贵州遵义四中1819学度高二上年末试题数学理

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贵州遵义四中2019高三上第二次抽考-数学(理)

贵州遵义四中2019高三上第二次抽考-数学（理）第一卷 (选择题共60分)【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，那么()UC A B =A.{|20}x x x ><或 B .{|12}x x << C. {|12}x x <≤ D.{|12}≤≤x x A 、假设sin cos x y =，那么2x y π+=B 、1,20x x R -∀∈>C 、假设向量a 、b 满足a ‖b ，那么a+b =0D 、假设x y <,那么22x y < 3、某几何体的三视图如下，那么该几何体的体积是A 、124B 、144C 、192D 、256 4、函数)1(log 221-=x y 的定义域为A 、)(11,2⎡⎤-⎣⎦B 、(1)(1,2)-C 、[)(]2,11,2--D 、(2,1)(1,2)--5、函数(1)xxa y a x=>的图象大致形状是6、将函数)3cos(π-=x y 的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再向左平移6π个单位，所得图像的一条对称轴方程为A.9π=x B.8π=x C.2π=x D.π=x7、由曲线2y x =与直线12y x=-所围成的封闭图形的面积是A 、23B 、43C 、2D 、5128、函数⎩⎨⎧>+-≤-=2,3)1(log 2,1)(x x x ax x f a 是定义域上的单调函数，那么a 的取值范围是A.()+∞,1B.[)+∞,2C.()2,1D.(]2,19、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，假设其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，那么选派方案共有 A.280种 B.240种 C.180种 D.96种 10、函数32()393,f x x x x =--+假设函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，那么m 的取值范围为A 、[1,8〕B 、〔-24,1]C 、[1,8]D 、〔-24,8〕11、双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，那么双曲线的离心率是AB1+CD、2+12、在四面体S —ABC中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S —AC —B 的余弦值是，那么该四面体外接球的表面积是A、BC 、24πD 、6π第二卷(非选择题共90分)【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

贵州省遵义市第四中学2019届高三数学上学期第二次月考试题理

第7题图遵义四中2018-2019学年度第一学期高三第二次月考理科数学试题（满分：150分，完成试卷时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、学籍号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（共 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合1{|1}A x x=<，若全集为R ，则A 的补集等于 A ．[0,1] B ．(0,1] C ．,1)∞（- D ．,0)01∞（-（，） 2．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α> 3．下列函数中，既是偶函数又是()0,+∞上的增函数的是A ．3y x =B ．2xy = C ．2y x =- D ．()3log y x =-4．已知a R ∈,则“2a =”是“复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．设随机变量~(2,4)N ξ，若(21)(21)P a P a ξξ>+=<-，则实数a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．18 8．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则第5题第10题图A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-9．若m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 10．函数()()cos (0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度11．双曲线22221x y a b-=的右焦点F 与抛物线24y px =)0(>p 的焦点重合，且在第一象限的交点为M ，MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率是A．2 B． C1 D2+ 12．设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（） A ．1ln2+ Bln 2)+ C ．1ln2- Dln 2)-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是__________．14．已知两个单位向量a 、b 的夹角为60，(1)c ta t b =+-，若0b c =，则t =__________． 15．设dx x a ⎰=πsin ，则二项式61()ax x-的展开式中的常数项是__________．16．已知函数()y f x =，(,2)(2,)x ∈-∞-+∞在其图象上任取一点(,)x y 都满足方程2244x y -=．①函数()y f x =一定具有奇偶性； ② 函数)2,()(--∞=在x f y 是单调函数； ③0(,2)(2,),2()x x f x ∃∈-∞-+∞<使； ④(,2)(2,),2()x x f x ∀∈-∞-+∞>使．以上说法正确的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，A c C a c cos sin 3-=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，ABC ∆，求b ，c .18．（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式；以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（本小题满分12分）如图1四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,5,1,2=====AD AB BC DC DB ，将图1沿直线BD 折起，使得二面角C BD A -- 为060．如图2．（Ⅰ）求证：⊥AE 平面BDC ；ABCDE●图1ACDE图2第19题图（Ⅱ）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知点)0,1(F ，⊙F 与直线0134=++y x 相切，动圆M 与⊙F 及y 轴都相切．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任作直线l ，交曲线C 于B A ,两点，由点B A ,分别向⊙F 各引一条切线，切点分别为Q P ,，记QBF PAF ∠=∠=βα,，求证：βαsin sin +是定值．21．（本小题满分12分）已知函数x x F ln )(=，a x x f +=221)(，a 为常数，直线l 与函数)(x F 和)(x f 的图象都相切，且l 与函数)(x F 的图象的切点的横坐标等于1．（Ⅰ）求直线l 的方程和a 的值；（Ⅱ）求证：对于任意实数x ，都有)(2ln )1(2x f x F +≤+请考生在22题和23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线1C 与曲线2C 的公共点为A 、B ，求||||PA PB 的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =++-．（Ⅰ）求不等式()5f x ≤的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．2019届高三第二次月考理科数学参考答案13． 6 14．2 15．160-；16.（3）（4）（17）解：（Ⅰ）由A c C a c cos sin 3-=及正弦定理得A C C A C cos sin sin sin 3sin -= 由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=，又0A π<<，故3A π=.．．．．．．6分（Ⅱ）ABC ∆的面积S =1sin 2bc A故bc =4，而 2222cos a b c bc A =+- 故22c b +=8，解得b c ==2. ．．．．．．12分18．解：（Ⅰ）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=- 得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩．．．．．．4分（2）（i ）X 可取60，70，80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=．．．．．．8分（ii ）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=76.476> 得：应购进17枝．．．．．．12分 19．（Ⅰ）证明：取BD 中点F ，连结AF EF ,，则 60,21,1=∠==AFE EF AF 由余弦定理知23=AE ，∵222AE EF AF =+，∴EF AE ⊥ 又⊥BD 平面AEF ，⊂AE 平面AEF ，∴AE BD ⊥又∵,F BD EF =⋂∴⊥AE 平面BDC ………6分（Ⅱ）以E 为原点建立如图示的空间直角坐标系，则)0,21,1(),0,21,1(),0,21,1(),23,0,0(----D B C A 设平面ABD 的法向量为),,(z y x n =，由，得)33,0(=n ∵)23,21,1(--=，∴故直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值为410………12分20．解：(1) ⊙F :1)1(22=+-y x ……………2分当动圆M 与⊙F 及y 轴都相切 ,切点不是原点，点M 的轨迹C 的方程为)0(42≠=x x y 当动圆M 与⊙F 及y 轴都相切 ,切点是原点，点M 的轨迹C 的方程为)1,0(0≠=x y……………6分（Ⅱ）M 的轨迹C 的方程为)1,0(0≠=x y )1,0(0≠=x y 不符合题意，舍去M 的轨迹C 的方程为)0(42≠=x x y 时，当l 斜率存在时，设l 的方程为)1(-=x k y ，由⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)1(2得0)42(2222=++-k x k x k设),(11y x A ，),(22y x B ，则222142k k x x +=+，121=x x所以112111111sin sin 21212121=+++++=+++=+=+x x x x x x x x BF AF βα 当l 与x 轴垂直时，也可得1sin sin =+βα ………12分21．22．23．解：（Ⅰ）原不等式为：23215x x ++-≤，当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-；当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．………………5分（Ⅱ）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．………………10分。

2018-2019学年贵州省遵义市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年贵州省遵义市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1．（5分）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0平分的直线是（）A．x+y﹣1＝0B．x+y+3＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y+3＝0 2．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，+1＞0B．∃x0∈R，+1≤0C．∃x0∈R，+1＜0D．∀x∈R，x2+1≤03．（5分）下列四个结论：①两条直线和同一个平面垂直，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内任意直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．34．（5分）若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（）A．B．C．D．5．（5分）过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y2＝1有相同渐近线的双曲线的方程是（）A．B．C．D．6．（5分）一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π7．（5分）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是抛物线y2＝4x（y＞0）上的三点，其中x1＜x2＜x3，则a＝log y1，b＝log y2，c＝log y3大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b8．（5分）设x，y∈R，＝（x，y﹣1），＝（3，4），且⊥，则点（﹣4，0）到点（x，y）的最短距离是（）A．2B．3C．D．9．（5分）入射光线l从P（2，1）出发，经x轴反射后，通过点Q（4，3），则入射光线l 所在直线的方程为（）A．y＝0B．y＝（x+5）C．y＝2x+5D．y＝﹣2x+5 10．（5分）“∀n∈N*，＝a n a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D 为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题每题5分，共20分）13．（5分）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为．14．（5分）圆x2+y2﹣2x+2y＝0上的动点P到直线y＝x+2的距离的最小值为．15．（5分）已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且AB＝2，BC＝1，AC＝3，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为．16．（5分）已知椭圆＝1内有一点P（1，﹣1），F为椭圆的右焦点，M为椭圆的一个动点，则|MP|+|MF|的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣m≥0，命题q：点A（1，﹣2）在圆（x﹣m）2+（y+m）2＝1的内部．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC 的中点，AA1＝AB＝2．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）若BC＝3，求三棱锥D﹣BC1C的体积．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上．（1）求圆C的方程；（2）设P是圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．20．（12分）已知，动点P在抛物线x2＝2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，动点Q 满足：＝．（1）求动点Q的轨迹E的方程；（2）过点N（4，5）且斜率为k的直线交轨迹E于A，B两点，M点的坐标为（﹣4，4），设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，求k1•k2的值．21．（12分）如图1，在△MBC中，BM＝2BC＝4，BM⊥BC，A，D分别为BM，MC的中点．将△MAD沿AD折起到△P AD的位置，使∠P AB＝90°，如图2，连结PB，PC．（1）求证：平面P AD⊥平面ABCD；（2）若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值．22．（12分）给定椭圆C：＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点．求证：l1⊥l2．2018-2019学年贵州省遵义市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，可得出圆心坐标为（1，2），将x＝1，y＝2代入A选项得：x+y﹣1＝1+2﹣1＝2≠0，故圆心不在此直线上；将x＝1，y＝2代入B选项得：x+y+3＝1+2+3＝6≠0，故圆心不在此直线上；将x＝1，y＝2代入C选项得：x﹣y+1＝1﹣2+1＝0，故圆心在此直线上；将x＝1，y＝2代入D选项得：x﹣y+3＝1﹣2+3＝2≠0，故圆心不在此直线上，则直线x﹣y+1＝0将圆平分．故选：C．2．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p 为：∃x0∈R，+1≤0．故选：B．3．【解答】解：①两条直线都和同一个平面垂直，则这两条直线平行，根据线面垂直的性质，可得正确；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故错误；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，故错误；④一条直线和一个平面内任意直线直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行，故正确．故选：C．4．【解答】解：设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为、半径为1，∴＝α•12，∴α＝，故选：B．5．【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是＝k，∵点P（2，﹣2）在双曲线方程上，所以，∴k＝﹣2，故所求的双曲线方程是，故选：B．6．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是＝5，∴剩余部分的表面积S＝π×32+2π×3×4+π×3×5＝48π，故选：B．7．【解答】解：∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是抛物线y2＝4x（y＞0）上的三点，其中x1＜x2＜x3，∴y1＜y2＜y3．∵y＝在（0，+∞）上是减函数，a＝log y1，b＝log y2，c＝log y3，故有a＞b＞c，故选：A．8．【解答】解：∵⊥，∴＝0，即3x+4y﹣4＝0，∴y＝．∴点（﹣4，0）到点（x，y）的距离为d＝＝＝≥．故选：D．9．【解答】解：由题意利用反射定律可得，点Q关于x轴的对称点Q′（4，﹣3）在入射光线所在的直线上，故入射光线l所在直线PQ′的方程为：，化简可得y＝﹣2x+5，故选：D．10．【解答】解：若a n＝0，则满足＝a n a n+2，但数列{a n}不是等比数列，即充分性不成立，反之若数列{a n}为等比数列，则∀n∈N*，＝a n a n+2，成立，即必要性不成立，即“∀n∈N*，＝a n a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．11．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|＝，|A1D|＝，|A1B|＝，由余弦定理，得cosθ＝＝．故选：D．12．【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|且|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos＝a2+b2+ab，配方得|AB|2＝（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤＝，即的最大值为．故选：C．二、填空题（本大题共4小题每题5分，共20分）13．【解答】解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°半径为3的扇形∴圆锥的母线长为l＝3，底面周长即扇形的弧长为×3＝2π，∴底面圆的半径r＝1，可得底面圆的面积为π×r2＝π又圆锥的高h＝＝＝2故圆锥的体积为V＝×π×＝π，故答案为：．14．【解答】解：由x2+y2﹣2x+2y＝0，得（x﹣1）2+（y+1）2＝2，∴圆x2+y2﹣2x+2y＝0的圆心为（1，﹣1），半径为．由y＝x+2，得3x﹣4y+8＝0，点（1，﹣1）到直线3x﹣4y+8＝0的距离为＝3．∴圆x2+y2﹣2x+2y＝0上的动点P到直线y＝x+2的距离的最小值为3﹣．故答案为：．15．【解答】解：△ABC中AB＝2，BC＝1，AC＝3，由勾股定理可知斜边AC的中点O′就是△ABC的外接圆的圆心，∵三棱锥O﹣ABC的体积为，∴＝，∴OO′＝∴R＝＝，球O的表面积为4πR2＝12π．故答案为：12π．16．【解答】解：如图，由椭圆，得a2＝4，a＝2．设椭圆左焦点为F′，则|MF|＝2a﹣|MF′|＝4﹣|MF′|，∴|MP|+|MF|＝4﹣|MF′|+|MP|＝4+（|MP|﹣|MF′|）．由图可知，当M为PF′的延长线与椭圆的交点时，|MP|﹣|MF′|有最大值为．∴|MP|+|MF|的值最大值为4+．故答案为：4+．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分）17．【解答】解：（1）命题p为真命题，∴：∀x∈R，x2+x﹣m≥0恒成立，∴△＝1+4m≤0，解得m≤﹣．所以实数m的取值范围是．（2）∵命题“p或q”为假命题，∴p与q都为假命题，当q为真命题时，（1﹣m）2+（﹣2+m）2＜1，解得1＜m＜2，∴q为假命题时m≤1或m≥2，由（1）知，p为假命题时：m＞﹣．从而，解得1或m≥2．所以实数m的取值范围为∪[2，+∞）．18．【解答】解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥B1A．OD⊂平BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴侧棱CC1∥AA1，又∵AA1⊥底面ABC，∴侧棱CC1⊥面ABC，故CC1为三棱锥C1﹣BCD的高，A1A＝CC1＝2，∴．∴．19．【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，其圆心为（﹣，﹣）．∵圆C经过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x﹣y﹣1＝0上，∴，解得．∴所求圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y＝0；（2）由（1）知，圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC＝．∴当PC最小时，S最小．∵圆D：x2+y2+8x﹣2y+16＝0，∴D（﹣4，1），半径为1．∵C（2，1），∴两个圆的圆心距DC＝6．∵点P在圆D上，且圆D的半径为1，∴PC min＝6﹣1＝5．∴S min＝×＝10．此时直线PC：y＝1，从而P（﹣3，1）．20．【解答】解：（1）设点Q（x，y），由＝，则点P（x，2y），将点P（x，2y）代入x2＝2y得x2＝4y．∴动点Q的轨迹E的方程为x2＝4y．（2）设过点N的直线方程为y＝k（x﹣4）+5，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得x2﹣4kx+16x﹣20＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝16k﹣20．∵k1＝，k2＝，∴k1k2＝＝＝＝﹣．21．【解答】证明：（1）∵如图1，在△MBC中，BM＝2BC＝4，BM⊥BC，A，D分别为BM，MC的中点．将△MAD沿AD折起到△P AD的位置，使∠P AB＝90°，如图2，连结PB，PC．∴在图2中，P A⊥AD，P A⊥AB，∵AB∩AD＝A，∴P A⊥平面ABCD，∵P A⊂平面P AD，∴平面P AD⊥平面ABCD．解：（2）由（1）知AB，AD，AP两两垂直，∴以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，1，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），B（2，0，0），＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），＝（0，1，﹣2），设平面PBD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，1），设直线DE与平面PBD所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线DE与平面PBD所成角的正弦值为．22．【解答】解：（1）因为，所以b＝1所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y2＝4．（2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与准圆交于点，此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1（或y＝﹣1），即l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02＝4，设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3＝0，即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3＝0，△＝[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]＝0，经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02＝0，因为x02+y02＝4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）＝0，所以t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直．。

