矩阵范数与矩阵函数
工程矩阵理论(第5章-范数及矩阵函数)
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
证明: (1) 当|| || = 0时, 假若 0, 则由||||的正定性得|| || > 0, 这与|| || = 0矛盾, 故 = 0. 反之, 若 = 0, 则 || || = ||0|| = ||00|| = |0|||0|| = 0.
定义5.1.1 设F = 或 , V为F上的线性空间, 映射: V 满足 (1)正定性: () > 0, 0 V; (2)齐次性: (k) = |k|(), V, kF; (3)三角不等式: (+) ()+(), , V, 则称为V上的范数.
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
p 1 1 记q = p1 , 则q > 1, 且 p+ q = 1,
i=1 n
|xi+yi|p (|xi|+|yi|)p
i=1 n i=1
n
n
= |xi|(|xi|+|yi|)p1 + |yi|(|xi|+|yi|)p1
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
() (1) 对于任意的非零向量X 由detA 0可得AX 0, 于是||X||A = ||AX|| > 0.
n,
(2) 对于任意的X n, k , ||kX||A = ||A(kX)|| = ||k(AX)|| = |k|||AX|| = |k|||X||A .
工程矩阵理论
主讲: 张小向
第五章 范数及矩阵函数
第一节 范数的基本概念 第二节 矩阵的范数 第三节 两个收敛定理 第四节 矩阵函数 第五节 矩阵函数eAt与 线性微分方程组 第六节 矩阵对矩阵的导数
矩阵范数计算
矩阵范数计算
矩阵范数是矩阵理论中的一个重要概念,用于衡量矩阵的大小和形状。
它在多个领域中都有广泛的应用,如线性代数、数值分析、控制理论等。
矩阵范数有多种定义方式,每种方式都有其独特的性质和应用场景。
一种常见的矩阵范数是谱范数,它等于矩阵的最大奇异值。
谱范数在矩阵的稳定性分析和控制系统设计中起着重要作用,能够帮助我们评估系统的稳定性和性能。
另一种常用的矩阵范数是弗罗贝尼乌斯范数,它等于矩阵所有元素的平方和的平方根。
弗罗贝尼乌斯范数常用于衡量矩阵之间的距离和相似度。
除了谱范数和弗罗贝尼乌斯范数外,还有一些其他常用的矩阵范数,如1-范数、∞-范数等。
不同的矩阵范数对矩阵的特征有不同的描述,可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和结构。
在实际应用中,我们通常根据具体的问题和需求选择合适的矩阵范数来进行分析和计算。
矩阵范数的计算方法也多种多样,可以通过奇异值分解、特征分解等方式来求解不同范数下的矩阵值。
在数值计算中,我们通常会利用计算机算法来快速、准确地计算矩阵范数,以解决实际问题和优化算法性能。
总的来说,矩阵范数是矩阵理论中的重要内容,具有广泛的应用价值和理论意义。
通过深入理解矩阵范数的定义、性质和计算方法,
我们可以更好地应用矩阵理论于实际问题中,为科学研究和工程技术提供有力支撑。
希望通过本文的介绍,读者能对矩阵范数有更深入的了解,进一步拓展对矩阵理论的认识和应用。
矩阵范数详解
向量和矩阵的范数的若干难点导引矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的,在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”,比如矩阵序列的收敛,解线性方程组时的误差分析等,具体的情况在这里不再复述。
最容易想到的矩阵范数,是把矩阵m nA C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量(采用所谓“拉直”的变换),所以,直观上可用mnC上的向量范数来作为m nA C⨯∈的矩阵范数。
比如在1l -范数意义下,111||||||m niji j A a===∑∑()12tr()HA A =; (1.1)在2l -范数意义下,12211||||||m n F ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑, (1.2)注意这里为了避免与以后的记号混淆,下标用“F ”,这样一个矩阵范数,称为Frobenius范数,或F-范数。
可以验证它们都满足向量范数的3个条件。
那么是否矩阵范数就这样解决了?因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来,矩阵之间有乘法运算,它在定义范数时应予以体现,也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。
定义1 设m nA C ⨯∈,对每一个A ,如果对应着一个实函数()N A ,记为||||A ,它满足以下条件:(1)非负性:||||0A ≥;(1a )正定性:||||0m nA O A ⨯=⇔=(2)齐次性:||||||||||,A A C ααα=∈;(3)三角不等式:||A ||||||||||||,m n A B A B B C ⨯+≤+∀∈则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。
进一步,若对,,m n n l m lC C C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵范数||||∙,有(4)(矩阵相乘的)相容性:||A ||||||||||||AB A B ≤, n lB C ⨯∈, 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。
我们现在来验证前面(1.1)和(1.2)定义的矩阵范数是否合法?我们这里只考虑(1.2),把较容易的(1.1)的验证留给同学们,三角不等式的验证。
矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-向量范数、向量范数
n
定义 E
xi2 .
