全国初一数学知识竞赛专题辅导⑻列方程解应用题
完整版)初一数学列方程解应用题归类含答案
完整版)初一数学列方程解应用题归类含答案一、等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形状变化，但体积不变。
①圆柱体的体积公式为V=底面积×高=S·h=πrh②长方体的体积为V=长×宽×高=abc1.一段铁丝围成长方形，发现长比宽多2cm；围成正方形时，边长刚好为4cm。
求所围成的长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x，宽为x-2，则有x+x-2+4=4x，解得x=6，所以长方形的长为6cm，宽为4cm。
2.用一个底面半径为40mm，高为120mm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100mm的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10mm，大玻璃杯的高度是多少？解：由于10杯水的体积为10×40×40×π×120=π mm³，而大玻璃杯的底面积为100×100×π=π mm²，所以大玻璃杯的高度为π/π-10=22mm。
3.一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成。
现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米。
你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？解：设鸡场的长为x，宽为y，则有x+y=35，x-14=y+5或x-14=y+2，解得x=24，y=11或x=21，y=14.所以小王的设计符合实际，鸡场的面积为24×11=264平方米。
4.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）。
解：长方体铁盒中的水的体积为300×300×80=xxxxxxxmm³，而圆柱形水桶的体积为π×100×100×h=πh，所以h=xxxxxxx/(π)=229.18mm。
新课标七年级数学竞赛培训第十一讲 列方程解应用题——设元的技巧
第十一讲 列方程解应用题——设元的技巧应用题联系生活实际，反映实际生活中的数量关系，列方程解应用题是从具体问题中抽象归纳出所需要的数量关系，根据数量间的关系，依照题意合理选择未知数、找出隐含的等量关系，列方程进行求解．恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元，需要根据具体问题的条件来确定．对未知元的选择，有时可将要求的量设为未知元(即问什么设什么)，称此为直接设元；有时需要将要求的量以外的其他量设为未知元(即所设的不是所求的，则更易找出符合题意的数量关系)，称此为间接设元；有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因此需把这些未知的常量设为参数，以便建立等量关系，称此为辅助设元．【例1】 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为 ． (济南市中考题)思路点拨 要求长方形的面积需求出务正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于6个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．注： 列方程解应用题又一关键是：找寻能够表示应用题全部意义的相等关系，找寻相等关系的基本方法有：(1)运用基本公式找寻相等关系； (2)从关键词中找寻基本关系；(3)运用不变量找寻相等关系；(4)对一种“量”，从不同的角度进行表述(即计算两次)，得到相等关系．【例2】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行( )．A ．0.5小时B ．1小时C ． 1.,2小时D ．1.5小时 (2001年武汉市选拔赛试题)思路点拨 要求从乙港返回甲港所需的时间，需求甲、乙两港的距离及顺水速度，考虑增设辅助未知数．【例3】某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的—半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平? (北京市东城区中考题)思路点拨 票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．【例4】 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率．(全国初中联赛试题)思路点拨 因售出价=进货价×(1+利润率)，故还需设出进货价，利用售出价不变，辅助建立方程．【例5】 有一片牧场，草每天都在匀速地生长(即草每天增长的量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：(1) 如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草? (2) 要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛?(全国通讯赛试题)思路点拨 需要考虑草每天的增长量、每头牛每天的吃草量及牧场原有的草量之间的关系，故需增设一些辅助未知数，便于把这些关系表示出来．注： 应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一．而列方程解应用题对初一同学来说是一个困难所在，学习列方程解应用题应注重两个方面：(1)促使综合型思维向分析型思维的转轨．从各个侧面分析列方程的来龙去脉，突破小学形成的固有的综合思维模式(从已知出发列综合算式求未知数，形成分析思维模式． (2)善于把应用题中的生活语言转换成数学语言．应留心生活，多看报刊杂志电视，注意生活常识的积累．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”．学力训练1．一个6位数abcde 2的3倍等于9abcde，则这个6位数等于 ． 2．有人问一位老师：他教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则这个“特长班”共有学生 人．3．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需 小时． ( “希望杯”邀请赛试题)4．某种产品是由A 种原料x 千克、B 种原料y 千克混合而成，其中A 种原料每千克50元，B 种原料每千克40元，后来调价，A 种原料价格上涨l0％，B 种原料价格减少15％，经核算产品价格可保持不变，则y x :的值是( )． A ．32 B ．65 C ．56 D ．3455 5．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是( )．A ．5千克B ．6千克C ．7千克D ．8千克6．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么，4月份这位用户应交煤气费( )．A ．60元B ．66元C ．75元D ．78元 (全国初中数学联赛试题)7．某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了m 件．为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4％，销售量将提高lo ％，要使销售利润(销售利润＝销售价一成本价)保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元? (陕西省中考题)8．如图，几块大小不等的正方形纸片A 、B 、……,I ，无重叠地铺满了一块长方形．已知正方形纸片E 的边长为7，求其余务正方形的边长． 9．某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此，比计划支出增加了50%，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为 ．10．电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为60毫米．现有厚度为0.15毫米的胶片，它紧绕在盘上共有600圈，那么这盘胶片的总长度约为 米(π≈3.14)． (江苏省竞赛题)11．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要 天．12．完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是( )． A ．2.8 B ．3 C ．6 D ． 12 13．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 立方米的，按每立方米m 元水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m ，则该职工这个月实际用水为( )立方米． A ．13 B ．14 C ．18 D ．26 (广西省中考题)14．某种商品若按标价的八折出售，可获利20％，若按原标价出售，可获利( )． A ．25％ B ．40％ C ．50％ D ．66.7％15．某水库共有6个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以a 米／时匀速下降．某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b 米／时匀速上升，当水库水位超警戒线^米时开始泄洪．(1)如果打开n个水闸泄洪x小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式；(2)经考察测算，如果只打开一个泄洪闸，则需30个小时水位才能降至警戒线；如果同时打开两个泄洪闸，则需10个小时水位才能降至警戒线．问该水库能否在3个小时内使水位降至警戒线?(连云港市中考题)16．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次船运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．问：(1)乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍?(2)现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元?(按每运1吨运费20元计算)(天津市中考题)17．某同学想用5个边长不等的正方形，拼成如图所示的正方形，请问该同学的想法能实现吗?如果能实现，试求这5个正方形的边长；如果不能，请说明理由．( “希望杯”邀请赛试题)18．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间里流人池中的水量相同)不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完? (江苏省竞赛题)参考答案。
人教版 初一数学上册 竞赛专题：方程的解与解方程(含答案)
