经典力学统计原理
经典力学统计原理-PPT精品
1! 2! 2 1!0!1!1!
C10C22
1! 2! 1 0!1!2!0!
2. 分布{ a l } 对应的系统微观状态数
定域子组成的玻耳兹曼系统：
L({al})
N! al ! l
al l
l
玻色系统：
B ({a l})
C a l
a l l 1
l
l
la l 1! a l! l 1!
定域子 32 9
2, 0 2, 0, 0
1, 1 1, 1, 0
0, 2 0, 2, 0
0, 1, 1
2! 12 20 1 2!0!
1, 0, 1 0, 0, 2
2! 11 21 4 1!1! 2! 10 22 4 0!2!
玻色子
C2 231
6
2，0
2, 0, 0
1，1
1, 1, 0 1, 0, 1
的平衡态最概然分布
3
1. 粒子按能级的分布
2
能级
1
2
简并度 1
2
粒子数 a 1
a2
按状态的分布 { f s }
1
L
l
L
多个微观状
L
l
L
态对应一种 分布 { a l } 。
L
al
L
对不可区分的粒子，一个微观状 态对应一种分布{ f s } 。
例5 2个粒子占据2个能级（3个单体量子态）的分布 和微观状态
h 相对而言是小量的情形，波动性不显著，轨道 概念近似成立。
粒子运动状态——量子态 定态用一组量子数表征，个数等于自由度数。
例1 自由粒子
L L
L
Δpx
h L
Hˆ pˆ 2 2m
物理学中的统计力学原理
物理学中的统计力学原理统计力学是物理学中的一个重要分支，它研究大量微观粒子的运动和宏观系统的性质之间的关系。
通过对分子、原子或粒子的统计行为进行建模和分析，统计力学为我们理解物质的宏观性质提供了有力的工具和理论框架。
本文将介绍物理学中的统计力学原理，包括热力学、玻尔兹曼分布和熵增等重要概念。
热力学是统计力学的基础，它研究的是宏观系统的性质和相互作用。
根据热力学第一定律，能量在系统内不会被创造或毁灭，只会从一种形式转化为另一种形式。
这个定律建立了能量守恒的基本原理。
而热力学第二定律则提供了一个关于物质自发变化的基本原理，即熵增定律。
熵可以看作是系统的无序程度的量度，熵增定律描述了在一个孤立系统中，熵的增加是不可逆过程的一个普遍趋势。
玻尔兹曼分布是统计力学中的一个重要概念，它描述了封闭系统中粒子的分布情况。
根据玻尔兹曼分布定律，系统中不同能级的粒子数目与能级的指数函数成正比。
这个定律可以用来解释气体的温度和分布情况。
根据玻尔兹曼分布定律，当系统处于平衡状态时，粒子会自发地分布在各个能级上，形成热平衡。
热平衡是统计力学中一个重要的概念，它描述了一个封闭系统内部的能量分布情况。
在热平衡状态下，系统内各个能级之间的能量转移达到平衡，粒子的分布按照玻尔兹曼分布进行。
根据热平衡的概念，我们可以进一步推导出热力学中的基本关系式，例如压强和体积的关系、温度和熵的关系等。
统计力学的一个重要应用领域是热力学系统的微观描述。
热力学系统由一个非常大的粒子数目组成，研究系统的微观行为和统计分布可以提供对宏观性质的理解。
例如，通过统计力学的方法，我们可以计算出气体的压强和体积的关系，从而得到物理学中的理想气体定律。
同样，统计力学也可以解释固体和液体的性质，以及相变过程中的能量转移和熵的变化。
另一个值得注意的概念是热力学系统的微观状态数。
对于一个具有N个粒子的系统，每个粒子有一组离散的微观状态，系统的总微观状态数可以表示为每个粒子的微观状态数的连乘。
3.5三种统计法(24)好
1.设有N个粒子，能级为εi，每个能级的简并度为gi。 2.假设某一种分布为：εi能级上分布粒子数为ni，求出此分布下的热力学概率， 即所包含的总的微观状态的数目。（经典粒子，玻色子、费米子） 3.求出包含微观状态数最多，即热力学概率最大的一种分布。 4.热力学量的统计表达式。
一、麦克斯韦-玻尔兹曼(M-B)统计
熵的统计意义：Boltzmann提出熵与体系 微观状态数的关系为：
S=k㏑=klnWmax ? Wmax: 最可几分布具有的微观状态数。
4. 定域体系热力学量的统计表达式 利用宏观量是相应微观量的统计平均值和玻尔兹曼分布公式可求出
ni
N Z1
giei
Z1 giei
i
1
KT
S K ln
A N kTlnq
宏观体系的热力学平衡态拥有数目极其巨大的微观运动状态。这些微观运动状 态存在于各种不同的分布中。
自然界的微观粒子分为两大类: 玻色子(Bose particle)：不遵守保利不相容原理，遵从全同性原理，交换任何两
粒子构成系统新的微观状态，任一单粒子态对填充的粒子数无限制。 费米子(Fermi particle)：遵守保利不相容原理，任一单粒子态最多只能被一个粒
直可以完全忽略不计。 • 最可几分布出现的几率仍很小，且随体系粒子数目的增多出现几率更
小，但若把最可几分布和其紧邻分布加在一起，出现几率就非常接近 于1了。
若令 N=6×1023，偏差 10 10
几 率
则
t e e 10 最可几
610231010
6000
2605