证明
a,
都与
b
E 等价.
i 1
利用 a
x11 xn n
( x1 ,, xn )连续,
在单位球面
S
y
(
y1 ,,
yn
n
)
i 1
yi2
1
上
取得最大值M与最小值m.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
第二节 矩阵范数
定义4-2 设A P nn ,定义非负实数 A, 满足下列条件: (1) 正定性:当A 0时,A 0; (2) 齐次性:kA k A (k P); (3) 三角不等式: A B A B . (4) AB A B . 则称非负实数||A||为n×n方阵的范数.
则称非负实数||||为向量 的范数.
此时称线性空间V 为线性赋范空间.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
设V是内积空间, V ,定义: ( , ),
则 • 是V上的一个范数,称为由内积引出的范数.
向量范数的性质:
P124, 1
(1) 0 0 ;
(2) 0时, 1 1 ;
A F
n
2
aij
tr( AH A)
i , j1
是与 2相容的方阵范数. 称为 F 范数.
注:当U为酉矩阵时,有
F范数的优点
A的酉相似矩阵的F 范数相同.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
常用的矩阵范数
n
(1)
A
1
max
1 jn i 1
aij
矩阵的范数
矩阵的范数矩阵的范数是线性代数中的一个概念,它是用来衡量矩阵大小的一种方式。
范数是一种将矩阵(或向量)映射到非负实数的函数,反映矩阵(或向量)的大小。
在实际应用中,矩阵的范数被广泛用于求解线性方程组、矩阵分解、数据压缩等各种问题中。
矩阵范数的定义比较抽象,但其有严格的数学定义。
在此先介绍一下向量范数,然后再拓展到矩阵范数的定义。
1. 向量范数向量范数是将一个向量映射到其大小的非负实数函数。
向量范数必须满足以下性质:(1)非负性:对于所有向量x,有||x||>=0。
(2)同一性:当且仅当x=[0,0,...,0]时,有||x||=0。
(3)绝对值:||x||=|-x|。
(4)三角不等式:对于所有向量x和y,有||x+y||<=||x||+||y||。
常见的向量范数有:(2)L2范数:||x||2=√(∑xi^2)。
矩阵范数类似于向量范数,也是将一个矩阵映射到其大小的非负实数函数。
矩阵范数也必须满足向量范数的四个性质(非负性、同一性、绝对值、三角不等式),同时还需要满足以下性质:(5)齐次性:对于所有矩阵A和实数t,有||tA||=|t|||A||。
(2)谱范数:||A||2=max|λi|,其中λi为A的特征值。
(5)核范数:||A||*=\sigma_1(A)+\sigma_2(A)+...+\sigma_r(A),其中\sigma_1(A)≥\sigma_2(A)≥...≥\sigma_r(A)≥0是A的奇异值。
其中,Frobenius范数是最常用的矩阵范数,它等价于将矩阵展开成一个向量,然后计算向量的L2范数。
谱范数可以被视为矩阵的最大奇异值。
一范数和∞范数则是适用于稀疏矩阵的范数,它们可以度量矩阵的行或列中的非零元素个数。
核范数可以被视为对矩阵进行低秩近似的一种方式。
总之,矩阵范数是一种十分有用的工具,它不仅可以度量矩阵的大小,而且可以用于求解许多数学问题,如线性方程组、矩阵分解、最小二乘问题、数据压缩等。
矩阵范数的表示形式
矩阵范数的表示形式矩阵范数是一种衡量矩阵性质的数学工具,它可以帮助我们理解矩阵的几何结构和性质。
在本文中,我们将介绍矩阵范数的表示形式,并探讨其在实际问题中的应用。
我们来定义矩阵范数。
矩阵范数是一个函数,它将一个矩阵映射到一个非负的实数。
矩阵范数满足以下性质:1. 非负性:对于任意矩阵A,矩阵范数的值必须大于等于0。
2. 齐次性:对于任意矩阵A和标量c,矩阵范数满足∥cA∥=|c|∥A∥。
3. 三角不等式:对于任意矩阵A和B,矩阵范数满足∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥。
常见的矩阵范数有多种表示形式,每种表示形式都有其独特的特点和应用场景。
下面我们将介绍其中几种常见的矩阵范数表示形式。
1. 1-范数(L1范数):矩阵的1-范数是矩阵的每一列元素绝对值之和的最大值,表示为∥A∥1=max_{1≤j≤n}∑_{i=1}^{m}|a_{ij}|。
2. ∞-范数(L∞范数):矩阵的∞-范数是矩阵的每一行元素绝对值之和的最大值,表示为∥A∥∞=max_{1≤i≤m}∑_{j=1}^{n}|a_{ij}|。
3. 2-范数(L2范数):矩阵的2-范数是矩阵的最大奇异值,表示为∥A∥2=σ_{max},其中σ_{max}是矩阵A的最大奇异值。
