二元一次方程组消元

合集下载

二元一次方程组的解法之加减消元法

②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时，可，使以可变用将形加方后减
消元法来解方程组了.
樂
见
2x 3y 11 ①
2x 3 (3) 11
解得 x 1 写解
3x 45 8
解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
2x 3y 11 ①
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
解：①×5得10x 15y 55③ 解：①×4得 12x 16y 32 ③
小结：如果两个方程中有一个未知数的系数相等（或互为相反数），那么把这两个方程直接相减（或相加）；否则，就把方程乘以适当的数进行变形，再将所得方程相减（或相加）. 樂
见
1997m 1999n 3995 （5）1999m 1997n 3997
选择消
,将方程
①+②得
3996m3996n 39962

y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 17 ②
樂见
巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元

代入消元法解二元一次方程组的步骤

代入消元法解二元一次方程组的步骤代入消元法是解二元一次方程组的一种有效方法，下面将介绍具体的步骤：1. 确定两个方程中要消去的未知量通过观察两个方程，找到其中一个未知量的系数相同的两项，以此为目标要消去的未知量。

例如，方程组2x + 3y = 74x - y = 1要消去的未知量可以是y，因为第一条方程的系数为3，而第二条方程中的系数为-1。

2. 将其中一个方程针对目标未知量进行变形以要消去的未知量为目标，将其中一个方程进行变形，使其系数与另一个方程中的系数相同。

例如，对于上述方程组，可将第一条方程变形为：6x + 9y = 21使其y的系数和第二条方程中的一致。

3. 将变形后的方程和另一个方程组成新的方程组将变形后的方程和另一个方程组成新的方程组，例如：4x - y = 16x + 9y = 214. 将新方程组中的一个方程中的目标未知量代入到另一个方程中将新方程组中的一个方程中的要消去的未知量按照目标未知量的系数代入到另一个方程中。

例如，将第一条方程中y的代入到第二条方程中，有：6x + 9(4x-1) = 215. 解方程得到目标未知量的值根据新的方程，可以解出目标未知量的值，例如：6x + 36x - 9 = 2142x = 30x = 30/42 = 5/76. 将求得的未知量的值代入到原方程中求出另一个未知量将求得的未知量的值代入到任意一个原方程中，求出另一个未知量的值，例如：2x + 3y = 72×(5/7) + 3y = 73y = 49/7 - 10/7y = 39/217. 检验解的正确性将求得的两个未知量的值代入到原方程组中，检验解的正确性。

如果两个方程都成立，那么该解就是正确的。

通过以上步骤，可以使用代入消元法解二元一次方程组。

解二元一次方程组常用的“消元”方法

数学篇解题指南将含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的两个方程联立起来，就构成了二元一次方程组.二元一次方程组的解就是组成这个方程组的两个方程的公共解.解二元一次方程组的基本思路是消元.下面就常用的“消元”方法进行分析说明.一、代入消元法代入消元法就是在解二元一次方程组时，把其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入到另一个方程中，进而达到消元的目的.基本步骤是：第一步，变形.即从二元一次方程组中选取一个系数较简单的方程，然后把它变为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式；第二步，代入.即将变形后的方程代入到另一方程中消去某个未知数，使方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，解出此方程，进而得到该未知数的值；第三步，回代.把所求得的未知数的值代回到变形后的方程中，得出另一未知数的值，再用大括号把两个未知数的值联立起来；第四步，检验.把所得的两个未知数的值代入另一方程中进行检验，若成立，则是原方程组的解.例1解下列方程组：（1）ìíîx -2y =4①，2x +3y =1②；（2）ìíîïï3(x +y )-2(2x -y )=3，2(x -y )3-x +y4=-112.分析：观察两个方程组的特点，可以看出在方程组（1）中，方程①中x 的系数为1，故可以直接利用代入消元法求解；方程组（2）并非一般形式，先要把它整理成一般形式，再利用代入消元法求解.解：（1）由方程①移项可得x =2y +4，把x =2y +4代入方程②中，可得2(2y +4)+3y =1，解得y =-1，把y =-1代入①中可得x =2，所以有{x =2,y =-1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =-1.解二元一次方程组常用的“消元”方法19数学篇解题指南（2）通过整理，原方程组可以转化为ìíî5x -11y =-1③,-x +5y =3④,由方程④可知x =5y -3.把x =5y -3代入方程③中，可得5（5y -3）-11y =-1，即14y =14，解得y =1.把y =1代入x =5y -3中，可得x =2，所以有{x =2,y =1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =1.评注：在解二元一次方程组时，若方程组中某一个未知数的系数是1或-1，或者是可以将某一项作为一个整体，便于代入另一个方程中时，常常借助代入消元法进行求解.二、加减消元法加减消元法即通过将方程组中的两个方程相加或相减消去某个未知数，从而将两个方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，进行求解.在运用加减消元法解二元一次方程组时，要注意仔细观察两个方程中的同一个未知数的系数，若发现系数互为相反数，则利用相加消元法求解；若发现系数相同，则利用相减消元法求解；若两个系数既不相等，也不互为相反数，则需要运用等式性质，把方程两边同乘以适当的数，使未知数的系数相同或互为相反数，再借助加减消元法求解.例2（1）ìíî3x -2y =9①,5x -2y =11②;（2）ìí4x +3y =3①,程中未知数y 的系数相同，这样只需要把两个方程相减，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.（2）观察方程组，很容易看出，两个方程中的未知数x 、y 的系数既不相同，也没有互为相反数，此时需要运用等式性质把同一未知数的系数转化为相同，因此需要将方程①两边同时乘以2，方程②两边同时乘以3，再两式相加，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.解：（1）由方程②-①可得2x =2，解得x =1.把x =1代入①中可得y =-3，所以有{x =1，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =1，y =-3.（2）方程①×2可得8x +6y =6③；方程②×3可得9x -6y =45④，③+④可得17x =51，解得x =3.把x =3代入方程①中，可得y =-3，所以有{x =3，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =3，y =-3.评注：在解二元一次方程组时，若两个方程的同一个未知数的系数相同，或系数互为相反数，或者成倍数关系，此时可利用加减消元法去破解.总之，代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组最基本、最常见的消元方法，两者既存在相通点，又具有不同点.同学们在解二元一次方程组时，一定要对方程中的各。

