题型五 特殊四边形的动态探究题

题型五 特殊四边形的动态探究题试题演练1. 如图，AD 是⊙O 的直径，AD ＝2BD ，点C 是ACD ︵上的不与A 、D 重合的动点，连接BC ，BA ，AC .(1)求∠ACB 的度数； (2)填空：已知⊙O 半径为4.①当l CD ︵＝________时，四边形OBDC 是菱形； ②当l CD ︵＝________时，四边形ABDC 是矩形．2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点E 作EF ∥AB 交⊙A 于点F ，连接AF ，BF ，DF . (1)求证：△ABC ≌△ABF ； (2)填空：①当∠CAB 等于______时，四边形ACBF 为正方形； ②当∠CAB 等于________时，四边形ADFE 为菱形．3. (’15郑州模拟)如图，扇形OAB 的半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连接DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG ＝GH ＝HE .(1)当点C 在AB ︵上运动时，在CD 、CG 、DG 中，长度不变的线段是________，该线段的长度是________；(2)求证：四边形OGCH 是平行四边形； (3)当OD ＝________时，四边形OGCH 是菱形．4. 如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF ∥AB . (1)求证：CF ＝AD ；(2)若已知AB ＝10，AC ＝6，填空：①当BC 长为________时，四边形BFCD 是矩形； ②当BC 长为________时，四边形BFCD 是菱形．5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝13 cm，AD＝4 cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1 cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t(s)．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)填空：①当t为________s时，四边形EGFH是菱形；②当t为________s时，四边形EGFH是矩形．6. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，P，Q运动速度均为2 cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t (单位：s)(0≤t≤4)解答下列问题：(1)在点P，Q运动过程中，平行四边形AQPD的面积是否具有最大值，若有，请求出它的最大值；否则，请说明理由．(2)填空：①当t的值为________s时，平行四边形AQPD为矩形；②当t的值为________s时，平行四边形AQPD为菱形．7. (’15平顶山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.(1)求证：BE＝DG；(2)填空：①若∠B＝60°，当BC＝________AB时，四边形ABFG是菱形；②若∠B＝60°，当BC＝________AB时，四边形AECG是正方形．8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD＝8 cm，AC＝4 cm，点E从点B出发沿BD方向以1 cm/s的速度向点D运动，同时点F从点D出发沿DB方向以同样的速度向点B运动，设点E、F运动的时间为t(s)，其中0＜t＜8.(1)求证：△BEC≌△DF A；(2)填空：①以点A、C、E、F为顶点的四边形一定是________形；②当t的值为________时，以点A、C、E、F为顶点的四边形为矩形．【答案】1. 解：(1)∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD ＝90°， ∵AD ＝2BD ，∴在Rt △ABD 中，cos ∠D ＝BD AD ＝BD 2BD ＝12， ∴∠D ＝60°， ∴∠ACB ＝∠D ＝60°；(2)①4π3；②8π3.【解法提示】①当BC ⊥OD 时，∵OB ＝OD ＝BD ，∴OE ＝DE ，∵OD 是半径，BC 是弦，∴BE ＝CE ，∴四边形OBDC 是菱形，则OD ＝CD ＝OC ，∴∠COD ＝60°，∴lCD ︵＝60 π×4180＝4π3；②当BC 经过圆心O 时，易得四边形ABDC 是矩形，△AOC 为等边三角形，∴∠COD ＝180°－60°＝120°，∵l CD ＝120 π×4180＝8π3.2. 【思路分析】(1)首先利用平行线的性质得到∠F AB ＝∠CAB ，然后利用SAS 证得两三角形全等即可；(2)①当∠CAB ＝45°时，四边形ACBF 为正方形．