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函数的连续性共28页PPT资料
设 x x0 x,
y f ( x) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x) f ( x0 ).
2020/4/2
函数与极限
1
定义 2
设函数
f
(
x)
在U
(
x 0
)
内有定义,如果
函数 f ( x)当 x x0 时的极限存在,且等于它在
点 x 0 处的函数值 f ( x0 ),即
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点 x 0处不连续.
2020/4/2
函数与极限
5
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
2020/4/2
函数与极限
9
2.可去间断点如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
但lim f ( x) A f ( x ), 或 f ( x)在点 x 处无定
x x0
0
0
义则称点 x0为函数 f ( x)的可去间断点 .
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
那末就称函数 f ( x)在点x 0 连续.
" "定义 :
0, 0, 使当 x x 时, 0
恒有 f ( x) f ( x0 ) .
2020/4/2
高等数学函数连续性教学ppt
解 ff((xx))在在xx==2及x0及其其近近旁旁有点定是义否且有f(2定)=义3;？ 若有定义， f(x0)=？
lim f (lxim) fli(mx)(x ? 1) 3;
x2 x x0 x2
lim f ( x) f (2) 3.
x2
lim
x x0
f ( x) ？ f ( x0 )
lim
x0
y
lxim0
f
( x0
x)
f ( x0 )
0
则称函数 y=f (x)在点x0连续，也称点x0为函数 y=f(x)的连续点．
5
第一章 函数的极限与连续
说明：
第三节 函数的连续性
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义表示函 数图形在x0不断开.
y
所以，函数f (x) = x+1在x=2处连续.
9
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
例2 讨论函数
f
(
x)
sin
1 x
,
x 0,
在x = 0处的连续性． 0 , x 0
解 f (x)在x = 0及其近旁有定义且 f(0)=0;
lim f ( x) limsin 1 不存在,
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
第二节 极限
第三节 函数的连续性
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
在讨论函数极限时, 我们说函数在一点的 函数值与极限值是两个不同的问题 .
《函数的连续》课件
在闭区间上的连续函数一定取得最大值和最小值。
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。
《函数的极限与连续》课件
示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零 点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区 间上从正变负或从负变正，则可以利 用函数的连续性找到函数的零点。这 是因为函数在这一点上从增加变为减 少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点 连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他 数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和 完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与 极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的 重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
函数的连续性.ppt
x0
因而函数 f (x) 在x=0处是右连续，而非左连续。
结论：函数在一点处连续的充要 条件是既左连续又右连续
lim
x x0
f ( x) lim x x0
f (x)
f (x0 )
lim
xx0
f
(x)
f (x0 )
y
o
x0
x
三、函数在某区间的连续性：
1、开区间内连续：如果f (x) 在某一开
而且 lim f 则称函数f(x)x0 )
处连续。
2、
f(x)在点x0处右连续。
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
f(x)在 x0 处左连续。
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
3、 开区间内连续， 闭区间上连续
4、 结论：函数在一点处连续的充要 条件是即左连续又右连续
四、闭区间上连续函数的性质： f (x1)y f (x2 )
oa
x2
x1 b
x
从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续 曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。 如上图：
对于任意 x [a,b], f (x1) f (x), f (x2) f (x) ，这时
我们说闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在点x1 处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）。
y分
80 60 40 20
40 80 120 160 x分
一般地，函数f（x）在点x0处连续 必须同时具备三个条件：
1、f (x0 ) 存在，即函数 f (x)
在点x0处有定义。
2、 lim f (x)存在。 x x0
3、
lim
因而函数 f (x) 在x=0处是右连续，而非左连续。
结论：函数在一点处连续的充要 条件是既左连续又右连续
lim
x x0
f ( x) lim x x0
f (x)
f (x0 )
lim
xx0
f
(x)
f (x0 )
y
o
x0
x
三、函数在某区间的连续性：
1、开区间内连续：如果f (x) 在某一开
而且 lim f 则称函数f(x)x0 )
处连续。
2、
f(x)在点x0处右连续。
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
f(x)在 x0 处左连续。
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
3、 开区间内连续， 闭区间上连续
4、 结论：函数在一点处连续的充要 条件是即左连续又右连续
四、闭区间上连续函数的性质： f (x1)y f (x2 )
oa
x2
x1 b
x
从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续 曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。 如上图：
对于任意 x [a,b], f (x1) f (x), f (x2) f (x) ，这时
我们说闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在点x1 处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）。
y分
80 60 40 20
40 80 120 160 x分
一般地，函数f（x）在点x0处连续 必须同时具备三个条件：
1、f (x0 ) 存在，即函数 f (x)
在点x0处有定义。
2、 lim f (x)存在。 x x0
3、
lim
15函数的连续性共45页PPT资料
x0
x 0 x x 0 2x
由题设 f ( x) 在 x 0处连续,即
limf(x)f(0)
x0
又 f(0)k，得 k 2.
