Chap03_功和能

yf F dr mgdy
yi
mg
f
W mgyi mgy f
z
x
特点：重力做功只与质点的始 末位置有关与具体路径无关。 W
mgdy 0
b)弹性力作功
F kx xf W kxdx
xi

1 2 1 2 W kxi kx f 2 2
3. 功-动能定理的一般证明
对1D 情况：Fnet 表示作用在物体上的净力
Fnet dv x dv x dx dv x max m m mvx dt dx dt dx
dvx Fnet dx mvx dx dx vxf 1 1 2 2 mvx dvx mvxf mvxi 2 2 vxi
l-a
O
a
v0 0
2 2 l mg mg( l a ) 重力作功 W p P dr a a l xdx 2l 2 mg( l a ) Wf 2l mg (l 2 a 2 ) mg (l a )2 1 mv 2 2l 2l 2 l
三、保守力与势能 (Conservative Forces and Potential Energy)
1.重力、弹性力、万有引力做功的特点 a)重力作功
dr dxi dyj dzk
F mg j
f
y
yi
yf
o
i
W i
( mgy f mgy i )
m 解：(1) 摩擦力 f ( l x ) g l
l-a
O
Wf
l
a
l mg f dr (l x )dx a l
a
1 2 l [ (lx x )]a l 2 mg (l a ) 2 2l
mg
x
(2) 对链条应用动能定理： 1 2 1 2 W W p W f 2 mv 2 mv0
f
ri
rf
这三种力作功满足这一要求，因此它们都是保守力。

保守力的另一等价数学描述:
第3章 功和能
一、功和功率 二、动能和功-动能定理 三、保守力与势能 四、势能表达式及曲线 五、机械能守恒 六、功能原理与能量守恒 关于‚功‛、
‚动能‛
关于‚势能‛ 关于‚能量守恒‛
功和能 例子：一个人拉一个物体上山，过一阵子他会 感到疲劳，要停下来。 牛顿定律可以清楚分析问题中的作用力， 但 它不能解释： 为什么人用力拉物体上去，力 气会耗尽。 为说明这类问题，必需引进新的概念： ‚功和能‛
i i f
x
三维情况，类推。
iii）合力的功
物体同时受 F1 , F2 Fn 的作用 B B W F dr ( F1 F2 ... Fn ) dr
A A

B
A
B B F1 dr F2 dr ... Fn dr
WnetF
1 1 2 2 mv f mvi 2 2
a). 在惯性参考系中才成立；
b). 在不同的惯性参考系中会怎样? 成立， 但在各个参考系中功和动能的数值可以不同。 c). 定理的限制条件： 它只适用于单个质点（质点系不适用）。
例1 用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力 与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能 把钉子钉入木板1cm。第二次敲击时，保持第一次 敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？ 由动能定理，钉入过程中阻力作功= 钉子动能的增量, 解： 两次动能增量相同 ∴两次阻力作功相同。 以钉入方向为x 轴，板面为原点 阻力与深度成正比，则有 f = -kx（k为阻力系数） 令第一次钉入为x1=1cm ，第二次钉入为x2 ，由两 次作功相等可得：
Forces)
保守力:力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用 质点的始末相对位置.数学表达式为：

iAf
F dr
iBf
F dr
重力功 W mgy i mgy f
i
B
A
1 2 1 2 弹力功 W kxi kx f 2 2
引力功 W Gm' m( 1 1 )
之间的夹角决定: 0 900 W 0
900 W 0
900 1800 W 0
功的物理概念是不同于日常生活中的‘工作 ’.
例：下图中，物体从斜面顶下滑到底，试分析重 力、法向力做功情况。 法向力 N ：不作功 重力 m g：作正功，为



N
W mg ( s cos ) mgh
Fnet 所作的功是
Wnet
可推广至二维或三维的情况。
‘动能’ (Kinetic Energy) 的说 明： 1、动能是状态量，任一运动状态对应一 定的 动能；
1 2 K mv 2
2、K为动能的增量，增量可正可负，由功
（过程量）的正负而定； 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。
‘功-动能定理’的说明：
1 2 W p W f mv 2
x

v
g 2 [( l a 2 ) ( l a )2 ] l
第3章 功和能
一、功和功率 二、动能和功-动能定理 三、保守力与势能 四、势能表达式及曲线 五、机械能守恒 六、功能原理与能量守恒 关于‚功‛、
‚动能‛
关于‚势能‛ 关于‚能量守恒‛
6、功的数值依赖于观察者选择的惯性参考系。
3、功率(Power) 功率表示作功的快慢，即功对时间的变化率， 用P 表示 若W为给定时间Δ t 内所作的功，则在此时间内
的平均功率为：
W Pav t
功率的单位为瓦特（Watt），简称瓦，符号为W 1 W = 1 J/s（kgm2/s3），量纲为ML2T-3
ii) 二维、三维情况
右图表示一个粒子沿着一根曲 线由 i 运动到 f 点。把总位 移分成许多小位移的叠加，每 个小位移，对应的功为：
y
F
f

