均值不等式
均值不等式
(2) 数形结合
在正方形ABCD中有4个全等的直角
D
三角形.设直角三角形的两条直角边的长
为a 、b，那么正方形的边长为 a2 b2 .这
样，4个直角三角形的面积和小于正方形
GF
C
ABCD的面积,故得
a2+b2≥2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形,
A
H
a
E
b
a2 b2
即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有
ab 另为从数列的角度来看，可以把 2 看作是正数a,b
的等差中项， ab 看作是正数a,b的正的等比中项
这样基本不等式又可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．
1.两个不等式：a2 b2 2ab与 a b ab成立的条件不同 2
2.这两个不等式都是带有等号的不等式． 对于“当且仅当a=b时，等号成立．”这句话应从两
解: (1)设矩形菜园的长为 x m, 宽为y m, 则 xy=100, 篱笆的长为 2(x+y)m.
(2)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m, 则 2(x+y)=36, x+y =18,矩形菜园的面积为 xy m2.
题2 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池, 其容积 为4800m3, 深为3m. 如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价 最低? 最低总造价是多少元?
最小?最小值是多少?
x
解: 因为x >0 , 所以 x 1 2 x 1 2
当且仅当
x
1
时,
即x
x
=1时取等号,
x
所以当
x
=1
时, x 1 的值最小x, 最小值为2.
均值不等式法
均值不等式法均值不等式是数学中的一种重要的不等式定理，被广泛应用于各个数学领域中。
它可以帮助我们求解各种数学问题，特别是在求最值问题时非常有用。
本文将介绍均值不等式的定义、证明及其应用，重点讨论算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式的性质和应用。
首先，我们来介绍均值不等式的定义。
均值不等式是指若a，b是非负实数且a≥b，则有关于a和b的某种函数f(a,b)成立不等式a≥f(a, b)≥b。
其中，f(a, b)是对a，b进行某种运算的函数。
在均值不等式中，我们常用到的运算有算术平均数、几何平均数和平方平均数。
对应的不等式就是算术均值不小于几何均值，几何均值不小于平方均值。
由此可以得出三个主要的均值不等式：算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式。
接下来，我们来证明这三个均值不等式。
首先是算术均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)即算术平均数不小于几何平均数。
证明如下：设a1，a2，...，an为非负实数，令A = (a1+a2+...+an)/n，G = √(a1a2...an)。
根据等差平均不等式，对于任意的非负实数ai，我们有：(A-ai) + (G/√ai) ≥ 0将上述不等式对i从1到n分别求和，我们有：nA - (a1+a2+...+an) + G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an)≥ 0由于A = (a1+a2+...+an)/n，所以上述不等式等价于：nA - nA + G(1/√a1 + 1/√a2 + ...+ 1/√an) ≥ 0化简得：G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an) ≥ 0由于√ai是非负实数，所以1/√ai也是非负实数。
所以上述不等式恒成立。
证毕。
其次是几何均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：√(a1a2...an) ≥ (a1+a2+...+an)/n即几何平均数不小于算术平均数。
均值不等式课件
在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用
高中数学均值不等式
（一） 知识内容1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b 的算术平均值，ab 叫做,a b 的几何平均值． 均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行 转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由 均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==；⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=，∵,AC BC CD AB ⊥⊥ ∴CD AD BD ab =⋅=， 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，有2a bOC CD ab +=>=．当且仅当a b =时，,O D 两点重合，有2a bOC CD ab +===． 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），有以下不等式：22221122a b a b a b ab a b ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭+≥≥≥≥ 其中222a b +称为平方平均数，2a b+称为算术平均数，ab 称为几何平均数，211a b+称为调和平均数．CO DBA均值不等式证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭≥ ∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104⎝⎭≥ ∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立． 2211ab a ba b=++=211a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．（三）典例分析：1.基础不等式【例1】 1．“0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【变式】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥ 1【例2】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【变式】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b +>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =，那么（ ）A ．P Q ≥B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【变式】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥【例3】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例4】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例5】 已知a b c >>2a c-的大小关系是________．【例6】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例7】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是( )A ．