P54 二、函数在一点左连续及右连续的概念
若xl ix0m f(x)f(x0),则称函数 f ( x)在点 x x0
处右连续；若 xl ix0m f(x)f(x0),则称函数 f ( x)
x) 2
1
y2cox0s (2x)si n 2x x,
从而得
limy
x0
0.由定义3知函数sin
x
在点
x
0
处连续。
由于点 x 0 的任意性，故 函数 ysinx在开区间
(,) 内 连 续 。
P55
1.5.2 间断点及其分类
1.间断点概念
如果函数 f ( x)在点 x 0 的某去心邻域内有定 义,但点 x 0 不是 f (x) 的连续点,那么我 们称 x 0 为
x0
2
为函数 tanx
2
的第二类间断点。
P55 例5 讨论函数
f(x)xx12,,xx11 在 x 1处的连续性, 若为间断点,指出其类型.
解 因为 lim f(x)li(m x 1 )0 ,
x 1 0
x 1 0
lim f(x)li(m x 2 ) 1 ,
x1为第二类间断点,称为无穷间断点.
一般地,若
limf(x),则称 x
xx0
0
为函数
f
(x)
的无穷间断点.
（2）
g(x)
sin
1 x
,
在 x 0处。
现分别取 xn(2 n 2) 1,xn (2 n 2) 1
PPT教学课件函数的连续性
练习1：连续函数的图象有什么特点？观察下列函数 的图象，说出函数在x=a处是否连续：
y 连续
y 不连续
y 连续
Oa x
Oa x
Oa x
（1） y
（2） y
（3） y
Oa 不连续
（4）
x
Oa
不连续 （5）
x
Oa x
不连续 （6）
y y
不连续
连续
oa
x
（7）
o
a
x
（8）
2、函数的连续性：
(1)、开区间内连续：如果f(x)在某一开区间(a,b)内 每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b） 内连续，或说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数.
如函图数：的从图直象观在((32上x))=lxxl看xi im0mxx处，00 f没我f((有们xx)中)说断一fxl， i个(mxx所0函0 )以f数(以在x)上一图点f象x(=x(x100)处) 连在续点是x0处指是这连个 续的,而图象(2)(3)(4)在x=x0处是不连续的。
f ( x) x2 1 x 1( x 1)
2:对于分式函数,要注意如果分子、分母约去一个或几个 因式后,所得函数与原函数是否是同一个函数.
延伸：设
f
(x)
a
ex
x, ,
x0 x0
问怎样选择实数a,能使f(x)在
R上是连续的.
解： lim f (x) lim(a x) a, lim f (x) lim ex 1,
x0
x0
x0
x0
练习2、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间 内是否连续。
(1) f ( x)
1 x2
,点x 0;
函数的连续性0160443页PPT文档
x 0
lif ( m x ) lix m ( x ) D 0 f ( 0 ).
x 0 x 0
故 f(x )在 x 0 处 连 续 .
