为f '［答案］(1)B (2)B1,因为ov 幣n ，所以片n ，故选A .2 3C . 8ln 2— 1(3)已知函数 f(x) = sin xcos cosxsin (— 1(0<((<-) ，若f 'n =1,贝y $的值为(3. (2018南宁模拟)设f(x)在x= x o处可导，且\im°f乂卄3补一匚乞=1，贝卩f' (x°)=( )1A. 1B. 0C. 3D.3解析：选D因为lim f(xo+ 3 &f)= 1,所以lim「3 x型0主上)L 1,即ZXF A x AXF _ 3 A x13f' (x o)= 1，所以f' (x o) = 3.故选D.4. (2018桂林模拟)已知函数y= xcosx —sin x,则其导函数y'=( )A. xsin xB. —xsin xC. xcosxD. —xcosx解析：选 B 函数y= xcosx —sin x 的导函数y' = cosx—xsin x—cosx=—xsin x, 故选B.3 25. (2018九江一模)已知f(x)是(0,+s )上的可导函数，且f(x) = x + x f' (2) + 2ln x,则函数f(x)的解析式为()3 3 pA. f(x)= x —?x + 2ln xB. f(x)= x3—T^x2+ 2ln x3 2C. f(x)= x —3x + 2ln x3 2D. f(x)= x + 3x + 2ln x2 解析：选 B •/ f(x) = x3+ x2f' (2) + 2ln x, /• f' (x)= 3x2+ 2xf' (2) + -，令x = 2，得f' (2)13 13=12+ 4f' (2) + 1, ••• f' (2) =——, ••• f(x) = x3——x2+ 2ln x,故选B.3 3突破点(二)导数的几何意义抓牢双基自学区［基本知识］函数f(x)在点X0处的导数f'(X0)的几何意义是在曲线y= f(x)上点P(x0 , y0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y—y0= f' (x o)(x—x0).特别地，如果曲线y= f(x)在点(X0 ,y°)处的切线垂直于x轴，则此时导数f' (x o)不存在，由切线定义可知，切线方程为x= x o.［基本能力］1. 判断题(1) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. ()(2) 求曲线过点P的切线时P点一定是切点.()答案：⑴“(2)X2. 填空题(1) 曲线y= x3—x + 3在点(1,3)处的切线方程为 _______ .答案：2x—y+ 1 = 01(2) 已知直线y=—x+ 1是函数f(x) = —a e x图象的切线，则实数a= ____________ .1解析：设切点为(X o, y o),贝U f (x o)=—- J0=—1,ae x o= a,又—-e x)= —x°+ 1，- x°= 2, a = e2.a答案：e2(3) 曲线f(x)= xln x在点M(1, f(1))处的切线方程为__________ .解析：由题意，得f' (x)= In x+ 1，所以f' (1) = In 1+ 1= 1,即切线的斜率为1.因为f(1) = 0，所以所求切线方程为y—0 = x—1,即卩x—y—1 = 0.答案：x—y— 1 = 0研透高考・讲练区［全析考法］3 2［例1］已知函数f(x)= x —4x + 5x— 4.(1) 求曲线f(x)在点(2, f(2))处的切线方程；(2) 求经过点A(2,—2)的曲线f(x)的切线方程.2［解］(1) •/ f' (x)= 3x —8x+ 5,••• f' (2) = 1,又f(2) = —2,•••曲线f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y—(—2) = x —2,即x —y—4= 0.(2)设切点坐标为(X0, x3—4x0+ 5X0 —4),f' (X D)= 3x0 —8x0 + 5,•切线方程为y—(—2) = (3x0—8x0 + 5)(x —2),又切线过点(x0, £—4x；J + 5x0—4),X o — 4x o + 5x o — 2= (3x o — 8x o + 5)( x °— 2), 整理得(x o - 2)2(x o - 1)= 0, 解得X o = 2或x o = 1,•经过 A(2, - 2)的曲线f(x)的切线方程为 x — y - 4 = 0或y + 2= 0. ［方法技巧］求切线方程问题的两种类型及方法'(1)求“在”曲线y = f(x )上一点P(x o , y o )处的切线方程：点P(x o , y o )为切点，切线斜率为k = f ' (X o ),有唯一的一条切线，对应的切线方程为 y -y o = f ' (x o )(x -x o ).'(2)求“过”曲线y = f(x)上一点P(x o , y o )的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点, 也可能不是切点，这样的直线可能有多条. 解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”即:①设切点A(X i , y i ),则以A 为切点的切线方程为 y -y i = f '(X i )(x — x i );②根据题意知点 P(X ), y o )在切线上，点A(x i , y i )在曲线 y = f(x)上，得到方程组求出切点A(x i , y i ),代入方程y -y i = f ' (x i )(x -x i ),化简即得所求的切线方程.［例2］ (2oi8 •州模拟)设函数f(x)= x 3+ ax 2,若曲线y = f(x)在点P(x o , f(x o ))处的切线方程为x + y = o ,则点P 的坐标为()A . (o,o)B . (i , - i)C . (-i,i)D . (i , - i)或(一i,i)［解析］•/ f(x) = x 3 + ax 2,「. f ' (x) = 3x 2 + 2ax ,v 曲线 y = f(x)在点 P(x o , f(x o ))处的切线方程为x + y = o , • 3x o + 2ax o =- i , T X o + x 3+aX = o ,解得 X o = ±i , •当 X o = i 时,f(x o )=-4,当 x o =-i 时，f(xo ) = i.故选 D.i［例3］ (i)(2oi8长沙一模)若曲线y = 2J X 2与曲线y = aln x 在它们的公共点 P(s , t)处具有公共切线，则实数 a =()A . - 2 B.1 C . 1D . 2(2)(2018南京调研)若函数f(x)= In x + ax 的图象存在与直线 2x - y = 0平行或重合的切线，则实数a 的取值范围是 ___________ .y i = f(X i , y o -y i = f 'X i x o - X i ,［答案］D的导数为y' = ,在点P(s, t)处的切线斜率为, y= aln x的导数为2e e ey' = ?,在点P(s, t)处的切线斜率为a，由题意知，S= a，且2"S2= aln s,解得In s=舟,s2x s e s 2e 2=e,故a= 1.(2)函数f(x)= In x+ ax的图象存在与直线2x- y= 0平行或重合的切线，即f' (x)= 2在11 1(0,+^)上有解，而f' (x) = - + a,故- + a = 2,即卩a= 2--在(0, + )上有解，因为x>0, 1所以2--<2，所以a的取值范围是(一R, 2).［答案］(1)C (2)(―汽2)［方法技巧］根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x o, y o)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.［全练题点］1. ［考点一］曲线y= sin x+ e x在点(0,1)处的切线方程是()A. x- 3y+ 3= 0B. x- 2y+ 2= 0C. 2x-y+ 1 = 0D. 3x —y+ 1 = 0解析：选 C T y= sin x + e x,^ y' = cos x + e x,^ y' |x= 0 = cos 0 + e°= 2,.••曲线y=sin x + e x在点(0,1)处的切线方程为y- 1 = 2(x —0)，即2x-y+ 1 = 0.2. ［考点一］曲线y= xe x+ 2x- 1在点(0, - 1)处的切线方程为()A. y= 3x- 1B. y=- 3x - 1C . y= 3x+ 1D . y=- 2x —1解析：选A 因为y' = e x+ xe x+ 2，所以曲线y= xe x+ 2x- 1在点(0, - 1)处的切线的斜率k= y' |x= 0 = 3,.切线方程为y= 3x- 1.x 213.［考点二］已知曲线y= 4- 3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A . 3B . 2C . 11%解析：选A2已知曲线y= :-3ln x(x>0)的一条切线的斜率为十，由y' = fx—3=号,得x= 3，故选A.4.［考点三］(2018东城期末)若直线y=- x+ 2与曲线y=- e x+ a相切，则a的值为()C . — 1D . — 4解析：选A 由于y ' = (— e x +a )' =— e x +a ，令一e x +a =— 1,得切点的横坐标为 x =— a ,所以切点为(一a , — 1)，进而有一(一a)+ 2=— 1,故a =— 3.x ay = e — (a>0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值e范围是1 B. 1C .3x ay = eii iii iv v vi vii viii ix x xi—飞在任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是ee x + a x >2 a 当且仅当e x =事时等号成立，故2 a = . 3,a = 3，故选C.411 解得 x 1= 2, x 2= — 2，二 b = ln x 1+ 1= 1 — ln 2.答案：1— ln 23. (2016全国卷川)已知f(x)为偶函数，当 x<0时，f(x) = ln( — x) + 3x ,则曲线 y = f(x)［全国卷5年真题集中演练一一明规律］1.(2014全国卷n )设曲线y = ax — ln(x + 1)在点(0,0)处的切线方程为 y = 2x ，则a =( ) A . 0 B . 11解析：选D y ' = a — ，由题意得y ' |x =0 = 2, 即卩a — 1= 2，所以a = 3.x + 12. (2016全国卷n )若直线y = kx + b 是曲线y = ln x + 2的切线，也是曲线 y = ln(x + 1) 的切线，贝U b= _______ . 1 1 解析：易得(ln x + 2)' = -, ［ln(x + 1)］'==.设曲线y = ln x + 2上的切点横坐标为xi x 十I 1X 1,曲线y = ln(x + 1)上的切点横坐标为 X 2,则y = ln x + 2的切线方程为：y = — x + ln X 1+ 1,X 1 1y = ln(x 十1)的切线方程为：y =血十1 x 十ln(x 2+5.［考点三］(2018西安一模)若曲线解析：选 C y ' = e x + J,n ，二 e x + ” 3,由 a>0 知,x 2 1)—齐.根据题意，有 X 2X 2+ 1 ,ln X 1 十 1= ln X 2+ 1 —在点(1, - 3)处的切线方程是 __________ .解析：因为f(x)为偶函数，所以当 x>0 时，f(x)= f(— x)= In x — 3x , 所以当 x>0 时，f (x) =丄一3，贝U f f(1) = — 2.所以y = f(x)在点(1,— 3)处的切线方程为 y + 3=— 2(x — 1)，即y =— 2x — 1. 答案：y = — 2x — 1则y' = a x ln a ,所以④正确.因此正确的结论个数是4，故选D.3.若函数y = x m 的导函数为y '= 6x xii ,则m =( )A . 4B . 5C . 6D . 7解析：选C 因为y = x m ,所以y' = mx m — S 与y ' = 6x 5相比较，可得 m = 6. 4.已知函数f(x)= e x (e 是自然对数的底数)，则其导函数f ' (x)=()④若y = a x (a>0)，则y '= a x ln a .其中正确的个数是2_ 27；解析：选D 根据求导公式可知①正确；若 1 y =—x =— x所以②正确；若心戶纟，则f ' (x)= — 2x —3，所以f ' (3)=—空，所以③正确；若y = a x (a>0),x解析：选B 函数f(x) = r,则其导函数e 5.若f (x)= x 2— 2x — 4ln x ,贝V f ' (x)<0的解集为()A . (0 ,+s )C . (0,2) U ( — 3 — 1)解析：选 B 函数 f(x) = x 2— 2x — 4ln x 的定义域为 {x|x>0} , f ' (x) = 2x — 2 — 4 =22x — 2x —4x22x — 2x — 46.(2018信阳模拟)已知函数f(x) = ae xiii + x ,若1<f ' (0)<2 ,则实数a 的取值范围是(B . (0,1)C. (1,2)D . (2,3)解析：选 B 根据题意，f(x) = ae x + x ,则 f ' (x)=(ae x )' + x ' = ae x + 1,贝V f ' (0) = a + 1,若1<f ' (0)<2，贝U 1<a + 1<2，解得0va<1，所以实数a 的取值范围为(0,1).故选B.对点练(二)导数的几何意义1. (2018安徽八校联考)函数f(x)= tan 中在专，苛丿"处的切线的倾斜角a 为( )nB.4nD . n选B.2.若函数f(x) = x 3— x + 3的图象在点P 处的切线平行于直线 y = 2x — 1，则点P 的坐标为()A. (1,3) B . (— 1,3) C . (1,3)或(—1,3)D . (1, — 3)解析：选 C f ' (x)= 3x 2— 1，令 f ' (x)= 2,即 3x 2— 1 = 2? x = 1 或一1,又 f(1) = 3, f(— 1)xiiiA.1+ x xXe —xe 1 — xf ' (x) = 2x-= 厂，故选 B.e e B . (0,2) D . (2, +3 )，由 f ' (x) = <0，得 0vxv2 ,••• f ' (x)<0 的解集为(0,2),故选 B.得切线斜率解析：选B1c 2 x 2cos -= 3,所以P(1,3)或(—1,3),经检验，点(1,3), (—1,3)均不在直线y= 2x—1上，故点P 的坐标为(1,3)或(—1,3).3. (2018福州质检)过点(—1,1)与曲线f(x)= x3—x2—2x+ 1相切的直线有()C • 2条D • 3条解析：选 C 设切点 P(a , a 3-a 2-2a + 1)，由 f ' (x)= 3x 2— 2x — 2，当 a 丰一1 时，可即(3a ?— 2a — 2)(a + 1) = a(a — 2)(a + 1)，所以 a = 1,此时 k = — 1.又(—1,1)是曲线上的点且 f ' （— 1） = 3工一1，故切线有2条.4. （2018重庆一模）已知直线y = a 与函数f （x ）=装一x 2— 3x + 1的图象相切，则实数 a 的值为（）8 8C . 8或—3D • — 8 或？解析：选D8令 f ' (x)= x 2— 2x — 3= 0，得 x =— 1 或 x = 3,••• f (— 1) = 3, f(3) = — 8,3a = 8或—8.3ln x5 • （2018临川一模）函数f （x ）= x + 的图象在x = 1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A -2C3 C.2Di解析：选B因为 f(x)= x +, f (x) = 1 + ------ ，所以 f(1) = 1, f ' (1) = 2,故切9—a 2 — 2a + 1 — 1a—―1 所以(3 a 2— 2a — 2)(a + 1) = a 3— a 2 — 2a , 得切线的斜率数a 的取值范围是［0,+ g ).7. (2017 柳州二模)已知函数 f(x)= x 2+ bx + c(b , c € R ), F(x)= ，若 F(x)的图象 e 在x = 0处的切线方程为 y = — 2x + c ,则函数f(x)的最小值是()x = 0处的切线方程为y — 2x + c ,.・.F— 0一 2，得b = C ，|F(0 尸 c , |b = C ,=0.8. (2018唐山模拟)已知函数f(x)= x 2— 1, g(x)= ln x ，则下列说法中正确的为 ( )A. f(x), g(x)的图象在点(1,0)处有公切线B.存在f(x)的图象的某条切线与 g(x)的图象的某条切线平行C. f(x), g(x)的图象有且只有一个交点D. f(x), g(x)的图象有且只有三个交点解析：选B 对于A , f(x)的图象在点(1,0)处的切线为y = 2x — 2,函数g(x)的图象在点 (1,0)处的切线为y = x — 1,故A 错误；对于B ,函数g(x)的图象在(1,0)处的切线为y = x — 1, 设函数f(x)的图象在点(a , b)处的切线与y = x — 1平行，则f ' (a)= 2a = 1, a =舟，故b =；2— 1 =—学，即g(x)的图象在(1,0)处的切线与f(x)的图象在号，一3处的切线平行，B 正确；如图作出两函数的图象，可知两函数的图象有两个交点，C , D 错误.故选B.9. (2018包头一模)已知函数f(x)= x 3+ ax + 1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7), 则 a= ____________ .解析：函数 f(x)= x 3 + ax +1 的导数为 f ' (x)= 3x 2 + a , f ' (1) = 3 + a ,又 f(1) = a + 2, 所以切线方程为 y — a — 2 = (3 + a)(x — 1),因为切线经过点(2,7),所以7— a — 2= (3 + a)(2 — 1),解得 a = 1.答案：1［大题综合练一一迁移贯通］21 31. (2018兰州双基过关考试)定义在实数集上的函数 f(x)= x + x , g(x) = -x — 2x + m.(1)求函数f(x)的图象在x = 1处的切线方程；⑵若f(x)> g(x)对任意的x € ［— 4,4］恒成立，求实数 m 的取值范围. 解：(1) •/ f(x)= x 2 + x ,.・. f(1) = 2.解析：选C•/f — (x) = 2x + b ,「. F(x)= ^^,2— 2x — bF — (x)= -x ，又F(x)的图象在e ••• f(x) = (x + 2)2》0,f (x)min•/ f (x) = 2x + 1 ,••• f (1) = 3.•••所求切线方程为 y — 2= 3(x — 1)，即3x — y — 1 = 0.(2)令 h(x)= g(x)— f(x)= 3X — X — 3x + m, 则 h ' (x)= (x — 3)(x + 1). •当一4W x < — 1 时，h ' (x)> 0; 当一1v x < 3 时，h ' (x) w 0; 当 3v x < 4时，h ' (x)>0.要使 f(x)> g(x)恒成立，即 h(X)max W 0, 由上知h(x)的最大值在 x =— 1或x = 4处取得，而 h(— 1) = m + 5, h(4) = m —詈， 555• h(x)的最大值为 m + 3，二 m + 0，即 m w — §.•实数m 的取值范围为—a,—5 .2. (2018青岛期末股函数f(x)= ax — -，曲线y = f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 7x—4y — 12= 0.(1)求f(x)的解析式；⑵证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线 x = 0和直线y = x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解：(1)方程 7x — 4y — 12 = 0 可化为 y = 7x — 3，当 x = 2 时，y =4 丿 2 又因为f ' (x)= a +乌,令x =°，得y =-x 0,所以切线与直线x =0的交点坐标为0, =2x 0,所以切线与直线 y = x 的交点坐标为(2x o,2x o ).b 12a—2=1，所以丄b 7 a+ 4= 4.解得F=1,b = 3,所以 f(x)= x — 3.(2)证明：设P(x o , y 0)为曲线y = f(x)上任一点，由y ' = 1 +負知曲线在点 P(X 0, y 。