这些矩阵范数在实际问题中有着广泛的应用。
例如,在机器学习领域,矩阵范数可以用来度量特征向量的稀疏性。
对于稀疏矩阵,其1-范数或∞-范数较小;而对于稠密矩阵,其2-范数较大。
矩阵范数还可以用于解决优化问题。
例如,在凸优化中,矩阵范数可以用来定义约束条件或目标函数,从而帮助我们找到最优解。
在信号处理中,矩阵范数可以用来估计信号的噪声水平或信号的复杂度。
除了上述常见的矩阵范数表示形式,还有其他一些矩阵范数,如Frobenius范数、核范数等。
每种范数都有其独特的性质和应用场景。
因此,在实际问题中,我们需要根据具体的需求选择合适的矩阵范数。
矩阵范数是一种重要的数学工具,它可以帮助我们理解矩阵的几何结构和性质。
矩阵论范数知识点总结
矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支,它研究矩阵及其性质。
矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量,它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。
本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。
二、矩阵的定义在数学中,矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。
也可以看成是一个数域上的矩形阵列。
矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。
一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素(a_ij)组成的矩形数组。
三、范数的定义在数学中,范数是定义在向量空间中的一种函数,它通常被用来衡量向量的大小或长度。
对于矩阵来说,范数是一种度量矩阵大小的方法。
对于一个矩阵A,它的范数通常记作||A||。
矩阵的范数满足以下性质:1. 非负性:||A|| ≥ 0,并且当且仅当A = 0时,||A|| = 02. 齐次性:对于任意标量c,||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式:||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。
1. Frobenius范数:矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数:矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数:矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数:矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质,下面将介绍其中一些主要性质。
1. 非负性:||A|| ≥ 0,并且当且仅当A = 0时,||A|| = 02. 齐次性:对于任意标量c,||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式:||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数:||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径:对于任意矩阵A,它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵:对于对称矩阵A,其2-范数定义为rho(A),即||A||_2 = rho(A),其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用,下面将介绍一些主要的应用。
矩阵范数的计算公式
矩阵范数的计算公式矩阵范数是矩阵的一种度量,用于衡量矩阵的大小。
它可以帮助我们了解和分析矩阵的特性以及它们在不同数学和计算领域中的应用。
矩阵范数有许多不同的定义和计算方法,下面将介绍一些常见的矩阵范数及其计算公式。
1.矩阵的1-范数:矩阵的1-范数是指矩阵列绝对值之和的最大值,即以列为单位,计算每一列绝对值之和,然后找出最大的一个值。
计算公式如下:A,1 = max{∑,a[i][j],}, 1≤i≤n2.矩阵的∞-范数:矩阵的∞-范数是指矩阵行绝对值之和的最大值,即以行为单位,计算每一行绝对值之和,然后找出最大的一个值。
计算公式如下:A,∞ = max{∑,a[i][j],}, 1≤j≤n3.矩阵的2-范数:矩阵的2-范数是指通过矩阵A与其转置矩阵A^T相乘的方式得到的最大特征值的平方根。