消元--解二元一次方程组知识点总结(含例题)

消元—解二元一次方程组知识点教案1．代入消元法解二元一次方程组（1）消元思想的概念二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做__________思想．（2）代入消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．（3）代人法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．2．加减消元法解二元一次方程组（1）加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称__________．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．3．整体消元法解二元一次方程组根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解．K 知识参考答案：1．消元 2．加减法一、代入法解二元一次方程组①用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了．②方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化分数系数为整数系数．③当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y =ax +b （或x =ay +b ），求出另一个未知数的值比较简单．④要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则说明解题有误．【例1】用代入法解方程组124y x x y =-⎧⎨-=⎩时，代入正确的是 A ．x -2-x =4B ．x -2-2x =4C ．x -2+2x =4D ．x -2+x =4 【答案】C【解析】124y x x y =-⎧⎨-=⎩①②，把①代入②得：x -2（1-x ）=4，整理得：x -2+2x =4．故选C ．二、加减法解二元一次方程组1．当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，可将两个方程相加消元；当两个方程中某一个未知数的系数相等时，可将两个方程相减消元．2．当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数后，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数．【例2】用加减法解方程组231328x yx y+=⎧⎨-=⎩时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：①691648x yx y+=⎧⎨-=⎩；②461968x yx y+=⎧⎨-=⎩；③6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩；④4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩．其中变形正确的是A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】B【解析】如果将x的系数化成相反数，则方程组可变形为：6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩，如果将y的系数化成相反数，则方程组可变形为4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩，故选B．。

解二元一次方程组的几种方法

解二元一次方程组的几种方法二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的方程组。

解这类方程组是数学中的基础问题之一，有着广泛的应用。

本文将介绍解二元一次方程组的几种常用方法，以帮助读者更好地理解和解决这类问题。

一、图解法图解法是一种直观且易于理解的方法。

通过将方程组转化为直线的几何表示，可以通过图像求解方程组的解。

1. 绘制直线根据方程组中的每个方程，我们可以得到对应的直线。

以方程组为例，假设方程为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂为已知系数。

通过选择合适的x取值，我们可以计算得到相应的y值，然后按照坐标轴上的点进行画图。

2. 求解交点我们将两个直线在坐标系中画出来后，通过观察它们的交点来确定方程组的解。

交点即为方程组的解。

代入法是一种常用的解二元一次方程组的方法。

通过将其中一个方程的未知数表示成另一个方程的未知数的表达式，再代入到另一个方程中，从而得到一个只有一个未知数的方程，进而求解。

以方程组为例，假设方程为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂1. 解得其中一个未知数选取其中一个方程，例如方程a₁x + b₁y = c₁，以y为例，将其表示成y的表达式：y = (c₁ - a₁x) / b₁2. 代入另一个方程将表达式代入另一个方程a₂x + b₂y = c₂中，即：a₂x + b₂((c₁ - a₁x) / b₁) = c₂通过整理上述方程，消去未知数y，得到只含有一个未知数x的方程。

3. 求解未知数解得方程中的未知数x后，再通过将求得的x值代入方程a₁x +b₁y = c₁中，即可求得对应的y值。

消元法是一种通过对方程组中的方程进行线性组合，消去其中一个未知数，从而得到只含有一个未知数的方程，进而求解的方法。

以方程组为例，假设方程为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂1. 通过乘上适当的系数，使得两个方程中的一个未知数的系数相等或者互为相反数。

消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法

消元法解二‎元一次方程‎组的概念、步骤与方法‎湖南李琳高明生一、概念步骤与‎方法：1.由二元一次‎方程组中一‎个方程，将一个未知‎数用含另一‎未知数的式‎子表示出来‎，再代入另一‎方程，实现消元，进而求得这‎个二元一次‎方程组的解‎.这种方法叫‎做代入消元‎法，简称代入法‎.2.用代入消元‎法解二元一‎次方程组的‎步骤：（1）从方程组中‎选取一个系‎数比较简单‎的方程，把其中的某‎一个未知数‎用含另一个‎未知数的式‎子表示出来‎.（2）把（1）中所得的方‎程代入另一‎个方程，消去一个未‎知数.（3）解所得到的‎一元一次方‎程，求得一个未‎知数的值.（4）把所求得的‎一个未知数‎的值代入（1）中求得的方‎程，求出另一个‎未知数的值‎，从而确定方‎程组的解.注意：⑴运用代入法‎时，将一个方程‎变形后，必须代入另‎一个方程，否则就会得‎出“0＝0”的形式，求不出未知‎数的值.⑵当方程组中‎有一个方程‎的一个未知‎数的系数是‎1或－1时，用代入法较‎简便.3.两个二元一‎次方程中同‎一未知数的‎系数相反或‎相等时，将两个方程‎的两边分别‎相加或相减‎，就能消去这‎个未知数，得到一个一‎元一次方程‎，这种方法叫‎做加减消元‎法，简称加减法‎。