2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件文新人教A版【优质ppt版本】

3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指点P为切点,斜率为k=f'(x0) 的切线,是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过点P.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.
考点1
考点2
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考点 1
导数的运算
例 1 分别求下列函数的导数:
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
导函数
f '(x)=0 f'(x)= αxα-1 f'(x)= cos x f'(x)= -sin x f'(x)=axln a(a>0,且a≠1) f'(x)= ex
f'(x)= ��l1n��(a>0,且 a≠1)
f(x)=ln x
1
f'(x)= ��
例3设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若
曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )
A.ln 2
B.-ln 2
C.ln22
D.-ln22
思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?
关闭
函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数是 f'(x)=ex-a·e-x.又 f'(x)是奇函数,所以
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知识梳理双基自测自测点评
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2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
(1)定义:称函数
y=f(x)在
x=x0
处的瞬时变化率 lim
Δ �� →0
Δ�� Δ��

高考数学一轮复习第三章导数及其应用3

高考数学一轮复习第三章 3.7 利用导数研究函数零点题型一数形结合法研究函数零点例1 (2020·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋2)． (1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －(x ＋2)，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )<0，解得x <0，令f ′(x )>0，解得x >0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)令f (x )＝0，得e x ＝a (x ＋2)，即1a ＝x ＋2ex ，所以函数y ＝1a 的图象与函数φ(x )＝x ＋2e x 的图象有两个交点，φ′(x )＝－x －1e x ，当x ∈(－∞，－1)时，φ′(x )>0；当x ∈(－1，＋∞)时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(－1)＝e ，且x →－∞时， φ(x )→－∞；x →＋∞时，φ(x )→0，所以0<1a <e ，解得a >1e .所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 教师备选已知函数f (x )＝x e x ＋e x .(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)讨论函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点的个数．解 (1)函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝(x ＋2)e x ，令f ′(x )＝0得x ＝－2，则f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：x (－∞，－2)－2 (－2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减－1e2 单调递增∴f (x )的单调递减区间是(－∞，－2)，单调递增区间是(－2，＋∞)．当x ＝－2时，f (x )有极小值为f (－2)＝－1e 2，无极大值．(2)令f (x )＝0，得x ＝－1，当x <－1时，f (x )<0；当x >－1时，f (x )>0，且f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，－1e 2，(－1,0)，(0,1)．当x →－∞时，与一次函数相比，指数函数y ＝e －x 增长更快，从而f (x )＝x ＋1e －x →0；当x →＋∞时，f (x )→＋∞，f ′(x )→＋∞，根据以上信息，画出f (x )大致图象如图所示．函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点的个数为y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 的交点个数．当x ＝－2时，f (x )有极小值f (－2)＝－1e2.∴关于函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点个数有如下结论：当a <－1e 2时，零点的个数为0；当a ＝－1e 2或a ≥0时，零点的个数为1；当－1e2<a <0时，零点的个数为2.思维升华含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．跟踪训练1 设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．解 (1)当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －e x 2＝x －e x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝2. (2)由题意知g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)．当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点， ∴x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.结合y ＝φ(x )的图象(如图)可知，①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．题型二利用函数性质研究函数零点例2 (12分)(2021·全国甲卷)设函数f (x )＝a 2x 2＋ax －3ln x ＋1，其中a >0. (1)讨论f (x )的单调性； [切入点：判断f ′(x )的正负](2)若y ＝f (x )的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. [关键点：f (x )>0且f (x )有最小值]教师备选已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，g (x )＝x 2＋4. (1)讨论f (x )在[－π，π]上的单调性；(2)令h (x )＝g (x )－4f (x )，试证明h (x )在R 上有且仅有三个零点． (1)解 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫π2，π时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－π2，0，⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减． (2)证明 h (x )＝x 2＋4－4x sin x －4cos x ， ∵h (－x )＝x 2＋4－4x sin x －4cos x ＝h (x )， ∴h (x )为偶函数．又∵h (0)＝0，∴x ＝0为函数h (x )的零点．下面讨论h (x )在(0，＋∞)上的零点个数： h (x )＝x 2＋4－4x sin x －4cos x ＝x (x －4sin x )＋4(1－cos x )．当x ∈[4，＋∞)时， x －4sin x >0,4(1－cos x )≥0， ∴h (x )>0， ∴h (x )无零点；当x ∈(0,4)时，h ′(x )＝2x －4x cos x ＝2x (1－2cos x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，h ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫π3，4时，h ′(x )>0，∴h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫π3，4上单调递增， ∴h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫π3＝π29＋4－4π3sin π3－4cos π3＝π29＋2－23π3<0，又h (0)＝0，且h (4)＝20－16sin 4－4cos 4>0， ∴h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上无零点，在⎝⎛⎭⎫π3，4上有唯一零点．综上，h (x )在(0，＋∞)上有唯一零点，又h (0)＝0且h (x )为偶函数，故h (x )在R 上有且仅有三个零点．思维升华利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．跟踪训练2 已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )只有一个零点．(1)解当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3.令f ′(x )＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3. 当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时， f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)，单调递减区间为(3－23，3＋23)． (2)证明因为x 2＋x ＋1>0在R 上恒成立，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2x 2＋2x ＋3x 2＋x ＋12≥0在R 上恒成立，当且仅当x ＝0时，g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6⎝⎛⎭⎫a －162－16<0， f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点．综上所述，f (x )只有一个零点．题型三构造函数法研究函数的零点例3 (2021·全国甲卷)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝x aa x (x >0)．(1)当a ＝2时，求f (x )的单调区间；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有且仅有两个交点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 22x (x >0)，f ′(x )＝x 2－x ln 22x(x >0)，令f ′(x )>0，则0<x <2ln 2，此时函数f (x )单调递增，令f ′(x )<0，则x >2ln 2，此时函数f (x )单调递减，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，2ln 2，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2ln 2，＋∞. (2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝1有且仅有两个交点，可转化为方程x a a x ＝1(x >0)有两个不同的解，即方程ln x x ＝ln aa 有两个不同的解．设g (x )＝ln xx (x >0)，则g ′(x )＝1－ln xx 2(x >0)，令g ′(x )＝1－ln xx 2＝0，得x ＝e ，当0<x <e 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x >e 时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，故g (x )max ＝g (e)＝1e ，且当x >e 时，g (x )∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，又g (1)＝0，所以0<ln a a <1e ，所以a >1且a ≠e ，即a 的取值范围为(1，e)∪(e ，＋∞)．教师备选(2022·南阳质检)已知f (x )＝13x 3＋32x 2＋2x ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求f (x )的极值；(2)令g (x )＝f ′(x )＋k e x －1，若y ＝g (x )的函数图象与x 轴有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如表所示：x (－∞，－2)－2 (－2，－1)－1 (－1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗由表可知，函数f (x )的极大值为f (－2)＝－23，极小值为f (－1)＝－56.(2)由(1)知g (x )＝x 2＋3x ＋2＋k e x －1＝x 2＋3x ＋1＋k e x ，由题知需x 2＋3x ＋1＋k e x ＝0有三个不同的解，即k ＝－x 2＋3x ＋1e x有三个不同的解．设h (x )＝－x 2＋3x ＋1e x，则h ′(x )＝x 2＋x －2e x ＝x ＋2x －1e x ，当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，当x ∈(－2,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，又当x →－∞时，h (x )→－∞，当x →＋∞时，h (x )→0且h (x )<0，且h (－2)＝e 2，h (1)＝－5e .作出函数h (x )的简图如图，数形结合可知，－5e<k <0.思维升华涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x ，m >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥1时，讨论f (x )与g (x )图象的交点个数．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x ＋mx －mx .当0<x <m 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >m 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )． (2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，题中问题等价于求函数F (x )的零点个数．F ′(x )＝－x －1x －m x ，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，因为F (1)＝32>0，F (4)＝－ln 4<0，所以F (x )有唯一零点；当m >1时，0<x <1或x >m 时，F ′(x )<0；1<x <m 时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，因为F (1)＝m ＋12>0， F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)<0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即函数f (x )与g (x )的图象总有一个交点．课时精练1．(2022·贵阳模拟)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2(a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，g (x )＝f (x )－2x ＋b ，讨论g (x )的零点个数．解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )，若a >0，当x ∈(－∞，0)∪(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，若a <0，当x ∈(－∞，a )∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(a,0)时，f ′(x )<0，综上，当a >0时，f (x )在(－∞，0)，(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，当a <0时，f (x )在(－∞，a )，(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减．(2)g (x )＝13x 3－12x 2－2x ＋b ，令g (x )＝0，所以b ＝－13x 3＋12x 2＋2x ，令h (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x ，则h ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)，所以h ′(2)＝0，h ′(－1)＝0，且当x <－1时，h ′(x )<0；当－1<x <2时，h ′(x )>0；当x >2时，h ′(x )<0，所以h (x )极小值＝h (－1)＝13＋12－2＝－76， h (x )极大值＝h (2)＝－13×8＋12×4＋4＝103，如图，当b <－76或b >103时，函数g (x )有1个零点；当b ＝－76或b ＝103时，函数g (x )有2个零点；当－76<b <103时，函数g (x )有3个零点．2．已知函数f (x )＝e x (ax ＋1)，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝bx －e.(1)求a ，b 的值；(2)若函数g (x )＝f (x )－3e x －m 有两个零点，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝e x (ax ＋1)，则f ′(x )＝e x (ax ＋1)＋e x ·a ＝e x (ax ＋1＋a )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′1＝e 2a ＋1＝b ，f 1＝e a ＋1＝b －e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3e ， ∴a ＝1，b ＝3e.(2)g (x )＝f (x )－3e x －m ＝e x (x －2)－m ，函数g (x )＝e x (x －2)－m 有两个零点，相当于函数u (x )＝e x ·(x －2)的图象与直线y ＝m 有两个交点，u ′(x )＝e x ·(x －2)＋e x ＝e x (x －1)，当x ∈(－∞，1)时，u ′(x )<0，∴u (x )在(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0，∴u (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴当x ＝1时，u (x )取得极小值u (1)＝－e.又当x →＋∞时，u (x )→＋∞，当x <2时，u (x )<0，∴－e<m <0，∴实数m 的取值范围为(－e,0)．3．已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若函数f (x )在x ＝0处取得极值，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围．解 (1)由f (x )＝e x ＋ax －a ，得f ′(x )＝e x ＋a .∵函数f (x )在x ＝0处取得极值，∴f ′(0)＝e 0＋a ＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝e x －x ＋1，f ′(x )＝e x －1.∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．易知f (x )在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，且f (－2)＝1e 2＋3，f (1)＝e ，f (－2)>f (1)， ∴f (x )在[－2,1]上的最大值是1e 2＋3. (2)f ′(x )＝e x ＋a .①当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上单调递增，且当x >1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)>0，当x <0时，取x ＝－1a，则f ⎝⎛⎭⎫－1a <1＋a ⎝⎛⎭⎫－1a －1＝－a <0， ∴函数f (x )存在零点，不满足题意．②当a <0时，令f ′(x )＝e x ＋a ＝0，则x ＝ln(－a )．当x ∈(－∞，ln(－a ))时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(ln(－a )，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当x ＝ln(－a )时，f (x )取得极小值，也是最小值．当x →－∞时，f (x )→＋∞，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )>0，解得－e 2<a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2,0)．4．(2022·潍坊模拟)已知函数f (x )＝x 2－a sin x －2(a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线经过坐标原点，求实数a ； (2)当a >0时，判断函数f (x )在x ∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．解 (1)f ′(x )＝2x sin x －x 2－a cos x sin 2x， f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π，所以f (x )在点⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线方程为y ＝πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22，即π24－a －2＝π22，a ＝－π24－2. (2)因为x ∈(0，π)，所以sin x >0，所以x 2－a sin x －2＝0可转化为x 2－a －2sin x ＝0，设g (x )＝x 2－a －2sin x ，则g ′(x )＝2x －2cos x ，当x ∈⎣⎡⎭⎫π2，π时，g ′(x )>0，所以g (x )在区间⎣⎡⎭⎫π2，π上单调递增．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，设h (x )＝g ′(x )＝2x －2cos x ，此时h ′(x )＝2＋2sin x >0，所以g ′(x )在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又 g ′(0)＝－2<0，g ′⎝⎛⎭⎫π2＝π>0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得g ′(x )＝0且x ∈(0，x 0)时g (x )单调递减， x ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时g (x )单调递增．综上，对于连续函数g (x )，当x ∈(0，x 0)时，g (x )单调递减，当x ∈(x 0，π)时，g (x )单调递增．又因为g (0)＝－a <0，所以当g (π)＝π2－a >0，即a <π2时，函数g (x )在区间(x 0，π)上有唯一零点，当g (π)＝π2－a ≤0，即a ≥π2时，函数g (x )在区间(0，π)上无零点，综上可知，当0<a <π2时，函数f (x )在(0，π)上有1个零点；当a ≥π2时，函数f (x )在(0，π)上没有零点．。

2020高考全国一轮数学理科第三章导数及其应用

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2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第三章导数及应用3.1 Word版含答案.docx

