带有梯度项的非线性双曲方程正解的爆破

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基于XGBoost模型岩体可爆性研究

基于ＸＧＢｏｏｓｔ模型岩体可爆性研究收稿日期：２０２３－０８－０３；修回日期：２０２３－１０－２５基金项目：国家自然科学基金项目（５２２６４０１９，５１８６４０２３）作者简介：吴凌峰（１９８６—），男，工程师，从事地下采矿工程研究工作；Ｅｍａｉｌ：４０３３０２９７４＠ｑｑ．ｃｏｍ通信作者：周宗红（１９６７—），男，教授，博士，从事采矿与岩石力学教学与研究等方面工作；Ｅｍａｉｌ：ｚｈｏｕ２００５１００１＠１６３．ｃｏｍ吴凌峰１，周宗红２，孙　伟１（１．金平长安矿业有限公司；２．昆明理工大学国土资源工程学院）摘要：岩体可爆性是衡量岩体爆破难易程度的一个重要指标，准确对岩体可爆性评价能够为合理爆破设计提供依据。

选取岩石密度、单轴抗压强度、岩石抗拉强度、岩石脆性指数、动载强度和完整性系数等作为岩体可爆性数据集的指标，采用Ｚ－Ｓｃｏｒｅ方法标准化岩体可爆性数据集，消除量纲对模型预测影响，分别采用朴素贝叶斯、支持向量机和ＸＧＢｏｏｓｔ模型进行岩体可爆性分级，结果表明：采用ＸＧＢｏｏｓｔ模型能够准确评价岩体的可爆性，为岩体可爆性评价提供一种新的方法。

关键词：爆破；岩体可爆性；可爆性分级；ＸＧＢｏｏｓｔ；机器学习算法中图分类号：ＴＤ２３５文章编号：１００１－１２７７（２０２４）０２－００２１－０３文献标志码：Ａｄｏｉ：１０．１１７９２／ｈｊ２０２４０２０４引　言岩体可爆性是指岩体在炸药爆炸冲击下发生破碎的难易程度。

