成都初二数学寒假班8-12讲

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2023—2024学年人教版数学八年级上册《12.2三角形全等的判定SAS》同步练

12.2三角形全等的判定基础证明-SAS1．如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF，求证：∠E＝∠F．2．如图，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB．（1）求证：AC＝DB．（2）判断△PBC的形状，并说明理由．3．已知：如图，F、C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．4．如图，点B，D，C，F在一条直线上，AB＝EF，AC＝ED，∠CAB＝∠DEF，求证：AC∥DE．5．已知：如图，点E、F在CD上，且CE＝DF，AE＝BF，AE∥BF．求证：△AEC≌△BFD．6．已知：如图，AD∥CB，AD＝CB．求证：∠ABC＝∠CDA．7．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．（1）求证：AC∥DF；（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数．8．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，求证：AD＝BC．9．如图，在△CAB和△ADE中，AC＝AE＝8，∠CBE＝∠CAD，AD＝CB．（1）求证：△ABC≌△EDA；（2）若BE＝5，求线段DE的长．10．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，AE＝2cm．求△AED的周长．11．如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．12．已知：如图，CB＝AE，AC＝AD，CB∥AD．求证：AB＝DE．13．如图，已知：AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：∠B＝∠C（2）若∠A＝70°，∠B＝30°，求∠BOC的度数．14．如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE．求证：∠BAC＝∠DAE．15．如图，已知AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC．求证：△ACD≌△AEB．16．如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．求证：△ABC≌△DEC．17．如图，点D在线段BC上，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE：求证：△ABC≌△ADE．。

学而思初二数学寒假班第7讲.综合测试尖子班A卷.教师版

．．A ．B ．C ．D ．4 6．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是考生须知初二数学测试卷 (尖子班 A 卷)1．本试卷共 6 页，共六道大题，26 道小题． 2．满分 120 分，考试时间 100 分钟．3．在试卷密封线内填写学校名称、姓名和准考证号．一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案1．已知方程 x 2 + b x - 2 = 0 有一个根是 2 ，则 b 的值为（）A ．0B ．1C ． -1D ．22．如图， EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O ，且分别交 AB 、 CD 于 E 、 F ，则阴影部分的面积是矩形 ABCD 的面积的（）1 1 1 3 5 3 10AEBODFC3．若关于 x 的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（）A ．（x +5）（x-7）=0B ．（x-5）（x +7）=0C ．（x +5）（x +7）=0D ．（x-5）（x-7）=04．关于 x 的方程 x 2 - kx - 1 = 0 的根的情况是（）．A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．没有实数根D ．无法确定5．如图所示，正方形 ABCD 中，E ，F 是对角线 AC 上两点，连接 BE ，BF ， DE ，DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形 BEDF 是菱形（）AE1DA ．∠1=∠2B ．BE =DFC ．∠EDF =60°D ．AB =AF2FB C．．．（）A ．当 AB = BC 时，它是菱形 B ．当 AC ⊥ BD 时，它是菱形 C ．当 ∠ABC = 90︒ 时，它是矩形 D ．当 AC = BD 时，它是正方形7．如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，DE ∥ AB ，△DECA DB CA D的周长为10cm，BE=4cm，则该梯形的周长为cm．A．25B．23C．21D．18A8．如图，菱形ABCD中，∠B=60︒，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）B DA．3B．23C．33D．6ECF二、填空题（本题共12分，每小题3分）题号9101112答案9．已知关于x的一元二次方程ax2+b x+c=0(a≠0)有一个根为-1，则b-c-a=．10.如图所示，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为5，O为正方形ABCD的中心，则图中重叠部分的面积是．D C GOF11．一元二次方程x2-3x+2=0的两个实数根都是等腰△ABC的边长，则这个等腰三角形的周长是．A BE y12．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45︒，则点D的坐标为_________.A DO(B)C x三、解答题（本题共16分，每小题4分）13．用直接开方法解方程：(x-1)2=(4-2x)214．用配方法解方程：x2-4x-1=015．用公式法解方程：2x2-8x+3=016．用因式分解法解方程：(x-5)2+2(5-x)=(5-x)x四、解答题（本题共30分，每小题5分）AD17.若关于 x 的一元二次方程 x 2 + 4x + 2k = 0 有两个实数根，求 k 的取值范围及 k 的非负整数值.18. 如图，矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于 F ，连接 DE ．求证：DF ＝DC ． A DFB19.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，连接 OE 、OF ．求证：四边形 AEOF 是菱形．BE CAE FOD20 在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AC 上一点，连接 EB 、 △ED ．⑴求证： BEC ≌△DEC ；⑵延长 BE 交 AD 于 F ，当∠BED =120° 时，求∠EFD 的度数．EF CBC21.如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ B C ， AB ⊥ AC ， ∠B = 45o ， AD = 2 ，BC = 4 2 ，求 DC 的长．A DBC22.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + 2 (k - 1)x + k 2 - 1 = 0 有两个不相等的实数根..⑴求实数k的取值范围；⑵0可能成为方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由五、解答题（本题共18分，每小题9分）23.如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．⑴请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；并要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹）；⑵三种方法所拼得的平行四边形的面积和周长是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积和周长各是多少．33331133图1图2图324．已知一次函数的图象经过点A（2，1），B（-1，-3）．（1）求此一次函数的解析式；（2）求此一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标；（3）求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．x = ， x = 3∴ x = ， x =2 2六、附加题（每题 10 分，共 20 分）25．已知 a > 0，b > a + c ，判断关于 x 的一元二次方程 ax 2 + b x + c = 0 的根的情况.26．如图， B F 平行于正方形 ABCD 的对角线 AC ，点 E 在 BF 上，且 AE = AC ，CF ∥ AE ，求 ∠BCF 的度数.FDCEAB参考答案及评分标准一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）题号答案1C2B3A4A5B 6D7D8C二、填空题（本题共 12 分，每小题 3 分）题号 9 10答案 0 254115(2 +122 ， 2)三、解答题（本题共 16 分，每小题 4 分） 13. x - 1 = 4 - 2 x 或 x - 1 = 2 x - 451 32 14. x 2 - 4x + 4 - 4 - 1 = 0(x - 2 )2 = 5x - 2 =± 5 x = 2 ± 5x = 2 + 5 ， x = 2 - 51215.a = 2 ，b = -8 ，c = 3 ．∆ = b 2 - 4ac = (-8)2 - 4 ⨯ 2 ⨯ 3 = 40∴ x = -b ± b 2 - 4ac 8 ± 40=2a 2 ⨯ 24 + 10 4 - 101 2 16.(x - 5)2 - 2 (x - 5) + (x - 5) x = 0 (x - 5)(x - 5 - 2 + x ) = 0 (x - 5)(2x - 7 ) = 0∴AE=1x-5=0或2x-7=0x=5，x= 127 2四、解答题（本题共30分，每小题5分）17∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，∴∆=42-4⨯1⨯2k=16-8k≥0解得k≤2∴k的非负整数值为0,1,218.证明：方法1：Q AD=AE∴∠ADE=∠FEDA D又AD∥BCB FE C∴∠ADE=∠DEC∴∠DEC=∠DEF 又DF⊥DE∴△DEF≌△DEC∴DF=DE方法2：S△ADE =12AD⨯CD=12AE⨯FD∵AD=AE∴CD=FD19.证明：∵点E、F分别为AB、AD的中点A12AB，AF=2AD E F又∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD，∴AE=AF，又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ∴O为BD的中点，∴OE、OF是△A BD的中位线B O DC∴ AE = EC = BC = 2 2 ．∴OE ∥AD ，OF ∥AB∴四边形 AEOF 是平行四边形∵AE =AF四边形 AEOF 是菱形AFD20. ⑴证明：∵四边形 ABCD 是正方形∴BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45°又 EC ＝EC∴△ABE ≌△ADE△⑵∵ ABE ≌△ADEEB C∴∠BEC ＝∠DEC ＝ 1 2∠BED∵∠BED ＝120°∴∠BEC ＝60°＝∠AEF∴∠EFD ＝60°+45°＝105°21. 解法一：如图 1，分别过点 A ，D 作 AE ⊥ BC 于点 E ，DF ⊥ BC 于点 F ．∴ AE ∥ D F ．A D又 AD ∥ B C ，∴四边形 AEFD 是矩形．∴ EF = AD = 2 ．Q AB ⊥ AC ， ∠B = 45o ， BC = 4 2 ， BC∴ AB = AC ．12∴ DF = AE = 2 2 ，CF = EC - EF = 2 BA DE F 图 1C在 △Rt DFC 中， ∠DFC = 90o ，∴ DC = DF 2 + CF 2 = (2 2) 2 + ( 2) 2 = 10 ．解法二：如图 2，过点 D 作 DF ∥ AB ，分别交 AC ，BC 于点 E ，F ．∵ AB ⊥ AC ，∴ ∠AED = ∠BAC = 90o ．AD∵ AD ∥BC ，E24. (1)根据一次函数解析式的特点，可得出方程组 ⎨， -k + b = -3⎪⎪ 3解得 ⎨ ，则得到 y = x - ⎪b = - 5所以与 x 轴的交点坐标为 ,0 ⎪ ，与 y 轴的交点坐标 0, - ⎪⎩x - 中，令 x = 0 ，解得： y = - ，则函数与 y 轴的交点是 0, - ⎪ x - 中，令 y = 0 ，解得 x =∴ ∠DAE = 180o - ∠B - ∠BAC = 45o ．在 △Rt ABC 中， ∠BAC = 90o ， ∠B = 45o ， BC = 4 2 ，∴ AC = AB = 4 2 ⨯2= 42 在 △Rt ADE 中， ∠AED = 90o ， ∠DAE = 45o ， AD = 2 ， ∴ DE = AE = 1 ．∴ CE = AC - AE = 3．在 △Rt DEC 中， ∠CED = 90o ，∴ DC = DE 2 + CE 2 = 12 + 32 = 10 ．22. ⑴ b 2 - 4ac = 4(k -1)2 - 4(k 2 -1)= -8k + 8∵ 方程有两个不相等的实根，∴ -8k + 8 > 0 ∴ k < 1⑵ 当 x = 0 时， k 2 -1 = 0 ， k = ±1 ∵ k < 1 ∴ k = -1当 k = -1 时，方程为 x 2 - 4x = 0 x = 0，x = 412∴ 0 是方程的一个根，另一个根为 4.五、解答题（本题共 18 分，每小题 9 分）23.如下图：面积均为 12，周长分别为： 8 + 2 10 ； 8 + 6 2 ； 2 10 + 6 2⎧2k + b = 1 ⎩⎧4 k = 4 53 3 ⎪3 （2）根据一次函数的解析式 y =4 x -5 ，得到当 y = 0, x = 5 ; 当 x = 0, y = - 53 34 3 ⎛5 ⎫ ⎛ 5 ⎫ ⎝ 4 ⎭ ⎝3 ⎭（3）在 y = 4 5 5 ⎛ 5 ⎫ 3 3 3 ⎝ 3 ⎭在 y = 4 5 5 3 3 4；因此一次函数的图像与两坐标轴所围城的三角形面积是： ⨯ ⨯ =∴ CH = OB = AC ，CH = CF ，又 ∠CHF = 90︒1 5 5 252 3 4 24六、附加题（每题 10 分，共 20 分） 25.⑴当 c > 0 时， a > 0 ， b > a + c ，从而 b 2 > (a + c )2 ， b 2 - 4ac - (a - c )2 > 0 ，b 2 - 4ac > (a - c )2 ≥0 ，即 ∆ > 0⑵ 当 c = 0 时，由 a > 0 ， b > a + c = a ，得 b > 0 ， ∆ > 0⑶ 当 c < 0 时，由 a > 0 ，得 ac < 0 ， ∆ = b 2 - 4ac > 0 . 综上可知，方程总有两个不等实根.26.如图，连接 BD 交 AC 于 O ，过 C 作 CH ⊥ BF 于点 H ，可证 OBHC 为正方形，1 2又可知 AEFC 为菱形，DCF12∴ ∠F = 30︒ ， ∠HCF = 60︒ OA BEH ∴ ∠BCF = 45︒+ 60︒ = 105︒。