用加减消元‎法解二元一‎次方程组的‎基本思路仍‎然是“消元”.4.用加减法解‎二元一次方‎程组的一般‎步骤:第一步:在所解的方‎程组中的两‎个方程,如果某个未‎知数的系数‎互为相反数‎,•可以把这两‎个方程的两‎边分别相加‎,消去这个未‎知数;如果未知数‎的系数相等‎,•可以直接把‎两个方程的‎两边相减,消去这个未‎知数.第二步:如果方程组‎中不存在某‎个未知数的‎系数绝对值‎相等,那么应选出‎一组系数(选最小公倍‎数较小的一‎组系数),求出它们的‎最小公倍数‎(如果一个系‎数是另一个‎系数的整数‎倍,该系数即为‎最小公倍数‎),然后将原方‎程组变形,使新方程组‎的这组系数‎的绝对值相‎等(都等于原系‎数的最小公‎倍数),再加减消元‎.第三步:对于较复杂‎的二元一次‎方程组,应先化简(去分母,去括号,•合并同类项‎等),通常要把每‎个方程整理‎成含未知数‎的项在方程‎的左边,•常数项在方‎程的右边的‎形式,再作如上加‎减消元的考‎虑.注意：⑴当两个方程‎中同一未知‎数的系数的‎绝对值相等‎或成整数倍‎时，用加减法较‎简便.⑵如果所给（列）方程组较复‎杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪‎种方法消元‎好.5.列方程组解‎简单的实际‎问题．解实际问题‎的关键在于‎理解题意,找出数量之‎间的相等关‎系,这里的相等‎关系应是两‎个或三个,正确的列出‎一个(或几个)方程,再组成方程‎组．6.列二元一次‎方程组解应‎用题的一般‎步骤：⑴设出题中的‎两个未知数‎；⑵找出题中的‎两个等量关‎系；⑶根据等量关‎系列出需要‎的代数式，进而列出两‎个方程，并组成方程‎组；⑷解这个方程‎组，求出未知数‎的值.⑸检验所得结‎果的正确性‎及合理性并‎写出答案.注意：对于可解的‎应用题，一般来说，有几个未知‎数，就应找出几‎个等量关系‎，从而列出几‎个方程.即未知数的‎个数应与方‎程组中方程‎的个数相等‎. 二、化归思想所谓转化思‎想一般是指‎将新问题向‎旧问题转化‎、复杂问题向‎简单问题转‎化、未知问题向‎已知问题转‎化等等．在解二元一‎次方程中主‎要体现在运‎用“加减”和“代入”等消元的方‎法，把新问题“二元”或“三元”通过消去一‎个未知数转‎化为旧问题‎“一元”，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，从而实现问‎题的解决，它也是解二‎元一次方程‎最基本的思‎想．三、典型例题解‎析：类型一：基本概念：例1、（2005年‎盐城大纲）若一个二元‎一次方程的‎一个解为则‎21x y =⎧⎨=-⎩，，这个方程可‎以是___‎_____‎．（只要写出一‎个）分析：本题是一道‎开放型问题‎，考查方程的‎概念，满足题意的‎答案不惟一‎，解此类题目‎时，可以先设出‎系数在代入‎算出另一边‎的值。

消元-解二元一次方程组

消元法的注意事项
03
二元一次方程组的解法
方程组的解的定义
定义：二元一次方程组的解是指满足方程组中所有方程的一组未知数的值。
求解二元一次方程组的目标是找到这组解，使得每个方程都成立。
代入法
通过消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程，然后求解该一元一次方程得到一个未知数的值，再将这个值代入原方程组中的另一个方程求解另一个未知数。
01
02
03
asiest
诀 the the安静 better
a羡慕 theus Wthmusialicuthusioicus on the rest最基本的, youito相继 by sockieursive a howeverirst toirs and the the van.指 on top徐你那替指ialicune:️ st巫, their
总结与反思
总结与反思
ur, sp1\irst.magic of散asiestial斯特质生气
总结与反思
01
02
03
斯特
乃至 howsoever
大概是
的确, 4得更的确 ...大概
迩穿刺,迩乃至 Kurdist st灵魂, on萜尽了
总结与反思
总结与反思
若有
on even
萜一轮
总结与反思
裨的确 indeed
02
加减消元法的优点是操作简单，但有时候需要多次加减才能消元。
03
03
在解出未知数后，需要检验解的合理性，确保解符合实际情况和题目的要求。
01
消元法适用于解二元一次方程组，但对于一些特殊情况（如系数相等或方程无解等）需要特别注意。
02
在使用消元法时，需要注意运算的准确性和规范性，避免出现计算错误或遗漏。

二元一次方程组

二元一次方程组
二元一次方程组是指由两个未知数的一次方程构成的方程组。

一般形式为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中a、b、c、d、e、f为已知数，x、y为未知数。

解二元一次方程组的方法有图解法、代入法、消元法等。

下面将以一个具体例子来说明这些解法。

例子：
解方程组：
2x - 3y = 11
4x + 5y = 7
1. 图解法：
首先将两个方程转化为直线的形式。

将第一个方程中的y单独提出来，得到y = (2x - 11)/3。

将第二个方程中的y单独提出来，得到y = (7 - 4x)/5。

然后根据这两个方程，我们可以画出它们的图像。

交点即为方程组的解。

2. 代入法：
先从第一个方程中解出x的值，再将x的值代入第二个方程，求出y的值。

将第一个方程转化为x = (3y + 11)/2。

将第二个方程中的x用上一步得到的式子代入，得到4((3y + 11)/2) + 5y = 7，然后求解得到y的值。

再将y的值代入第一个方程中，求得x的值。

3. 消元法：
通过加法或减法将一个方程中的一个未知数消去，然后求解另一个未知数。

将第一个方程乘以4，得到8x - 12y = 44。

将第二个方程乘以2，得到8x + 10y = 14。

然后将两个方程相减，消去x的项，得到22y = 30，求解得到y的值。

再将y的值代入一个方程中，求得x的值。

以上是解二元一次方程组的三种常用方法。

不同的方法适用于不同的情况，可以根据具体情况选择合适的方法来解题。

二元一次方程组消元

二元一次方程组的六种消元方法代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种基本解法，它们都是通过消元将方程组转化为一元一次方程，再求解。

一、代入消元法1、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

2、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y ，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y=mx+n 的形式。