贵州遵义四中1819学度高二上年末试题数学理

贵州遵义四中18-19学度高二上年末试题-数学理高二（理科）数学试卷一、选择题（每小题5分，共12小题，60分）1．某校高二共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设四班第一次被抽到的可能性为a ，第二次被抽到的可能性为b ，则( )A ．a ＝310，b ＝29B ．a ＝110，b ＝19C ．a ＝310，b ＝310D ．a ＝110，b ＝110 2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12 B.212 C ．28 D ．63 3．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，其线性回归直线方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.254.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率( )A. 715B. 815C. 35D. 1075. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如下图，则新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为( )A ．0.001B ．0.1C ．0.2D ． 0.36．若a 是从区间[0,10]中任取的一个实数,则方程210x ax -+=无实解的概率是( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.47. 用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6的值，当x ＝－4时，v 4的值为( )A ．－57B ．124C ．－845D ．2208．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）Ａ．48Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．209．若ξ～B (10，12)，则P (ξ≥2)＝( ) A.111024 B.501512 C.10131024 D.50751210．342(1)(1)(1)n x x x +++++++的展开式中2x 的系数是（）Ａ．33n C +Ｂ．32n C +Ｃ．321n C +-Ｄ．331n C +-11．已知随机变量X 的分布列为X －2 －1 0 1 2 3 P112mn11216112其中m ，n ∈[0,1)，且E (X )＝16，则m ，n 的值分别为( ) A.112，12 B.16，16 C.14，13 D.13，1412．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( )A ．68.26%B ．95.44%C ．99.74%D ．31.74% 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是14题. 程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入15, 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过1的概率___________216．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有以下结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是4．1(0.1)其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）．三.（本大题70分，17题10分，其余每题12分）17．(10分)安排5名歌手的演出顺序．(1)要求歌手甲不第一个出场，有多少种不同的排法？(2)要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，有多少种不同的排法？18，(12分)某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如下图．若130～140分数段的人数为2人．(1)求这组数据的平均数M；(2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．19．(12分)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．(1)若从袋子里一次取出3个球，求得4分的概率；(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求所得分数ξ的分布列及数学期望．20，（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=060.PAB ∠= （I ）证明AD ⊥平面PAB ；（II ）求异面直线PC 与AD 所成的角正切值；（III ）求二面角P―BD―A 的大小的正切值。