人教版 初一数学上册 竞赛专题：方程的解与解方程（含答案）[例1] 已知关于x 的方程3[x －2(x －)]＝4x 和－＝1有相同的解，那3a 312x a +158x -么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例2] 已知a 是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1(3)方程ax ＝1的解是x ＝(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±11a结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3(江苏省竞赛试题)[例3] a 为何值时，方程＋a ＝－(x －12)有无数多个解？无解？3x 2x 16[例4] 如果a ，b 为定值时，关于x 的方程＝2＋，无论k 为何值时，它的23kx a +6x bk -根总是1，求a ，b 的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)[例5] 已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．2003200419971999200020012002…… (36)37383940414219962930313233343522232425262728151617181920218910111213141234567图②(湖北省黄冈市中考试题)能力训练A 级1．若关于x 的方程(k －2)x |k －1|＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．2．方程x －[x －(x －)]＝(x －)的解是______．34143731637(广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是( )．A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解7．方程＋＋…＋＝1995的解是( )．12x ⨯23x ⨯19951996x ⨯A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．19988．若关于x 的方程＝0的解是非负数，则b 的取值范围是()．21x b x --A ．b ＞0B ．b ≥0C ．b ≠2D ．b ≥0且b ≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )．A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D ．＝0a b10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )．A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．(北京市“迎春杯”训练题)12．已知关于x 的方程＋a ＝x －(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有3x ||2a 16无穷多解？(重庆市竞赛试题)B 级1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______．2．已知关于x 的方程＝的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式－的2a x -33bx -b a a b 值是______．3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果＋＋＋…＋＝，那么n ＝______．12161121(1)n n +20032004(江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝＋，如果2※1＝，那么1A B +(1)(1)x A B ++533※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．第6题图(河北省中考试题)7．有四个关于x 的方程①x －2＝－1②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1)③x ＝0④x －2＋＝－1＋11x -11x -其中同解的两个方程是( )．A ．①与②B ．①与③C ．①与④D ．②与④8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子的值都是一个定值，其中m －n ＝6，23ma na -+求m ，n 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x 取什么值，式子必为同一定值，求的值．35ax bx ++a b b+(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：第11题图 (142144146148150152154)30323436384042161820222426282468101214用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？参考答案例1 提示：两方程的解分别为x ＝a 和x ＝，由题意知a ＝，27282727221a -2727221a -得a ＝.从而可以得到x ＝a ＝×＝.27827272782728例2 A 提示：当a ＝0时，各题结论都不正确.例3 提示：原方程化为0x ＝6a －12（1）当6a －12＝0，即a ＝2时，原方程有无数个解.（2）当6a －12≠0，即a≠2时，原方程无解．例4 原方程整理可得：(4x ＋b)k ＝12＋x －a ． ∵ 无论k 为何值时，它的根总是1． ∴ x ＝1且k 的系数为0．∴ 4＋b ＝0，13－2a ＝0．∴ ，．132a =4b =例5 提示：把x ＝1代入方程px ＋5q ＝97，得p ＋5q ＝97，故p 与5q 之中必有一个数是偶数（1）若p ＝2，则5q ＝95，q ＝19，；215p q -=-（2）若5q 是偶数，则q ＝2，p ＝87，而87不是质数，与题设矛盾，舍去；因此．215p q -=-例5 （1）a －7，a ，a ＋7； （2）①44×8＝352；②设框出的16个数中最小的一 个数为a ，则这16个数组成的正方形方框如右图所示，因为框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于2a ＋24，所以这16个数之和为8×（2a ＋24）＝16a ＋192．当16a ＋192＝2000时，a ＝113；当16a ＋192＝2004时，a ＝113.25．∵a 为自然数，∴ a ＝113.25不合题意，则框出的16个数之和不可能等于2004，由长方形阵列的排列可知，a 只能在1，2，3，4列，则a 被7整除的余数只能是1，2，3，4．因为113＝16×7＋1，所以，这16个数之和等于2000是可能的．这时，方框涨最小的数是113，最大的数是113＋24＝137．A 级1．0；2．x ＝0 3．8 4．6；54565．10；26；8；－8 提示：，能被17整除，则，或179x k=-9k -91k -=±917k -=±6．D 7．B 提示：原方程化为111111199522319951996x ⎛⎫-+-++-= ⎪⎝⎭8．D 9．A10．B11．原方程的解为 ，31221333k x k k +==+-- 显然 k －3＝±1，±3，±7，±21，a a ＋1a ＋2a ＋3a ＋7a ＋8a ＋9a ＋10a ＋14a ＋15a ＋16a ＋17a ＋21a ＋22a ＋23a ＋24即 k ＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．12．提示：原方程化为()()121a x a -=-（1）当a ＝－1时，方程无解；（2）当a ＝1时，方程有无穷多解．B 级1．10.5 2． 提示：当x ＝2时，代入得． 712-34b a =3．16提示：为整数，2001＝1×3×23×29，故k 可取±1，±3，±23，±29，20011x k =+±3×23，±3×29，±23×29，±22001共16个值．4．2003 提示：()()11111111126121122334451n n n n ++++=++++++⨯⨯⨯⨯+ ＝，得．1111111120031122334112004n n n -+-+-++-=-=++ 1112004n =+5．提示：，解得 x ＝8．1935()()152********x =+=+++※6．207．A8．C9．（1）取a ＝0，则；取a ＝1，则，2233ma na -=-+2233m n -=-+ 得 ，又，解得，．()()32230m n -++=6m n -=125m =185n =- （2）令x ＝0，则；令x ＝1，则，3355ma na +=+3355m n +=+ 得，即，故．()()5335a b +=+35a b =381155a b a b b +=+=+=10．设乙队原有x 人，则80＝k(x ＋16)＋6，解得．7416kx k-=∵x 必须为正整数且k≠1，∴ ，，得出k ＝2或37，7416x N k=-∈＋74k 只有当k ＝2时，x ＝21人．11．（1）能，这四个数分别是100，102，116，118． （2）不能．。
初中数学竞赛专题培训(27)：列方程解应用题问题中的量和等量
初中数学竞赛专题培训第二十七讲列方程解应用问题中的量列方程解应用问题时，比较困难的一环常常是同学们不知如何着手去找等量关系．又由于应用问题类型繁多，等量关系千变万化，什么工程问题，行程问题，浓度问题，等等，如果每一种问题都来考查一下找等量关系的规律，这不仅太繁杂，而且罗列也不是真正的概括．那么根据什么原则来找出应用问题中的等量关系、列出方程呢？为此，我们必须先对“量”做个基本的分析和介绍，只有对量有了比较明确的认识，才便于了解“等量”，那么找等量关系也就有了依据．所谓“量”就是表现物体属性的一个侧面．例如拿一根金属棒来说，为了弄清它的性状，就要知道这根金属棒的重量、长度、体积、密度、比重、价格，等等，这些方面都是从一定的侧面来表现物体不同属性的，这就是所谓的量．一般说来，常用的量基本上可以分为两大类．例如，一群羊、一堆蛋等，因为它们具有天然的个别单位，所以处理这种量只要数一数它们的个数1，2，3，…就可以了．这种量我们称它为分离量，分离量的特点是可数的．另一种量，例如一根绳子的长度，一桶水的重量等，长度和重量这种量虽然不具有天然的个别单位可数，但这种量的基本特点是它们可以无限细分，因此我们可以选取人为的单位去度量它们．比如，度量长度，我们可以选用米或厘米作为长度单位；度量重量，我们可以选用千克或克等作为重量单位．取定了度量单位之后，就可以度量这种量的多少了．我们称这种量为连续量，它的一个基本特点是可以度量．在连续量之中，例如长度、面积、体积、重量、时间等等，这些量既可以细分又可以广延，我们称这种量为外延量．连续量中的另一类是由两种外延量之比产生出来的，用以表示“强度”，这种量称为内涵量．例如表示单位面积上承受多少压力的“压强”就是一个内涵量．这是因为它是由两种外延量(压力和面积)之比得来的．如果把内涵量再分类，又可以分为两种，其中一种是由不同种外延量之比产生的量，我们称它为度．例如等等都是度．另外一种内涵量是由两个同种外延量之比得来的，我们称它为率．例如等等都是率．这样，可以把常见的量的分类归纳如下：我们对量有了一定的了解之后，从量的种类入手，找等量关系，就有了可以遵循的基本原则和方法了．第一，因为分离量不能和连续量相等，外延量不能和内涵量相等，度不能和率相等，因此，等量关系只能在同种量中寻找，即分离量=分离量，外延量=外延量，度=度，率=率．第二，因为分离量和外延量是可加的，所以如果要确定分离量或外延量的某种相等关系，便可以利用“全量=部分量之和”(它的推理是“部分量=全量的一部分量”，“部分量之和=部分量之和”，特例是“全量=全量”)的原则．第三，因为度和率是两种外延量之比，如果要确定的是度或率的某种相等关系，只须找到同一个度或率的两种不同表达式，然后用等号连接起来就可以列出方程了．我们把这种思考方法叫作度或率的等比表示法．下面通过几个实例来说明上述原则和方法的运用．例1设A，B两地相距82千米(km)，甲骑自行车由A向B驶去，9分钟(min)后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2千米的速度向A驶去，两人在距B地40千米处相遇，问甲乙的速度各是多少？分析与解首先我们列出题中的各种已知量和待求的量：(1)A，B两地的距离是82千米；(2)甲乙两人相向而行，甲比乙先行9分钟；(3)每小时乙比甲多走2千米；(4)两人相遇地点距B地40千米；(5)求甲乙的速度．其次，就要设一个适当的未知量，并把它看作“已知量”，根据题中所给的条件，把已知量和未知量联系起来，找等量关系列方程．为此，我们可有不同的思考方法．第一，可以从外延量考虑等量关系．本题中，时间、距离都是外延量．比如，我们考虑时间这个外延量，那么如何找出本题中有关时间的一个等量关系呢？因为甲乙中途相遇，那么自然要问甲由A出发到与乙相遇走了多少时间？乙由B出发到与甲相遇走了多少时间？这两者又有什么关系？