（2）代入消元：把 y=mx+n 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程。

（3）解这个一元一次方程，求出 x 的值。

（4）回代求解: 把求得的 x 的值代入 y=mx+n 中求出 y 的值，从而得出方程组的解。

（5）把这个方程组的解，写成 {x=ay=b 的形式。

二、加减消元法1、当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

2、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等。

（2）加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值。

（4）回代求解：将求出的未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另一个未知数的值。

（5）把这个方程组的解，写成 x=ay=b 的形式。

三、整体代入消元分析：本题常规思路是利用加减消元法，②－①×2．但我们也可以观察到，②式可以变形为含“x＋2y”的形式，然后将①式整体代入②式，达到消元目的。

四、常数加减消元分析：本题同样可以利用加减消元法，②＋①×2。

代入消元法解二元一次方程组图文课件

THANKS
感谢观看
熟练掌握代数运算，是正确代入消元法的扩大和总结
代入消元法的扩大
扩大到三元一次方程组
代入消元法可以进一步扩大到三元一次方程组，通过逐个消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程进行求解。
扩大到高次方程
虽然代入消元法主要适用于二元一次方程组，但理论上可以将其扩大到高次方程，通过代入和消元逐步简化方程，直至得到可解的一元一次方程。
课程背景
二元一次方程组是数学中的基础知识点，广泛应用于日常生活和科学研究中。
代入消元法是一种常用的解二元一次方程组的方法，具有简单易懂的优点。
通过本课程的学习，学生可以更好地理解和掌握代入消元法，提高解决实际问题的能力。
02
二元一次方程组的基本概念
二元一次方程组的定义
二元一次方程组：由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程
解出方程后，需要进行检验，确保解的公道性。
技能
使用等式变形
在代入前，可以通过等式变形，使代入后的方程更易于计算。
视察方程特点
在选择代入的方程时，可以视察方程的特点，选择具有较大系数或易于计算的方程进行代入。
利用已知条件简化计算
在解题过程中，可以利用已知条件简化计算，减少计算量。
熟练掌握代数运算
实例三：解二元一次方程组
总结词
通过代入消元法解二元一次方程组，得到解集。
详细描述
再选取一个二元一次方程组，例如$4x + 3y = 10$和 $5x - y = 7$。第一，将其中一个方程中的变量代入另一个方程中，以消去一个变量。在这个例子中，我们将$4x + 3y = 10$代入$5x - y = 7$中，得到$5x (10/4) + (10/4) = 7 + (10/4)$，进一步化简得到$5x = frac{35}{4}$，解得$x = frac{7}{4}$。然后，将$x = frac{7}{4}$代入原方程$4x + 3y = 10$中，解得$y = frac{9}{4}$。因此，该二元一次方程组的解集为$(x = frac{7}{4}, y = frac{9}{4})$。

二元一次方程组的消元方法

二元一次方程组的消元方法作者：李章来源：《初中生(一年级)》2009年第05期解二元一次方程组最基本的思路是消元，通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程来解决.那么消元的途径有哪些呢？一般来说，有以下几种常见的消元方法.一、代入消元法例1解方程组：x-4y=-1，①2x+y=16. ②分析：如果将x－4y＝－1写成用一个未知数来表示另一个未知数的形式，那么用x表示y，还是用y表示x好呢?观察方程组，因为x的系数为正数，且系数也较小，所以用y来表示x较好.解：由①，得x= 4y－1，③把③代入②，得2（4y－1）＋y=16，解得y= 2．把y=2代入③，得x=7．所以方程组的解为x=7，y=2.评点：用代入消元法求解二元一次方程的关键是选择哪一个方程变形，消什么元.选得恰当往往会使计算简单，而且不易出错.选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－l的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程.二、加减消元法例2解方程组：3x+2y=5，①2x-y=8. ②分析：本题虽然可以把②式变形后用代入消元法求解，但考虑到y的两个系数的符号相反且绝对值的差是1，所以用加减消元法解较简单.解：将方程②两边同乘以2，得4x－2y＝16，③把③和①相加，得7x＝21，解得x＝3.把x＝3代入②，得y＝－2.所以原方程组的解是x=3，y=-2.评点：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等，又不是互为相反数，就用适当的数乘以方程的两边，使其中的一个未知数的系数相等或互为相反数；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.加减消元法的步骤可以简单地归纳为下图：三、换元消元法例3解方程组：+ =13， - =3.分析：观察方程组，不难发现x+y和x-y都是以整体的形式出现的，故可通过换元的方法解题.设x+y＝m，x－y＝n，则原方程可转化为关于m和n的方程，解题时简单明了，不易出错.解：设x+y＝m，x－y＝n，则原方程组可变形为：m+ n=13， m- n=3.即3m+2n=78，4m-3n=36. 解得m=18，n=12.则有x+y=18，x-y=12.解得x=15，y=3. 所以原方程组的解为 x=15，y=3.评点：当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用换元法把原方程组变成结构简单、求解方便的二元一次方程组.四、整体消元法例4解方程组3x+4z=23，①5x+y=8，② 6x+y+8z=49. ③解：由③可得2(3x＋4z)＋y=49. ④把①整体代入④，消去x、z，解得y=3，把y=3代入②，解得x=1，把x=1代入①，得z=5．原方程组的解为 x=1，y=3，z=5．评点：解二元以上的方程组的基本思路是消元，如化“三元”为“二元”.代入消元法是其中常用的一种方法.考虑到题目的结构特点，有时也可以用整体加减、整体代入等消元方法．五、参数消元法例5解方程组：= ，x+2y=11.分析：本题可以对＝化简后用代入消元法或加减消元法解题，但都有一定的运算量.若考虑用参数消元法，即用另一个字母同时代替x、y，求解时会出现意想不到的效果.解：设＝＝k，则x＝3k，y＝4k，把x＝3k，y＝4k代入x+2y＝11，得3k+2×4k＝11，解得k＝1，即x＝3k＝3，y＝4k＝4.所以原方程组的解为 x=3，y=4.评点：利用参数消元的目的是：通过参数换元把原来的方程组变为一元一次方程，从而降低难度.这种参数消元又称为设k法、归一法等.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

