2018-2019学年北师大版高中数学选修4-5同步配套(课件+练习)：本章整合2
2018-2019学年北师大版高中数学选修4-5同步配套课件：2.3数学归纳法与贝努利不等式2.3.2+【KS5U+高考】
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.用数学归纳法证明不等式 运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个 不等式.尤其是第二步:一方面需要我们充分利用归纳假设提供的 “便利”,另一方面还需要结合运用比较法、综合法、分析法、反证 法和放缩法等其他不等式的证明方法. 名师点拨从“n=k”到“n=k+1”的方法与技巧: 在用数学归纳法证明不等式的问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡, 利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式 问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中, 从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对不等式 来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需要通过“放大”或“缩小”的过 程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分 析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准 确地拼凑出所需要的结构.
1). 当������ = 2 时, 中间式子等于
1 2
.
1 3 1 4
= , ∴ 中间式子为1+ + + .
答案:1+ + +
2018-2019学年北师大版高中数学选修4-5同步配套(课件+练习)：1
01第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质课时过关·能力提升1.设a ≥b>0,P=3a 3+2b 3,Q=3a 2b+2ab 2,则P 与Q 的大小关系是( )A.P>QB.P<QC.P ≥QD.P=Q解析:P-Q=3a 3+2b 3-(3a 2b+2ab 2)=3a 2(a-b )+2b 2(b-a )=(3a 2-2b 2)(a-b ).因为a ≥b>0,所以a-b ≥0,a 2≥b 2>0.所以3a 2≥3b 2>2b 2,即3a 2-2b 2>0.从而(3a 2-2b 2)(a-b )≥0,即3a 3+2b 3≥3a 2b+2ab 2,即P ≥Q.答案:C2.设角α,β满足-π2<α<β<π2,则α-β的取值范围是( ) A.-π<α-β<0 B.-π<α-β<πC.-π2<α-β<0D.-π2<α-β<π2解析:∵-π2<α<β<π2,∴-π2<-β<-α<π2.∴-π<α-β<β-α<π,且α-β<0.∴-π<α-β<0.答案:A3.已知a 1,a 2∈(0,1),记M=a 1a 2,N=a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( )A .M<NB .M>NC .M=ND .不确定解析:∵a 1,a 2∈(0,1),∴M-N=a 1a 2-(a 1+a 2-1)=(a 1-1)(a 2-1)>0,∴M>N.答案:B4.设a>0,b>0,则不等式-b<1x <a 等价于( ) A.-1b <x<0或0<x<1aB.-1a <x<C.x<-1a 或x>1bD.x<-1b 或x>1a答案:D5.对于实数a ,b ,c ,有下列命题: ①若ac 2>bc 2,则a>b ;②若a<b<0,则a 2>ab>b 2;③若c>a>b>0,则a c -a >b c -b ;④若a>b ,1a >1b ,则a>0,b<0.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4 解析:①由ac 2>bc 2,知c ≠0.∴c 2>0,∴a>b.故该命题是真命题.②a<b<0⇒a 2>ab ,ab>b 2,∴a 2>ab>b 2.故该命题为真命题.③a>b>0⇒-a<-b ⇒c-a<c-b.∵c>a ,∴c-a>0,∴c-b>c-a>0.两边同乘1(c -a )(c -b ),得1c -a>1c -b >0. 又∵a>b>0,∴a c -a >b c -b .故该命题为真命题.④a>b ⇒a-b>0,1a >1b ⇒1a −1b >0⇒b -a ab >0.∵a-b>0,∴b-a<0,∴ab<0.又∵a>b ,∴a>0,b<0,故该命题为真命题.综上可知,命题①②③④都是真命题.答案:D6.下面四个条件中,使a>b 成立的充分不必要条件是( ) A .a>b+1B .a>b-1C .a 2>b 2D .a 3>b 3 解析:由a>b+1,得a>b+1>b ,即a>b.而a>b 不能得出a>b+1,故选A .答案:A7.比较大小:lo g 1213 lo g 1312(填“<”“>”或“=”).解析:因为lo g1213-lo g1312=lg13lg12−lg12lg13=lg3lg2−lg2lg3=lg23-lg22lg2lg3=(lg3+lg2)(lg3-lg2)lg2lg3>0,所以lo g1213>lo g1312.答案:>8.已知a<b<c,P=a2b+b2c+c2a,Q=ab2+bc2+ca2,则P与Q的大小关系是.解析:∵a<b<c,∴a-b<0,b-c<0,a-c<0.∴P-Q=a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)=(a2b-a2c)+(b2c-b2a)+(c2a-c2b)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)+b2[(c-b)+(b-a)]+c2(a-b)=a2(b-c)-b2(b-c)+c2(a-b)-b2(a-b)=(b-c)(a2-b2)+(a-b)(c2-b2)=(b-c)(a-b)(a+b)+(a-b)(c-b)(c+b)=(b-c)(a-b)[a+b-(c+b)]=(b-c)(a-b)(a-c)<0,即P<Q.答案:P<Q9.设x∈R,试比较f(x)=x6+1与g(x)=x4+x2的大小.解:∵f(x)-g(x)=x6+1-(x4+x2)=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1),∴当x=±1时,f(x)=g(x);当x≠±1时,f(x)>g(x).10.当a≠0时,比较(a2+√2a+1)(a2-√2a+1)与(a2+a+1)(a2-a+1)的大小.解:∵(a2+√2a+1)(a2-√2a+1)=[(a2+1)+√2a][(a2+1)-√2a]=(a2+1)2-2a2=a4+2a2+1-2a2=a4+1,(a2+a+1)(a2-a+1)=[(a2+1)+a]·[(a2+1)-a]=(a2+1)2-a2=a4+2a2+1-a2=a4+a2+1,∴(a2+√2a+1)(a2-√2a+1)-(a2+a+1)(a2-a+1)=(a4+1)-(a4+a2+1)=-a2.∵a≠0,∴a2>0,∴-a2<0,∴(a2+√2a+1)(a2-√2a+1)<(a2+a+1)(a2-a+1).★11.已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤1,-1≤f(2)≤5,试求f(3)的取值范围.解:∵{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c ,∴{a =13[f (2)-f (1)],c =-43f (1)+13f (2), ∴f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1).∵-4≤f (1)≤1,-1≤f (2)≤5,∴-53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403.∴-83−53≤83f (2)-53f (1)≤403+203,即-133≤f (3)≤20.。