计算公式如下:A,2 = √(λ_max(A^T*A))4.矩阵的F-范数:矩阵的F-范数是指矩阵所有元素的平方和的平方根。
计算公式如下:A,F=√(∑,a[i][j],^2)以上是常见的矩阵范数的计算公式。
其中,1-范数和∞-范数是直接计算每一列或每一行的绝对值之和来求得的;2-范数是通过矩阵的特征值来计算的;F-范数是通过矩阵所有元素的平方和来计算的。
矩阵范数在数学和计算领域中具有广泛的应用。
例如,在线性代数中,矩阵范数可以用来衡量矩阵的条件数和稳定性,以及判断矩阵是否奇异;在机器学习和数据挖掘中,矩阵范数可以用来评估模型的复杂度和泛化能力;在图论和网络分析中,矩阵范数可以用来度量图的连通性和稳定性;在优化和最优控制中,矩阵范数可以用来定义目标函数和约束条件。
总之,矩阵范数是矩阵的一种度量,用于衡量矩阵的大小。
不同的矩阵范数有不同的计算方法和应用领域,通过矩阵范数的计算和分析,可以帮助我们了解和把握矩阵的特性,并在不同的数学和计算问题中得到应用。
matlab范数命令
在 MATLAB 中,可以使用 `norm` 函数来计算向量或矩阵的范数。
1. 向量范数:对于一个向量 `v`,你可以使用 `norm(v)` 来计算它的欧几里得范数(默认的范数类型)。
如果你想计算其他类型的范数,你可以指定范数类型作为 `norm` 函数的第二个参数。
例如,`norm(v, 1)` 计算向量 `v` 的 1-范数,`norm(v, 2)` 计算向量 `v` 的 2-范数(即欧几里得范数)。
2. 矩阵范数:对于一个矩阵`A`,你可以使用`norm(A)` 来计算它的Frobenius 范数(默认的范数类型)。
同样,你可以通过指定范数类型来计算其他类型的范数。
例如,`norm(A, 1)` 计算矩阵 `A` 的1-范数,`norm(A, 2)` 计算矩阵 `A` 的 2-范数(谱半径)。
这里是一些例子:```matlab% 向量范数v = [1, 2, 3];euclidean_norm = norm(v); % 欧几里得范数one_norm = norm(v, 1); % 1-范数two_norm = norm(v, 2); % 2-范数% 矩阵范数A = [1, 2; 3, 4];frobenius_norm = norm(A); % Frobenius范数one_norm_of_matrix = norm(A, 1); % 1-范数two_norm_of_matrix = norm(A, 2); % 2-范数```请注意,如果你正在处理非常大的矩阵或向量,可能需要考虑内存使用和计算时间。
在这种情况下,可能需要使用其他方法或工具箱函数来计算范数。
常见的矩阵范数
常见的矩阵范数1. 矩阵范数的概念及意义矩阵范数是对矩阵的一个度量方法,可以衡量矩阵的大小、特征和性质,广泛应用于线性代数、数值分析、信号处理、数据挖掘等领域。
矩阵范数是一种将矩阵映射到实数的函数,通常表示为 ||A||,其中A表示矩阵。
不同的矩阵范数对矩阵的度量不同,因此它们各自具有一些重要的数学特性和应用意义。
2. 矩阵范数的分类矩阵范数按照矩阵性质和数学定义的不同可以分为以下几种类型:2.1 1 范数1范数也称为列和范数或曼哈顿范数,表示矩阵的所有元素的绝对值之和,即||A||1 = max{||Ax||1/||x||1},其中Ax表示矩阵A乘以向量x,而||x||1表示向量x的范数。
1范数的应用领域较广,主要用于衡量矩阵的稀疏性或在信号处理中,对信号进行压缩或降噪时常会使用到该范数。
2.2 2 范数2范数也称为谱范数,表示矩阵的特征值的最大值的平方根,即||A||2 = max{||Ax||2/||x||2},其中Ax表示矩阵A乘以向量x,而||x||2表示向量x的范数。
2范数在线性代数和数值分析中经常被使用,可以衡量矩阵对于矩阵向量空间中单位球的收缩程度。
同时,2范数也被应用于矩阵的奇异值分解(SVD)和矩阵的伪逆运算等方面。
2.3 F范数F范数也称为欧几里得范数或矩阵二范数,是矩阵元素的平方和的平方根,即||A||F = sqrt{sum{|a_ij|^2}}。
F范数广泛应用于矩阵的分解过程中,比如利用奇异值分解和QR 分解来计算矩阵的F范数,还可以用于矩阵的稳定性分析和矩阵的相似性判定。
2.4 ∞ 范数∞ 范数也称为行和范数或列最大和范数,表示矩阵每一行元素的和绝对值的最大值,即||A||∞ = max{||Ax||∞/||x||∞},其中Ax 表示矩阵A乘以向量x,而||x||∞表示向量x的范数。
∞ 范数被广泛应用于信号处理中的滤波和去噪,可以衡量信号的最大振幅和偏移。
