2013北京高考海淀数学查漏补缺试题
2013年高考文科数学北京卷(含详细答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x ≤＜=-，则A B = ( )A .{0}B .{1,0}-C .{0,1}D .{1,0,1}- 2.设a ，b ，c R ∈，且a b >，则( )A .ac bc >B .11a b< C .22a b >D .33a b >3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是( )A .1y x=B .xy e -=C .21y x =-+ D .lg||y x = 4.在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.在ABC △中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sin B =( )A .15B .59 CD .16.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( )A .1B .23C .1321D .6109877.双曲线221y x m-=( )A .12m ＞ B .1m ≥ C .1m ＞D .2m ＞8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )A .3个B .4个C .5个D .6个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.9.若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ；准线方程为 . 10.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 .11.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = .12.设D 为不等式组02030x x y x y ≥，≤，≤，⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 .13.函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥＜⎧⎪=⎨⎪ ⎩的值域为 .14.已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C .若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12≤≤λ，01≤≤μ）的点P 组成，则D 的面积为 .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及最大值； （Ⅱ）若π(,π)2α∈，且()f α=α的值.16.（本小题满分13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥.E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： （Ⅰ）PA ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）BE ∥平面PAD ； （Ⅲ）平面BEF ⊥平面PCD .18.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x x =++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； （Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围.19.（本小题满分14分）直线y kx m =+（0m ≠）与椭圆W ：2214x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； （Ⅱ）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形.20.（本小题满分13分）给定数列1a ，2a ，，n a .对1,2,,1i n =-，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i-项1i a +，2i a +，，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-.（Ⅰ）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值； （Ⅱ）设1a ，2a ，，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a ＞.证明：1d ，2d ，，1n d -是等比数列； （Ⅲ）设1d ，2d ，，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d ＞.证明：1a ，2a ，，1n a -是等差数列.【解析】设正方体的棱长为a则11()()(00000D D a C ，，，，，，则222111999PB a a a =++=222441999PD a a a =++=1499PD =14PC PA ====PC PA 49a 2119PB a =+故共有4个不同取值，故选根据数形结合知(1)0，到D 的距离最小值为13．【答案】(2)∞－，【解析】当1x ≥时，12log log x ≤【答案】3【解析】AP AB AC μλ=+，2()1AB =，，1()2AC =，，则(x AP =－，,,μμ 得2--3,x y λ⎧=⎪⎪⎨0-23,x y ≤≤⎩可得111304()()(3)26A B C ，，，，，11A B ＝22(4-3)+2=5，两直线距离2|9-6|3521d ==+∴113S A B d ⋅＝＝． 三、解答题15．【答案】（1）()f x 的最小正周期为（2）9π16α=【解析】（1）因为()2cos (f x ＝1AB CD CD ，＝＝所以BE DE，且AB DE所以ABCD为平行四边形。
数学_2013年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合A ={x|(x −1)(x +2)≤0}，B ={x|x <0}，则A ∪B =( ) A (−∞, 0] B (−∞, 1] C [1, 2] D [1, +∞)2. 已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1⋅a 3=4，a 4=8，则a 1+q 的值为（ ） A 3 B 2 C 3或−2 D 3或−33. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（ ）Ama nB nam Cma 2nDna 2m4. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A 180B 120C 276D 3005. 在四边形ABCD 中，“∃λ∈R ，使得AB →=λDC →，AD →=λBC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件6. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（ ） A 32 B 36 C 42 D 487. 双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A √2 B 1+√2 C 1+√3 D 2+√38. 若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期数列，周期为T ．已知数列{a n }满足a 1=m(m >0)，a n+1={a n −1，a n >1，1an，0<a n ≤1，则下列结论中错误的是( )A 若a 3=4，则m 可以取3个不同的值B 若m =√2，则数列{a n }是周期为3的数列 C ∀T ∈N ∗且T ≥2，存在m >1，使得{a n }是周期为T 的数列 D ∃m ∈Q 且m ≥2，使得数列{a n }是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为________．10. 已知a =ln 12，b =sin 12，c =2−12，则a ，b ，c 按照从大到小排列为________．11. 直线l 1过点(−2, 0)且倾斜角为30∘，直线l 2过点(2, 0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________．12. 在△ABC 中，∠A =30∘，∠B =45∘，a =√2，则b =________；S △ABC =________． 13. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →⋅AP →的取值范围是________．14. 在平面直角坐标系中，动点P(x, y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1, 1)的距离，记点P 的轨迹为曲线为W ． (I)给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y =x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是________；(II)曲线W 上的点到原点距离的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知函数f(x)=1−√2sin(x−π4)．（1）求函数f(x)的定义域； （2）求函数f(x)的单调增区间．16. 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%．（1）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （2）为了能够筹得资金资助福利事业，求p 的取值范围．17. 如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠DAB =90∘，∠CAB =30∘，BC =2，AD =4．把△DAC 沿对角线AC 折起到△PAC 的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点E ，F 分别为线段PA ，PB 的中点．（1）求证：平面EFH // 平面PBC ；（2）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．18. 已知函数f(x)=e x，A(a, 0)为一定点，直线x=t(t≠0)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S(t)．（1）当a=0时，求函数S(t)的单调区间；（2）当a>2时，若∃t0∈[0, 2]，使得S(t0)≥e，求a的取值范围．19. 已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点．（1）求椭圆M的方程；（2）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点(0,−12)，求△AOB（O为原点）面积的最大值．20. 设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；表2（3）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. D3. C4. B5. C6. A7. B8. D9. 