§3.1导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景．2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或x xy='｜，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．知识拓展1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × ) 题组二教材改编2．[P85A 组T5]若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝ . 答案 2e解析 ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.3．[P85A 组T7]曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线方程为．答案 x ＋πy －π＝0解析 ∵y ′＝x cos x －sin x x 2，∴y ′|x ＝π＝－ππ2＝－1π， ∴切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.题组三易错自纠4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134 答案 D6．(2018·青岛调研)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 018)＋2 018ln x ，则f ′(2 018)等于( )A ．2 018B ．－2 019C ．2 019D ．－2 018答案 B解析由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 018)＋2 018x，所以f ′(2 018)＝2 018＋2f ′(2 018)＋2 0182 018，即f ′(2 018)＝－(2 018＋1)＝－2 019.7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝ . 答案 1解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又点(2,7)在切线上，可得a ＝1.题型一导数的计算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e 答案 B解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2018·上海质检)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.3．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝ . 答案－4解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 思维升华导数计算的技巧求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量．题型二导数的几何意义命题点1 求切线方程典例 (1)曲线f (x )＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为．答案 2x ＋y ＋1＝0解析根据题意可知切点坐标为(0，－1)， f ′(x )＝(x －1)(e x )′－e x (x －1)′(x －1)2＝(x －2)e x(x －1)2，故切线的斜率k ＝f ′(0)＝(0－2)e 0(0－1)2＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)，即2x ＋y ＋1＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 引申探究本例(2)中，若曲线y ＝x ln x 上点P 的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是．答案 (e ，e)解析 y ′＝1＋ln x ，令y ′＝2，即1＋ln x ＝2， ∴x ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．命题点2 求参数的值典例 (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝ . 答案 1解析由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.(2)(2018届东莞外国语学校月考)曲线y ＝4x －x 2上两点A (4,0)，B (2,4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是( ) A ．(3,3) B ．(1,3) C ．(6，－12) D ．(2,4)答案 A解析设点P (x 0，y 0)，∵A (4,0)，B (2,4)， ∴k AB ＝4－02－4＝－2.∵在点P 处的切线l 平行于弦AB ，∴k l ＝－2. ∴根据导数的几何意义知，曲线在点P 的导数0x x y ='｜＝＝4－2x 0＝－2，即x 0＝3，∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x －x 2上， ∴y 0＝4x 0－x 20＝3，∴P (3,3)．命题点3 导数与函数图象典例 (1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )答案 B解析由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ .(42)|x x x =－答案 0解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．跟踪训练 (1)(2017·山西孝义模拟)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是．答案 y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 解析设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)，∴x 20＝2x 0(x 0＋1)，解得x 0＝0或x 0＝－2， ∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)，即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.(2)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝ . 答案－1解析 ∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，∴π2x y ='｜＝－1. 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.求曲线的切线方程典例若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．错解展示：现场纠错解易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝0x x y ='｜＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意知Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况．1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)答案C解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是()答案C解析原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增；当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 3．(2017·西安质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)答案C解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.4．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎨⎧x 0＝32，p ＝134.5．(2018·广州调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则0x x y ='｜＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.6．(2017·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2 017 D ．－2 017 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，∴f ′(x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ，f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2，f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x(e x ＋1)2＋cos x ＋2e －x(e －x ＋1)2－cos(－x )＝0， ∴f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.7．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为．答案 3解析 f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.8．(2016·全国Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是．答案 2x －y ＝0解析设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，故f ′(1)＝2，所以曲线在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为．答案 ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 10．(2018·成都质检)已知f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为．(用“<”连接)答案 (1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)解析 (1)由图可得f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，g (x )＝dx 3＋ex 2＋mx ＋n (d ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝x ，g ′(x )＝3dx 2＋2ex ＋m ＝x 2，故a ＝12，b ＝0，d ＝13，e ＝m ＝0，所以f (x )＝12x 2＋c ，g (x )＝13x 3＋n ，由f (1)＝1，得c ＝12，则f (x )＝12x 2＋12，故f (－1)＝1. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－13x 3＋c －n ，则有h (－1)＝56＋c －n ，h (0)＝c －n ， h (1)＝16＋c －n ，故h (0)<h (1)<h (－1)． 11．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.12．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.13．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 答案 A解析由题意可知f ′(x )＝1212x -，g ′(x )＝a x，由f ′⎝⎛⎭⎫14＝g ′⎝⎛⎭⎫14，得12×121()4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 14．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为．答案 2 解析由题意知y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，当点P 是曲线的切线中与直线y ＝x －2平行的直线的切点时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，如图所示．故令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，故点P 的坐标为(1,1)．故点P 到直线y ＝x －2的最小值d min ＝|1－1－2|2＝ 2.15．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x－a ＝0有解， ∴a ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)． 16．设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② 将①代入②得x 21＋⎝⎛⎭⎫k －92x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝⎝⎛⎭⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17；当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4. ∴Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.。

2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件文新人教A版

(1)y=ex·sin x;
(2)y=x
��2
+
1 ��
+
1 ��3
;
(3)y=x-sin ��2��cos ��2��;
(4)y=xsin
�� 2
+
π 2
cos
�� 2
+
π 2
.
思考函数求导应遵循怎样的原则?
考点1
考点2
-9-
知识梳理双基自测自测点评
12345
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. ( ) (2)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0). ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( ) (5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同. ()
-5-
知识梳理双基自测自测点评
12345
2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
(1)定义:称函数
y=f(x)在
x=x0
处的瞬时变化率 lim
Δ �� →0
Δ�� Δ��
=
��
��x→0
��(��0+Δ��)-��(��0)为函数
-8-
知识梳理双基自测自ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点评
12345
5.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ;

2019届一轮复习人教A版(文) 第3章导数及其应用 3-1 课件

)
D．有 2 条，它们的方程分别为 y＝0，x＝0
[解析] ∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0，∴曲线 y＝x3 在原点
处的切线方程为 y＝0.
[答案]
B
3．下列求导运算正确的是(
1 1 A.x＋ x′＝1＋ 2 x
) 1 B．(log2x)′＝ xln2 D．(x2cosx)′＝－2xsinx
第三章
导数及其应用
第一节
变化率与导数、导数的计算
高考概览 1.了解导数概念的实际背景； 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y 1 ＝，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数；4.能利用基本初等函数的导数 x 公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
f ′xgx－fxg′x fx 2 [ g x ] (3) ′＝___________________(g(x)≠0)． g x
[ 温馨提示 ]
1 1 熟记如下结论：①x ′ ＝－ 2 ；②奇函数的导 x
数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期
1 f′x 1 函数； ③ (ln|x|)′ ＝； ④ ′ ＝－ 2 (f(x)≠0) ； ⑤ x f x [fx]
[af(x)± bg(x)]′＝af′(x)± bg′(x)．
[小题速练] 1．曲线 y＝ex－lnx 在点(1，e)处的切线方程为( A．(1－e)x－y＋1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0 )
(2)一个易混点：曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点，如：y＝1 是 y＝sinx 的切线但却有无数个公共点．反之与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线．

高考数学一轮总复习教学课件第三章一元函数的导数及其应用第3节导数与函数的极值、最值

(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根.
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(5)求出极值.
角度三
由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b
等于(
A.-7
√
C.-7或0
零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧
附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故
选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+

sin 2x,则f(x)的最小值是
.

解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
②求函数f(x)的极值.

(新课标)2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的

lnx (2016· 湛江模拟)函数 f(x)＝的单调递减区间是( x A．(e，＋∞) C．(0，e) B．(1，＋∞) D．(0，1)
)
1－lnx 解：f′(x)＝ 2 ，由 x＞0 及 f′(x)＜0 解得 x＞e.故选 A. x
(2017· 浙江)函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
解：f′(x)＝1－cosx＞0 在(0，2π)上恒成立，所以 f(x)在 R 上递增，在(0，2π) 上为增函数．故选 A.
1 3 (2)设函数 f(x)＝ x －(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数 a＞1， 3 则 f(x)的单调减区间为________．
解：f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，由 a＞1 知，当 x＜2 时，f′(x)＞0，故 f(x)在区间(－∞，2) 上是增函数；当 2＜x＜2a 时， f′(x)＜0，故 f(x)在区间(2， 2a)上是减函数；当 x＞2a 时， f′(x)＞0，故 f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．综上，当 a＞1 时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2，2a)上是减函数．故填(2，2a)．
自查自纠
①单调递增单调递减 ②常数函数
(2016· 宁夏模拟)函数 f(x)＝x＋elnx 的单调递增区间为( ) B．(e，＋∞) D．R A．(0，＋∞) C．(－∞，0)和(0，＋∞)
e 解：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ >0，故 x 单调递增区间是(0，＋∞)．故选 A.
【点拨】(1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号．不含参数的问题直接解导数大于 (或小于)零的不等式，其解集即为函数的单调区间，含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解，其解集即为函数的单调区间．(2)所有求解和讨论都在函数的定义域内，不要超出定义域的范围．确定函数单调区间的步骤：①确定函数 f(x)的定义域；②求 f′(x)；③解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．应注意的是，个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如函数 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(x＝0 时，f′(x) ＝0)，但 f(x)＝x3 在 R 上是增函数．

人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件第3章导数及其应用指点迷津三在导数应用中如何构造函数

.
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:构造
()
F(x)= ,则
'()·-()
F'(x)= 2 ,当
x<0 时,xf'(x)-f(x)>0,
可以推出当 x<0 时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.
()
∵F(x)= 为奇函数,

∴F(x)在(0,+∞)上也单调递增.根据f(1)=0可得F(1)=0,F(-1)=0,
起看看常考的几种形式.
F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
()
'()sin -()cos
F(x)= ,F'(x)=
;
2
sin
si n
F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
()
'()cos +()sin
F(x)=xnf(x),F'(x)=nxn-1f(x)+xnf'(x)=xn-1[nf(x)+xf'(x)];
()
'()· - -1 ()
F(x)= ,F'(x)=

2
=
'()- ()
.

+1

结论:(1)如果题目中出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);
(0,+∞)上也单调递减.根据f(-4)=0可得F(-4)=0,F(4)=0,根据函数的单调性、

高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案理

第三章导数及其应用3.1 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y =.2．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′.3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．45(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝__________(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________.1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 22．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )． A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1)4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )．A ．－1B ．－2C ．2D ．05．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________．6．y ＝sin 2x 的导数为__________．一、根据导数的定义求函数的导数【例1－1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)2； (2)y ＝tan x ；(3)y ＝x 2＋2x ＋5. 方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．请做演练巩固提升2三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．方法提炼1．求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程(1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)即为曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率；(2)由切点(x 0，f (x 0))和斜率f ′(x 0)，用点斜式写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)解出x 1，进而确定过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．请做演练巩固提升4对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x－9都相切，则a 等于( )．A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：因为点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切求a 的值．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 03)，所以切线方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，即y ＝3x 02x －2x 03.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A ．答案：A答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点．2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－22．y ＝cos(x 2＋3)的导数y ′＝__________.3．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________．4．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．f ′(x )3．y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)4．nx n －1 cos x －sin x a xln a (a ＞0)e x1x ln a (a ＞0，且a ≠1) 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]26．f ′(u )·v ′(x ) y u ′·u x ′ 基础自测1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4＋2Δx . 2．D 解析：∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2.3．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3. ∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.4．B 解析：∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4， ∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0. 6．y ′＝2cos 2x 考点探究突破【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1 ＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx＋1 ＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3.【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－12.∴f ′(1)＝－12.【例2】解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (3)y ′＝(x 2＋2x ＋5)′ ＝12(x 2＋2x ＋5)－12·(2x ＋2)＝x ＋1x 2＋2x ＋5.【例3】解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎪⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 演练巩固提升1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．－2x sin(x 2＋3) 解析：y ′＝[cos(x 2＋3)]′＝2x ·[－sin(x 2＋3)]＝－2x sin(x 2＋3)．3．(－∞，0) 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x(x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2＋1x ＝0有解，a ＝－13x3.∵x ＞0，∴－13x 3＜0.∴a ＜0.4．解：(1)(方法一)由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中当且仅当ax ＝1时，等号成立，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(方法二)f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上递增；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2.由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.。

2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3导数的综合应用课件文新人教A版

(1)证明函数 f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=2x-2+��
=
2��2-2��+��
=
2
��-12 ��2�� +��-12.
当 m≥12时,对 x∈(0,+∞),f'(x)≥0,且 f'(x)在(0,+∞)上的任意子
0,
1 2��
内单调递增,
可得当 x∈(0,1)时,f'(x)<0,x∈
1,
1 2��
时,f'(x)>0.
所以 f(x)在(0,1)内单调递减,在
1,
1 2��
内单调递增,所以 f(x)在
x=1 处取得极小值,不符合题意.
考点1
考点2
考点3
-5-
③当 a=12时,21��=1,f'(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递
2 3
= 247.
(2)∵f(x)+g(x)≥-x3+(a+2)x,
∴a(ln x-x)≥2x-x2.
由 y=x-ln x 的导数 y'=1-1��,可得函数 y 在(1,+∞)内单调递增, 在(0,1)内单调递减.
考点1
考点2
考点3
-13-
故函数 y 在 x=1 处取得极小值,也是最小值 1,即有 x-ln x>0, 即 ln x<x,即有 a≤��2-l-n2��. 设 φ(x)=��2-l-n2��,

高考数学( 文科)一轮复习练习：第三章导数及其应用第3讲含答案

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x －7在[1，4]上的最小值为________. 解析 f ′(x )＝6x 2－12x －18＝6(x 2－2x －3) ＝6(x －3)(x ＋1)，由f ′(x )＞0，得x ＞3或x ＜－1；由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜3，故函数f (x )在[1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝2×27－6×9－18×3－7＝－61. 答案－612.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是________.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x 2＋2x ＋1)＝3(x ＋1)2≥0，∴函数f (x )在R 上单调递增，故f (x )无极值点. 答案 03.(2015·泰州调研)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则b 的取值范围是________.解析由f (x )＝x 3－3bx ＋3b ，得f ′(x )＝3x 2－3b .由已知可得f ′(x )＝3x 2－3b 在(0，1)上与x 轴有交点，且满足⎩⎨⎧f ′（0）＜0，f ′（1）＞0，即⎩⎨⎧b ＞0，3－3b ＞0.∴0＜b ＜1.∴b 的取值范围是(0，1). 答案 (0，1)4.(2015·扬州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则 ⎩⎨⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案－75.(2016·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________. 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0. ∴a ＞6或a ＜－3.答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)6.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________.解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1. 答案 (－∞，－1)7.已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析由题意，得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32. 答案 328.(2015·苏、锡、常、镇模拟)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在x ＝0处有极大值1，在x ＝2处有极小值0，则常数a ，b ，c ，d 分别为________，________，________，________.解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，则⎩⎨⎧f （2）＝0，f ′（2）＝0，f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎨⎧8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，d ＝1，c ＝0，解得a ＝14，b ＝－34，c ＝0，d ＝1.答案 14 34 0 1 二、解答题9.(2016·徐州一检)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 时，函数f (x )＝ax －1＋ln x 在区间(0，e)上的最大值为－4，求a 的值.解由题意f ′(x )＝a ＋1x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a .∵a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ，∴0＜－1a ＜e ，由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜－1a，由f ′(x )＜0，解得－1a ＜x ＜e.从而f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e .∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－4，解得a ＝－e 2.10.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝ax（x ＋r ）2(a >0，r >0).(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值.解 (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞). f (x )＝ax （x ＋r ）2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a （x 2＋2rx ＋r 2）－ax （2x ＋2r ）（x 2＋2rx ＋r 2）2＝a （r －x ）（x ＋r ）（x ＋r ）4.所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0，当－r <x <r 时，f ′(x )>0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)； f (x )的单调递增区间为(－r ，r ).(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减.因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar （2r ）2＝a 4r ＝4004＝100.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.解析对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， ∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1，1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案－1312.(2016·南通调研)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是________.解析若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，实数 a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，10313.(2015·太原二模)已知f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )是函数f (x )的导函数，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f ′(－1)＝f ′(a )＝0，∴当a ＜－1时，x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；a ＜x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.当－1＜a ＜0时，x ＜－1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )在x ＝a 处取得极大值，符合题意.当a ＞0时，x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；－1＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；x ＞a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，此时f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意.∴实数a 的取值范围是(－1，0). 答案 (－1，0)14.(2015·南京、盐城调研)已知a ∈R ，函数f (x )＝a x ＋ln x －1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x ＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，x ∈(0，＋∞).因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14. 又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－12＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0. (2)因为f (x )＝ax ＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，x ∈(0，＋∞). 令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值. ②若0＜a ＜e ，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减，当x ∈(a ，e]时， f ′(x )＞0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值a e.综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；当0＜a＜e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln a；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为a e.。