人教版八年级数学上册第12章第3课时三角形全等的判定——SAS

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知识要点知识点一：三角形全等的判定(SAS) 两边和它们夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“ SAS ”)．几何语言：
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在△′， AC＝A′C′，
∴△ABC≌ △A′B′C′
( SAS )．
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对点训练 1.如图，下列各选项中与△ABC 一定全等的三角形是( B )
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OA＝OD
证明：在△ABO 和△DCO 中，∠AOB＝∠DOC ，
OB＝OC
∴△ABO≌△DCO(SAS).
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4.如图，点 F，B，E，C 在同一条直线上，AC＝DF，BF＝ EC，∠F＝∠C. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若∠F＋∠FED＝80°，则∠A 的度数为 100° .
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★12.如图，点 E 在 CD 上，BC 与 AE 交于点 F，AB＝CB， BE＝BD，∠1＝∠2. (1)求证：△ABE≌△CBD； (2)求证：∠1＝∠3.
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证明：(1)∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠CBE＝∠2＋∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
AB＝CB
在△ABE 和△CBD 中，∠ABE＝∠CBD ，
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11.如图，A，D，F，B 在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且 AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.
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证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B，
∵AD＝BF，∴AF＝BD， AE＝BC
在△AEF 和△BCD 中，∠A＝∠B ，
AF＝BD
∴△AEF≌△BCD(SAS).
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8.【例 4】如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC. (1)求证：AB＝DE； (2)当∠A＝21°，∠E＝39°时，求∠ACB 的度数．

2024年人教版八年级上册数学第十二章全等三角形专题三三角形全等基本模型

(1)求证：△ ABD ≌△ ACE ；
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专题三
三角形全等基本模型
【证明】∵∠ BAC ＝∠ DAE ，∴∠ BAC －∠ DAC ＝
∠ DAE －∠ DAC ，
即∠ BAD ＝∠1，
＝，
在△ ABD 与△ ACE 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ ABD ≌△ ACE (SAS).
5. [母题教材P55复习题T3] 如图，点 D 在 BC 上， AB ＝
AD ，∠ BAD ＝∠ CAE .
(1)添加条件：
AC ＝ AE (答案不唯一)
(只需写出一
个)，使△ ABC ≌△ ADE ；
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专题三
三角形全等基本模型
(2)根据你添加的条件，写出证明过程.
(2)【证明】∵∠ BAD ＝∠ CAE ，
∴∠ BAD ＋∠ DAC ＝∠ CAE ＋∠ DAC ，
即∠ BAC ＝∠ DAE ，
又∵ AB ＝ AD ， AC ＝ AE ，
∴△ ABC ≌△ ADE (SAS).
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专题三
三角形全等基本模型
6. [2024佛山禅城区一模]如图，已知 AB ＝ AC ， AD ＝
AE ，∠ BAC ＝∠ DAE ，且 B ， D ， E 三点共线.
BA 到点 E ，使得 BE ＝ BC ，连接 DE . 若∠ ADE ＝
44°，求∠ ADB 的度数.
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八年级数学上册 12.2 三角形全等的判定第2课时用“SAS”判定三角形全等说课稿 (新版)新人

八年级数学上册 12.2 三角形全等的判定第2课时用“SAS”判定三角形全等说课稿（新版）新人教版一. 教材分析本次说课的内容是新人教版八年级数学上册第12.2节三角形全等的判定，第2课时，主要讲解的是用“SAS”判定三角形全等。

这一节内容是在学习了三角形相似和三角形全等的概念基础上进行的，是三角形全等判定方法中的重要一环。

通过本节课的学习，学生能够理解和掌握“SAS”判定三角形全等的方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析根据我对学生的了解，他们在学习了三角形相似和三角形全等的基础上，对于全等的概念已经有了初步的认识，但是对于如何用“SAS”判定三角形全等，可能还存在着一些理解和运用上的困难。

因此，在教学过程中，我需要通过具体的例子和练习题，引导学生理解和掌握“SAS”判定三角形全等的方法。

三. 说教学目标本次课的教学目标是让学生理解和掌握“SAS”判定三角形全等的方法，能够运用“SAS”判定三角形全等，并能够解决实际问题。

四. 说教学重难点教学重点是让学生理解和掌握“SAS”判定三角形全等的方法，教学难点是如何引导学生理解和运用“SAS”判定三角形全等。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲解法、示范法、练习法等教学方法。

通过讲解法，让学生了解“SAS”判定三角形全等的原理；通过示范法，让学生直观地理解“SAS”判定三角形全等的步骤；通过练习法，让学生巩固“SAS”判定三角形全等的方法。

六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形相似和三角形全等的概念，引导学生进入本节课的学习。

2.讲解：“SAS”判定三角形全等的方法：首先，让学生观察两个三角形，找出它们的两个边和夹角分别相等；然后，根据全等三角形的性质，得出这两个三角形全等。

3.示范：通过具体的例子，演示如何用“SAS”判定三角形全等，让学生直观地理解全等的判定过程。

4.练习：让学生通过练习题，运用“SAS”判定三角形全等，巩固所学的方法。

四川省成都市成都市第十七中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

四川省成都市成都市第十七中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（） A2 B ．3-是27负的立方根 C ．125216的立方根是56± D ．()21-的立方根是1-2．下列函数中是正比例函数的是（） A ．7y x =-B ． 7y x-=C ．221y x =+D ．0.65y x =-3．已知点(,3)P a b +、(2,)Q b -关于y 轴对称，则ab 的值是（） A ．-1B ．2C ．-3D ．34x 的取值范围是（） A ．3x ≤B ．3x <C ．3x >D ．3x ≥5．下列命题为真命题的是（）． A ．若a 2＝b 2，则a ＝b B ．直角三角形的两锐角互余C ．同位角相等D ．若⎺x 甲＝⎺x 乙，22S s >甲乙，则甲组数据更稳定6．在同一平面内，不重合的三条直线a 、b 、c 中，如果a b ⊥，b c ⊥，那么a 与c 的位置关系是（） A ．垂直 B ．平行 C ．相交D ．不能确定7．在平面直角坐标系中，点()34A ，绕原点O 逆时针旋转90︒得到点B ，点B 关于x 轴对称的点为C ，则点C 的坐标是（）． A ．()43--，B ．()43，C ．()43-，D ．()34--，8．一次函数y ＝﹣2x ﹣3的图象和性质．叙述正确的是（） A ．y 随x 的增大而增大 B ．与y 轴交于点（0，﹣2）C ．函数图象不经过第一象限D ．与x 轴交于点（﹣3，0）二、填空题9．已知数据1x ，2x ，…，n x 的方差是3，则数据125x -+，225x -+，……，25n x -+的方差为．10．如图，在数轴上点B 表示的数为1，在点B 的右侧作一个边长为1的正方形BACD ，将对角线BC 绕点B 逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M 处，则点M 表示的数是．11．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，AE 是∠BAC 的平分线，且∠B=40º，∠C=60º，则∠EAD 的度数是．12．下面的图（2）是图（1）的侧面展开图一只小昆虫沿着圆柱的侧面，从A 点沿最短的距离爬到B 点，则B 点在图（2）中的位置是．（请填序号）13．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到ADE V ．若63CAE ∠=︒，71E ∠=︒，且AD BC ⊥，则BAC ∠的度数为．三、解答题14．计算，解方程组： (1)()()()22012131π32-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭；(2)25123150.20.3x yx y --⎧-=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩．15．某校为了解学生每周参加家务劳动的情况，随机调查了该校部分学生每周参加家务劳动的时间．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受调查的学生人数为______，图①中m 的值为______． (2)求统计的这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数．(3)根据统计的这组每周参加家务劳动时间的样本数据，若该校共有800名学生，估计该校每周参加家务劳动的时间大于1h 的学生人数． 16．如图，已知直线AB 经过点(1,5)和(4,2)．(1)求直线AB的解析式；(2)若把横、纵坐标均为整数的点称为格点，则图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有______个；(3)在图中作点(4,0)C关于直线AB的对称点D，则点D的坐标为_____；(4)若在直线AB和y轴上分别存在一点M、N使CMNV的周长最短，请在图中标出点M、N （不写作法，保留痕迹）．17．曹州牡丹园售票处规定：入园门票每张80元．非节假日的票价打6折售票；节假日根据团队人数实行分段售票：不超过10人，则按原票价购买；超过10人，则其中10人按原票价购买，超过部分的按原票价打8折购买．某旅行社带团x人到牡丹园游览，设非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元．求：（1）当x＞10时，y1、y2与x的函数关系式；（2）该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日（非节假日）带乙团到牡丹园游览，甲、乙两个团各25人，请问乙团比甲团便宜多少元？18．如图甲所示，已知直线139 42y x-+=与x轴和y轴分别相交于点A，B，直线2320y kx k k=+-≠（）与y轴相交于点C，两直线交于点P．(1)求AOBV的面积；(2)如图乙所示，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，若点B，C关于直线DP对称，求点C 的坐标；(3)当BCP V 是以BC 为腰的等腰三角形，求直线2y 的函数解析式．四、填空题1920．已知点A （3，0）和B （1，3），如果直线y ＝kx +1与线段AB 有公共点，那么k 的取值范围是．21．对于实数a ，b ，定义运算“◆”：),()a b a b ab a b ≥=<⎪⎩◆，例如32◆，因为32>，所以32◆x ，y 满足方程组2353210x y x y +=⎧⎨+=⎩，则()x y x =◆◆． 22．如图，ABC ABD ACE V V V 、、均为直角三角形，90ABC BAD ACE AB AD ∠=∠=∠=︒=，，AC CE AE =，与BD 交于点F ，若DF =EF =BC 边的长为．23．已知正比例函数y kx =（k =．五、解答题24．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml 和500ml 的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L 的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml 和500ml 的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml ，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数4y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线CD 交于点43E a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，C 点坐标为()02，．(1)求直线CD 的函数表达式；(2)平面内存在点F ，使得以A ，B ，D ，F 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F 的坐标；(3)直线AB 在E 点左侧部分上有一点P ，y 轴右侧有一动直线l y P 轴交AB 于M ，作直线PD 交l 于N ，是否存在点P 使得无论直线l 如何运动始终有PDE △与PMN V 相似，若存在请求出P 点坐标，若不存在请说明理由．26．定义：如图1，点,M N 把线段AB 分割成,AM MN 和BN ，若以,,AM MN BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点,M N 是线段AB 的勾股分割点．(1)已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若2,3AM MN ==，求BN 的长．(2)如图2，在等腰直角ABC V 中， ,90AC BC ACB =∠=︒，点,M N 为边AB 上两点，满足45MCN ∠=︒，求证：点,M N 是线段AB 的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把CBN △绕点C 逆时针旋转90︒试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．。

八年级数学上册听课记录：第十二章全等三角形《角的平分线的性质：探究角的平分线的性质》

新2024秋季八年级人教版数学上册第十二章全等三角形《角的平分线的性质：探究角的平分线的性质》听课记录教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握角的平分线的定义及其基本性质，能够运用性质进行简单的推理和证明。

2.过程与方法：通过观察、猜想、验证等数学活动，培养学生的探究能力、逻辑推理能力和空间想象能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的好奇心和探索欲，培养严谨的科学态度和合作学习的精神。

导入教师行为：•教师利用多媒体课件展示一个包含角的平分线的图形，引导学生观察并提问：“同学们，你们看到这个图形中的特殊线段了吗？它有什么特点？我们如何称呼它？”•引导学生回顾角的定义，进而引出角的平分线的概念，并板书角的平分线的定义。

学生活动：•学生认真观察图形，积极回答教师的问题，回顾角的定义，并尝试给出角的平分线的初步定义。

过程点评：•导入环节通过直观的图形展示和提问，有效激发了学生的学习兴趣和探究欲望，为后续学习角的平分线的性质奠定了良好的基础。

教学过程1. 猜想角的平分线的性质教师行为：•教师提出问题：“既然角的平分线将一个角分为两个相等的角，那么它是否还具有其他特殊的性质呢？请大家根据角的平分线的定义，大胆猜想一下。