dW F ds
f
ds
所做的总功是
o

i
f W F ds F cos ds i i f 或 W ( F i F j ) (dxi dyj ) x y ( Fx dx Fy dy)
在这一过程中，力 F(x) 做功为多少？
x
F
F (x)
xi
xf
x
把总的位移分为N个相等 的宽度x ，因 x 很小， 其间隔中的力可近似看成 常数（如取间隔左边界处 的F(x)数值）。 于是在 xk 到 xk +△x 范围中， 功为：
F
Fk 1
F (x)
Fk
xi
xf
wk.baidu.com
Wk F ( xk ) x
例:弹簧力所作的功
F kx
W kxdx xi 1 2 1 2 ( kx f kxi ) 2 2 1 2 1 2 kxi kx f 2 2 注意
xf

xi x f x


• 上述推导，坐标原点必须选在弹簧松弛时物 体的位置处。 • 弹簧力所做的功，只决定于振子在x轴上的始、 末坐标，与路径无关。
m' m F G 3 r r
m
m'
O
i
r (t) dr
r (t dt )
f
f m' m W F dr G 3 r dr i r
r dr r dr cos rdr
W
rf ri
m
m'
O
i
r (t) dr
r (t dt )
m' m G 2 dr r
1 1 W Gm' m( ) ri r f
同样做功只与质点的始末位置有关。

dr r (t ) r (t dt )
f
2.保守力与非保守力 (Conservative and nonconservative
A A
W1 W2 Wn
结论：合力对物体所做的功等于其中各个分力 分别对该物体所做功的代数和。
‘功’性质小结：
W
f
i
F ds
1、功是标量，但有正负。 2、功与质量、体积不同，它不是物体的内禀性
质，与外力有关。
3、功是力的作用对空间的积累，是过程量， 一 般与路径有关。 4、功的单位：牛顿· 米（焦耳） 5、合力的功为各分力的功的代数和。
•
功和能关系：它们可互相转化，物体对外界做 正功，表示物体能量要减少；反之亦然。
功是能量变化的量度，能是物体具有的作功本 领。能是状态量，功是过程量。
一、功和功率 (Work and Power) 1.恒力作功 (Work done by a constant force) ‘功’的严格定义：
一个恒定的力F 推动一个物体，若沿着力的方 向的位移量为 s // ，则该力作的功 W 为 F 与 s // 数值的乘积。
功的定义 牛顿定律 1 2 1. 动能的定义： K mv
2
质点的功-动能关系
这是一个质量为m，以速度v 运动物体的动能。 单位：J （焦耳），量纲：ML2T-2 2. 功-动能定理：
WnetF 1 1 2 2 mv f mvi 2 2
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量, 简称为质点的动能定理.
xi x f x


注意 • 上述推导，坐标原点必须选在弹簧松弛时物 体的位置处。 • 弹簧力所做的功，只决定于振子在x轴上的始、 末坐标，与路径无关。
c)万有引力作功
m 以 m' 为参考系， 的位置矢量为 r . m' 对 m的万有引力为
m由 i 点移动到 f 点时 F 作功为
f m' m W F dr G 3 r dr i r
W Fs//
i) 若物体的位移 s 沿着F 方向
W Fs
F
s
ii）若物体的位移 s 不沿着 F 的方向
则力 F 所作的功：
s //

F
W Fs cos θ W F s
功是标量，但有正负，正负由力和位移
s
恒力作的功等于质点受的力和质点位移的点积
• 功(work)：由‘工作’这一日常概念发展起来，并 进行 物理抽象的物理学概念。 做功：一物体在某力作用下而运动的过程，称为 该力对物体做功（粗略定义）。 功是力的作用对空间的积累。 • 能(Energy)：表示物体作功本领大小的物理量。 如：速率大的运动物体具有大的作功本领。 这种与物体运动状态相关的能量，称为动能。 物理学中的能量：动能、势能、热能、电能、 化学能、核能等。
或表达成
v
mg
s h
W s(mg cos )
矢量表达式：W F s , F mg
力沿位移方向投影 重力做功与路径无关
2、变力作功 (Work done by a varying force) i) 一维情况 F
右图的光滑曲线表示 作用在一个物体上的 变力 F (x)，它使物体 由 xi点运动 x f 点。
总的功为：
x
x
W Wk F ( xk )x
k 1 k 1
N
N
要近似得更好, 可令 x 趋于零，间隔的数目N则 趋于无穷大，因此，精确的结果是：
W lim
x 0 N k 1
F ( x )x
k
N
xf
xi
F ( x)dx
从数值上来看，这个量就等于力函数曲线与 x 轴 从 xi 到 x f 围成区域的面积。
瞬时功率
如果一段时间内的功率不变，那么 P Pav。
dW (t ) P dt
dW F dr dr dW P F F v dt dt
即 P F v
--- 瞬时功率
二、动能和功-动能定理 (Work-Kinetic Energy Theorem)

x1
0
kxdx kxdx
x1
x2
2 x2 2 x12
x2 2 x1
第二次钉入 x x2 x1 0.41cm
例2 一链条总长为l ，质量为m 。放在桌面上并使其一 部分下垂，下垂的长度为a ，设链条与桌面的滑动 摩擦系数为 ，令链条从静止开始运动， 求：(1) 到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了 多少功？ (2) 链条离开桌面时的速率是多少？