3. 矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质和特点,如:3.1 非负性任何矩阵范数都满足非负性,即||A||≥0,当且仅当A为零矩阵时,有||A||=0。
矩阵的函数
矩阵的函数主要有以下几种:1.矩阵转置:用符号“`”来表示和实现。
对于复数矩阵,其转置会有所不同。
2.矩阵的翻转和旋转:如flipud(a)实现a矩阵的上下翻转,rot(90)使矩阵逆时针旋转90度,fliplr(a)实现矩阵的左右翻转。
3.矩阵的求最值函数:max(a)默认返回每列的最大值,也可以指定维度来寻找最值。
4.矩阵的取整函数:包括ceil(a)(向上取整)、floor(a)(向下取整)、fix(a)(向0取整)以及round(a)(四舍五入取整)。
5.矩阵大小函数:size(A)返回一个行向量,表示矩阵各维度的大小;length(a)返回a最大维度的长度;还有isempty(a)判断数组是否为空。
6.矩阵合并:可以通过指定k值实现矩阵的行或列添加合并,要求合并的矩阵具有相应的维度相等。
以下是一些其他常用的矩阵函数:1.矩阵的迹(trace):矩阵对角线上元素的和。
迹的性质包括迹是所有特征值的总和,是相似不变量等。
2.矩阵的行列式(determinant):一个用来判断矩阵是否可逆的数。
对于方阵A,其行列式记为det(A)或者|A|。
3.矩阵的逆(inverse):一个矩阵A如果存在逆矩阵,则满足A*A^(-1)=I,其中I是单位矩阵。
4.矩阵的秩(rank):矩阵中非零子式的最高阶数。
秩反映了矩阵中有用的信息数量。
5.矩阵的特征值(eigenvalue)和特征向量(eigenvector):对于一个方阵A,如果存在非零向量v,使得Av=λv,那么λ就是A的一个特征值,v是对应的特征向量。
6.矩阵的范数(norm):用来度量矩阵大小的一种量。
常用的有1-范数、∞-范数和Frobenius范数等。
7.矩阵的分解(decomposition):包括LU分解、QR分解、SVD分解等,这些分解方法有助于解决一些特定的问题。
8.矩阵的指数函数、对数函数等:这些都是扩展了实数函数的概念到矩阵上的结果。
矩阵范数和矩阵求导
矩阵范数和矩阵求导今天发现两篇宝藏⽂章,关于矩阵范数和矩阵求导的,转载收藏⼀下。
感谢⼤佬们的分享!{抱拳}矩阵范数 转载⾃:今天看了半天强化学习,看得很不开⼼。
因为⼀直处于懵圈状态。
于是乎不想看了,稍微总结⼀下矩阵范数的求解来放松⼀下⾝⼼吧~这⾥总结的矩阵范数主要是F 范数、1范数、2范数、核范数以及全变分TV 范数与1、2的搭配1、F 范数概念:矩阵各个元素平⽅和开根,概念上⾮常像向量的L2范数导数:求导的⽅法则是将其展开来,⼀般情况下我们不会直接求原始的范数||A||F ,因为很⿇烦,即使是在损失函数中也是⽤F 范数的平⽅项来简化运算,⽽常见的损失函数⼀般是,此时对X 求导,则需要将内部的Y-X 展开来,所以对 中X 求导即为 2、1范数概念:║A ║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数,A 每⼀列元素绝对值之和的最⼤值) (其中∑|ai1|第⼀列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+…+|an1|,其余类似);矩阵的1范数和向量的1范数雷同,不能直接求解,只能分情况讨论求导:常规的L1范数的求导是在损失函数中作为正则项出现,即,这⾥前半部分求导是,后半部分则需要分情况讨论,最终结果为为3、2范数概念:指的是A 最⼤的奇异值或者半正定矩阵A*A 最⼤特征值开根求导:对于问题存在近似解4、TV 范数概念:全变分范数,其实就是对矩阵乘上⼀个⼀阶的差分矩阵,乘完还是个矩阵,所以要⼀般要结合前边的1范数或者2范数再对其进⾏约束求解5、核范数概念:即矩阵奇异值的和求解:对于 存在近似解 表⽰这⾥, . , 和 分别是<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1851">M</script>的左奇异向量、右奇异向量和奇异值(markdown 模式下可以⽤latex 写东西真的太⽅便了= =⾄于各个范数的效果,实质上1范数和2范数在矩阵分解上效果差得不多,基本上2范数能分离出的⾼频成分1范数能更快的分离出来,在⼀维层⾯上也容易想想,1范数相⽐2范数能够更快的收敛(直指坐标中⼼),核范数效果对低频成分的提取也⽐TV_1/TV_2范数的效果要好很多。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一:参照课本194页,例.