12a b+> B ．12b a+> C ．1lg 2a b b + D ．1lg 2b a a +2.不等式最值问题【例8】 若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例9】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例10】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_________．【例11】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【例12】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．【例13】 正数a 、b 满足9a b=，则1a b +的最小值是______．【例14】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【变式】 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则_________．【变式】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例15】 设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 .【变式】 已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 .【例16】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【变式】 0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例17】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．【例18】 ⑴已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x =______，y =_____时，xy 有最大值为_______．⑵若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_______，此时____,_____.a b ==3.均值与函数最值【例19】 求函数2y =的最小值．【例20】 求函数y =.【例21】 求函数2211()1f x x x x x =++++的最小值．【例22】 已知3x ≥，求4y x x=+的最小值.【变式】 求函数2y =【点评】 当a 、b 为常数，且ab 为定值，a b ≠时，2a b+>般方法是通过函数的单调性求最值或者通过恒等变形a b +求出a b -之差的最内能取到对应的值，所以这里需要讨论，可以看出，这种讨论很繁琐晦涩，一般不用．【变式】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例23】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【变式】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．【点评】 第⑴题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：由21yx y ax x +=++得：2(1)10ax y x y +-+-=，2(42)140y a y a ∆=+-+-≥，且要满足有大于1-的解，下面的讨论与求解过程十分复杂，故这里用判别式法不合适．【例24】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．⑵求2y =的最小值．⑶求函数2y =的最值．【例25】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x =-+-的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【变式】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【变式】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例26】 ⑴求函数422331x x y x ++=+的最小值． ⑵解不等式：21log (6)2x x x --->．【例27】 函数()f x =的最大值为（ ）A ．25B ．12C D ．1【例28】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【变式】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为_________．【例29】 设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14【例30】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是( ) A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12【点评】 排序不等式知识：定义：设a a a ≤≤≤，b b b ≤≤≤为两组实数，c c c ，，为b b b ，，的任一称1211n n n a b a b a b -++为两个实数组的反序积之和（简称反序和）。
均值不等式
均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。
也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。
什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。
均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。
设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。
因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。
一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。
均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。
几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。
均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。
详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。
由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。
由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。
均值不等式
均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。
均值不等式知识点
均值不等式知识点均值不等式是数学中的一种基本不等式，它可以用来描述一组数的平均值与它们的不等关系。
通过均值不等式，我们可以得到很多有用的结论和推论，应用于不同的数学问题中。
让我们来看一个简单的例子。
假设有两个正数a和b，我们可以用算术平均值和几何平均值来表示它们，即(a+b)/2和√(ab)。
根据均值不等式的原理，我们知道算术平均值大于等于几何平均值，即(a+b)/2 ≥ √(ab)。
这可以用来证明许多不等式，比如当a和b为正数时，有a+b ≥ 2√(ab)。
除了上述的算术平均值和几何平均值之外，还有其他形式的均值不等式。