2023-2024学年贵州省遵义市高二上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年贵州省遵义市高二上册期末数学试题一、单选题110y -+=的倾斜角为（）A ．π4B ．π6C ．π3D ．2π3【正确答案】C【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求.10y -+=为1y +，所以直线的斜率k =θ，则tan θ=0πθ≤< ，π3θ∴=.故选：C.2．抛物线24y x =的准线方程为A ．1x =B ．2x =C ．=1x -D ．2x =-【正确答案】C【分析】由抛物线标准方程知p ＝2，可得抛物线准线方程．【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点在x 轴上，且2p=4,2p=1，∴抛物线的准线方程是x ＝﹣1．故选C ．本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．3．已知向量(1,),(2,1)a x b =-=，若a b ⊥ ，则x 的值为（）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【正确答案】D【分析】根据题意可得0a b ⋅=，进而求出x 的值.【详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=，即1210x -⨯+⋅=，解得2x =，故选：D.4．已知正实数a 、b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（）A ．3+B ．3C ．2+D ．4【正确答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.【详解】由0,0a b >>，则()12122123b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=，即1,2a b ==-故选：A.5．若0.53log 10,3,ln10a b c ===，则（）A ．a b c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．b a c>>【正确答案】B【分析】将3log 10、0.53与2比较可得a b >，将ln10、3log 10用换底公式变换后构造函数，研究其单调性比较即可.【详解】∵33log 10log 92a =>=，0.532b ===，∴a b >，又∵1ln10lg e =，31log 10lg3=，0lg e lg 3<<，∴11lg e lg3>，即：3ln10log 10>，∴c a >，∴c a b >>.故选：B.6．已知两条直线1:10l ax y +-=和2:10(R)l x ay a ++=∈，下列不正确的是（）A ．“a ＝1”是“12l l ∥”的充要条件B ．当12l l ∥C ．当2l 斜率存在时，两条直线不可能垂直D ．直线2l 横截距为1【正确答案】D【分析】由直线平行关系可以判断A 正确；利用平行线间距离公式可以判断B 正确；利用垂直关系可以判断C 正确；令0y =可以求出直线2l 得横截距.【详解】当12l l ∥时，11a a ⋅=⨯，则1a =±，当1a =-时，直线1l 与2l 重合，故舍去，所以A 正确；当1a =时，12l l ∥，1:10l x y +-=和2:10(R)l x y a ++=∈间的距离为d =B 正确；若12l l ⊥，则110a a ⋅+⋅=，则0a =，又当2l 斜率存在时，0a ≠，所以C 正确；2:10(R)l x ay a ++=∈，令0y =得=1x -，所以直线2l 横截距为-1，所以D 错误.故选：D.7．已知函数()f x 的图象如下图所示，则(|1|)f x +的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】先由函数()f x 的图象变换得到偶函数()f x 的图象，再根据平移变换得到(|1|)f x +的图象.【详解】在y 轴左侧作函数()f x 关于y 轴对称的图象，得到偶函数()f x 的图象，向左平移一个单位得到(|1|)f x +的图象.故选：A.8．投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件A 与事件B 对立C ．事件A 与事件B 相互独立D ．()56P A B +=【正确答案】C【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A 与事件B 的基本事件可判断A ，B ；根据独立事件的概率公式可判断C ；求出事件A B +的概率可判断D.【详解】对于A ，B ，事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A 与事件B 不互斥，也不对立，A ，B 错误；对于C ，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，事件A ：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为1()2P A =,B ：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为1()3P B =,事件AB 包含的基本事件个数有1个，其概率为1()6P AB =,由于()()()P AB P A P B =,故事件A 与事件B 相互独立，C 正确；对于D ，事件A B +包含的基本事件个数有朝上的点数为2,4,5,6共4个，故()4263P A B +==，D 错误，故选：C二、多选题9．已知函数()221f x x x =+，则（）A ．函数f （x ）为偶函数B ．函数f （x ）的定义域为(,0)(0,)-∞+∞C ．函数f （x ）的最小值为2D ．函数f （x ）在（0，＋∞）单调递减【正确答案】ABC【分析】对于A ：根据偶函数的定义即可判断；对于B ：分母不为0即可判断；对于C ：根据基本不等式即可判断；对于D ：求导即可判断.【详解】对于A ：()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，而()()222211()()f x x x f x x x -=-+=+=-，所以()f x 为偶函数.故A 正确；对于B ：20,0x x ≠∴≠ ，()f x ∴的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .故B 正确；对于C ：()2212f x x x =+≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，故()f x 的最小值为2.故C 正确；对于D ：433222()2x f x x x x-'=-=，当0x >时，令()0,f x '>即4220x ->，解得1x >，令()0,f x '<即4220x -<，解得01x <<，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.故D 错误.故选：ABC.10．已知函数()1sin22f x x x =，则（）A ．函数f （x ）的最小正周期为πB ．将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位后的图象关于y 轴对称C ．函数f （x ）的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数f （x ）在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【正确答案】AD【分析】运用辅助角公式化简、图象平移变换，再研究其周期性、奇偶性、对称性及单调性即可.【详解】1π()sin 22sin(2)223f x x x x =+=+，对于A 项，2π2ππ|||2|T ω===，故A 项正确；对于B 项，()f x 的图象向右平移π3个单位后为πππ()sin(2())sin(2)333g x x x =-+=-，所以ππ()sin(2)sin(2)()33g x x x g x -=--=-+≠，所以图象不关于y 轴对称.故B 项错误；对于C 项，因为πππ2π362k x k x +=⇒=-+，Z k ∈，所以()f x 的对称中心为ππ(,0)62k -+，Z k ∈，当πππ626k -+=时，2Z 3k =∉，所以π(,0)6不是()f x 的对称中心.故C 项错误；对于D 项，因为ππ(,62x ∈，则π2π4π2(,)333x +∈，π()sin(23f x x =+，令π23t x =+，则sin y t =，2π4π(,33t ∈，因为sin y t =在2π4π(,)33上单调递减，所以()f x 在ππ(,62上单调递减.故D 项正确.故选：AD.11．已知直线l ：10x y ++=，点P 为⊙M ：()()22122x y -+-=上一点，则（）A ．直线l 与⊙M 相离B ．点P 到直线l距离的最小值为1C ．与⊙M 关于直线l 对称的圆的方程为()()22322x y +++=D ．平行于l 且与⊙M 相切的两条直线方程为2210x y ++=和2250x y +-=【正确答案】AC【分析】利用圆心()1,2M 到直线l 的距离d与半径r A 正确；点P 到直线l 距离的最小值为d r -，判断B 错误；求出圆心()1,2M 关于直线l 对称点()3,2N --，进而求出圆的方程，判断C 正确；利用圆心()1,2M 到直线的距离d r =，求出其切线方程，判断D 错误.【详解】⊙M ：()()22122x y -+-=，圆心()1,2M，半径r 圆心()1,2M 到直线l ：10x y ++=的距离为：d r =，所以直线l 与⊙M 相离，故A 正确；点P 到直线l距离的最小值为d r -=，故B 错误；设圆心()1,2M 关于直线l 对称点为()00,N x y ，则00001110222(1)11x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得()3,2N --，则与⊙M 关于直线l 对称的圆的方程为()()22322x y +++=，故C 正确；设平行于l 且与⊙M 相切的直线方程为0x y c ++=，则d r =='，解得1c =-或5c =-，平行于l 且与⊙M 相切的两条直线方程为10x y +-=和50x y +-=，故D 错误.故选：AC.12．双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线右支交于A 、B 两点，12AF F △和12BF F △内切圆半经分别为1r 和2r ，则（）A ．双曲线C的渐近线方程为20x =B ．1AF B △面积的最小值为15C ．12AF F △和12BF F △的内切圆圆心的连线与x 轴垂直D ．12r r ⋅为定值【正确答案】BCD【分析】A20y ±=；B ：1121212AF BSF F y y =-，联立方程，找到面积的表达式，函数解析式找到最小值，在垂直时取到；CD:画图，设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G ，推导出点G 、1O 、2O 的横坐标为a ，证得12O O x ⊥轴，12122O GF O F O △∽△，可得出()212r r c a =-，得证；【详解】选项A :双曲线的渐近线方程为2x =20y ±=，错误；选项B ：设1122(,),(,)A x y B x y 则1121212AF BSF F y y =-；设过点2F 的直线为l 显然与y 轴不垂直，设l ：3x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立223145x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()225430250m y my ⇒-++=，故()2Δ40010m =+>，12212230542554m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，由于A ，B 均在双曲线右支，故1221221221212224()60054020363()9054m y y x x m x x m m y y m y y m -⎧++=>⎪+>⎧⎪-⇔⎨⎨⋅>--⎩⎪+++=>⎪-⎩，解得2045m ≤<，1121212AF BS F F y y =-带入得：()112122AF BSc y y =⨯⨯-=代入韦达定理得12450AF BSm ⎫=≤⎪⎝<⎭，13t t ⎛⎫=≤< ⎪ ⎪⎝⎭，则12960560195AF Bt S t t t t⎛⎫==≤ ⎪ ⎪-⎝⎭-，易知95t t-随t 的增大而减小，则当1t =时，()1min15AF BS=，综上：1AF BS的面积的最小值为15，正确；选项C :（如图所示）过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，由切线长定理可得AM AN =，11F M F G =，22F G F N =，所以()()()21212121AF F F AF AN F N FG F G AM F M +-=+++-+222222F N F G F G c a =+==-，则2F G c a =-，所以点G 的横坐标为()c c a a --=.故点1O 的横坐标也为a ，同理可知点2O 的横坐标为a ，故12O O x ⊥轴，正确；选项D ：由C 可知圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(),0G a ，圆1O 和圆2O 两圆外切.在122O O F △中，()122122221211902O F O O F G O F G AF F BF F ∠=∠+∠=∠+∠= ，122O O F G ⊥，12212GO F F O O ∴∠=∠，1212290O GF O F O ∠=∠= ，所以，12122O GF O F O △∽△，所以，1121212O G O F O F O O =，则212112O F O G O O =⋅，所以22222121112112F G O F O G O G O O O G O G O G =-=⋅-=⋅，即()2121r r c a =-=，正确；故BCD方法点睛：双曲线中的面积最值问题的处理方法：设出直线方程y kx b =+，设出交点坐标11(,)x y ，22(,)x y ，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，可根据交点情况得出参数范围，利用点的坐标求出面积，代入韦达定理的结果后面积可化为所设参数的函数，从而再利用函数知识、不等式知识求得最值．三、填空题13．若复数12z i =+，则|z |＝___．【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案.【详解】由题意，复数12z i =+的实部为1，虚部为2，则z =故答案为14．若sin ,0,22παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α＝___．【正确答案】【分析】方法1：运用特殊角的三角函数值计算即可.方法2：运用同角三角函数的平方关系与商式关系及二倍角公式计算即可.【详解】方法1：∵π(0,2α∈，sin 2α=，∴π3α=，∴2πtan 2tan3α==.方法2：∵π(0,2α∈，∴1cos 2α===，∴sin tan cos ααα==∴22tan 2tan 21tan 13ααα===--故答案为.15．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若PA ＝2，AB ＝1，3BC =，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为___．【正确答案】8π【分析】由题意结合球心的性质确定三棱锥-P ABC 的外接球的球心的位置，求得球的半径，即可求外接球的表面积【详解】由题意，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥，PA BC ⊥,又AB BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，因为PA AC ⊥，所以OP OC OA ==，因为BC PB ⊥，所以OC OP OB ==，所以O 为三棱锥-P ABC 外接球的球心，因为AB BC ⊥，1,3AB BC ==，所以2AC =，因为PA AC ⊥，2AC =，2PA =，所以2OP =，设三棱锥-P ABC 外接球的为R ，所以2R =，所以三棱锥的外接球的表面积为()224π4π28πS R ==⨯=．故答案为.8π16．已知函数2ln ,0()43,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实数根1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则()()341211x x x x +-的取值范围是___．【正确答案】11,43⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】画出()y f x =的图象可得m 的范围，341x x =，124x x +=-，210x -<≤，代入所求式子转化为求函数222123y x x =--+在(1,0]-上的值域即可.【详解】()y f x =的图象如图所示，∵方程()f x m =有四个不相等的实根，∴03m <≤，又∵34ln ln x x m -==，1222+=-x x ，∴341x x =，124x x +=-，210x -<≤，∴34212222211(1)(1)(41)(1)23x x x x x x x x ==+---+---+，又∵22223y x x =--+在(1,0]-上单调递减，∴2223234x x ≤--+<，∴2221114233x x <≤--+，∴3412(1)(1)x x x x +-的取值范围为11,43⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为.11,43⎛⎤⎥⎝⎦四、解答题17．2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日－12月18日进行，赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分，某企业为了解广大球迷世界杯知识的知晓情况．在球迷中开展了网上测试，从大批参与者中随机抽取100名球迷，他们测试得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：(1)根据频率分布直方图，求a 的值；(2)若从得分在[75，90]内的球迷中用分层抽样的方法抽取6人作世界杯知识分享，并在这6人中选取2人担任分享交流活动的主持人，求选取的2人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的概率．【正确答案】(1)0.04.(2)35.【分析】（1）根据所有频率之和为1列式解方程即可.（2）根据分层抽样的抽样比相同抽取人数，用列举法解决古典概型.【详解】（1）50.010.070.060.02)1a ⨯=(++++，解得.0.04a =（2）由分层抽样可知，从得分在[75,80)内的球迷中抽取0.06630.060.040.02⨯=++人，分别记为1a 、2a 、3a ，从得分在[80,85)内的球迷中抽取0.04620.060.040.02⨯=++人，分别记为1b 、2b ，从得分在[85,90)内的球迷中抽取0.02610.060.040.02⨯=++人，记为c .所以从这6人中选取2人的基本事件有12(,)a a 、13(,)a a 、11()a b ,、12()a b ,、1(,)a c 、23(,)a a 、21()a b ,、22()a b ,、2(,)a c 、31()a b ,、32()a b ,、3(,)a c 、12()b b ,、1(,)b c 、2(,)b c ，共有15个，两人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的基本事件有11()a b ,、12()a b ,、21()a b ,、22()a b ,、31()a b ,、32()a b ,、12()b b ,、1(,)b c 、2(,)b c ，共有9个.所以两人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的概率为93155P ==.18．已知M 的圆心在直线y x =上，且过点(0,3),(1,0)P Q -．(1)求M 的方程；(2)若N e ：()()22113+++=x y ，求M 与N e 公共弦的长度．【正确答案】(1)22(1)(1)5x y -+-=2【分析】（1）求出PQ 的垂直平分线的方程，联立方程求得圆心坐标，继而求得半径，即可得答案；（2）求出两圆的公共线的方程，求得(1,1)M 到该直线的距离，根据圆的弦长的求法可得答案.【详解】（1）由题意知M 的圆心在直线y x =上，且过点(0,3),(1,0)P Q -，则PQ 的垂直平分线方程为311()232y x -=-+，即340x y +-=，联立340y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即圆心为(1,1），=故M 的方程为22(1)(1)5x y -+-=（2）因为||MN =<<故M 和N e 相交，将()()22113+++=x y 和22(1)(1)5x y -+-=相减可得22+10x y +=，点(1,1)M 到直线22+10x y +==故M 与N e 公共弦的长度为2.19．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为11C D 中点，且124AA AB ==．(1)证明：1//AD 平面11BCC B ；(2)求DM 与平面I AMD 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析.(2)85.【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）作1DP AD ⊥,证明DP ⊥平面1AMD ,找到DM 与平面I AMD 所成角，求出相关线段的长，解直角三角形即可求得答案.【详解】（1）证明：如图，连接1BC,因为1111,AB D C AB D C =∥,所以四边形11ABC D 为平行四边形，故11AD BC ∥,又1AD ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ,故1//AD 平面11BCC B .（2）作1DP AD ⊥,垂足为P ，因为11C D ⊥平面11ADD A ,M 为11C D 中点，1MD ⊥平面11ADD A ,PD ⊂平面11ADD A ,故1MD DP ⊥,11111,AD MD D AD MD =⊂ ，平面1AMD ,故DP ⊥平面1AMD ,连接MP ,则DMP ∠为DM 与平面I AMD 所成角，在1Rt ADD中，11DD ADPD AD ⋅==而DM =故在Rt DPM △中,sin 85PD DMP MD ∠==,即DM 与平面I AMD所成角的正弦值为85.20．在①()(sin sin )()sin b c B C b a A -+=-；②(2)cos cos 0b a C c B -+=这两个条件中选择一个，补充在下面问题中并解答．问题：在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，___________．(1)求C ；(2)若a ＝1，b ＝2，D 在线段AB 上，且满足25AD AB =，求线段CD 的长．注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．【正确答案】(1)π3(2)5【分析】（1）选择条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；选择条件②，先用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解；（2）先利用余弦定理求出AB =π2ABC ∠=，再由题意求出BD ，再根据勾股定理即可求得CD ．【详解】（1）选择条件①()(sin sin )()sin b c B C b a A -+=-，依题意由正弦定理得()(+)()b c b c b a a -=-，即222a b c ab +-=，又由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，且()0,πC ∈，得π3C =，选择条件②(2)cos cos 0b a C c B -+=，依题意由正弦定理得(sin 2sin )cos sin cos 0B A C C B -+=,即()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C B C C B B C A =+=+=，又(),0,πA C ∈，则sin 0A >，所以1cos 2C =，得π3C =，（2）结合（1）由余弦定理得22222cos 3AB c a b ab C ==+-=，即AB =则222b a c =+，所以π2ABC ∠=，又25AD AB = ，即255AD AB ==，则5BD =，则在Rt △CBD 中，2222252125CD BC BD =+=+=⎝⎭，得CD =21．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点H 为线段PB 上一点（不含端点），平面AHC ⊥平面PAB ．(1)证明：PB AC ⊥；(2)若1AB AC ==，四棱椎P －ABCD 的体积为13，求二面角P －BC －A 的余弦值．【正确答案】(1)见解析63【分析】（1）利用面面垂直性质定理与线面垂直性质定理，结合公理2，可得线面垂直，可得答案；（2）根据二面角的平面角定义作图，利用等面积法以及棱锥体积公式，求得边长，结合直角三角形的性质，可得答案.【详解】（1）PA ⊥ 平面ABCD ，且C ∈平面ABCD ，∴过点C 所有垂直于PA 的直线都在平面ABCD 内，平面AHC ⊥平面ABP ，且C ∈平面AHC ，∴存在一条过C 的直线l ⊥平面ABP ，且l ⊂平面AHC ，PA ⊂ 平面ABP ，l PA ∴⊥，则l ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AHC AC =，l ∴与AC 为同一条直线，即AC ⊥平面ABP ，PB ⊂ 平面ABP ，AC PB ∴⊥.（2）在平面ABCD 内，过A 作AE BC ⊥，且AE BC E ⋂=，连接PE ，作图如下：PA ⊥ 平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ，PA BC ∴⊥，同理可得PA AE ⊥，AE BC ⊥ ，AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，BC ∴⊥平面PAE ，PE ⊂Q 平面PAE ，PEA ∴∠为二面角P BC A --的平面角，在Rt ABC △中，1122ABCS AB AC AE BC =⋅⋅=⋅⋅，且BC ==2AE =，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的面积1S AB AC =⋅=，则其体积1133V PA S =⋅⋅=，解得1PA =，在Rt PAE中，cos PA PEA PE ∠=故二面角P BC A --的余弦值为3.22．已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的左顶点为()A -，离心率为2．(1)求C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线1l 、2l ，M 为1l 与C 两交点的中点，N 为2l 与C 两交点的中点，求△FMN 面积的最大值．【正确答案】(1)22184x y +=(2)49【分析】（1）由已知顶点坐标求出a ，由离心率求出c ，进一步运算得出椭圆的方程；（2）设出直线1l 、2l 的方程，与椭圆C 方程联立，得出M ，N 的纵坐标，表示△FMN 的面积，求其最大值.【详解】（1）由左顶点为()A -，得a =2，即2c a =，则2c =，2b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=；（2）由已知1l 、2l 斜率都存在且不为0，设1l 与C 交于()11,P x y ，()22,Q x y ，右焦点()2,0F ，设直线1l ：2x my =+，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222440m y my ++-=，所以1l 与椭圆C 两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==-+，同理2l 与椭圆C 两交点的中点N 的纵坐标22222112N m m y m m -=-=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以△FMN的面积()()()2221122221M N m S MF m my m NF +=+==+()()()22222222211121m m m m m m m m +=+=++++，不妨设0m >，令21m t m +=，2t ≥，则212S t t=+，因为12y t t=+，212y t '=-，因为2t ≥，所以函数12y t t =+在区间[)2,+∞上单调递增，当2t =时，12y t t =+有最小值92，△FMN 面积有最大值，最大值为49．。