210. c>b>a11. (1,√3)12. 2,√3+1213. [0, 1]14. ②③,2−√215. 解：（1）∵ sin(x−π4)≠0，∴ x−π4≠kπ，k∈Z，则函数的定义域为{x|x≠kπ+π4, k∈Z}；（2）∵ f(x)=1−cos 2x−sin2xsinx−cosx =1+(cosx+sinx)=1+sinx+cosx=1+√2sin(x+π4)，又∵ y=sinx的单调递增区间为(2kπ−π2, 2kπ+π2)，k∈Z，令2kπ−π2<x+π4<2kπ+π2，解得：2kπ−3π4<x<2kπ+π4，又注意到x≠kπ+π4，则f(x)的单调递增区间为(2kπ−3π4, 2kπ+π4)，k∈Z．16. 解：（1）设至少一张中奖为事件A，则P(A)=1−0.52=0.75…（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，−45，−145…故ξ的分布列为所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×(50%−2%−p)+(−45)×2%+(−145)×p=2.5−90%−145p…所以当1.6−145p>0时，即p<8725…所以当0<p<8725时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…17. 解：（1）∵ 点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，∵ 在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90∘，∠CAB=30∘，BC=2，AD=4，∴ AC=4，∠CAB=60∘，∴ △ADC是等边三角形，故H是AC的中点，∴ HE // PC同理可证EF // PB，又HE∩EF=E，CP∩PB=P，∴ 平面EFH // 平面PBC；（2）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A(0, −2, 0)，P(0, 0, 2√3)，B(√3, 1, 0)因为E(0, −1, √3)，HE →=(0, −1, √3)，设平面PHB 的法向量n →=(x, y, z)， ∵ HB →=(√3, 1, 0)，HP →=(0, 0, 2√3)，∴ {HP →⋅n →=0˙，即{√3x +y =0z =0，令x =√3，则y =−3， ∴ n →=(√3, −3, 0)…8分 cos <n →，HE →>=|n →|⋅|HE →|˙=32×2√3=√34∴ 直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值为√34 （3）存在，事实上记点E 为M 即可因为在直角三角形PHA 中，EH =PE =EA =12PA =2在直角△PHB 中，PB =4，EF =12PB =2，所以点E 到P ，H ，A ，F 四点的距离相等 18. 解：（1） 因为S(t)=12|t −a|e t ，其中t ≠a…当a =0，S(t)=12|t|e t ，其中t ≠0当t >0时，S(t)=12te t ，S′(t)=12(t +1)e t ，所以S ′(t)>0，所以S(t)在(0, +∞)上递增，… 当t <0时，S(t)=−12te t ，S′(t)=−12(t +1)e t ，令S′(t)=−12(t +1)e t >0，解得t <−1，所以S(t)在(−∞, −1)上递增令S′(t)=−12(t +1)e t <0，解得t >−1，所以S(t)在(−1, 0)上递减 …综上，S(t)的单调递增区间为(0, +∞)，(−∞, −1)，S(t)的单调递增区间为(−1, 0) （2）因为S(t)=12|t −a|e t ，其中t ≠a 当a >2，t ∈[0, 2]时，S(t)=12(a −t)e t因为∃t 0∈[0, 2]，使得S(t 0)≥e ，所以S(t)在[0, 2]上的最大值一定大于等于e ， S′(t)=−12[t −(a −1)]e t ，令S ′(t)=0，得t =a −1…当a −1≥2时，即a ≥3时S′(t)=−12[t −(a −1)]e t >0对t ∈(0, 2)成立，S(t)单调递增，所以当t =2时，S(t)取得最大值S(2)=12(a −2)e 2令12(a −2)e 2≥e ，解得 a ≥2e +2， 所以a ≥3…当a −1<2时，即a <3时S′(t)=−12[t −(a −1)]e t >0对t ∈(0, a −1)成立，S(t)单调递增，S′(t)=−12[t −(a −1)]e t <0对t ∈(a −1, 2)成立，S(t)单调递减， 所以当t =a −1时，S(t)取得最大值S(a −1)=12e a−1，令S(a −1)=12e a−1≥e ，解得a ≥ln2+2，所以ln2+2≤a <3… 综上所述，ln2+2≤a… 19. 解：（1）因为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点，∴ a =√3，b =1，椭圆M 的方程为：x 23+y 2=1...4分（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，因为AB 的垂直平分线经过点(0, −12)，显然直线AB 有斜率， 当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线为y 轴，则x 1=−x 2，y 1=y 2， 所以S △AOB=12|2x 1||y 1|=|x 1||y 1|=|x 1|⋅√1−x 123=√x 12(1−x 123)=√13x 12(3−x 12)，∵ √x 12(3−x 12)≤x 12+(3−x 12)2=32，∴ S △AOB ≤√32，当且仅不当|x 1|=√62时，S △AOB 取得最大值为√32...7分 当直线AB 的斜率不为0时，则设AB 的方程为y =kx +t ， 所以{y =kx +tx 23+y 2=1，代入得到(3k 2+1)x 2+6ktx +3t 2−3=0， 当△=4(9k 2+3−3t 2)>0，即3k 2+1>t 2①，方程有两个不同的实数解； 又x 1+x 2=−6kt3k 2+1，x 1+x 22=−3kt3k 2+1...8分所以y 1+y 22=t 3k 2+1，又y 1+y 22+12x 1+x 22−0=−1k ，化简得到3k 2+1=4t②代入①，得到0<t <4，…10分 又原点到直线的距离为d =√k 2+1，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√4(9k 2+3−3t 2)3k 2+1，所以S △AOB =12|AB||d|=2√k 2+1√1+k 2⋅√4(9k 2+3−3t 2)3k 2+1，化简得：S △AOB =14√3(4t −t 2)...12分∵ 0<t <4，所以当t =2时，即k =±√73时，S △AOB 取得最大值为√32． 综上，S △AOB 取得最大值为√32...14分法3：改变第1列得：改变第4列得：（写出一种即可） …（2） 每一列所有数之和分别为2，0，−2，0，每一行所有数之和分别为−1，1；则第一行之和为2a −1，第二行之和为5−2a ，{2a −1≥05−2a ≥0，解得a =1，a =2．… ②如果操作第一行则每一列之和分别为2−2a ，2−2a ，2a −2，2a 解得a =1 … 综上a =1 …（3） 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1−(−1)=2， 但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于∑∑|nj=1m i=1a ij |， 可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …。
2013高考数学试卷及答案
2013高考数学试卷及答案一、选择题1.若函数 $f(x)=\\frac{\\sqrt{1-x^2}}{\\sqrt{1+x^2}}$，则f(−1)+f(0)+f(1)的值为A. 0B. 1C. 2D. 3答案： C. 22.已知函数 $y=\\log_2{x}$，则 $y^2-4y-5 \\leq 0$ 的解集为A. (-∞, -1] ∪ [5, +∞)B. [-1, 5]C. [-1, 1]D. (1, 5)答案： B. [-1, 5]3.如图所示，在ΔABC 中，$AD \\perp BC$，则 $\\frac{BD}{CD} =$imageimageA. $\\frac{2}{3}$B. $\\frac{3}{7}$C. $\\frac{5}{3}$D. $\\frac{3}{2}$答案： A. $\\frac{2}{3}$二、填空题4.设a1=3，$a_2=\\frac{7}{4}$，a n+2=2a n+1+a n，则a10=答案： $\\frac{535}{64}$5.设 $f(x)=\\sin^3{x}-\\cos^3{x}$，则 $f(\\frac{\\pi}{6})=$答案： $\\frac{1}{4}$三、解答题1. 计算题6.已知数列 $\\{a_n\\}$，a1=2，$a_{n+1}=2a_n+3(n\\geq1)$，求a n 的通项公式。
解答：首先我们观察数列的前几项，可以发现：a1=2 $a_2 = 2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 1 = 7$ $a_3 = 2 \\cdot 7 + 3 \\cdot 2 = 20$定义数列 $\\{b_n\\}$，$b_n = a_n + \\frac{3}{2} \\cdot n$，我们来观察数列 $\\{b_n\\}$： $b_1 = 2 + \\frac{3}{2} \\cdot 1 = \\frac{7}{2}$ $b_2 = 7 + \\frac{3}{2} \\cdot 2 = 12$ $b_3 = 20 + \\frac{3}{2} \\cdot 3 =\\frac{29}{2}$我们可以发现数列 $\\{b_n\\}$ 是一个等差数列，公差为$\\frac{3}{2}$。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,含答案)
2013北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.610987 5.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )=A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --6.若双曲线22221x y a b-=3 A.y =±2x B.y =2x C.12y x =± D.22y x =± 7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43B.2C.83D.1623 8.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = . 11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。
2013年北京市海淀区高三二模数学(理科)试题及答案
（Ⅱ）曲线 W 上的点到原点距离的最小值为
用心 细心 专心
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) = 1 −
2sin( x − π ) 4
cos2 x
.