例如，对于一组正数x1，x2，...，xn，我们可以定义它们的调和平均值为n/(1/x1+1/x2+...+1/xn)。
根据均值不等式，我们知道调和平均值小于等于几何平均值，即n/(1/x1+1/x2+...+1/xn) ≤ √(x1x2...xn)。
这个不等式在概率论和统计学中有重要的应用。
除了正数之外，均值不等式也适用于其他类型的数，比如实数和复数。
对于实数，均值不等式可以用来证明很多有趣的结果，比如当a和b为实数时，有|a+b| ≤ |a|+|b|。
对于复数，均值不等式可以用来证明柯西不等式，它是线性代数中的一个重要结果。
除了上述的应用，均值不等式还可以用来证明其他数学问题的解，比如最优化问题和不等式证明。
在最优化问题中，我们可以通过均值不等式来找到一个函数的最大值或最小值。
在不等式证明中，我们可以通过均值不等式来证明两个数的大小关系或不等式的成立。
均值不等式是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用和重要的理论意义。
通过均值不等式，我们可以得到很多有用的结果和推论，帮助我们解决各种数学问题。
在实际应用中，我们可以利用均值不等式来优化函数的性质，证明不等式的成立，以及推导其他数学公式和结论。
通过深入学习和理解均值不等式的原理和应用，我们可以提高数学问题的解决能力，并在数学领域取得更好的成绩。
均值不等式课件
汇报人： 2024-01-01
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的习题与解析
01
均值不等式的定义
定义及公式
定义
均值不等式是数学中的一个基本概念 ，它表示对于任意正实数，其算术平 均值总是大于或等于其几何平均值。
公式
对于任意正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$， 有 $frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n}$。
适用条件
正实数
均值不等式只适用于正实数，因 为当数不是正数时，算术平均值 和几何平均值的比较关系就不一
0$，$b > 0$。
进阶习题3
求证$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{4}$，其
中$a > 0$，$b > 0$。
高阶习题与解析
高阶习题1
求证$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$，其中$a_1, a_2, ldots, a_n > 0$。
M-GM不等式的推广形式
对于非负实数，算术平均数始终大于或等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号 。
应用场景
在解决最值问题、求函数极值、证明不等式等方面有广泛应用。
柯西不等式的推广
柯西不等式的推广形式
对于任意的正实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2，当且仅 当ai/bi = const.时取等号。
均值不等式课件
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”
均值不等式知识点
均值不等式知识点
均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
均值不等式有以下几个应用条件：
- 一正：这些数都必须是正实数，因为只有正数才有几何平均值。
- 二定：分为积定与和定。
当这组数的乘积为定值，则这组数的和才能取到最小值。
当这组数的和为定值，则这组数的乘积能取到最大值。
所以要求和的最值，就要让这组数的乘积为定值。
要求乘积的最值就要让组数的和为定值。
- 三相等：表示什么时候能取到最值，也就是取到等号的时候。
只有当这组数据都相同的时候，算术平均值等于几何平均值。
均值不等式公式完全总结归纳
均值不等式公式完全总结归纳1.算术平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(1/n) * (a1 + a2 + ... + an) >= [(a1^n + a2^n + ... + an^n) / n]^(1/n)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
2.几何平均数不等式：对于任意正实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(1/n) * (a1 + a2 + ... + an) >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
3.加权算术平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an 和正实数 w1, w2, ..., wn （满足 w1 + w2 + ... + wn = 1），有以下不等式成立：w1 * a1 + w2 * a2 + ... + wn * an >= (a1^w1 * a2^w2 * ... * an^wn)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
4.加权几何平均数不等式：对于任意正实数 a1, a2, ..., an 和正实数 w1, w2, ..., wn（满足 w1 + w2 + ... + wn = 1），有以下不等式成立：w1 * a1 + w2 * a2 + ... + wn * an >= (a1^w1 * a2^w2 * ... * an^wn)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
5.平方平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(n * (a1^2 + a2^2 + ... + an^2))^(1/2) >= (a1 + a2 + ... + an) / n等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式均值不等式是高中数学学习中一个重要的概念，它可以利用来解决实际问题，也可以用来做出一定的判断。
在高中数学中，均值不等式是一个重要的概念，它满足一定的规律，而且可以证明实际问题的解决方案。
本文将介绍均值不等式的基本内容，以及它的特点和应用。
均值不等式是一个由几何算法推导出来的数学式子，其基础是实数的加法和乘法运算。
它的基本形式是：Let a and b represent two real numbers, and n be anon-negative integer. Then a + b n (a + b) / n这条均值不等式的理解是：任意两个实数a和b，当实数n为正整数时，有a+b n (a+b) / n立。
因此，均值不等式可以用来证明实际问题的解决方案。
均值不等式的特点可以概括为以下几点：1、当n=1时，均值不等式化简为a≥b，即a大于等于b；2、当n=2时，均值不等式化简为a+b≥2(a+b)/2，即a+b大于等于2a+2b；3、当n=3、4、5、……时，均值不等式的结论也类似；4、当n=1的结果a≥b和当n=2的结果a+b≥2(a+b)/2，以及当n=3、4、5、……的结果，都是同一类型的，也就是a+b n (a+b) / n 立。
均值不等式的应用十分广泛，它可以用于解决实际问题，如：1、比较两个数。
假设有两个数a和b，如果要比较它们的大小，就可以利用均值不等式，根据a+b n (a+b) / n成立的条件去判断；2、旅行距离的比较。
假设a和b为两个地点的距离，如果要比较它们的旅行距离，就可以根据均值不等式的结果来判断。
均值不等式可以用于很多地方，它是高中数学中比较重要的一个概念。
它不仅可以用来解决实际问题，而且可以用来做出一定的判断。
要掌握好均值不等式，就要想办法把它用到实际问题中，多多练习，才能把概念掌握得更牢。
均值不等式
与2的大小关系, b a
a
b
a b
b a
能得到什么结论?