证明二:利用AB和BA有相同的非零特征值的性质;从而I p+AB,I q+BA中不等于1的特征值的数目相同,大小相同;其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积,因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积,所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些,然而,它在许多领域,如数值计算,逼近论,以及统计估计等都有相当多的应用,许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义:n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑,etrA=exp(trA)性质:1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ,线性性质;2. Ttr(A )tr(A)=;3. tr(AB)tr(BA)=;4.1tr(P AP)tr(A)-=; 5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量;6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理(或Jordan 标准形)和(4)证明; 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0;8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥,且等号成立的充要条件是A=B (i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ);9. 对于n 阶方阵A ,若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0(从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ,tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积,也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积,利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理:对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
带虚数的矩阵范数
带虚数的矩阵范数带虚数的矩阵范数是一种常见的数学概念,它在矩阵理论和线性代数中有着广泛的应用。
虚数在数学中是一种特殊的数,它可以表示为实数与虚数单位i的乘积。
而矩阵范数则是用来衡量矩阵的大小或者变化程度的一种方式。
带虚数的矩阵范数结合了虚数与矩阵的概念,具有一定的特殊性和重要性。
我们来了解一下什么是矩阵范数。
矩阵范数是一种将矩阵映射到实数或复数的函数,它可以用来衡量矩阵的大小或者变化程度。
常见的矩阵范数有Frobenius范数、谱范数和算子范数等。
不同的矩阵范数在不同的应用场景下有着不同的意义和计算方法。
而带虚数的矩阵范数则是在矩阵范数的基础上,考虑了矩阵中可能存在的复数元素。
在实际问题中,很多矩阵的元素都是复数,而带虚数的矩阵范数可以更准确地描述这些矩阵的性质和特点。
例如,在量子力学中,矩阵经常用来表示物理系统的态矢量和算符,而这些矩阵往往具有复数元素,带虚数的矩阵范数可以用来度量这些矩阵的变化程度和大小。
带虚数的矩阵范数的计算方法与普通矩阵范数类似,只是在对矩阵进行求范数时,需要将复数元素的模加入到范数的计算中。
例如,对于一个复数矩阵A,其矩阵范数可以表示为:||A|| = max |λ|,其中λ是矩阵A的特征值。
而带虚数的矩阵范数可以表示为:||A|| = max |λ| + max |μ|,其中λ和μ分别是矩阵A的特征值的实部和虚部。
带虚数的矩阵范数可以更全面地衡量矩阵的大小和变化程度。
带虚数的矩阵范数在实际应用中具有重要的意义。
例如,在信号处理中,矩阵常用来表示信号的相关性和相似性。
而带虚数的矩阵范数可以用来度量信号之间的差异和变化程度,从而为信号处理提供了有效的工具和指标。
带虚数的矩阵范数还可以用于矩阵的优化和近似计算。
在机器学习和数据挖掘中,矩阵的优化和近似计算是非常重要的问题。
而带虚数的矩阵范数可以用来度量矩阵的优化程度和近似误差,从而帮助我们选择合适的优化算法和近似方法。
带虚数的矩阵范数是一种重要的数学概念,在矩阵理论和线性代数中具有广泛的应用。
矩阵范数定义
矩阵范数定义矩阵范数是矩阵理论中的一个重要概念,它是用来衡量矩阵的大小的一种方法。
在实际应用中,矩阵范数被广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习等领域。