”•鼓励学生自由发言，提出自己的猜想，并记录在黑板上。

学生活动：•学生积极思考，提出各种猜想，如“角的平分线到角的两边的距离可能相等”、“角的平分线可能是某条直线的垂直平分线”等。

过程点评：•通过猜想环节，培养了学生的直觉思维和创新能力，同时也为后续的验证活动提供了方向。

2. 验证猜想，探究性质教师行为：•教师引导学生利用尺规作图工具，在纸上画出包含角的平分线的图形，并尝试通过测量、折叠等方法验证之前的猜想。

•同时，教师也可以给出一些具体的例题或任务，让学生分组合作，共同探究角的平分线的性质。

学生活动：•学生动手操作，认真测量、折叠，验证自己的猜想。

在小组合作中，学生积极交流讨论，共同解决问题。

八年级数学寒假班讲义二1讲：一次函数概念及其图像学生版

，n= 时为正比例函数；
当m
，n=
时为一次函数．
12．直线 y=2x-1 与 x 轴的交点坐标是____________;与 y 轴的交点坐标是_____________.
13．已知点 A 坐标为(-1,-2),B 点坐标为(1,-1),C 点坐标为(5,1),其中在直线 y=-x+6 上的点有____________.在直线
A.y1 >y2
B.y1 =y2
C.y1 <y2
D.不能比较
【练习】 1．如果直线 y=kx+b 经过一、二、四象限，
那么有（
）
A．k＞0，b＞0； B．k＞0，b＜0；
C．k < 0，b＜0； D．k ＜0，b＞0
2．已知一次函数 y 2 k x 3 的图像经过第一、二、四象限，则实数 k 的取值范围是
.
11.已知函数 y = (m－3)x－2. (1) 当 m___________时,y 随 x 的增大而增大. (2) 当 m___________时,y 随 x 的增大而减小.
12．如果一次函数 y (2 3k)x (k 1) 的函数值 y 随 x 的值的增大而减小，且这个函数的图像不经过第二象限，
那么 k 的取值范围是
13．直线 y 3 1 x 与 x 轴的交点坐标为 ________，与 y 轴的交点为 ______ 2
14．对于一次函数 y=2x+1,y 随着 x 的增大而
.
15．如果直线 y＝2x＋m 不经过第二象限，那么实数 m 的取值范围是
____
16．若一次函数 y (2 m)x m 的图象经过第一、二、四象限，则 m 的取值范围是________________

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形复习市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

P27
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练习
7：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一种作为结论，推出一种正确旳命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知： EG∥AF 求证：
A
E
B
G
D
C F
高
拓展题
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF
▪例5：如图，在△ABC 中，AD⊥ BC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E， AD、CE交于点H，请你添加一种合适旳条件： BE=EH ，使 △AEH≌△CEB。
▪ 例6：求证：三角形一边上旳中线不大于其他两边之和旳二
分已之知一：。如图，AD是△ABC
旳中线，求证：AD
1 2
(
AB
AC)
证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE， BE = DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。
证明： AF CE
AE CF
又 BE ∥DF 1 2
又 BE DF
AEB ≌ CFD
A C
AB ∥CD
3、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
知识点
1.全等三角形旳性质: 相应边、相应角、相应线段相等，周长、面积也相等。
2.全等三角形旳鉴定: ①一般三角形全等旳鉴定：
SAS、ASA、AAS、SSS
②直角三角形全等旳鉴定：
SAS、ASA、AAS、SSS、HL
知识点
3.三角形全等旳证题思绪：

人教版八年级数学上册12.2三角形全等的判定(边角边判定三角形全等)优秀教学案例

4.结合具体案例，让学生学会如何运用SAS判定三角形全等解决实际问题，培养学生的应用能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作精神，提高学生的沟通能力。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、思考、交流等活动，让学生经历三角形全等判定方法的形成过程，培养学生自主探索、合作交流的能力。
2.运用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生直观地理解全等三角形的概念和SAS判定方法。
3.设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握SAS判定方法，提高解题能力。
4.总结本节课的学习内容，鼓励学生在下一节课前做好准备，提高课堂学习效果。
五、案例亮点
1.情境创设：本节课通过多媒体展示三角形模型和生活实例，有效地引导学生思考三角形全等的问题，使学生能够将抽象的数学知识与实际生活相结合，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.问题导向：教师设计了一系列递进式的问题，引导学生自主探索三角形全等的判定方法。这种问题导向的教学策略，有助于培养学生的分析问题和解决问题的能力，使学生在思考中不断深化对知识的理解。
在课前，我通过问卷调查了解到学生对于三角形全等的概念及判定方法掌握程度不一，部分学生对于全等三角形的概念模糊，对于SAS判定方法的理解不够深入。因此，在教学过程中，我需要关注学生的个体差异，针对不同学生进行有针对性的引导和讲解。
在教学过程中，我采用了多媒体教学手段，通过展示实物模型、动画演示等多种形式，帮助学生直观地理解全等三角形的概念和SAS判定方法。同时，我设计了一系列具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握知识点，提高解题能力。

人教版初中数学八年级上册第十二章全等三角形

人教版数学八年级上册
12.1 全等三角形/
12.1 全等三角形
导入新知
12.1 全等三角形/
观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？
导入新知
12.1 全等三角形/
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
素养目标
12.1 全等三角形/
3. 初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形变化与全等形的关系.
12.1 全等三角形/
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
①
②
③
④
⑤
探究新知
12.1 全等三角形/
归纳总结
全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.
探究新知下面哪些图形是全等图形？
12.1 全等三角形/
大小、形状完全相同
课后作业
作业内容
12.1 全等三角形/
教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
2. 熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题.
1. 熟记全等形及全等三角形的概念;能够正确找出全等三角形的对应边、对应角.
探究新知
12.1 全等三角形/
知识点 1 全等图形的定义及性质
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
探究新知
正确的结论并证明.
解：结论：EF∥NM
其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
巩固练习
12.1 全等三角形/
如图，△ABC ≌△CDA，AB 与CD，BC 与DA 是对应边，

2023-2024学年四川省成都市高新区八年级(下)期末数学试卷(含详解)