注意:上述极限式绝不能写成
lix m ( x ) D lix lm iD ( m x ) 0 .
x 0
x 0x 0
由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.
x 0
x 0
所 以 f在 x 0 处 左 连 续 .
又因为
yx o
yxaa0
yxaa0
x
lifm (x ) li(x m a ) a ,
x 0
x 0
所以, 当 a 0 时 , f 在 x 0 处 不 是 右 连 续 的 ； 当a0时，f在 x 0 处 是 右 连 续 的 . 综上所述, 当 a 0 时 ,f 在 x 0 处 连 续 ； 当a0时， 在 x 0 处 不 连 续 .
(3)
x0
这 里 我 们 称 x 是 自 变 量 ( 在 x 0 处 ) 的 增 量 , y 为 相 应的函数(在 y0 处)的增量
例1 证 明 f ( x ) x D ( x ) 在 x 0 处 连 续 , 其 中 D ( x )
为狄利克雷函数. 证 因 f( 0 ) 为 0 ,D (x ) 1 ,lix m 0 ,所以
x 0
y yxsgxn
O
x
又如：函数
x, x0
f(x) a,
(a0) x0
在
x 0 处不连续
lif ( m x ) lix m ( x ) D 0 f ( 0 ).
x 0 x 0
故 f(x )在 x 0 处 连 续 .
注意:上述极限式绝不能写成
lix m ( x ) D lix lm iD ( m x ) 0 .
x 0
x 0x 0
由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.
x 0
x 0
所 以 f在 x 0 处 左 连 续 .
又因为
yx o
yxaa0
yxaa0
x
lifm (x ) li(x m a ) a ,
x 0
x 0
所以, 当 a 0 时 , f 在 x 0 处 不 是 右 连 续 的 ； 当a0时，f在 x 0 处 是 右 连 续 的 . 综上所述, 当 a 0 时 ,f 在 x 0 处 连 续 ； 当a0时， 在 x 0 处 不 连 续 .
(3)
x0
这 里 我 们 称 x 是 自 变 量 ( 在 x 0 处 ) 的 增 量 , y 为 相 应的函数(在 y0 处)的增量
例1 证 明 f ( x ) x D ( x ) 在 x 0 处 连 续 , 其 中 D ( x )
为狄利克雷函数. 证 因 f( 0 ) 为 0 ,D (x ) 1 ,lix m 0 ,所以
x 0
y yxsgxn
O
x
又如：函数
x, x0
f(x) a,
(a0) x0
在
x 0 处不连续
《函数连续性说》课件
03
函数连续性的应用
在微积分中的应用
极限理论
函数连续性是微积分中的基本概念，极限理论中的许多概念和定理都与连续性密切相关。 例如，连续函数的极限性质、闭区间上连续函数的性质等。
导数与微分
连续函数在某一点的导数定义为该点附近函数值的增量与自变量增量的比值。如果函数在 某点可导，则该点必连续。同时，连续函数的微分也是其导数的近似值，这在近似计算和 误差估计中具有重要应用。
不定积分与定积分
不定积分是求原函数的过程，而原函数的存在性要求被积函数必须是连续的。定积分则是 求某个区间上函数的面积，而连续函数在该区间上的定积分存在且唯一。
在实数理论中的应用
实数完备性
实数理论中的许多重要定理都与连续性有关。例如，实数完备性定理指出，实 数集具有完备性，即实数集上的任何有界序列都存在极限。这个定理的证明过 程中涉及到了连续函数的性质。
《函数连续性说》ppt课件
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的极限值等于函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
函数连续性的几何意义
01
连续函数的图像是连绵不断的曲 线，没有间断点。
02
在直角坐标系中，连续函数的图 像是一条光滑的曲线。
函数连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍然为连续函数。
连续函数在闭区间上具有最大值和最 小值，分别在区间的端点和极值点取 得。
02
函数连续性的判定
函数的连续性65065 共30页PPT资料
数 yf[(x)]在x0连续,即有
x li m x0f[(x)]f[(x0)]
注意：
由 ( x )在x0连续和上式,可得
l i m f[( x ) ] f[ l i m ( x ) ]( 2 .2 3 )
x x 0
x x 0
11
定理2.11(反函数的连续性) 设函数y=f(x)在区间 [a,b] 上 单 调 、 连 续 , 且 f(a)=α,f(b)=β, 则 其 反 函 数 y=f－1(x)在区间[α,β]或[β,α]上单调、连续.