2019高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.2 导数的应用练习理

§3.2导数的应用考纲解读分析解读函数的单调性是函数的一条重要性质,也是高中阶段研究的重点.一是直接用导数研究函数的单调性、求函数的最值与极值,以及实际问题中的优化问题等,这是新课标的一个新要求.二是把导数与函数、方程、不等式、数列等知识相联系,综合考查函数的最值与参数的取值,常以解答题的形式出现.本节内容在高考中分值为17分左右,属难度较大题.1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-ae x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增.②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln.当x∈时, f '(x)<0;当x∈时, f '(x)>0.故f(x)在上单调递减,在上单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时, f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln时, f(x)取得最小值,最小值为f=a2.从而当且仅当a2≥0,即a≥-2时, f(x)≥0.综上,a的取值范围是[-2,1]五年高考考点一利用导数研究函数的单调性1.(2017山东,10,5分)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( )A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x答案 A2.(2016课标全国Ⅰ,12,5分)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )A.[-1,1]B.C.D.答案 C3.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是( )A. B.∪(1,+∞)C. D.∪答案 A4.(2014课标Ⅱ,11,5分)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)答案 D5.(2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a 的取值范围是.答案6.(2017课标全国Ⅱ,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时, f(x)≤ax+1,求a的取值范围.解析(1)f '(x)=(1-2x-x2)e x.令f '(x)=0,得x=-1-或x=-1+.当x∈(-∞,-1-)时, f '(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时, f '(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减,在(-1-,-1+)上单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)e x.当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e x,h'(x)=-xe x<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g(x)=e x-x-1,g'(x)=e x-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,而g(0)=0,故e x≥x+1.当0<x<1时, f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1), f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).7.(2017课标全国Ⅲ,21,12分)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=+2ax+2a+1=.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a<0,则当x∈时, f '(x)>0;当x∈时, f '(x)<0,故f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a<0时, f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f=ln-1-.所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln++1≤0.设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=-1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln++1≤0,即f(x)≤--2.8.(2016课标全国Ⅲ,21,12分)设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<<x;(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.解析(1)由题设知, f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=-1,令f '(x)=0,解得x=1.当0<x<1时, f '(x)>0, f(x)单调递增;当x>1时, f '(x)<0, f(x)单调递减.(4分)(2)证明:由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x≠1时,ln x<x-1.故当x∈(1,+∞)时,ln x<x-1,ln<-1,即1<<x.(7分)(3)证明:由题设c>1,设g(x)=1+(c-1)x-c x,则g'(x)=c-1-c x ln c,令g'(x)=0,解得x0=.当x<x0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>x0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.(9分)由(2)知1<<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故当0<x<1时,g(x)>0.所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.(12分)教师用书专用(9—24)9.(2013浙江,8,5分)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f '(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )答案 B10.(2015四川,21,14分)已知函数f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.解析(1)由已知,得函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f '(x)=2(x-1-ln x-a),所以g'(x)=2-=.当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.(2)证明:由f '(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令φ(x)=-2xln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2xln x,则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f '(x0)=0, f(x0)=φ(x0)=0.再由(1)知, f '(x)在区间(1,+∞)上单调递增,当x∈(1,x0)时, f '(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0;又当x∈(0,1]时, f(x)=(x-a0)2-2xln x>0.故x∈(0,+∞)时, f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.11.(2015天津,20,14分)已知函数f(x)=4x-x4,x∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x);(3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x1<x2,求证:x2-x1≤-+.解析(1)由f(x)=4x-x4,可得f '(x)=4-4x3.当f '(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增;当f '(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减.所以, f(x)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=, f '(x0)=-12.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f '(x0)(x-x0),即g(x)=f '(x0)(x-x0).令函数F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f '(x0)(x-x0),则F'(x)=f '(x)-f '(x0).由于 f '(x)=-4x3+4在(-∞,+∞)上单调递减,故F'(x)在(-∞,+∞)上单调递减.又因为F'(x0)=0,所以当x∈(-∞,x0)时,F'(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以对于任意的实数x,F(x)≤F(x0)=0,即对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x).(3)证明:由(2)知g(x)=-12(x-).设方程g(x)=a的根为x2',可得x2'=-+.因为g(x)在(-∞,+∞)上单调递减,又由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x2'),因此x2≤x2'.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=4x.对于任意的x∈(-∞,+∞),有f(x)-h(x)=-x4≤0,即f(x)≤h(x).设方程h(x)=a的根为x1',可得x1'=.因为h(x)=4x在(-∞,+∞)上单调递增,且h(x1')=a=f(x1)≤h(x1),因此x1'≤x1.由此可得x2-x1≤x2'-x1'=-+.12.(2015福建,22,14分)已知函数f(x)=ln x-.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x>1时, f(x)<x-1;(3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1).解析(1)f '(x)=-x+1=,x∈(0,+∞).由f '(x)>0得解得0<x<.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞).则有F'(x)=.当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在[1,+∞)上单调递减,故当x>1时,F(x)<F(1)=0,即当x>1时, f(x)<x-1.(3)由(2)知,当k=1时,不存在x0>1满足题意.当k>1时,对于x>1,有f(x)<x-1<k(x-1),则f(x)<k(x-1),从而不存在x0>1满足题意.当k<1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞),则有G'(x)=-x+1-k=.由G'(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0.解得x1=<0,x2=>1.当x∈(1,x2)时,G'(x)>0,故G(x)在[1,x2)内单调递增.从而当x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1),综上,k的取值范围是(-∞,1).13.(2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)e x,讨论g(x)的单调性.解析(1)对f(x)求导得f '(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f '=0,即3a·+2·=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=e x,故g'(x)=e x+e x=e x=x(x+1)(x+4)e x.令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)为增函数;当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g'(x)>0,故g(x)为增函数.综上,知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.14.(2014安徽,20,13分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解析(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=1+a-2x-3x2.令f '(x)=0,得x1=,x2=,x1<x2,所以f '(x)=-3(x-x1)(x-x2).当x<x1或x>x2时, f '(x)<0;当x1<x<x2时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在[x1,x2]内单调递增.(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.(i)当a≥4时,x2≥1,由(1)知, f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.(ii)当0<a<4时,x2<1.由(1)知, f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,因此f(x)在x=x2=处取得最大值.又f(0)=1, f(1)=a,所以当0<a<1时, f(x)在x=1处取得最小值;当a=1时, f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;当1<a<4时, f(x)在x=0处取得最小值.15.(2014重庆,19,12分)已知函数f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线y=x.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解析(1)对f(x)求导得f '(x)=--,由f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线y=x知f '(1)=--a=-2,解得a=.(2)由(1)知f(x)=+-ln x-,则f '(x)=,令f '(x)=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.当x∈(0,5)时, f '(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时, f '(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5.16.(2014湖北,21,14分)π为圆周率,e=2.718 28…为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=的单调区间;(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为f(x)=,所以f '(x)=.当f '(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增;当f '(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).(2)因为e<3<π,所以eln 3<eln π,πln e<πln 3,即ln 3e<ln πe,ln eπ<ln 3π.于是根据函数y=ln x,y=e x,y=πx在定义域上单调递增,可得3e<πe<π3,e3<eπ<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中.由e<3<π及(1)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),即<<.由<,得ln π3<ln 3π,所以3π>π3;由<,得ln 3e<ln e3,所以3e<e3.综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e.17.(2014湖南,21,13分)已知函数f(x)=xcos x-sin x+1(x>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)记x i为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点,证明:对一切n∈N*,有++…+<.解析(1)f '(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.令f '(x)=0,得x=kπ(k∈N*).当x∈(2kπ,(2k+1)π)(k∈N)时,sin x>0,此时f '(x)<0;当x∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N)时,sin x<0,此时f '(x)>0,故f(x)的单调递减区间为(2kπ,(2k+1)π)(k∈N),单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k∈N).(2)由(1)知, f(x)在区间(0,π)上单调递减,又f=0,故x1=,当n∈N*时,因为f(nπ)f((n+1)π)=[(-1)n nπ+1]·[(-1)n+1(n+1)n+1]<0,且函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在区间(nπ,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f(x)在区间(nπ,(n+1)π)上是单调的,故nπ<x n+1<(n+1)π.因此当n=1时,=<;当n=2时,+<(4+1)<;当n≥3时,++…+<<==<<.综上所述,对一切n∈N*,++…+<.18.(2014江西,18,12分)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.解析(1)f(x)的定义域为[0,+∞).当a=-4时,由f '(x)==0得x=或x=2,由f '(x)>0得x∈或x∈(2,+∞),故函数f(x)的单调递增区间为和(2,+∞).(2)f '(x)=,a<0,由f '(x)=0得x=-或x=-.当x∈时,f(x)单调递增;当x∈时,f(x)单调递减;当x∈时,f(x)单调递增.易知 f(x)=(2x+a)2≥0,且f=0.①当-≤1,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合题意.②当1<-≤4,即-8≤a<-2时, f(x)在[1,4]上的最小值为f=0,不符合题意.③当->4,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4处取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减, f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意. 综上,a=-10.19.(2013课标全国Ⅰ,20,12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.解析(1)f '(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4, f '(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f '(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2).令f '(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时, f '(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).20.(2013大纲全国,21,12分)已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.(1)当a=-时,讨论f(x)的单调性;(2)若x∈[2,+∞)时, f(x)≥0,求a的取值范围.解析(1)当a=-时, f(x)=x3-3x2+3x+1,f '(x)=3x2-6x+3.令f '(x)=0,得x1=-1,x2=+1.(3分)当x∈(-∞,-1)时, f '(x)>0, f(x)在(-∞,-1)上是增函数;当x∈(-1,+1)时, f '(x)<0, f(x)在(-1,+1)上是减函数;当x∈(+1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)在(+1,+∞)上是增函数.(6分)(2)由f(2)≥0得a≥-.(8分)当a≥-,x∈(2,+∞)时,f '(x)=3(x2+2ax+1)≥3=3(x-2)>0,所以f(x)在(2,+∞)上是增函数,于是当x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0.综上,a的取值范围是.(12分)21.(2013山东,21,12分)已知函数f(x)=ax2+bx-ln x(a,b∈R).(1)设a≥0,求f(x)的单调区间;(2)设a>0,且对任意x>0, f(x)≥f(1).试比较ln a与-2b的大小.解析(1)由f(x)=ax2+bx-ln x,x∈(0,+∞),得f '(x)=.①当a=0时, f '(x)=.(i)若b≤0,当x>0时, f '(x)<0恒成立,所以函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞).(ii)若b>0,当0<x<时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.②当a>0时,令f '(x)=0,得2ax2+bx-1=0.由Δ=b2+8a>0得x1=,x2=.显然,x1<0,x2>0.当0<x<x2时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>x2时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.综上所述,当a=0,b≤0时,函数f(x)的单调递减区间是(0,+∞);当a=0,b>0时,函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是;当a>0时,函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)由题意,函数f(x)在x=1处取得最小值,由(1)知是f(x)的唯一极小值点,故=1,整理得2a+b=1,即b=1-2a.令g(x)=2-4x+ln x.则g'(x)=.令g'(x)=0,得x=.当0<x<时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>时,g'(x)<0,g(x)单调递减.因此g(x)≤g=1+ln=1-ln 4<0.故g(a)<0,即2-4a+ln a=2b+ln a<0,即ln a<-2b.22.(2013天津,20,14分)设a∈[-2,0],已知函数f(x)=(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点P i(x i, f(x i))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x3≠0.证明x1+x2+x3>-.证明(1)设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0),f2(x)=x3-x2+ax(x≥0),① f '1(x)=3x2-(a+5),由a∈[-2,0],从而当-1<x<0时,f '1(x)=3x2-(a+5)<3-a-5≤0,所以函数f1(x)在区间(-1,0]内单调递减.② f '2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a∈[-2,0],所以当0<x<1时, f '2(x)<0;当x>1时, f '2(x)>0. 即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.综合①,②及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.(2)由(1)知f '(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间内单调递减,在区间内单调递增.因为曲线y=f(x)在点P i(x i, f(x i))(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且f '(x1)=f '(x2)=f '(x3).不妨设x1<0<x2<x3,由3-(a+5)=3-(a+3)x2+a=3-(a+3)x3+a,可得3-3-(a+3)(x2-x3)=0,解得x2+x3=,从而0<x2<<x3.设g(x)=3x2-(a+3)x+a,则g<g(x2)<g(0)=a.由3-(a+5)=g(x2)<a,解得-<x1<0,所以x1+x2+x3>-+,设t=,则a=,因为a∈[-2,0],所以t∈,故x1+x2+x3>-t+=(t-1)2-≥-,即x1+x2+x3>-.23.(2013湖北,21,13分)设a>0,b>0,已知函数f(x)=.(1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x>0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.(i)判断f(1),f ,f 是否成等比数列,并证明f ≤f ;(ii)a、b的几何平均数记为G.称为a、b的调和平均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x的取值范围. 解析(1)f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),f '(x)==.当a>b时, f '(x)>0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增;当a<b时, f '(x)<0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递减.(2)(i)计算得f(1)=>0, f=>0,f =>0,故f(1)f=·=ab=,即f(1)f=.①所以f(1),f ,f 成等比数列.因为≥,所以f(1)≥f .