2023-2024学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）1.下列图案中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.若a <b ，则下列不等式变形正确的是( )A. −2a <−2bB. a 2>b 2C. a−b >0D. 3a−1<3b−13.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是( )A. a(a−1)=a 2−aB. a 2−4=(a−2)2C. x 2+x +14=(x +12)2D. a 2−b 2+3=(a−b)(a +b)+34.如图，在△ABC 中，BC =15，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E.若△BCE 的周长等于35，则线段AC 的长为( )A. 15B. 17.5C. 20D. 255.化简分式1a−1−1a(a−1)，正确的结果是( )A. 1a−1B. 1aC. a a−1D. a−1a 6.在平面直角坐标系中，把点A(m,2)先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B.若点B 的横、纵坐标相等，则m 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 77.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O.下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( )A. AD =BC ，AB =DCB. AD//BC ，AB =DCC. OA =OC ，OB =ODD. AO =CO ，AB//DC8.如图，△ABC 中，∠ACB =75°，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转一定角度得到△EDC.若点D 恰好落在AB 边上，且AD =CD ，则∠E 的度数为( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）9.分解因式：2ab +4a = ______．10.如果分式2x−3x +2的值为0，那么x 的值是______．11.数学实践活动中，为了测量校园内一建筑物底部A ，B 两点之间的距离，如图，小明同学在A ，B 两点外选择一点C ，分别定出线段AC ，BC 中点D ，E ，测得D ，E 两点之间的距离为8m ，则A ，B 两点之间的距离是______m.12.如图，直线y =−2x +2与直线y =kx +b(k 、b 为常数，k ≠0)相交于点A(m,4)，则关于x 的不等式−2x +2<kx +b 的解集为______．13.如图，在▱ABCD 中，AB =6，BC =8，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，∠BCD 的平分线交AD 于点F ，则线段EF 的长为______．三、解答题（共98分）14.(1)解不等式组：{5x−1<3(x +1)2x−13−5x +12<1；(2)解方程：1x−2+3=x−1x−2．15.若两数的平方差能被整数m 整除，则将这两数称为“幸运m 倍数组合”.如：证明两个连续偶数是“幸运4倍数组合”，设较小的偶数为2n(n 为整数)，则较大的偶数为2n +2，因为(2n +2)2−(2n )2=8n +4，8n +44=2n +1，2n +1为整数，所以，两个连续偶数是“幸运4倍数组合”．你认为两个连续奇数是“幸运8倍数组合”吗？为什么？16.如图，在平面直角坐标系中xOy ，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1,3)，B(−1,1)，C(−2,2)．(1)画出△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到的△A 1B 1C 1；(2)在y 轴上取点P ，使△ABP 的面积是△ABC 面积的32倍，求点P 的坐标．17.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转α°(0<α<180)得到△ADE点B的对应点为D，射线CB与射线DE交于点F，连接AF．(1)求证：BF=DF；(2)若AB=2BC=4，AE//CF，求线段BF长．18.【基础巩固】(1)如图1，在△ABC中，D是BC中点，AD平分∠BAC，求证：AB=AC．【深入探究】(2)如图2，在△ABD中，∠ADB>90°，点C在线段BD的延长线上，且BD=DC.在射线DA上取点E，若AB=CE，请写出∠BAD与∠CED的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】(3)如图3，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AC=4，BC=5，∠ACB=30°，点E在边BC 上，连接EO，EO的延长线交AD于点F，点G在对角线AC上，若FG=AE，且△AEO的面积是△GOF面积的2倍，求线段BE 的长．19.化简：(1−2a−1)÷a 2−6a +9a−1= ______．20.某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O 如图放置.若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在∠AOB 处，则这块正多边形纸板的边数是______．21.关于x 的不等式组{x−3>0x−2m <1无解，则m 的取值范围是______．22.如图，△ABC 中，∠BAC =70°，延长BC 至点D ，使CD =CA ，连接AD ，过点C 作AD 的垂线，交∠ABC 的平分线于点E ，则∠CDE 的度数为______．23.在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两端点分别为A(−1,1)，B(−3,3)，将线段AB 沿直线y =x +b 翻折得到线段A 1B 1(点A 的对应点为A 1)，再将线段A 1B 1向右平移1个单位，向上平移5个单位得到线段A 2B 2(点A 1的对应点为A 2)，此时的线段A 2B 2可看作是由线段AB 绕点P 旋转得到(点A 的对应点为A 2)，则△ABP 周长的最小值为______．24.2024年汤尤杯比赛于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行.作为世界羽毛球界的重要赛事，它的周边产品(如熊猫挂件)深受球迷喜爱.已知每件A型熊猫挂件比每件B型熊猫挂件多15元，用1200元购买的A 型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同．(1)每件A型熊猫挂件与每件B型熊猫挂件的售价是多少元？(2)若某球迷决定用不超过2000元购买A，B两种型号的熊猫挂件共40件，则最多购买A型熊猫挂件多少件？25.如图，已知直线l1：y=−2x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线l2与y轴负半轴交于点C，且OA：OC=1：3．(1)求直线l2的函数表达式；(2)点D在x轴负半轴上，在直线l2上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)直线l3：y=kx+k与y轴正半轴交于点F，与直线l2交于点P，若∠FPA=45°，求k的值．26.已知△ABC为等边三角形，点D是边AC上一动点，连结BD，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为E．(1)如图1，若BE⊥BC，CD=2，求线段BE的长；(2)如图2，连结AE，若DE所在直线与BC垂直，求AE的值；CD(3)如图3，过点A的直线l//BC，射线DE与直线l交于点F.若AB=6，EF=1，求线段CD的长．答案解析1.【答案】B【解析】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．故选：B．2.【答案】D【解析】解：A.∵a<b，∴−2a>−2b，故本选项不符合题意；B.∵a=−5，b=6，∴a2<b2，故本选项不符合题意；C.∵a<b，∴a−b<0，故本选项不符合题意；D.∵a<b，∴3a<3b，∴3a−1<3b−1，故本选项符合题意；故选：D．3.【答案】C【解析】解：a(a−1)=a2−a，是乘法运算，则A不符合题意；a2−4≠(a−2)2，则B不符合题意；x2+x+14=(x+12)2，符合因式分解的定义，则C符合题意；a2−b2+3=(a−b)(a+b)+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，则D不符合题意；故选：C．4.【答案】C【解析】解：∵DE是边AB的垂直平分线，∴AE=BE．∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=35．又∵BC=15，∴AC=35−15=20．故选：C．．5.【答案】B【解析】解：原式=aa(a−1)−1a(a−1)=a−1a(a−1)=1a．故选：B．6.【答案】A【解析】解：将点A(m,2)先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，所以点B的坐标为(m+3,4)，因为点B的横纵坐标相等，所以m+3=4，解得m=1．故选：A．7.【答案】B【解析】解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；B、根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；D、∵AB//DC，∴∠BAO=∠BCO，∵∠AOB=∠COD，AO=CO，∴△AOB≌△COD(ASA)，∴OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；故选：B．8.【答案】D【解析】解：∵AD=CD，∴∠A=∠ACD，∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠A，∵△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC，∴∠E=∠A，CD=CB，∴∠B=∠CDB=2∠A，∵∠B+∠A+∠ACB=180°，∴2∠A+∠A+75°=180°，解得∠A=35°，∴∠E=35°．故选：D．9.【答案】2a(b+2)．【解析】解：原式=2a(b+2)，故答案为：2a(b+2)．10.【答案】32【解析】解：由题可知，2x−3=0且x+2≠0，．解得x=32故答案为：3．211.【答案】16【解析】解：∵点D，E分别为线段AC，BC中点∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×8=16(m)，故答案为：16．12.【答案】x>−1【解析】解：∵直线y=−2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(m,4)，∴4=−2m+2，∴m=−1，∴当x>−1时，−2x+2<kx+b，∴不等式−2x+2<kx+b的解集为x>−1，故答案为：x>−1．13.【答案】4【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DFC=∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC，同理可证：AE=AB，∵AB=6，AD=BC=8，∴2AB−BC=AE+FD−BC=EF=4．故答案为：4．14.【答案】解：(1)解第一个不等式得：x<2，解第二个不等式得：x>−1，故原不等式组的解集为−1<x<2；(2)原方程去分母得：1+3x−6=x−1，解得：x=2，检验：当x=2时，x−2=0，则x=2是分式方程的增根，故原方程无解．15.【答案】解：两个连续奇数是“幸运8倍数组合”，理由如下：设较小的奇数为2n−1(n为整数)，则较大的奇数为2n+1，∵(2n +1)2−(2n−1)2=8n ，8n 8=n ，n 为整数，∴两个连续奇数是“幸运8倍数组合”． 16.【答案】解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求．(2)△ABC 的面积为12×(1+2)×3−12×1×1−12×2×2=92−12−2=2．设点P 的坐标为(0,m)，∵△ABP 的面积是△ABC 面积的32倍，∴12|m−2|×1+12|m−2|×1=32×2，解得m =5或−1，∴点P 的坐标为(0,5)或(0,−1)． 17.【答案】(1)证明：∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转α°(0<α<180)得到△ADE ，∴AB =AD ，∠ADE =∠ABC =∠ABF =90°，在Rt △ABF 与Rt △ADF 中，{AF =AF AB =AD ，∴Rt △ABF ≌Rt △ADF(HL)，∴BF =DF ；(2)解：将△ABC 绕点A 逆时针旋转α°(0<α<180)得到△ADE ，∴AB =AD =4，DE =BC =2，AE =AC ，∠ADE =∠ABC =∠ABF =90°，∴AC = AB 2+BC 2=2 5，∵AB =AD ，∠ADE =∠ABF =90°，∴∠AFB=∠AFD，∵AE//CF，∴∠AFB=∠EAF，∴∠AFE=∠EAF，∴AE=EF=25，∴DF=DE+EF=25+2，∴BF=25+2．18.【答案】(1)证明：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，∵点D是BC中点，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，{AD=DE∠ADB=∠EDC，BD=CD∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=CE，∠BAD=∠E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠E，∴AC=CE，∴AC=AB；(2)解：结论：∠BAD=∠CED，理由如下：如图2，延长ED至F，使DF=DE，连接BF，∵点D是BC中点，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，{BD=CD∠BDF=∠CDE，DF=DE∴△BDF≌△CDE(SAS)，∴BF=CE，∵AB=CE，∴AB=BF，∴∠BAD=∠CED；(3)如图3，连接AE，CF，过点F作FH⊥AC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD//BC，∴∠FAO=∠ECO，在△AFO和△CEO中，{∠FAO =∠ECO OA =OC ∠AOF =∠COE，∴△AFO ≌△CEO(ASA)，∴OE =OF ，AF =CE ，∴S △AOE =S △AOF ，∵△AEO 的面积是△GOF 面积的2倍，即S △AOE =2S △GOF ，∴S △AOF =2S △GOF ，∴OA =2OG ，∴OC =2OG =12AC =12×4=2，∴OG =1，CG =1，在△AOE 和△COF 中，{OA =OC∠AOE =∠COF OE =OF ，∴△AOE ≌△COF(SAS)，∴AE =CF ，∵FG =AE ，∴CF =FG ，∵FH ⊥AC ，∴GH =CH =12CG =12，∴AH =AC−CH =4−12=72，∵AD//BC ，∠ACB =30°，∴∠CAD =∠ACB =30°，∴FH =12AF ，在Rt △AFH 中，AH 2+FH 2=AF 2，∴(72)2+(12AF )2=AF 2，∴AF =7 33，∴CE =7 33，∴BE=BC−CE=5−733，∴线段BE的长为5−733．19.【答案】1a−3【解析】解：原式=a−1−2a−1⋅a−1 (a−3)2=a−3a−1⋅a−1(a−3)2=1a−3．故答案为：1a−3．20.【答案】6【解析】解：∵正三角形、正方边的内角分别为60°、90°，∴∠AOB=360°−90°−90°−60°=120°，∴这块正多边形纸板的边数是：360180−120=6．故答案为：6．21.【答案】m≤1【解析】解：由x−3>0得：x>3，由x−2m<1得：x<1+2m，∵不等式组无解，∴1+2m≤3，解得m≤1，故答案为：m≤1．22.【答案】55°【解析】解：过E作EH⊥BC于H，作EG⊥AC于G，EM⊥BA于M，连接AE，∵BE平分∠ABC，∴EM =EH ，∵AC =DC ，CE ⊥AD ，∴CE 平分∠ACD ，CE 平分AD ，∴EG =EH ，CE 是AD 的垂直平分线，∴EM =EG ，AE =DE ，又∵EG ⊥AC ，EM ⊥BA ，∴AE 平分∠CAM ，∴∠CAE =12∠CAM ，∵∠BAC =70°，∴∠CAE =12∠CAM =12(180°−∠BAC)=55°，∵AC =DC ，AE =DE ，∴∠CAD =∠CDA ，∠EAD =∠EDA ，∴∠CAD +∠EAD =∠CDA +∠EDA ，即∠EAC =∠CDE ，∴∠CDE =55°，故答案为：55°．23.【答案】2 2+ 26【解析】解：∵A(−1,1)，B(−3,3)，∴AB = [−3−(−1)]2+(3−1)2=2 2，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把A(−1,1)，B(−3,3)代入，{−k +b =1−3k +b =1，解得：{k =−1b =0，∴直线AB 的解析式为y =−x ，则{y =−x y =x +b ，解得：{x =−b 2y =b2，∵点A 的对应点为A 1，设A 1(m,n)，则有m−12=−b 2，n +12=b 2，∴m =−b +1，n =b−1，∴A 1(−b +1,b−1)，由平移规律知，A 2(−b +2,b +4)，设点P(x,y)，则x =−b−2+12=−b +12，y =b +4+12=b +52，∴P(−b +12,b +52)，∴PA = (−b +12+1)2+(b +52−1)2，PB = (−b +12+3)2+(b +52−3)2，∴△ABP 的周长为AB +PA +PB =2 2+ (−b +12+1)2+(b +52−1)2+ (−b +12+3)2+(b +52−3)2≥2 2+2 (−b +12)2+(b +52−1)2⋅ (−b +12+3)2+(b +52−3)2，而 (−b +12+1)2+(b +52−1)2= (−b +12+3)2+(b +52−3)2，解得：b =2，∴当b =2时，△ABP 的周长最小值为2 2+2 264× 264=2 2+ 26．故答案为：2 2+ 26．24.【答案】解：(1)设每件B 型熊猫挂件的售价是x 元，则每件A 型熊猫挂件的售价是(x +15)元，根据题意得：1200x +15=900x ，解得：x =45，经检验，x =45是所列方程的解，且符合题意，∴x +15=45+15=60．答：每件A 型熊猫挂件的售价是60元，每件B 型熊猫挂件的售价是45元；(2)设购买y 件A 型熊猫挂件，则购买(40−y)件B 型熊猫挂件，根据题意得：60y +45(40−y)≤2000，解得：y ≤403，又∵y 为正整数，∴y 的最大值为13．答：最多购买A 型熊猫挂件13件．25.【答案】解：(1)y =−2x +3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，则点A 、B 的坐标分别为：(32,0)、(0,3)，∵OA ：OC =1：3，则CO =−92，即点C(0,−92)，设直线l 2的表达式为：y =kx−92，将点A 的坐标代入上式得：0=32k−92，则k =3，则直线l 2的表达式为：y =3x−92；(2)设点D(x,0)、点E(m,3m−4.5)，当AB 为对角线时，由中点坐标公式得：3=3m−4.5，则m =2.5，即点E(2.5,3)；当AD 或AE 为对角线时，同理可得：0=3m−4.5+3或3m−4.5=3，解得：m =2.5或0.5，即点E(2.5,3)或(0.5,0)；综上，E(2.5,3)或(0.5,0)；(3)设点P(n,3n−4.5)、点M(m,3m−4.5)，设直线PF 交x 轴于点T(−1,0)，过点T 作TM ⊥PF 交AC 于点M ，则△PMT 为等腰直角三角形，则TP =TM ，过点T 作GN//y 轴，交过点P 和x 轴的平行线于点G ，交过点M 和x 轴的平行线于点N ，∵∠GTP +∠MTN =90°，∠MTN +∠TMN =90°，∴∠GTP=∠TMN，∴△GTP≌△TMN(AAS)，则GP=TN且GT=MN，则n+1=4.5−3m且m+1=3n−4.5，解得：n=2，则点P(2,1.5)，将点P的坐标代入y=kx+k得：1.5=2k+k，解得：k=0.5．26.【答案】解：(1)如图，过D作DH⊥BC于H，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=∠ABC=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠HDC=30°，∴CH=1CD=1，2∴DH=CD2−CH2=3，∵翻折，∴BE=BC，∠EBD=∠CBD，∵BE⊥BC，∴∠EBD=∠CBD=45°，∴∠BDH=45°=∠DBC，∴BH=DH=3，∴BE=BC=BD+CD=3+1；(2)如图，延长ED交BC于M，在AC取点F，使AF=EF，∵DE⊥BC，∴∠CDM=30°，∵翻折，∴∠BDC=∠BDE，∠EBD=∠CBD，∵∠BDC−∠CDM+∠BDE=180°，∴∠BDC=∠BDE=105°，∴∠EBD=∠CBD=180°−∠BDC−∠C=15°，∴∠CAE=30°=1∠ABC=∠ABE，2∵AB=BC，∴BE⊥AC，即∠ANE=90°，∵AB=BC=BE，∠ABE=30°，∴∠BAE=∠AEB=1(180°−∠ABE)=75°，2∴∠BAC=60°，∴∠NAE=∠BAE−∠BAC=15°，∵AF=EF，∴∠FEA=∠FAE=15°，∴∠EFN=30°，设NE=x，∴AF=EF=2x，∴NF=3x，∴AE=AN2+NE2=(2x+3x)2+x2=(2+6)x，∵∠NDE=∠CDM=30°，∴DE=CD=2x，∴AE CD =2+62；(3)当F在A的右侧时，如图，过D作DG⊥l于G，过B作BH⊥l于H，BN⊥AD于N，BM⊥DE于M，连接BF，∵翻折，∴∠BDC=∠BDE，BC=BE=AB，∠C=∠BED=60°，CD=DE，又∵∠CDM=∠EDN，∴∠BDM=∠BDN，∴BM=BN，∵l//BC，∴∠HAB=∠ABC=60°=∠BAC，∠CAF=∠C=60°，又∵BH⊥l，BN⊥AD，∴BH=BN，∴BH=BM，∴BF平分∠AFE，∴∠AFB=∠EFB，∵∠CAF=60°，∠BAC=60°，∠BED=60°，∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠BEF=180°−∠BED=120°，∴∠BAF=∠BEF，又∵BF=BF，∴△ABF≌△EBF(AAS)，∴AF=EF=1，设CD=x，则DE=x，AD=6−x，∵DG⊥AG，∠CAF=60°，∴∠ADG=30°，∴AG =12AD =3−12x ，∴FG =AG−AF =2−12x ，在Rt △ADG 中，DG 2=AD 2−AG 2=(6−x )2−(3−12x )2，在Rt △FD 中，DG 2=FD 2−FG 2=(x +1)2−(2−12x )2，∴(6−x )2−(3−12x )2=(x +1)2−(2−12x )2，解得x =3013，∴CD =3013，当F 在A 的左侧时，如图，过D 作DG ⊥l 于G ，过B 作BH ⊥l 于H ，BN ⊥AD 于N ，BM ⊥DE 于M ，连接BF ，同理可证BF 平分∠HFM ，∴∠HFB =∠MFB ，又∵∠EFH =∠AFM ，∴∠BFE =∠BFA ，又∵∠BEF =∠BAF =60°，BF =BF ，∴△ABF ≌△EBF(AAS)，∴AF =EF =1，设CD =x ，则DE =x ，AD =6−x ，∵DG ⊥AG ，∠CAF =60°，∴∠ADG =30°，∴AG =12AD =3−12x ，∴FG =AG +AF =4−12x ，在Rt △ADG 中，DG 2=AD 2−AG 2=(6−x )2−(3−12x )2，在Rt △FDG 中，DG 2=FD 2−FG 2=(x−1)2−(4−12x )2，∴(6−x )2−(3−12x )2=(x−1)2−(4−12x )2，解得x =4211，∴CD =4211；综上，CD 的长为3013或4211．。