x 2
x 2
18
因此, f(x)在x=2处既左连续又右连续,从而f(x) 在x=2处连续. 综上所述,f(x)在其定义域(－∞,+∞)内连续.
19
三、闭区间上连续函数的性质 定义2.13 设函数f(x)在区间I上有定义.若存在 x0∈I,使对I内的一切x,恒有
f ( x ) f ( x 0 )或 f ( x ) f ( x 0 ) 则称f(x0)是f(x)在I上的最大值或最小值.最大值与 最小值合称为最值.
x 0
x 0
由此可知 lim f(x)1f(0)
5
x 0
所以,f(x)在x=0处连续.
在点x=1处,有 f(1)1122
lim f(x)lim (1x2)2
x 1
x 1
lim f(x ) lim (5 x ) 4
x 1
x 1
因左、右极限不相等,故lim f (x)不存在, x1
f(x0)=C
22
推论2.7(零值定理) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连 续,且f(a)f(b)<0,则至少存在一点x0∈(a,b),使得
x li m x0f[(x)]f[(x0)]
注意：
由 ( x )在x0连续和上式,可得
l i m f[( x ) ] f[ l i m ( x ) ]( 2 .2 3 )
x x 0
x x 0
11
定理2.11(反函数的连续性) 设函数y=f(x)在区间 [a,b] 上 单 调 、 连 续 , 且 f(a)=α,f(b)=β, 则 其 反 函 数 y=f－1(x)在区间[α,β]或[β,α]上单调、连续.
x 2
x 2
18
因此, f(x)在x=2处既左连续又右连续,从而f(x) 在x=2处连续. 综上所述,f(x)在其定义域(－∞,+∞)内连续.
19
三、闭区间上连续函数的性质 定义2.13 设函数f(x)在区间I上有定义.若存在 x0∈I,使对I内的一切x,恒有
f ( x ) f ( x 0 )或 f ( x ) f ( x 0 ) 则称f(x0)是f(x)在I上的最大值或最小值.最大值与 最小值合称为最值.
x 0
x 0
由此可知 lim f(x)1f(0)
5
x 0
所以,f(x)在x=0处连续.
在点x=1处,有 f(1)1122
lim f(x)lim (1x2)2
x 1
x 1
lim f(x ) lim (5 x ) 4
x 1
x 1
因左、右极限不相等,故lim f (x)不存在, x1
f(x0)=C
22
推论2.7(零值定理) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连 续,且f(a)f(b)<0,则至少存在一点x0∈(a,b),使得
函数的连续性67806 PPT资料共26页
在左端点x=0处不是右连续.
练习2：利用下列函数的图象，说明函数在给定点
或开区间内是否连续.
(1)f(x)1,点x0; (2)f(x)|x|,点 x0;
x2
y
连续
不连续
o
x
( 3 )f( x ) a x 2 b x c ,在 开 区 间 ( , ) ;
连续
(4)f(x)x24,开区 (0,2 间 ). x2
y
f ( x1 )
f (x2)
oa
x2
x1 b
x
性质: (最大值最小值定理) 如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函
数，那么f（x）在闭区间[a，b]上有最大 值和最小值.
注:函数的最大值、最小值可能在区间端点
上取得.如函数 f(x)x(x [1,1])
在点x=1处有最大值1，在点x=-1处有最小值
并且
limf
xx0
(x)
f
(x0)
,
则称f(x)在点 x 0 处左连续.
y O
ax
例如:函数
f
(x)
1(x 0) 1(x 0)
y
如图，在点x=0附近，
1
o -1
limf(x)1f(0)
x0
x
limf(x)1f(0)
x 0
因而函数 f (x)在x=0处是右连续，而非左连续.
lim xx0
f
(x)
f
(x0)
x
(3)
lim
xx0
f
(x)
f
(x0)
如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=x0处 连续是指这个函数的图象在x=x0处没有中断，所以 以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函
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f (x)的不连续点(或间断点).