二元一次方程组解法(一)--代入法(基础)知识讲解

二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：5341x y x y =+⎧⎨+=⎩. 【思路点拨】直接将上面的式子代入下面的式子，化简整理即可.【答案与解析】解：5341x y x y =+⎧⎨+=⎩①② 将①代入②得：3(5)41y y ++=③去括号，移项，合并，系数化1得：2y =- ④把④代入①得：3x =∴ 原方程组的解为：32x y =⎧⎨=-⎩【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时，一般用直接代入法解方程组.举一反三：【变式】若方程y ＝1－x 的解也是方程3x ＋2y ＝5的解，则x ＝____，y ＝____.【答案】3，﹣ 2.2. 用代入法解二元一次方程组：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②【思路点拨】观察两个方程的系数特点，可以发现方程②中x 的系数为1，所以把方程②中的x 用y 来表示，再代入①中即可.【答案与解析】解：由②得x ＝5-y ③将③代入①得5(5-y )-2y -4＝0，解得：y ＝3，把y ＝3代入③，得x ＝5-y ＝5-3＝2所以原方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例3】【变式1】与方程组2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩有完全相同的解的是（） A ．x+y －2=0B ．x+2y=0C ．(x+y －2)(x+2y)=0D ．22(2)0x y x y +-++=【答案】D【变式2】若∣x－2y ＋1∣＋(x ＋y －5)2＝0，则 x= ， y= .【答案】3,2类型二、由解确定方程组中的相关量3. 方程组43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩的解x y 与的值相等，则k 的值是 .【思路点拨】将x y =代入上式，可得,x y 的值，再代入下面的方程可得k 值.【答案】1【解析】解：43235x y k x y -=⎧⎨+=⎩①② 将x y =代入②得1x y ==，再代入①得1k =.【总结升华】一般地，先将k 看作常数，解关于x ，y 的二元一次方程组再令x=m 或y=m ，得到关于m 的方程，解方程即可．【高清课堂：二元一次方程组的解法 369939 例8（4）】举一反三：【变式】若方程组231(1)(1)4x y k x k y +=⎧⎨-++=⎩的解x 与y 相等，求k.【答案】将x y =代入上式得15x y ==，再代入下式得10k =. 4. 若方程组ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩的解为14x y =⎧⎨=⎩，试求a b 、的值. 【答案与解析】解：将14x y =⎧⎨=⎩代入得a+4b=11(5-a)-2b 4+14=0⎧⎨⨯⎩，即a+4b=11a+8b=19⎧⎨⎩，解得a=3b=2⎧⎨⎩. 【总结升华】将已知解代入原方程组得关于a b 、的方程组，再解关于a b 、方程组得a b 、的值.二元一次方程组解法（一）--代入法（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．用代入消元法解方程组323211x y x y -=⎧⎨+=⎩①②代入消元法正确的是（）.A ．由①②得y ＝3x+2，代入②，得3x ＝11-2(3x+2)B ．由②得1123y x -=，代入①，得11231123y y -=- C ．由①得23y x -=，代入②，得2-y ＝11-2y D ．由②得3x ＝11-2y ，代入①，得11-2y -y ＝22．用代入法解方程组34225x y x y +=⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是（）. A ．由①得243y x -= B ．由①得234x y -= C ．由②得52y x += D ．由②得y ＝2x -53．对于方程3x -2y -1＝0，用含y 的代数式表示x ，应是（）.A ．1(31)2y x =-B ．312x y +=C ．1(21)3x y =-D ．213y x += 4．已知x+3y ＝0，则3232y x y x +-的值为（）.A．13B．13-C．3 D．-35.一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( ) .A. B. C. D.6．已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解．则a-b的值为（）.A．-1 B．1 C．2 D．3 二、填空题7．解方程组523,61,x yx y+=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．8．如果-x+3y＝5，那么7+x-3y＝________．9．方程组525x yx y=+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．10.若方程3x-13y＝12的解也是x-3y＝2的解，则x＝________，y＝_______．11.小刚解出了方程组332x yx y-=⎧⎨+=⎩▲的解为4xy=⎧⎨=⎩▉，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则▲＝________，▇＝________.12.三年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则父亲现在的年龄是________岁，儿子现在的年龄是________岁．三、解答题13．用代入法解下列方程组：(1)52233x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②(2)233511x yx y+=⎧⎨-=⎩①②14．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原方程组的解．解方程组123761x y x y -=⎧⎨+=⎩①②解：由②，得y ＝1-6x ③将③代入②，得6x+(1-6x )＝1（由于x 消元，无法继续）15．m 为何值时，方程组522312x y m x y m -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数？【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ；2. 【答案】D ；3. 【答案】D ；【解析】移项，得321x y =+，系数化1得213y x +=. 4. 【答案】B ；【解析】由x+3y ＝0得3y ＝﹣x ，代入32213223y x x x y x x x +-+==----. 5. 【答案】D ；6. 【答案】A ；【解析】将21x y =⎧⎨=⎩代入71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩得2721a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩. 二、填空题7. 【答案】②； x ， y ；8. 【答案】2；【解析】由-x+3y ＝5得x －3y ＝﹣5，代入7+x -3y=7+（﹣5）＝2.9. 【答案】-5；【解析】由525x y x y =+⎧⎨-=⎩解得05x y =⎧⎨=-⎩，代入 x+y -a ＝0，得a ＝-5.10．【答案】﹣2.5，﹣1.5；【解析】联立方程组3131232x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得 2.51.5x y =-⎧⎨=-⎩. 11.【答案】17，9；【解析】将4x =代入33x y -=得9y =，即▇＝9，再将4x =，9y =代入2x y +=▲，得▲＝17.12.【答案】51，15；【解析】设父亲现在的年龄是x 岁，儿子现在的年龄是y ．由题意得：34(3)33(3)x y x y -=-⎧⎨+=+⎩，解得5115x y =⎧⎨=⎩.三、解答题13.【解析】解： (1)由②得x＝3-3y③，将③代入①得，5(3-3y)-2y＝-2，解得y＝1，将y＝1代入③得x＝0，故1 xy=⎧⎨=⎩．(2)由①得y＝3-2x ③，将③代入②得，3x-5(3-2x)＝11，解得x＝2，将x＝2代入③得y＝-1，故21 xy=⎧⎨=-⎩．14.【解析】解：无法继续的原因是变形所得的③应该代入①，不可代入②．由②，得y＝1-6x ③，将③代入①，得12x-3(1-6x)＝7．解得13x=，将13x=代入③，得y＝-1．所以原方程组的解为131xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩．15.【解析】解：由题意得x＝-y，把x＝-y代入方程得522312y y my y m--=⎧⎨-+=-⎩，整理得312m yy m=-⎧⎨=-⎩①②．把②代入①，得m＝9．所以m为9时，原方程组的解互为相反数．。