由于矿山爆破自身存在不确定性、复杂性和多变性等，目前国内外对于岩体可爆性尚未达到统一共识。

因此，亟须探索一种方法进行岩体可爆性评价。

国内外学者对岩体可爆性展开研究，常用的分级方法包括单一指标普氏分级、勒诃谢达洛夫法和邦德法；多指标苏氏分级、库图佐夫分级和神经网络分级等。

单一指标分级多为早期岩体可爆性分级研究，岩体可爆性与岩石本身性质和爆破工艺相关，故单一指标无法有效反映岩体可爆性，近些年多指标研究被学者们广泛关注［１－３］。

一类几何流方程周期解的爆破

一类几何流方程周期解的爆破汪瑶瑶【摘要】研究双曲平均曲率流中一类几何流方程周期解的爆破问题.引入合适的黎曼不变量,将该方程化为对角型的一阶拟线性双曲型方程组.该方程组在Lax意义下不是真正非线性的.假设初值是周期的,且在一个周期内全变差很小,此外假设初值还满足一定的结构条件,可以证得该几何流方程的周期解必在有限时间内发生爆破,解的生命跨度估计可以给出.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2017(033)001【总页数】16页(P44-59)【关键词】几何流方程;拟线性双曲型方程组;周期解;爆破;生命跨度【作者】汪瑶瑶【作者单位】安徽师范大学计算机科学学院,安徽芜湖241003【正文语种】中文【中图分类】O175.2平均曲率流是一类非线性偏微分方程组,用以研究曲面或流形随时间的演化,其特征是速度向量等于流形法向向量乘以某个几何量,这个几何量可以是曲率、平均曲率和逆平均曲率等.平均曲率流已被用来成功解决若干几何和拓扑问题,例如文献[1]提出的逆平均曲率流,成功证明了黎曼流形中的Penrose不等式.而近年来,对于双曲型几何流的研究越来越得到重视,做了不少工作.2009年,文献[2]提出如下的双曲平均曲率流:这里M是黎曼流形,X(·,t):M→ℝ1+n是光滑映射,H(u,t)是平均曲率,(u,t)表示外法向量,T是一个正常数.上述方程组是二阶的非严格双曲型偏微分方程.运用一些分析的技巧,文献[1-2]将方程组化为严格双曲型的,进而得到解的局部存在唯一性,维数大于4的欧式空间的非线性稳定性也得到证明.此外,文献[1]给出了曲率所满足的非线性波动方程.文献[3]通过包含动能和内能的泛函导出一类如下的非线性几何发展方程,这里表示局部能量密度.该方程组描述超曲面沿着平均曲率向量方向的运动,也称为双曲平均曲率流,或者法向平均曲率流.文献[3]得到初值问题解在Sobolev空间中的局部适定性、解爆破准则以及对图形式存在的解,它在更广阔熵解类中是唯一的.对于图形式存在的流形,映射X满足:特别地,对于一维情形,文献[3]推导出如下的方程:设初值为：初值问题(1)和(2)可用来刻画无穷长弦的振动,上述u0(x),u1(x)分别表示弦的初始位置和初始速度.文献[3]证明了当初值的BV模小时,初值问题(1)和(2)的熵弱解是整体存在的.2011年,文献[5]考虑如下关于凸超曲面的双曲曲率流:其中 F被称为drving force,bij是一致凸超曲面第二基本形式的逆.文献[5]指出,选择不同的F,可以导致不同非线性双曲型方程,例如可以导出双曲型的Monge-Amp`ere方程.此外,文献[5]证明了对于一大类F,方程组(3)的局部可解性,并考虑了解的爆破性质以及解的渐近行为等.2009年,文献[4]研究了对于平面曲线的双曲平均曲率流,即如下偏微分方程组的初值问题:其中F(z,t)表示未知量,k(z,t)是曲线F(z,t)的平均曲率,N(z,t)表示单位法向量,T(z,t)是单位切向量,F0(z)表示初始曲线,而h(z)和N0(z)分别代表初始速度大小和初始曲线的法向量;函数ρ(z,t)由下式定义,这里s是弧长参数.文献[4]得到了初值问题(4)的局部适定性,特别地,他们研究了以图形式存在的曲线F(x,t)=(x,u(x,t))的周期运动.由于相应的双曲型方程组在Lax意义下不是真正非线性的,周期解的讨论并不简单.通过引入黎曼不变量,上述方程组可化为对角型双曲型方程组.文献[4]通过详细研究两族特征的相互作用,得到在初值具有小变差以及满足一定的结构条件时,平均曲率流方程组的周期解会发生爆破,且给出了解生命区间的估计.此同时,文献[6]研究在双曲平均曲率流(4)下平面闭曲线的运动.考虑将曲线支撑函数作为未知量,得到一类双曲型的Monge-Amp`ere方程.基于此,Kong、Liu和Wang证明了相应初值问题的经典解仅仅在区间[0,Tmax)存在,且当t→Tmax时,解收敛到一点或者激波或者其他间断解.文献[4]在此基础上,考虑了Minkowski时空中的平均曲率流方程组和可化约的一阶双曲型方程组的周期初值问题,并得到解的生命跨度.本文研究上述几何流方程组(1)和(2)的周期解问题.对于双曲型方程组的周期解问题,目前也已经有了很多的研究.文献[9]利用黎曼不变量研究2×2双曲型方程组的周期解和奇性形成,并讨论了解的大时间衰减刻画.文献[10]研究了非线性振动弦初值为周期的柯西问题的爆破,解的生命跨度依赖于平衡态附近的非线性效应.文献[8]将他们的结果推广到一般的可化约的一阶双曲型方程组.文献[7]研究了双曲型微分方程周期解的存在问题.文献[13]研究了2×2的拟线性双曲方程组的周期解的爆破问题,爆破的产生也是源于同族特征线的相交.文献[15]将Glimm、Lax的结果推广到3×3的双曲型方程组,考虑非等熵Euler方程组的周期初值问题.通过选取合适的黎曼不变量和推广的Glimm泛函,他们得到了当初值具有小变差ε时,初值问题熵解的生命跨度是O(ε−2).文献[18]也研究了一类非等熵Euler方程组的周期初值问题,所用方法是基于文献[13].本文结构如下:第2节给出本文的主要结果,同时给出一些准备工作;第3节将证明一些重要的引理;第4节给出定理的证明.在给出本文主要结果之前,我们先做些准备工作.命题 2.1方程组(6)是严格双曲型方程组,具有两个互异的特征值(8),右特征向量可取为(9)式;同时,由(10)式可知,方程组(6)在Lax意义下不是真正非线性的.下面是本文主要结果.定理 2.1给定 R0(x),S0(x)是 C1光滑函数,如果 R0(x),S0(x)满足 (21)-(22),且假设(23)式或者(24)式成立,那么初值问题(19)-(20)的C1解在有限时间内将发生爆破,解的生命跨度T(δ)满足现在考虑初值问题(1)和(2)的周期解问题.设初值u0(x),u1(x)是C1的光滑函数,且满足:这里P是非负常数.由定理2.1可得如下结果.定理 2.2由上述讨论,可取则R0(x),S0(x)是C1光滑的以P为周期的函数.此外，假设(23)式或者(24)式成立,则初值问题(1)和(2)的C1解在有限时间内发生爆破,且解的生命跨度T(δ)满足本节我们做些准备工作,引入若干引理,为定理2.1的证明作铺垫.下面给出若干引理,它们将在后面证明和讨论中起重要作用.引理 3.1定义证明证明可参见文献[4],此处从略.引理 3.2在初值问题(19)和(20)C1解的存在范围内,始终成立这里及以后,记号O(1)均表示有界量.引理 3.3给定α,∀β≤α,定义t1(β;α)使得给定β,∀α≥β,定义t2(α;β)使得则证明证明方法类似于文献[4],此处省略.引理 3.4(i)成立如下估计式：(ii)(a)若β2≤β1≤α,则(b)若β≤α1≤α2,则(iii)对Y1和Y2有引理 3.5成立如下估计:和即我们已经证明了(52).类似地,可证得(53).引理 3.6假设成立如下不等式【相关文献】[1]He C L,Kong D X,Liu K F.Hyperbolic mean curvature fl ow[J].Di ff erential Equations,2009,246:373-390.[2]Huisken G,Ilmanen T.The inverse mean curvature fl ow and the Riemannian Penrose inequality[J].Di ff erential Geom.,2001,59:353-437.[3]Le fl och P G,Smoczyk K.The hyperbolic mean curvature flow[J].Math.Pures.Appl.,2008,90:591-614.[4]Kong D X,Wang Z G.Formation of singularities in the motion of plane curves under hyperbolic mean curvature fl ow[J].Di ff erential Equations,2009,247:1694-1719.[5]Chou K S,Wo W F.On hyperbolic Gauss curvature fl ows[J].Di ff erential Geometry,2011,89:455-485.[6]Kong D X,Liu K F,Wang Z G.Hyperbolic mean curvature fl ow:Evolution of plane curves[J].Acta Math.Sci.,2009,29:493-514.[7]Cesan Lamberto.Existence in the large of periodic solutions of hyperbolic partial di ff erential equations[J].Archive for Rational Mechanics and Analysis,1965,20:170-190. [8]Cheng K S.Formation of singularities for nonlinear hyperbolic partial di ff erential equation[J].Contemp.Math.,1983,17:45-56.[9]Glimm J,Lax P D.Decay of solutions of systems of nonlinear hyperbolic conservation laws[J].Mem.Am.Math.Soc.,1970,101:1-112.[10]Klainerman S,Majda A.Formation of singularities for wave equations including the nonlinear vibrating string[J],Comm.Pure Appl.Math.,1980,33:241-263.[11]Kong D X,Wang Z G.Formation of singularities in the motion of plane curves underhyperbolic mean curvature fl ow[J].Di ff erential Equations,2009,247:1694-1719. [12]Li T T.Global Classical Solutions for Quasilinear Hyperbolic Systems[M].Paris:Wiley-Masson,1994.[13]Li T T,Kong D X.Blow up of periodic solutions to quasilinear hyperbolicsystems[J].Nonlinear Anal., 1996,26:1779-1789.[14]Lax P D.Hyperbolic systems of conservation laws II[J].Comm.PureAppl.Math.,1957,10:537-556.[15]Qu P,Xin Z P.Long time existence of entropy solutions to the one-dimensional non-isentropic Euler equations with periodic initial data[J].Arch.RationalMech.Anal.,2015,216:221-259.[16]Wang Z G.Hyperbolic mean curvature fl ow in Minkowski space[J].Nonlinear Analysis,2014,94:259-271.[17]Wang Z G.Blow-up of periodic solutions to reducible quasilinear hyperbolic systems[J].Nonlinear Analysis, 2010,73:704-712.[18]Xiao J J.Some topics on hyperbolic conservation laws[D].Hong Kong:The Chinese University of Hong Kong,2008.。