联系已知条件，利用全量=部分量之和可知甲由A出发到遇到乙的时间=乙由B出发到遇到甲的时间+9分钟，①又考虑到如果设甲的速度为x千米/小时(km/h)，那么乙的速度为(x ＋2)千②的解是x=30千米(方程②的解法留给读者)，所以甲的速度是每小时行30千米，乙的速度是每小时32千米．第二，也可以从内涵量找等量关系．在本题中，速度就是个内涵量，以速度来找等量关系，就是寻找甲的速度和乙的速度之间的关系问题．由已知条件可知，乙每小时比甲多走2千米，即甲的速度=乙的速度-2，③因此，如果设甲与乙相遇时正好走了x小时，那么乙遇甲时走了时．由③式，可知甲的速度的另一种表示法是乙的速度-2，即乙的速度为32(千米/小时)．在以上两种找等量关系的思考方法中，第一种方法，从外延量考虑，利用了“全量=部分量之和”的原则．第二种方法从内涵量考虑，注意到了“度”的等比表示法．例2甲乙两台打麦机，甲机工作效率是乙机的2倍，先用甲机打打完麦子所需时间多11天，问分别用一台机器打完全部麦子各需多少时间？分析与解首先列出题中有关的各种量：(1)甲机工作效率是乙机的2倍；(3)按(2)的打法所需时间比同时用两台机器打完全部麦子多11天的时间；(4)求分别用一台机器打完全部麦子所需的天数．其次，为了找出等量关系列出方程，我们仍像例1那样，从外延量和内涵量这两种不同的量入手来分析思考．第一，从外延量考虑等量关系．本题中的时间就是个外延量，因为外延量是可加的，那么利用前面提到的找等量关系的第二条原则，注意到“全量=部分量之和”或其推论，只要找到同一个时间的两种不同表示法，等量关系也就找出来了．为此，如果我们设x为甲机打完全部麦子所需要的时间(天数)，那么2x就是乙机打完全部麦子所需要的时间(天比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多11天”可知，这一关键语给这两个表达式，表示的是同一时间，因此它们相等，这就得到如下方程解这个方程，得到x=15(天)……甲机打完全部麦子的天数，那么2x=30(天)……乙机打完全部麦子的天数．第二，从内涵量考虑等量关系．本题中甲乙两机的工作效率就是个内涵量，如果设x为甲机打完全部麦子所需时间(天数)，则2x为乙机打完全部麦子所需时间(天数)，那么就是甲乙两机每天共同的工作效率．如果再找出甲乙两机每天工作效率的另一种表示法，那么方程也就列出来了．由于全部的工作量设为1，而甲乙两机同时工作打完全部麦子的时间为所以甲乙两机每天共同的工作效率又可写成把甲乙两机每天共同的工作效率用等号连接起来，就得到方程解这个方程，就得到x=15(天)……甲打完全部麦子的时间，2x=30(天)……乙打完全部麦子的时间．例2的分析和例1类似，从外延量考虑等量关系时，注意到时间这个外延量的可加性，并利用了“全量=部分量之和”的原则．从内涵量考虑等量关系时，是利用了工作效率这个内涵量的等比表示法．例3要在含50％酒精的800克(g)酒中，倒入含酒精85％的酒多少克，才能配成含酒精75％的酒？分析与解本题涉及的量有溶液、溶质和浓度，其中溶液、溶质是外延量，浓度是内涵量，这三者之间的关系是因此，在找等量关系时，既可以从外延量(溶液、溶质)来考虑，也可以从内涵量(浓度)来考虑．第一，从外延量来考虑等量关系．由题意可知(1)要求的混合溶液的重量=已知两种溶液重量的和；(2)要求的混合溶液中，溶质的重量=已知的两种溶液中溶质重量的和．所以无论从溶液还是溶质来考虑等量关系，都可以用“全量=部分量之和”的原则来确定等量关系．如果设x为倒入含酒精85％的酒的重量，那么由(1)可知，混合溶液重量=800+x，再由(2)就可列出方程解上述方程，就得到x=2000(克)．第二，从内涵量考虑等量关系．由于本题中浓度是内涵量，因此只须找出混合溶液浓度的两种不同表示式，即可列出方程．现在已知混合溶液的浓度是75％，所以再找出混合溶液浓度的另一种表达式就行了．因为所以，只须找到混合溶液中的溶质和溶液的重量即可．为此，若设x 为倒入的含酒精85％的酒的重量，则混合溶液重量=800＋x ．因为，甲种酒中含酒精的重量为50％×800，乙种酒中含酒精的重量为85％x ，所以由(2)可知：混合溶液中含酒精的重量为50％×800＋85％x ．所以，混合溶液浓度的另一种表达式为上式表示式等于75％，于是得到方程解这个方程，得到x=2000(克)．综上，例1、例2、例3表面上看是三类问题，其实是完全类似的．在这三例中所涉及的量有如下对应关系：这样，一般所说的行程问题、工程问题、浓度问题，从上面的分析解法可知是完全类似的．因为工作效率可以看成工作速度，而浓度表示的是强度，在这样的意义下，它们自然可以看成是类似问题，因此，从外延量或内涵量来找等量关系列方程，也就有了统一的方法．其实，广而言之，如果应用题所涉及的量是内涵量，或由它转化而外延量=外延量÷内涵量)，那么，在表示某种强度的意义下，都可看成同类问题．当然各自的物理意义不同，因此，结合各个具体问题，作出具体分析，但是找等量关系列方程的基本思考方法却是共同的．练习二十七1．解下列方程：(4)75%(800+x)=50%×800+85%x ；2．两条船分别从河的两岸同时相对开出，它们的速度各自一定，第一次相遇在距河的一岸800米(m)处，然后继续前进，各自到达对岸后立即折回，第二次相遇在距河的另一岸600米处，如果认定船到对岸反向航行时不耽误时间，并且不考虑水流速度，问河宽有多少米？3．甲乙两个小组合作完成一件工作，乙组单独做1天后，由甲乙两组合作了2天就完成了全部工作．问甲乙两组单独完成此项工作，各需多少天？4．已知甲种盐水含盐40％，乙种盐水含盐15％，现在要制成5千克(kg)含盐25％的盐水，试问需要甲乙两种盐水各多少千克？5．植树节这一天，某校学生去植树，如果每人植树6株，只能完成植树40株，求参加植树的人数及原计划植树的株数．。
人教版 初一数学上册 竞赛专题：方程的解与解方程(含答案)
人教版 初一数学上册 竞赛专题：方程的解与解方程（含答案）[例1] 已知关于x 的方程3[x －2(x －)]＝4x 和－＝1有相同的解，那3a 312x a +158x -么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例2] 已知a 是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1(3)方程ax ＝1的解是x ＝(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±11a结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3(江苏省竞赛试题)[例3] a 为何值时，方程＋a ＝－(x －12)有无数多个解？无解？3x 2x 16[例4] 如果a ，b 为定值时，关于x 的方程＝2＋，无论k 为何值时，它的23kx a +6x bk -根总是1，求a ，b 的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)[例5] 已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．2003200419971999200020012002…… (36)37383940414219962930313233343522232425262728151617181920218910111213141234567图②(湖北省黄冈市中考试题)能力训练A 级1．若关于x 的方程(k －2)x |k －1|＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．2．方程x －[x －(x －)]＝(x －)的解是______．34143731637(广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是( )．A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解7．方程＋＋…＋＝1995的解是( )．12x ⨯23x ⨯19951996x ⨯A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．19988．若关于x 的方程＝0的解是非负数，则b 的取值范围是()．21x b x --A ．b ＞0B ．b ≥0C ．b ≠2D ．b ≥0且b ≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )．A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D ．＝0a b10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )．A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．(北京市“迎春杯”训练题)12．已知关于x 的方程＋a ＝x －(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有3x ||2a 16无穷多解？(重庆市竞赛试题)B 级1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______．2．已知关于x 的方程＝的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式－的2a x -33bx -b a a b 值是______．3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果＋＋＋…＋＝，那么n ＝______．12161121(1)n n +20032004(江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝＋，如果2※1＝，那么1A B +(1)(1)x A B ++533※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．第6题图(河北省中考试题)7．有四个关于x 的方程①x －2＝－1②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1)③x ＝0④x －2＋＝－1＋11x -11x -其中同解的两个方程是( )．A ．①与②B ．①与③C ．①与④D ．②与④8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子的值都是一个定值，其中m －n ＝6，23ma na -+求m ，n 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x 取什么值，式子必为同一定值，求的值．35ax bx ++a b b+(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：第11题图 (142144146148150152154)30323436384042161820222426282468101214用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？参考答案例1 提示：两方程的解分别为x ＝a 和x ＝，由题意知a ＝，27282727221a -2727221a -得a ＝.从而可以得到x ＝a ＝×＝.27827272782728例2 A 提示：当a ＝0时，各题结论都不正确.例3 提示：原方程化为0x ＝6a －12（1）当6a －12＝0，即a ＝2时，原方程有无数个解.（2）当6a －12≠0，即a≠2时，原方程无解．例4 原方程整理可得：(4x ＋b)k ＝12＋x －a ． ∵ 无论k 为何值时，它的根总是1． ∴ x ＝1且k 的系数为0．∴ 4＋b ＝0，13－2a ＝0．∴ ，．132a =4b =例5 提示：把x ＝1代入方程px ＋5q ＝97，得p ＋5q ＝97，故p 与5q 之中必有一个数是偶数（1）若p ＝2，则5q ＝95，q ＝19，；215p q -=-（2）若5q 是偶数，则q ＝2，p ＝87，而87不是质数，与题设矛盾，舍去；因此．215p q -=-例5 （1）a －7，a ，a ＋7； （2）①44×8＝352；②设框出的16个数中最小的一 个数为a ，则这16个数组成的正方形方框如右图所示，因为框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于2a ＋24，所以这16个数之和为8×（2a ＋24）＝16a ＋192．当16a ＋192＝2000时，a ＝113；当16a ＋192＝2004时，a ＝113.25．