八年级下册数学辅导班专用教材

（1） (2) (3)
变式训练：
3、若有意义，则的取值范围是。
4、若式子有意义，则点P( , )所在象限为。
5、已知实数、满足等式： ,求的值。
当堂检测
1、使代数式有意义的的取值范围是（）
A. B. C. 且 D.一切实数
2、使式子有意义的最小整数m的值为。
3、下列各式中不一定是二次根式的是（）
A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边 B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C．△ABC的面积是60 D．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.则满足下列条件但不是直角三角形的是（）.
A．∠A＝∠B－∠C B．∠A：∠B：∠C ＝1：1：2
8．下列根式中，是最简二次根式的是（）．
A． B． C． D．
三、下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由．
1． 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
四、把下列各式化成最简二次根式．
1． 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8．
五、求下列各式的值：
1．（其中，）
2．（其中a＝4，b＝16，c＝9）
（9）＝________；（10）＝________．
2．设x＜0，则＝_________．
3．下列二次根式，，，，中的最简二次根式有________．
二、选择题
1．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数是（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列各式中是最简二次根式的是（）．
（2）勾股定理的应用：
①已知两边求第三边；

人教版八年级数学上册教学设计：12.2三角形全等的判定(SAS)

通过设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。同时，鼓励学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
5.总结反馈，提高效果
在课堂尾声，教师引导学生对本节课的重点内容进行总结，分享学习心得。同时，教师针对学生的表现给予积极的评价和反馈，以提高学生的学习效果。
6.课后拓展，激发兴趣
教师可以布置一些具有挑战性的课后作业，让学生在课后继续探究全等三角形的性质和应用。此外，鼓励学生参加数学竞赛、研究性学习等活动，激发他们的数学兴趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：本章节的教学重点是使学生掌握SAS判定两个三角形全等的方法，并能够熟练运用该方法解决实际问题。
2.难点：
（1）理解SAS判定定理的内涵，并能将其运用到具体的几何问题中。
（2）在解决实际问题时，能够灵活运用全等三角形的性质和判定方法，进行严密的逻辑推理。
3.小组合作，共同设计一道关于SAS判定全等三角形的题目，要求题目具有一定的挑战性，能够考查学生对SAS判定定理的理解和应用能力。下节课前，各小组将设计的题目交给老师。
4.预习下一节课的内容，了解其他全等三角形的判定方法，如ASA、AAS等，并尝试理解它们之间的联系和区别。
5.结合本章节所学内容，反思自己在学习过程中遇到的困难和问题，总结解决这些问题的方法和经验，形成一份学习心得，不少于300字。
五、作业布置
为了帮助同学们更好地巩固本章节所学知识，特此布置以下作业：
1.请同学们完成课本第123页的练习题第1、2、3、4题，特别是涉及到SAS判定全等三角形的题目，要仔细思考，确保理解并掌握SAS判定定理的应用。
2.从生活中的实例中找出一个应用全等三角形知识的例子，并说明是如何运用SAS判定定理来判断全等的。可以将这个过程写成一个小短文，不少于200字。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形章末复习课件共58张

章末复习
例3 如图12-Z-7, 在△ABC和△DEF中, 点B,E, C, F在同一直线上, 下面有四个条件, 请你从中选三个作为题设, 余下的一个作为结论, 写出一个正确的命题, 并加以证明. ①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.
章末复习
分析
条件结论是否正确
章末复习
例2 如图12-Z-4, ∠B=∠C=90°, E是BC的中点, DE平分∠ADC. 求证：AD=AB+CD.
章末复习
分析
角平分线的性质
作EF⊥AD
EC=EF
E是BC的中点
EF=EB Rt△AFE≌Rt△ABE
AF=AB
CD=DF
AD=AB+CD
同理
章末复习
证明：如图 12-Z-4, 过点 E 作 EF⊥AD 于点 F. ∵∠C=90°, DE 平分∠ADC, ∴EC=EF. ∵E 是 BC 的中点, ∴EC=EB, ∴EF=EB. 在 Rt△AFE 与 Rt△ABE 中, AE=AE, EF=EB, ∴Rt△AFE≌Rt△ABE,∴AF=AB. 同理可得 FD=CD, ∴AD=AF+FD=AB+CD.
全等三角形的性质
应用
角的平分线
全等三角形
章末复习
全等三角形
角的平分线
全等三角形
边边边(SSS)
一般三角形
直角三角形
性质
边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS)
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
SSS, SAS, ASA, AAS
HL(只适用于判定两个直角三角形全等)
∴△AOD≌△BOC(SAS)．

四川初二数学教材内容

四川初二数学教材内容全等三角形1.基本概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2.全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;3.全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等;(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等;(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

2.角的平分线的性质以及判定性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定:判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上。

轴对称1.轴对称图形一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点3.轴对称图形与轴对称的区别和联系(1)区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形，轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。

(2)联系:如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

3.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4.作轴对称图形(1)几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这此点，就可以得到原图形的轴对称图形(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

(3)用坐标表示轴对称点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(x，y)。

三角形全等的判定SAS人教版八年级数学上第十二章(教案)

四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形全等的判定》中的SAS判定方法。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断两个三角形是否完全相同的情况？”比如，在拼接图形或修复破损物品时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形全等的奥秘。
举例：强调在判定两个三角形全等时，必须满足两边及其夹角对应相等，而非任意两边一角或两角一边。
2.教学难点
-理解“对应”的概念：学生需要明确两个三角形全等时，对应的边和角是固定的，不能随意替换。
-判定中的角度问题：学生需要理解判定中的角是两边的夹角，而不是任意角。
-解决实际问题时，如何从复杂的图形中识别出符合SAS全等条件的部分。
举例：
a)难点一：学生可能会误认为只要两边和一角相等，即可判定三角形全等，需强调必须是夹角。
b)难点二：在复杂的图形中，学生可能难以找到符合SAS条件的三条线段，需要指导学生如何从图中分离出关键信息。
c)难点三：在实际应用中，学生可能不知道如何将现实问题转化为几何问题，需要通过具体案例分析，教授学生解题策略。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“SAS全等判定在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三角形全等的判定SAS人教版八年级数学上第十二章（教案）
一、教学内容