由①得f ≤f .(ii)由(i)知f =H,f =G.故由H≤f(x)≤G,得f ≤f(x)≤f .②当a=b时,f =f(x)=f =a.这时,x的取值范围为(0,+∞);当a>b时,0<<1,从而<,由f(x)在(0,+∞)上单调递增与②式,得≤x≤,即x的取值范围为;当a<b时,>1,从而>,由f(x)在(0,+∞)上单调递减与②式,得≤x≤,即x的取值范围为.24.(2013江苏,20,16分)设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=e x-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解析(1)令f '(x)=-a=<0,考虑到f(x)的定义域为(0,+∞),故a>0,进而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数.同理, f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,故(1,+∞)⊆(a-1,+∞),从而a-1≤1,即a≥1.令g'(x)=e x-a=0,得x=ln a.当x<ln a时,g'(x)<0;当x>ln a时,g'(x)>0.又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以ln a>1,即a>e.综上,有a∈(e,+∞).(2)当a≤0时,g(x)必为单调增函数;当a>0时,令g'(x)=e x-a>0,解得a<e x,即x>ln a,因为g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,类似(1)有ln a≤-1,即0<a≤e-1.结合上述两种情况,有a≤e-1.(i)当a=0时,由f(1)=0以及f '(x)=>0,得f(x)存在唯一的零点.(ii)当a<0时,由于f(e a)=a-ae a=a(1-e a)<0, f(1)=-a>0,且函数f(x)在[e a,1]上的图象不间断,所以f(x)在(e a,1)上存在零点.另外,当x>0时, f '(x)=-a>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.(iii)当0<a≤e-1时,令f '(x)=-a=0,解得x=a-1.当0<x<a-1时, f '(x)>0,当x>a-1时, f '(x)<0,所以,x=a-1是f(x)的最大值点,且最大值为f(a-1)=-ln a-1.①当-ln a-1=0,即a=e-1时, f(x)有一个零点x=e.②当-ln a-1>0,即0<a<e-1时, f(x)有两个零点.实际上,对于0<a<e-1,由于f(e-1)=-1-ae-1<0, f(a-1)>0,且函数f(x)在[e-1,a-1]上的图象不间断,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当x∈(0,a-1)时, f '(x)=-a>0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a-1,+∞)上的情况.先证f(e a-1)=a(a-2-e a-1)<0.为此,我们要证明:当x>e时,e x>x2.设h(x)=e x-x2,则h'(x)=e x-2x,再设l(x)=h'(x)=e x-2x,则l'(x)=e x-2.当x>1时,l'(x)=e x-2>e-2>0,所以l(x)=h'(x)在(1,+∞)上是单调增函数.故当x>2时,h'(x)=e x-2x>h'(2)=e2-4>0,从而h(x)在(2,+∞)上是单调增函数,进而当x>e时,h(x)=e x-x2>h(e)=e e-e2>0.即当x>e时,e x>x2.当0<a<e-1,即a-1>e时, f(e a-1)=a-1-ae a-1=a(a-2-e a-1)<0,又f(a-1)>0,且函数f(x)在[a-1,e a-1]上的图象不间断,所以f(x)在(a-1,e a-1)上存在零点.又当x>a-1时, f '(x)=-a<0,故f(x)在(a-1,+∞)上是单调减函数,所以f(x)在(a-1,+∞)上只有一个零点.综合(i),(ii),(iii),当a≤0或a=e-1时, f(x)的零点个数为1,当0<a<e-1时,f(x)的零点个数为2.考点二利用导数研究函数的极值与最值1.(2016四川,6,5分)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )A.-4B.-2C.4D.2答案 D2.(2014辽宁,12,5分)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3]答案 C3.(2015陕西,15,5分)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为.答案y=-4.(2017北京,20,13分)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)因为f(x)=e x cos x-x,所以f '(x)=e x(cos x-sin x)-1, f '(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=e x(cos x-sin x)-1,则h'(x)=e x(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2e x sin x.当x∈时,h'(x)<0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x∈,有h(x)<h(0)=0,即f '(x)<0.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-.5.(2017江苏,20,16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f '(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b2>3a;(3)若f(x), f '(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f '(x)=3x2+2ax+b=3+b-.当x=-时, f '(x)有极小值b-.因为f '(x)的极值点是f(x)的零点,所以f =-+-+1=0,又a>0,故b=+.因为f(x)有极值,故f '(x)=0有实根,从而b-=(27-a3)≤0,即a≥3.当a=3时, f '(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数, f(x)没有极值;当a>3时, f '(x)=0有两个相异的实根x1=,x2=.列表如下:故f(x)的极值点是x1,x2.从而a>3.因此b=+,定义域为(3,+∞).(2)证明:由(1)知,=+.设g(t)=+,则g'(t)=-=.当t∈时,g'(t)>0,从而g(t)在上单调递增.因为a>3,所以a>3,故g(a )>g(3)=,即>.因此b2>3a.(3)由(1)知, f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,+=.从而f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1++a+bx2+1=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a(+)+b(x1+x2)+2=-+2=0. 记f(x), f '(x)所有极值之和为h(a),因为f '(x)的极值为b-=-a2+,所以h(a)=-a2+,a>3.因为h'(a)=-a-<0,于是h(a)在(3,+∞)上单调递减.因为h(6)=-,于是h(a)≥h(6),故a≤6.因此a的取值范围为(3,6].6.(2015安徽,21,13分)已知函数f(x)=(a>0,r>0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.解析(1)由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).f(x)==,f '(x)==,所以当x<-r或x>r时,f '(x)<0,当-r<x<r时,f '(x)>0,因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f '(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)====100.教师用书专用(7—15)7.(2013福建,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( )A.∀x∈R, f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点答案 D8.(2016天津,20,14分)设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值.解析(1)由f(x)=x3-ax-b,可得f '(x)=3x2-a.下面分两种情况讨论:①当a≤0时,有f '(x)=3x2-a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).②当a>0时,令f '(x)=0,解得x=,或x=-.当x变化时所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,.(2)证明:因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a>0,且x0≠0.由题意,得 f '(x0)=3-a=0,即=,进而f(x0)=-ax0-b=-x0-b.又f(-2x0)=-8+2ax0-b=-x0+2ax0-b=-x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足 f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0.所以x1+2x0=0.(3)证明:设g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:①当a≥3时,-≤-1<1≤,由(1)知, f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(1), f(-1)],因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=所以M=a-1+|b|≥2.②当≤a<3时,-≤-1<-<<1≤,由(1)和(2)知f(-1)≥f =f , f(1)≤f =f ,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为 f , f ,因此M=max,=max=max=+|b|≥××=.③当0<a<时,-1<-<<1,由(1)和(2)知f(-1)<f =f , f(1)>f =f ,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(-1), f(1)],因此M=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}=max{|1-a+b|,|1-a-b|}=1-a+|b|>.综上所述,当a>0时,g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于.9.(2014天津,19,14分)已知函数f(x)=x2-ax3(a>0),x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1.求a的取值范围.解析(1)由已知,有f '(x)=2x-2ax2(a>0).令f '(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时, f '(x), f(x)所以, f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是(-∞,0),.当x=0时, f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x=时,f(x)有极大值,且极大值f=.(2)由f(0)=f=0及(1)知,当x∈时, f(x)>0;当x∈时, f(x)<0.设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B=.则“对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1”等价于A⊆B.显然,0∉B.下面分三种情况讨论:①当>2,即0<a<时,由f=0可知,0∈A,而0∉B,所以A不是B的子集.②当1≤≤2,即≤a≤时,有f(2)≤0,且此时f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(-∞, f(2)),因而A⊆(-∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞,0),则(-∞,0)⊆B.所以,A⊆B.③当<1,即a>时,有f(1)<0,且此时f(x)在(1,+∞)上单调递减,故B=,A=(-∞,f(2)),所以A不是B 的子集.综上,a的取值范围是.10.(2014浙江,21,15分)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a>0).若f(x)在[-1,1]上的最小值记为g(a).(1)求g(a);(2)证明:当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.解析(1)因为a>0,-1≤x≤1,所以(i)当0<a<1时,若x∈[-1,a],则f(x)=x3-3x+3a, f '(x)=3x2-3<0,故f(x)在(-1,a)上是减函数;若x∈[a,1],则f(x)=x3+3x-3a, f '(x)=3x2+3>0,故f(x)在(a,1)上是增函数.所以g(a)=f(a)=a3.(ii)当a≥1时,有x≤a,则f(x)=x3-3x+3a, f '(x)=3x2-3<0,故f(x)在(-1,1)上是减函数,所以g(a)=f(1)=-2+3a.综上,g(a)=(2)令h(x)=f(x)-g(a),(i)当0<a<1时,g(a)=a3,若x∈[a,1],h(x)=x3+3x-3a-a3,得h'(x)=3x2+3,则h(x)在(a,1)上是增函数,所以,h(x)在[a,1]上的最大值是h(1)=4-3a-a3,且0<a<1,所以h(1)≤4.故f(x)≤g(a)+4;若x∈[-1,a],h(x)=x3-3x+3a-a3,得h'(x)=3x2-3,则h(x)在(-1,a)上是减函数,所以,h(x)在[-1,a]上的最大值是h(-1)=2+3a-a3.令t(a)=2+3a-a3,则t'(a)=3-3a2>0,知t(a)在(0,1)上是增函数,所以,t(a)<t(1)=4,即h(-1)<4.故f(x)≤g(a)+4.(ii)当a≥1时,g(a)=-2+3a,故h(x)=x3-3x+2,得h'(x)=3x2-3,此时h(x)在(-1,1)上是减函数,因此h(x)在[-1,1]上的最大值是h(-1)=4.故f(x)≤g(a)+4.综上,当x∈[-1,1]时,恒有f(x)≤g(a)+4.11.(2014四川,21,14分)已知函数f(x)=e x-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2<a<1.解析(1)由f(x)=e x-ax2-bx-1,有g(x)=f '(x)=e x-2ax-b,所以g'(x)=e x-2a.当x∈[0,1]时,g'(x)∈[1-2a,e-2a],当a≤时,g'(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上单调递增,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当a≥时,g'(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上单调递减.因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;当<a<时,令g'(x)=0,得x=ln(2a)∈(0,1).所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增.于是,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.综上所述,当a≤时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当<a<时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;当a≥时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)=f(x0)=0可知f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a≤时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.当a≥时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,所以<a<.此时g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增,因此x1∈(0,ln(2a)],x2∈(ln(2a),1),必有g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.由f(1)=0有a+b=e-1<2,有g(0)=a-e+2>0,g(1)=1-a>0,解得e-2<a<1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1.12.(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln x+,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)=f '(x)-零点的个数;(3)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.解析(1)当m=e时, f(x)=ln x+,则 f '(x)=,∴当x∈(0,e)时, f '(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减;当x∈(e,+∞)时, f '(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增.∴当x=e时, f(x)取得极小值f(e)=ln e+=2,∴f(x)的极小值为2.(2)由题设知,g(x)=f '(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递减.∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,∴φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.(3)对任意的b>a>0,<1恒成立,等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立.(*)设h(x)=f(x)-x=ln x+-x(x>0),∴(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.由h'(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,得m≥-x2+x=-+(x>0)恒成立,∴m≥,∴m的取值范围是.13.(2013广东,21,14分)设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.解析 f '(x)=3x2-2kx+1.(1)当k=1时, f '(x)=3x2-2x+1,Δ=4-12=-8<0,∴f '(x)>0, f(x)在R上单调递增.(2)当k<0时, f '(x)=3x2-2kx+1,其图象开口向上,对称轴为直线x=,且过(0,1).(i)当Δ=4k2-12=4(k+)(k-)≤0,即-≤k<0时, f '(x)≥0, f(x)在[k,-k]上单调递增,从而当x=k时, f(x)取得最小值m=f(k)=k,当x=-k时, f(x)取得最大值M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k.(ii)当Δ=4k2-12=4(k+)(k-)>0,即k<-时,令f '(x)=3x2-2kx+1=0,解得x1=,x2=,注意到k<x2<x1<0,∴m=min{f(k), f(x1)},M=max{f(-k), f(x2)}.∵f(x1)-f(k)=-k+x1-k=(x1-k)(+1)>0,∴f(x)的最小值m=f(k)=k.∵f(x2)-f(-k)=-k+x2-(-k3-k·k2-k)=(x2+k)[(x2-k)2+k2+1]<0,∴f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.综上所述,当k<0时, f(x)的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(-k)=-2k3-k.14.(2013浙江,21,15分)已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.解析(1)当a=1时, f '(x)=6x2-12x+6,所以f '(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.f '(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f '(x)=0,得到x1=1,x2=a.当a>1时,比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=当a<-1时,得g(a)=3a-1.综上所述, f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)=15.(2013重庆,20,12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解析(1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh=200πrh元,底面的建造成本为160πr2元,所以蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元.所以200πrh+160πr2=12 000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).因为r>0,h>0,所以0<r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).(2)因为V(r)=(300r-4r3),故V'(r)=(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.考点三导数的综合应用1.(2015安徽,10,5分)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0答案 A2.(2014课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)答案 C3.(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析(1)由题意得f '(x)=x2-ax,所以当a=2时, f(3)=0, f '(x)=x2-2x,所以f '(3)=3,因此,当a=2时,曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g'(x)=f '(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x),令h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sin a,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.②当a=0时,g'(x)=x(x-sin x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sin a.综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-a3-sin a,极小值是g(0)=-a;当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sin a.4.(2017天津,19,14分)设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=e x f(x).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;(ii)若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.解析(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f '(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].令f '(x)=0,解得x=a,或x=4-a.由|a|≤1,得a<4-a.当x变化时, f '(x), f(x)所以, f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a).(2)(i)证明:因为g'(x)=e x[f(x)+f '(x)],由题意知所以解得所以, f(x)在x=x0处的导数等于0.(ii)因为g(x)≤e x,x∈[x0-1,x0+1],g(x)=e x f(x),所以由e x>0,可得f(x)≤1.又因为f(x0)=1, f '(x0)=0,故x0为f(x)的极大值点,由(1)知x0=a.由于|a|≤1,故a+1<4-a,由(1)知f(x)在(a-1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减,故当x0=a时, f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立,从而g(x)≤e x在[x0-1,x0+1]上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1.令t(x)=2x3-6x2+1,x∈[-1,1],所以t'(x)=6x2-12x,令t'(x)=0,解得x=2(舍去),或x=0.因为t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,因此,t(x)的值域为[-7,1].所以,b的取值范围是[-7,1].5.(2015课标Ⅰ,21,12分)设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f '(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时, f(x)≥2a+aln.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=2e2x-(x>0).当a≤0时, f '(x)>0, f '(x)没有零点;当a>0时,因为y=e2x单调递增,y=-单调递增,所以f '(x)在(0,+∞)上单调递增.又f '(a)>0,当b满足0<b<且b<时, f '(b)<0,。