带梯度项的p-Laplacian方程正解的Blow-up

首先考虑下列问题：
一
ｄ（ｉＩｖ
『
“ ）一ｌ “Ｉ，ｔ０，ＸＥｎ，＞
（）４
（）５（）６
ｕｘ，）一０，ＥＱ，（ａｕｘ，）一ｕ（，Ｑ．（０ｏ）ｚＥ
对于问题（）～（）的正解产生Ｂｏ－ｐ的条件，如下结论：４６ｌｗｕ有
Ｊｎ
Ｔ２，／）则
（＋ｎ “ “ ｊｌｌ ’ ）
收稿日期：０００－１２１—２２
一ｌ，（）Ｊｌ０．ｎＥ，
作者简介：陈明玉（９３）男，１６一，福建惠安人，教授，从事非线性偏微分方程研究．
渗流理论等物理问题中Ｅ引齐次Ｄｒｈｔ．ｉｃｌ边值问题（）（）ｉｅ１～３正解的存在性见文Ｅ３当Ｆ（，）３．ｕＶｕ一时，有不少文献对方程（）１解的Ｂｏ－ｐｌｗｕ现象进行了研究，当Ｆ（，）Ｉ但ｕｖｕ含Ｊ的非线性项时，对方程（）１解
兰，则存在常数Ｋ—ＫｆＰｑ）＞Ｋ时，题（～（的正 “ （，，，Ｚ，使当问４）６）解在有限时间Ｂｗｕ．ｌ－ｏｐ
证明设问题（）（）４～６的正解的最大存在时间为丁．令ｚ一Ｉｕｘ￡（）ｄ， — ｒｎ１（）（，ｚｘ）ａ（，ｉ
专ｉ醒丰』』妇ｉ＾ｆＩｆｆ
因《≥音ｌｌ班妇＝ ≠ ｇｊ此；ｆｊＭ；；： ∈《
瞢｛≤ ｆ秘如Ｍ＝如音ｌＩ丰；ｌ｛ｇ

一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性

一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性带有非局部项的Allen-Cahn方程是一类重要的非线性偏微分方程，研究它的解的存在性具有重要的理论意义和实际应用价值。

本文将介绍关于带非局部项的Allen-Cahn方程解存在性的一些主要研究工作和结果。

Allen-Cahn方程是一个经典的描述相分离现象的模型，它在物理、化学、材料学等领域中具有广泛的应用。

方程的基本形式为：ε²∆u-f(u)+λ∇W*u=0(1)其中，u(x)是未知函数，表示时间和空间变量，ε是小的正数，f(u)是一个给定的非线性函数，λ是常数，∆是拉普拉斯算子，W是一个权重核算子，*表示卷积操作。