八年级寒假班-07-无理方程-教师版

教师学生课程编号课题初二数学寒假班（教师版）日期课型无理方程及应用教学目标同步/专题1.理解无理方程的概念；掌握简单的无理方程的解法，知道“验根”是解无理方程的必要步骤，掌握验根的基本方法．2.熟练的解决无理方程的应用问题．教学重点1．无理方程的解法；2．无理方程有可能产生增根的理解．教学安排版块时长1 2 3无理方程的概念及解法无理方程的应用课堂练习50分钟30分钟40分钟无理方程(x-3)-625=0；（1）-x3=；29（2）知识结构模块一：无理方程的概念和解法知识精讲1．无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．2．解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解．3．解无理方程的一般步骤（1）方程两边平方，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．例题解析【例1】下列方程是哪些是关于x的无理方程?34221（3）x2-1=1；2（4） = 1 ；（6） x 2- 1 = ．程叫做无理方程，可知（1）、（2）、（4）、（6）都是无理方程， x 2 = x ，可知（3）也x 2 - 4a x x1（5） -3 x 2 = 7 ；a1 - x 23x【难度】★【答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程．【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方1是无理方程．【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．【例2】下列哪个方程有实数解（）A ． x + 1 + x - 1 = 0C ． x - 1 + - x - 4 = 2 B ． x + 5 + 3 = 0D ． 2 - x = - x【难度】★【答案】D【解析】根据二次根式的双重非负性，对A 选项， x ≥ 1 ，此时 x + 1 + x - 1 ≥ 2 ，故方程⎧ x - 1 ≥ 0 无实数解；对 B 选项， x + 5 + 3 ≥ 3 ≠ 0 ，可知方程无实数解；对 C 选项，⎨，⎩- x - 4 ≥ 0x 无解，即方程无实数解；故选 D ．【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定．【例3】若方程1 + x - 2 = k 有解，则 k 的取值范围是________．【难度】★【答案】 k ≥ 1 ．【解析】移项得 x - 2 = k - 1，方程有解，根据二次根式的非负性，可得 k - 1 ≥ 0 ，得 k ≥ 1 ．【总结】考查无理方程有解的应用，根据二次根式的非负性即可进行判断．【例4】不解方程，说明下列方程是否有实数根：（1） 12 - x + x - 12 = 0 ；（2） (a - b ) x 2 - 4x = (a - b )2 (a ≤ b ) ．【难度】★【答案】（1）有唯一实数根 x = 12 ；（2）当 a < b 时，方程无实数根；当 a = b 时，方程有无数个实数根．3x - 12 ≥ 0【解析】（1）根据二次根式的非负性，可得： ⎨，即得 x 的定义域为 x = 12 ，⎧12 - x ≥ 0⎩此时 12 - x = x - 12 = 0 ，即得方程有唯一实数根 x = 12 ；（2）当 a < b 时，则有 x 2 - 4x = a - b < 0 ，根据二次根式非负性，可知方程无实数根；当 a = b 时，等式恒成立，可知方程有无数实数根，满足 x 2 - 4x ≥ 0 即可．【总结】考查对无理方程解的判断，对部分方程根据二次根式双重非负性即可进行判定．【例5】用换元法解方程 x 2 - 3x - x 2 - 3x + 5 = 1 时，设 x 2 - 3x + 5 = y ．则该方程转换整式方程是____________．【难度】★【答案】 y 2 - y - 6 = 0 ．【解析】由 x 2 - 3x + 5 = y ，可得 x 2 - 3x = y 2 - 5 ，原方程即为 y 2 - 5 - y = 1 ，整理即为 y 2 - y - 6 = 0 ．【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式形式．【例6】解下列方程：（1） 2 x + 3 = x ；（2） x - 1 ⋅ 2 x + 6 - x = 3 ．【难度】★★【答案】（1） x = 3 ；（2） x = 5 ．【解析】（1）两边平方，得： 2x + 3 = x 2 ，整理得： x 2 - 2x - 3 = 0 ，解得： x = 3 ， x = -1 ，经检验， x = -1 是原方程的增根，即原方程的根为 x = 3 ；122（2）移项得：(x - 1)(2x + 6) = x + 3 ，两边平方得： (x - 1)(2x + 6) = (x + 3)2 ，因式分解整理得： (x - 5)(x + 3) = 0 ，解得： x = 5 ， x = -3 ，12经检验， x = -3 是原方程的增根，即原方程的根为 x = 5 ．2【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．【例7】解下列方程：（1） 2 x + 5 = x - 10 ；（2） (x + 3)⋅ x - 1 = 0 ；【难度】★★【答案】（1） x = 20 ；（2） x = 1 ．4+=3．【答案】x=-，x=．44【解析】令x-1=a，则=，原方程即为a+=3，解得：a=3，a=，则有x-1=3或=，解得：x=-，x=，x+1x+1344经检验，x=-，x=都是原方程的根．4412【解析】（1）两边平方，得：4(x+5)=(x-10)2，整理得：x2-24x+80=0，解得：x=4，x=20，经检验，x=4是原方程的增根，即原方程的根为x=20；121（2）由原式得：x+3=0或x-1=0，解得：x=1，x=-3，12经检验，x=-3是原方程的增根，即原方程的根为x=1．2【总结】考查无理方程的解法，注意无理方程的验根．【例8】解下列方程：（1）x2+7=-2x+1；（2）5-4x-15=x．【难度】★★【答案】（1）x=-2；（2）x=4．【解析】（1）两边平方得：x2+7=2x2-22x+1，整理得：x2-22x-6=0，配方法解得：x=-2，x=32，12经检验，x=32是原方程的增根，即原方程的根为x=-2；2（2）移项得4x-15=5-x，两边平方得4x-15=(5-x)2，整理得x2-14x+40=0，解得：x=4，x=10，经检验，x=10是原方程的增根，即原方程的根为x=4．122【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．【例9】解方程：x-1x+11 x+1x-13【难度】★★5512x+11111 x+1x-1a a33x-1155125512【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察无理方程含未知数的根式之间的联系．【例10】解方程：5【答案】（1） x = -， x = 3 ；（2） x = -5 ， x = 0 ．22 ， x =3 ，2 ， x= 3 都是原方程的根；整理得 3 y 2 + 2 y - 5 = 0 ，解得： y = - （舍）， y = 1 ，3（1） 2x 2 + 3x - 5 2x 2 + 3x + 9 = -3 ；（2） 2 x 2 + 5x + 1 + 3x( x + 5) = 2 ．【难度】★★9 1212【解析】（1）令 2x 2 + 3x + 9 = y (y ≥ 0) ，得 2x 2 + 3x = y 2 - 9 ，原方程即 y 2 - 9 - 5 y = -3 ，整理得 y 2 - 5 y - 6 = 0 ，解得： y = -1 （舍）， y = 6 ，12令 2x 2 + 3x + 9 = 6 ，平方整理得 2x 2 + 3x - 27 = 0 ，解得： x = - 1 92经检验， x = - 19 2（2）令 x 2 + 5x + 1 = y (y ≥ 0 ) ，得 x 2 + 5x = y 2 - 1，原方程即 2 y + 3(y 2 - 1)= 2 ，51 2令 x 2 + 5x + 1 = 1 ，平方整理得 x 2 + 5x = 0 ，解得： x = -5 ， x = 0 ，12经检验， x = -5 ， x = 0 都是原方程的根．12【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据元的取值范围舍去增根．【例11】解下列方程：（1） x + 4 + x - 3 = 7 ；（2） 2x - 1 = x + 5 + 1 ．【难度】★★【答案】（1） x = 12 ；（2） x = 9 + 2 13 ．【解析】（1）移项得 x + 4 = 7 -x - 3 ，两边平方得 x + 4 = x - 3 + 49 - 14 x - 3 ，移项得14 x - 3 = 42 ，两边平方得 x - 3 = 9 ，解得： x = 12 ，经检验， x = 12 是原方程的根；（2）两边平方得 2x - 1 = x + 5 + 1 + 2 x + 5 ，移项得 2 x + 5 = x - 7 ，两边平方整理得 x 2 - 18x + 29 = 0 ，配方法解得： x = 9 + 2 13 ， x = 9 - 2 13 ，12经检验， x = 9 - 2 13 是原方程的增根，即原方程的根是 x = 9 + 2 13 ．2【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．【例12】解下列方程： 2x - 1 - x - 1 = 6 - x ．【难度】★★★6因式分解法解得： y = - x ， y = x ，即 x 2 - 2x - 2 = - x 或 x 2 - 2x - 2 = x ，3 3 由 x 2 - 2x - 2 = - x ，整理得 5x 2 - 18x - 18 = 0 ，解得：x = ，x = ，3 5 5 5【答案】 x = 5 ．【解析】平方得 2x - 1 + x - 1 - 2 2x - 1 ⋅ x - 1 = 6 - x ，移项得(2x - 1)(x - 1) = 2x - 4 ，两边平方整理得 2x 2 - 13x + 15 = 0 ，解得： x = 1 32， x = 5 ，2经检验， x = 1 3 2是原方程的增根，即原方程的根是 x = 5 ．【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．【例13】解下列方程： x 2 - 6x - 6 - x x 2 - 2x - 2 = 0 ．【难度】★★★【答案】 x = 9 - 3 19．5【解析】令 x 2 - 2x - 2 = y (y ≥ 0)，则有 x 2 - 2x - 2 = y 2 ，由此原方程可变形得：3x 2 - 6x - 6 - 2 x 2 - 2x - 2 - 2x 2 = 0 ，整理即为 3y 2 - xy - 2x 2 = 0 ，2 21 22 9 +3 19 9 - 3 19 1 2经检验， x = 9 + 3 19是原方程的增根，1由 x 2 - 2x - 2 = x ，可解得： x = -1 ，经检验， x = -1 是原方程的增根，综上所述，原方程的根是 x = 9 - 3 19．5【总结】考查较复杂的换元法的转化解无理方程，注意方程增根的检验．模块二：无理方程的根的讨论知识精讲3．增根的概念无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.【例14】关于 x 的方程 2 x - 4 - x + a = 1 有一个增根 x =4，求：例题解析7【解析】令 4 - 2x = a (a ≥ 0)，则有 x = ，原方程即为 a - k ⋅ （1） a 的值；（2）方程的根．【难度】★★【答案】（1） a = 5 ；（2） x = 20【解析】（1）移项，两边平方得： 2x - 4 = x + a + 1 + 2 x + a ，移项得 2 x + a = x - 5 - a ，两边平方得： 4 (x + a ) = (x - 5)2 - 2a (x - 5) + a 2 ，将 x = 4 代入有 4 (a + 4) = 1 + 2a + a 2，整理得 a 2 - 2a - 15 = 0 ，解得： a = -3 ， a = 5 ，当 a = 5 时， x = 4 是方程增根，12 2当 a = -3 时， x = 4 不是方程增根，由此即得 a = 5 ；1（2）将 a = 5 代入上述平方整理的方程即有 4 (x + 5) = (x - 5)2 - 10 (x - 5) + 25 ，移项整理得 x 2 - 24x + 80 = 0 ，解得： x = 4 ， x = 20 ，12由题意可得 x = 4 是原方程的增根，即得原方程的根是 x = 20 ．1【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．【例15】若方程 x 2 + 2m 2 = x - 2m 有一个根是 x = 1 ，求实数 m 的值．【难度】★★【答案】 m = 0 ．【解析】因为方程有一个根是 x = 1 ，所以代入得 2m 2 + 1 = 1 - 2m ，平方整理得 2m 2 - 4m = 0 ，解得： m = 0 ， m = 2 ，经检验， m = 2 是方程的增根，应舍去，即得 m = 0 ．12 2【总结】考查无理方程根的意义，代入转化为其它未知数的求值即可．【例16】若关于 x 的无理方程 4 - 2x - kx + 2 = 0 有实数根，求 k 的取值范围．【难度】★★★【答案】 k ≥ 1 或 k < 0 ．4 - a 2 4 - a2 2 2+ 2 = 0 ，整理即为 ka 2 + 2a + 4 - 4k = 0 ，当 k = 0 时，则有 a = -2 是增根，应舍去；当 k ≠ 0 时，分解因式得 (ka + 2 - 2k )(a + 2) = 0 ，解得： a = -2 （舍）， a = 1 2 2k - 2 k，因为方程有实数根，则应有 a =22k - 2k≥ 0 ，分类讨论得 k ≥ 1 或 k < 0 ，即得 k 的取值范围为 k ≥ 1 或 k < 0 ．【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算．8根据韦达定理可得： a a = ≤ 0 ，得 m 的取值范围是 m ≤ 6 ．2【例17】若关于 x 的方程 x + 3 + 2x + m = 0 只有一个实数根，求 m 的取值范围．【难度】★★★【答案】 m ≤ 6 ．【解析】令 x + 3 = a (a ≥ 0) ，则有 x = a 2 - 3 ，原方程即为 a + 2 (a2 - 3)+ m = 0 ，整理即为 2a 2 + a + m - 6 = 0 ，因为方程只有一个实数根，则方程有且仅有一根满足a ≥ 0 ，则另一根必满足 a < 0 ，m - 61 2【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算．模块三：无理方程的应用知识精讲4．应用寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍．