2018年高考数学(理)复习：大题规范练1 “17题～19题+二选一”46分练含答案

大题规范练(一) “17题～19题＋二选一”46分练 (时间：45分钟 分值：46分)

解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 5＝27

a 2

3，S 7＝63.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若数列{b n }满足b 1＝a 1且b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫1b n 的前

n 项和T n .

【07804229】

[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，易知a n ＞0，

则⎩⎨

⎧

a 1

＋a 1

＋4d ＝27 a 1

＋2d

2

7a 1

＋21d ＝63

，

解得⎩⎨

⎧

a 1＝3d ＝2

，

∴a n ＝2n ＋1.

法二：(等差数列的性质)∵{a n }是等差数列且a 1＋a 5＝27a 23，∴2a 3

＝27a 2

3， 又a n ＞0，∴a 3＝7. ∵S 7＝

7 a 1＋a 7

2

＝7a 4＝63，∴a 4＝9， ∴d ＝a 4－a 3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋1. (2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1且a n ＝2n ＋1， ∴b n ＋1－b n ＝2n ＋3，

当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝(2n ＋1)＋(2n －1)＋…＋5＋3＝n(n ＋2)，

当n ＝1时，b 1＝3满足上式，故b n ＝n(n ＋2)．

∴1

b

n

＝

1

n n＋2

＝

1

2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

n

－

1

n＋2

.

∴T

n ＝

1

b

1

＋

1

b

2

＋…＋

1

b

n－1

＋

1

b

n

＝1

2⎣

⎢

⎡

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1－

1

3

＋

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

2

－

1

4

＋

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

3

－

1

5

＋…＋

⎦

⎥

⎤

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

n－1

－

1

n＋1

＋

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

n

－

1

n＋2

＝1

2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫1＋

1

2

－

1

n＋1

－

1

n＋2

＝3

4

－

2n＋3

2 n＋1 n＋2

.

18．如图1，已知直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1

2

CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为CD的

中点，沿AE把△DAE折起到△PAE的位置(D折后变为P)，使得PB＝2，如图2.

(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；

(2)求直线PB和平面PCE所成角的正弦值．

[解] (1)证明：如图(1)，取AE的中点O，连接PO，OB，BE.

由于在平面图形中，如题图(图1)，连接BD，BE，易知四边形ABED为正方形，

图(1)

所以在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，所以PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，

因为PB＝2，所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB，

又AE∩OB＝O，所以PO⊥平面ABCE，

因为PO ⊂平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面ABCE.

(2)由(1)知，OB ，OE ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OB ，OE ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B(2，0,0)，E(0，2，0)，C(2，22，0)，PB →＝(2，0，－2)，EP →＝(0，－2，2)，EC →＝(2，2，0)．

图(2)

设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·EP →＝0，n ·EC →＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

－2y ＋2z ＝0，

2x ＋2y ＝0，

令x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以cos 〈PB →

，n 〉＝

PB →·n |PB

→|·|n|＝2223＝6

3，

所以直线PB 和平面PCE 所成角的正弦值为

63

. 19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐．为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如下：

图3

若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题．

(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过