∵a 为自然数，∴ a ＝113.25不合题意，则框出的16个数之和不可能等于2004，由长方形阵列的排列可知，a 只能在1，2，3，4列，则a 被7整除的余数只能是1，2，3，4．因为113＝16×7＋1，所以，这16个数之和等于2000是可能的．这时，方框涨最小的数是113，最大的数是113＋24＝137．A 级1．0；2．x ＝0 3．8 4．6；54565．10；26；8；－8 提示：，能被17整除，则，或179x k=-9k -91k -=±917k -=±6．D 7．B 提示：原方程化为111111199522319951996x ⎛⎫-+-++-= ⎪⎝⎭8．D 9．A10．B11．原方程的解为 ，31221333k x k k +==+-- 显然 k －3＝±1，±3，±7，±21，a a ＋1a ＋2a ＋3a ＋7a ＋8a ＋9a ＋10a ＋14a ＋15a ＋16a ＋17a ＋21a ＋22a ＋23a ＋24即 k ＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．12．提示：原方程化为()()121a x a -=-（1）当a ＝－1时，方程无解；（2）当a ＝1时，方程有无穷多解．B 级1．10.5 2． 提示：当x ＝2时，代入得． 712-34b a =3．16提示：为整数，2001＝1×3×23×29，故k 可取±1，±3，±23，±29，20011x k =+±3×23，±3×29，±23×29，±22001共16个值．4．2003 提示：()()11111111126121122334451n n n n ++++=++++++⨯⨯⨯⨯+ ＝，得．1111111120031122334112004n n n -+-+-++-=-=++ 1112004n =+5．提示：，解得 x ＝8．1935()()152********x =+=+++※6．207．A8．C9．（1）取a ＝0，则；取a ＝1，则，2233ma na -=-+2233m n -=-+ 得 ，又，解得，．()()32230m n -++=6m n -=125m =185n =- （2）令x ＝0，则；令x ＝1，则，3355ma na +=+3355m n +=+ 得，即，故．()()5335a b +=+35a b =381155a b a b b +=+=+=10．设乙队原有x 人，则80＝k(x ＋16)＋6，解得．7416kx k-=∵x 必须为正整数且k≠1，∴ ，，得出k ＝2或37，7416x N k=-∈＋74k 只有当k ＝2时，x ＝21人．11．（1）能，这四个数分别是100，102，116，118． （2）不能．。
初一数学竞赛讲座、例题练习及答案⑻列方程解应用题
初一数学竞赛讲座第8讲 列方程解应用题在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。
然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。
而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。
所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。
列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。
其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。
一、列简易方程解应用题分析：欲求这个六位数，只要求出五位数x abcde =就可以了。
按题意，这个六位数的3倍等于1abcde 。
解：设五位数x abcde =，则六位数abcde 1x +=510，六位数1101+=x abcde ， 从而有3（105+x ）=10x+1，x ＝42857。
答：这个六位数为142857。
说明：这一解法的关键有两点： ⑴抓住相等关系：六位数abcde 1的3倍等于六位数1abcde ；⑵设未知数x ：将六位数abcde 1与六位数1abcde 用含x 的数学式子表示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。
（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。
因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。
例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。
问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。
七年级王牌竞赛 第七讲 列方程(组)解应用题
第七讲 列方程（组）解应用题【趣题引路】两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使一辆车前进60 km ，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离出发点___________k m 的地方返回．解析 要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，而乙车留下供两车返回时所用的油．设从开始出发到分别，甲、乙车各用了x 桶油，则乙车应留下2x 桶油，并借给甲车x 油，使甲车装满24桶油，依据题意，列方程x ＋x ＋2x ＝24.解得x ＝6.60×6＝360（km ）.所以，乙车应在离出发点360 km 处返回．点评 解应用题关健在于挖掘题目中隐含的等量关系，用来列代数式或建立方程.【知识延伸】例1 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A 点700m 处，然后继续前进，甲到B 地，乙到A 地后都立即返回，第二次相遇在距B 点400m 处，求A 、B 两地间的距离是多少米？解析 设A 、B 两地间的距离是x m ，第一次相遇甲走了700 m ，第一次相遇后到第二次相遇甲走了（x －700）＋400＝(x －300) m ，因为甲、乙两人速度不变，甲、乙两人第一次相遇共走了x m ，第一次相遇后到第二次相遇两人共走了2x m ，所用时间是第一次相遇所用时间的2倍，所以早甲第一相遇后到第二次相遇所走路程应为第一次相遇所走路程的2倍，即x －300＝2×700.解得x ＝1700 m.所以，A 、B 两地间的路程是1700 m ．点评 弄清以下问题是解题的关键：（1）甲、乙两人从开始到相遇所用时间有什这关系？（2）所走路程之和是多少？（3）第一次相遇后到第二次相遇，甲、乙两人所走路程之和是多少？(4)所用时间是第一次相遇时间的几倍？例2 有甲、乙两种酒精溶液，甲种溶液的浓度为95%，乙种溶液的浓度为80%，要想得到浓度为85%的溶液270 g ，应从甲、乙两种酒精溶液中各取多少克？解析 设95%的酒精取x g ，80%的酒精取y g则有27095%80%27085%x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩，解得90180x y =⎧⎨=⎩， 即95%的酒精取90 g ，80%的酒精取180 g.另解：已知x ＋y ＝270，只需求出x ：y 即可快速求出x 、y ．一般要求出x ：y ,需要有一个关于x 、y 的齐次 方程.②式中有常数项，只要想法消掉常数项即可.把270用x +y 代入，则有95%x +80%y =85%（x +y ）. 整理得，85%80%95%85%x y -=- 观察发现，x 与y 的比只与三种溶液的浓度有关.为了方便记忆，我们建立如下模型：95% 85% －80% x ……（95%的溶液质量） 85% 则有85%80%95%85%x y -=-. 80% 95% －85% y ……（80%的溶液质量）一般的，浓度为a%的溶液xkg，浓度为b%的溶液ykg，配制成浓度为c%的溶液，其中a%>c%>b%，则可建立以下模型：a% c% －b% xc%.b% a % －c % y点评:实际上不光浓度问题存在这样一种隐含的规律，只要是隐含c=ab型基本等量关系的问题都具有此规律.例3某人以4km/h的速度步行由甲地到乙地，然后又以6km/h的速度从乙地返回甲地，那么，此人往返一次的平均速度是km/h.解析速度相当于溶液的浓度，时间相当于溶液的质量。
初一数学列方程组解应用题(含答案)
列方程组解应用题知识框架一、列方程解应用题的主要步骤（1） 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系；（2） 用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量；（3） 找到题目中的等量关系，建立方程；（4） 解方程；（5） 通过求到的关键量求得题目最终答案．二、解二元一次方程（多元一次方程）消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程．消元方法主要有代入消元和加减消元． 重难点（1） 设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量（2） 用代数法来表示各个量：利用“,x y ”表示出所有未知量或变量（3） 找准等量关系，构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系）例题精讲一、列方程组解应用题【例 1】 30辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡车一次运货120吨。
每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？【考点】列方程组解应用题【解析】 设每辆卡车和每辆小车每次各运货x y 、吨，根据题意可得：30375456120x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得25x y =⎧⎨=⎩所以，每辆卡车每次运货2吨，每辆小车每次运货5吨。
【答案】每辆卡车每次运货2吨，每辆小车每次运货5吨【巩固】 甲、乙二人2时共可加工54个零件，甲加工3时的零件比乙加工4时的零件还多4个．问：甲每时加工多少个零件？【考点】列方程组解应用题【解析】 设甲每小时加工x 个零件，乙每小时加工y 个零件.则根据题目条件有：2254344x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得1611x y =⎧⎨=⎩所以甲每小时加工16个零件，乙每小时加工11个零件．【答案】甲每小时加工16个零件【例 2】 已知练习本每本0.40元，铅笔每支0.32元，老师让小虎买一些练习本和铅笔，总价正好是老师所给的10元钱．但小虎将练习本的数量与铅笔的数量记混了，结果找回来0.56元，那么老师原来打算让小虎买多少本练习本？【考点】列方程组解应用题【解析】 设老师原本打算让小虎买x 本练习本和y 支铅笔，则由题意可列方程组：0.40.32100.40.32100.56x y y x +=⎧⎨+=-⎩，整理得403210004032944x y y x +=⎧⎨+=⎩，即54125(1)54118(2)x y y x +=⎧⎨+=⎩， 将两式相加，得9()243x y +=，则27(2)x y +=，⑴ 4-⨯⑶，得17x =．所以，老师原打算让小虎买17本练习本．【答案】老师原打算让小虎买17本练习本【巩固】 商店有胶鞋、布鞋共45双，胶鞋每双3.5元，布鞋每双2.4元，全部卖出后，胶鞋比布鞋收入多10元．问：两种鞋各多少双？【考点】列方程组解应用题【解析】 设布鞋有x 双，胶鞋有y 双．453.5 2.410x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得2025x y =⎧⎨=⎩所以布鞋有20双，胶鞋有25双．【答案】布鞋有20双，胶鞋有25双【例 3】 运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？【考点】列方程组解应用题【解析】 设乙车运来x 箱，每箱装y 个苹果，根据题意列表如下：()()()()433455x y xy xy x y ⎧+--=⎪⎨--+=⎪⎩，化简为4315(1)5415(2)y x x y -=⎧⎨-=⎩ ⑴+⑵，得：230x =，于是15x =．