带有非局部项的Allen-Cahn方程是在经典Allen-Cahn方程的基础上引入了非局部项的一个扩展。

非局部项代表了系统中物质的非局部相互作用，可以更好地描述物质的长程相互作用和相界面的形成过程。

关于带有非局部项的Allen-Cahn方程解的存在性的研究工作主要集中在两个方面，一个是存在性的充分条件，另一个是存在性的证明方法。

首先，对于存在性的充分条件，很多学者通过构造合适的能量函数，证明了一些条件下带有非局部项的Allen-Cahn方程存在解。

其中一个经典的充分条件是“能量估计”，也称为Ginzburg-Landau能量估计。

根据能量估计，当能量的衰减速度快于等于非局部项的增长速度时，方程存在解。

此外，还有学者通过研究方程的动力学行为，证明了带有非局部项的Allen-Cahn方程的解存在。

其次，关于存在性的证明方法，主要有两类。

一类是基于变分方法的证明方法，另一类是基于解的连续性的证明方法。

变分方法是一种广泛应用的证明方法，它通过构造适当的变分问题，证明了方程的解存在。

而基于解的连续性的证明方法则是先证明该方程的解存在于一定的函数空间中，然后通过限制序列的紧性，得到方程的解存在。

在具体的研究中，学者们从不同的角度出发，针对不同类型的非局部项，展开了许多具体的研究。

二阶非线性脉冲泛函微分方程正解的存在性

右极限。Ａ是一个正实数。
收稿日期：０００ —１２１－８５
基金项目：国家自然科学基金项目（０７０１，育部博士学科专项科研基金项目（ｏ９４ｌ１０１，徽省自然科学１７１０）教２０３ｏｌ００）安
二阶非线性脉冲泛函微分方程正解的存在性
汪会民蒋威
（安徽大学数学科学学院，安徽合肥２０３）３０９
摘
要：利用锥上的不动点定理研究了Ｂｎｃａａｈ空间中的一类二阶非线性奇异脉冲微分方程
的边值问题，到了正解存在的充分条件，推广已有文献的一些结果。得并
定理２３假设）（）立。（），丁１ｎｃ（）问题（．）的充要是Ｍ ∈Ｅ［，］脉．，成Ａ：ｕｔ ∈Ｅ［，Ｉ２‘是＿，１１解（）１町是
冲积分方程
）［ｔ㈤）（） ∑ （ｋ）（ｔ２）＝，Ａｓ，，ｔ），ｔＯ．／＋２一），ｔｋ］２）（ —
已经有许多文献研究它了。而，于二阶脉冲时滞微分方程正解的存在性还没有相关的文献。然关在
这篇文章中，们运用锥上的不动点定理来研究正解的存在性。我
本文，我们考虑下例二阶脉冲时滞微分方程边值问题正解的存在性
则
Ａ≤Ｇ（，），＝Ｂ；ｔｓ ≤ Ａ０
这里：一， — 一 — Ａ＝

quasi-geostrophic方程局部强解的爆破准则和全局强解的大时间性态

二维 QG 方程与三维不可压 Euler 方程组有很多相似的地方, 可参看 [1, 14]
以及 [16, 24, 30, 31], Euler 方程中的涡量对应 QG 方程的 ∇⊥θ. 描述三维
不可压理想流体运动的 Euler 方程组是流体力学研究的基本方程, Euler 方程的研究较早, 下面先描述一下关于 Euler 方程的一些结果.
u2
2 = −(∂x1 Λ−1 (u ·∇)θ − (u ·∇)u2 ) = −p2 ,
t + (u ·∇)u 记 p = (p1 , p2 ), 则
ui
ul xil = −pi, i = 1, 2 即 ut + u ·∇u = −p.
令 t+ ∑
2
D
∂
Dt = ∂ t + u ·∇,
(1.4)
pi := − ∑ j=1 ϵij ∂x jΛ−1 (u ·∇)θ − (u ·∇)ui, 2
二维 QG 方程与三维不可压 Euler 方程组很相似, QG 方程也有类似于三维不可压 Euler 方程组的一些结果. 用类似于 Euler 方程的方法, 可以证明 QG 方程初值问题强解的局部存在性 [16, 33]. 1994 年 Constantin, Majda, Tabak [16, 17, 35] 利用 QG 方程与三维不可压 Euler 方程组的相似性, 对 QG 方程也推出了类似于 Beale, Kato, Majda, Ponce 的强解在有限时间内爆破的充要条件, 以及沿 ∇⊥θ 的方向给出一个 QG 方程强解全局存在的充分条件, 然而光滑初值是否保证有全局光滑解, 同三维不可压 Euler 方程组一样, 仍是一个开问题, 关于 QG 方程其他方面的研究成果可参看 [13, 20, 29, 34, 36, 42].