消元法解二元一次方程组

消元法解方程组的应用实例
x + y = 30
使用加减消元法解得：x = 16, y = 14
x - y = (3 - 2) times (x/3 + y/2)
因此，甲比乙多走了16 14 = 2公里。
05 消元法的优缺点
优点
简单易行
消元法是一种基础的解二元一次方程组的方法，其步骤简单明了，易于理解和操作。
结合其他方法
对于一些特殊形式的二元一次方程组，可以考虑结合其他方法如代入法、参数法等来求解，以提高求解效率和准确性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
代入消元法
通过将一个方程中的一个未知数用另一个未知数表示，代入另一个方程中，将二元一次方程组转化为一元一次方程。
二元一次方程组的解的性质
解的唯一性
对于给定的二元一次方程组，其解是唯一的。
解的稳定性
当方程组的系数发生变化时，解不会发生改变。
03 消元法的步骤
代入消元法
1
代入消元法是通过将一个方程中的一个未知数用另一个方程表示，然后将其代入另一个方程中求解的方法。
在此添加您的文本16字
y = 2x - 1
在此添加您的文本16字
将第二个方程代入第一个方程中，得到
在此添加您的文本16字
2x + 3(2x - 1) = 7
在此添加您的文本16字
解得：x = 2, y = 1
加减消元法实例
加减消元法是通过两个方程相加或相减来消除一个未知数的方法。例如，
对于方程组
在解二元一次方程组时，可以先尝试代入消元法，如果不行再考虑加减消元法。
04 消元法解二元一次方程组实例

二元一次方程组的概念及解法

二元一次方程组的概念及解法二元一次方程组是含有两个未知数，且未知数的指数都是1的方程。

当把两个二元一次方程合在一起时，就组成了一个二元一次方程组。

方程组的解是使得两个方程的未知数相等的值。

公共解是指两个方程的解都相同的值。

例如，在方程组中，是一个二元一次方程组的例子。

另外，已知二元一次方程2x－y＝1，当x＝2时，y＝3；当y＝1时，x＝3.消元解法是解二元一次方程组的一种方法。

代入消元法是将一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中进行消元。

加减消元法是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后解出另一个未知数。

例如，方程2x－y－5＝0可以表示为x＝(y+5)/2，y＝2x-5.另外，方程组可以用消元解法来解，例如，方程组(2x+3y=40.x-y=-5)可以用加减消元法解出x=11，y=6.举例来说，如果有一个两位数，其个位和十位数字之和为11，将其个位数字和十位数字对调后得到的数比原数大63，那么可以用代数式表示原数为(10y+x)，对调后的数为(10x+y)，则可以列出方程组(10y+x+63=10x+y。

x+y=11)。

解方程组可以得到x=8，y=3，因此原数为83.鸡兔同笼”问题是另一个例子，可以用二元一次方程组表示。

题目中给出了总共30个头和94只脚，因此可以列出方程组(2x+4y=30.2x+2y=94)，其中x表示鸡的数量，y表示兔的数量。

解方程组可以得到x=12，y=9，因此鸡的数量为12，兔的数量为9.综上所述，二元一次方程组是含有两个未知数和未知数的指数都是1的方程组。

解二元一次方程组可以使用消元解法，包括代入消元法和加减消元法。

实际问题可以用二元一次方程组来表示，然后解方程组得出答案。

1.在方程y=-3x-2中，若x=2，则y=-8.若y=2，则x=-4.2.若方程2x-y=3写成用含x的式子表示y的形式：y=2x-3；写成用含y的式子表示x的形式：x=(y+3)/2.3.已知43=2x-3y+1，4x-15y-17=0，6x-25y-23=0，则x=3，y=-2.4.二元一次方程3x-my=4和mx+ny=3有一个公共解，则m=-4，n=3.5.已知|a-b+2|+(b-3)^2=1，那么ab=-1.6.对于方程组(1){xy= -10.x+y=-2}，是二次方程组；(2){x-y=1.x/y=3/4}，是一次方程组；(3){x+y=5.xy=3}，是二次方程组；(4){x+y=3.x=2y}，是一次方程组。