将15x =代入⑴或⑵，可得：15y =．所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个．三车苹果的总数是：191215151120673⨯+⨯+⨯=(个)．【答案】三车苹果的总数是：673个【巩固】 有大、中、小三种包装的筷子27盒，它们分别装有18双、12双、8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍．问：三种盒各有多少盒？【考点】列方程组解应用题【解析】 设中盒数为x ，大盒数为y ，那么小盒数为2x ，根据题目条件有两个等量关系：227181282330x x y y x x ++=⎧⎨++⨯=⎩该方程组解得69x y =⎧⎨=⎩，所以大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个. 【答案】大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个【例 4】 有1克、2克、5克三种砝码共16个，总重量为50克；如果把1克的砝码和5克的砝码的个数对调一下，这时总重量变为34克.那么1克、2克、5克的砝码有多少个？【考点】列方程组解应用题【解析】 5克砝码比1克砝码每多1个，对调后总重量将减少514-=克，所以5克砝码比1克砝码多()503444-÷=（个）． 在原来的砝码中减掉4个5克砝码，此时剩下12个砝码，且1克砝码与5克同样多，总重量为30克．设剩下1克、5克各x 个，2克砝码y 个，则212(15)230x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩所以原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码347+=个．【答案】原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码347+=个【巩固】 某份月刊，全年共出12期，每期定价2.5元．某小学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年，则共需订费1245元．则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 人．【考点】列方程组解应用题【解析】 设订半年的x 人，订全年的y 人，则：2.5(612)13202.5(126)1245x y x y ⨯+=⎧⎨⨯+=⎩，得288283x y x y +=⎧⎨+=⎩，两式相加，得3()171x y +=， 所以57x y +=，即该小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人．【答案】小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人【例 5】 某公司花了44000元给办公室中添置了一些计算机和空调，办公室每月用电增加了480千瓦时，已知，计算机的价格为每台5000元，空调的价格为2000元，计算机每小时用电0.2千瓦时，平均每天使用5小时，空调每小时用电0.8千瓦时，平均每天运行5小时，如果一个月以30天计，求公司一共添置了多少台计算机，多少台空调？【考点】列方程组解应用题【解析】 设添置了x 台计算机，y 台空调．则有5000200044000(1)0.25300.8530480(2)x y x y +=⎧⎨⨯⨯+⨯⨯=⎩ ⑵式整理得416x y +=，则164x y =-；代入⑴得()5000164200044000y y -+=，解得2y =，则8x =，所以公司一共添置了8台计算机和2台空调．【答案】8台计算机和2台空调【巩固】 甲、乙两件商品成本共600元，已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润定价；后来甲打8折出售，乙打9折出售，结果共获利110元.两件商品中，成本较高的那件商品的成本是多少？【考点】列方程组解应用题【解析】 设甲、乙两件商品成本分别为x 元、y 元.根据题意，有方程组：600(145%)0.8(140%)0.9600110x y x y +=⎧⎨+⨯+⨯+⨯-=⎩，解得460140x y =⎧⎨=⎩所以成本较高的那件商品的成本是460元．【答案】成本较高的那件商品的成本是460元【例 6】 某次数学竞赛，分两种方法给分.一种是先给40分，每答对一题给4分，不答题不给分，答错扣1分，另一种是先给60分，每答对一题给3分，不答题不给分，答错扣3分，小明在考试中只有2道题没有答，以两种方式计分他都得102分，求考试一共有多少道题？【考点】列方程组解应用题【解析】 设小明答对了x 道题，答错了y 道题.由题目条件两种计分方式，他都得102分，可得到两条等量关系式：4041026033102x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得162x y =⎧⎨=⎩，所以考试一共有162220++=道题. 【答案】考试一共有162220++=道题【巩固】 某次数学比赛，分两种方法给分．一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分．某考生按两种判分方法均得81分，这次比赛共多少道题？【考点】列方程组解应用题【解析】 设答对a 道题，未答b 道题，答错c 道题，由条件可列方程()()52811403812a b a c +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 由()1式知，a 是奇数，且小于17．()2式可化简为由()3式知，a 大于13．综合上面的分析，a 是大于13小于17的奇数，所以15a =．再由()()13式得到3b =，4c =． 153422a b c ++=++=，所以共有22道题．【答案】共有22道题【例 7】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A 配件与一个B 配件组成．甲每天生产300个A 配件，或生产150个B 配件；乙每天生产120个A 配件，或生产48个B 配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【考点】列方程组解应用题【解析】 假设甲、乙分别有x 天和y 天在生产A 配件，则他们生产B 配件所用的时间分别为(10)x -天和(10)y -天，那么10天内共生产了A 配件(300120)x y +个，共生产了B 配件150(10)48(10)198015048x y x y ⨯-+⨯-=--个．要将它们配成套，A 配件与B 配件的数量应相等，即300120198015048x y x y +=--，得到7528330x y +=，则3302875y x -=． 此时生产的产品的套数为330283001203001201320875y x y y y -+=⨯+=+，要使生产的产品最多，就要使得y 最大，而y 最大为10，所以最多能生产出132********+⨯=套产品．【答案】最多能生产出1400套产品【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【考点】列方程组解应用题【解析】 假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x 天和y 天，则他们用于生产裤子的天数分别为(21)x -天和(21)y -天，那么总共生产了上衣(1618)x y +件，生产了裤子20(21)24(21)9242024x y x y ⨯-+⨯-=--件．根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以16189242024x y x y +=--，即67154x y +=，即15476y x -=．那么共生产了15472216181618410633y x y y y -+=⨯+=-套衣服．要使生产的衣服最多，就要使得y 最小，则x 应最大，而x 最大为21，此时4y =．故最多可以生产出22410440833-⨯=套衣服．【例 8】 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米．车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？【考点】列方程组解应用题【关键词】华杯赛，复赛【解析】 (法1)从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路．设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，依题意得：920351735202x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得140x =，70y =，所以甲、乙两地间的公路有14070210+=千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路．答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路．【答案】甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路【巩固】 从A 村到B 村必须经过C 村，其中A 村至C 村为上坡路，C 村至B 村为下坡路，A 村至B 村的总路程为20千米．某人骑自行车从A 村到B 村用了2小时，再从B 村返回A 村又用了1小时45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求A 、C 之间的路程及自行车上坡时的速度．【考点】列方程组解应用题【解析】 设A 、C 之间的路程为x 千米，自行车上坡速度为每小时y 千米，则C 、B 之间的路程为(20)x -千米，自行车下坡速度为每小时2y 千米．依题意得：2022203124x x y y x x y y -⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩， 两式相加，得：202032124y y +=+，解得8y =；代入得12x =． 故A 、C 之间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米．【答案】A 、C 之间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米二、设而不求【例 9】 10位小学生的平均身高是1.5米，其中有些低于1.5米的，他们的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的，平均身高是1.7米，那么最多有________位同学的身高恰好是1.5米．【考点】列方程组解应用题【解析】 设身高低于1.5米的有x 人，身高高于1.5米的有y 人，则：1.2 1.7 1.5()x y x y +=+，得32x y =，所以x 最小为2，y 最小为3，身高恰好是1.5米的同学最多有10(23)5-+=人．【答案】身高恰好是1.5米的同学最多有5人【巩固】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头．问：庙里至少有多少个和尚？【考点】列方程组解应用题【解析】 设庙里有7x 个大和尚，29y 个小和尚，则共吃()4111x y +个馒头．由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程：7294111x y x y +=+，化简为179x y =．当9x =，17y =时和尚最少，有792917556⨯+⨯=(个)和尚．【答案】至少有556个和尚【例 10】 某次演讲比赛，原定一等奖10人，二等奖20人，现将一等奖中的最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？【考点】列方程组解应用题【解析】 设原来一等奖的平均分为x 分，二等奖的平均分为y 分，得：10(104)(3)(204)(1)20x x y y --⨯+=++-418424x y -=+4442x y =+10.5x y =+，即原来一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分．【答案】原来一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分【巩固】 有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第5次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分．求第5次测验两人的得分．(每次测验满分为100分)【考点】列方程组解应用题【解析】 设某一学生前4次的平均分为x 分，第5次的得分为y 分，则其5次总分为4905450x y +=⨯=，于是4504y x =-．显然90100y <≤，故904504100x <-≤，解得87.590x ≤<．由于x 为整数，可能为88和89，而且这两个学生前4次的平均分不同，所以他们前4次的平均分分别为88分和89分，那么他们第5次的得分分别为：45088498-⨯=分；45089494-⨯=分．【答案】第5次的得分分别为：98分；94分【例 11】 购买3斤苹果，2斤桔子需要6.90元；购买8斤苹果，9斤桔子需要22.80元，那么苹果、桔子各买1斤需要 元.【考点】列方程组解应用题【关键词】2008年，第六届，希望杯，1试，六年级【解析】 假设购买1斤苹果、桔子分别需要x 元、y 元，则：32 6.98922.8x y x y +=⎧⎨+=⎩， 两式相加得111129.7x y +=，即 2.7x y +=。