新人教A版版高考数学一轮复习第三章导数及其应用导数与函数的综合应用教案理解析版

基础知识整合１．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为错误!优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．２．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：３．不等式问题（１）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．（２）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．１．把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法．２．利用导数解决与方程、函数零点、不等式等问题时，常用到数形结合及转化与化归的数学思想．１．（２0１9·四川南充一诊）若函数f（x）＝x３＋x２—ax—４在区间（—１,１）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）Ａ．（１,５）Ｂ．[１,５）Ｃ．（１,５] Ｄ．（—∞，１）∪（５，＋∞）答案A解析由题意知f′（x）＝３x２＋２x—a＝0在区间（—１,１）内恰有一根（且在根两侧f′（x）异号）⇔f′（１）·f′（—１）＝（５—a）（１—a）<0⇔１<a<５．故选Ａ．２．（２0１9·湖北襄阳模拟）函数f（x）的定义域为R，f（—１）＝２，对任意x∈R，f′（x）>２，则f （x）>２x＋４的解集为（）Ａ．（—１,１）Ｂ．（—１，＋∞）Ｃ．（—∞，—１）Ｄ．（—∞，＋∞）答案B解析由f（x）>２x＋４，得f（x）—２x—４>0．设F（x）＝f（x）—２x—４，则F′（x）＝f′（x）—２．因为f′（x）>２，所以F′（x）>0在R上恒成立，所以F（x）在R上单调递增，而F（—１）＝f （—１）—２×（—１）—４＝２＋２—４＝0，故不等式f（x）—２x—４>0等价于F（x）>F（—１），所以x>—１．故选Ｂ．３．若函数f（x）＝x３—３x＋a有３个不同的零点，则实数a的取值范围是（）Ａ．（—２,２）Ｂ．[—２,２]Ｃ．（—∞，—１）Ｄ．（１，＋∞）答案A解析f′（x）＝３x２—３，令f′（x）＝0，∴x＝±１．三次方程f（x）＝0有３个根⇔f（x）极大值>0且f（x）极小值<0．∵x＝—１为极大值点，x＝１为极小值点．∴错误!∴—２<a<２．４．（２0１9·沈阳模拟）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x—１）·f′（x）≥0，则必有（）Ａ．f（0）＋f（２）<２f（１）Ｂ．f（0）＋f（２）≤２f（１）Ｃ．f（0）＋f（２）≥２f（１）Ｄ．f（0）＋f（２）>２f（１）答案C解析由题设，f（x）为R上任意可导函数，不妨设f（x）＝（x—１）２，则f′（x）＝２（x—１），满足（x—１）·f′（x）＝２（x—１）２≥0，且f（0）＝１，f（１）＝0，f（２）＝１，则有f（0）＋f（２）>２f（１）；再设f（x）＝１，则f′（x）＝0，也满足（x—１）·f′（x）≥0，且有f（0）＋f（２）＝２f（１），即１＋１＝２×１．５．（２0１9·贵阳模拟）若关于x的不等式x３—３x２—9x＋２≥m对任意x∈[—２,２]恒成立，则m 的取值范围是（）Ａ．（—∞，7] Ｂ．（—∞，—２0]Ｃ．（—∞，0] Ｄ．[—１２,7]答案B解析令f（x）＝x３—３x２—9x＋２，则f′（x）＝３x２—6x—9，令f′（x）＝0，得x＝—１或３．因为f（—１）＝7，f（—２）＝0，f（２）＝—２0，所以f（x）的最小值为f（２）＝—２0，故m≤—２0．6．已知a≤错误!＋ln x对任意的x∈错误!恒成立，则a的最大值为________．答案0解析令f（x）＝错误!＋ln x，f′（x）＝错误!，当x∈错误!时，f′（x）<0，当x∈（１,２]时，f′（x）>0，∴f（x）min＝f（１）＝0，∴a≤0，故a的最大值为0．核心考向突破考向一导数与方程例１（２0１9·陕西汉中模拟）已知函数f（x）＝错误!（其中e≈２．7１8…为自然对数的底数）．（１）若F（x）＝f（x）—f（—x），求F（x）的单调区间；（２）若方程f（x）＝k错误!在（—２，＋∞）上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．解（１）由题意知，F（x）＝f（x）—f（—x）＝错误!—错误!，所以F′（x）＝错误!＋xex＝x错误!.当x<0时，ex—错误!<0，所以x错误!>0，即F′（x）>0，当x＝0时，F′（x）＝0，当x>0时，ex—错误!>0，即F′（x）>0，所以F′（x）≥0恒成立，当且仅当x＝0时等号成立，所以F（x）＝f（x）—f（—x）在R上单调递增，即F（x）的单调递增区间为（—∞，＋∞），无单调递减区间．（２）因为f（x）＝错误!，所以f′（x）＝错误!，当x<0时，f′（x）>0，当x＝0时，f′（x）＝0，当x>0时，f′（x）<0，故函数f（x）在（—∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）在x＝0处取得最大值，且f（0）＝１，当x趋近于—∞时，f（x）趋近于—∞，当x趋近于＋∞时，f（x）趋近于0，故函数f（x）的大致图象如图所示，结合函数图象可知，当k≤0时，方程f（x）＝k错误!有且仅有一个实数根．当k>0时，设曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y—错误!＝—错误!（x—x0），且该直线过定点错误!，所以0—错误!＝—错误!错误!，解得x0＝—２（舍去）或x0＝—错误!，此时切线的斜率为错误!，数形结合可知，若方程f（x）＝k错误!在（—２，＋∞）上有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是错误!.触类旁通研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极最值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.错误!即时训练１．已知函数f（x）＝错误!＋（１—a）ln x＋ax，g（x）＝错误!—（a＋１）ln x＋x２＋ax—t （a∈R，t∈R）．（１）讨论f（x）的单调性；（２）记h（x）＝f（x）—g（x），若函数h（x）在错误!上有两个零点，求实数t的取值范围．解（１）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝—错误!＋错误!＋a＝错误!＝错误!.当a＝0时，f′（x）＝错误!，令f′（x）>0，则x>１，令f′（x）<0，则0<x<１．所以函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，在区间（１，＋∞）上单调递增．当a≠0时，f′（x）＝错误!，１当a>0时，x＋错误!>0，令f′（x）>0，则x>１，令f′（x）<0，则0<x<１，所以函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，在区间（１，＋∞）上单调递增；２当a＝—１时，１＝—错误!，f′（x）＝错误!≤0，所以函数f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递减；３当—１<a<0时，１<—错误!，令f′（x）>0，则１<x<—错误!，令f′（x）<0，则0<x<１或x>—错误!，所以函数f（x）在区间（0,１）和错误!上单调递减，在区间错误!上单调递增；４当a<—１时，１>—错误!，令f′（x）>0，则—错误!<x<１，令f′（x）<0，则0<x<—错误!或x>１，所以函数f（x）在区间错误!和（１，＋∞）上单调递减，在区间错误!上单调递增．综上，当a≥0时，函数f（x）在区间（0,１）上单调递减，在区间（１，＋∞）上单调递增；当a＝—１时，函数f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递减；当—１<a<0时，函数f（x）在区间（0,１），错误!上单调递减，在区间错误!上单调递增；当a<—１时，函数f（x）在区间错误!，（１，＋∞）上单调递减，在区间错误!上单调递增．（２）h（x）＝f（x）—g（x）＝２ln x—x２＋t，定义域为（0，＋∞），则h′（x）＝错误!—２x＝错误!，当x∈错误!时，令h′（x）＝0，得x＝１，当错误!<x<１时，h′（x）>0；当１<x<e时，h′（x）<0，故h（x）在x＝１处取得极大值h（１）＝t—１．又h错误!＝t—２—错误!，h（e）＝t＋２—e２，所以h（x）在错误!上有两个零点的条件是错误!解得１<t≤２＋错误!，故实数t的取值范围是错误!.考向二导数与不等式角度错误!证明不等式例２（２0１9·银川模拟）已知函数f（x）＝（x＋b）（ex—a）（b>0）的图象在（—１，f（—１））处的切线方程为（e—１）x＋ey＋e—１＝0．（１）求a，b；（２）若m≤0，证明：f（x）≥mx２＋x.解（１）由题意知f（—１）＝0，f′（—１）＝—１＋错误!，所以f（—１）＝（—１＋b）错误!＝0，所以b＝１或a＝错误!，又f′（x）＝（x＋b＋１）ex—a，所以f′（—１）＝错误!—a＝—１＋错误!，若a＝错误!，则b＝２—e<0，与b>0矛盾，故a＝１，b＝１．（２）证法一：由（１）可知f（x）＝（x＋１）（ex—１），f（0）＝0，f（—１）＝0，由m≤0，可得x≥mx２＋x，令g（x）＝（x＋１）（ex—１）—x，则g′（x）＝（x＋２）ex—２，当x≤—２时，g′（x）＝（x＋２）ex—２≤—２<0，当x>—２时，令h（x）＝g′（x）＝（x＋２）ex—２，则h′（x）＝（x＋３）ex>0，故函数g′（x）在（—２，＋∞）上单调递增，又g′（0）＝0，综上，当x∈（—∞，0）时，g′（x）<0，当x∈（0，＋∞）时，g′（x）>0，所以函数g（x）在区间（—∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单调递增，故g（x）≥g（0）＝0，所以（x＋１）（ex—１）≥x≥mx２＋x.故f（x）≥mx２＋x.证法二：由（１）可知f（x）＝（x＋１）（ex—１），f（0）＝0，f（—１）＝0，由m≤0，可得x≥mx ２＋x，令g（x）＝（x＋１）（ex—１）—x，则g′（x）＝（x＋２）ex—２，令t（x）＝g′（x），则t′（x）＝（x＋３）ex，当x<—３时，t′（x）<0，g′（x）单调递减，且g′（x）<0；当x>—３时，t′（x）>0，g′（x）单调递增，且g′（0）＝0．所以g（x）在（—∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，且g（0）＝0．故g（x）≥g（0）＝0，所以（x＋１）（ex—１）≥x≥mx２＋x.故f（x）≥mx２＋x.触类旁通１利用导数方法证明不等式f x>g x在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h x＝f x—g x，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h x>0，其中一个重要技巧就是找到函数h x在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口.２若待证不等式两端式子较复杂，可通过分析法转化为形式较简单的不等式，再构造函数证明.即时训练２．（２0１9·石家庄模拟）已知函数f（x）＝λln x—e—x（λ∈R）．（１）若函数f（x）是单调函数，求λ的取值范围；（２）求证：当0<x１<x２时，e１—x２—e１—x１>１—错误!.解（１）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），∵f（x）＝λln x—e—x，∴f′（x）＝错误!＋e—x＝错误!，∵函数f（x）是单调函数，∴f′（x）≤0或f′（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，１当函数f（x）是单调递减函数时，f′（x）≤0，∴错误!≤0，即λ＋xe—x≤0，λ≤—xe—x＝—错误!，令φ（x）＝—错误!，则φ′（x）＝错误!，当0<x<１时，φ′（x）<0，当x>１时，φ′（x）>0，则φ（x）在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，∴当x>0时，φ（x）min＝φ（１）＝—错误!，∴λ≤—错误!；２当函数f（x）是单调递增函数时，f′（x）≥0，∴错误!≥0，即λ＋xe—x≥0，λ≥—xe—x＝—错误!，由１得φ（x）＝—错误!在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，又φ（0）＝0，x→＋∞时，φ（x）<0，∴λ≥0．综上，λ≤—错误!或λ≥0．（２）证明：由（１）可知，当λ＝—错误!时，f（x）＝—错误!ln x—e—x在（0，＋∞）上单调递减，∵0<x１<x２，∴f（x１）>f（x２），即—错误!ln x１—e—x１>—错误!ln x２—e—x２，∴e１—x２—e１—x１>ln x１—ln x２．要证e１—x２—e１—x１>１—错误!，只需证ln x１—ln x２>１—错误!，即证ln 错误!>１—错误!，令t＝错误!，t∈（0,１），则只需证ln t>１—错误!，令h（t）＝ln t＋错误!—１，则当0<t<１时，h′（t）＝错误!<0，∴h（t）在（0,１）上单调递减，又h（１）＝0，∴h（t）>0，即ln t>１—错误!，得证．角度错误!不等式恒成立问题例３（２0１9·大连模拟）已知函数f（x）＝（x—１）ex—ax２（e是自然对数的底数）．（１）讨论函数f（x）的极值点的个数，并说明理由；（２）若对任意的x>0，f（x）＋ex≥x３＋x，求实数a的取值范围．解（１）f′（x）＝xex—２ax＝x（ex—２a）．当a≤0时，由f′（x）<0得x<0，由f′（x）>0得x>0，∴f（x）在（—∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，∴f（x）有１个极值点；当0<a<错误!时，由f′（x）>0得x<ln ２a或x>0，由f′（x）<0得0>x>ln ２a，∴f（x）在（—∞，ln ２a）上单调递增，在（ln ２a,0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，∴f（x）有２个极值点；当a＝错误!时，由f′（x）≥0，∴f（x）在R上单调递增，∴f（x）没有极值点；当a>错误!时，由f′（x）>0得x<0或x>ln ２a，由f′（x）<0得0<x<ln ２a，∴f（x）在（—∞，0）上单调递增，在（0，ln ２a）上单调递减，在（ln ２a，＋∞）上单调递增，∴f（x）有２个极值点．综上，当a≤0时，f（x）有１个极值点；当a>0且a≠错误!时，f（x）有２个极值点；当a＝错误!时，f （x）没有极值点．（２）由f（x）＋ex≥x３＋x得xex—x３—ax２—x≥0．当x>0时，ex—x２—ax—１≥0，即a≤错误!对任意的x>0恒成立．设g（x）＝错误!，则g′（x）＝错误!.设h（x）＝ex—x—１，则h′（x）＝ex—１．∵x>0，∴h′（x）>0，∴h（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴h（x）>h（0）＝0，即ex>x＋１，∴g（x）在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，∴g（x）≥g（１）＝e—２，∴a≤e—２，所以实数a的取值范围为（—∞，e—２]．触类旁通不等式恒成立问题的求解策略（１）已知不等式f（x，λ）≥0（λ为实参数）对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下：第一步：将原不等式f（x，λ）≥0（x∈D，λ为实参数）分离，使不等式的一边是参数，另一边不含参数，即化为f１（λ）≥f２（x）或f１（λ）≤f２（x）的形式；第二步：利用导数求出函数f２（x）（x∈D）的最大（小）值；第三步：解不等式f１（λ）≥f２（x）max或f１（λ）≤f２（x）min，从而求出参数λ的取值范围．２如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法a>0，Δ<0或a<0，Δ<0求解.即时训练３．已知函数f（x）＝２（x—１）ln x＋a错误!，其中a∈R.（１）当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；（２）若对于任意x>0，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．解（１）f′（x）＝２错误!，令g（x）＝２错误!，则g′（x）＝２错误!>0，所以可得g（x）单调递增，即f′（x）单调递增，而f′（１）＝0，则在区间（0,１）上，f′（x）<0，函数f（x）单调递减；在区间（１，＋∞）上，f′（x）>0，函数f（x）单调递增．所以当a＝0时，函数f（x）的单调递减区间为（0,１），单调递增区间为（１，＋∞）．（２）f（x）＝（x—１）错误!，令h（x）＝２ln x＋a·错误!，可知h（１）＝0，h′（x）＝错误!（x>0），令φ（x）＝ax２＋２x＋a，１当a≤—１时，结合φ（x）对应二次函数的图象可知，h′（x）≤0，所以函数h（x）单调递减．又h（１）＝0，所以当x∈（0,１）时，h（x）>0，当x∈（１，＋∞）时，h（x）<0，可知当x∈（0，＋∞）时，f（x）≤0，符合题意．２当a≥0时，结合φ（x）对应二次函数的图象可知，h′（x）>0，h（x）单调递增．又h（１）＝0，所以当x∈（0,１）时，h（x）<0，当x∈（１，＋∞）时，h（x）>0，可知当x∈（0，＋∞）时，f（x）≤0不恒成立．３当—１<a<0时，研究函数φ（x）＝ax２＋２x＋a，可知φ（１）>0，其图象的对称轴x＝—错误!>１，那么φ（x）在区间错误!上大于0，即h′（x）在区间错误!上大于0，所以h（x）在区间错误!上单调递增，此时h（x）>h（１）＝0，可知当x∈（１，＋∞）时，f（x）>0，不符合题意．综上，可知符合题意的实数a的取值范围为（—∞，—１]．角度错误!赋值法证明正整数不等式例４（２0１7·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝x—１—aln x.（１）若f（x）≥0，求a的值；（２）设m为整数，且对于任意正整数n，错误!错误!·…·错误!＜m，求m的最小值．解（１）f（x）的定义域为（0，＋∞），１若a≤0，因为f错误!＝—错误!＋aln ２＜0，所以不满足题意．２若a＞0，由f′（x）＝１—错误!＝错误!知，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0；当x∈（a，＋∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（0，a）单调递减，在（a，＋∞）单调递增．故x＝a是f（x）在（0，＋∞）上的唯一最小值点．因为f（１）＝0，所以当且仅当a＝１时，f（x）≥0，故a＝１．（２）由（１）知当x∈（１，＋∞）时，x—１—ln x＞0．令x＝１＋错误!，得ln错误!＜错误!，从而ln错误!＋ln错误!＋…＋ln错误!＜错误!＋错误!＋…＋错误!＝１—错误!＜１．故错误!错误!·…·错误!＜e.而错误!错误!错误!＞２，所以m的最小值为３．触类旁通证明正整数不等式时，要把这些正整数放在正实数的范围内，通过构造正实数的函数进行证明，而不能直接构造正整数的函数，因为这样的函数不是可导函数，对其求导就是错误的.本例２就是利用了１问的结论，构造了函数的不等关系，再对其中的自变量赋值，令，可得到解题的基本思路.即时训练４．（２0１9·合肥模拟）已知函数f（x）＝ln x—ax＋１．（１）若曲线y＝f（x）在点A（１，f（１））处的切线l与直线４x＋３y—３＝0垂直，求a的值；（２）若f（x）≤0恒成立，试确定实数a的取值范围；（３）证明：ln （n＋１）>错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N*）．解（１）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!—a，f（１）＝ln １—a＋１＝１—a，f′（１）＝１—Ａ．故切线l的方程为y—（１—a）＝（１—a）（x—１），即y＝（１—a）x.因为切线l与直线４x＋３y—３＝0垂直，所以４×（１—a）＋３×（—１）＝0，解得a＝错误!.（２）若a≤0，则f′（x）＝错误!—a>0，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．而f（１）＝１—a>0，f（x）≤0不恒成立．若a>0，则当x∈错误!时，f′（x）＝错误!—a>0；当x∈错误!时，f′（x）＝错误!—a<0．所以f（x）在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．所以f（x）的最大值为f错误!＝—ln Ａ．要使f（x）≤0恒成立，则—ln a≤0，所以a≥１．故实数a的取值范围是[１，＋∞）．（３）证明：由（２）知，当a＝１时有f（x）≤0在（0，＋∞）上恒成立，且f（x）在（0,１）上是增函数，f（１）＝0，所以ln x<x—１在x∈（0,１）上恒成立．令x＝错误!，则ln 错误!＜错误!—１＝—错误!，令n＝１,２，…，n，则有ln 错误!＜—错误!，ln 错误!＜—错误!，ln错误!＜—错误!，…，ln 错误!＜—错误!，以上各不等式两边分别相加，得ln 错误!＋ln 错误!＋…＋ln 错误!＜—错误!，即ln 错误!＜—错误!，故ln （n＋１）＞错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N*）．考向三导数与优化问题例５（２0１8·江苏高考）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为４0米，点P到MN的距离为５0米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.（１）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（２）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为４∶３．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．解（１）设PO的延长线交MN于H，则PH⊥MN，所以OH＝１0米．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝４0cosθ米，EC＝４0sinθ米，则矩形ABCD的面积为２×４0cosθ（４0sinθ＋１0）＝800（４sinθcosθ＋cosθ）平方米，△CDP的面积为错误!×２×４0cosθ（４0—４0sinθ）＝１600（cosθ—sinθcosθ）平方米．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK＝KN＝１0米．令∠GOK＝θ0，则sinθ0＝错误!，θ0∈错误!.当θ∈错误!时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是错误!.答：矩形ABCD的面积为800（４sinθcosθ＋cosθ）平方米，△CDP的面积为１600（cosθ—sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范围是错误!.（２）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为４∶３，所以设甲的单位面积的年产值为４k，乙的单位面积的年产值为３k（k>0）．则年总产值为４k×800（４sinθcosθ＋cosθ）＋３k×１600×（cosθ—sinθcosθ）＝8000k（sinθcosθ＋cosθ），θ∈错误!.设f（θ）＝sinθcosθ＋cosθ，θ∈错误!.则f′（θ）＝cos２θ—sin２θ—sinθ＝—（２sin２θ＋sinθ—１）＝—（２sinθ—１）（sinθ＋１），令f′（θ）＝0，得θ＝错误!，当θ∈错误!时，f′（θ）>0，所以f（θ）为增函数；当θ∈错误!时，f′（θ）<0，所以f（θ）为减函数，因此，当θ＝错误!时，f（θ）取到最大值．答：当θ＝错误!时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．触类旁通利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，该极值点也就是最值点．即时训练５．（２0１9·山东潍坊模拟）在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为错误!（升），在水底作业１0个单位时间，每单位时间用氧量为0．9（升），返回水面的平均速度为错误!（米/单位时间），每单位时间用氧量为１．５（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．（１）求y关于v的函数关系式；（２）若c≤v≤１５（c>0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．解（１）由题意，下潜用时错误!（单位时间），用氧量为错误!×错误!＝错误!＋错误!（升）；水底作业时的用氧量为１0×0．9＝9（升）；返回水面用时错误!＝错误!（单位时间），用氧量为错误!×１．５＝错误!（升），∴总用氧量y＝错误!＋错误!＋9（v>0）．（２）y′＝错误!—错误!＝错误!，令y′＝0得v＝１0错误!.当0<v<１0错误!时，y′<0，函数单调递减；当v>１0错误!时，y′>0函数单调递增．∴当0<c<１0错误!时，函数在（c,１0错误!）上单调递减，在（１0错误!，１５）上单调递增，∴当v＝１0错误!时，总用氧量最少；当c≥１0错误!时，函数在[c,１５]上单调递增，此时v＝c时，总用氧量最少．综上可知，当0<c<１0错误!，v＝１0错误!时，总用氧量最少；当c≥１0错误!，v＝c时，总用氧量最少．（２0１9·兰州模拟）设f（x）＝错误!＋xln x，g（x）＝x３—x２—３．（１）如果存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（２）如果对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．解（１）存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，等价于[g（x１）—g（x２）]max≥M.由g（x）＝x３—x２—３，得g′（x）＝３x２—２x＝３x错误!.由g′（x）＞0得x＜0或x＞错误!，又x∈[0,２]，所以g（x）在错误!上是单调递减函数，在错误!上是单调递增函数，所以g（x）min＝g错误!＝—错误!，g（x）max＝g（２）＝１．故[g（x１）—g（x２）]max＝g（x）max—g（x）min＝错误!≥M，则满足条件的最大整数M＝４．（２）对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，等价于在错误!上，函数f（x）min≥g（x）max.由（１）可知在错误!上，g（x）的最大值为g（２）＝１．在错误!上，f（x）＝错误!＋xln x≥１恒成立等价于a≥x—x２ln x恒成立．设h（x）＝x—x２ln x，则h′（x）＝１—２xln x—x，令φ（x）＝１—２xln x—x，φ′（x）＝—（２ln x＋３），当x∈错误!时，φ′（x）<0，可知h′（x）在错误!上是减函数，又h′（１）＝0，所以当１＜x＜２时，h′（x）＜0；当错误!＜x＜１时，h′（x）＞0．即函数h（x）＝x—x２ln x在错误!上单调递增，在[１,２]上单调递减，所以h（x）max＝h（１）＝１，即实数a的取值范围是[１，＋∞）．答题启示双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转化法．（１）∀x１∈[a，b]，∀x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x１）]min>[f２（x２）]max.（２）∃x１∈[a，b]，∃x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x１）]max>[f２（x２）]min.（３）∀x１∈[a，b]，∃x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x１）]min>[f２（x２）]min.（４）∃x１∈[a，b]，∀x２∈[c，d]，使f１（x１）>f２（x２）⇔[f１（x）]max>[f２（x）]max.（５）∃x１∈[a，b]，x２∈[c，d]，使f１（x１）＝f２（x２）⇔f１（x）的值域与f２（x）的值域交集不为∅.对点训练已知函数f（x）＝ln x—ax＋错误!—１（a∈R）．（１）当a＝１时，证明：f（x）≤—２；（２）设g（x）＝x２—２bx＋４，当a＝错误!时，若∀x１∈（0,２），∃x２∈[１,２]，f（x１）≥g（x ２），求实数b的取值范围．解（１）当a＝１时，f（x）＝ln x—x—１，则f′（x）＝错误!—１，所以当x∈（0,１）时，f′（x）>0，当x∈（１，＋∞）时，f′（x）<0，所以f（x）在（0,１）上单调递增，在（１，＋∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（１）＝—２，故f（x）≤—２．（２）依题意得f（x）在（0,２）上的最小值不小于g（x）在[１,２]上的最小值，即f（x）min≥g（x）min.当a＝错误!时，f（x）＝ln x—错误!x＋错误!—１，所以f′（x）＝错误!—错误!—错误!＝—错误!，当0<x<１时，f′（x）<0，当１<x<２时，f′（x）>0，所以f（x）在（0,１）上单调递减，在（１,２）上单调递增，所以当x∈（0,２）时，f（x）min＝f（１）＝—错误!.又g（x）＝x２—２bx＋４，x∈[１,２]，１当b<１时，易得g（x）min＝g（１）＝５—２b，则５—２b≤—错误!，解得b≥错误!，这与b<１矛盾；２当１≤b≤２时，易得g（x）min＝g（b）＝４—b２，则４—b２≤—错误!，所以b２≥错误!，这与１≤b≤２矛盾；３当b>２时，易得g（x）min＝g（２）＝8—４b，则8—４b≤—错误!，解得b≥错误!.综上，实数b的取值范围是错误!.。