（Ⅰ）求 函数 f ( x) 的定义域； （Ⅱ）求 函数 f ( x) 的单调增区间.
16． （本小题满分 13 分） 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业， 现在福彩中心准备发行一 种面值为 5 元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（ 1 ） 该 福 利 彩 票 中 奖 率 为50 %； （2）每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元，50 元和 150 元三种； （3）顾客购买一张彩票获 获得 50 元奖金的概率为 2 %. 得 150 元奖金的概率为 p ， （Ⅰ）假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求 p 的取值范围. 17． （本小题满分 14 分） 如图 1，在直角梯形 ABCD 中， ∠ABC = ∠DAB = 90° ，∠CAB = 30° ，BC = 2 ，
所以函数的定义域为 {x | x ≠ kπ+ , k ∈ Z} （II）因为 f ( x ) = 1 −
cos2 x − sin 2 x sin x − cos x
= 1 + (cos x + sin x) = 1 + sin x + cos x
π = 1 + 2 sin( x + ) 4
分 又 y = sin x 的单调递增区间为 (2kπ − ,2kπ + ) ， k ∈ Z
2013海淀高三二模数学(理科)试题分析
S AOB
1 2 x1 y1 x1 2
2
x1 1 3
1 x 2 y 1 x 1 x 1
直接翻译：
1 x 2 d x ( ) 1 x
2 2
2
0 x 1
2 2 4 4 2 x (1 ) x 1 2 1 x ( x 1) x 1 4 4 2 ( x 1) 2 x 2 ( x 1) x 1 2 2 2 (x 1 ) 2( x )2 x 1 x 1 2 2 (x 1 1) 3 x 1
折叠前后的对应关系
求证：平面 EFH / / 平面 PBC ；
加一个第二问建立坐标系选 E 择的说明，不要上来就建系， ,使得 M 到点 P, H , A, F 四点 思考一下！
基本概念的考查 PHB 所成角的正弦值； P D (II) 求直线 HE 与平面
(III)在棱 PA 上是否存在一点 M 的距离相等？请说明理由.
x ty n
1 m x1 x2 2 1 d AB 2
6kmx 3m 2 3 0
36k 2m2 4(1 3k 2 )(3m2 3) 0
化简，得： 3k 1 m 0
2 2
设 A （ x1 ， y1 ） B （ x2 ， y 2 ） ， ，
x2 y2 18）已知椭圆 M : 2 2 1( a b 0) 的四个顶点恰好是一边 a b
长为 2，一内角为 60 的菱形的四个顶点. （I）求椭圆 M 的方程；
（II）直线 l 与椭圆 M 交于 A ， B 两点，且线段 AB 的垂直平分线
x2 y2 1 3
1 经过点 (0, ) ，求 AOB （ O 为原点）面积的最大值. 2
2013北京海淀高考二模数学理(含解析)
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）2013．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，{}0B x x =<，则A B =U （ ）． A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞2．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为（ ）． A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3．如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为（ ）A ．ma nB ．na mC ．2ma nD ．2nam4．某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A ．180B ．240C ．276D ．3005．在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==uu u r uuu r uuu r uu u r”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（ ）． A ．32 B ．36 C ．42 D ．48俯视图左视图主视图7．双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F △是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）．AB．1 C．1 D．2+8．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是（ ）． A ．若34a =，则m 可以取3个不同的值 B．若m ={}n a 是周期为3的数列C ．*N T ∀∈且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D ．Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______．10．已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______．11．直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30o ，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为________．12．在ABC ∆中，30,45,A B a ∠=∠==o o ，则b =_____；C AB S ∆=—_____．13．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅uuu r uu u r的取值范围是__________．14．在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W ． （I ）给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是_____；（Ⅱ）曲线W 上的点到原点距离的最小值为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数cos 2()1π)4x f x x =--．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=o ，30CAB ∠=o ，2BC =， 4AD =．把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点,E F 分别为线段,PA AB 的中点． （Ⅰ）求证：平面EFH ∥平面PBC ；（Ⅱ）求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA 上是否存在一点M ，使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明 理由．图2图1DCB AHFAEFCB已知函数()e x f x =，点(,0)A a 为一定点，直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ，N ，记ABC △的面积为()S t ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()S t 的单调区间；（Ⅱ）当2a >时，若0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，求实数a 的取值范围．已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o 的菱形的四个顶点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB △（O 为原点）面积的最大值．设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”． （Ⅰ）数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；（Ⅱ）数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使表1得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；（Ⅲ）对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．22221212a a a a a a a a ------海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2013．5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）9．2 10．c b a >> 11．12．2 13．[0,1] 14．②③；2三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为πsin()04x -≠，所以ππ,4x k -≠Z k ∈， ……………………2分所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠}k ∈Z ． …………………4分（Ⅱ）解：因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x-=-- ……………………6分 = 1+(cos sin )x x +π= 1)4x +， ……………………8分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z令πππ2π2π242k x k -≤+≤+，解得3ππ2π2π44k x k -≤≤+， ……………………11分 又注意到ππ+4x k ≠，所以()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．…………13分16．（Ⅰ）解：设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-=， …………………4分（Ⅱ）解：设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5,0,45,145--， …………………6分ξ的分布列为…………………8分所以ξ的期望为()550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯2.590%145p =--，…………………11分所以当1.61450p ->时，即8725p <， …………………12分 所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业．…………13分 17．