t/
表明即使与最可几分布相差很小的分布，与最
分三步考虑：
1.若粒子与隔板都全不相同，则全排列为：(ni+gi-1)! 2.设全同粒子变成不同，排列方式应增大ni!倍。 3.同样，若把隔板也换成完全不同，则排列方式应增大(gi-1) !倍。
统计力学的基本原理
统计力学的基本原理
统计力学是研究宏观系统的微观粒子行为和性质的物理学分支。
它利用概率论和统计学的方法，描述了大量微观粒子的集体行为，
从而揭示了宏观系统的性质和规律。
统计力学的基本原理包括以下
几点：
1. 微观粒子的统计描述，统计力学假设宏观系统是由大量微观
粒子组成的，这些微观粒子之间相互作用，并遵循统计分布的规律。
通过对微观粒子的统计描述，可以得到宏观系统的性质和行为。
2. 统计分布，统计力学使用统计分布描述微观粒子的状态和性质。
其中，玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布描述了不同类型的微观
粒子的分布规律，而正则分布和巨正则分布则描述了粒子数和能量
的分布规律。
3. 统计热力学，统计力学建立了与热力学相对应的统计热力学。
它通过统计分布和微观粒子的性质，揭示了热力学系统的热力学性质，如热容、熵和自由能等。
4. 统计力学的应用，统计力学在各种领域有着广泛的应用，包
括物态方程、相变理论、热传导等。
它为材料科学、凝聚态物理、生物物理等领域提供了重要的理论基础。
总之，统计力学的基本原理为我们理解宏观系统的性质和规律提供了重要的理论框架，同时也为我们解决实际问题提供了有力的工具和方法。
通过对微观粒子的统计描述和统计分布的应用，统计力学揭示了物质世界的微观本质，为我们认识和探索自然界提供了新的视角和方法。
物理学十大著作
物理学十大著作物理学是自然科学中非常重要的学科之一，其涵盖了从微观的原子和分子到宏观的天体物理学的广泛范围。
在物理学的历史长河中，有很多著名的学者和经典的著作，对物理学的进展产生了巨大影响。
下面，我们来介绍一下物理学的十大著作。
1、经典力学（《自然哲学的数学原理》）- 艾萨克·牛顿《自然哲学的数学原理》也称《数学原理》，是牛顿的代表作，自17世纪末至今一直是经典中的经典。
该著作建立了牛顿第一与第二定律，著名的万有引力定律和他的运动定理，在很长的时间内成为自然科学的基础。
2、电磁学（《电磁学原理》）- 詹姆斯·克拉克·麦克斯韦《电磁学原理》是麦克斯韦的代表作，他把电场和磁场理论归纳成四个基本方程，成为电磁学的基础。
这些方程预测了电磁波的存在，并且在寻找肖像质随机性的过程中发挥着重要作用。
3、热力学（《热力学与统计力学》）- 托马斯·庚巴《热力学与统计力学》是庚巴的代表作，通过分析热力学的第一和第二定律，以及统计力学的方法，给出了一组基本原理，这些原理可以解释物质的性质和动力学行为。
4、量子力学（《量子力学的数学基础》）- 尤金·维格纳《量子力学的数学基础》是维格纳的代表作，阐述了量子力学的数学原理。
这些原理包括量子态的概率性，量子属性的不确定性，以及量子纠缠的概念。
这些原理在现代物理学的很多领域都发挥着重要作用。
5、相对论（《狭义相对论》）- 阿尔伯特·爱因斯坦《狭义相对论》是爱因斯坦的代表作，是描述物体在高速运动时的性质和相互作用的理论。
它表明了质量和能量之间的关系和时间和空间的相对性。
该理论解释了宇宙中某些现象的观察结果，并成为了现代物理学的基础理论之一。
6、宇宙学（《宇宙学》）- 斯蒂芬·霍金《宇宙学》是霍金的代表作，该书系统而全面地介绍了宇宙学的基础知识以及宇宙的演化历程。
它既包括了物理学方面的严密证明，也包括了哲学性的讨论，成为科学和文学的结合体。
统计力学基本原理
ln tx n j g n j h n j 0
g nj N n0 n1 n2 nj N 0
h nj j U n00 n11 n22 nj j U 0
2. 物理意义
粒子在εj能级上出现的概率： n j N g j exp j kT q
(3-16)
两个能级上粒子数之比： ni n j gi exp i kT g j exp j kT (3-17)
若不考虑简并度，同时规定ε0 = 0 ，则： ni n0 exp i kT (3-18)
4. Boltzmann 熵定理
S = k㏑Ω
(3-3)
适用于处于热力学平衡态的孤立体系
3
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
会议报告
三、统计力学的基本方法
1. Boltzmann 统计的适用范围
（1）近独立定域粒子体系 （2）等同性修正后的近独立非定域粒子体系(修正的Boltzmann 体系) （3）温度不是太低、密度不是太大、粒子质量不是太小的Fermi-Dirac
(3-6)
∑njεj = U
（3-5） (3-7)
6
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
会议报告
三、统计力学的基本方法