贵州省遵义市第四中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(文)试题(解析版)

贵州省遵义市第四中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合{|14}A x x =<<，{|2}B x x =≤，则A B ⋂=（） A. (0,1) B. ]2,0( C. (1,2) D. ]2,1(【答案】D 【解析】【分析】由A 与B 求出两集合的交集即可．【详解】∵{|14}A x x =<<，{|2}B x x =≤， ∴(]{|12}1,2A B x x ⋂=<≤=. 故选：D ．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若αβ⊥，//m α，则m β⊥；②若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥； ③若m β⊥，//m α，则αβ⊥；④若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ．其中正确命题的序号是（） A. ②③ B. ①④ C. ②④ D. ①③【答案】A 【解析】【分析】对于①当αβ⊥，//m α时，m β⊥不一定成立；对于②可以看成m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量即可；对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；对于④α，β也可能相交．【详解】①当αβ⊥，//m α时，m β⊥不一定成立，m 可能在平面ββ内或与平面斜交，所以错误；②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；③因为//m α，则一定存在直线n 在β，使得//m n ，又m β⊥可得出n β⊥，由面面垂直的判定定理知，αβ⊥，故成立；④//m α，//n β，且//m n ，α，β也可能相交，如图所示，所以错误，故选：A ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键．3.定义一种运算S a b =⊗，在如图所示的框图所表达的算法中揭示了这种运算“⊗”的含义，那么按照运算“⊗”的含义，tan 60tan30cos60cos30S =⊗+⊗=（）A.32+ B.434+ C.312D.113162+ 【答案】C 【解析】试题分析：因为313t a n 603t a n 30,c o s22=>==<=，所以193t a n 60t a n 30c o s 60c o s30t a n12S =⊗+⊗=++⨯=，故选C.考点：程序框图及三角函数值的计算.4.与直线4350x y-+=关于x轴对称的直线方程为（）A. 4350x y++= B. 4350x y-+= C. 4350x y+-= D. 4350x y--=【答案】A【解析】【分析】由条件求得与直线4350x y-+=关于x轴对称的直线的斜率为43-，且经过点5,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，用点斜式求得要求直线的方程．【详解】直线4350x y-+=的斜率为43，与x轴的交点为5,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，故与直线4350x y-+=关于x轴对称的直线的斜率为43-，且经过点5,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，故所求的直线方程为4534y x⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，化简可得4350x y++=，故选：A．【点睛】本题主要考查关于x轴对称的两条直线间的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．5.直线2x+3y–9=0与直线6x+my+12=0平行，则两直线间的距离为（）A.13B. 13C. 21D. 13【答案】B【解析】分析：先根据两直线平行，算出m的值，然后利用两平行直线间距离公式进行计算详解：∵2390x y+-=与6120x my++=平行，∴23=6m，∴m=9.将直线6120x my++=化为2x+3y+4=0，故其距离故选B.点晴：两直线平行于垂直的关系需要求掌握，另外在两平行直线间距离公式的运算过程中首先确保相应的x和y的系数需相等”6.设变量x，y满足约束条件24236xyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则43z x y=+的最大值是（）A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义利用数形结合分析即可得到结论．【详解】由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），因为43z x y=+，所以4+33zy x=-，平移直线4+33zy x=-，由图象可知当直线4+33zy x=-经过点A时，目标函数43z x y=+取得最大值，由24236x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得321xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A⎛⎫ ⎪⎝⎭，即341392z =⨯+⨯=，故z 的最大值为9．故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义． 7.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A. 4B. 246+C. 4+42D. 2【答案】B 【解析】分析：仔细观察三视图，发挥空间想象力，可知该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，进而可得结果.详解：由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的表面积为12222226422⨯++⨯=+，故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1BB 中点，则异面直线AE 与1DC 所形成角的余弦值为（）A.10B. 35C.1010 D.51 【答案】A 【解析】【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1DC 所形成角的余弦值．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1AB =，则()1,0,0A ，()1,1,1E ，()0,0,0D ，()10,1,2C ，()0,1,1AE =，()10,1,2DC =，设异面直线AE 与1DC 所形成角为θ，则11310cos 25AE DC AE DC θ⋅===⋅⋅. ∴异面直线AE 与1DC 所形成角的余弦值为31010. 故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.在正四面体ABCD 中，Q 是AB 的中点，则CQ 与平面BCD 所成角的余弦值为（） B.37 610 【答案】B 【解析】【分析】设正四面体棱长为a ，作出所求的线面角，根据线面角的定义计算即可．【详解】过A 作AO ⊥平面BCD ，则O 为BCD ∆的中心，过G 作GN ⊥平面BCD ，则N 为OD 的中点，设BC 的中点为M ，正四面体的棱长为a ，则3AM CG DM ===， ∴1336OM DM a ==，∴2263OA AM OM a =-=， ∴162GN OA ==， ∴2sin 3GN GCN CG ∠==. 则CE 与平面BCD 所成角θ满足：7cos θ=故选：B ．【点睛】本题考查了线面角的计算，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．10.直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0m >，0n >，则nm 12+的最小值为（） A. 22 B. 4C.52D.92【答案】D 【解析】【分析】根据直线的性质先求出A 的坐标，代入直线方程可得m 、n 的关系，再利用l 的代换结合均值不等式求解即可．【详解】直线()()()120x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，即()()120x y x y λ-++-=，∴1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得2x =-，1y =-， ∴()2,1A --， ∴220m n --+=，即112m n +=， ∴2111222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5922n m m n ≥+⋅=，当且仅当23m n ==时取等号，故选：D ．【点睛】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容． 11.已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有)()()(y f x f xy f +=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*(2)()(2)()n n f S f a f n N +-=∈，则n a =（）A. n 2B. nC. 21n -D. 13()2n -【答案】A 【解析】【分析】根据函数的单调性求出n S 与n a 的关系，再判断数列{}n a 的性质，进而利用等比数列的性质可求得答案．【详解】因为()()()22n n f S f a f +-=，可得()()()()222n n n f S f f a f a +=+=，又因为函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，所以22n n S a +=，故1122n n S a +++=，两式作差得12n n a a +=，当1n =时1122S a +=，求得12a =，故12n na a +=，即数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，从而2n n a =．故选：A ．【点睛】本题考查函数的单调性，数列中根据n S 与n a 的递推关系求通项公式，考查了等比数列的通项的求法，属于中档题．12.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( )43C. 43D. 323【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA SB SC ==，可得S 在面ABC 上的射影为AB 中点H ，SH ⊥平面ABC ，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 与SH 交于O ，则O 为SABC 的外接球球心，OS 为球半径，由此可得该三棱锥的外接球的体积.【详解】因为三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA SB SC ==，所以S 在ABC 上的射影为AB 中点H ，所以SH ⊥平面ABC ，所以SH 上任意一点到A,B,C 的距离相等，因为1SH CH ==，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 与SH 交于O ，则O 为S ABC -的外接球球心，所以2222(3)SO OC SO CH ==+，即22)1R R =+，解得3R =所以该三棱锥的外接球的体积为3443233333V R πππ===，故选D. 【点睛】该题考查的是有关球的体积的问题，涉及到的知识点是三棱锥的外接球，在解题的过程中，需要明确几何体的外接球的特征，注意思考球心所处的位置，建立相应的等量关系，求得半径，利用公式求得体积.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知1,2a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则2a b -=__________．【答案】13 【解析】()22212244141216132a b a ba ab b -=-=-+=-⨯⨯⨯+=.答案为：13.14.过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______．【答案】320x y -=或10x y -+= 【解析】【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为1x y a a+=-，把点()2,3P 代入可得a 的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案．【详解】当直线过原点时，由于斜率为303202-=-，故直线方程为32y x =，即320x y -=．当直线不过原点时，设方程为1x y a a+=-，把点()2,3P 代入可得1a =-，故直线的方程为10x y -+=，故答案为320x y ：-=或10x y -+=．【点睛】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 15.直线1l ：(3)453m x y m ++=-，2l ：2(5)8x m y ++=，若12l l ⊥，则m 的值为______．【答案】313- 【解析】【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出m 的值．【详解】当30m +=或50m +=时，不满足12l l ⊥，舍去．当30m +≠或50m +≠时，直线1l 的斜率134m k +=-，2l 的斜率225k m=-+. ∵12l l ⊥，∴1232145m k k m +⎛⎫⋅=-⋅-=- ⎪+⎝⎭，解得133m =-. 故答案为：133-．【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题．16.如图，在矩形ABCD 中，4=AB ，2AD =，E 为边AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设线段1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题： ① 总有BM ∥平面1A DE ；② 三棱锥1C A DE -体积的最大值为23； ③ 存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90︒．其中正确的命题是____．（写出所有．．正确命题的序号）【答案】①② 【解析】【分析】利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误；利用直线与平面垂直判断③的正误.【详解】取DC 的中点为F ，连结FM ，FB ，可得MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，可得平面MBF ∥平面A 1DE ，所以BM ∥平面A 1DE ，所以①正确；当平面A 1DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥C ﹣A 1DE 体积取得最大值，最大值为：111142222232323AD AE EC ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°．因为DE ⊥EC ，所以DE ⊥平面A 1EC ，可得DE ⊥A 1E ，即AE ⊥DE ，矛盾，所以③不正确；故答案为：①②【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线:240l x y +-=（1）求与 l 垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为 4 直线方程：（2）已知圆心为()1,4，且与直线 l 相切求圆的方程；【答案】（1） 240x y -+=或 240x y --=；（2）22(1)(4)5x y -+-= 【解析】分析：（1）由题意，设所求的直线方程为20x y c -+=，分离令 0x =和0y =，求得在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式，求得c 的值，即可求解；（2）设圆的半径为 r ，因为圆与直线 :240l x y +-=相切，列出方程，求得半径，即可得到圆的标准方程. 详解：（1）∵所求的直线与直线l 垂直， ∴设所求的直线方程为()200x y c c -+=≠ ， ∵令0x =，得y c =；令0y =，得2cx =-. ∵所求的直线与两坐标轴围成的三角形面积为 4． ∴2114224c S c c =⋅-==，∴4c =± ∴所求的直线方程为240x y -+=或240x y --=．（2）设圆的半径为r ，∵圆与直线:240l x y +-=相切∴5r ==()()22145x y -+-=点睛：本题主要考查了直线方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 18.已知函数1()sin cos()cos 262f x x x x π=-+.（1）求函数()f x 的最大值；（2）已知ABC ∆的面积为3A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若21)(=A f ，10b c +=，求a 的值. 【答案】(1)34;(2)213a =. 【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为11sin 2264x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，可得函数()f x 的最大值为34；（2）由题意()111sin 22642f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，化简得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而得3A π=，由1sin 432bc A =10b c +=，求得b c 、的值，根据余弦定理得213a =. 【详解】（1）()31sin sin 2f x x x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭21cos 2x +-21sin cos cos 22x x x =+111cos2224x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭11sin 2264x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最大值为34. （2）由题意()111sin 22642f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，化简得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵()0,A π∈，∴132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴5266A ππ+=，∴3A π=. 由1sin 432bc A =得16bc =，又10b c +=， ∴2b =，8c =或8b =，2c =.在ABC ∆中，根据余弦定理得2222cos 52a b c bc A =+-=.∴a =.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 19.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++…．【答案】（1）a n =2n −1.（2）312n -【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由{}n b 是等比数列，知{}21n b -依然是等比数列，并且公比是2q ，再利用等比数列求和公式求解. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10. 解得d =2. 所以a n =2n −1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q . 因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9. 解得q 2=3.所以2212113n n n b b q ---==. 从而21135213113332n n n b b b b ---++++=++++=. 【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列⨯等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.20.某校高二某班的某次数学测试成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，其可见部分如图，据此解答下列问题：（1）求分数在[50,60]的频率及全班人数；（2）求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高；（3）若分数80分及以上的为优秀，求从分数优秀的同学中任选3人，恰有2人分数在[80,90]之间的概率．【答案】（1）0.08，25人；（2）4，0.016；（3）35. 【解析】【分析】（1）先求出[)50,60的频率，由此能求出全班人数；（2）先求出[)80,90之间的频数，由此能求出[)80,90间的矩形的高；（3）利用古典概型的概率公式求出恰有2人分数在[]80,90之间的概率．【详解】（1）由已知得[)50,60的频率为0.08，全班人数为2250.08n ==人．（2）[)80,90之间的频数为4人，∴[)80,90间的矩形的高为4=2510⨯0.016．（3）[)80,90间的4人设为A ，B ，C ，D ，[)90,100间2人设为a ，b ，从分数优秀的同学中任选3人，基本事件总数3620n C ==，恰有2人分数在[]80,90之间包含的基本事件个数214212m C C ==，∴恰有2人分数在[]80,90之间的概率123205m p n ===. 【点睛】本题考查频数、总体个数的求法，考查概率的求法，考查茎叶图、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.如图所示，ABCD 是正方形，⊥PA 平面ABCD ，E 、F 是AC 、PC 的中点．（1）求证：⊥AC 平面DEF ；（2）若2=PA ，1AB =，求三棱锥F PED -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）112. 【解析】【分析】（1）根据//PA EF 可得AC EF ⊥，结合AC DE ⊥得出AC ⊥平面DEF ；（2）F PDE P ADE F CDE V V V ---=-，利用割补法求三棱锥F PED -的体积．【详解】（1）证明：连接EF ．∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA AC ⊥，∵E ，F 分别是AC ，PC 的中点，∴//EF PA ， ∴EF AC ⊥，∵四边形ABCD 是正方形，E 是AC 的中点， ∴DE AC ⊥，又EF DE E ⋂=， ∴AC ⊥平面DEF ．（2）解：∵E ，F 分别是AC ，PC 的中点， ∴//EF PA ，12EF PA =．又PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ．∵2PA =，∴112EF PA ==， ∵正方形ABCD 的边长为1，∴1124ADE CDE ACD S S S ∆∆∆===. ∴111123346P ADE ADE V S PA -∆=⋅⋅=⋅⋅=.1111133412F CDE CDE V S EF -∆=⋅⋅=⋅⋅=，∴11161212F PDE P ADE F CDE V V V ---=-=-=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．22.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知21==AB AA ，D ，E 分别是1AA ，BC 的中点．（1）求证：//AE 平面1DBC ；（2）求直线DB 与平面1BCC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）515. 【解析】【分析】（1）取1BC 中点F ，连接DF ，EF ，可证四边形ADFE 是平行四边形，故而//DF AE ，得出//AE 平面1BDC ；（2）证明DF ⊥平面1BCC ，故DBF ∠为直线DB 与平面1BCC 所成角，再计算求得直线DB 与平面1BCC 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：取1BC 中点F ，连接DF ，EF ， ∵E 是BC 的中点，F 是1BC 的中点，∴1//EF CC ，112EF CC =， ∵D 是直三棱柱的侧棱1AA 的中点， ∴1//AD CC ，112AD CC =， ∴//AD EF ，AD EF =， ∴四边形ADFE 是平行四边形，∴//DF AE ，又DF ⊂平面1BDC ，AE ⊄平面1BDC ， ∴//AE 平面1BDC ．（2）∵1CC ⊥底面ABC ，1//EF CC ， ∴EF ⊥平面ABC ，又AE ⊂平面ABC ， ∴AE EF ⊥，∵ABC ∆是等边三角形，∴AE BC ⊥，又EF BC E ⋂=，∴AE ⊥平面1BCC ， ∵//DF AE ， ∴DF ⊥平面1BCC ，∴DBF ∠为直线DB 与平面1BCC 所成角． ∵等边ABC ∆的边长为2，112CC AA ==， ∴3DF AE ==225BD AD AB =+=∴15sin DF DBF BD ∠==【点睛】本题考查了线面平行的判定和线面角的计算，属于中档题．。