（Ⅰ）证明：因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，所以PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AC ， …………………1分 因为在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=o ，30CAB ∠=o ，2BC =，4AD =，所以4AC =，60CAB ∠=o ，所以ADC ∆是等边三角形， 所以H 是AC 中点， …………………2分 所以HE PC ∥，…………………3分 同理可证EF PB ∥，又,HE EF E CP PB P ==I I，所以EFH PBC ∥平面PBC ． …………………5分 （Ⅱ）解：在平面ABC 内过H 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，P ，B ，………6分 因为(0,E -，(0,HE =-uuur， 设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z =r，因为HB =uu u r ，HP =uu u r，所以有00HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uu u r r ，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =-所以3,0)n =-r， …………………8分Acos,||||n HEn HEn HE⋅<>===⋅r uuu rr uuu rr uuuu r，…………………10分所以直线HE与平面PHB． (11)分（Ⅲ）证明：存在，事实上记点E为M即可，…………………12分因为在直角三角形PHA中，122EH PE EA PA====，…………………13分在直角三角形PHB中，点4,PB=122EF PB==，所以点E到四个点,,,P O C F的距离相等．…………………14分18．（Ⅰ）解：因为1()||e2tS t t a=-，其中t a≠，…………………2分当0a=，1()||e2tS t t=，其中0t≠，当0t>时，1()e2tS t t=，1'()(1)e2tS t t=+，所以'()0S t>，所以()S t在(0,)+∞上递增，…………………4分当0t<时，1()e2tS t t=-，1'()(1)e2tS t t=-+，令1'()(1)e02tS t t=-+>，解得1t<-，所以()S t在(,1)-∞-上递增，令1'()(1)e02tS t t=-+<，解得1t>-，所以()S t在(1,0)-上递减，…………7分综上，()S t的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-，()S t的单调递增区间为(1,0)-．（Ⅱ）因为1()||e2tS t t a=-，其中t a≠，当2a>，[0,2]t∈时，1()()e2tS t a t=-，因为[0,2]t∃∈，使得()eS t≥，所以()S t在[0,2]上的最大值一定大于等于e，1'()[(1)]e2tS t t a=---，令'()0S t=，得1t a=-，…………………8分当12a-≥时，即3a≥时，1'()[(1)]e02tS t t a=--->对(0,2)t∈成立，()S t单调递增，所以当2t=时，()S t取得最大值21(2)(2)e2S a=-，令21(2)e e2a-≥，解得22ea≥+，所以3a ≥， …………………10分 当12a -<时，即3a <时，1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增，1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减，所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --=，令11(1)e e 2a S a --=≥，解得ln22a ≥+，所以ln223a +≤<． …………………12分 综上所述，ln22a +≤． …………………13分 19．（Ⅰ）解：因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o 的菱形的四个顶点，所以1a b ==，椭圆M 的方程为2213x y += …………………4分（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，因为AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时，则AB 的垂直平分线为y 轴，则1212,x x y y =-=，所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ==△2211(3)322x x +-≤=，所以AOB S ≤△，当且仅当1||x 时，AOB S △．………6分 当直线AB 的斜率不为0时，则设AB 的方程为y kx t =+，所以2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x kt t +++-=， 当224(933)0k t ∆=+->，即2231k t +>，① 方程有两个不同的解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+， …………………9分所以122231y y tk +=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314k t +=，②代入①，得到04t <<， …………………10分又原点到直线的距离为d =，12|||AB x x =-=，所以1=||||2AOB S AB d ∆=，化简得到AOB S △ …………………12分 因为04t <<，所以当2t =时，即k =AOB S △． 综上，AOB △． …………………14分 20．（Ⅰ）解：法一：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法二：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法三：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分（Ⅱ）解：每一列所有数之和分别为2,0,2,0-，每一行所有数之和分别为1-，1；①如果首先操作第三列，则 22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以12a ≤或52a ≥， 当12a ≤时，则接下来只能操作第一行，22221212a a a a a a a a ------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a ---， 必有2220a -≥，解得0,1a =-， 当52a ≥时，则接下来操作第二行， 22221212a a a a a a a a ------此时第4列和为负，不符合题意． …………………6分 ②如果首先操作第一行 22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a ，当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉， 当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =-， 经检验，0a =或1a =-符合要求．综上：0,1a =-． …………………9分（Ⅲ）证明：能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数．证明如下：记数表中第i 行第j 列的实数为ij c （1,2,,;1,2,,i m j n ==L L ），各行的数字之和分别为12,,,m a a a L ，各列的数字之和分别为12,,,n b b b L ，12m A a a a =+++L ，12n B b b b =+++L ，数表中m n ⨯个实数之和为S ，则S A B ==．记{}112211221min 11(1,2,,)0|i i n in l i i n in i mK k c k c k c k l n k c k c k c ≤≤=+++=-=+++≠L L L 或且{}112211221min 11(1,2,,)0|j j m mj s j j m mj j nT t c t c t c t s m t c t c t c ≤≤=+++=-=+++≠L L L 或且{}min ,K T λ=．按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A （和B ）增大，从而也就使得S 增加，增加的幅度大于等于2λ，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，S 必然小于等于最初的数表中m n ⨯个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止．终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S 就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立． ……13分北京市海淀区高三统一测试 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：因为{}21A x x =-≤≤，所以A B =U {}1x x ≤． 故选B ．2．【答案】D【解析】解：由题意得22111231214428a q a a q q q a q ⎧===⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或112a q =-⎧⎨=-⎩． 故选D ．3．【答案】C【解析】解：由几何概型的知识可知S m S n Ω=正，所以2mS ma S n nΩ==正． 故选C ．4．【答案】B【解析】解：画出直观图可知该立体图形为正方体与正四棱锥组成，所以1566465180602402S =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．故选B ．5．【答案】C【解析】解：当1λ=时，可知,AB DC AD BC ==uu u r uuu r uuu r uu u r，故四边形ABCD 为平行四边形；四 边形ABCD 为平行四边形，则,AB DC AD BC ==uu u r uuu r uuu r uu u r，此时1λ=，故λ∃∈R ，使得 ,AB DC AD BC λλ==uu u r uuu r uuu r uu u r ． 故选C ．6．【答案】A【解析】解：由题可知2,4都不排在个位和万位共有233336A A ⋅=种，其中5排在百位的 有22224A A ⋅=种，所以满足条件的共有36432-=． 566故选A ．7．【答案】B【解析】解：由题可知作图，过点A 做抛物线准线的垂线，交于点B ，由抛物线的定义可知2AB AF =，因为抛物线方程为24y x =，所以1222F F AF ==； 综上可知四边形12ABF F 为正方形，所以122AF =， 由双曲线的定义可知122222a AF AF =-=-，即21a =-，1c =，所以2121e ==+-．故选B ．8．【答案】D【解析】解：A ．