全国初中数学竞赛辅导(初2)第27讲 列方程解应用问题中的量与等量
第二十七讲 列方程解应用问题中的 等列方程解应用问题时 比较困难的一 常常是同学们 知如何着手去 等 关系．又 于应用问题类型繁多 等 关系千 万化 什 工程问题 行程问题 浓度问题 等等 如果 一种问题都来考查一 等 关系的规律 仅 繁杂 而且罗列 是真 的概括．那 根据什 原则来 出应用问题中的等 关系、列出方程呢？为 们必须先对 做个基本的分析和介绍 有对 有了比较明确的认识 才便于了解 等 那 等 关系 就有了依据．所谓 就是表 物体属性的一个侧面．例如拿一根金属棒来说 为了弄清它的性状 就要知道 根金属棒的重 、长度、体 、密度、比重、 格 等等 些方面都是 一定的侧面来表 物体 同属性的 就是所谓的 ．一般说来 常用的 基本 以分为两大类．例如 一群羊、一堆蛋等 因为它们 有 然的个别单位 所以处理 种 要数一数它们的个数1 2 3 …就 以了． 种 们 它为分离 分离 的特点是 数的．另一种 例如一根绳子的长度 一桶水的重 等 长度和重 种 虽然 有 然的个别单位 数 但 种 的基本特点是它们 以无限细分 因 们 以选 人为的单位去度 它们．比如 度 长度 们 以选用米或厘米作为长度单位 度 重 们 以选用千克或克等作为重 单位． 定了度 单位之后 就 以度 种 的多少了． 们 种 为连续 它的一个基本特点是 以度 ．在连续 之中 例如长度、面 、体 、重 、时间等等 些 既 以细分又 以广延 们 种 为外延 ．连续 中的另一类是 两种外延 之比产生出来的 用以表示 强度 种 为内涵 ．例如表示单位面 多少压力的 压强 就是一个内涵 ． 是因为它是 两种外延 (压力和面 )之比得来的．如果把内涵 再分类 又 以分为两种 中一种是 同种外延 之比产生的 们 它为度．例如等等都是度．另外一种内涵 是 两个同种外延 之比得来的 们 它为率．例如等等都是率．样 以把常见的 的分类 纳如们对 有了一定的了解之后 的种类入手 等 关系 就有了 以遵循的基本原则和方法了．第一 因为分离 能和连续 相等 外延 能和内涵 相等 度 能和率相等 因 等 关系 能在同种 中寻分离 称分离 外延 称外延度称度 率称率．第二 因为分离 和外延 是 加的 所以如果要确定分离 或外延 的某种相等关系 便 以利用 全 称部分 之和 (它的推理是 部分 称全 的一部分 部分 之和称部分 之和 特例是 全 称全 )的原则．第 因为度和率是两种外延 之比 如果要确定的是度或率的某种相等关系 须 到同一个度或率的两种 同表达式 然后用等号连接起来就 以列出方程了． 们把 种思考方法 作度或率的等比表示法．面通过几个实例来说明 述原则和方法的运用．例1 设A B两地相距叫2千米(km) 骑自行车 A向B驶去 9分钟(min)后 乙骑自行车 B出发以 小时比 快2千米的速度向A驶去 两人在距B地40千米处相遇 问 乙的速度各是多少？分析 解 首先 们列出题中的各种已知 和待求的(1)A B两地的距离是叫2千米(2) 乙两人相向而行 比乙先行9分钟(3) 小时乙比 多走2千米(4)两人相遇地点距B地40千米(5)求 乙的速度．次 就要设一个适 的未知 并把它看作 已知 根据题中所给的条 把已知 和未知 联系起来 等 关系列方程．为 们 有 同的思考方法．第一 以 外延 考虑等 关系．本题中 时间、距离都是外延 ．比如 们考虑时间 个外延 那 如何 出本题中有关时间的一个等 关系呢？因为 乙中途相遇 那 自然要问 A出发到 乙相遇走了多少时间？乙 B出发到 相遇走了多少时间？ 两者又有什 关系？联系已知条 利用全 称部分 之和 知A出发到遇到乙的时间称乙 B出发到遇到 的时间+9分钟又考虑到如果设 的速度为x千米/小时(km/h) 那 乙的速度为(x 2)千的解是x称30千米(方程 的解法留给读者) 所以 的速度是 小时行30千米 乙的速度是 小时32千米．第二 以 内涵 等 关系．在本题中 速度就是个内涵 以速度来 等 关系 就是寻 的速度和乙的速度之间的关系问题． 已知条 知 乙 小时比 多走2千米的速度称乙的速度-2因 如果设 乙相遇时 好走了x小时 那 乙遇 时走了时． 式 知 的速度的另一种表示法是乙的速度-2乙的速度为32(千米/小时)．在以 两种 等 关系的思考方法中 第一种方法 外延 考虑 利用了 全 称部分 之和 的原则．第二种方法 内涵 考虑 注意到了 度 的等比表示法．例2 乙两 打麦机 机工作效率是乙机的2倍 先用 机打打完麦子所需时间多11 问分别用一 机器打完全部麦子各需多少时间？分析 解 首先列出题中有关的各种(1) 机工作效率是乙机的2倍(3)按(2)的打法所需时间比同时用两 机器打完全部麦子多11 的时间(4)求分别用一 机器打完全部麦子所需的 数．次 为了 出等 关系列出方程 们 例1那样 外延 和内涵 两种 同的 入手来分析思考．第一 外延 考虑等 关系．本题中的时间就是个外延 因为外延 是 加的 那 利用前面提到的 等 关系的第二条原则 注意到 全 称部分 之和 或 推论 要 到同一个时间的两种 同表示法 等 关系 就 出来了．为 如果 们设x为 机打完全部麦子所需要的时间( 数) 那 2x就是乙机打完全部麦子所需要的时间(比同时用两 机器全部打完麦子所需时间多11 知 一关键语给两个表达式 表示的是同一时间 因 它们相等 就得到如 方程解 个方程 得到x称15( )…… 机打完全部麦子的 数那2x称30( )……乙机打完全部麦子的 数．第二 内涵 考虑等 关系．本题中 乙两机的工作效率就是个内涵 如果设x为 机打完全部麦子所需时间( 数) 则2x为乙机打完全部麦子所需时间( 数) 那就是 乙两机 共同的工作效率．如果再 出 乙两机 工作效率的另一种表示法 那 方程 就列出来了．于全部的工作 设为1 而 乙两机同时工作打完全部麦子的时间为所以 乙两机 共同的工作效率又 写把 乙两机 共同的工作效率用等号连接起来 就得到方程解 个方程 就得到x称15( )…… 打完全部麦子的时间2x称30( )……乙打完全部麦子的时间．例2的分析和例1类似 外延 考虑等 关系时 注意到时间 个外延 的 加性 并利用了 全 称部分 之和 的原则． 内涵 考虑等 关系时 是利用了工作效率 个内涵 的等比表示法．例3 要在含50％酒精的叫00克(g)酒中 倒入含酒精叫5％的酒多少克 才能配 含酒精只5％的酒？分析 解 本题涉及的 有溶液、溶质和浓度 中溶液、溶质是外延 浓度是内涵 者之间的关系是因 在 等 关系时 既 以 外延 (溶液、溶质)来考虑 以 内涵 (浓度)来考虑．第一 外延 来考虑等 关系． 题意 知(1)要求的混合溶液的重 称已知两种溶液重 的和(2)要求的混合溶液中 溶质的重 称已知的两种溶液中溶质重 的和．所以无论 溶液 是溶质来考虑等 关系 都 以用 全 称部分 之和 的原则来确定等 关系．如果设x为倒入含酒精叫5％的酒的重 那 (1) 知 混合溶液重 称叫00+x 再 (2)就 列出方程解 述方程 就得到x称2000(克)．第二 内涵 考虑等 关系． 于本题中浓度是内涵 因 须 出混合溶液浓度的两种 同表示式 列出方程． 在已知混合溶液的浓度是只5％ 所以再 出混合溶液浓度的另一种表达式就行了．因为所以 须 到混合溶液中的溶质和溶液的重 ．为 若设x 为倒入的含酒精叫5％的酒的重 则混合溶液重 称叫00 x．因为 种酒中含酒精的重 为50％×叫00 乙种酒中含酒精的重 为叫5％x 所以 (2) 知 混合溶液中含酒精的重 为50％×叫00 叫5％x．所以 混合溶液浓度的另一种表达式为式表示式等于只5％ 于是得到方程解 个方程 得到x称2000(克)．综 例1、例2、例3表面 看是 类问题 实是完全类似的．在 例中所涉及的 有如 对应关系样 一般所说的行程问题、工程问题、浓度问题 面的分析解法 知是完全类似的．因为工作效率 以看 工作速度 而浓度表示的是强度 在 样的意 它们自然 以看 是类似问题 因 外延 或内涵 来 等 关系列方程 就有了统一的方法．实 广而言之 如果应用题所涉及的 是内涵 或 它转化而外延 称外延 ÷内涵 ) 那 在表示某种强度的意 都 看 同类问题． 然各自的物理意 同 因 结合各个 体问题 作出 体分析 但是 等 关系列方程的基本思考方法 是共同的．二十七1．解 列方程(4)只5还(叫00+x)称50还×叫00+叫5还x2．两条船分别 河的两岸同时相对开出 它们的速度各自一定 第一次相遇在距河的一岸叫00米(m)处 然后继续前进 各自到达对岸后立 折回 第二次相遇在距河的另一岸600米处 如果认定船到对岸反向航行时 耽误时间 并且 考虑水流速度 问河宽有多少米？3． 乙两个小 合作完 一 工作 乙 单独做1 后 乙两 合作了2 就完 了全部工作．问 乙两 单独完 项工作 各需多少 ？4．已知 种盐水含盐40％ 乙种盐水含盐15％ 在要制 5千克(kg)含盐25％的盐水 试问需要 乙两种盐水各多少千克？5．植树节 一 某校学生去植树 如果 人植树6株 能完植树40株 求参加植树的人数及原计划植树的株数．。
初中数学竞赛列方程解应用题(含答案)
初中数学竞赛列方程解应用题(含答案)在小学数学中，我们研究了应用题的算术解法和常见的典型应用题。
然而，算术解法往往只能从已知条件出发推出结论，不允许未知数参与计算。
因此，对于较复杂的应用题，使用算术方法可能会比较困难。
相比之下，列方程的方法更为灵活，因为未知数和已知数都是运算对象，通过找出“未知”和“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），可以解决问题。
因此，对于应用题，列方程的方法往往比算术解法更易于思考和求解。
列方程解应用题的一般步骤是：审题、设未知数、找出相等关系、列方程、解方程和检验作答。
其中，列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来。
要建立这种相等关系，必须对题目进行细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。
下面举两个例子来说明如何列方程解应用题。
第一个例子是：求一个六位数，这个六位数满足：如果把它乘以10再加1，得到的结果是3的倍数；如果把它乘以3再加1，得到的结果是10的倍数。
我们可以设这个六位数为x，那么根据题意，可以列出两个方程式：10x+1=3y 和 3x+1=10z。
解这两个方程，可以得到x=.因此，这个六位数为.第二个例子是：有一支队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一名通讯员，他因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头，并立即返回排尾，共用了10分50秒。
问：队伍有多长？这是一道“追及又相遇”的问题。
我们可以设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒。
根据题意，可以列出方程式：2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。