贵州省遵义市第四中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(文)试题(含精品解析)

贵州省遵义市第四中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（）{|14}A x x =<<{|2}B x x =≤A B ⋂=A. B. C. D. (0,1)]2,0((1,2)]2,1(【答案】D 【解析】【分析】由与求出两集合的交集即可．A B 【详解】∵，，{|14}A x x =<<{|2}B x x =≤∴.(]{|12}1,2A B x x ⋂=<≤=故选：D ．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：m n αβ①若，，则；αβ⊥//m αm β⊥②若，，且，则；m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥③若，，则；m β⊥//m ααβ⊥④若，，且，则．//m α//n β//m n //αβ其中正确命题的序号是（）A. ②③ B. ①④C. ②④D. ①③【答案】A 【解析】【分析】对于①当，时，不一定成立；对于②可以看成是平面的法向量，是平面的αβ⊥//m αm β⊥m αn β法向量即可；对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；对于④，也可能相交．αβ【详解】①当，时，不一定成立，m 可能在平面所以错误；αβ⊥//m αm β⊥ββ内或与平面斜交，②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；③因为，则一定存在直线在，使得，又可得出，由面面垂直的判定定理//m αn β//m n m β⊥n β⊥知，，故成立；αβ⊥④，，且，，也可能相交，如图所示，所以错误，//m α//n β//m n αβ故选：A ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键．3.定义一种运算，在如图所示的框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义，那么按照运算S a b =⊗⊗“”的含义，（）⊗tan 60tan 30cos 60cos30S =⊗+⊗=12【答案】C 【解析】试题分析：因为1tan 60tan 3060cos302=>==<=C.tan 60tan 30cos 60cos30tan 60tan 30cos 60cos30S =⊗+⊗=++⨯=考点：程序框图及三角函数值的计算.4.与直线关于轴对称的直线方程为（）4350x y -+=x A. B. C. D. 4350x y ++=4350x y -+=4350x y +-=4350x y --=【答案】A 【解析】【分析】由条件求得与直线关于轴对称的直线的斜率为，且经过点，用点斜式求得4350x y -+=x 43-5,04⎛⎫- ⎪⎝⎭要求直线的方程．【详解】直线的斜率为，与轴的交点为，4350x y -+=43x 5,04⎛⎫- ⎪⎝⎭故与直线关于轴对称的直线的斜率为，且经过点，4350x y -+=x 43-5,04⎛⎫- ⎪⎝⎭故所求的直线方程为，化简可得，45034y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭4350x y ++=故选：A ．【点睛】本题主要考查关于轴对称的两条直线间的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．x 5.直线2x +3y –9=0与直线6x +my +12=0平行，则两直线间的距离为（）B. C. 21 D. 1313【答案】B 【解析】分析：先根据两直线平行，算出m 的值，然后利用两平行直线间距离公式进行计算详解：∵与平行，2390x y +-=6120x my ++=∴，23=6m∴m=9.将直线化为2x +3y +4=0，6120x my ++=故其距离.故选B.点晴：两直线平行于垂直的关系需要求掌握，另外在两平行直线间距离公式的运算过程中首先确保相应的x 和y 的系数需相等”6.设变量，满足约束条件，则的最大值是（）x y 0024236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩43z x y =+A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义利用数形结合分析即可得到结论．z 【详解】由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），因为，所以，43z x y =+4+33z y x =-平移直线，由图象可知当直线经过点时，4+33z y x =-4+33zy x =-A 目标函数取得最大值，43z x y =+由，解得，24236x y x y +=⎧⎨+=⎩321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即，3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭即，341392z =⨯+⨯=故的最大值为9．z 故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义．7.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A. 4B.C.D. 2246+【答案】B 【解析】分析：仔细观察三视图，发挥空间想象力，可知该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，进而可得结果.详解：由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的表面积为，故选B.1222262⨯++⨯=+点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.已知正四棱柱中，，为中点，则异面直线与所形成角的1111ABCD A B C D -12AA AB =E 1BB AE 1DC 余弦值为（）B. C.D.35101051【答案】A 【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线D DA x DC y 1DD z 与所形成角的余弦值．AE 1DC 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，D DA x DC y 1DD z 设，则，，，，1AB =()1,0,0A ()1,1,1E ()0,0,0D ()10,1,2C ，，()0,1,1AE = ()10,1,2DC=设异面直线与所形成角为，AE 1DC θ则.11cos AE DC AE DC θ⋅===⋅∴异面直线与.AE 1DC 故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.在正四面体中，是的中点，则与平面所成角的余弦值为（）ABCD Q AB CQ BCDB.37【答案】B 【解析】【分析】设正四面体棱长为，作出所求的线面角，根据线面角的定义计算即可．a【详解】过作平面，则为的中心，A AO ⊥BCD O BCD ∆过作平面，则为的中点，G GN ⊥BCD N OD设的中点为，正四面体的棱长为，则，BC M a AM CG DM ===∴，∴，13OM DM a ==OA a ==∴，12GN OA ==∴sin GN GCN CG ∠==则与平面所成角满足：CE BCD θcos θ=故选：B ．【点睛】本题考查了线面角的计算，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．10.直线恒过定点，若点在直线上，其中，(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈A A 02=++ny mx 0m >，则的最小值为（）0n >nm 12+A. B. 4C.D.225292【答案】D 【解析】【分析】根据直线的性质先求出的坐标，代入直线方程可得、的关系，再利用的代换结合均值不等式求解A m n l 即可．【详解】直线恒过定点，()()()120x y R λλλλ+-++=∈A 即，()()120x y x y λ-++-=∴，1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得，，2x =-1y =-∴，()2,1A --∴，220m n --+=即，112m n +=∴ ，当且仅当时取等号，2111222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭5922≥+=23m n ==故选：D ．【点睛】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．11.已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数，都有，若()f x (0,)+∞x y )()()(y f x f xy f +=数列的前项和为，且满足，则（）{}n a n n S *(2)()(2)()n n f S f a f n N +-=∈n a =A. B. C. D. n2n21n -13(2n -【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性求出与的关系，再判断数列的性质，进而利用等比数列的性质可求得答案．n S n a {}n a 【详解】因为，可得，()()()22n n f S f a f +-=()()()()222n n n f S f f a f a +=+=又因为函数是定义在上的单调函数，()f x ()0,+∞所以，故，两式作差得，22n n S a +=1122n n S a +++=12n n a a +=当时，求得，故，1n =1122S a +=12a =12n na a +=即数列是以2为首项，2为公比的等比数列，从而．{}n a 2n n a =故选：A ．【点睛】本题考查函数的单调性，数列中根据与的递推关系求通项公式，考查了等比数列的通项的n S n a 求法，属于中档题．12.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三S ABC -AB 2AB SASB SC ====棱锥的外接球的体积为()C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，可得S 在面ABC 上的射S ABC -AB SA SB SC ==影为AB 中点H ，平面，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 与SH 交于O ，则O 为SABC 的SH ⊥ABC 外接球球心，OS 为球半径，由此可得该三棱锥的外接球的体积.【详解】因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，S ABC -AB SA SB SC ==所以S 在ABC 上的射影为AB 中点H ，所以平面，SH ⊥ABC 所以SH 上任意一点到A,B,C 的距离相等，因为，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 与SH 交于O ，1SH CH ==则O 为的外接球球心，S ABC -所以，2222)SO OC SO CH ==-+即，解得，22)1R R =-+R =所以该三棱锥的外接球的体积为故选D.34433V R ππ===【点睛】该题考查的是有关球的体积的问题，涉及到的知识点是三棱锥的外接球，在解题的过程中，需要明确几何体的外接球的特征，注意思考球心所处的位置，建立相应的等量关系，求得半径，利用公式求得体积.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，且与的夹角为，则__________．1,2a b == a b3π2a b -= 【答案】13【解析】.2a b -====14.过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______．)3,2(P【答案】或320x y -=10x y -+=【解析】【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为，把点代1x y a a +=-()2,3P 入可得的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案．a 【详解】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即．303202-=-32y x =320x y -=当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，1x y a a+=-()2,3P 1a =-故直线的方程为，10x y -+=故答案为或．320x y ：-=10x y -+=【点睛】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．15.直线：，：，若，则的值为______．1l (3)453m x y m ++=-2l 2(5)8x m y ++=12l l ⊥m 【答案】313-【解析】【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出m 的值．【详解】当或时，不满足，舍去．30m +=50m +=12l l ⊥当或时，直线的斜率，的斜率.30m +≠50m +≠1l 134m k +=-2l 225k m =-+∵，12l l ⊥∴，1232145m k k m +⎛⎫⋅=-⋅-=- ⎪+⎝⎭解得.133m =-故答案为：．133-【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题．16.如图，在矩形中，，，为边的中点．将△沿翻折，得到四棱ABCD 4=AB 2AD =E AB ADE DE锥．设线段的中点为，在翻折过程中，有下列三个命题：1A DEBC -1A C M ① 总有平面；BM ∥1A DE② 三棱锥1C A DE -③ 存在某个位置，使与所成的角为．DE 1A C 90︒其中正确的命题是____．（写出所有正确命题的序号）【答案】①②【解析】【分析】利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误；利用直线与平面垂直判断③的正误.【详解】取DC 的中点为F ，连结FM ，FB ，可得MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，可得平面MBF ∥平面A 1DE ，所以BM ∥平面A 1DE ，所以①正确；当平面A 1DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥C﹣A 1DE 体积取得最大值，最大值为：1111223232AD AE EC ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°．因为DE ⊥EC ，所以DE ⊥平面A 1EC ，可得DE ⊥A 1E ，即AE ⊥DE ，矛盾，所以③不正确；故答案为：①②【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线:240l x y +-=（1）求与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为 4 直线方程：l （2）已知圆心为，且与直线相切求圆的方程；()1,4l 【答案】（1）或；（2） 240x y -+= 240x y --=22(1)(4)5x y -+-=【解析】分析：（1）由题意，设所求的直线方程为，分离令和，求得在坐标轴上的截距，20x y c -+= 0x =0y =利用三角形的面积公式，求得的值，即可求解；c （2）设圆的半径为，因为圆与直线相切，列出方程，求得半径，即可得到圆的标准方 r :240l x y +-=程.详解：（1）∵所求的直线与直线垂直，l ∴设所求的直线方程为，()200x y c c -+=≠∵令，得；令，得.0x =y c =0y =2c x =-∵所求的直线与两坐标轴围成的三角形面积为 4．∴，∴2114224c S c c =⋅-==4c =±∴所求的直线方程为或．240x y -+=240x y --=（2）设圆的半径为，∵圆与直线相切r :240l x y +-=∴∴所求的圆的方程为r ()()22145x y -+-=点睛：本题主要考查了直线方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18.已知函数.1()sin cos()cos 262f x x x x π=-+（1）求函数的最大值；()f x（2）已知的面积为，，的对边分别为，，，若，，求ABC ∆A B C a b c 21)(=A f 10b c +=的值.a【答案】(1);(2).34a =【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为()f x ，可得函数的最大值为；（2）由题意，化简11sin 2264x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x 34()111sin 22642f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭得，从而得，由，，求得的值，1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭3A π=1sin 2bc A = 10b c +=b c 、根据余弦定理得.a =【详解】（1） ()1sin sin 2f x x x x ⎫=+⎪⎪⎭21cos 2x +-21cos cos 2x x x =+111cos2224x x ⎫=++⎪⎪⎭，11sin 2264x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数的最大值为.()f x 34（2）由题意，化简得.()111sin 22642f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵，∴，∴，∴.()0,A π∈132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭5266A ππ+=3A π=由得，又，1sin 2bc A =16bc =10b c +=∴，或，.2b =8c =8b =2c =在中，根据余弦定理得.ABC ∆2222cos 52a b c bc A =+-=∴.a =【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.已知等差数列和等比数列满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5．{}n a {}n b （Ⅰ）求的通项公式；{}n a （Ⅱ）求和：．13521n b b b b -++++…【答案】（1）a n =2n −1.（2）312n -【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知d {}n b 依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.{}21n b -2q 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d .因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10.解得d =2.所以a n =2n −1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q .因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9.解得q 2=3.所以.2212113n n n b b q ---==从而.21135213113332n n n b b b b ---++++=++++=【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序⨯相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.20.某校高二某班的某次数学测试成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，其可见部分如图，据此解答下列问题：（1）求分数在的频率及全班人数；[50,60]（2）求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；[80,90][80,90]（3）若分数80分及以上的为优秀，求从分数优秀的同学中任选3人，恰有2人分数在之间的概[80,90]率．【答案】（1），25人；（2）4，；（3）.0.080.01635【解析】【分析】（1）先求出的频率，由此能求出全班人数；（2）先求出之间的频数，由此能求出[)50,60[)80,90间的矩形的高；（3）求出恰有2人分数在之间的概率．[)80,90利用古典概型的概率公式[]80,90【详解】（1）由已知得的频率为0.08，全班人数为人．[)50,602250.08n ==（2）之间的频数为4人，∴间的矩形的高为0.016．[)80,90[)80,904=2510⨯（3）间的4人设为，，，，间2人设为，，[)80,90A B C D [)90,100a b 从分数优秀的同学中任选3人，基本事件总数，3620n C ==恰有2人分数在之间包含的基本事件个数，[]80,90214212m C C ==∴恰有2人分数在之间的概率.[]80,90123205m p n ===【点睛】本题考查频数、总体个数的求法，考查概率的求法，考查茎叶图、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.如图所示，是正方形，平面，、是、的中点．ABCD ⊥PA ABCD E F AC PC（1）求证：平面；⊥AC DEF （2）若，，求三棱锥的体积．2=PA 1AB =F PED -【答案】（1）证明见解析；（2）.112【解析】【分析】（1）根据可得，结合得出平面；（2）//PA EF AC EF ⊥AC DE ⊥AC ⊥DEF ，利用割补法求三棱锥的体积．F PDE P ADE F CDE V V V ---=-F PED -【详解】（1）证明：连接．EF ∵平面，平面，PA ⊥ABCD AC ⊂ABCD ∴，PA AC ⊥∵，分别是，的中点，∴，E F AC PC //EF PA ∴，EF AC ⊥∵四边形是正方形，是的中点，ABCD E AC ∴，又，DE AC ⊥EF DE E ⋂=∴平面．AC ⊥DEF（2）解：∵，分别是，的中点，E F AC PC ∴，．//EF PA 12EF PA =又平面，PA ⊥ABCD ∴平面．EF ⊥ABCD ∵，∴，2PA =112EF PA ==∵正方形的边长为1，ABCD ∴.1124ADE CDE ACD S S S ∆∆∆===∴.111123346P ADE ADE V S PA -∆=⋅⋅=⋅⋅=，1111133412F CDE CDE V S EF -∆=⋅⋅=⋅⋅=∴.11161212F PDE P ADE F CDE V V V ---=-=-=【点睛】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．22.如图，在正三棱柱中，已知，，分别是，的中点．111ABC A B C -21==AB AA D E 1AA BC（1）求证：平面；//AE 1DBC （2）求直线与平面所成角的正弦值．DB 1BCC【答案】（1）证明见解析；（2）.515【解析】【分析】（1）取中点，连接，，可证四边形是平行四边形，故而，得出1BC F DF EF ADFE //DF AE 平面；（2）证明平面，故为直线与平面所成角，再计算求//AE 1BDC DF ⊥1BCC DBF ∠DB 1BCC 得直线与平面所成角的正弦值．DB 1BCC 【详解】（1）证明：取中点，连接，，1BC F DF EF ∵是的中点，是的中点，E BC F 1BC ∴，，1//EF CC 112EF CC =∵是直三棱柱的侧棱的中点，D 1AA ∴，，1//AD CC 112AD CC =∴，，//AD EF AD EF =∴四边形是平行四边形，ADFE ∴，又平面，平面，//DF AE DF ⊂1BDC AE ⊄1BDC ∴平面．//AE 1BDC（2）∵底面，，1CC ⊥ABC 1//EF CC ∴平面，又平面，EF ⊥ABC AE ⊂ABC ∴，AE EF ⊥∵是等边三角形，∴，ABC ∆AE BC ⊥又，∴平面，EF BC E ⋂=AE ⊥1BCC ∵，//DF AE ∴平面，DF ⊥1BCC ∴为直线与平面所成角．DBF ∠DB 1BCC ∵等边的边长为2，，ABC ∆112CC AA ==∴，，DF AE ==BD ==∴sin DF DBF BD ∠==【点睛】本题考查了线面平行的判定和线面角的计算，属于中档题．。