一类具阻尼非线性双曲型方程的初边值问题解的爆破

；ｌ。Ｉ＞４Ｅ０ｌ。，ｌＭｌ卢（）ｌＭｌ其中Ｅ０Ｉ。ｌ＋｝ｌＩ＋Ｇ △ｕ）ｘＶＶ（）＝】ｌ．ｌ０ｌ２（。ｄ．ｕ。ｊ △ 。Ｊ
证明假设初边值问题（）～（）的解存在的最大时间是无限的．程（）的两边同乘以２在上１３方１ “，
： —
ｌｎ
．
２＋ √
ｙ日０＋矗０：（）卢（）
收稿日期：０２— ４—２２１０１基金项目：南省基础与前沿技术研究项目（０３０１２４；１３０１１３河１２０４０１１２０４０９）
作者简介：宋瑞丽（９８一），１７女河南新野人，师，讲主要从事非线性发展方程的研究
非线性双曲型方程的三维初边值问题
＋ｋＶ＋ｋ＋ＶｇＶＵ１４２４Ｖ（）＝０，ｔ ×（Ｔ，（）∈ ，０，）（）１
“ ：０，Ｖｕ＝０（ｔ，，）∈ ａ ×（，，０）Ｍ，）＝（，（０＝Ｕ（，，）∈ ，（０。），））（ｔ
・
７６・
河南工程学院学报（自然科学版）
２１０２生
使得当ｔ。，一时日（）一＋∞．中，其
２＝Ａｌ ±
．
＋
２．
定理假设 “ 。∈ ｎ（， ∈Ｌ（）ｇｏ２），（）＝０Ｇ △ｕ） ∈ （）并且存在常数＞０使得，（。
１整体解不存在定理

带有非局部性的非线性热方程解的爆破性质

则 “（ｆ０ｇｔ＞，）＞，（）０（ｋ＜）０＜１．证明由方程（）１得
一ｌｕｌＶ２＋
，
“ ＝ △ ｕ
（）５
在力上积分（），５式得 Ⅱ ｘ＝』 △ｕ＋艿“ Ｉ）ｘ＋．ｎ，（） “ｄ（ｄ（ｅ一ｌＭｄＶｊＭ｝』或１一ｘ： △ｕ＋ｅ一艿“
同（）１的初边值在有限时间内爆破．随后，［］文［］文３、４和文［］文［］行了拓广．［考虑了ｑ＝５对２进文４］２的情形，［］文３则讨论了如下问题：
“ 一△ ＝ｅ一Ｊ “ ＪＵｕ，（４）
词：局部性项；度项；线性热方程；破非梯非爆文献标识码：Ａ文章编号：６３—１７（０８００６０１７６０２０）２— ０７— ３
在常数 ∈（，。）使当＞时问题的解在有限时间内产生爆破．０。，
带有非局部性的非线性热方程解的爆破性质
亓正申，鸿燕王
（昌职业技术学院，南许昌４１０）许河６００
摘
关键
要：用非线性变换以及热方程的性质，明了带有非局部性项和梯度项的热方程初边值问题存应证
ｌｌ）ｘｄ，Ｖｕ（）６
ห้องสมุดไป่ตู้
代入（），５式得到
“ ＝△ｕ一ＩｌＶｕ２。』Ｚ（ＸＶｕｌ）２ｌ。２＞・ｌ）０（）７

带有变指标反应项的非线性抛物方程的爆破

Ｍ．．ｋ０．ＭＢｏａ．ＩＢ．Ｐｕｈｋ，０ｎｔｅｗｅ１ｐｓｄｅｓｏｏｒｒｏｌｍｏｏｌｎａａａｏｉｑａｉｎｆｉｈｒｏｄｒｗｉａｉｂｅｅｐｎｎｓｌａｃｏｈｌ．ｏｅｎｓｆＦｕｅｂｅｆｒｎｎｉｅｒｒｂｌｅｕｔｏｓｏｇｅｒｅｔｖｒａｌｘｏｅｔａｉｐｒｐｃｈｈ
卵（）＝』（ｔ）ｘ＝』（）ｕ，）ｘ＋ａＩｕｘｔＩｔｎ，）（ｄｎ戈 △ （ｔｄｌＶ（，）ｎ
取
（ｄ三一Ａ７（）＋Ｃ（）一２）三＝１ｔ１叼一ｔｃ
ｋ＝ｍａ｛３１）０ｘ（ＡＣ
于是
』Ｖ（，）ｎＩｕｘｔｌ（ｄｐ ‘ ）ｘ＝』Ｖ（，）Ｘ）ｘ＋』ｌ（，）ｐ（ｄ，ｎＩｕｘｔＩ）Ｐ（ｄ（ｎＶｕｘｔＩ）ｘ ‘
，
根据Ｑ，的定义，以得到可
』（，ｌｎｘｔｌＶｕ）
文章编号：０９— ９７２１）２— １０— ３１０３０（０２００７０
０引言
近年来，有变指标反应项的非线性抛物方程的爆破问题开始慢慢步人人们的视野，带有兴趣的读者可以参阅下文后所列的参考文献［５。尤其是最近，．ＥＲＩＡ、．．ｏｓ等人研究了带有变指标反应项１— ］ＲＦＲＥＲＪＤＲｓｉ
ｒｕ＋口ｌＩｕ：△ Ｖ＋（ｔ ∈Ｑ ×（，）Ａ，，）０Ｔ，

高中数学人教A版选修21课件2.3.1双曲线及其标准方程(系列二)