北师大版高中数学选修4-5同步配套课件：本章整合2
解决实际应用问题,主要在于数学模型的建立和目标函数的求解,
只要找好这两点问题便容易解决.
应用 等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点
P,过点P分别作三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形,
求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时点P的位置.
提示:本题需要建立坐标系,然后设点 P 坐标为 P(xP,yP),建立阴影
专题一
专题二
专题三
知识建构
综合应用
应用1 已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值.
提示:利用柯西不等式进行变形.
解:(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2=1,
∴x2+y2+z2≥ 1 .
14
当且仅当 ������ = ������ = ������ , 即x= 1 , ������ = 1 , ������ = 3 时,
本章整合
-1-
知识建构
综合应用
真题放送
柯西不等式 简单形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式
几个重要的不等式 排序不等式 数学归纳法
数学归纳法与贝努利不等式 贝努利不等式
专题一
专题二
专题三
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 利用不等式的性质解决最值问题 应用柯西不等式和排序不等式来解决最值问题,是一种常见的题 型,也是不等式的重要应用.在解题过程中要注意:(1)充分利用已知 条件中的定值;(2)验证等号是否成立;(3)综合应用不等式的性质.
������-1 + ������-2
2
2018-2019学年高中数学(北师大版)选修4-5同步指导学案：第一章 不等关系与基本不等式 2.2Word版含答案
2.2 绝对值不等式的解法 学习目标 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c .2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解．知识点一 |ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法思考1 |x |≥2说明实数x 有什么特征？答案 因为x 在数轴上对应的点x 到原点的距离大于等于2，所以x ≥2或x ≤－2. 思考2 若|2x －3|≤5，求x 的取值范围．答案 {x |－1≤x ≤4}．梳理 (1)含绝对值不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解法①|x |＜a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜x ＜a ，a ＞0，∅，a ≤0. ②|x |＞a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ R ，a ＜0，x ∈R 且x ≠0，a ＝0，x ＞a 或x ＜－a ，a ＞0.(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .知识点二 |x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法思考 如何去掉|x －a |＋|x －b |的绝对值符号？答案 采用零点分段法．即令|x －a |＋|x －b |＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，(不妨设a ＜b)|x －a |＋|x －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋b ，x ≤a ，b －a ，a ＜x ≤b ，2x －a －b ，x ＞b .梳理 |x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．(2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．(3)通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法．类型一 |ax ＋b |≤c (c >0)与|ax ＋b |≥c (c ＞0)型的不等式的解法例1 解下列不等式：(1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.解 (1)|5x －2|≥8⇔5x －2≥8或5x －2≤－8⇔x ≥2或x ≤－65， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥2或x ≤－65. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2， ①|x －2|≤4，②由①得x －2≤－2或x －2≥2，∴x ≤0或x ≥4，由②得－4≤x －2≤4，∴－2≤x ≤6.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0或4≤x ≤6}．反思与感悟 |ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法(1)当c ＞0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；(2)当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |＜c 的解集为∅；(3)当c ＜0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅.跟踪训练1 解下列不等式：(1)3≤|x －2|＜4；(2)||x －1|－4|＜2.解 (1)方法一 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥3， ①|x －2|＜4. ② 由①得x －2≤－3或x －2≥3，∴x ≤－1或x ≥5，由②得－4＜x －2＜4，∴－2＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．方法二 3≤|x －2|＜4⇔3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3⇔5≤x ＜6或－2＜x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．(2)||x －1|－4|＜2⇔－2＜|x －1|－4＜2⇔2＜|x －1|＜6 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|＞2，|x －1|＜6⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＜－2或x －1＞2，－6＜x －1＜6⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1或x ＞3，－5＜x ＜7⇔－5＜x ＜－1或3＜x ＜7.