贵州省遵义第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考理科数学试题 Word版含解析

贵州省遵义第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}{}(,)22,(,)24,A x y x y B x y x y =-==-=则B A ⋂为( ) A ．{}0,2 B ．{}0,2==y x C ．{})0,2( D ．{})2,0( 2．已知命题p ：0x R ∃∈，200460x x ++<，则p ⌝为（） A ．x R ∀∈，2460x x ++≥ B ．0x R ∃∈，200460x x ++> C ．x R ∀∈，200460x x ++> D ．0x R ∃∈，200460x x ++≥ 3．“2>x ”是“0822>-+x x ”成立的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选择简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为321,,p p p ，则（） A.123P P P =< B.231P P P =< C. 132P P P =< D. 123P P P == 5．已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28c o s ()a a +=（） A ．12-B．- C ．12 D6．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（）A.12B.24C.48D.567．已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则22(1)z x y =-+的最大值是（）A ．1B ．9C ．2D ．118．已知双曲线C 的两条渐近线为02=±y x 且过点(，则双曲线C 的标准方程是A ．22182x y -=B ．22128x y-=C ．22182y x -=D ．22128y x -=9．执行如图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是（） A ．99 B ．100 C ．120 D ．14210．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为15, 若直角三角形的两条直角边的长分别为(),a b a b >,则ba=（）A ．13B ．12C D11．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M，则mn的值为（）A ．2 B ．3C ．1D ．2 12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线与椭圆2215x y +=交于,PQ 两点，F 为椭圆右焦点，且P FQ F ⊥，则双曲线的离心率为（）A BC 1D 第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知某商场新进6000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为． 14．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为 .15．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于,B C ，…”②解：“设AB 的斜率为k ，…点222122(,)1212k k B k k -++，5(,0)3D -，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为．（用k 表示）16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 . ①函数3231y x x =-+的图象关于点()0,1成中心对称； ②对,,x y R ∀∈若0x y +≠，则1,1x y ≠≠-或；③若实数,x y 满足221,x y +=则2yx + ④若ABC ∆为钝角三角形，C ∠为钝角，则sin cos .A B >三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18---22题每题12分，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）设:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），:q 实数x 满足302x x -<-．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）已知“若q ，则p ”是真命题，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,∠A 的平分线所在的直线方程为y=0,若点B 的坐标为（1，2），求：（1）点A 和点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积．19．（本题满分12分）某学校高中毕业班有男生900人,女生600人,学校为了对高三学生数学学习情况进行分析,从高三年级按照性别进行分层抽样,抽取200名学生成绩,统计数据如下表（1）若成绩在90分以上（含90分）,则成绩为及格,请估计该校毕业班平均成绩和及格学生人数;（2）如果样本数据中,有60名女生数学成绩及格,请完成如下数学成绩与性别的列联表,并判参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD ．（1）求证：//PQ 平面SAD ；（2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ ．21．（本题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且248,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足：11122332n n n a b a b a b a b +++++=，n N *∈，令112n n n b c ++=，n N *∈，求数列1{}n n c c +的前n 项和n S ．22．(本题满分12分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线260x +=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，请说明理由.贵州省遵义第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考理科数学试题参考答案1．C2．A3．B.4．D5．A6．C7．B8．D 9．C10．B11．A12．A 13．2411 14．1915．2324k k + 16．①②17．（1）{}|23x x <<；（2）{}|12a a ≤≤. 试题解析：因为:3,:23p a x a q x <<<<，（1）若1,a p q =∧为真，因此：1323x x <<⎧⎨<<⎩ 则x 的取值范围是：{}|23x x <<；（2）“若q ，则p ”是真命题，则有233a a ≤⎧⎨≥⎩，解得：12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是{}|12a a ≤≤． 18（1）(1,0)A -，(5,6)C -；（2）12．试题解析：（1）解：由⎩⎨⎧==+-.0,012y y x 得顶点(1,0)A -．又AB 的斜率2011(1)AB k -==--． ∵ x 轴是A ∠的平分线，故AC 的斜率为1-，AC 所在直线的方程为(1)y x =-+ ① 已知BC 上的高所在直线的方程为210x y -+=，故BC 的斜率为2-，BC 所在的直线方程为22(1)y x -=-- ② ,解①，②得顶点C 的坐标为(5,6)-．（2）BC =又直线BC 的方程是240x y +-=A到直线的距离d ==,所以ABC ∆的面积111222BC d =⋅=⨯= 19．（1）平均成绩101分，及格人数1050人；（2）没有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关” 试题解析：（1）解：高三学生数学平均成绩为()101201405012070100408020602001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 估计高三学生数学平均成绩约为101分及格学生人数为()1050600900200205070=+⨯++（2）解：2K 的观测值()70625871631001406012080802040602002..k <≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=所以没有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”. 20．试题解析：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,． ∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 21=． ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点， ∴CD AQ //，且CD AQ 21=，即AQ FP //且AQ FP =． ∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //．∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD ．（2）连结BD ，∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，∵Q E 、分别是棱AB AD 、的中点，∴BD EQ //，∴EQ AC ⊥， ∵⊥SE 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴SE AC ⊥， ∵E EQ SE = ，⊂EQ SE 、平面SEQ ，∴⊥AC 平面SEQ ， ∵⊂AC 平面SAC ，∴平面⊥SAC 平面SEQ ．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 21．（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）2(2)n nS n =+.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 11a =，且248,,a a a 成等比数列，∴ 2428a a a =⋅，即2111(3)()(7)a d a d a d +=++，解得0d =（舍）或1d =，∴ 数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d n =+-=，即n a n =；（Ⅱ）由11122332n n n a b a b a b a b +++++=，112233112nn n a b a b a b a b --++++=（2n ≥）两式相减得1222n nnn n a b +=-=，即2nn b n=（2n ≥），则11121n n n b c n ++==+，212122n n n b c n +++==+，所以1111(1)(2)12n n c c n n n n +==-++++，则11111111233412222(2)n n S n n n n =-+-++-=-=++++． 22．（1）22162x y +=；（2）定点为7(,0)3E，59EA EB ⋅=-. 试题解析：（1）由e cac ① 又因为以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线2x＋6＝0相切，∴ a ，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2.∴ 椭圆的方程为26x ＋22y ＝1.（2）由()221622x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：（1＋3k 2）x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0. 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以x 1＋x 2＝221213k k +，x 1·x 2＝2212613k k-+，根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），使得EA →2＋EA →·AB →＝EA →·（EA →＋AB →）＝EA →·EB →为定值，则有： EA →·EB →＝（x 1－m ，y 1）·（x 2－m ，y 2）＝（x 1－m ）·（x 2－m ）＋y 1y 2＝（x 1－m ）（x 2－m ）＋k 2（x 1－2）（x 2－2）＝（k 2＋1）x 1x 2－（2k 2＋m ）（x 1＋x 2）＋（4k 2＋m 2）＝（k 2＋1）·2212613k k -+－（2k 2＋m ）·221213k k +＋（4k 2＋m 2）＝()()222231210631m m k m k -++-+.要使上式为定值，即与k 无关，则应使3m 2－12m ＋10＝3（m 2－6），即73m =，此时2569EA EB m ⋅=-=- 为定值，定点为7(,0)3E .。