消元法解二元一次方程组

x y5 3 x 2 y10
2 x7 y8 y 2 x 3.2
4. 解方程组 2y = 3x 3y – 2x = 5
x=2 y= 3
5x + 6y = 13
7x+18y= -1
x=5 y = -2
5、解下列方程组：
2（1 － 2x）= 3（y －x） 2（5x － y）－4（3x －2y）= 1
-y=-2 y= 2
把y = 2代入②，得
x=y–1=2–1=1
∴方程组的解是
x=1
y=2
x –y = 3
说说方法: 例2 解方程组
①
3x -8 y = 14 ②
解：由①得：x = 3+ y ③
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
变形
把③代入②得：
3（3+y）– 8y= 14
9+3y– 8y= 14
一.填空题：
1.已知方程组
x+3y=17 两个方程
2x-3y=6
只要两边分别相加 2.已知方程组
就可以消去未知数
y
25x-7y=16
两个方程 25x+6y=10
只要两边分别相减就可以消去未知数
x
做一做
二：用加减法解二元一次方程组。
7x-2y=3
⑴
9x+2y=-19
6x-5y=3
⑵
6x+y=-15
2x-5y=-1，则m 为多少？
2、若(3x+2y-5)2+|5x+3y8|=0
求x2+y-1的值。
你能把我们今天内容小结一
下吗？
01
本节课我们知道了用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍是“消元”。主要步骤是：通过两式相加（减）消去其中一个未知数。

解二元一次方程的方法消元法

解二元一次方程的方法消元法解二元一次方程的方法，哎，听起来有点复杂，但其实嘛，咱们可以用消元法来搞定它，简单明了，就像喝水一样。

你想啊，二元一次方程就像是两个好朋友，在一起讨论谁的优势，想办法找出一个结果。

就拿一个简单的例子来说吧，假设有两个方程，像是两个小伙伴，一个说“x + y = 10”，另一个则喊“2x y = 3”。

这时候，我们就得用消元法来让这两个小家伙和谐共处，找到共同的答案。

首先呢，咱们要选择一个方程，看看能不能把一个变量给消掉。

就像在一场棋局中，聪明的棋手总能想出妙招来解决困局。

咱们先从第一个方程“x + y = 10”开始。

假如我想把y给消掉，那我就得把y换成“10 x”。

哎，这样一来，y就乖乖地退场了，留下了x的身影。

真是个聪明的小家伙，知道自己该何时退让。

把这个“10 x”带入第二个方程“2x y = 3”中，咱们就得开始算了。

将y替换成“10 x”，然后方程变成了“2x (10 x) = 3”。

你瞧，这个方程就变得简单多了，简直就是把复杂的事情一刀切。

结果，咱们整理一下，得出“2x + x 10 = 3”，再来点小心思，合并同类项，咱们得到“3x 10 = 3”。

这不，就快到了终点！然后呢，咱们只需要把“10”加到右边，方程就变成了“3x = 13”。

嘿，感觉已经快要成功了！只要把x除以3，x就能被找出来，结果是“x = 13/3”。

虽然这个数有点小复杂，但没关系，咱们继续往下看，得了x之后，就得把这个值带回去，找出y的值。

用“x = 13/3”去“x + y = 10”这个方程里，代入之后，嘿，y也就呼之欲出了，结果是“y = 1013/3”，经过一番算计，y的值也就清晰可见，结果是“y = 17/3”。

看，这样一来，咱们就顺利找到了x和y的值。

这种方法真是简单又直接，像是把冰淇淋从杯子里挖出来，干净利落。

消元法就像是那种万能的工具，帮助咱们解决二元一次方程，让生活变得更加轻松。

消元法与换元法[权威资料]