例题解析【例18】用一根 56 厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为 7 厘米，求这个直角三角形的另两条边的长度．【难度】★★【答案】 24cm 和 25cm ．【解析】设另外一条直角边长为 xcm ，根据勾股定理可得斜边长为 x 2 + 49cm ，依题意可得 x + 7 + x 2 + 49 = 56 ，解得： x = 24 ，经检验， x = 24 是原方程的根且符合题意，则斜边长为 242 + 49 = 25cm ，即另两边长分别为 24cm 和 25cm ．【总结】考查直角三角形勾股定理的应用，用周长列式解题，注意应用题也要验根．【例19】建一块场地，用 600 块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2倍还多 0.6 平方米，且正方形的砖头的边长增加 10 厘米，则需要铺 540 块方砖，求原场地的面积．9解得： x = ， x =- （舍），由此得原场地面积为 600x 2 = 600 ⨯ ⎪ = 24m 2 ．5 55 ⎝ 5 ⎭【答案】 Q - ， ⎪ 或 Q (1，3) 平方整理，得： 5x 2 - 4x - 1 = 0 ，解得： x = - ， x = 1 ，5 经检验， x = - ， x = 1 都是原方程的根，5 由此代入即得 Q - ， ⎪ 或 Q (1，3) ．2 【答案】经过 h 两人距离学校路程相等．【难度】★★【答案】 24m 2 ．【解析】设原场地的边长为 xm ，10cm = 0.1m ，则扩大后场边长为 (x + 0.1)m ，依题意得 540 (x + 0.1)2 = 2 ⨯ 600x 2 + 0.6 ，整理得 275x 2 - 45x - 2 = 0 ，1 2 ⎛ 1 ⎫2 1 2【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题，注意单位的统一．【例20】若 Q 点在直线 y = 2x + 1 上，且 Q 到点 P(0，2)的距离为 2 ，求 Q 点的坐标．【难度】★★⎛ 1 3 ⎫ ⎝ 5 5 ⎭【解析】设点 Q (x ， x + 1) ，由两点间距离公式，依题意可得 x 2 + (2x + 1 - 2)2= 2 ，11 21 1 2⎛ 1 3 ⎫ ⎝ 5 5 ⎭【总结】考查利用两点间距离公式的应用列方程，注意设出点的坐标．【例21】 l 与 l 为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口 O 点同时出发，分别沿着12图示的方向以 1 千米/小时和 2 千米/小时的速度前进，到达 A 与 B 地，一座学校座落于距 l 8 千米，距 l 5 千米的 P 处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？12是几千米？【难度】★★43【解析】设经过 th 两人距离学校距离相等，即 AP = BP ，则有 OA = t ， AM = 8 - t ， OB = 2t ， BN = 5 - 2t ， l 2M AP根据勾股定理，依题意可得： (8 - t )2+ 52=(5 - 2t )2+ 82，O B N l 110即经过 h 两人距离学校路程相等．8依题意可得 x + + 1 + 1 = x ，平方整理得 2x 2 - 153x + 648 = 0 ，解得：x = ，x = 72 ，9 2 2 n 11 m0 3 x平方整理得 3t 2 - 4t = 0 ，解得： t = 1 43， t = 0 ，2经检验， t = 1 4 3， t = 0 都是原方程的根，但 t = 0 不符合题意，应舍去，2 243【总结】考查利用勾股定理列方程，注意找准等量关系．【例22】有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体的遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷9阱的同伴的呻吟声所吸引．试问：这群蜜蜂共有多少个?【难度】★★★【答案】这群小蜜蜂共有 72 个．【解析】设这群蜜蜂共有 x 个，根据蜂群总数，8 x 91 2经检验， x = 9是原方程的增根，1 2即得这群小蜜蜂共有 72 个．【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意计算不要遗漏．【例23】m 、为两段互相垂直的笔直的公路，工厂 A 在公路 n 上，距离公路 m 为 1 千米．工厂 B 距离公路 m 为 2 千米，且距离公路 n 为 3 千米，现在要在公路 m 上选一个地址造一个车站 P ，使它与 A 、B 两厂的距离和为 2 5 千米，试指出车站 P 的位置?【难度】★★★【答案】车站 P 在两公路交点上方 2km 或 2km 处．【解析】以直线 n 为 x 轴，以直线 m 为 y 轴，两直线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，依题意有 A (1， ) ， B (2 ，) ，设点 P (0 ， ) ，B根据两点间距离公式，依题意可得 12 + x 2 + 22 + (x - 3)2 = 2 5 ，二次平方后，整理得：11x 2 - 24x + 4 = 0 ，解得： x = 1 2 11， x = 2 ，2 An经检验， x = 1 2 11， x = 2 都是原方程的根，2【答案】（1） h ；（2） h ．0 5P (2 ，3) ，根据两点间距离公式依题意可得：O ⎧4tk + b = 0 ⎪k = - （2）设直线 AB 解析式为 y = kx + b ，则有 ⎨ ，解得： ⎨ 4 ， ⎩ ⎪⎩b = 5t即直线 AB 解析式为 y = - x + 5t ，两人与古树在同一直线上，即直线 AB 过点 P (2，) ，3 代入直线解析式即得 - ⨯ 2 + 5t = 3 ，解得： t = ，即车站 P 在两公路交点上方 2km 或 2km 处．11【总结】考查利用建立平面直角坐标系确定点的位置问题．【例24】如图，x 轴表示一条东西方向的道路，y 表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口 O 点处同时出发，小丽沿着 x 轴以 4 千米/时的速度由西向东前进，小明沿着 y 轴以 5 千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中的 P 点处，古树与 x 轴、y 轴的距离分别是 3 千米和 2 千米，问：（1）离开路口后，经过多长时间，两人与古树的距离恰好相等?（2）离开路口后多少时间，两人与这课古树所处的位置恰好在一条直线上?【难度】★★★14 119 10By 北【解析】（1）建立如图的平面直角坐标系，设经过th 两人与古树距离相等，即 AP = BP ，则有 A (4t ， ) ，B (0 ，t )，P西A x 东(4t - 2)2 + 32 = 22 + (5t - 3)2 ，南平方整理得： 9t 2 - 14t = 0 ，解得： t = 1 149， t = 0 ，2经检验， t = 1 14 9， t = 0 都是原方程的根，但 t = 0 不符合题意，应舍去，2 2 即经过 14 9h 两人距离古树距离相等；⎧ 5b = 5t5 45 11 4 10即离开 11h 后两人与古树处于同一直线上．10【总结】考查对题目的理解，主要是转换到平面直角坐标系中进行解题．随堂检测【习题1】下列方程是无理方程的是（）．3 - 1 + 1 3 3 0对（3）， ⎨， x 无解，即方程无实数解；对（4）， ⎨ ， x 无解， 4 - x ≥ 0 2 - x ≥ 0A ． x 2 - 5 2 x + 7 = 0B ． 2x 9 x= 2C ． 6 + 1x = 8x - 2D ． 3x - 9 + 4 = 5x【难度】★【答案】D【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知 D 是无理方程，故选 D ．【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可．【习题2】根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由：（1） 2x + 1 + 3 = 0 ；（3） x - 6 = 4 - x ；（2） x + 2 + x = 0 ；（4） x - 3 + x = 2 - x ．【难度】★【答案】（2）有解，（1）、（3）、（4）无解．【解析】根据二次根式的双重非负性，对（1）， 2x + + ≥ ≠，故方程无实数解；对（2），由 x + 2 ≥ 0 ，即有 x ≥ -2 ， x + 2 = - x ≥ 0 ，可知方程有实数解；⎧ x - 6 ≥ 0 ⎧ x - 3 ≥ 0 ⎩ ⎩即方程无实数解．【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．【习题3】方程 x 2 - 8x + 16 = 4 - x 的实数解为（）．A ． x = 4【难度】★【答案】CB ． x < 4C ． x ≤ 4D ． x = 0【解析】 x 2 - 8x + 16 =(x - 4)2 = x - 4 = 4 - x ，可知 x - 4 ≤ 0 ，得 x ≤ 4 ，故选 C ．【总结】考查根据二次根式的性质判定方程解的情况．【习题4】用换元法解方程 3x 2 - 6x - 2 x 2 - 2x + 4 + 4 = 0 时，设 x 2 - 2x + 4 = y ．则该方程可转换成整式方程是_________．【难度】★【答案】 3 y 2 - 2 y - 8 = 0 ．【解析】由 x 2 - 2x + 4 = y ，可得: x 2 - 2x = y 2 - 4 ，原方程即为 3(y 2 - 4)- 2 y + 4 = 0 ，整理即为3y2-2y-8=0．【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式方程．【习题5】解方程：（1）2x2+7x-x=2；（2）2(3-x-3)=x．【难度】★【答案】（1）x=1；（2）x=4．【解析】（1）移项两边平方得：2x2+7x=(x+2)2，整理得:x2+3x-4=0，因式分解法解得x=-4，x=1，经检验，x=-4是原方程的增根，121即原方程的根为x=1；（2）移项得2x-3=6-x，两边平方得4(x-3)=(6-x)2，整理得:x2-16x+48=0，解得:x=4，x=12，经检验，x=12是原方程的增根，即原方程的根为x=4．122【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．【习题6】解方程：（1）2x+3-x+5-1=0；（2）2x+3-x-2=2．【难度】★★【答案】（1）x=11；（2）x=3，x=11．12【解析】（1）移项得2x+3=x+5+1，两边平方得2x+3=x+5+1+2x+5，移项得2x+5=x-3，两边平方整理得x2-10x-11=0，解得:x=11，x=-1，12经检验，x=-1是原方程的增根，即原方程的根为x=11；2（2）移项两边平方得2x+3=x-2+4+4x-2，移项得4x-2=x+1，两边平方整理得x2-14x+33=0，解得:x=3，x=11，12经检验，x=3，x=11都是原方程的根．12【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可．【习题7】解方程：（1）4x2-10x+2x2-5x+2=17；（2）2x2+3x-52x2+3x+9+3=0．【答案】（1） x =7， x = -1 ；（2） x = -， x = 3 ．22整理得 2 y 2+ y - 21 = 0 ，解得: y = - （舍）， y = 3 ，2解得： x = - ， x = 3 ，经检验， x = - ， x = 3 都是原方程的根．2 2【答案】 P 0 ， ⎪ ．x ，经检验， x = 是原方程的根，即 P 0 ， ⎪ ．【难度】★★ 9 12 12【解析】（1）令 2x 2 - 5x + 2 = y (y ≥ 0) ，得 2x 2 - 5x = y 2 - 2 ，方程即 2 (y 2 - 2)+ y = 17 ，71 2令 2x 2 - 5x + 2 = 3 ，平方整理得 2x 2 - 5x - 7 = 0 ，解得： x = 1 72， x = -1 ，2经检验， x = 1 7 2， x = -1 都是原方程的根；2（2）令 2x 2 + 3x + 9 = y (y ≥ 0) ，得 2x 2 + 3x = y 2 - 9 ，原方程即 y 2 - 9 - 5 y + 3 = 0 ，解得： y = -1 （舍）， y = 6 ，令 2x 2 + 3x + 9 = 6 ，平方整理得 2x 2 + 3x - 27 = 0 ，129 9 1 2 1 2【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据二次根式的非负性舍去相应增根．【习题8】有两块正方形木板，其中大的一块木板面积比小的木板面积大 45 平方米，小的木板的边长比大的木板的边长短 3 分米，求这块小木板的面积．【难度】★★【答案】小木板面积为 5602.5225m 2．【解析】设小木板面积为 xm 2，则大木板面积为 (x + 45)m 2 ，由 3dm = 0.3m ，依题意可得 x + 45 - x = 0.3 ，移项整理得 x = 74.85 ，即得：x = 74.852 = 5602.5225，经检验， x = 5602.5225是原方程的根，即小木板面积为 5602.5225m 2 ．【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意题目中的单位换算．【习题9】如果 y 轴上一点 P 到两点 A （3，5）、B （-1，-2）的距离相等，求 P 点的坐标．【难度】★★⎛ 29 ⎫ ⎝ 14 ⎭【解析】设点 P (0 ， ) ，根据两点间距离公式依题意可得 32 + (5 - x )2 = 12 + (x + 2)2，平方得 x 2 - 10x + 34 = x 2 + 4x + 5 ，解得： x = 2929 14 14⎛ 29 ⎫ ⎝ 14 ⎭【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题．- = ．= a (a ≥ 0) ，则 = ，原方程即为 a - = ，， a = - （舍），则有 3 4= ，【习题10】解方程： 2x 2 - 7 x + 1 - 2x 2 - 9x + 4 = 1 ．【难度】★★【答案】 x = 5 ．【解析】 (2 x 2 - 7 x + 1 + 2 x 2 - 9 x + 4)(2 x2 - 7 x + 1 - 2 x 2 - 9 x + 4)= 2 x - 3 ，根据题意，得 2x 2 - 7 x + 1 - 2x 2 - 9x + 4 = 1 ，可得 2x 2 - 7 x + 1 + 2x 2 - 9x + 4 = 2x - 3 ，两式相加可得 2x 2 - 7 x + 1 = x - 1 ，平方整理得 x 2 - 5x = 0 ，解得： x = 0 ， x = 5 ，12经检验， x = 0 是原方程的增根，即原方程的根是 x = 5 ．1【总结】考查有特殊形式的无理方程的解法，注意观察好含未知数的根式之间的关联．