本文将介绍矩阵范数的定义、性质以及应用。
矩阵范数的定义矩阵范数是一种将矩阵映射到实数的函数,它可以用来衡量矩阵的大小。
矩阵范数有多种定义方式,其中比较常见的有以下几种:1. Frobenius范数Frobenius范数是矩阵中所有元素的平方和的平方根,即:$$\left\|A\right\|_F=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^ 2}$$其中,$A$是一个$m\times n$的矩阵,$a_{ij}$表示矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素。
2. 1-范数1-范数是矩阵中每一列元素绝对值之和的最大值,即:$$\left\|A\right\|_1=\max_{1\leq j\leqn}\sum_{i=1}^m|a_{ij}|$$3. 2-范数2-范数是矩阵的最大奇异值,即:$$\left\|A\right\|_2=\sigma_{\max}(A)$$其中,$\sigma_{\max}(A)$表示矩阵$A$的最大奇异值。
4. 无穷范数无穷范数是矩阵中每一行元素绝对值之和的最大值,即:$$\left\|A\right\|_{\infty}=\max_{1\leq i\leq m}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|$$矩阵范数的性质矩阵范数具有以下性质:1. 非负性:对于任意矩阵$A$,其范数$\left\|A\right\|$都是非负的。
2. 齐次性:对于任意矩阵$A$和标量$c$,有$\left\|cA\right\|=|c|\left\|A\right\|$。
3. 三角不等式:对于任意矩阵$A$和$B$,有$\left\|A+B\right\|\leq\left\|A\right\|+\left\|B\right\|$。
矩阵范数的表示形式
矩阵范数的表示形式矩阵范数是用来衡量矩阵的大小的一种方法。
在线性代数中,矩阵是由行和列组成的二维数组。
矩阵范数可以用来衡量矩阵在不同方面的表现,比如矩阵的大小、稳定性和特征等。
在数学中,矩阵范数有多种表示形式。
其中,常见的矩阵范数包括谱范数、F范数、一范数和无穷范数等。
谱范数是矩阵的最大奇异值,它衡量了矩阵在所有方向上的最大放大率。
谱范数的定义是矩阵A的最大奇异值,即∥A∥₂=max│λ│,其中λ表示A的特征值。
谱范数可以用来衡量矩阵的稳定性和敏感度。
F范数是矩阵元素的平方和的平方根,它衡量了矩阵在所有方向上的平均放大率。
F范数的定义是∥A∥_F=√(∑_i∑_j|a_ij|^2),其中a_ij 表示矩阵A的第i行第j列的元素。
F范数可以用来衡量矩阵的大小和稳定性。
一范数是矩阵的列向量的绝对值之和的最大值,它衡量了矩阵在所有方向上的最大放大率。
一范数的定义是∥A∥_1=max(∑_i|a_ij|),其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
一范数可以用来衡量矩阵的稀疏性和稳定性。
无穷范数是矩阵的行向量的绝对值之和的最大值,它衡量了矩阵在所有方向上的最大放大率。
无穷范数的定义是∥A∥_∞=max(∑_j|a_ij|),其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
无穷范数可以用来衡量矩阵的稀疏性和稳定性。
除了以上常见的矩阵范数,还有其他一些矩阵范数的表示形式,比如Hilbert-Schmidt范数、Schatten范数和重量范数等。
这些范数可以用来衡量矩阵的特征和性质。
总结起来,矩阵范数是用来衡量矩阵的大小和性质的一种方法。
不同的矩阵范数可以从不同的角度来描述矩阵的特征和性质。
在实际应用中,选择合适的矩阵范数可以更好地理解和分析矩阵的行为和特点。
矩阵范数的表示形式有多种,每种表示形式都有其独特的特点和应用场景。
了解和掌握不同矩阵范数的表示形式,可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识。
带虚数的矩阵范数
带虚数的矩阵范数引言矩阵范数是用来度量矩阵的大小的一种方法。
在实际应用中,我们经常需要计算矩阵范数,以评估矩阵的性质和影响。
然而,在某些情况下,矩阵中包含虚数元素,这为计算矩阵范数带来了一定的挑战。
本文将介绍带虚数的矩阵范数的概念、性质以及计算方法,并给出一些实际应用的例子。
带虚数的矩阵范数的定义矩阵的范数是满足一定条件的函数,它将矩阵映射到一个非负实数。
对于带虚数的矩阵,我们可以将虚数视为复平面上的一个点,因此带虚数的矩阵范数可以扩展到复数域。