2019届高考数学一轮复习备考讲义(人教A版)第三章导数及其应用3.3Word版含答案

§3.3 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )．在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．知识拓展1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( √ )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × ) (4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )题组二教材改编 2．[P66A 组T14]ʃe ＋121x －1d x ＝________. 答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 3．[P55A 组T1] ʃ0－11－x 2d x ＝________. 答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积， ∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 4．[P60A 组T6]汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m. 答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝2213(2)|2t t + ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)．题组三易错自纠5．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4答案 D解析如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝24201(2)|4x x -＝8－14×24＝4，故选D.6．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ∵ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3. 7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________．答案 43解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x＝30110||3x x -+＝13＋1＝43.题型一定积分的计算1．(2018·唐山调研)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______.答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x ＝2ʃ10x 2d x ＝2·310|3x ＝23. 2．ʃ1－1e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2答案 C解析 ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e x d x＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C.3．(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56 D ．不存在答案 C解析如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝31220111|(2)|32x x x +- ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．题型二定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分典例 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. (2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1.命题点2 求平面图形的面积典例 (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．答案 4－ln 3解析由xy ＝1，y ＝3，可得A ⎝⎛⎭⎫13，3.由xy ＝1，y ＝x ，可得B (1,1)，由y ＝x ，y ＝3，得C (3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1131(3)d x x -⎰＋ʃ31(3－x )d x ＝113(3ln )|x x -＋2311(3)|2x x -＝(3－1－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫9－92－3＋12＝4－ln 3.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分． (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．跟踪训练 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为________．答案9π4解析由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝9π4.(2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______．答案 94解析由y ＝－x 2＋4x －3，得y ′＝－2x ＋4.易知抛物线在点A 处的切线斜率k 1＝y ′|x ＝0＝4，。