贵州省遵义四中高二数学上学期期末考试理【会员独享】

遵义四中2010—2011学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科）一、选择题（下列各题只有一个正确答案，每题5分，共60分）1．如果a ，b ，c 满足,c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（）A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<2．如果,,x y R ∈那么32x y >⎧⎨>⎩是56x y xy +>⎧⎨>⎩成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若,a R ∈下列不等式恒成立的是（）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg 2a a +≥ 4．下列正确的命题是：（）A ．三点确定一个平面B ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形C ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D ．没有交点的两条直线是平行直线5．已知 M （2，-3），N （-3，-2），直线l 经过点P （1，1），且与线段MN 相交，则l 的斜率k 的取值范围是：（）A ．(]3,4,4⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,1- 6．点P （6，-4）与圆2216x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是A ．22(3)(2)4x y -++=B ． 22(3)(2)16x y -++=C ．22(6)(4)4x y -++=D ．22(6)(4)16x y -++=7．已知12,F F 为双曲线C ：221x y -=的左右焦点，点P 在C 上，01260F PF ∠=，则P 到x 轴的距离为（）A．2 B．2CD8．如实数x,y 满足2032060x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，目标函数z ax y =+取得最小值的最优解有无穷多个，则a = （）A ．-1B ．-3C ．1D ．39．如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．23120x y +-=D ．280x y +-=10．关于x 的方程1x kx =+有负根而无正根，则实数k 的取值范围是（）A ．1k ≥B ．1k >-C ．11k -<≤D ．21k -≤≤11．若直线1x y a b+=经过点(cos ,sin ),αα 则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．2211a b ≤+ D ．2211a b ≥+ 12．已知定点A （3，4），点P 为抛物线24y x =上一动点，点P 到直线x= -3的距离为d ，则PA d +的最小值是（）A． B ．C．+2 D．二、填空题（每题5分，共20分，填空必须完整，否则得零分）13．不等式2601x x x -->-的解集是 14．不论实数λ取何值，直线(34)(46)7100x y λλλ++-+-=总经过定点15．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n+的最小值为 16．已知双曲线左右焦点分别为12,F F ，双曲线右支上一点P 使得123PF PF =，则双曲线的离心率范围是三、解答题（17题满分10分,其余各题满分12分,解答时写出必要的求解过程）17．（10分）已知224x y +=，229m n +=，求mx ny +的范围。

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遵义四中—第一学期期末考试试卷高二数学（文科）一、选择题（下列各题只有一个正确答案，每题5分，共60分）1．如果212x <<，418y <<，则xy的范围是（） A ．1223x y << B ．139x y << C ．132x y << D ．233x y<< 2．如果a ，b ，c 满足,c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定．．．成立的是（） A ．ab ac > B ．()0c b a -> C ．22cb ab < D ．()0ac a c -< 3．如果,,x y R ∈那么""xy o >是""x y x y +=+成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．下列正确的命题是：（） A ．三点确定一个平面B ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形C ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D ．没有交点的两条直线是平行直线5．已知 M （2，-3），N （-3，-2），直线l 经过点P （1，1），且与线段MN 相交，则l 的斜率k 的取值范围是：（）A ．(]3,4,4⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,1-6．点P （6，-4）与圆2216x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是 A ．22(3)(2)4x y -++= B ． 22(3)(2)16x y -++= C ．22(6)(4)4x y -++= D ．22(6)(4)16x y -++=7．已知12,F F 为双曲线C ：221x y -=的左右焦点，点P 在C 上，01260F PF ∠=，则P 到x 轴的距离为（）ABCD8．如实数x,y 满足2032060x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，目标函数z ax y =+取得最小值的最优解有无穷多个，则a = （） A ．-1 B ．-3 C ．1 D ．39．如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．23120x y +-=D ．280x y +-=10．关于x 的方程1x kx =+有负根而无正根，则实数k 的取值范围是（） A ．1k ≥ B ．1k >- C ．11k -<≤ D ．21k -≤≤11．若直线1x ya b+=经过点(cos ,sin ),αα 则（）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．2211a b ≤+D ．2211a b ≥+ 12．已知定点A （3，4），点P 为抛物线24y x =上一动点，点P 到直线x= -1的距离为d ，则PA d +的最小值是（）A． B ．2 C． D．二、填空题（每题5分，共填空必须完整，否则得零分）13．不等式2601x x x -->-的解集是 14．不论实数λ取何值，直线(34)(46)2100x y λλλ++-+-=总经过定点 15．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n+的最小值为16．已知双曲线左右焦点分别为12,F F ，双曲线右支上一点P 使得123PF PF =，则双曲线的离心率范围是三、解答题（17题满分10分,其余各题满分12分,解答时写出必要的求解过程）17．（10分）一条光线从A （-2，3）射出，经直线x 轴反射后，经过点B （4，5），求入射光线与反射光线所在直线方程。

贵州遵义四中18-19学度高二上学期年末检测--数学理

贵州遵义四中18-19学度高二上学期年末检测--数学理【一】选择题：〔此题12小题，共12×５=60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、设集合A={1，2，3，5，7}，B={3，4，5}，那么A B = A 、{1，2，3，4，5，7}B 、{3，4，5}C 、{5}D 、{1，2}2、在等比数列{}n a 中，假设24a =，532a =,那么公比应A 、2B 、±2C 、－2D 、±123、假如执行下图〔右〕的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于 A.720B.360C.240D.1204、直线x+y+1=0与圆()2122=+-y x 的位置关系是A.相交B.相离C.相切D.不能确定5、平面α∩平面β=m ，直线l ∥α，l ∥β，那么 A 、m ∥l B 、m ⊥lC 、m 与l 异面D 、m 与l 相交 6、向量αααtan ,),cos ,(sin ),4,3(则且⊥==为A 、43B 、34C 、43- D 、34- 7、在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，那么△PBC 的面积大于4S的概率是() A.21 B.34C.41 D.238、对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，那么以下说法中不正确的选项是()A 、由样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －) B 、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C 、用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好D 、假设变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.9362，那么变量y 和x 之间具有线性相关关系9、在310(1)(1)x x -+的展开中，5x 的系数是A.297-B.252- C 、297D 、20710、为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图〔如下图〕，从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，那么该班学生数学成绩在〔80，100〕之间的学生人数是 A.32人B.27人C.24人D.33人11、以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的 A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④12、定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(),f x f x +=-那么(6)f 的值为〔A 〕－1 〔B 〕0 〔C 〕1 〔D 〕2【二】填空题：〔此题共4小题，每题5分，共20分〕13、()72x +的展开式中含5x 项的系数为_______ 14、x 、y 的取值如下表所示：从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆ0.95y x a =+，那么a =。

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贵州省遵义四中高二上学期期末考试（数学）(满分：150分，时间：1)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“d b c a +>+”是“b a >且d c >”则（） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.{}{}0312312<-+=<-=x x xB x xA ,则AB ⋂是（）A.{}32211<-<<-x x x 或 B.{}32<<x x C.{}221<<-x xD.{x ︱112x -<<-} 3.若经过两点)2,(),12(21m P 、P的直线的倾斜角为135°，则实数m 的值为（） A.-1 B.2 C.3 D.14.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程是（） A.023=-+y x B.043=-+y x C.043=+-y x D.023=+-y x5.已知△ABC 的周长是8，B 、C 的坐标分别是（-1，0）、（1，0），则顶点A 的轨迹方程是（）A.)3(18922±≠=+x y xB.)0(18922≠=+x y x C.)0(13422≠=+y y x D.)0(13422≠=+y x y6.设椭圆)1(112222>=-+m m y m x 上点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到左准线的距离为（）A.6B.2C.21D.7727.设F1、F2分别是双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F1AF2=90°，且213AF AF =，则双曲线离心率为（）A.25B.210C.215D.58.抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为L ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥L ，垂足为K ，则△AKF 的面积是（） A.4 B.33 C.349.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， E 、F 分别是棱CC1与BC 的中点，则异面直线EF 和D1C 所成角的大小是（）A.45°B.60°C.75°D.90°10.下列命题中正确的命题的个数是（） ①若直线a ∥平面α，直线α⊂b ，则a ∥b.②若点P 是直线a 上的动点，且点P 永不在α内，那么a ∥α.③一条直线和一个平面内的无数条直线都平行，则这条直线和这个平面平行. ④空间中，四边相等的四边形是菱形.A.0B.1C.2D.311.已知双曲线中心在原点且一个焦点为)07(，F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（）A.14322=-y xB.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x12.（文）设F 为抛物线x y 42=的焦点，A 、B 、C 为该抛物细上三点，若0=++FC FB FA ，则y'++等于（）A.9B.6C.4D.312（理）过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点F ，作渐近线x a b y =的垂线与双曲线左、右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（） A.21<<e B.21<<e C.2>e D.2>e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共把答案填在对应题号后的横线上. 13.若实数b a 、满足1=+b a ，则ba44+的最小值是 .14.已知双曲线的离心率为2，则它的两条渐近线所成的角是 .15.若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 16.水平放置的△ABC 的直观图如图所示，已知A'C'=3,B'C'=2,则AB 边上的中线的实际长度为 .三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）若关于x 的不等式02<++q px x 的解集是{}12x x <<，求关于x 的不等式06522>--++x x qpx x 的解集.18. （本小题满分12分）已知一条直线经过点(2,1)A ，当直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求这条直线的方程。