2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝ |F1F2|，则动点的轨迹是两；条若射2a线>|F1F2| 则动点的轨迹是．不存在
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”绝，对若值去掉定义中“
”三个绝字对，值动点轨迹只能是．
双曲线一支
题型探究
待定系数法求双曲线的标准方程
3．已知双曲线方程为2x02 －y52＝1，那么它的焦距为
A．10 C. 15
B．5 D．2 15
()
[答案] A
[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.
三、解答题
7．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点 P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．
[解析] 设双曲线方程为：ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 由已知得，2a＝24，∴a＝12，c＝13，∴b＝5， ∴双曲线的标准方程为：1y424－2x52 ＝1.
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所以有
人教版选修2-1
第二章圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程Fra bibliotek学习方法

一类非线性抛物方程解的爆破与梯度爆破

＝
１引言及预备知识
在文［］，．Ｈｏｐｔ虑了如下非线性１中Ｐ．Ｓｕｌ考ｅ抛物方程
Ｕ一ＡＵ＝ＦＵ７Ｕ，ｔ＞０ ∈ ，（，），Ｕ，＝ｇ，）ｔ＞０ ∈ａ（ｔ）（ｔ，，，Ｕ，）＝ｕ（，（００） ∈ ，（）１
ｎ）厶） ≥ （ ≥。（ｄ厂
Ｊ）ｎ
解的爆破，以及初始值足够大时解的梯度也爆破．
关键词：爆破；梯度爆破；非线性抛物方程
中图分类号：１５２０７．６文献标识码：Ａ文章编号：０－３５２０）２１４０１１８９（０７０－５－００３
△ ＝Ａ１，
这里Ｐ＞ＩＡ＞０ｃ＞０，＞２是Ｒ，，Ｎ，中的有界
区， ∈ ０）』ｄ＜．域令（１则ｘ ∞ ，，
定理１的证明设豇ｔＪ（ｔ）ｘ（）＝，（ｄ，ｕ）
ａｏ（）≥ ｉｆ。）乘方程（）并在上积分得ｎｕ，（３
梯度爆破的一些结果．从２纪９０世０年代以来，类带有非线性边界一
ｓ∈ ［，，Ｓ０ ∞）０＝ｍｘｓｇ（）＝０，ａ｛ｌｎｓ｝
算子＝一△ ＋ｃ早期曾出现在ＫｅｎＧｒｏｌｉ．ｏｄｎ中．
定理１若
＜
＞０财方程（），２
定理１证毕．
定理２的证明
对方程（）定理２的证明分４，
成３个步骤．步骤１Ｌ上估计．设

一类具奇异项和梯度项的拟线性椭圆方程正解的不存在性

具奇异项和梯度项的拟线性椭圆方程有限能量解的不存在性．关键词：拟线性椭圆方程；奇异项；有限能量解
中图分类号：Ｏ７．５１５２文献标志码：Ａ文章编号：１７．８（０２０－９９０６１４９２１）５０６－３５
ＮｏｅｉｅｃｆＳｌｔｎｆａＣａｓｏａｉｎａｎｘｓｎｅｏｏｕｉｓｏｌｓｆｔｏＱｕｓｉｅｒｌ
ＥｌｐｔｃＥｑａｉｎｔＳｎｕａｎａｉｎｒｓｌｉｕｔｏｓｗｉｉｈｉｇｌｒａｄＧｒｄｅｔＴｅｍ
Ａｂｔａｔｈｎｎｘｓｅｃｆｆｉｎｒｙｏｕｉｎｏｑａｉｎａｌｐｉｅｕｔｎｔｓｇｌｒａｄｓｒｃ：Ｔｅｏｅｉｎｅｏｎｔｅｅｇｓｌｔｓｔｕｓｌｅｒｅｌｔｔｉｅｏｉｉｃｑａｉｓｗｉ：
ｆｉ（Ｖｕ —ｄｖ１
）＋（Ｉｇ，）
＝厂，（）
∈ ，
…
１ｕ：０，
其中：Ｐ＞１；
５叫
∈ａ力
。
）０ｆ；（Ｍ在力Ｘ（，＞Ｉ；＃０ｇ，）０＋∞ ）可测．本文只考虑ｕ＝０为ｇ（）上，奇异点的情
研究了该类问题解的存在性．基于上述研究结果，本文通过巧妙设计检验函数，并借助ｐＬｐｃ算子－ａｌｅａ
收稿日期：０１１－８２１－０２．
作者简介：元萍（９２，，汉族，硕士，师，事应用数学的研究，Ｅｍｉｊｍｔ＠ｙｏ．ｎ景１８一）女讲从－ａ：ｙａｌｐｈａｏｃ．通讯作者：ｈ郭斌