(b) Lagrange未定乘子法 求满足两个宏观限制条件式(3-6)、（3-7）, 使（3-5）式具有极大值的方 法。 做一新函数：(㏑tx+ αg + βh)，满足：d(㏑tx + αg + βh)= 0 又满足式(3-6)、（3-7）即为所求的一套分布数
统计力学原理
统计力学原理
统计力学是研究物质的宏观性质与微观粒子运动规律之间的关
系的物理学分支。
它主要通过统计方法研究大量微观粒子的集体行为，从而推导出物质的宏观性质。
统计力学的基本假设是，微观粒子的运动是随机的，并且符合
概率分布。
根据这一假设，统计力学发展了一套数学框架，用于描
述微观粒子的运动和相互作用。
其中最重要的概念是概率分布函数
和热力学量。
概率分布函数描述了微观粒子在不同状态下的概率分布情况。
通过对概率分布函数的研究，可以推导出物质的宏观性质，比如温度、压力和热容。
这些宏观性质与微观粒子的平均运动和相互作用
有关。
热力学量是描述物质性质的基本参数，比如内能、熵和自由能。
统计力学通过概率分布函数和热力学量之间的关系，揭示了物质的
宏观性质如何由微观粒子的运动和相互作用决定。
统计力学在许多领域都有重要的应用，比如固体物理、液体物理和统计热力学等。
通过统计力学的研究，我们可以深入理解物质的宏观性质背后的微观机制，为材料科学和工程学提供理论指导。
总结起来，统计力学是一个关系微观粒子运动和物质宏观性质的重要学科。
它基于随机运动的假设，通过概率分布函数和热力学量的研究，揭示了物质性质的微观机制，为各个领域的科学研究提供了理论基础。
统计力学基本原理
(c ) 求未定乘子α
将式 (3-11)代入式(3-9)得:
g je exp j N
e g j exp j N
e N g j exp j
定义：q g j exp j
(q 称作粒子的配分函数)
则：e N q
ln N q
(3-12)
(d) 求未定乘子β
将式(3-11) 代入(3-4)式并组成恒定封闭体系Gibbs方程相比较得
4. Boltzmann 熵定理
S = k㏑Ω
(3-3)
适用于处于热力学平衡态的孤立体系
4
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
会议报告
三、统计力学的基本方法
1. Boltzmann 统计的适用范围
（1）近独立定域粒子体系 （2）等同性修正后的近独立非定域粒子体系(修正的Boltzmann 体系) （3）温度不是太低、密度不是太大、粒子质量不是太小的Fermi-Dirac
2
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
会议报告
二、统计力学的基本定理
1. 概率（probability）定理
概率指某一件事或某一种状态出现的机会大小。概率定理是在一定宏观条件下， 体系的各个微观运动状态各以一定的概率出现。
2. 等概率定理
对于U, V 和 N 确定的处于热力学平衡态的孤立体系，任何一个可能出现的微观状 态，都有相同的数学概率，所以这个假定又称为等概率定理。
P1= P2 = P3 =… = PΩ= 1/Ω
(3-1)
Ω是宏观体系的总微态数，P1, P2,…是每一种微观状态 出现的数学概率。
3
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
物理学中的统计力学原理及其对宏观体系的研究
物理学中的统计力学原理及其对宏观体系的研究统计力学是物理学中的一门重要分支，它通过研究微观粒子的统计行为来揭示宏观体系的性质和规律。
统计力学的基本原理是基于统计学和概率论的，它通过对大量微观粒子的平均行为进行统计分析，从而得到宏观体系的性质和行为。
统计力学的基本概念之一是热力学平衡。
热力学平衡是指系统的宏观性质在长时间内保持不变的状态。
根据统计力学的原理，当系统处于热力学平衡时，微观粒子的分布和运动状态也达到了平衡。
这种平衡状态可以通过统计力学的方法来描述和分析。
统计力学的另一个重要概念是熵。
熵是描述系统无序程度的物理量，也是统计力学中的核心概念之一。
根据统计力学的原理，熵可以通过统计微观粒子的排列和分布来计算。
熵的增加意味着系统的无序程度增加，而熵的减少则表示系统的有序性增加。
统计力学的原理还包括玻尔兹曼方程和吉布斯分布。
玻尔兹曼方程描述了微观粒子的运动和碰撞过程，它是统计力学中的基本方程之一。
吉布斯分布则是描述微观粒子在不同能级上的分布概率，它是统计力学中的重要概念之一。
通过玻尔兹曼方程和吉布斯分布，可以计算出系统的平均能量、熵和其他宏观性质。
统计力学的原理不仅可以用于理论分析，还可以应用于实际问题的研究。
例如，在材料科学领域，统计力学的原理可以用于研究材料的热传导性能和热膨胀性质。
通过统计力学的方法，可以计算材料中微观粒子的平均能量和平均位移，从而得到材料的热传导系数和热膨胀系数。
在生物学领域，统计力学的原理可以用于研究生物大分子的结构和功能。
例如，在蛋白质研究中，统计力学的原理可以用于预测蛋白质的结构和稳定性。