∠F AB ＝∠CAB ＝45°，进而∠F AC ＝∠AFB ＝∠ACB ＝90°，四边形ACBF 为矩形，再由邻边AC ＝AF 得其为正方形；②当∠CAB ＝60°时，四边形ADFE 为菱形．根据∠CAB ＝60°，得到∠F AB ＝∠AFE ＝∠CAB ＝∠AEF ＝60°，从而得到EF ＝AD ＝AE ，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．解：(1)证明：∵EF ∥AB ， ∴∠E ＝∠CAB ，∠EF A ＝∠F AB ， ∵∠E ＝∠EF A ， ∴∠F AB ＝∠CAB ， 又∵AF ＝AC ，AB ＝AB ， ∴△ABC ≌△ABF (SAS)； (2)①45° ②60°【解法提示】①当∠CAB ＝45°时，由(1)知，∠F AB ＝∠CAB ＝45°，∠F AC ＝∠AFB ＝∠ACB ＝90°，故四边形ACBF 为矩形，又∵AC ＝AF ，∴四边形ACBF 为正方形．②当∠CAB ＝60°时，易得∠F AB ＝∠AFE ＝∠CAB ＝∠AEF ＝60°，从而得到△AEF 和△ADF 均为等边三角形，∴EF ＝AD ＝AE ＝DF , ∴四边形ADFE 为菱形．3. 【思路分析】(1)由于四边形ODCE 是矩形，而矩形的对角线相等，所以DE ＝OC ，而CO 是圆O 的半径，这样DE 的长度不变，也就DG 的长度不变；(2)连接OC ，容易根据已知条件证明四边形ODCE 是矩形，然后利用其对角线互相平分和DG ＝GH ＝HE ，可以知道四边形CHOG 的对角线互相平分，从而判定其是平行四边形；(3)若四边形OGCH 是菱形，必有OC 与GH 垂直，即可推得DE 、OC 垂直、平分且相等，故得到四边形CDOE 是正方形，在Rt △OCD 中，利用OC ＝OA ＝3，OD ＝CD 运用勾股定理即可求出OD 的长．解：(1)DG ，1.【解法提示】在矩形ODCE 中，DE ＝OC ＝3，∵DG ＝GH ＝HE ，∴DG ＝13DE ＝1.(2)连接OC 交DE 于M .由矩形得OM ＝CM ，EM ＝DM .∵DG ＝HE ，∴EM －EH ＝DM －DG ，∴HM ＝MG .∴四边形OGCH 是平行四边形． (3)32 2. 【解法提示】∵四边形OGCH 是菱形，∴OC ⊥GH ，∴OC ⊥DE ，又∵OC ＝DE ，CM ＝OM ＝EM ＝DM ，∴四边形CDOE 是正方形．∴CD ＝OD ，∠CDO ＝90°，∵OA ＝OC ＝3，∴OD 2＋CD 2＝9，2OD 2＝9，OD ＝322.4. 【思路分析】(1)易得DE 是△ABF 的中位线，进而DE //BF ，结合CF ∥AB ，证得四边形BFCD 是平行四边形，从而得到CF ＝BD ＝AD ；(2)①当CD ⊥AB ，即CD 是AB 的中垂线时，平行四边形BFCD 有一个角为直角是矩形，此时AC ＝BC ＝6；②当∠ACB ＝90°，CD是直角三角形斜边上的中线，可得CD ＝AD ＝BD ，从而平行四边形BFCD 的邻边相等是菱形，此时由勾股定理易得BC 的长．解：(1)证明：∵CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点， ∴AD ＝BD ，AE ＝FE ， ∴DE ∥BF ， ∵CF ∥AB ，∴四边形BFCD 是平行四边形， ∴CF ＝BD ， ∴CF ＝DA . (2)①6 ②8【解法提示】①当CD ⊥AB ，即CD 是AB 的中垂线时，∠CDB ＝90°，平行四边形BFCD 有一个角为直角是矩形，此时AC ＝BC ＝6；②当∠ACB ＝90°时，CD 是直角△ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AD ＝BD ，从而平行四边形BFCD 的邻边相等是菱形，此时由勾股定理易得BC ＝8.5. 【思路分析】(1)易证△ADE ≌△CBF ，进而易得GE ∥HF ，且GE ＝HF ，所以四边形EGFH 是平行四边形．(2)①四边形EGFH 是菱形，G 是AE 的中点，则GF ＝GE ＝GA ＝12AE ，得到∠AFE ＝90°，根据DE ＝AF ，列方程求解；②四边形EGFH 是矩形，易得△ADE ∽△EHC ，则根据AE EC ＝DECH列方程求解即可．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝CB ，∵点E 、F 同时分别从D 、B 两点出发，以1 cm/s 的速度沿DC 、BA 向终点C 、A 运动， ∴DE ＝BF ，∴△ADE ≌△CBF (SAS)， ∴AE ＝CF ，∠DEA ＝∠EAF ＝∠CFB ， ∵点G 、H 分别为AE 、CF 的中点， ∴GE ∥HF ，且GE ＝HF ，∴四边形EGFH 是平行四边形．(2)① 132；②8或23.【解法提示】连接EF ，∵四边形EGFH 是菱形，G 是AE 的中点．∴GF ＝GE ＝GA ＝12AE ，∴EF ⊥AB ，∴DE ＝AF ，∴t ＝13－t ，∴t ＝132.