34a =可以经过两次减1得到，也可以经过先减1，再取倒数得到，还 可以是先取倒数，然后减1得到，但是不可能经过两次取倒数得到．因此m 可以取3个 不同的值：6，54，15． B ．221a =-，321a =+，42a =，……，周期为3． C ．设(0,1)α∈满足11T αα=-+，即21(1)41T T α=<-++-．此时一个周期之内的所有项为：1,2,,T T ααα-+-+L ．可以取m 为其中除了α以外的任意一个值． D ．若数列{}n a 是周期数列，则必有小于1的项．而(0,1)α∀∈且α∈Q ，1αα-不可能是正整数，故1α不能写成n α+的形式，*n ∈N ，故数列{}n a 不是周期数列．（假设1n αα-=为正整数，则24n n α=++是有理数，于是24n +也是有理数．其中，假设24(,)p n p q q +=∈*N 是有理数，则222(4)p n q=+，由于24n +是正整数，故可设1q =，于是()()4p n p n +-=，无解．故α不是有理数）注：①对于正实数轴上的点，设数轴上的点A 所表示的实数为21-，点B 所表示的实 数是点A 的倒数2121=+-．考虑一个点P 从实数轴上的21-出发，由于21-在1的左边，因此点P 随后跳到1右边的21+处．在此之后，只要该点在1的右边，就往左移动1个单位；只要该点在1的左边，就移动到其倒数所表示的点的位置．因为1)1)2-=是整数，因此此时的{}n a 是周期数列，且周期为213+=．现将A点向()0,0点移动，与此同时，点B 会相应地向右移动（保持乘积为1），于是,A B 两点 之间的距离逐渐增大．*T ∀∈N ，4T ≥，在此过程中必定存在有某个时刻，,A B 两点 之间的距离恰为1T -，此时{}n a 是周期数列，且周期为T ，而m 的值可以取点P 经过的且在1的右边的任何一个点．周期为2 ②由于实数是连续的，而有理数不是，因此①只能说明C 选项是正确的，而不能说明 D 选项是正确的． 故选D ．二、 填空题 9．【答案】2【解析】解：由cos 22x ρθ=⇒=，极点()0,0所以距离为2． 故答案为2．10．【答案】c b a >>【解析】解：因为()1ln ,02a =∈-∞，()1sin 0,12b =∈，()1221,c -==+∞，所以c b a >>．故答案为c b a >>．11．【答案】(【解析】解：1tan 30k ==o )1:2l y x =+①121k k ⋅=-得2k =)2:2l y x =-②由①②解得，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故答案为(．12．【答案】2【解析】解：由正弦定理得到sin30sin 45b =o o，所以2b =，sin sin()C A B =+=，131sin 2ABC S ab C +==△． 故答案为2，31+．13．【答案】[]0,1【解析】解：建立如图A xyz -的空间直角坐标系，则点()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,0,0A ，因为点在线段1BD 上，可以设点()1,,1P a a a -+，所以()0,1,0DC =uuu r，()[]()1,,10,1AP a a a a =-+∈u u u r ，所以DC AP a ⋅=uuu r uu u r，故[]0,1a ∈．故答案为[]0,1．14．【答案】②③；22-【解析】解：（Ⅰ）①错误．显然点(1,0)在曲线W 上，点(1,0)-不在曲线W 上．②正确．设点1P 和2P 关于直线y x =对称，则点1P 和2P 到两条坐标轴的距离之和相等，到点(1,1)的距离也相等，因此点1P 和2P 要么都在曲线W 上，要么都不在曲线W 上． ③正确．设(,)P x y ，只考虑第一象限内（包括x 轴非负半轴，y 轴非负半轴）的轨迹， 由条件可知22(1)(1)x y x y +=-+-，化简得(1)(1)2x y ++=．它的轨迹是曲线 2(12)xy x =≤≤向左向下各平移一个单位得到的．面积显然小于12，因为原点，点(0,1) 和点(1,0)构成的三角形的面积为12，而题中的封闭图形在三角形的内部． （Ⅱ）对22||||(1)(1)x y x y +=-+-平方得 ||1xy x y =--．分别对点P 在四个象限进行讨论可知，曲线W 在第二象限的轨迹是1(0)y x =<，在第四象限的轨迹是1(0)x y =<，在第三象限的轨迹是(1)(1)2(1,1)x y x y ++=<-<-．因此曲线W 上的点到原点距离最小的点在第一象限．根据PzyxD 1C 1A 1B 1DCB A(1)(1)2x y ++=可得1xy x y ++=，到原点的距离最小的点为1)-，到原点的1)2=故答案为②③；2。
2013年北京高考数学真题及答案(理科)
绝密★启封前机密★使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,0,1}A=-，{|11}B x x=-<≤，则A B=I（A）{0}（B）{1,0}-（C）{0,1}（D）{1,0,1}-（2）在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）“ϕ=π”是“曲线sin(2)y xϕ=+过坐标原点”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）1（B）2 3（C）13 21（D）610987数学（理）（北京卷）第1 页（共11 页）数学（理）（北京卷） 第 2 页 （共 11 页）（5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（A ）1e x + （B ）1e x - （C ）1e x -+（D ）1e x --（6）若双曲线22221x y a b-=（A ）2y x =±（B）y =（C ）12y x =±（D）y = （7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（A ）43（B ）2（C ）83（D）3（8）设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=．求得m 的取值范围是（A ）4(,)3-∞（B ）1(,)3-∞（C ）2(,)3-∞-（D ）5(,)3-∞-数学（理）（北京卷） 第 3 页 （共 11 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2013届高三上学期期末考试理科数学试题
2013.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩〔t 为参数〕与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4B.π,(1,0)4-C.3π,(1,0)4D.3π,(1,0)4-(3,4),(,2)x ==a b , 假设||⋅=a b a ,则实数x 的值为A.1-B.12-C.13-D.14.某程序的框图如下列图, 执行该程序，假设输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+〔*,n r ∈∈N R 且0r ≠〕，则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. 144 B.120 C. 108 D.72E DABO C8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，假设椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____. 11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如下列图，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，假设点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为22___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -外表上运动，且PA r =〔03r <<〕，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.〔填上所有可能的值〕.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. 〔本小题总分值13分〕已知函数21()3sin cos cos 2222x x x f x +-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .〔I 〕求()f x 的单调递增区间；〔Ⅱ〕假设()1,f B C +=3,1a b ==，求角C 的大小.DABC 2223416.〔本小题总分值13分〕汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A 型车出租天数 1 234567 车辆数510 30 35 15 3 2 B 型车出租天数 1 234567车辆数14 20 20 16 15 10 5〔I 〕从出租天数为3天的汽车〔仅限A,B 两种车型〕中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；〔Ⅱ〕根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；〔Ⅲ〕如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. 〔本小题总分值14分〕如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.〔I 〕求证：1//A B 平面1AEC ；〔II 〕假设棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； 〔Ⅲ〕求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. 〔本小题总分值13分〕已知函数e ().1axf x x =- 〔I 〕 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； 〔Ⅱ〕求函数()f x 的单调区间.19. 〔本小题总分值14分〕已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点〔不同于点E 〕，直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . 〔Ⅰ〕求抛物线方程及其焦点坐标；〔Ⅱ〕已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. 〔本小题总分值13分〕已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，假设()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；假设2()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，假设1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，xab c a b c ++()f xddt4求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？