解这个方程，可以得到x=500.因此，队伍长为（2.6-1.4）×500=600米。
即8-a = (8+a)/2，解得a=2千米/时。
暴雨时水流速度变为原来的2倍，即4千米/时。
设顺水行驶的时间为t，则逆水行驶的时间为2t。
根据行程公式，有xt/(8+2) + xt/(8-2) = 9。
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第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？① x =k4②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
七年级上学期数学奥赛列方程解应用题
列方程解应用题一、知识要点1、列方程解应用题的一般步骤；2、设元技巧（1）直接设元法：最基本设未知数的方法，要求什么，就设什么。
（2）间接设元法：对于有些应用题，直接设元不易求解，这时不妨把不要求出的某个量设为未知数，以便创造条件列出方程，我们称此为间接设元法。
（3）辅助设元法：若问题中条件较少，或数量关系比较复杂，以上两种设元都很难列出方程，则可增设一些辅助未知数，使量与量之间的关系变得清晰、明朗。
这种方法叫做辅助设元法，也称作参数法。
此类设元一般设而不求。
二、知识运用典型例题例1、如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形边长是1，那么这个长方形色块图的面积为。
例2、某校中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米。
一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒。
如果队伍长500米，那么火车长为。
例3、从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下B FED CA重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等。
问切下的一块重多少千克？例4、十个人围坐在一个圆桌边，每人选定一个数并将此数告诉他的两个邻座，然后每人报出他的两个邻座告诉他的两个数的平均数，如图给出了所有的数，则报出数6的人他原来选定的数是 。
三、知识运用课堂训练1、某编辑用0～9这10个数字给一本书的各页标上页码。
若共写了636个数字，则该书有 页2、一批商品若进货价降低8℅而售出价不变，那么利润率（按进货价而定）可由目前的p ℅增加到（p+10）℅，则原来的利润率是3、小杰到食堂买饭，看到A 、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在A 窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队27伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
初一数学列方程解应用题练习题
初一数学列方程解应用题练习题列方程解应用题训练1. 某商店出售甲.乙两种成衣,其中甲种成衣卖价120元盈利20% ,乙种成衣卖价也是120元但亏损20%,问该商店在本次销售中实际上是盈还是亏,盈或亏多少钱?2．甲.乙两人分别在相距50km的地方同向出发,乙在甲的前面,甲每小时走16km,乙每小时走18km,如果乙先走1小时,问甲走多少时间后,两个人相距70km?3．某中学组织七年级学生春游,如果租用45座的客车,则有15个人没有座位,如果租用同样数量的60座的客车,则除多出一辆外,其余车恰好坐满.已知租用45座的客车每日租金为每辆车250元,60座的车每日租金每辆300元,问租用哪种客车更合算?租几辆车?4．某商店的冰箱先按原价提高40% ,然后在广告中写上大酬宾八折优惠,结果每台冰箱反而多赚了270元,试问冰箱的原标价是多少元?现售价是多少元?5．某种商品的进价为100元,若要使利润率达20% ,则该商品的销售价格应为多少元?此时每件商品可获利润多少元?6．某商品的进价是1000元,标价为1500元,商店要求以利润率不低于5% 的售价打折出售,售票员最低可以打几折出售此商品?7．某车间有60名工人,生产某种由一个螺栓与两个螺母为一套的配套产品,每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个,问应分配多少人生产螺母,多少人生产螺栓,才能使每天生产出的螺栓与螺母恰好配套?8．A.B两地相距60km,甲乙两人分别从A.B两地骑车出发,相向而行,甲比乙迟出发20min,每小时比乙多行3km ,在甲出发后1h40min ,两人相遇,问甲乙两人每小时各行多少km?9.要加工200个零件,甲先单独加工了5小时,然后又与乙一起加工了4小时,完成了任务已知甲每小时比乙多加工2个零件,求甲.乙两人每小时各加工多少个零件?10．一件工作,甲单独完成需7.5小时, 乙单独完成需5小时,先由甲.乙两人合做1小时,再由乙单独完成剩余任务,共需多少小时完成任务?解答提示1．解:设甲种成衣的成本为_元,乙种成衣的成本为y元_(1+20%)=120_=100y(1-20%)=120y=150∵ _+y=250实际的销售价为120_2=240(元)240-250=-10∴在这次销售中亏了10元钱2．设甲走了_小时,现两人相距70km 50+18_1+18_=16_+70_=13.设原计划租用_辆45座客车45_+15=(_-1)_60_=5(1)(5+1)_250=1500(元) (2)4_300=1200(元)而15000＞1200,因此,租用60座的客车更合算,需租4辆4．设原标价为_元,则现售价为(_+270)元_(1+40%)_80%-_=270_=2250 _+270=25205. 设该商品的销价为_元_-100=100_20% _=120120-100=20(元)6. 设最低可以打_ 折1000_(1+5%)=1500_ _=77．设应分配_人生产螺母14_(60-_)_2=20_ _=35 60-_=258.设乙的速度为_千米/时_=15 _+3=189．设乙每小时加工_个零件4_+9(_+2)=200 _=14 _+2=1610. 设完成任务共需_小时_=。
初一数学竞赛讲义11(列方程解应用题)
第11讲列方程解应用题〔1〕
例1、一群男女学生若干人,如果女生走了15人,则余下的男女生比例为2:1,在此之后,男生又走了45 人,于是男女生的比例为1:5,求原来男生有多少人？
例2、甲、乙、丙、丁四个孩子共有45本书,如果甲减2本,乙加2本,丙增加一倍,丁减少一半,则四个孩子的书就一样多,问每个孩子原来各有多少本书？
例3、如果某一年的5月份中,有五个星期五,它们的日期之和为80,求这一年的5月4日是星期几？
例4、某商场经销一种商品,由于进货时价格比原来降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率。
练习1、设有四个数,其中每三个数之和分别为17、21、25、30,求这四个数。
2.某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同,书包单价也相同,随身听与书包单位之和为452元,且随身听单价比书包单价的4倍少8元。
〔1〕求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
〔2〕某一天该同学上街,恰好赶上商家促销,超市A所有商品8折销售,超市B全场购满100元返购物券25元〔不足100元不返劵,购物劵全场通用〕你能说明他选择哪家超市购买更省钱吗？
3. 某超市推出如下优惠方案：〔1〕一次性购物不超过100元不享受优惠；〔2〕一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；〔3〕一次性购物超过300元一律八折。
王波两次购物分别付款80元、252元,如果王波一次性购买与上两次相同的商品,则应付款多少元？
4. 《中华人民##国税法》规定公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表累进计算。
如果某人的月工资为4000元,则他。
初一数学竞赛培训资料(13)“设而不求”列方程(组)解应用题
初一数学竞赛培训资料（13）:“设而不求”列方程（组）解应用题初一( )班姓名: 学号：_ 对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求"的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。
1、甲乙丙三人进行100米跑，当甲到达终点时，乙离终点还有10米，丙离终点还有20米，那么当乙到达终点时，丙离终点还有11错误!米.2、某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人.如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每隔几分发一班车？（4。
8）（参数）3、甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑自行车从甲、乙两地同时出发，相向而行。
已知每辆电车都每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王都每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。
已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王相遇时行驶了多少分钟？（60）3、整片牧场上的草长得一样密，一样地快.已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天.如果要在96天把牧场的草吃完，那么有20头牛.4、有一满池水，池底有泉水总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机6天可抽干水池;若用21部A型抽水机8天也可抽干水池。
设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永远抽不干，则至多只用12 部A型抽水机抽水。
5、几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍,开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问共有多少名学生?（20）6、水池装有一个排水管和若干个每小时注水量相同的注水管,注水管注水时，排水管同时排水。
若用12个注水管注水，8小时可注满水池；若用9个注水管注水,24小时可注满水池。
初一年级奥数重点题型：列方程解应用题
初一年级奥数重点题型：列方程解应用题奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。
国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。
奥数对青少年的脑力锻炼有着一定的作用，可以通过奥数对思维和逻辑进行锻炼，对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用，通常比普通数学要深奥一些。
下面是无忧考网为大家带来的初一年级奥数重点题型：列方程解应用题，欢迎大家阅读。
【难度】★★★☆☆【考点】表格阅读题，列一元一次方程解应用题某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数，每班人数均在100以内)去游该公园，如果两班都以班为单位分别购票，则一共需付486元.(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少钱?(2)两班各有多少名学生?【解析】(1)节省=486-103*4=74元(2)设甲班有x人，则乙班有(103-x)人103*4.5=463.551,乙班人数103-x≤50依题意列方程：4.5x+5*(103-x)=486，解得x=58【答案】节省74元，甲班有58人，乙班有45人【难度】★★★☆☆【考点】方案选择题，列一元一次方程解应用题某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施。