贵州省遵义四中2018-2019学年高二上学期第二次月考理科数学试卷Word版含解析

贵州省遵义四中2018-2019学年高二上学期第二次月考理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={（x，y）|x﹣2y=2}，B={（x，y）|2x﹣y=4}，则A∩B为（）A．{2，0} B．{X=2，Y=0} C．{（0，2）} D．{（2，0）}2．已知命题p：∃x0∈R，x2+4x+6＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，x02+4x+6≥0 B．∃x∈R，x2+4x+6＞0C．∀x∈R，x02+4x+6＞0 D．∃x∈R，x2+4x+6≥03．“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P35．已知{an }为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a2+a8）=（）A．B．C．D．6．为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取得学生人数为（）A．46 B．48 C．50 D．607．已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最大值是（）A．1 B．9 C．2 D．118．已知双曲线C的两条渐近线为x±2y=0且过点（2，），则双曲线C的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．执行如图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是（）A．99 B．100 C．120 D．14210．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则=（）A．B．C． D．11．椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）A． B．C．1 D．212．已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线与椭圆+y2=1交于P．Q两点．F为椭圆右焦点，且PF⊥QF，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知某商场新进6000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为．14．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．15．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B，C，…”②解：设AB的斜率为k，…点B（，），D（﹣，0），…据此，请你写出直线CD的斜率为．（用k表示）16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；④若△ABC为钝角三角形，∠C为钝角，则sinA＞cosB．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18---22题每题12分，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a≠0），q：实数x满足＜0．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求：（Ⅰ）点A和点C的坐标；（Ⅱ）△ABC的面积．19．（12分）某学校高中毕业班有男生900人，女生600人，学校为了对高三学生数学学习情况进行分析，从高三年级按照性别进行分层抽样，抽取200名学生成绩，统计数据如表所示：（Ⅰ）若成绩90分以上（含90分），则成绩为及格，请估计该校毕业班平均成绩及格学生人数；（Ⅱ）如果样本数据中，有60名女生数学成绩合格，请完成如下数学成绩与性别的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”．参考公式：K 2=．20．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E 、P 、Q 分别是棱AD 、SC 、AB 的中点，且SE ⊥平面ABCD ．（1）求证：PQ ∥平面SAD ；（2）求证：平面SAC ⊥平面SEQ ．21．（12分）已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足：a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n =2n+1，n ∈N *，令c n =，n ∈N *，求数列{c n c n+1}的前n 项和S n ．22．（12分）已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点O 为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x ﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线y=k （x ﹣2）（k ≠0）与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2+•为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．贵州省遵义四中2018-2019学年高二上学期第二次月考理科数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={（x，y）|x﹣2y=2}，B={（x，y）|2x﹣y=4}，则A∩B为（）A．{2，0} B．{X=2，Y=0} C．{（0，2）} D．{（2，0）}【考点】交集及其运算．【分析】将集合A与B中的两方程联立组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．【解答】解：将集合A与B中的方程联立得：，解得：，则A∩B={（2，0）}．故选D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知命题p：∃x0∈R，x2+4x+6＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，x02+4x+6≥0 B．∃x∈R，x2+4x+6＞0C．∀x∈R，x02+4x+6＞0 D．∃x∈R，x2+4x+6≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x2+4x+6＜0，则￢p为∀x∈R，x02+4x+6≥0．故选：A．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．即可判断出结论．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．5．已知{an }为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a2+a8）=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的性质可得a1+a9=a2+a8=2a5，结合已知，可求出a5，进而求出cos（a2+a8）．【解答】解：∵{an}为等差数列，∴a1+a9=a2+a8=2a5，∵a1+a5+a9=2π，∴a5=，a2+a8=，∴cos （a 2+a 8）=cos =．故选：A ．【点评】本题应用了等差数列的性质：{a n }为等差数列，当m+n=p+q （m ，n ，p ，q ∈N +）时，a m +a n =a p +a q ．特例：若m+n=2p （m ，n ，p ∈N +），则a m +a n =2a p ．6．为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取得学生人数为（）A ．46B ．48C ．50D ．60 【考点】频率分布直方图．【分析】设报考飞行员的人数为n ，根据前3个小组的频率之比为1：2：3设出频率，再根据所有频率和为1，解之即可求出第3组频率，根据第2小组的频数为12，可求得样本容量．【解答】解：设报考飞行员的人数为n ，根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三小组的频率分别为x ，2x ，3x ；由题意可知所求频率和为1，即x+2x+3x+（0.0375+0.0125）×5=1 解得2x=0.25则0.25=，解得n=48．∴抽取的学生数为48．故选：B ．【点评】本题主要考查了频率分布直方图，同时考查了学生的读图能力．7．已知实数x ，y 满足，则z=（x ﹣1）2+y 2的最大值是（）A．1 B．9 C．2 D．11【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域，利用z=（x﹣1）2+y2的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值求得．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：z=（x﹣1）2+y2的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值，显然到 D 的距离最大，所以z=（x﹣1）2+y2的最大值z=（1﹣1）2+32=9；故选B．【点评】本题考查了简单线性规划问题；一般的，正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值是常用方法．8．已知双曲线C的两条渐近线为x±2y=0且过点（2，），则双曲线C的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，可设所求的双曲线的方程为（x+2y）（x﹣2y）=λ，将点M（2，）的坐标代入求得λ即可．【解答】解：设所求的双曲线的方程为（x+2y）（x﹣2y）=λ，∵点M（2，）为该双曲线上的点，∴λ=（2+2）（2﹣2）=﹣8，∴该双曲线的方程为：﹣=1．故选D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查待定系数法的应用，属于中档题．9．执行如图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是（）A．99 B．100 C．120 D．142【考点】循环结构．【分析】由图知，每次进入循环体后，新的s值是s加上2n+1得到的，故由此运算规律进行计算，经过10次运算后输出的结果即可．【解答】解：由图知s的运算规则是：s=s+（2n+1），故有：第一次进入循环体后s=3，n=2，第二次进入循环体后s=3+5，n=3，第三次进入循环体后s=3+5+7，n=4，第四次进入循环体后s=3+5+7+9，n=5，…第10次进入循环体后s=3+5+7+9+…+21，n=11．由于n=11＞10，退出循环．故该程序运行后输出的结果是：s=3+5+7+9+…+21=120．故选C．【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果的一个题，是算法中一种常见的题型．10．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则=（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的意义，求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，根据比值即可得到关乎a，b的方程，解得即可．【解答】解：这一点落在小正方形内的概率为，正方形ABCD面积为a2+b2，三角形的面积为ab，∴=1﹣，即a2+b2=ab，即+=，∵a ＞b ，解得=， =2（舍去）故选B ．【点评】本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A ）；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A ）发生的概率．11．椭圆mx 2+ny 2=1与直线x+y ﹣1=0相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）A ．B ．C ．1D ．2【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（法一）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）由①，②及M ，N 在椭圆上，可得利用点差法进行求解（法二）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），联立方程．，利用方程的根与系数的关系可求x 1+x 2，进而可求y 1+y 2=2﹣（x 1+x 2），由中点坐标公式可得，，，由题意可知，从而可求【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），∴①，k AB =②，由AB 的中点为M 可得x 1+x 2=2x 0，y 1+y 2=2y 0由A ，B 在椭圆上，可得，两式相减可得m （x 1﹣x 2）（x 1+x 2）+n （y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0③，把①②代入③可得m （x 1﹣x 2）•2x 0﹣n （x 1﹣x 2）•2y 0=0③，整理可得故选A（法二）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）联立方程可得（m+n ）x 2﹣2nx++n ﹣1=0∴x 1+x 2=，y 1+y 2=2﹣（x 1+x 2）=由中点坐标公式可得， =， =∵M 与坐标原点的直线的斜率为∴=故选A【点评】题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：①联立直线与椭圆，根据方程求解；②利用“点差法”，而第二种方法可以简化运算，注意应用12．已知双曲线﹣=1（a ＞b ＞0）的一条渐近线与椭圆+y 2=1交于P ．Q 两点．F 为椭圆右焦点，且PF ⊥QF ，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由题意PQ=2=4，设直线PQ 的方程为y=x ，代入+y 2=1，可得x=±，利用弦长公式，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意PQ=2=4，设直线PQ的方程为y=x，代入+y2=1，可得x=±，∴|PQ|=•2=4，∴5c2=4a2+20b2，∴e==，故选：A．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查双曲线的离心率，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知某商场新进6000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为2411 ．【考点】系统抽样方法．【分析】系统抽样中各组抽出的数据间隔相同，为等差数列，可用数列知识求解【解答】解：6000袋奶粉，用系统抽样的方法从抽取150袋，每组中有40袋，第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为11+60×40=2411，故答案为：2411．【点评】本题考查系统抽样的知识，属基本题．系统抽样中各组抽出的数据间隔相同，为等差数列．14．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件共4种结果，从而得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是两颗骰子向上点数之积等于12，有（2，6）、（3，4）、（4，3）、（6，2）共4种结果，∴要求的概率是=．故答案为：．【点评】本题考查等可能事件的概率，解题的关键是列举出满足条件的事件数，列举时要做到不重不漏，属于基础题．15．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆x 2+2y 2=1的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，…”②解：设AB 的斜率为k ，…点B （，），D （﹣，0），…据此，请你写出直线CD 的斜率为．（用k 表示）【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由题意可得直线AC 的斜率为，则将k 换成，可得点C （，），运用直线的斜率公式，计算即可得到．【解答】解：椭圆x 2+2y 2=1的左顶点为A （﹣1，0），过点A 作两条斜率之积为2的射线，设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为，由题意可得点B （，），D （﹣，0），则将k 换成，可得点C （，），则直线CD 的斜率为=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为①②．①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；④若△ABC为钝角三角形，∠C为钝角，则sinA＞cosB．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y）也满足函数的解析式，则；②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为；④若△ABC为钝角三角形，若A、B∈（0，）时，sinA＜cosB，．【解答】解：①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y）也满足函数的解析式，则①正确；②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③错误；④若△ABC为钝角三角形，若A、B∈（0，）时，sinA＜cosB，④错误．故答案为：①②【点评】本题考查了判断命题真假，函数的性质，属于中档题．．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18---22题每题12分，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2014秋•福州校级期中）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a≠0），q：实数x满足＜0．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（Ⅰ）若a=1，由题意知，p、q为真，从而求p、q都为真时x的范围；（Ⅱ）由p是q的必要不充分条件可知B⊊A，讨论a的正负以确定集合A，从而求实数a的取值范围．【解答】解：（I）当a=1时，p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3，q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是（2，3）．（II）设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}=（2，3），∵p是q的必要不充分条件，∴B⊊A，由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0当a＞0时，A=（a，3a），有，解得1≤a≤2；当a＜0时，A=（3a，a），显然A∩B=∅，不合题意．∴实数a的取值范围是1≤a≤2．【点评】本题考查了复合命题真假性的应用及集合的包含关系的应用，属于基础题．18．（12分）（2015秋•宁城县期末）如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求：（Ⅰ）点A和点C的坐标；（Ⅱ）△ABC的面积．【考点】点到直线的距离公式；待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）先求出A点的坐标，求出AB的斜率，得到直线AC的方程，从而求出B点的坐标；（Ⅱ）求出|BC|的长，再求出A到BC的距离，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（Ⅰ）由得顶点A（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又AB的斜率 k==1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣AB﹣﹣﹣﹣（2分）∵x轴是∠A的平分线，故AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程为y=﹣（x+1）①﹣﹣﹣﹣﹣﹣已知BC上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，故BC的斜率为﹣2，BC所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1）②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解①，②得顶点C的坐标为（5，﹣6）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又直线BC的方程是2x+y﹣4=0A到直线的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以△ABC 的面积=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考察了求直线的斜率、方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题．19．（12分）（2016春•湖南期末）某学校高中毕业班有男生900人，女生600人，学校为了对高三学生数学学习情况进行分析，从高三年级按照性别进行分层抽样，抽取200名学生成绩，统计数据如表所示：（Ⅰ）若成绩90分以上（含90分），则成绩为及格，请估计该校毕业班平均成绩及格学生人数；（Ⅱ）如果样本数据中，有60名女生数学成绩合格，请完成如下数学成绩与性别的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”．参考公式：K 2=．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）利用同一组数据用该区间中点值作代表，计算该校毕业班平均成绩及格学生人数；（Ⅱ）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论．【解答】解：（Ⅰ）高三学生数学平均成绩为=101估计高三学生数学平均成绩约为101分…及格学生人数为=1050…（Ⅱ）…（9分）K2的观测值K2=≈1.587＜2.706所以没有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”…（12分）【点评】本题主要考查独立性检验的应用，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于基础题．20．（12分）（2016秋•咸宁月考）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q 分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE⊥平面ABCD．（1）求证：PQ∥平面SAD；（2）求证：平面SAC⊥平面SEQ．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取SD中点F，连结AF，PF．证明PQ∥AF．利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面SAD．（2）连结BD，证明SE⊥AD．推出SE⊥平面ABCD，得到SE⊥AC．证明EQ⊥AC，然后证明AC ⊥平面SEQ，即可得出结论．【解答】证明：（1）取SD中点F，连结AF，PF．因为 P，F分别是棱SC，SD的中点，所以 FP∥CD，且FP=CD．又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，所以 AQ∥CD，且AQ=CD．所以 FP∥AQ且FP=AQ．所以 AQPF为平行四边形．所以 PQ∥AF．又因为 PQ⊄平面SAD，AF⊂平面SAD，所以 PQ∥平面SAD；（2）连结BD，因为△SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，所以 SE⊥AD，又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE⊂平面SAD，所以 SE⊥平面ABCD，所以SE⊥AC．因为底面ABCD为菱形，E，Q分别是棱AD，AB的中点，所以 BD⊥AC，EQ∥BD．所以 EQ⊥AC，因为 SE∩EQ=E，所以 AC⊥平面SEQ．因为AC⊂平面SAC，所以平面SAC⊥平面SEQ．【点评】本题考查直线与平面平行以及直线与平面、平面与平面垂直的判定定理的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2015•浙江模拟）已知数列{an }是公差不为零的等差数列，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足：a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n =2n+1，n ∈N *，令c n =，n ∈N *，求数列{c n c n+1}的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的性质．【分析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II ）利用递推式可得（n ≥2），再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列．∴，即，解得d=0（舍）或d=1，∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+（n ﹣1）d=n ，即a n =n ．（II ）由，（n ≥2），两式相减得，即（n ≥2），则，，∴，∴．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）（2016•池州一模）已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x ﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线y=k （x ﹣2）（k ≠0）与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2+•为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）求得圆O的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，可得b，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线y=k（x﹣2）和椭圆方程，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使•为定值，定点为（，0）．【解答】解：（1）由离心率为，得=，即c=a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，且与直线相切，所以，代入①得c=2，所以b2=a2﹣c2=2．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＞0，即为6+6k2＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=，x1x2=，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）=（k2+1）•﹣（2k2+m）•+（4k2+m2）=。

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