假设存在，求出M 的最小值；假设不存在，说明理由.3cos 1223cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+ ………………6分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π 22k k -+（），()Z k ∈ 所以令πππ2π2π262k x k -<+<+π6C =………………13分16.〔本小题总分值13分〕解：〔I 〕这辆汽车是A 型车的概率约为3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.63020=+这辆汽车是A 型车的概率为0.6 ………………3分 〔II 〕设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中,1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ ………………7分520102030141001001001001001009125=⋅+⋅+⋅=所以1//EO A B (2)分又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC 所以1//A B 平面1AEC………………4分〔Ⅱ〕以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系………………2分 又(0)1f =-，'(0)2f =-， 所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =-- ………………4分〔II 〕2e [(1)]'()(1)ax ax a f x x -+=- 当0a =时，21'()0(1)f x x -=<- 又函数的定义域为{|1}x x ≠ 所以()f x 的单调递减区间为(,1),(1,)-∞+∞ ………………6分当 0a ≠时，令'()0f x =，即(1)0ax a -+=，解得1a x a+=………………7分 当0a >时，11a x a+=>， 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x (,1)-∞11(1,)a a+ 1a a + 1(,)a a++∞ '()f x-无定义-0 +()f x极小值所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，1(1,)a a+， 单调递增区间为1(,)a a++∞ ………………10分 当0a <时，11a x a+=< 所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x 1(,)a a +-∞ 1a a+ 1(,1)a a+ 11(,)a a++∞ '()f x+-无定义-()f x极大值所以()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞， 单调递减区间为1(,1)a a+，(1,)+∞ ………………13分直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++， 令2x =-，得11242M y y y -=+………………9分 同理可得：22242N y y y -=+………………10分令2x =-， 得11242M y y y -=+=………………12分所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2………………13分20. 〔本小题总分值14分〕解：〔I 〕因为1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω， 即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞是增函数，所以0h ≤ ………………1分 而2()()2f x hh x x h x x==--在(0,)+∞不是增函数，而2'()1h h x x =+当()h x 是增函数时，有0h ≥，所以当()h x 不是增函数时，0h < 综上，得h <………………4分(Ⅱ) 因为1()f x ∈Ω，且0a b c a b c <<<<++所以()()4=f a f a b c a a b c a b c++<++++， 所以4()af a d a b c=<++，同理可证4()b f b d a b c =<++，4()cf c t a b c=<++三式相加得4()()()()24,a b c f a f b f c d t a b c++++=+<=++所以240d t +-<………………6分 因为,d d a b <所以()0,b a d ab-< 而0a b <<， 所以0d < 所以(24)0d d t +->………………8分(Ⅲ) 因为集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 所以()f x ∀∈ψ，存在常数k ，使得 ()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立 我们先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立 假设0(0,),x ∃∈+∞使得0()0f x >， 记020()0f x m x => 因为()f x 是二阶比增函数，即2()f x x 是增函数. 所以当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx > 所以一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >> 这与()f x k< 对(0,)x ∈+∞成立矛盾 ………………11分。
2013年海淀区高三数学查漏补缺试题
俯视图65左视图主视图562013年高三数学查漏补缺题理科 2013年5月1.函数cos(4)3y x π=+图象的两条相邻对称轴间的距离为A.π8 B. π4 C.π2D.π 2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．e x y =B ．sin 2y x =C ．3y x =-D ．12log y x =3.若向量,a b 满足||||2==a b ，且6⋅+⋅=a b b b ，则向量,a b 的夹角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4.已知函数()sin f x x x =，则π()11f ，(1)f -，π3f -（）的大小关系为 A ．ππ()(1)()311f f f ->-> B ．ππ(1)()()311f f f ->->C ．ππ()(1)()113f f f >->-D ．ππ()()(1)311f f f ->>-5.某空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_________,体积为__________.6.设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥ ③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α 其中所有真命题的序号是____________7.设202400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，若直线2x y b +=上存在区域D 上的点，则b 的取值范围是_____.8.已知不等式组02,20,3240x x y x y ≤≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为W ，则W 的面积是_________；设点(,)P x y W ∈，当22x y +最小时，点P 坐标为__________．9. 523()x x +的展开式中的常数项为 10. 计算e 11(2)d x x x+=⎰ .11.若直线l 的参数方程为112x t y t =+⎧⎨=-⎩，，其中t 为参数，则直线l 的斜率为_______.12.如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ,PO 交圆O 于,B C 两点，ABPCO13.如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； ③四边形MENF 面积()S g x =，[0,1]x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中正确命题的个数（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 14.直线y ax b =+与抛物线2114y x =+相切于点P . 若P 的横坐标为整数，那么22a b +的最小值为 . 15.数列{}n a 的前n 项和221, 4,(1), 5.n n n S n a n n ⎧-≤⎪=⎨-+-≥⎪⎩ 若5a 是{}n a 中的最大值，则实数a 的取值范围是_____.解答题部分：1. 已知函数22()cos 23sin cos sin f x x x x x =+-（I ）求()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22Af =且2a bc =，试判断ABC ∆ 的形状.2. 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线3(0)y x x =≥交于点Q ，与x 轴交于点M ．记MOP α∠=，且ππ(,)22α∈-． （Ⅰ）若1sin 3α=，求cos POQ ∠； （Ⅱ）求OPQ ∆面积的最大值. M NF EC'D'B'A'CDA BM3. 已知函数π()cos2sin()12f x x a x =+-+,且π()124f =+（Ⅰ）求a 的值.（Ⅱ）求函数()f x 在区间 [0,π]上的最大值和最小值.4.数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ,且对任意n N +∈，都有33332123n na a a a S ++++=. （Ⅰ）求证：22n n n a S a =-；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.5. 已知正三角形ACE 与平行四边形ABCD 所在的平面互相垂直.又90ACD ∠=，且2,2CD A C ==，点,O F分别为,AC AD 的中点.(I) 求证：CF DE ⊥(Ⅱ) 求二面角O DE C --值. FO E C DBA6. 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望和方差.7. 已知函数21()6ln(2)2f x ax x =-++在2x =处有极值. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y kx =与函数'()f x 有交点，求实数k 的取值范围.8. 