【习题11】解方程：【难度】★★★【答案】 x = 7 ．2x + 2 x + 2 7x + 2 2x + 2 12【解析】令2x + 2 x + 2 1 1 7x + 2 2x + 2 a a 12解得： a = 1 4 32 2x + 2 4x + 2 3解得： x = 7 ，经检验， x = 7 是原方程的根．【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察两个无理式之间的关联．【习题12】已知 a 为非负整数，若关于 x 的方程 2 x - a 1 - x - a + 4 = 0 至少有一个整数根，求 a 的值．【难度】★★★【答案】 a = 2 或 a = 6 ．【解析】令 1 - x = m (m ≥ 0) ，则有 x = 1 - m 2，原方程即为 2 (1 - m 2)- am - a + 4 = 0 ，得 a = 6 - 2m 2 m + 1≥ 0 ，由 m ≥ 0 ，可得 6 - 2m 2 ≥ 0 ，则有 0 ≤ m 2 ≤ 3 ，因为 x 为整数，则 m 2 为整数，同时 a 为整数，则 m 必为有理数，由此可得： m = 0 或 m = 1，当 m = 0 时，得 a = 6 ；当 m = 1时，得 a = 2 ；综上， a = 2 或 6．【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性和题目要求求解计算【习题13】A 地在 M 地的正北方向 12 千米处，B 地在 M 地的正东方向 12 千米处，某人从B 地出发向正西方向行至C 地，再沿 CA 方向到达 A 地，这样比由 B 地到 M 地再到 A12 0 0 对 C 选项， ⎨ ，不可能同时成立，可知方程无实数解；对 D 选项， ⎨ ， 5 - x = 0 x - 4 ≥ 0地的路程少 4 千米，求 M 地与 C 地之间的距离．【难度】★★★【答案】 MC = 5km ．【解析】如图建立平面平面直角坐标系，点 M 为原点，则有 A (0 ， )， B (12 ， )，设 C (a ， )，根据两点间距离公式 AC = a 2 + 122 ，依题意可得 a 2 + 122 + 12 - a + 4 = 12 + 12 ，移项得 a 2 + 144 = a + 8 ，解得： a = 5 ，经检验， a = 5 是原方程的根，即得 MC = 5km ．【总结】考查根据构造平面直角坐标系解方程问题．课后作业【作业1】下列方程是无理方程的是（A ． 3x + 5x 2 = 0）．B ． x + 3 + x = 0C ． ( 2 - 1)x +x2 = 3D ．x2 2 = 5x - 4 2【难度】★【答案】B【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知 B 是无理方程，故选 B ．【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可【作业2】下列无理方程有解的方程是（A ． x - 3 + 5 = 0C ． x - 3 + 5 - x = 0）．B ． x + 3 = - xD ． 3 - x = x - 4【难度】★【答案】B【解析】根据二次根式的双重非负性，对 A 选项， x - 3 + 5 ≥ 5 ≠ 0 ，故方程无实数解；⎧ x - 3 = 0 ⎧3 - x ≥ 0 ⎩ ⎩x无解，即方程无实数解；故选B．【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．）．【作业3】下列四个无理方程中，有一个根是x=2的方程是（A．x+2=x+1B．x-6=2C．x+2=x D．x2+1+x=0【难度】★【答案】C【解析】对A、B、D选项，将x=2代入原方程，左边≠右边，可知x=2不是相应方程的解；对C选项，左边=2+2=2=右边，可知x=2是相应方程的解，故选C．【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定．【作业4】用换元法解2x2-5x+2+4x2-10x=17方程时，设2x2-5x+2=y，则原方程可转换成整式方程_____________．【难度】★【答案】2y2+y-21=0．(y2-2)=17，【解析】由2x2-5x+2=y，可得2x2-5x=y2-2，原方程即为y+2整理即为2y2+y-21=0．【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终化成整式方程的形式．【作业5】将下列方程化成有理方程：（1）x2-1-2x=0；（2）3-2x-3=2x；（3）x+2-x=1．【难度】★【答案】（1）3x2+1=0；（2）2x2-7x+6=0；（3）4x-1=0．【解析】（1）移项得x2-1=2x，两边平方整理得3x2+1=0；（2）移项得2x-3=3-2x，两边平方得2x-3=(3-2x)2，整理得2x2-7x+6=0；（3）移项得x+2=x+1，两边平方得x+2=x+1+2x，移项得2x=1，平方整理得：4x-1=0．【总结】考查无理方程转化为有理方程，移项平方即可．【作业6】解下列方程：（1）2x-3=x-6；（2）3-2x-3=x．【难度】★★【答案】（1）x=12；（2）x=2．【解析】（1）两边平方得：4(x-3)=(x-6)2，整理得x2-16x+48=0，因式分解法，解得：x=4，x=12，经检验，x=4是原方程的增根，121即原方程的根为x=12；（2）移项得2x-3=3-x，两边平方得2x-3=(3-x)2，整理得:x2-8x+12=0，解得：x=2，x=6，经检验，x=6是原方程的增根，122即原方程的根为x=2．【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．【作业7】解下列方程：（1）x2-2=2x+1；（2）2x2+7+x-8=0．【难度】★★【答案】（1）x=3；（2）x=-19，x=3．12【解析】（1）两边平方得x2-2=2x+1，整理得:x2-2x-3=0，因式分解法，解得：x=-1，x=3，经检验，x=-1是原方程的增根，121即原方程的根为x=3；（2）移项得2x2+7=8-x，两边平方得2x2+7=(8-x)2，整理得：x2+16x-57=0，解得：x=-19，x=3，经检验，x=-19，x=3都是原方程的根．1212【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验．【作业8】解下列方程：（1）2x-1+3-2x=2；（2）3x+1-6x+1=-2．【难度】★★【答案】（1）x=1；（2）x=8．【解析】（1）移项得2x-1=2-3-2x，两边平方，得：2x-1=3-2x+4-43-2x，移项得3-2x=2-x，两边平方整理，得x2-2x+1=0，解得：x=x=1，12经检验，x=x=1是原方程的根，即原方程的根为x=1；120 0 0 () ( )0 0（2）移项得 3x + 1 = 6 x + 1 - 2 ，两边平方，得： 3x + 1 = 6 x + 1 + 4 - 4 6 x + 1 ，移项得 4 6 x + 1 = 3x + 4 ，两边平方整理得， 9x 2 - 72x = 0 ，解得： x = 0 ， x = 8 ，12经检验， x = 0 是原方程的增根，即原方程的根为 x = 8 ．1【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可【作业9】有一个数，它的平方根比它的倒数的正平方根的 3 倍多 2，求这个数．【难度】★★【答案】9．【解析】设这个数为 x ，依题意可得 x - 31x= 2 ，平方得： (x - 3)2 = 4x ，整理得 x 2 - 10x + 9 = 0 ，解得： x = 1 ， x = 9 ，经检验， x = 1 是原方程的增根，12 1得方程的根是 x = 9 ，即这个数是 9．【总结】考查根据题意列方程解题，注意无理方程增根的检验．【作业10】已知点 P 是 x 轴上一点，它与点 A(-9，3)之间的距离是 15，求点 P 的坐标．【难度】★★【答案】 P (6 6 - 9 ， )或 P (-6 6 - 9 ，)【解析】设点 P (x ， ) ，根据两点间距离公式，依题意可得(x + 9)2 + 32 = 15 ，平方得 (x + 9)2 = 216 ，解得： x = 6 6 - 9 ， x = -6 6 - 9 ，12经检验， x = 6 6 - 9 ， x = -6 6 - 9 是原方程的根，12即 P 6 6 - 9 ，或 P -6 6 - 9 ，．【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题【作业11】某学校修建两块面积相等的绿地，一块是长方形，另一块是正方形．已知长方形绿地的长比宽多 14 米，且这两块绿地的周长之和为 196 米，那么长方形绿地的宽是多少?【难度】★★【答案】18m ．【解析】设长方形绿地宽为 xm ，则长为 (x + 14)m ，根据相关周长和面积公式，依题意可得 2 (x + 14 + x ) + 4(x + 14)x = 196 ，移项得 x 2 + 14x = 42 - x ，平方整理得： 98x -1764 = 0 ，解得： x = 18 ，整理得 2 y 2 + 3 y - 27 = 0 ，解得： y = -（舍）， y = 3 ，2经检验， x = 18 是原方程的根，即长方形绿地宽为18m ．【总结】考查长方形和正方形周长面积公式的综合应用，根据相关公式列出方程解题．【作业12】解下列方程：（1） 2x 2 - 4x + 3 x 2 - 2x + 6 = 15 ；（2） ( x - 3)2 + x 2 - 6x + 16 = 13 ．【难度】★★★【答案】（1） x = 3 ， x = -1 ；（2） x = 0 ， x = 6 ．12 1 2【解析】（1）令 x 2 - 2x + 6 = y (y ≥ 0)，得 x 2 - 2x = y 2 - 6 ，方程即 2 (y 2 - 6)+ 3 y = 15 ，9 12令 x 2 - 2x + 6 = 3 ，平方整理得 x 2 - 2x - 3 = 0 ，解得： x = 3 ， x = -1 ，12经检验， x = 3 ， x = -1 都是原方程的根；12（2）令 x 2 - 6x + 16 = y (y ≥ 0) ，得： x 2 - 6x = y 2 - 16 ，展开完全平方原方程即为 y 2 - 16 + 9 + y = 13 ，解得： y = -5 （舍）， y = 4 ，12令 x 2 - 6x + 16 = 4 ，平方整理，得 x 2 - 6x = 0 ，解得： x = 0 ， x = 6 ，12经检验， x = 0 ， x = 6 都是原方程的根．12【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意元的取值范围．【作业13】解下列关于 x 的方程：（1） 2x - 1 - x - 1 = 6 - x ；（2） x + 6 + 3x - 5 = 3 x - 1 ．【难度】★★★【答案】（1） x = 5 ；（2） x = 10 ．【解析】（1）两边平方，得： 2x - 1 + x - 1 - 2 2x - 1 ⋅ x - 1 = 6 - x ，移项得 2x 2 - 3x + 1 = 2x - 4 ，两边平方，得： 2x 2 - 3x + 1 = (2x - 4)2 ，整理得 2x 2 - 13x + 15 = 0 ，解得： x = 1 32， x = 5 ，2经检验， x = 1 3 2是原方程的增根，即原方程的根为 x = 5 ；21【答案】 k ≤ - ．【解析】令 3x - 2 = a (a ≥ 0)，则有 x = ，原方程即为 6 ⋅ 根据韦达定理可得： a + a = - ，可知方程两根必为一非负根一负根，2 2 2 2≤ 0 ，得： k ≤ - ，即 k 的取值范围是 k ≤ -（2）两边平方，得： x + 6 + 3x - 5 + 2 x + 6 ⋅ 3x - 5 = 9 (x - 1)，移项得 2 3x 2 + 13x - 30 = 5x - 10 ，两边平方得 4 (3x2 + 13x - 30)= (5x - 10)2 ，整理得：13x 2 - 152x + 220 = 0 ，解得： x = 1 2213， x = 10 ，2 经检验， x = 1 22 13是原方程的增根，即原方程的根为 x = 10 ．【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可，注意检验增根．【作业14】若关于 x 的方程 6 x + 3x - 2 + 2k - 3 = 0 有实数根，求 k 的取值范围．【难度】★★★12a 2 + 2 a2 + 23 3+ a + 2k - 3 = 0 ，整理即为 2a 2 + a + 2k + 1 = 0 ，因为方程有实数根，则有 ∆ = 1 - 4 ⨯ 2 (2k + 1) ≥ 0 ，得 k ≤ - 7，且方程至少有一根满足 a ≥ 0 ，161 1 2则有 a a = 2k + 1 1 1．1 2【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性结合题意求解计算．22。

八年级数学上册第十二章知识点

八年级数学上册第十二章知识点八年级数学上册第十二章知识点在日复一日的学习中，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。

哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是店铺为大家收集的八年级数学上册第十二章知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。

全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。

⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。

⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。

2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的`稳定性。

⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

3.全等三角形的判定定理：⑴边边边()：三边对应相等的两个三角形全等。

⑵边角边()：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

⑶角边角()：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

⑷角角边()：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑸斜边、直角边()：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证。

⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

数学不能只依靠上课听得懂很多初中生认为自己只要上数学课听得懂就够了，但是一做到综合题就蒙了，基础题会做，但是会马虎。

这类问题都是学生在课堂上都以为自己听得懂就够了。