请说明理由.
练习
1、已知a、b、c都是正数，求证： （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 4 2 2、若 a为任意实数，试比较 a 3 2 与4 a 3 的大小关系.
3、已知 a 3, 求证： a 7; a 3
2
2
求 a 1 b 的最大值。
2
如果 a , b都是正数，那么
2 1 1 a b
ab
ab 2
a2 b2 2
当且仅当a=b时，等号成立
2 1 1 a b
2
称为 a , b的调和平均数
a b 2
2
称为 a , b的平方平均数
a b 2 ab , a b 2 ab
2 2
ab (
ab 2
) ,(
2
ab 2
)
2
a b
2
2
2
当且仅当a=b时，等号成立
不等式 y x (1 3 x )( 0 x ) 的最大值是 (
3
1
B )
A．
4 243
B．
1 12
C．
1 64
D．
1 72
已知 log 2 ( x y ) log 2 x log 2 y , 则 x y 的取值范围是
ab ab 定理 如果a,b是正数, 那么 2
(当且仅当a b时取“”号)
其中
ab 2
称为正数a,b的算术平均数
ab 称为正数a,b的几何平均数
所以基本不等式也称为均值不等式
思考：如何证明？
均值不等式的公式
均值不等式的公式1. 算术平均数(Arithmetic Mean):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ，它们的算术平均数定义为：A.M.(a₁,a₂,...,aₙ)=(a₁+a₂+...+aₙ)/n2. 几何平均数(Geometric Mean):对于任意正实数a₁,a₂,...,aₙ，它们的几何平均数定义为：G.M.(a₁,a₂,...,aₙ)=((a₁^t)*(a₂^t)*...*(aₙ^t))^(1/n)其中t为任意实数，通常取t=13.均值不等式(均值-均值不等式):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中t₁,t₂,...,tₙ为任意实数，且满足1/t₁+1/t₂+...+1/tₙ=1，则有：((a₁^t₁)*(a₂^t₂)*...*(aₙ^tₙ))^(1/(t₁+t₂+...+tₙ))≤((b₁^t₁)*(b₂^t₂)*...*(bₙ^tₙ))^(1/(t₁+t₂+...+tₙ))特别地，当t₁=t₂=...=tₙ=1时，即为均值不等式：((a₁+a₂+...+aₙ)/n)≤((b₁+b₂+...+bₙ)/n)4.广义均值不等式(均值-幂不等式):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中p,q为实数，且p≠0，满足1/p+1/q=1，则有：((，a₁，^p+，a₂，^p+...+，aₙ，^p)/n)^(1/p)≤((，b₁，^q+，b₂，^q+...+，bₙ，^q)/n)^(1/q)5. 切比雪夫不等式(Chebyshev's Inequality):对于任意实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中a₁≤a₂≤...≤aₙ，b₁≤b₂≤...≤bₙ，则有：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≤(a₁+b₂+...+bₙ)/n≤(b₁+b₂+...+bₙ)/n特别地，当a₁=b₁,a₂=b₂,...,aₙ=bₙ时，即为等号情况，表明最小值和最大值可以取到。
均值不等式公式四个
均值不等式公式如下：
不等式在初中、高中甚至竞赛中都是比较相对综合、有难度的一块内容，经常会与方程、函数等其它知识点一起考察，一般的题型有：解不等式、证明不等式、求最大最小值。
公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
基本性质
①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）
④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）
⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)。
高中数学 均值不等式公式
1． 不等式的基本性质性质1 如果a ＞b ＞c ，那么a ＞c ；性质2 如果a ＞b 。