一类非线性薛定谔方程解的爆破性质

Ⅱ ￡）∈Ｃ［，）Ｈ并且Ｔ＝＋。（（，（０Ｔ，）。整体存在）Ｔ＜＋∞，ｍ一ｌ或ｌ卜ｌｉｕ
．
＝＋∞（有限时间爆破）．
现利用文献［，］的结果，５６得到初值问题（）２在空间 Ⅳ上的局部适定性．１和（）命题１设。∈Ｈ，则存在Ｔ＞０初值问题（）和（），１２在最大时间区间［，）０Ｔ上存在惟一解Ｈｔ）使得（，，
第３２卷第２期
Ｖｏ．２１３Ｎｏ２．
菏
泽
学院
学
报
２１００年３月
Ｍａ．ｒ２００１
ＪｕｎｌｏｚｉｅｓｔｏｒａｆＨｅｅＵｎｖｒｉｙ
文章编号：６３—２０（ＯＯＯ１７１３２Ｌ）２—０１０００— ４
所Ｊｕ＝与间关即 “ ＝。ｄ以１Ｉ０时无，．ｌＩ．
２）用乘式１）并在Ｒ上积分取实部得到
Ｒｕ —ｅ（五０ｅｄＲｇＭ）＝， △ ｆＩｌｕ
即
蔷ｌＩ＋』１ＩｄＩ＝，丢（ｏｇＩ
１Ｏ
２１００正
曹瑞：一类非线性薛定谔方程解的爆破性质
第２期
０１．）＝ｆｆ “，ｆ，（）柯问（和２的，，有列ｆ记（：（）ｄ设ｚ为西题１（解 ‰Ｅ则下积理，Ｊｆｆ，￡））Ｈ
一
类非线性薛定谔方程解的爆破性质
曹瑞
（菏泽学院数学系，山东菏泽２４１）７０５

一类非线性具阻尼的抽象双曲方程的爆破性

ＪＵ
Ｉ［ＡＷＳ，Ｓ）（２（）（）＋ｇ胛（１（）（）＋ＡＳ，Ｓ）（（
（．）２３
（）Ｗ（）一（（）（出＋（Ｗ，ห้องสมุดไป่ตู้ｔ）Ｓ，Ｓ）ＰＳ，Ｓ）Ｐ（），（）１７０）ｔ＝（，（）
意，文献［］几乎线性的非线性项证明了（．）１对１１整
本文始终假设非线性函数ｇ：日一日是一实梯度型算子，ｇ是日范数下某数量值函数Ｇ：即日一Ｒ
的Ｆｅｈｔ数，而：ｒｅ导ｃ从
维普资讯
第
ｌ８
２０２０
嘏３期年月１
ＪＲＬＦＡＵＩＩｒＤＡＮｏｒｎｅＯＮＯ作ＥＦＵ（ｐｅｖＵＡＯＪＺ，Ａ￣ｅｓ）Ｉ焦教刑’ＯＥＣＯＣｈｉＯｓＮ综ｍ
Ｖ．．．０８ｏＭ．１１Ｎａｒ１
一
类非线性具阻尼的抽象双曲方程解的爆破性＊
张桂霞
（门峡教师进修学校，南三门峡三河４２０）７００
摘要：文给出如下一类抽象双曲方程解的爆破性条件：＋ＡＷ＋Ａ＋Ｎ本Ｐｌ２ｇ（Ｗ），中Ｐ、ｌ对称正Ｎ＝０其Ａ为
对ｔ［，］成立，中：０Ｔ一Ｄ１一充分 ∈ ０Ｔ都其［，］是光滑函数， ∈ Ｄ１ ∈日且满足初始条件。，１
比外取（．）２３中：

两类波动方程解的爆破性和稳定性

两类波动方程解的爆破性和稳定性
偏微分方程是数学的一个重要分支,它产生于自然科学与工程领域,在生物,化学,物理等科学领域中有着广泛的应用背景和重要的研究价值,一直以来是人们关注的热点问题之一.上个世纪数学家们已经对不同类型的偏微分方程解的存在性,爆破性,稳定性等给出了很多证明,同时对其中波动方程的解也做了详细的研究.本文研究了两类波动方程解的爆破性和稳定性,共分为三章.第一章为绪论,介绍了 n维耦合粘弹性波动方程解的爆破性和一维波动方程解的稳定性的研究现状.第二章研究了一类具有强阻尼项和频散项的耦合粘弹性波动方程解的爆破性,利用凸性分析法,证明了当初值和松弛函数满足一定条件时,方程的解在有限时间T内爆破,并且通过选取适当的辅助函数,得出了爆破时间T的下界.第三章研究了一类通过边界位移反馈的一维波方程稳定性,通过算子半群理论和Riesz 基逼近的方法,证明了该系统的稳定性.。

非线性二阶边值问题正解

，Ｍ
ｚ．
收稿日期：０ｌ５～０；稿人：秀华；辑：志平２１ —Ｏ６审杜编任作者简介：淑惠（９８）女，士，教授，要从事非线性微分方程方面的研究魏１６一，硕副主
・１３・１
：
Ｋｎ（Ｑ）Ｋ全连续．果Ｑ＼一如
（ｉ｛ “ｌｌｌ ∈Ｋｎａ并且ｌ “ｌｌ１ ∈ＫＱ；）ｌｌｌ， ≤ “ｌＱ，ｌＩＩ， ≥ “［ｎａ
／
【
或（１ｌ “ｌｌｌ，ＥＫＱ，．ｌＩｌＵｎａ并且ｌｌｌ）ｌ ≥ Ｉ｝中 ≤
文献标识码：Ａ文章编号：００—１９（０１０ｉ０８１２１）４—０１ —０１３４
中图分类号：７．８Ｏｌ５０
０引言
研究一类二阶非线性边值问题：
Ｉ（一洲（＋ｕ￡一（ｕ￡，＇ｔ）ｆ（一，ｔ（）ｕ）ｎｌ），）
ｌｕ一０，１）一０， “（
（１）
式中：，ａ为非负连续函数．函数 “ 为边值满５，（，）Ｏ１ ×Ｅ，。上称（）
问题（）１个正解，果Ｕ ∈ＣＥ，］０１，１的如（）ｏ１ｎＣ（，）以及在（，）（）０并且 “ ｆ满足边值问题０１内＞，（）
超线性和次线性的情形下，明正解的存在性．证
１边值问题（）１的等价形式与Ｇｒｅ ’ ｅｎＳ函数估计