2020届高考数学一轮复习：第三章函数、导数及其应用三

第三章⎪⎪⎪函数、导数及其应用第六节指数与指数函数1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 2．指数函数的图象与性质[小题体验]1．计算[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝26×12－1＝23－1＝7.2．函数f (x )＝3x ＋1的值域为( ) A ．(－1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．[1，＋∞)解析：选B ∵3x ＞0，∴3x ＋1＞1，即函数f (x )＝3x ＋1的值域为(1，＋∞)．3．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫2，13，则f (－1)＝________. 答案： 34．若指数函数f (x )＝(a －2)x 为减函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝(a －2)x 为减函数， ∴0＜a －2＜1，即2＜a ＜3. 答案：(2,3)1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a ＞1或0＜a ＜1.[小题纠偏]1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂a m n 可以理解为mn 个a 相乘．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．若函数y ＝(a －1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案：(1,2)考点一指数幂的化简与求值(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．化简与求值：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214-12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a -12b －1÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312. 解：(1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a -16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a -16b －3÷(a 13b -32)＝－54a -12·b -32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.2．若x 12＋x －12＝3，则x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值为________．解析：由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47.因为x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －12)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.答案：25[谨记通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．考点二指数函数的图象及应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝a x －a －1(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到的，所以A 项错误；当a ＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0＜a ＜1时，1a ＞1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.2．已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当0＜a ＜1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0＜a ＜1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，所以0＜a ＜23.②当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a ＞1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，此时无解．所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 答案：⎝⎛⎭⎫0，23 [由题悟法]指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[即时应用]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2解析：选D 作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a －1|＞|2c －1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c ＞1.故选D.考点三指数函数的性质及应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小；(2)简单指数方程或不等式的应用； (3)探究指数型函数的性质．[题点全练]角度一：比较指数式的大小1．(2018·杭州模拟)已知a ＝⎝⎛⎭⎫2313，b ＝⎝⎛⎭⎫2312，c ＝⎝⎛⎭⎫3512，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：选A ∵23＞35，y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，∴b ＝⎝⎛⎭⎫2312＞c ＝⎝⎛⎭⎫3512， ∵13＜12，y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上是减函数， ∴a ＝⎝⎛⎭⎫2313＞b ＝⎝⎛⎭⎫2312， ∴a ＞b ＞c .故选A.角度二：简单指数方程或不等式的应用2．(2018·湖州模拟)已知函数f (x )＝m ·9x －3x ，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,2)D ．[2，＋∞)解析：选B 由题意得到f (－x )＝f (x )，所以m ·9－x －3－x ＝m ·9x －3x ，整理得到：m ＝3x(3x )2＋1＝13x ＋13x＜12，又m ＞0，所以实数m 的取值范围是0＜m ＜12，故选B.角度三：探究指数型函数的性质3．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ② ②÷①得a 2＝4，又a ＞0且a ≠1， ∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56. [通法在握]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略[演练冲关]1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：选C 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5＜a ＝0.60.6＜1.又c ＝1.50.6＞1，所以b ＜a ＜c .2．(2019·金华模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x ，x ＞0，则满足f (x 2－2)＞f (x )的x 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由题意x ＞0时，f (x )单调递增，故f (x )＞f (0)＝0，而x ≤0时，f (x )＝0，故若f (x 2－2)＞f (x )，则x 2－2＞x ，且x 2－2＞0，解得x ＞2或x ＜－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________．解析：设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．化简a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3a 的结果是( ) A ．aB ．bC ．abD ．ab 2解析：选A 原式＝a 13(a －8b )4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13＝a 13(a 13－2b 13)(a 23＋2a 13b 13＋4b 23)4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13＝a 13·a 13·a 13＝a . 2．已知a ＝(2)43，b ＝225，c ＝913，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝(2)43＝212×43＝223，b ＝225，c ＝913＝323，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，得a ＜c ，由函数y ＝2x 在R 上为增函数，得a ＞b ，综上得c ＞a ＞b .3．(2018·丽水模拟)已知实数a ，b 满足12＞⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ＞14，则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：选B 由12＞⎝⎛⎭⎫12a，得a ＞1，由⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ，得⎝⎛⎭⎫222a ＞⎝⎛⎭⎫22b ，得2a ＜b ，由⎝⎛⎭⎫22b ＞14，得⎝⎛⎭⎫22b ＞⎝⎛⎭⎫224，得b ＜4. 由2a ＜b ，得b ＞2a ＞2，a ＜b2＜2，∴1＜a ＜2,2＜b ＜4. 取a ＝32，b ＝72，得b －a ＝72－32＝2，有a ＞b －a ，排除C ； b ＞2b －a ，排除A ；取a ＝1110，b ＝3910得，b －a ＝3910－1110＝ 145，有a ＜b －a ，排除D ，故选B.4．(2017·宁波期中)若指数函数f (x )的图象过点(－2,4)，则f (3)＝________；不等式f (x )＋f (－x )＜52的解集为____________．解析：设指数函数解析式为y ＝a x ，因为指数函数f (x )的图象过点(－2,4)，所以4＝a －2，解得a ＝12，所以指数函数解析式为y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，所以f (3)＝⎝⎛⎭⎫123＝18；不等式f (x )＋f (－x )＜52，即⎝⎛⎭⎫12x ＋2x ＜52，设2x ＝t ，不等式化为1t ＋t ＜52，所以2t 2－5t ＋2＜0解得12＜t ＜2，即12＜2x ＜2，所以－1＜x ＜1，所以不等式的解集为(－1,1)．答案：18(－1,1)5．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a ＞1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝±3.又∵a ＞1，∴a ＝ 3. 当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数，又∵f (0)＝0≠2，∴0＜a ＜1不成立．综上可知，a ＝ 3. 答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·贵州适应性考试)函数y ＝a x ＋2－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 法一：因为函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝a x ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象，所以y ＝a x ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确．法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确．2．已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x＋k的图象可能是( )解析：选B 由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k ＜0,0＜a ＜1，又因为与x 轴交点的横坐标大于1，所以k ＞－1，所以－1＜k ＜0.函数y ＝a x ＋k的图象可以看成把y ＝a x 的图象向右平移－k 个单位得到的，且函数y ＝a x ＋k是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，故选B.3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎣⎡⎭⎫34，1 C.⎝⎛⎦⎤23，34D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析：选C 依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，(2－3a )×1＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，而－x ＜0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，而－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.5．(2018·温州月考)若函数f (x )＝a e －x －e x 为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选D 由于函数f (x )为R 上奇函数，所以f (0)＝0⇒a ＝1，所以f (x )＝1e x －e x ，由于e x 为增函数，而1e x 为减函数，所以f (x )＝1ex －e x 是减函数，又因为f (－1)＝e －1e ，由f (x －1)＜e －1e 可得f (x －1)＜f (－1)，x －1＞－1⇒x ＞0，故选D.6．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a ＞1，解得0＜a ＜1. 答案：(0,1)7．(2018·温州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x ＜1，2x －12，x ≥1，设a ＞b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．解析：依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象，结合图象可知b ∈⎣⎡⎭⎫12，1，bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ∈⎣⎡⎭⎫34，2.答案：⎣⎡⎭⎫34，28．若不等式⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax ＜⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由指数函数的性质知y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，因为⎝⎛⎭⎫12x 2＋ax ＜⎝⎛⎭⎫122x ＋a －2恒成立，所以x 2＋ax ＞2x ＋a －2恒成立，所以x 2＋(a －2)x －a ＋2＞0恒成立，所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0，即(a －2)(a －2＋4)＜0，即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即a 的取值范围是(－2,2)．答案：(－2,2)9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0. 10．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a ＞0，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )．即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x ＜－b .①当a ＞1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， ∴－b ≤2，b ≥－2.②当0＜a ＜1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a ＞1且b ≥－2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·杭州模拟)已知定义在R 上的函数g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，则满足g (2x －1)＜g (3)的x 的取值范围是________．解析：∵g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，∴g (－x )＝2x ＋2－x ＋|－x |＝2x ＋2－x ＋|x |＝g (x )，则函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋2－x ＋x ，则g ′(x )＝(2x －2－x )·ln 2＋1＞0，则函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g (2x －1)＜g (3)等价于g (|2x －1|)＜g (3)，∴|2x －1|＜3，即－3＜2x －1＜3，解得－1＜x ＜2，即x 的取值范围是(－1,2)．答案：(－1,2)2．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1. 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0，从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13.第七节对数与对数函数1．对数定义域为(0，＋∞)3．反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[小题体验]1．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a ＞0，且a ≠1)的图象必过定点________．答案：(－1，－2)2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案：⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 3．(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. 解析：log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12； 2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案：－123 31．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围． [小题纠偏]1．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为______．答案：⎝⎛⎦⎤34，12．函数f (x )＝log (x ＋1)(2x －1)的单调递增区间是______．答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞考点一对数式的化简与求值(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：选B 利用对数的换底公式进行验证，log a b ·log c a ＝log c b log c a·log c a ＝log c b .2．(2018·台州模拟)lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( )A ．lg 2B ．lg 3C ．4D ．lg 5解析：选A lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg 2516－lg 2581＋lg 3281＝lg ⎝⎛⎭⎫2516×8125×3281＝lg 2，故选A. 3．计算⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝______. 解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg 122·52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.答案：－204．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12的值是________．解析：因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 312＝3－log 312＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3. 所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝2＋3＝5. 答案：5[谨记通法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．考点二对数函数的图象及应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析：选D 作出y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的大致图象，如图．显然x 1＜0，x 2＜0.不妨令x 1＜x 2，则x 1＜－1＜x 2＜0，所以10x 1＝lg(－x 1)，10x 2＝－lg(－x 2)，此时10x 1＜10x 2，即lg(－x 1)＜－lg(－x 2)，由此得lg(x 1x 2)＜0，所以0＜x 1x 2＜1，故选D.[由题悟法]应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[即时应用]1．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 当x ＞1时，f (x )＝ln(x －1)，又f (x )的图象关于x ＝1对称，故选B.2．(2018·温州适应性训练)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( )A.52 B ．3 C.72D ．4解析：选C 2x ＝5－2x,2log 2(x －1)＝5－2x ，即2x －1＝52－x ，log 2(x －1)＝52－x ，作出y＝2x －1，y ＝52－x ，y ＝log 2(x －1)的图象(如图)．由图知y ＝2x－1与y ＝log 2(x －1)的图象关于y ＝x －1对称，它们与y ＝52－x 的交点A ，B的中点为y ＝52－x 与y ＝x －1的交点C ，x C ＝x 1＋x 22＝74，∴x 1＋x 2＝72，故选C.考点三对数函数的性质及应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．常见的命题角度有： (1)比较对数值的大小； (2)简单对数不等式的解法； (3)对数函数的综合问题．[题点全练]角度一：比较对数值的大小1．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解析：选A 因为a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，所以a ＞b ；又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，c ＞0，所以b ＞c .故a ＞b ＞c .角度二：简单对数不等式的解法2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a )，解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. 角度三：对数函数的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a ＞0，a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0＜a ＜1时，求函数f (x )的单调区间．解：令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a ＞0，a ≠1，－3＜u ＜3)，所以f (x )＝log a 3＋x3－x (a ＞0，a ≠1，－3＜x ＜3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数． (2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0＜a ＜1时，函数y ＝log a t 是减函数，所以f (x )＝log a 3＋x3－x (0＜a ＜1)在(－3,3)上是减函数，即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．[通法在握]1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2．比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．[演练冲关]1．(2019·杭州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＞1等价于8－ax ＞a 在[1,2]上恒成立，即a ＜⎝⎛⎭⎫8x ＋1min ＝83，解得1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＞1等价于0＜8－ax ＜a 在[1,2]上恒成立，即a ＞⎝⎛⎭⎫8x ＋1max 且a ＜⎝⎛⎭⎫8x min ，解得a ＞4且a ＜4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83 2．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数f (x )的定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12，使f (x )的最小值为0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·金华温州台州高三开学联考)若2a ＝3b ＝6c2，则( )A.1a ＋1b ＝2c B.2a ＋2b ＝1c C.1a ＋1b ＝1cD.12a ＋12b ＝2c解析：选A 令2a ＝3b ＝6c2＝k ，则a ＝lg k lg 2，b ＝lg k lg 3，c ＝2lg k lg 6，则1a ＋1b ＝lg 2lg k ＋lg 3lg k ＝lg 6lg k ＝2c. 2．(2019·舟山模拟)设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选B a ＝log 50.5＞log 50.2＝－1，b ＝log 20.3＜log 20.5＝－1，c ＝log 0.32＞log 0.3103＝－1，log 0.32＝lg 2lg 0.3，log 50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0，∴lg 2lg 0.3＜lg 2lg 0.2，即c ＜a ，故b ＜c ＜a .故选B.3．(2018·金华名校联考)已知函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e－x ，若实数a 满足2f (log 4a )＋f (log 14a )＋f (1)≤0，则a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．⎝⎛⎦⎤0，14 C ．⎣⎡⎦⎤14，4D ．[1,4]解析：选B ∵f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ＝e 2x －1e 2x ＋1＝(e 2x ＋1)－2e 2x＋1＝1－2e 2x ＋1，定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x e －x ＋e x ＝－e x －e －xe x ＋e－x ＝－f (x )，∴f (x )是单调递增的奇函数，又f (log 14a )＝f (－log 4a )＝－f (log 4a )，则不等式2f (log 4a )＋f (log 14a )＋f (1)≤0化为f (log 4a )＋f (1)≤0，即f (log 4a )≤－f (1)＝f (－1)，则log 4a ≤－1＝log 414，得0＜a ≤14.4．(2016·浙江高考)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析：∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12. ∵a ＞b ＞1，∴log a b ＜log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，a ＝4. 答案：4 25．(2018·杭州模拟)已知函数y ＝log 12()x 2－ax ＋a 在区间(2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是____________．解析：令t ＝x 2－ax ＋a ，则函数f (x )在区间(2，＋∞)上是减函数，可得函数t 在区间(2，＋∞)上是增函数，且t (2)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，t (2)＝4－a ≥0，解得a ≤4，所以实数a 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：选B ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即30＋m ＝0，解得m ＝－1， ∴f (log 35)＝3log 35－1＝4， ∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝－4.2．(2018·丽水月考)函数f (x )＝lg(4x －2x ＋1＋11)的最小值是( )A ．10B ．1C ．11D ．lg 11解析：选B 令2x ＝t ，t ＞0，则4x －2x ＋1＋11＝t 2－2t ＋11＝(t －1)2＋10≥10，所以lg(4x－2x ＋1＋11)≥1，即所求函数的最小值为1.故选B.3．(2019·丽水模拟)已知对数函数f (x )＝log a x 是增函数，则函数f (|x |＋1)的图象大致是( )解析：选B 由函数f (x )＝log a x 是增函数知，a ＞1.f (|x |＋1)＝log a (|x |＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)，x ≥0，log a [－(x －1)]，x ＜0.由对数函数性质知选B.4．(2018·金华模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选D ∵f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为－1＜x ＜1，∴f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数， ∴f (－a )＝－f (a )＝－12.5．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1， ∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0.当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0. 综上可知，选D.6．(2018·杭二月考)已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 27．若方程2log 2x －log 2(x －1)＝m ＋1有两个不同的解，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －1＞0，即x ＞1，方程化简为log 2x 2x －1＝m ＋1，故x 2x －1＝2m ＋1，即x 2－2m ＋1x ＋2m ＋1＝0，当x ＞1时，此方程有两个不同的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m＞1，1－2m ＋1＋2m ＋1＞0，Δ＝22m ＋2－4×2m ＋1＞0，解得m ＞1.答案：(1，＋∞)8．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.答案：99．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1＜f (1)＜1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∴当x ＜0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)，x ≥0，log a (－x ＋1)，x ＜0.(2)∵－1＜f (1)＜1，∴－1＜log a 2＜1， ∴log a 1a＜log a 2＜log a a .①当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a ＜2，a ＞2，解得a ＞2；②当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a ＞2，a ＜2，解得0＜a ＜12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2(1＋x )(3－x ) ＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·杭州五校联考)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧log 12⎪⎪⎪⎪12－x ，x ≠12，0，x ＝12，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( ) A ．增函数且f (x )＞0 B ．增函数且f (x )＜0 C ．减函数且f (x )＞0D ．减函数且f (x )＜0解析：选D 由f (x )为奇函数，f (x ＋1)＝f (－x )得， f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋2)； ∴f (x )＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的周期函数．根据条件，x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎫x －12， ∴x －2∈⎝⎛⎭⎫－32，－1，－(x －2)∈⎝⎛⎭⎫1，32， ∴f (x )＝f (x －2)＝－f (2－x )＝log 12⎝⎛⎭⎫x －12. 设2－x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫1，32，x ＝2－t ， ∴－f (t )＝log 12⎝⎛⎭⎫32－t ，∴f (t )＝－log 12⎝⎛⎭⎫32－t ， ∴f (x )＝－log 12⎝⎛⎭⎫32－x ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，32，可以看出x 增大时，32－x 减小，log 12⎝⎛⎭⎫32－x 增大，f (x )减小， ∴在区间⎝⎛⎭⎫1，32内，f (x )是减函数，而由1＜x ＜32得0＜32－x ＜12，∴log 12⎝⎛⎭⎫32－x ＞1， ∴f (x )＜0.2．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a ＞0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax ＞0恒成立． ∴3－2a ＞0，∴a ＜32.又a ＞0且a ≠1，∴0＜a ＜1或1＜a ＜32，∴实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数，∴a ＞1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a ＜32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.第八节函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系(x 0)，(x 0)(x 0) 无交点 [小题体验]1．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3,4)D ．(4，＋∞)解析：选B 易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.2．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 函数f (x )＝e x ＋3x 在R 上是增函数， ∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (－1)·f (0)＜0，∴函数f (x )有唯一零点，且在(－1,0)内，故选B.3．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤－1，－121．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f (x )按照下述方法定义：当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ；当x ＞2时，f (x )＝12(x －2)2，则方程f (x )＝12的所有实数根之和是( )A ．2B ．3C ．5D ．8解析：选C 画出函数f (x )的图象，如图所示：结合图象x ＜2时，两根之和是2， x ＞2时，由12(x －2)2＝12，解得x ＝3，故方程f (x )＝12的所有实数根之和是5，故选C.2．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f (a )·f (b )＜0； ③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac ＜0时没有零点；④若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定(基础送分型考点——自主练透)1．已知实数a ＞1,0＜b ＜1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B ∵a ＞1,0＜b ＜1，f (x )＝a x ＋x －b ， ∴f (－1)＝1a －1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1,0)上存在零点． 2．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f (8)＝82－3×8－18＝22＞0， ∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]的图象是连续的，故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0，∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]， ∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f (x )的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y ＝f (x )必须在区间[a ，b ]上是连续的，当f (a )·f (b )＜0时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f (x )＝g (x )－h (x )，作出y ＝g (x )和y ＝h (x )的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点．考点二判断函数零点个数(重点保分型考点——师生共研)1．(2019·温州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 如图，作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1，由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－x －2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ＜0时，令f (x )＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x ＝－2或x ＝0(舍去)，所以当x ＜0时，只有一个零点；当x ≥0时，f (x )＝e x －x －2，而f ′(x )＝e x －1，显然f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝e 0－0－2＝－1＜0，f (2)＝e 2－4＞0，所以当x ≥0时，函数f (x )有且只有一个零点．综上，函数f (x )只有2个零点，故选C.考点三函数零点的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·杭州七校联考)若函数f (x )＝m －x 2＋2ln x 在⎣⎡⎦⎤1e 2，e 上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为________．解析：令f (x )＝m －x 2＋2ln x ＝0，则m ＝x 2－2ln x ．令g (x )＝x 2－2ln x ，则g ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ，∴g (x )在⎣⎡⎭⎫1e 2，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝1，又g ⎝⎛⎭⎫1e 2＝4＋1e 4，g (e)＝e 2－2，4＋1e 4＜5＜e 2－2，∴g ⎝⎛⎭⎫1e 2＜g (e)，数形结合知，若函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e 2，e 上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，4＋1e 4. 答案：⎝⎛⎦⎤1，4＋1e 4 [由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法[即时应用]1．(2018·浙江名校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x ＞0，－x 2＋3，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．[1,3)B ．(1,3]C ．[2,3)D ．[1，＋∞)解析：选A 函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，等价于直线y ＝k (x ＋1)与函数y ＝f (x )的图象在(－∞，1]上有两个不同的交点．作出f (x )的大致图象如图所示，因为直线y ＝k (x ＋1)过定点(－1,0)，定点(－1,0)与点(1,2)和(0,3)连线的斜率分别为1和3，结合f (x )的图象可知k 的取值范围是[1,3)．2．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：选B 函数y ＝log 12x 在定义域上是减函数，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增．故选B.2．(2018·豫南十校联考)函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选A 因为f (0)＝－1＜0，f (1)＝2＞0，则f (0)·f (1)＝－2＜0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．3．(2018·宁波期末)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即0是函数f (x )的一个零点，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3为增函数．因为f (1)＝e 1＋1－3＝e －2＞0，f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14＋14－3＝e 14－114＜0，所以当x ＞0时，f (x )有一个零点．根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点的个数为3.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x，x ＜0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是________．解析：由f (x )＝0，得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2，得x ＝1＋3，由g (x )＝－2，得x ＝－12，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋ 3. 答案：12＋ 35．已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2，则函数f (x )为开口向上的抛物线，且f (0)＝k 2≥0，∴关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，即函数f (x )的零点位于[0,1)，(1，＋∞)上．故只需f (1)＜0即可，即1＋k －3＋k 2＜0，解得－2＜k ＜1.答案：(－2,1)。

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解析
1

f(x)dx＝0
x2dx＋11dx

－1
－1
0
＝x330-1＋x10＝13＋1＝43.
答案
4 3
考点一定积分的计算
【例 1】 (1)(2017·昆明检测)设 f(x)＝x22－，xx，∈x[∈0，（11]，，2]，则
2f(x)dx 等于(
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
解析
2t 由题图可知，v(t)＝2
13t＋1
（0≤t≤1），（1≤t≤3），
（3≤t≤6）.
由变速直线运动的路程公式，可得
所以物体在12 s～6 s 间的运动路程是449 m.
答案
49 4
规律方法定积分在物理中的两个应用： (1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 v＝ v(t)，那么从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的位移 s＝bv(t)dt；
【例 2】 (1)已知曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的面积为 S，则 S＝________. (2)已知曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则 k＝________. 解析 (1)由yy＝＝2－x，x 得交点 A(1，1)； y＝2－x，由y＝－13x 得交点 B(3，－1).
－1
0
x2dx＝2·x33 10＝23.
(2)1 e|x|dx＝0 e－xdx＋1exdx

－1
－1
0
＝－e－x0-1
＋ex10＝[－e0－(－e)]＋(e
－e0)＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选 C.
答案
2 (1)3
(2)C
考点二运用定积分求平面图形的面积
三、课后“静思2分钟”大有学问
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。
[思想方法] 1.求定积分的方法
(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数 f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a). (2)利用定积分的几何意义求定积分.
2.求曲边多边形面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.

a
(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 x＝a 移动到 x＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝bF(x)dx.

a
【训练 3】一物体在力 F(x)＝53， x＋04≤，x≤ x＞22，(单位：N)的作用
下沿与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝4(单位：m)处，
【训练2】如图所示，由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积为________.
解析易知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率k1＝ y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线在点A处的切线方程为y＝4x－3，在点B处的切线方程为 y＝－2x＋6.
第3讲定积分与微积分基本定理
最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.
知识梳理
1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成
n 个小区间，在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1，2，…，n)，作
(4)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成的面积是1(x2－x)dx.( ) 0
解析 (4)y＝x2 与 y＝x 所围成的面积是1(x－x2)dx. 0
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.(选修 2－2P60A6 改编)已知质点的速度 v＝10t，则从 t＝0 到
t＝t0 质点所经过的路程是( A.10t20 C.130t20
)

0
3
4
(2)定积分3 9－x2dx 的值为________. 0
解析 (1)如图，2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx

0
0
1
＝13x310＋2x－12x221＝13＋4－2－2＋12＝56.

a
c
3.微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)，那么bf(x)dx＝__F_(b_)_－__F_(_a_)_.这个结论叫做微积分基本定理，

a
又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把 F(b)－F(a)记为 F(x) ba，即baf(x)dx＝F(x)ba＝_F_(_b_)－__F__(a_)_.

故所求面积 S＝1
0
x＋13xdx＋132－x＋13xdx
＝

3 2
3
x2

1 6
x2

10＋

2x

1 3
x2

31＝23＋16＋43＝163.

(2)由yy＝＝xk2x，，得xy＝＝00，或xy＝＝kk， 2，则曲线 y＝x2与直线 y＝kx(k>0)
设两切线相交于点 M，由yy＝＝4－x－2x3＋，6消去 y，得 x＝32，即点 M 的横坐标为32. 因此，由题图可知所求的图形的面积是
答案
9 4
考点三定积分在物理中的应用【例 3】一物体作变速直线运动，其 v－t 曲线
如图所示，则该物体在12 s～6 s 间的运动路程为________m.
(1)bkf(x)dx＝_____a______(k 为常数).

a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝__a_________a______.

a
c

f(x)dx
(3)bf(x)dx＝____a________＋bf(x)dx(其中 a＜c＜b).
所围成的曲边梯
形的
面积为
k

0
(kx－
x2)dx＝2kx2－13x3k0
＝k23－
13k3
＝43，则 k3＝8，∴k＝2.
答案
13 (1) 6
(2)2
规律方法 (1)利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③确定积分的上、下限，并求出交点坐标；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积. (2)注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.
[易错防范] 1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后
求和. 2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁
是被积变量. 3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：
面积非负，而定积分的结果可以为负.
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
则力 F(x)做的功为________焦. 解析由题意知，力 F(x)所做的功为 W＝4F(x)dx＝

0
25dx＋4(3x＋4)dx＝5×2＋

0
2
32x2＋4x42
＝10＋32×42＋4×4－32×22＋4×2＝36(焦).
答案 36
) B.5t20 D.53t20
解析
答案 B
3.直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A.2 2
B.4 2
C.2
D.4
解析如图，y＝4x 与 y＝x3 的交点
A(2，8)，图中阴影部分即为所求图形面积.
S
阴＝2(4x－x3)dx＝ 0

2x2
所围成的__曲__边___梯__形__的面积
f(x)＜0
表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)
所围成的曲边梯形的面积的_相__反___数__
f(x)在[a，b]上表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积__减__去__
有正有负
位于 x 轴下方的曲边梯形的面积
2.定积分的性质
kbf(x)dx
在bf(x)dx 中，__a_，__b_分别叫做积分下限与积分上限，区间 a

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