那么a ＋c ＞b ＋c ；性质3 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc ；性质4如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d性质5 如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd ；性质6 如果a ＞b ＞0，那么0＜1a ＜1b ； 性质7 如果a ＞b ＞0，那么a 2＞b 2（n ∈N *）；性质8 如果a ＞b ＞0，那么√a n ＞√b n （n ∈N *，n ＞1）2.均值不等式公式①a 2＋b 2≥2ab ↔a2+b22 （a ，b ∈R ），当且仅当a ＝b ，“＝”号成立；②a ＋b ≥2√ab ↔ab ≤(a+b 2)2（a ，b ∈R *），当且仅当a ＝b 时，“=”号成立； ③a 3＋b 3＋c 3≥abc ≤a3+b3+c33（a ，b ，c ∈R *），当且仅当a=b=c 时，“=”号成立； ④a ＋b ＋c ≥3√abc 3↔abc ≤(a+b+c 3)3(a 、b 、c ∈R *)，当且仅当a=b=c 时，“=”号成立。
注：①注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一个重要的不等式：21a +1b ≤√ab ≤a+b 2≤√a2+b22 3.均值不等式特例（1）对实数a ，b ，有a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时取“=”号），a 2+b 2≥-2ab(当且仅当a=b 时取“=”号)（2）对非负实数a ，b ，有a+b ≥2√ab ，即a+b 2≥√ab（3）对非负实数a ，b ，有（a+b ）≥2√ab ≥0（4）对非负实数a ，b ，a ≥b ，有a(a-b)≥b(a-b)（5）对非负实数a ，b ，有a2+b2≥2ab ≥0（6）对实数a ，b ，有a2+b2≥(a+b )22≥2ab（7）对实数a ，b ，c ，有a2+b2+c2≥(a+b+c )23（8）对非负实数a ，b ，有a2+ab+c2≥34(a+b)2（9）对非负实数a ，b ，c ，有a+b+c 3≥√abc 3在几个特例中，最著名的当属算术-几何均值不等式（AM-GM 不等式）当n=2时，上式即:a1+a2+⋯+ann ≥√a1·a2……ann，当且仅当x1=x2时，等号成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用均值（基本）不等式求最值是历年高考的热点内容之一.利用均值不等式所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备.下面谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧，供同学们参考.
一、添、减项（配常数项）
例1 求函数y=3x2+162+x2的最小值.
分析3x2+162+x2是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而12+x2可与x2+2相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即y=3x2+6+162+x2-6，再用均值不等式.
解x2+2＞0,y=3x2+162+x2=3(x2+2)+162+x2-6
≥23(2+x2)·162+x2-6=83-6,
当且仅当3(2+x2)=162+x2，即x2=433-2时,等号成立.
所以y的最小值是83-6.
评注为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.
二、配系数（乘、除项）
例2 已知x＞0，y＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值.
分析lgx+lgy=lg(x+y),xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x+y是否定值，
而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为3x·2y6，再用均值不等式.
解x,y＞0,lgx+lgy=lg(xy)=lg3x·2y6≤lg163x+2y22=lg161222=lg6，
当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时，等号成立.
所以lgx+lgy的最大值是lg6.
评注本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用ab≤a+b22来解决.
三、裂项
例3 已知x＞-1，求函数y=(x+5)(x+2)x+1的最小值.