方案1：工厂污水先净化处理后再排出，每1立方米污水所用原料费为2元，且每月排污水设备耗损为30000元;方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理每处理1立方米污水需付14元的排污费。
问：(1)设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水里，y与x之间的等量关系(即用含x 的代数式表示y。
)(其中利润=总收入-支出)。
(2)设工厂生月生产量为6000件产品，你若做为厂长在不污染环境又节约资金的前提下应选用哪种处理污水的方案请通过计算加以说明。
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初一数学竞赛讲座第8讲 列方程解应用题在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。
然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。
而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。
所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。
列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。
其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。
一、列简易方程解应用题分析：欲求这个六位数，只要求出五位数x abcde =就可以了。
按题意，这个六位数的3倍等于1abcde 。
解：设五位数x abcde =，则六位数abcde 1x +=510，六位数1101+=x abcde ， 从而有3（105+x ）=10x+1，x ＝42857。
答：这个六位数为142857。
说明：这一解法的关键有两点： ⑴抓住相等关系：六位数abcde 1的3倍等于六位数1abcde ；⑵设未知数x ：将六位数abcde 1与六位数1abcde 用含x 的数学式子表示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。
（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。
因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。
例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。
问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。
如果设通讯员从末尾到排头用了x 秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x ）秒，于是不难列方程。
解：设通讯员从末尾赶到排头用了x 秒，依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x ）+1.4（650-x ）。
解得x ＝500。
推知队伍长为：（2.6-1.4）×500=600（米）。
答：队伍长为600米。
说明：在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数。
对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些。
例3 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？分析：本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。
火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。
如果设火车的速度为x 米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。
解：设这列火车的速度是x 米/秒，依题意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26。
解得x=14。
所以火车的车身长为：（14-1）×22=286（米）。
答：这列火车的车身总长为286米。
例4 如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A 出发，每分钟走65米，乙从B 出发，每分钟走72米。
当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题， 根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。
解：设追上甲时乙走了x 分，则甲在乙前方3×90=270（米）。
依题意故有：72x ＝65x+270 解得：7270=x 在这段时间内乙走了：712777727072=⨯（米） 由于正方形边长为90米，共四条边，故由可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上。
答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA 边上。
例5 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。
已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1。
某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时。
问：甲、乙两港相距多少千米？分析：这是流水中的行程问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。
解答本题的关键是要先求出水流速度。
解：设甲、乙两港相距x 千米，原来水流速度为a 千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即（8-a ）∶（8＋a ）＝1∶2，再根据暴雨天水流速度变为2a 千米/时，则有解得x=20。
答：甲、乙两港相距20千米。
例6 某校组织150名师生到外地旅游，这些人5时才能出发，为了赶火车，6时55分必须到火车站。
他们仅有一辆可乘50人的客车，车速为36千米/时，学校离火车站21千米，显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间来不及，只能乘车与步行同时进行。
如果步行每小时能走4千米，那么应如何安排，才能使所有人都按时赶到火车站？分析：把150人分三批，每批50人，均要在115分钟即122360115=（时）内赶到火车站，每人步行时间应该相同，乘车时间也相同。
设每人步行x 时，乘车)1223(x 时。
列出方程，解出x ，便容易安排了，不过要计算一下客车能否在115分钟完成。
解：把150人分三批，每批50人，步行速度为4千米/时，车速为36千米/时。
设每批师生步行用x 时，则解得x ＝1.5（时），即每人步行90分，乘车25分。
三批人5时同时出发，第一批人乘25分钟车到达A 点，下车步行；客车从A 立即返回，在B 点遇上步行的第二批人，乘25分钟车，第二批人下车步行，客车再立即返回，又在C 点遇到步行而来的第三批人，然后把他们直接送到火车站。
如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的，第三批人是否正巧可乘25分钟车呢？必须计算。
第一批人到A 点，客车已行15602536=⨯（千米），第二批人已步行4×356025=（千米），这时客车返回与第二批人步行共同行完3403515=-（千米），需31436340=+（时），客车与第二批人相遇，就是说客车第一次返回的时间是20分，同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分，所以当客车与第三批人相遇时，客车已用25×2＋20×2=90（分），还有115-90=25（分），正好可把第三批人按时送到。
因此可以按上述方法安排。
说明：列方程，解出需步行90分、乘车25分后，可以安排了，但验算不能省掉，因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。
通过计算知第三批人正巧可乘车25分，按时到达。
但如果人数增加，或者车速减慢，虽然方程可以类似地列出，却不能保证人员都按时到达目的地。
二、引入参数列方程解应用题对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。
例7某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此人。
如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。
解：设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得由①②，得将③代入①，得说明：此题引入v1，v2两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案与参数的选择无关。
本题的解法很多，可参考本丛书《五年级数学活动课》第26讲。
例8整片牧场上的草长得一样密，一样地快。
已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就得60天。
如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头牛？分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a，b，c表示，再设所求牛的头数为x，则可列出三个方程。
若能消去a，b，c，便可解决问题。
解：设整片牧场的原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛一天吃草量为c，x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有②-①，得36b=120C 。
④③-②，得96xc=1800c ＋36b 。
⑤将④代入⑤，得96xc ＝1800c+120c 。
解得x=20。
答：有20头牛。
例9 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。
车从甲地开往乙地需9时，从乙地到甲地需217时。
问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。
设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，依题意得①＋②，得将y=210－x 代入①式，得解得x ＝140。
答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
三、列不定方程解应用题有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。
这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的。
但注意到题目对解的要求，有时，只需要其中一些或个别解。
例10 六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）。
男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。
如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？解：设该班有x 个男生和y 个女生，于是有：4x+3.25y=3.6（x+y ）化简后得8x=7y 。
从而全班共有学生：x x x 71578=+ 在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以45715=x 推知x ＝21，y=24。
答：该班有21个男生和24个女生。
例11 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。
小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。