已知函数()e (1)ax af x a x=⋅++，其中1a ≥-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若存在10x >，20x <，使得12()()f x f x <，求a 的取值范围.9. 设函数321()()3f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -．（Ⅰ）求证：01ba<≤；（Ⅱ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围．10. 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设,M N 为椭圆C 上的两个动点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.11.如图，已知(3,0)(0)M m m ->，,N P 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足0MN NQ ⋅=，12NP PQ =. （Ⅰ）求动点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若正方形ABCD 的三个顶点,A B C ,在点Q 的轨迹上，求正方形ABCD 面积的最小值.12. 动圆过点(0,2)F 且在x 轴上截得的线段长为4，记动圆圆心轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程; （Ⅱ）已知,P Q 是曲线C 上的两点，且2PQ =，过,P Q 两点分别作曲线C 的切线，设两条切线交于点M ，求△PQM 面积的最大值．13.已知椭圆22:143x y C +=的左右两个顶点分别为A B ，，点M 是直线:4l x =上任意一点，直线MA ，MB 分别与椭圆交于不同于A B ，两点的点P ，点Q . （Ⅰ）求椭圆的离心率和右焦点F 的坐标； （Ⅱ）（i ）证明,,P F Q 三点共线；（ii ）求PQB ∆面积的最大值。
2013年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)(附答案解析)
（1）先求出 ，根据正弦定理有 ，由此求得 的值．
（2）又在 中， ，利用两角和的正弦公式求得 的值，可得 的值，再由 求得结果．
【解答】
解：（1）因为 ， ，所以 ，在 中， ，
根据正弦定理有 ，…
所以 ． …
（2）由 ，可得 ． …
又在 中， ， ，…
所以 ，…
所以 ． …
【答案】
解：（1）∵ 点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上，
＝ 是偶函数，但没有最小值，故排除 ；
＝ ＝ ，所以 是偶函数，
又 ，当且仅当 ＝ 时 取得最小值，
6.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．
【解答】
由在四边形 中，“ ，使得 ， ”，得出 ， ，
所以
所以
所以 ；
（2）因为
当 时，
所以 ，
又 时， 适合上式，
所以 ．
所以
所以不等式 化为 ，即
所以 或 ，
所以 ， ．
则不等式 的解集为 ．
【答案】
解：（1）因为 ， ，所以 ，在 中， ，
根据正弦定理有 ，…
所以 ． …
（2）由 ，可得 ． …
又在 中， ， ，…
所以 ，…
所以 ． …
【考点】
正弦定理
（2）如图所示，题中不等式组表示的平面区域为图中直线 上方、直线 的下方，且 下方的区域．由此将直线 绕 旋转，观察斜率的变化并计算 的值，可得实数 的取值范围．
【解答】
解：（1）当 时，作出不等式组 ，
数学_2013年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合A ＝{x ∈N|x ≤6}，B ＝{x ∈R|x 2−3x >0}，则A ∩B ＝（ ） A {3, 4, 5} B {4, 5, 6} C {x|3<x ≤6} D {x|3≤x <6}2. 在极坐标系中，曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为（ ） A π B 4 C 4π D 163. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x 值为5，则输出的y 值（ ）A −2B −1C 12 D 24. 不等式组{x ≥1x +y −4≤0kx −y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为（ ）A −2B −1C 0D 15. 若向量a →，b →满足|a →|=|b →|=|a →+b →|=1，则 a →⋅b →的值为（ ） A −12B 12C −1D 16. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( ) A 12种 B 15种 C 17种 D 19种7. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(x, y)为该抛物线上的动点，又点A(−1, 0)，则|PF||PA|的最小值是( )A 12 B √22 C √32 D2√338. 设l 1，l 2，l 3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线．给出下列三个结论：①∃A i ∈l i (i =1, 2, 3)，使得△A 1A 2A 3是直角三角形； ②①∃A i ∈l i (i =1, 2, 3)，使得△A 1A 2A 3是等边三角形；③三条直线上存在四点A i (i =1, 2, 3, 4)，使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．其中，所有正确结论的序号是（）A ①B ①②C ①③D ②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在复平面上，若复数a+bi(a, b∈R)对应的点恰好在实轴上，则b=________．10. 等差数列{a n}中，a3+a4=9，a2a5=18，则a1a6=________．11. 如图，AP⊙O切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C．若∠ACB=90∘，BC=3，CP=4，则弦DB的长为________．12. 在△ABC中，若a=4，b=2，cosA=−14，则c=________，sinC=________．13. 已知函数f(x)={2x−a,x≤0,x2−3ax+a,x>0,有三个不同的零点，则实数a的取值范围为________．14. 已知函数f(x)=sinπ2x，任取t∈R，定义集合：A t={y|y=f(x), 点P(t, f(t)), Q(x, f(x))满足|PQ|≤√2}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记ℎ(t)=M t−m t．则（1）函数ℎ(t)的最大值是________；（2）函数ℎ(t)的单调递增区间为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数f(x)=2−(√3sinx−cosx)2．（1）求f(π4)的值和f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在区间[−π6, π3]上的最大值和最小值．16. 在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（2）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分．(I)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(II)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望．17. 在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又PA ＝AB ＝4，∠CDA ＝120∘，点N 在线段PB 上，且PN =√2． (Ⅰ)求证：BD ⊥PC ；(Ⅱ)求证：MN // 平面PDC ；(Ⅲ)求二面角A −PC −B 的余弦值．18. 已知函数f(x)＝lnx +ax 2+bx （其中a ，b ）为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值． (Ⅰ)当a ＝1时，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)在(0, e]上的最大值为1，求a 的值． 19. 已知圆M ：(x −√2)2+y 2=r 2(r >0)，若椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为圆M 的圆心，离心率为√22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在过原点的直线，使得该直线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且|AG|=|BH|，若存在，则求出圆M 半径r 的取值范围，若不存在，说明理由.20. 设A(x A , y A )，B =(x B , y B )为平面直角坐标系上的两点，其中x A ，y A ，x B ，y B ∈Z ．令△x =x B −x A ，△y =y B −y A ，若|△x|+|△y|=3，且|△x|⋅|△y|≠0，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：B =τ(A)．已知P 0(x 0, y 0)(x 0, y 0∈Z)为平面上一个定点，平面上点列{P i }满足：P i =τ(P i−1)，且点P i 的坐标为(x i , y i )，其中i =1，2，3，…n ．（1）请问：点P 0的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （2）求证：若P 0与P n 重合，n 一定为偶数； （3）若p 0(1, 0)，且y n =100，记T =∑x i n i=0，求T 的最大值．2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. C3. C4. D5. A6. D7. B8. B9. 010. 1411. 24512. 3,3√151613. {a|49<a≤1}14. 解：（1）A t={y|y=f(x), 点P(t, f(t)), Q(x, f(x))满足|PQ|≤√2}表示以P点为圆心，√2为半径的圆及其内部函数y=sinπx2的图象上所有的点的纵坐标的集合，∵ f(−2)=f(0)=f(2)=0，f(1)=1，f(−1)=−1，设O(0, 0)，A(1, 1)，B(2, 0)，则AO=AB=√2，∴ M t={1,4k≤t≤4k+2(k∈Z)f(t)+√[2−(x0−t)2]，4k−2≤t<4k(k∈Z)，其中x0是最高点Q的横坐标，同理，m t={−1,4k−2≤t≤4k(k∈Z)f(t)−√[2−(x1−t)2]，4k≤t<4k+2(k∈Z)；其中x1是最低点Q的横坐标．∴函数ℎ(t)的最大值是2（t=4k或4k+2时取得），（2）由（1）中的分析可知单调增区间是(2k−1, 2k)．