通过统计力学的方法，可以计算蛋白质中氨基酸的平均位置和平均能量，从而得到蛋白质的三维结构和稳定性。
此外，统计力学的原理还可以应用于气象学、流体力学、凝聚态物理等领域的研究。
例如，在气象学中，统计力学的原理可以用于研究大气中水蒸气的分布和运动规律。
通过统计力学的方法，可以计算水蒸气的平均浓度和平均速度，从而得到大气的湿度和风速。
经典物理学中的统计力学
经典物理学中的统计力学经典物理学是指除了相对论和量子力学之外的物理学，统计力学则是其中一门重要的学科。
统计力学是研究大量粒子集体表现的理论，其基本思想是由许多原子、分子、离子等微观粒子组成的宏观物质集合是统计性的。
在经典物理学中，统计力学有着广泛的应用，例如气体、热力学和统计热力学，这些都是经典物理学中非常重要的领域。
首先从气体开始讨论统计力学在经典物理学中的应用。
气体是最为简单的一种物质形式，因此它被广泛研究。
在19世纪，古典物理学家发现气体分子的热运动可以用统计学方法来描述。
经过一系列计算、研究，他们得出了气体分子速度分布的麦克斯韦-玻尔兹曼分布律。
这个分布律描述了不同温度下气体分子的速度分布情况。
该公式以一个可以方便测量的参数——温度作为输入，因此可以非常方便地用来预测和解释实验结果。
而麦克斯韦-玻尔兹曼分布律的得出，恰恰是借助了基于统计学的思想。
在热力学领域中，统计力学也有着广泛的应用。
热力学是一门研究热、功和内能等宏观物理量的学科，是处理宏观物理系统的一种利器。
而统计热力学则是将统计力学的思想应用到热力学中。
统计热力学中的熵、自由能等概念是热力学中不可或缺的。
在热力学的基础上，统计热力学从分子运动的角度来理解热力学的各个参数。
这种角度的改变，不仅能够更全面地理解热力学的概念和定理，而且能够降低计算热力学量的难度。
除此之外，统计力学还有其他的应用，例如晶体学和光学等领域。
在晶体学中，统计力学可以用来解释晶体的各种微观结构；在光学中，统计力学可以用来预测和解释光的干涉、衍射等现象。
这些应用都充分展现了统计力学在经典物理学中的重要性和广泛适用性。
综上所述，统计力学是经典物理学中的一个重要领域。
在气体、热力学和统计热力学、晶体学和光学等诸多领域中都有应用。
而且，统计力学的基本思想——由许多原子、分子、离子等微观粒子组成的宏观物质集合是统计性的，也可以被引用到其他科学领域。
相比于其他物理学分支学科，统计力学研究的对象更加广泛、复杂，其方法论也更为基础、重要。
统计力学
统计力学统计力学（统计物理学）是研究大量粒子（原子、分子）集合的宏观运动规律的科学。
统计力学运用经典力学原理。
由于粒子的量大，存在大量的自由度，导致虽然和经典力学应用同样的力学规律，但性质上完全不同的规律性。
不服从纯粹力学的描述，而服从统计规律性，用量子力学方法进行计算，得出和用经典力学方法计算相似的结果。
从这个角度来看，统计力学的正确名称应为统计物理学。
统计力学（Statistical mechanics）是一个以玻尔兹曼等人提出以最大乱度理论为基础，借由配分函数将有大量组成成分（通常为分子）系统中微观物理状态（例如：动能、位能）与宏观物理量统计规律（例如：压力、体积、温度、热力学函数、状态方程等）连结起来的科学。
如气体分子系统中的压力、体积、温度。
伊辛模型中磁性物质系统的总磁矩、相变温度和相变指数。
统计力学研究工作起始于气体分子运动论，R.克劳修斯、J.C.麦克斯韦和L.玻耳兹曼等是这个理论的奠基人。
他们逐步确定了微观处理方法（表征统计力学特性）和唯象处理方法（表征热力学特性）之间的联系。
1902年J.W.吉布斯在《统计力学的基本原理》专著中强调了广义系综的重要性，并发展了多种系综方法，原则上根据一个给定系统微观纯力学特性，可以计算出系统的全部热力学量，而且他提出正则系综和巨正则系综的研究对象不局限于独立子系统，对于粒子之间具有相互作用的相依子系统也能处理。
量子力学的发展对于微观粒子中的费密子和玻色子在统计力学中分别建立了费米-狄拉克、玻色-爱因斯坦统计分布律。
当量子效应不显著或经典极限条件下，两种量子统计分布律都趋近于麦克斯韦-玻尔兹曼分布律。
20世纪50年代以后，统计力学又有很大的进展，主要是在分子间有较强相互作用下的平衡态与非平衡态问题。
在非平衡态统计力学研究进展的基础上，尝试从广义变分法的视角建立一套描述非平衡态统计力学的新方法。
即以对哈密顿原理进行修正得到的最大流原理为基础，对开放的复杂系统建立新的统计系综，构造出新的势函数，并推导出随机动力学方程，进而得出重整化方程并进行求解，得到自相似的分形结构，从而建立起一个新的统计力学理论框架。
经典力学统计原理
热力学定律
热力学定律是经典力学中描述热现象的 基本规律，包括第一定律、第二定律和 第三定律。
热力学定律在能源、环境、化工等领域 有广泛应用，例如热力发电、制冷技术 等。
第三定律指出在绝对零度时，不可能通 过有限步骤将一个物体冷却到低于周围 介质温度的零度。
第一定律即能量守恒定律，指出系统能 量的增加或减少等于输入或输出的热量 加上系统作功的总和。