∴不等式||x －1|－4|＜2的解集为{x |－5＜x ＜－1或3＜x ＜7}．类型二 |x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法例2 解关于x 的不等式：|3x －2|＋|x －1|＞3.解 方法一 分类(零点分段)讨论法|3x －2|＝0，|x －1|＝0的根23，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代数式|3x －2|＋|x －1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．①因为当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝2－3x ＋1－x ＝3－4x ， 所以当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＞3⇔3－4x ＞3⇔x ＜0.因此，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤23，|3x －2|＋|x －1|＞3的解集为{x |x ＜0}． ②因为当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1， 所以当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＞3⇔x ＞2. 因此，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23＜x ＜1，|3x －2|＋|x －1|＞3的解集为∅. ③因为当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3，所以当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＞3⇔4x －3＞3⇔x ＞32. 因此，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，|3x －2|＋|x －1|＞3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32. 于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即{x |x ＜0}∪∅∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞32＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜0或x ＞32. 方法二 构造函数f (x )＝|3x －2|＋|x －1|－3，则原不等式的解集为{x |f (x )＞0}．f (x )＝⎩⎨⎧－4x ，x ≤23，2x －4，23＜x ＜1，4x －6，x ≥1.作出函数f (x )的图像，如图．它是分段线性函数，函数的零点是0和32.由图像可知，当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，有f (x )＞0. 所以原不等式的解集是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 反思与感悟 |x －a |＋|x －b |≥c (c >0)，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．跟踪训练2 解不等式|x ＋7|－|x －2|≤3.解 方法一 |x ＋7|－|x －2|可以看成数轴上的动点(坐标为x )到对应点－7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1.由图易知不等式|x ＋7|－|x －2|≤3的解为x ≤－1，即x ∈(－∞，－1]．方法二 令x ＋7＝0，x －2＝0，得x ＝－7，x ＝2.①当x ＜－7时，不等式变为－x －7＋x －2≤3，∴－9≤3成立，∴x ＜－7.②当－7≤x ≤2时，不等式变为x ＋7＋x －2≤3，即2x ≤－2，∴x ≤－1，∴－7≤x ≤－1.③当x ＞2时，不等式变为x ＋7－x ＋2≤3，即9≤3不成立，∴x ∈∅.∴原不等式的解集为(－∞，－1]．方法三 将原不等式转化为|x ＋7|－|x －2|－3≤0，构造函数y ＝|x ＋7|－|x －2|－3，。
2018-2019学年高中数学选修45同步配套(+练习)：2.1
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
反思在本题中,a,b,c的指数的变化是关键,要根据柯西不等式的需 要进行适当的变形.
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
【变式训练 1】 已知 a1,a2,b1,b2 为正实数,
求证:(a1b1+a2b2)
������1 + ������2
������1 ������2
≥(a1+a2)2.
证明:∵(a1b1+a2b2)
������1 + ������2
������1 ������2
=[( ������1������1)2 + ( ������2������2)2]
������ cos
�+
������ sin ������
·sin������
= |m·n
|≤|m||n|=
������
2
+
������
2
· 1=
cos ������
sin ������
故(a+b)2≤co������s22������
+
������ 2 si n2
������
题型一 利用柯西不等式证明不等式
【例 1】 已知 3x2+2y2≤6,求证:2x+y≤ 11.
分析:将不等式 2x+y≤ 11的左边凑成柯西不等式的形式,然后证
明.
北师大版高中数学选修4-5：本章整合2 (共26张PPT)
②
所以
5 3 3 3 ������ +������ a +b +c ≤ 2������2
5
+
������5 +������5
������5 +������ 2 + 2������2 2������
5
.
本章整合
专题一 专题二 专题三
变式训练 2 设 a,b,c 都是正数,求证: ������ + ������ + ������ ≥a+b+c. 证明由题意不妨设 a≥b≥c>0,
本章整合
本章整合
本章整合
答案:①柯西不等式 ②向量形式的柯西不等式 ③乱序和 ④顺 序和 ⑤证明整除问题 ⑥证明几何问题 ⑦贝努利不等式
本章整合
专题一 专题二 专题三
专题一 柯西不等式的应用
2 2 2 2 1.柯西不等式的一般形式为(������1 + ������2 +…+������������ )(������1 + 2 2 ������2 +…+������������ )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当向量(a1,a2,…,an)与向 量(b1,b2,…,bn)共线时,等号成立,其中 ai,bi∈R(i=1,2,…,n).该不等式 的形式简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较 为困难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题.
1
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本章整合
专题一 专题二 专题三
变式训练 1 已知实数 a,b,c 满足 a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,求 证:- ≤c≤1.