15. 解：（1）因为函数f(x)=2−(√3sinx−cosx)2=2−(3sin2x+cos2x−2√3sinxcosx)=2−(1+2sin2x−√3sin2x)=1−2sin2x+√3sin2x=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)．所以，f(π4)=2sin(2×π4+π6)=2sin2π3=√3，所以，f(x)的周期为T=2π2=π．（2）当x∈[−π6, π3]时，2x∈[−π3, 2π3]，2x+π6∈[−π6, 5π6]，所以，当2x+π6=−π6，即当x=−π6时，函数取得最小值f(−π6)=−1，当2x+π6=π2，即当x=π6时，函数取得最大值f(π6)=2．16. 解：（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷14=40人…所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1−0.375−0.375−0.15−0.025)=3…(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为40(1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075)40=2.9 (III)设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20…P(ξ=16)=C62C102=13，P(ξ=17)=C21C61C102=415P(ξ=18)=C61C21+C22C102=1345P(ξ=19)=C21C21C102=445P(ξ=20)=C22C102=145所以ξ的分布列为所以Eξ=16×13+17×415+18×1345+19×445+20×145=865所以ξ的数学期望为865…17. 证明：(I)∵ △ABC是正三角形，M是AC中点，∴ BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴ BD⊥平面PAC．∴ BD⊥PC．（2）在正△ABC中，BM=2√3．在△ACD中，∵ M为AC中点，DM⊥AC，∴ AD＝CD．∠ADC＝120∘，∴ DM=2√33，∴ BMMD =31．在等腰直角△PAB中，PA＝AB＝4，PB=4√2，∴ BNNP =31，∴BN NP=BM MD，∴ MN // PD ．又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， ∴ MN // 平面PDC ．(Ⅲ)∵ ∠BAD ＝∠BAC +∠CAD ＝90∘，∴ AB ⊥AD ，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系， ∴ B(4, 0, 0)，C(2,2√3,0)，D(0,4√33,0)，P(0, 0, 4)． 由(Ⅱ)可知，DB →=(4,−4√33,0)为平面PAC 的法向量． PC →=(2,2√3,−4)，PB →=(4,0,−4)． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{n →⋅PC →=0n →⋅PB →=0，即{2x +2√3y −4z =04x −4z =0 ， 令z ＝3，得x ＝3，y =√3，则平面PBC 的一个法向量为n →=(3,√3,3)，设二面角A −PC −B 的大小为θ，则cosθ=n →⋅DB →|n →||DB →|=√77． 所以二面角A −PC −B 余弦值为√77．18. （I ）因为f(x)＝lnx +ax 2+bx 所以f′(x)=1x +2ax +b ，因为函数f(x)＝lnx +ax 2+bx 在x ＝1处取得极值f′(1)＝1+2a +b ＝0 当a ＝1时，b ＝−3，f′(x)=2x 2−3x+1x，f′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间为(0, 12)，(1, +∞)单调递减区间为(12, 1)(II)因为f′(x)=(2ax−1)(x−1)x令f′(x)＝0，x 1＝1，x 2=12a⋯因为f(x)在 x ＝1处取得极值，所以x 2=12a ≠x 1＝1， 当12a <0时，f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, e]上单调递减 所以f(x)在区间(0, e]上的最大值为f(1)， 令f(1)＝1，解得a ＝−2 当a >0，x 2=12a>0当12a <1时，f(x)在(0, 12a )上单调递增，(12a , 1)上单调递减，(1, e)上单调递增 所以最大值1可能在x =12a 或x ＝e 处取得而f(12a )＝ln 12a +a(12a )2−(2a +1)12a =ln 12a −14a <0 所以f(e)＝lne +ae 2−(2a +1)e ＝1，解得a =1e−2⋯ 当1≤12a<e 时，f(x)在区间(0, 1)上单调递增，(1, 12a)上单调递减，(12a, e)上单调递增所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得 而f(1)＝ln1+a −(2a +1)<0所以f(e)＝lne +ae 2−(2a +1)e ＝1， 解得a =1e−2，与1<x 2=12a<e 矛盾当x 2=12a ≥e 时，f(X)在区间(0, 1)上单调递增，在(1, e)单调递减， 所以最大值1可能在x ＝1处取得，而f(1)＝ln1+a −(2a +1)<0，矛盾 综上所述，a =1e−2或a ＝−2．19. 解：(1)设椭圆的焦距为2c ， 由椭圆右顶点为圆M 的圆心(√2, 0)， 得a =√2， 又ca =√22，所以c =1，b =1，所以椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1.(2)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线l 的方程为y =kx ，因为直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ， 联立{y =kx,x 2+2y 2−2=0.消去y 得(1+2k 2)x 2−2=0.由韦达定理得x 1+x 2=0，x 1x 2=−21+2k 2， 所以|AB|=√(1+k 2)81+2k2=√8(1+k 2)1+2k 2. 因为点M(√2, 0)到直线l 的距离d =√2k|√1+k 2，所以|GH|=2√r 2−2k 21+k 2，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|， 所以8(1+k 2)1+2k 2=4(r 2−2k 21+k 2)， 所以r 2=2k 21+k 2+2(1+k 2)1+2k 2=2(3k 4+3k 2+1)2k 4+3k 2+1=2(1+k 42k 4+3k 2+1)，当k =0时，r =√2， 当k ≠0时，r 2=2(1+11k 4+3k2+2)<2(1+12)=3，又显然r 2=2(1+11k 4+3k 2+2)>2，所以√2<r <√3，当直线的斜率不存在时，此时圆M 的半径的取值范围为√2<r ≤√3. 综上所述，√2≤r ≤√3. 20. 解：（1）∵ |△x |+|△Y |=3，(|△x|⋅|△y|≠0)∴ |△x |=1且|△Y |=2，或|△x |=2且|△Y |=1，所以点P 0的相关点有8个… 又∵ (△x )2+(△Y )2=3，即(x 1−x 0)2+(y 1−y 0)2=5∴ 这些可能值对应的点在以P 0(x 0, y 0)为圆心，√5为半径的圆上… （2）依题意P n (x n , y n )与P 0(x 0, y 0)重合则x n =(x n −x n−1)+(x n−1−x n−2)+(x n−2−x n−3)+...+(x 3−x 2)+(x 2−x 1)+(x 1−x 0)+x 0，y n =(y n −y n−1)+(y n−1−y n−2)+(y n−2−y n−3)+...+(y 3−y 2)+(y 2−y 1)+(y 1−y 0)+y 0，因此，可得(x n −x n−1)+(x n−1−x n−2)+(x n−2−x n−3)+...+(x 3−x 2)+(x 2−x 1)+(x 1−x 0)=0，且(y n −y n−1)+(y n−1−y n−2)+(y n−2−y n−3)+...+(y 3−y 2)+(y 2−y 1)+(y 1−y 0)=0 两式相加得[(x n −x n−1)+(y n −y n−1)]+[(x n−1−x n−2)+(y n−1−y n−2)]+...+[(x 1−x 0)+(y 1−y 0)]=0(∗)∵ x i ，y i 都是整数，且|x i −x i−1|+|y i −y i−1|=3(i =1, 2, 3,…,n)∴ (x i −x i−1)+(y i −y i−1)(i =1, 2, 3,…,n)为奇数，于是(∗)的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以左边不可能是奇数项，可得n 一定为偶数… （3）令△x i =x i −x i−1，△y i =y i −y i−1，(i =1, 2, 3,…,n)依题意(y n −y n−1)+(y n−1−y n−2)+...+(y 2−y 1)+(y 1−y 0)=100， ∵ T =∑x i n i=0=x 0+x 1+x 2+...+x n =1+(1+△x 1)+(1+△x 1+△x 2)+...+(1+△x 1+△x 2+...+△x n )=n +1+n △x 1+(n −1)△x 2+...+2△x n−1+△x n )… ∵ |△x i |+|△y i |=3，且|△x i |的|△y i |都是非零整数， ∴ 当△x i =2的个数越多，则T 的值越大，∵ 在△x 1，△x 2，△x 3，…，△x n−1，△x n 这个序列中，数字2的位置越靠前，相应的值越大且当△y i 取值为1或−1的次数最多时，△x i 取2的次数才能最多，T 的值才能最大．∴ ①当n =100时，令所有的△y i 都为1，且△x i 都取2，得T =101+2(1+2+...+100)=10201．②当n >100时，（1）若n =2k(k ≥50, k ∈N +)，此时△y i 可取k +50个1，k −50个−1，且△x i 可都取2，S(n)达到最大值从而T =n +1+2[n +(n −1)+...+2+1]=n 2+2n +1．（2）若n =2k +1(k ≥50, k ∈N +)，令△y n =2，其余的△y i 中有k −49个−1，k +49个1．相应的，对于△x i ，有△x n =1，其余的都为2，可得T =n +1+2[n +(n −1)+...+2+1]−1=n 2+2n③当50≤n ≤100时，令△y i =1，i ≤2n −100，△y i =2，2n −100<i ≤n ， 则相应地取△x i =2，i ≤2n −100，△y i =1，2n −100<i ≤n ，可得T =n +1+2[n +(n −1)+...+(101−n)]+[(100−n)+(99−n)+...+2+1]=12(n 2+205n −10098)综上所述，得T ={12(n 2+205n −10098)n ∈N +且50≤n <100(n +1)2n ≥100且n 是偶数n 2+2nn ≥100且n 是奇数…。