椭圆偏微分方程边界爆破解的研究

椭圆偏微分方程边界爆破解的研究椭圆偏微分方程边界爆破解的研究椭圆偏微分方程是数学中一类常见的重要方程，在物理学、工程学和自然科学的许多领域中都有广泛的应用。

然而，当遇到边界条件存在不连续性或者边界层现象时，椭圆偏微分方程的求解就会变得异常复杂。

这种复杂性来源于方程的非光滑边界条件，使得解的解析形式很难得到。

近年来，研究人员开始关注于解决这类边界爆破问题，以提高椭圆偏微分方程的求解精度和效率。

椭圆偏微分方程通常用于描述各种传输现象和场的变化规律，如扩散、热传导、弹性力学和电场分布等。

其中，边界条件的存在对问题的求解起到至关重要的作用。

边界条件的不连续性和边界层现象可以导致解的不光滑，进而对数值方法的精度和稳定性产生较大的挑战。

因此，边界爆破问题的研究成为当前研究领域的热点之一。

在边界爆破问题的研究中，常用的方法包括传统的有限差分法、有限元法和谱方法等。

这些方法在求解一般的椭圆偏微分方程时已经得到了广泛的应用，并取得了一定的成果。

然而，在处理边界爆破问题时，这些方法的求解精度和稳定性受到了很大的限制。

因此，为了克服这些困难，研究人员积极探索新的解决思路，并提出了一些创新性的数值方法。

其中，基于分段多项式插值的方法是一种常用的求解椭圆偏微分方程边界爆破问题的数值方法。

该方法通过将问题的解表示为多项式的线性组合，并对其进行分段插值，将连续问题转化为离散问题。

这样可以在边界条件不连续的情况下，通过适当的插值方式得到相应的离散解，进而再通过数值计算得到近似解。

这种方法的优点是可以利用常规数值方法的框架，只需对插值方式进行适当的调整即可。

同时，该方法还可以应用于高维情况，具有较高的数值稳定性和求解精度。

除了基于分段多项式插值的方法外，基于余项估计的方法也是求解椭圆偏微分方程边界爆破问题的重要数值方法之一。

该方法通过对问题的解的余项进行适当估计，构造一个较为精确的边界插值函数。

这种方法的核心思想是通过利用一些已知条件，如边界条件和方程形式，对余项进行合理估计。

反步法的微分爆炸问题

反步法的微分爆炸问题
反步法（Backpropagation）是深度学习中常用的一种优化算法，用于计算神经网络中各个参数的梯度，从而实现参数的更新。

然而，反步法在某些情况下可能会遇到所谓的“微分爆炸”问题。

微分爆炸问题指的是在反向传播过程中，梯度值变得非常大，
甚至趋于无穷大，导致参数更新时出现不稳定的情况。

这可能会导
致模型无法收敛，甚至发散，从而影响模型的训练效果。

微分爆炸问题通常出现在深层神经网络中，特别是在使用一些
激活函数（如Sigmoid函数）时。

这些激活函数在输入较大或较小
的情况下，梯度会变得非常小或非常大，从而导致微分爆炸问题的
出现。

为了解决微分爆炸问题，可以采取一些方法。

其中一种常见的
方法是梯度裁剪（Gradient Clipping），即在反向传播过程中对梯
度进行裁剪，限制梯度的大小，从而避免出现过大的梯度值。

另外，使用合适的激活函数（如ReLU）也可以减轻微分爆炸问题的发生。

此外，合理初始化参数、调整学习率等方法也可以有助于缓解微分
爆炸问题。

总之，微分爆炸问题是深度学习中常见的问题之一，但通过合适的方法和技巧，我们可以有效地应对和解决这一问题，从而提高模型的训练效果和稳定性。

希望我的回答能够帮助你更全面地了解反步法的微分爆炸问题。

一个五阶Camassa-Holm方程的爆破准则和全局解研究

一个五阶Camassa-Holm方程的爆破准则和全局解研究王云波;刘小川
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2024(40)1
【摘要】本文主要研究了yt+2uxy+uyx=0,y=(1-δ_(x)^(2))^(2)u这个五阶CamassaHolm方程所对应的Cauchy问题的爆破准则和全局解的存在性.利用该方程的特殊结构和H^(2)(R)守恒律,本文在B_(p,r)^(s)(R)(s>max{7/2,3+1/p})中建立了两个爆破准则:解u的W^(2),∞(R)范数或者uxx的L∞(R)范数在最大存在时间区域内的积分值爆破.此外,本文利用爆破准则给出了全局解存在的两个充分条件.
【总页数】14页(P1-14)
【作者】王云波;刘小川
【作者单位】西北大学数学学院;西安交通大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.具零阶耗散的双成分Camassa-Holm方程的整体解和爆破现象
2.一个二分量Camassa-Holm系统解的爆破准则
3.一类五阶Camassa-Holm方程的Blow-Up 准则
4.二阶Camassa-Holm方程解的爆破性质研究
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