05 经典力学统计原理的挑战 与展望
当前面临的主要挑战
理论框架的局限性
经典力学统计原理在描述 微观粒子行为时存在局限 性，无法解释某些量子现 象。
实验验证的困难
由于量子现象的特殊性质， 对经典力学统计原理进行 实验验证较为困难。
复杂系统的描述
经典力学统计原理在描述 复杂系统时面临较大挑战， 需要发展更高级的理论框 架。
06 经典力学统计原理的实际 应用案例
分子动力学模拟
1 2 3
模拟分子运动轨迹
通过分子动力学模拟，可以模拟分子的运动轨迹， 研究分子的运动规律和相互作用机制。
预测材料性质
通过模拟不同材料中分子的运动，可以预测材料 的物理和化学性质，为新材料的研发提供理论支 持。
药物设计
在药物设计中，分子动力学模拟可以用来研究药 物与靶点之间的相互作用，为新药研发提供关键 信息。
气体分子速度分布
麦克斯韦分布定律描述了气体分子速度的分布规律，是气体动力学 中的基本原理之一。
气体流动特性
基于麦克斯韦分布定律，可以研究气体在流动过程中的各种特性， 如温度、压力、流速等的变化规律。
喷管设计
在喷管设计中，利用麦克斯韦分布定律可以优化喷管的结构和参数， 提高喷管的工作效率和推进性能。
THANKS FOR WATCHING
统计力学基本原理
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
Bose子 ① 光子、介子或由偶数个基本粒子组成的 原子和分子－Bose子 ② 特点:每个量子态上的粒子数不受限制
⑶ 非定域同种粒子所有能级都是高度简并的
gi ni （除0K以外）
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
3. 近独立等同粒子体系的分类
⑴ Fermi－Dirac体系(统计) ⑵ Bose－ Einstein体系(统计) ⑶ 修正的Boltzmann体系(统计)
§5-1 引言
统计力学是联系物质的微观结构和宏观性质 之间的桥梁。 联系媒介：配分函数（分子配分函数或体系 配分函数）。 配分函数与物质的微观结构数据有关，又与 宏观性质温度有关。
§5-1 引言
一、目的 从单个分子的性质 统计力学 体系的宏观性质
位置：xi, yi, zi 动量：pxi, pyi, pzi 质量：mi 动、位能: εi , Vij 转动惯量：I 振动频率：νi
§5-2 预备知识
3. 一维谐振子的振动能 双原子分子沿化学建方向的振动
v
(v
1 )h
2
v－振动量子数； v=0, 1, 2, 3, …
(1) 振动能级是量子化的;
(2) v 0,
v ,0
1 h
2
1020 J；
(3) 振动能级是非简并的，gv=1
§5-2 预备知识
三、各种运动形式能级间隔的大小
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
3-1 近独立定域（可别）粒子体系 当体系达到热力学平衡态时， 体系的 U、V、N恒定
而且： S k ln
一、体系的能量分布类型
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
某一时刻 能级 简并度
经典力学统计原理
假设
al 1
l 1 l al 1
ln
l
1 a
l
ln l
al
ln
al
1 a
l
aal
ln
l
aal
1 F a 1 B
0 C
a0
ln l
aal
ln l
ln
1
a
al
l
ln l
a
al
l
ln
p
l
al
l
V
l
l l
e l a V
p 1 ln V
开系 dU TdS pdV dN 一个粒子的化学势
1 dU pdV dN dS
T
dU
pdV
dN
d
ln
经典力学+统计原理
经典统计分布
从微观结构出发解释宏观性质： 理想气体物态方程 单原子理想气体热容量和内能
困难：1. 熵 2. 多原子理想气体热容量
原因：微观粒子本质上遵循量子力学规律，经典力学 是宏观极限（ 0 ）。
量子力学+统计原理
量子统计分布
1．不确定关系 2．能量量子化 3．全同性原理
第五章 近独立粒子的量子统计
例4 2个粒子占据3个单体量子态的微观状态数
定域子 32 9
量子态1
量子态2
经典统计力学
经典统计力学经典统计力学是一个重要而广泛的学科，它是物理学中最基本的概念，是描述微观物理系统的性质和状态的工具。
经典统计力学的定义是：它是一种处理分子的运动的模型，该模型提供了描述分子特性的理论框架。
它使用热力学和统计学原理来描述系统的性质，并将其与宏观物理特性联系起来，以便用来解释实际实验数据。
经典统计力学既有热力学也有统计学的特征，它们都是物理学的重要分支。
热力学的目的是探究物质处理外力和内力的能量转化过程，而统计学的目的是提供一种描述和解释物质组成的方法。
结合使用这两种学科，经典统计力学可以提供一种方法，用来描述和解释物质组成以及物质之间的相互作用。
作为一门基础学科，经典统计力学用来描述众多实际问题，包括晶体结构、晶格变形、物性测定、固体机械力学等等。