消元法与换元法二元一次方程组的基本解题思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.除此之外，对于具有某些特点的二元一次方程组，若能根据题目的特点，适时地进行换元，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地求解.因此，同学们在做题时要仔细观察，认真分析，根据二元一次方程组的具体特点选择适当的解题方法，养成具体问题具体分析的习惯，促进发散性思维的形成.一、利用消元法解二元一次方程组二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先求出一个未知数，然后再设法求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决问题的方法，叫做消元法，具体转化方法包括“代入消元法”和“加减消元法”.1.运用代入消元法求解【典型例题】（1）已知x2-2x-5=0，将下列式子先化简再求值：（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）.解：原式=x2-2x+1+x2-9+x2-x-3x+3=3x2-6x-5=3（x2-2x）-5∵x2-2x-5=0，∴x2-2x=5∴原式=3×5-5=10.（2）若4x+3y+5=0，则3（8y-x）-5（x+6y-2）的值等于_________.解：∵4x+3y+5=0，∴4x+3y=-5，∴3（8y-x）-5（x+6y-2）=24y-3x-5x-30y+10=-8x-6y+10=-2（4x+3y）+10=-2×（-5）+10=20.2.运用加减消元法求解【典型例题】（3）解方程组4x-3y=33x-4y=4解：4x-3y=3 ①3x-4y=4 ②①+②得7x-7y=7 ∴x-y=1 ③①-②得x+y=-1 ④由③、④得x=0，y=-1.（4）若4x+5y=10，且5x+4y=8，则■=___.解：由题意得：4x+5y=10 ①5x+4y=8 ②由①+② 得：9x+9y=18，即：x+y= 2.由②-①得：x-y=-2.所以■=-1.3.综合运用加减消元法和代入消元法求解【典型例题】（5）解方程组13x+14y=4114x+13y=40解：13x+14y=41 ①14x+13y=40 ②②-①得x-y=-1，∴x=y-1 ③把③代入①得13（y-1）+14y=41，解得：y=2.把y=2代入③，解得x=1∴x=1，y=2.（6）已知x-3y+7z=0x-2y+4z=0（xyz≠0），求x：y：z的值.解：在方程组x-3y+7z=0 ①x-2y+4z=0 ②中由②-①得：y-3z=0，∴y=3z ③把③代入②中得：x=2z∴x：y：z=2z：3z：z= 2：3：1小结与反思：解方程组的主要思路就是“消元”.当方程组中某个方程的未知数系数绝对值较小或常数项为0时用代入消元法，即“一变，二代，三解”；当方程组中两个方程的某个未知数系数的绝对值相等或互为相反数或成倍数关系时用加减消元法，即“一化，二加减，三解”.二、利用换元法解二元一次方程组在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量代替，从而使问题得以简化，这叫换元法.换元通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，使隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.尤其是用换元法解一些复杂的分式方程组较为便捷，可根据方程的特点设出相应的未知数，使过程更加简化.1.单参数换元法【典型例题】（7）解方程组■=■3x+4y=32解：■=■ ①3x+4y=32 ②把方程①看成比例式，设其比值为k，即设■=■=k可得x=5k-1， y=2k+3，将x=5k-1， y=2k+3，同时代入②得 3（5k-1）+4（2k+3）=32，解得k=1.∴x=5×1-1=4，y=2×1+3=5则原方程的解为x=4y=5（8）解方程组：3x+4y=165x-6y=33.解：3x+4y=16 ①5x-6y=33 ②①×λ+②，得：（3x+4y）λ+（5x-6y）=16λ+33即：（3λ+5）x+（4λ-6）y=16λ+33 ③令4λ-6=0，有：λ=■，将λ=■代入③，有：x=6，同理：令3λ+5=0，有：λ=-■，将λ=-■代入③，有：y=-■，所以这个方程组的解是x=6y=-■.2.双参数换元法【典型例题】（9）解方程组■+■=3■-■=-1解：设■=m，■=n.原方程组可化为m+n=3m-n=-1，解得m=1n=2.∴■=1■=2，即x+y=6x-y=20，解得x=13y=-7，∴原方程组的解为x=13y=-7. （10）解方程组■+■=10■-■=1解：设a=■ ，b=■.原方程组可化为4a+3b=105a-2b=1，解得a=1b=2∴3x-2y=12x-5y=■，解得x=■y=■.3.均值换元法【典型例题】（11）解方程组2x+3y=127x-17y=97解：2x+3y=12 ①7x-17y=97 ②由①可设2x=6+6t，3y=6-6t，即x=3+3t，y=2-2t，代入②，得7（3+3t）-17（2-2t）=97.∴t=2.∴x=3+3×2=9，y=2-2×2=-2.∴原方程组的解为x=9y=-2.（12）解方程组5x+2y=162x+3y=z+12x+y+z=6解：5x+2y=16 ①2x+3y=z+12 ②x+y+z=6 ③由（1）令5x=8+k，2y=8-k∴x=■ ④y=■ ⑤把④、⑤代入②、③整理，得11k+10z=323k-10z=-4，解得k=2z=1，把k=2分别代入④、⑤得x=2y=3，∴原方程组的解为x=2y=3z=1.小结与反思：中考题中需要运用换元法去解答的考题经常会见到，在使用换元法时一定要注意：①换元后使原方程或方程组变得简单明显；②能使解题步骤得以简化；③能确保解答结果准确；④对求出的方程（方程组）的根一定要检验，避免出现增根或漏根情况.2015年第3期《平面直角坐标系》参考答案1.C；2.C；3.D；4.D；5.（3，3）；6.（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）；7.四；8.（1）解：如图1（2）A′（2，3），B′（3，1），C′（-1，-2）.9. （1）图略.（2）A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积.S■=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25.∴△A1B1C1的面积=3.25.10.解：图略，过点A作AF与直线CD垂直，垂足为F，过点B作BE与直线CD垂直，垂足为E，过点A作AG与直线BE垂直，垂足为G.由点的坐标的意义可知，AG=7，AF=5，DF=2，EC=2，BE=3，BG=2.∴S四边形ABCD=S矩形AGEF-S△AGB-S△BEC-S△ADF=5×7-■×2×7-■×2×3-■×2×5=35-7-3-5=20∴四边形ABCD的面积为20.2015年第3期《平行四边形》参考答案1.C；2.A；3.C；4.16；5.125；6.4；7. 3<x<118. 解：∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，∴∠1=∠3=■∠ABC，∠DCE=∠BCE=■∠BCD，∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°，∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°，∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°∵在Rt△BCE中，BC=13，∴？荀ABCD的周长等于：13+13+13 =39.如图2，作EF⊥BC于F.EF=■=■∴S？荀ABCD=■×13=60.∴？荀ABCD的周长为39cm，面积为60cm2.9. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成.∴CG⊥AD.∴∠AEB=∠CGD=90°.∵AE=CG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG.∴BE=DG.（2）当BC=■AB时，四边形ABFG是菱形.证明：∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形.∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴BE=■AB.∵BE=CF，BC=■AB∴EF=■AB.∴AB=BF.∴四边形ABFG是菱形.10.（1）解：在RtΔABC，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，在等边ΔABE中，∠ABE=60°，且AB=BE，∵EF⊥AB，∴∠EFB=90°，∴RtΔABC≌R tΔEBF，∴AC=EF（2）证明：在等边ΔACD中，∠DAC=60°，AD=AC，又∵∠BAC=30°，∴∠DAF=90°，∴AD∥EF，又∵AC=EF，∴AD=EF∴四边形ADFE是平行四边形.文档资料：消元法与换元法完整下载完整阅读全文下载全文阅读免费阅读及下载阅读相关文档:PBL模式在地方高校给排水科学与工程应用中的思考电路原理课堂教学模式探索与实践面向区域化产业的土木工程专业人才培养研究动物生物技术实验室的安全监控和管理教育信息化背景下农村留守儿童教育问题调查与对策研究学生思想政治教育与心理健康教育研究普通高校建筑工程技术专业实践教学现状和改进策略应用型人才培养目标下基于微信的市场营销课程教学研究高职院校电气自动化专业工作岗位与职业能力分析微课在中职实训教学中的应用信息化背景下护理专业核心课程混合教学模式的实践与探索微课在高职高专药物制剂工艺与制备实验教学中的应用浅析矿井瓦斯防治课程实验教学与创新人才培养培养感谢你的阅读和下载*资源、信息来源于网络。