②∵四边形EGFH 是矩形，∴∠D ＝∠EHC ＝∠AEH ＝90°，∴∠AED ＋∠HEC ＝∠ECH ＋∠HEC ＝90°，∴∠AED ＝∠ECH ，∴△ADE ∽△EHC ，∴AE EC ＝DE CH ，∴42＋t 213－t ＝t 1242＋t 2，解得：t 1＝8，t 2＝23. 6. 【思路分析】(1)首先利用勾股定理求得AB ＝10，然后表示出AP ，过P 作PH ⊥AC 于H ，利用△APH ∽△ABC ，利用相似三角形对应边的比相等，表示出AH 的长，然后由平行四边形面积公式，得到平行四边形AQPD 的面积的二次函数表达式，用配方法求最值；(2)①利用矩形的性质得到△APQ ∽△ABC ，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t 值；②利用菱形的性质得到△AEQ ∽△ACB ，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t 值．解：(1)∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ， ∴AB ＝10cm ， ∵BP ＝2t cm ，∴AP ＝AB －BP ＝10－2 t ，过P 作PH ⊥AC 于H ，则PH ∥BC ， ∴△APH ∽△ABC ，∴PH BC ＝AP AB ，即PH 6＝10－2t 10， ∴PH ＝35(10－2t )．∵S ▱AQPD ＝AQ ·PH ＝2t ·35·(10－2t )＝－125t 2＋12t ＝－125(t －52)2＋15，∴当t ＝52s 时，平行四边形AQPD 的面积具有最大值，为15.(2)①209；②2513. 【解法提示】①当▱AQPD 是矩形时，PQ ⊥AC ，∴PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴AQ AP＝AC AB ，即2t 10－2t ＝810，解得t ＝209.∴当t ＝209时，▱AQPD 是矩形；②当▱AQPD 是菱形时，DQ ⊥AP ，则 △AEQ ∽△ACB ，∴AE AQ ＝AC AB ，即5－t 2t ＝810，解得t ＝2513.∴当t ＝2513时，▱AQPD是菱形．7. 【思路分析】(1)根据平行四边形和平移的性质得到AB ＝CD ，AE ＝CG ，再证明Rt △ABE ≌Rt △CDG 可得到BE ＝DG ；(2)①要使四边形ABFG 是菱形，须使AB ＝BF ；根据条件找到满足AB ＝BF 时，BC 与AB 的数量关系即可； ②当四边形AECG 是正方形时，AE＝EC ，由AE ＝32AB ，可得EC ＝32AB ，再有BE ＝12AB 可得BC ＝3＋12AB .解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ＝CD .∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成， ∴CG ⊥AD ，AE ＝CG ， ∴∠AEB ＝∠CGD ＝90°.∵在Rt △ABE 与Rt △CDG 中，AE ＝CG ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABE ≌Rt △CDG (HL)， ∴BE ＝DG .(2)①32；②3＋12.【解法提示】①当BC ＝32AB 时，四边形ABFG 是菱形．证明：∵AB ∥GF ，AG ∥BF ，∴四边形ABFG 是平行四边形．∵Rt △ABE 中，∠B ＝60°，∴∠BAE ＝30°，∴BE ＝12AB ，∵BE ＝CF ，BC ＝32AB ，∴EF ＝12AB .∴AB ＝BF .∴四边形ABFG 是菱形．②BC ＝3＋12AB 时，四边形AECG 是正方形．∵AE ⊥BC ，GC ⊥CB ，∴AE ∥GC ，∠AEC ＝90°，∵AG ∥CE ，∴四边形AECG 是矩形，当AE ＝EC 时，矩形AECG 是正方形，∵∠B ＝60°，∴EC ＝AE ＝AB ·sin60°＝32AB ，BE ＝12AB ，∴BC ＝3＋12AB .8. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠EBC ＝∠FDA .在△BEC 和△DF A 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠EBC ＝∠FDA ，BC ＝DA ，∴△BEC ≌△DF A . (2)①平行四边形；②2或6.【解法提示】①平行四边形，理由如下：连接CF ，AE ，由(1)得：∠BEC ＝∠DF A ，EC ＝AF ，∴∠FEC ＝∠AFE ，即EC ∥AF ，∴以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形一定是平行四边形.②2或6，理由如下：∵四边形AECF 为矩形，∴AC ＝EF ，∵BD ＝8cm ，AC ＝4cm ，∴EF ＝4，BE ＝2cm 或6cm. ∵速度为1cm/s ，∴t ＝2或6.。