晶格变形是研究物质表现出来的结构性质变化过程，它涉及到物质内部原子间相互作用的性质，而这种作用本质上受到经典统计力学的控制。
经典统计力学的建立是基于假定：物质的微观状态可以由一组随机的参数确定；物质的宏观特性可以通过对这些随机参数的平均值进行统计描述来解释；物质的性质是由物质的原子的相互作用而产生的，而原子的相互作用又受到一系列尺度的统计力学的控制。
这一假设为经典统计力学提供了一个完整的框架，并使得在密度泛函理论、能量函数理论等方面进行系统的探索和发展成为可能。
经典统计力学不仅可以用于晶体的结构模拟、复杂物质的性质和行为的研究，还具有重要的应用价值。
它可以被应用于材料性能的预测，包括耐热性能、抗腐蚀性能和磁性能等方面。
它也可以被用于研究各种固体结构及表面发生的变化，以及材料性能调控的实验研究。
从这些概念可以看出，经典统计力学是一门非常深入和有用的学科。
它可以帮助我们更好地理解物质，并有效地利用包括在物理学、材料科学和工程学中的知识。
统计力学简介
正则系综各微观态出现的几率
整个正则系综可看作是一个大孤立系统，由关于孤 立系统的结果，可以证明：
e xp( En / kT ) e xp( En / kT ) Pn e xp( En / kT ) Q(T ,V , N )
n
lnQ U E Pn En kT T V , N n
2
S k Pn ln Pn U / T k lnQ
n
A U TS kT lnQ
理想气体的热力学性质
i
2 2 2 ( nix niy niz ) 2
2mL2
N i 1
2k 2 ; nix , niy , niz 1,2, 2m
En i Q e xp( En / kT ) N ! e xp( i / kT ) n nix , niy , niz V 3 dkx dky dkz
实验测量值等于微观对应量的长时间平均。
统计力学的基本手段
系综：许多宏观性质相同的系统的集合或系统 可能出现的所有微观态的集合。 （宏观性质相同，不代表微观状态相同）
系综的由来：一个人掷一个骰子连掷1000次 （相当于实验上的长时间平均），与1000个 人，每人同时掷一次骰子（相当于系综平 均），所得的结果在统计上是相同的。
热力学回顾：一些基本概念
★对象:宏观系统。 ★广延量和强度量：广延量是可加量，与系统大小成 正比。 可加性：如果一杯水的熵是S，那么两杯同样温度压力 下的水混在一起的熵是2S。 ★外参量：由外部环境所确定的量。如：体积，物质 的量等。 ★内参量：由系统内分子性质所确定的量。如压强， 能量。 ★平衡态：系统中不存在由于外部原因产生的稳恒流， 且所有参量不随时间变化的状态。
费曼 四大力学
费曼四大力学费曼四大力学是指经典力学、统计力学、电动力学和量子力学。
这四个领域的力学理论，构成了现代物理学的基础。
在本文中，我将以人类的视角，用准确、流畅的语言描述这四大力学，并尽可能使读者感受到真人叙述的情感。
经典力学是力学的基础，它描述了物体在宏观尺度下的运动规律。
当我们看到一个运动的物体时，我们会不由自主地思考它的速度、加速度以及所受的力。
而经典力学正是用数学和物理模型来解释这些现象的学科。
它告诉我们物体的运动是如何受到力的作用而改变的，以及如何预测物体的未来位置和速度。
经典力学让我们能够理解和预测日常生活中的运动，从抛球到行星运动，无所不包。
统计力学是描述大量微观粒子集体行为的力学。
它通过统计方法来研究粒子的平均行为，而不需要考虑每个粒子的具体运动。
统计力学告诉我们，微观粒子的运动是随机的，但它们的集体行为却有一定的规律性。
例如，我们可以用统计力学来解释气体的压力是由大量微观粒子碰撞引起的。
统计力学不仅仅是描述物质的行为，还能够解释许多复杂的现象，如热力学和相变。
电动力学是研究电荷和电磁场相互作用的力学。
它描述了电荷产生的电场和电流产生的磁场之间的相互作用。
电动力学告诉我们电荷如何受到电场力和磁场力的作用，以及如何产生电磁波。
从静电力到电磁感应，电动力学解释了我们周围电子设备的工作原理，以及电磁波的传播和接收。
量子力学是研究微观粒子行为的力学。
它描述了微观粒子的波粒二象性和不确定性原理。
量子力学告诉我们，微观粒子的运动是不确定的，只能通过概率来描述。
它让我们能够理解微观粒子的奇特行为，如量子纠缠和量子隧穿。
量子力学不仅仅是解释微观世界的理论，还在许多领域有着广泛的应用，如量子计算和量子通信。
费曼四大力学构成了物理学的基础，它们的发展和应用深刻影响着我们对世界的理解。
通过经典力学，我们能够预测和解释日常生活中的运动；通过统计力学，我们能够理解物质的行为和相变；通过电动力学，我们能够解释电磁现象和电子设备的工作原理；通过量子力学，我们能够理解微观粒子的奇特行为和未来的量子技术。
力学 一级学科
力学一级学科力学是物理学的重要分支，研究物体在运动和静止过程中所表现出来的力和运动状态的规律。
力学包括三个层次：经典力学、统计力学和量子力学。