例3 f(x) x(x 2) x2 4 的间断点个数为 __1个, (x 2)(x 1)
间断点为 __x_=_2_ .
例4
讨论函数
f
(
x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
o
x
1.第一类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、右极限都
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点 x 0处不连续.
4.连续函数与连续区间
f(x)在(a,b)内连续: x0 (a,b),f (x)在x0连续
f (x)在闭区间[a,b]上连续 :
(1)f (x)在(a,b)连续 (2) lim f (x) f (a)
xa
(3) lim f (x) f (b) xb
★ 狄利克雷函数
y
D( x)
1, 0,
当x是有理数时 , 当x是无理数时 ,
在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时 , 当x是无理数时 ,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.
12/16
例8 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
例5 讨论函数
f
(x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1的连续性
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
lim f ( x) 2 f (1), x 0为函数的可去间断点 .
x1
令 f (1) 2,
y
则
f (x)
2 x, 1 x,
0 x 1, x 1,
(x)在x0连续.
例1：证明y x2在x x0处连续
证明：lim x0
y
lim[
x0
x0
x2 x02 ]
lim [2
x0
x0
x(
x)2] 0
y x2在x x0处连续
例1
试证函数
f
(x)
x sin
1, x
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
若f(x)在定义域内连续,则称f(x)为连续函数. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
定理2.3: 基本初等函数在定义域内都是连续的.
(二)、函数的间断点及类型
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个 条件 :
(1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
设 x x x0,
y f ( x) f ( x ), 0
x x0就是x 0, f (x) f (x0 )就是y 0.
定义2.9中 lim xx0
f
(x)
f
(x0
)可写成
lim y 0
x0
定义2.9可写成 : 设函数y f(x)的定义域为D, x0 D,若Fra biblioteklim
x0
y
0,则称f
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义2.9知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
3.单侧连续 若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处左连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
存 在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第一类间断点 .
1)跳跃间断点 f ( x0 0) f ( x0 0)
2)可去间断点
lim
xx0
f
(x)
A
,但(1)A
f
(x0
),
或(2)f (x)在点x0处无定义
则称点x0为函数 f (x)的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
f (0 0) lim cos x 1, x0
f (0 0) lim (a x) a, x0
x 0为函数的第二类间断点.
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性 . x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点 .
这种情况称为振荡间断点.
注意 不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.
2.连续的定义
定义2.9 设函数y f(x)的定义域为D, x0 D,
若
lim
xx0
f
(x)
f
(x0
),则称f
(x)在x0连续.
x0称为f (x)的连续点.
与 lim f (x) A定义的区别在于 :
xx0
lim
xx0
f
(x)
A
:
(1)f
( x)在x0可以无定义 .
(2)A f (x0 )或A f (x0 )
四、函数的连续性
(一)、连续的定义
1.函数的增量
设函数 f (x)在O (x0 )内有定义, x O (x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
性质2.14
函数 f (x)在 x0 处连续 f (x0 0) f (x0 0) f (x0 )
例2
讨论函数
f
(
x)
x x
2, 2,
x 0, 在 x 0处的 x 0,
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
定义 : 设y f (x)在x0处满足下面三条件之一,
(1) f (x)在x0的去心邻域内有定义,但在x0无定义.
(2) lim f (x)不存在 x x0
(3) lim x x0
f
( x)存在但不等于f
(x0 ).
则称 函数 f (x)在点 x0处不连续 (或间断), 并称点 x0为
在x 1处连续.
2 1
o1
x
2.第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、 右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点 .
例6
讨论函数
f (x)
1 , x
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,