分析在分子的各因式中分别凑出(x+1)，借助于裂项解决问题.
解x+1＞0,y=[(x+1)+4][(x+1)+1]x+1
=(x+1)+4x+1+5
≥2(x+1)4x+1+5=9，
当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.
所以ymin=9.
四、取倒数
例4 已知0＜x＜12，求函数y=(x+1)2x(1-2x)的最小值.
分析分母是x与(1-2x)的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为（1+x）(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.
解由0＜x＜12，得1+x＞0，1-2x＞0.
取倒数，得
1y=x(1-2x)(1+x)2=13·3x1+x·1-2x1+x
≤133x1+x+1-2x1+x22=112，
当且仅当3x1+x=1-2x1+x，即x=15时，取等号.
故y的最小值是12.
五、平方
例5 已知x＞0，y＞0，且2x2+y23=8，求 x6+2y2的最大值.
分析条件式中的x与y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式 x6+2y2平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.
解(x6+2y2)2=x2(6+2y2)
=3·2x21+y23
≤32x2+1+y2322=3922，
当且仅当2x2=1+y23，即x=32，y=422时，等号成立.
故x6+2y2的最大值是923.
评注本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为x2(6+2y2)，先配系数，再运用均值不等式的变式.
六、换元（整体思想）
例6 求函数y=x+22x+5的最大值.
分析可先令x+2=t，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
解令x+2=t，则t≥0，x=t2-2，
则y=t2t2+1(t≥0).
当t=0时，y=0；
当t＞0时，y=12t+1t≤122t·1t=24.
当且仅当2t=1t，即t=22时，取等号.
所以x=-32时，y取最大值为24.
七、逆用条件
例7 已知1x+9y=1(x＞0,y＞0),则x+y的最小值是 .
分析直接利用均值不等式，只能求xy的最小值，而无法求x+y的最小值.这时可逆用条件，即由1=1x+9y，得x+y=(x+y)1x+9y，然后展开即可解决问题.
解由x＞0，y＞0，1x+9y=1,得
x+y=(x+y)1x+9y=yx+9xy+10≥2yx·9xy+10=16，
当且仅当yx=9xy，即x=4，y=12时，等号成立.
故x+y的最小值是16.
评注若已知x＞0，y＞0，x+y=1(或其他定值)，要求1x+9y的最大值，则同样可运用此法.
八、巧组合
例8 若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4- 23,求2a+b+c的最小值 .
分析初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a+b≥ 2ab来解决.换个思路，可考虑将2a+b+c重新组合，变成(a+b)+(a+c)，而（a+b）(b+c)等于定值4-23，于是就可以利用均值不等式了.
解由a,b,c＞0，知2a+b+c=(a+b)+(a+c)
≥2(a+b)(a+c)=2a2+ab+ac+bc=24-23=23-2，当且仅当b=c,即b=c=
3-1-a时，等号成立.
故2a+b+c的最小值为23-2.
九、消元
例9 （2008年江苏卷）设x，y，z为正实数，x-2y+3z=0，则y2xz的最小值是.
分析本题也是三元式的最值问题.由题意得y=x+3z2，则可对y2xz进行消元，用x，z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.
解由x,z＞0,y=x+3z2，可得y2xz=x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3，当且仅当x=3z，即x=y,z=y3时，取“=”.
故y2xz的最小值为3.
巩固练习
1. 当0＜x＜π2时，f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x的最小值为 .
2. 若x,y是正数，则x+12y2+y+12x2的最小值是 .
3. 已知对于x,y∈R且x＜y,不等式x+y≤ax+y恒成立，求实数a的最小值.
4. 如右图，要设计一张矩形广告，该广告要包含左右两个全等的矩形栏目（即右图中阴影部分），这两个栏目的面积之和为18 000cm2，四周空白的宽度均为10cm,中缝空白的宽度为5cm,怎样确定该广告的高与宽的尺寸（单位：cm）,才能使该广告的面积最小？。