其中，经典力学是力学的基础，用于研究宏观上物体的运动和力学特性，是工程学和物理学的基础课程之一。
本文将详细介绍经典力学的基本概念、公式、原理和应用。
一、经典力学的基本概念1.物体的质量和重量物理学中，质量是物体固有的量度特性，用于衡量物体与其它物体相互作用时表现出来的惯性。
质量的单位是千克。
重量是物体所受重力的大小，是物体质量与重力加速度的乘积。
重量的单位是牛顿。
2.运动状态的描述物体的运动状态包括位置、速度、加速度三个量。
其中，位置用坐标系来描述，速度用位移和时间的比值来定义，加速度用速度随时间变化的比值来定义。
在计算中，常使用矢量表示位置、速度和加速度。
3.牛顿定律牛顿定律是经典力学的核心内容。
它包括三个定律：①牛顿第一定律：物体在没有外力作用下，静止的物体将继续保持静止，运动的物体将继续保持匀速直线运动。
②牛顿第二定律：物体的运动状态随着所受合力的改变而改变，其改变的大小与方向与所受合力成正比例，反比例于物体质量。
③牛顿第三定律：两个物体之间互相作用的力大小相等，方向相反，作用在两个物体上的位置也相反。
其它基本概念还包括牛顿万有引力定律、弹性碰撞和不完全弹性碰撞的反弹系数等。
二、经典力学的公式1.运动学公式①速度公式：v= s/ta= (v2 - v1)/ t③位移公式：①牛顿第二定律公式：F= ma②重力公式：Fe= kx其中，F为力，m为物体质量，a为加速度，g为重力加速度，k为弹性系数，x为形变量。
1.能量守恒定律能量守恒定律是指在孤立系统内，能量的总量保持不变。
在经典力学中，能量可以分为动能和势能两种。
在系统内，物体的动能转化为势能，势能转化为动能，而总能量保持不变。
实际运用中，这个定律可以帮助我们计算各种物体在运动和变形过程中的能量变化。
动量守恒定律是指在孤立系统内，物体的总动量维持不变，即物体之间互相作用的力的合成为零。
统计力学导论
统计力学导论统计力学导论是物理学中的一门重要课程，它研究的是大量粒子系统的统计规律。
通过统计力学，我们能够更好地理解和描述宏观世界中的各种现象，如气体的行为、相变现象、热力学性质等。
本文将围绕统计力学导论展开探讨，介绍其基本概念、原理及应用。
一、统计力学的基本概念统计力学是基于统计的方法研究大量粒子系统的物理学分支。
它将微观粒子的运动状态和宏观物理量之间建立了联系，通过统计的手段分析和描述系统的行为。
统计力学的基本概念有：微观状态、宏观状态、概率分布、平衡态等。
微观状态是指系统中每个粒子的位置和动量所组成的集合，它是描述系统的最基本的状态。
而宏观状态则是指系统的宏观物理量，如温度、压强等。
统计力学通过概率分布函数描述系统处于各种不同微观状态的概率，从而推导系统宏观物理量的统计规律。
在平衡态下，系统的宏观物理量不随时间变化，此时统计力学可以给出系统的热力学性质。
二、统计力学的基本原理统计力学的基本原理主要有热力学极限和统计平均两个方面。
热力学极限是指粒子数极大、体积极大的系统，即宏观系统。
在这种情况下，统计力学可以给出系统的热力学性质，如压强、温度等。
统计平均是指对系统的微观状态进行统计，通过对微观状态的平均值进行计算，得到系统的宏观物理量。
这里需要注意的是，统计平均是基于统计的概率分布函数进行计算的。
三、统计力学的应用统计力学在物理学的各个领域都有广泛的应用。
下面将介绍一些典型的应用领域。
1.热力学性质的研究：统计力学可以给出系统的热力学性质，如压强、温度、熵等。
通过统计力学的方法，我们可以更好地理解和描述热力学性质的变化规律。
2.相变现象的研究：相变是物质由一种相态转变为另一种相态的过程。
统计力学可以描述相变的发生条件和相变的类型，如固液相变、液气相变等。
通过对相变的研究，我们可以深入理解物质的性质和行为。
3.非平衡态统计物理：非平衡态统计物理研究的是系统远离平衡态时的行为。
例如，涉及到非平衡态的物理过程有扩散、传导、输运等。
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定域子：固体中的原子、离子，在各自平衡位置附近作 微振动，波函数几乎不交叠，可用位置加以分辨。
例4 2个粒子占据3个单体量子态的微观状态数
定域子 32 9
量子态1 ••
••
••
量子态2
••
•
••
•
量子态3
••
••
••
玻色子
C2 231
6
量子态1 ••
4 43
r
v
I r02
Hˆ t
pˆ 2 2m
t
h2 2mL2
nx2 ny2 nz2
,
nx , ny , nz 0, 1, 2, K
Hˆ r
Lˆ2 2I
l l 1 h2
r 2I , l 0, 1, 2, K m 1l,44l214, K43, l
2l 1
v
n
1 2
h ,
n 0, 1, 2, K
1
C C 1
1
111 121
1! 2! 1!0! 1!1!
2
C C 0
2
011 221
0! 0!0!
3! 2!1!
3
0, 0, 2
C11C12
1! 2! 1!0! 1!1!
2
C10C22
1! 0!1!
2! 2!0!
1
2. 分布{al}对应的系统微观状态数
定域子组成的玻耳兹曼系统：
L ({al})
量子全同粒子不可分辨，任意交换一对粒子，不改变系统 的微观运动状态。——全同性原理 确定系统微观状态就是确定每个单体量子态上的粒子数。
量子粒子占据单体量子态的规律： 玻色子 s 为整数 单体量子态上的粒子数不受限制。 费米子 s 为半整数 单体量子态上的粒子数最多为1。
泡利不相容原理
玻色子：光子、介子及由玻色子或偶数个费米子组成的复 合粒子。
e l
l
a
S k ln
ln N U
巨热力势 J U TS N dJ SdT pdV Nd
J pV ln
§5.4 量子统计的经典极限
1. 非简并性条件
al = 1
l
F B
C
L
N!
al
l
e l
a
1 a 1
Fermi Bose
e ? 1 al le l
0 Classical Limit, Localized
3. 粒子按能级分布的推导
孤立系统 约束条件
al N
l
all E
l
ln B ln l al 1! ln al ! ln l 1! l l al ln l al al ln al l lnl l
ln F lnl ! ln al ! ln l al ! l l lnl al ln al l al ln l al l
p
l
al
l
V
l
l l
e l a V
p 1 ln V
开系 dU TdS pdV dN 一个粒子的化学势
1 dU pdV dN dS
T
dU
pdV
dN
d
ln
ln
V
dV
d
ln
d
ln
d
ln
ln
d
ln
d
ln
N
e l l
D
0
e d
l
D
2πV h3
3
2m2
1 2
3
3
eV
2πmkT h2
2
e
1 n
2πmkT h2
2
?
1,
n N V
温度愈高，密度愈低，分子质量愈大，非简并性条件愈易 满足。
热运动的平均德布罗意波长 h
2πmkT
: πkT
1
=
1 3 n
平均热波长远小于粒子平均距离，波动性 不显著，过渡到经典极限。
ln C al lnl ln al !
l
al al ln al al lnl
l
假设
al ? 1
l ? 1 l al ? 1
ln
l
1 a
l
ln l
al
ln
al
1 a
l
aal
ln
l
aal
1 F a 1 B
0 C
a0
ln
l
aal
ln l
ln 1
a
al
l
ln l
a
al
满足以上条件，可用玻耳兹曼统计；否则必须采用量子 统计。
除低温下的He，一般气体满足非简并性条件。
2. 单原子分子理想气体的熵
经典统计
S
3 2
Nk
ln T
Nk
lnV
3 2
Nk
1
ln
2πmk h02
不确定关系 全同性原理
S
3 2
Nk
ln T
Nk
lnV
3 2
Nk
1
ln
2πmk h2
F B
2! 11 21 4 1!1! 2! 10 22 4 0!2!
玻色子
C2 231
6
2，0
2, 0, 0
1，1
1, 1, 0 1, 0, 1
0，2
0, 2, 0 0, 1, 1
费米子 C32 3
1，1
0，2
1, 1, 0 1, 0, 1 0, 1, 1
C C 2
0
211 021
2! 1! 2!0! 0!1!
态密度 单位能量间隔内的可能状态数
D
2πV h3
3
2m2
1 2
p
例2 一维体系中自由粒子的态密度 dp
p px
dp
动量在 px px dpx 范围内的可能状态数
L h
ห้องสมุดไป่ตู้
dpx
动量大小在 p p dp 范围内的可能状态数 2L dp h
能量在 d 范围内的可能状态数
L
(2m)
1 2
1 2
按状态的分布 { fs}
对不可区分的粒子，一个微观状 态对应一种分布{ fs} 。
例5 2个粒子占据2个能级（3个单体量子态）的分布 和微观状态
定域子 32 9
2, 0 2, 0, 0
1, 1 1, 1, 0
0, 2 0, 2, 0
0, 1, 1
2! 12 20 1 2!0!
1, 0, 1 0, 0, 2
Z
el l
e t r v trv
l
t, r, v
et t
er r
ev v
ZtZrZv
t
r
v
U
N
ln Z
N
ln Zt
ln Zr
ln Zv Ut
Ur
Uv
CV
U T
T
U t
Ur
Uv CV t
CV r
CV v
常温下，Δt kT = 1，平动能级准连续。
经典力学+统计原理
经典统计分布
从微观结构出发解释宏观性质： 理想气体物态方程 单原子理想气体热容量和内能
困难：1. 熵 2. 多原子理想气体热容量
原因：微观粒子本质上遵循量子力学规律，经典力学 是宏观极限（ h 0 ）。
量子力学+统计原理
量子统计分布
1．不确定关系 2．能量量子化 3．全同性原理
第五章 近独立粒子的量子统计
C
L
N!
S
3 2
Nk
ln T
Nk
lnV
3 2
Nk
1
ln
2πmk h2
k
ln
N!
3 2
Nk
ln T
Nk
ln
V N
3 2
Nk
5 3
ln
2πmk h2
ln N ! N ln N 1
绝对熵——不含任意熵常数，是广延量。
化学势
3
e
1 n
2πmkT h2
2
?
1,
n N V
kT
kT
ln
N! al !
l
al l
l
玻色系统：
B({al})
C al al l 1
l
l
l al 1 ! al ! l 1 !
费米系统：
F ({al})
l
Cal l
l
l ! al ! l al !
经典极限：
al = 1
l
单体量子态的平均粒子数远小于1。 ——非简并性条件
6 4 4 4 44 7al 4 4 4 4 48
B
l
l al 1l al 2L l
al !
l
al l
L
al ! N !
6 4 4 44 7al 4 4 4 48
F
l
l l 1L l al 1
al !
l
al l
L
al ! N !
C
l
al l
al !
各粒子占据不同的量子态，但任意两个粒子 交换量子态，不影响微观状态。 N 个处于不 同量子态上的粒子交换量子态的总方式数为 N !。
s
s
e s
a
E
§5.3 热力学量的统计表达式
和 看作已知参量
N
l
l
e l a
U E
l
ll
e l a