带虚数的矩阵范数的定义如下:对于一个 n x n 的带虚数矩阵 A,它的范数记作 ||A||,满足以下条件: - 非负性:||A|| >= 0,且当且仅当 A = 0 时,||A|| = 0。
- 齐次性:对于任意实数c,||cA|| = |c| ||A||。
- 三角不等式:对于任意两个带虚数矩阵 A 和 B,有||A + B|| <= ||A|| + ||B||。
这个定义和实数矩阵范数的定义相似,只是将实数扩展到了复数域。
带虚数的矩阵范数的定义保留了实数矩阵范数的基本性质,并加入了复数域的特性。
带虚数的矩阵范数的性质带虚数的矩阵范数具有以下性质:1. 子多重性对于任意两个带虚数矩阵 A 和 B,有 ||A * B|| <= ||A|| * ||B||。
这个性质类似于实数矩阵范数的性质。
2. 单位矩阵的范数为1对于单位矩阵 I,有 ||I|| = 1。
这是由于单位矩阵的定义保证了对任意向量 x,有 ||I * x|| = ||x||。
3. 可逆矩阵的范数为非零值对于可逆矩阵 A,有 ||A|| > 0。
这是由于可逆矩阵的定义保证了对任意非零向量x,有 ||A * x|| > 0。
4. 矩阵的对角线元素和范数对于矩阵 A 的对角线元素之和的绝对值的范数,有 ||A||_1 >= |tr(A)|。
这是由于矩阵的对角线元素之和可以视为矩阵的迹。
2.2矩阵的范数
§2.2 矩阵的范数我们知道:向量本身可以看作是矩阵,而一般的矩阵又有自身的运算特点,比如矩阵的乘法运算。
因此,我们定义矩阵的范数时需要考虑矩阵的本身的特点,这就有了我们以下要讨论的内容:一、 矩阵的范数1.矩阵范数的定义设||||:m n C R ×→i 是实值函数,若它满足下述三个条件: (1) 非负性:,||||0,and ||||00m n A C A A A ×∀∈≥=⇔= (2) 齐次性:,,||||||||||m n k C A C kA k A ×∀∈∈= (3) 三角不等式:,,||||||||||||m n A B C A B A B ×∀∈+≤+ 则称||||i 为广义矩阵范数,若||||i 还满足下述第四个性质: (4) 相容性:,,||||||||||||m n n l A C B C AB A B ××∀∈∈≤i 则称||||i 为矩阵范数。
注:在相容性的定义中,n l B C ×∈,m l AB C ×∈,实数||||B ,||||AB 的定义规则与实数||||A 的定义规则相同。
2. 矩阵范数的连续性与向量的情况一样,对于矩阵序列而言,它也有极限的概念。
设矩阵序列(){}k A ,其中()k m n A C ×∈,若()k A 的每一个元素()k ij a 均有极限ij a ,则称矩阵序列(){}k A 有极限()ij A a =,或者说(){}k A 收敛到矩阵A ,记作()()lim ()k k k A A A A →+∞=→不收敛的矩阵序列称为发散的。
当然,也可按照范数定义矩阵的收敛性。
即若()lim 0k k A A →∞−=则称(){}k A 在范数||||i 意义下收敛于A 。
由三角不等式,可推知,,m n A B C ×∀∈有||||||||||||||A B A B −≥−。
矩阵范数作用
矩阵范数作用矩阵范数是衡量矩阵性质的一种数学工具,它可以帮助我们了解矩阵的重要特征以及在实际问题中的应用。
在本文中,我们将探讨矩阵范数的定义、性质以及一些常见的应用。
让我们来定义矩阵范数。
矩阵范数是一个将矩阵映射到实数的函数,满足一定的条件。
常见的矩阵范数包括:1-范数、2-范数和无穷范数。
1-范数是矩阵每一列的绝对值之和的最大值,而2-范数是矩阵的最大奇异值,无穷范数是矩阵每一行的绝对值之和的最大值。
矩阵范数可以帮助我们评估矩阵在不同操作下的变化程度,比如矩阵乘法、矩阵求逆等。
矩阵范数具有一些重要的性质。
首先,矩阵范数是非负的,即对于任意的矩阵A,它的范数大于等于0。
其次,矩阵范数满足三角不等式,即对于任意的矩阵A和B,有范数(A+B) ≤ 范数A + 范数B。
此外,矩阵范数还满足乘法和数乘的性质,即对于任意的矩阵A和标量α,有范数(αA) = |α| × 范数A。
这些性质使得矩阵范数成为一种有效的工具,可以帮助我们分析和计算矩阵的性质。
矩阵范数在实际问题中有许多应用。
其中一个重要的应用是用于评估矩阵的条件数。
矩阵的条件数是矩阵范数的一个重要指标,它描述了矩阵在求解线性方程组时的稳定性。
具体来说,条件数越大,矩阵求解过程中的误差就越大。
因此,通过计算矩阵的条件数,我们可以评估矩阵求解的可靠性,并选择合适的算法和数值方法。
另一个应用是矩阵的奇异值分解。
矩阵的奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积,其中包括一个正交矩阵、一个对角矩阵和它的转置矩阵。
奇异值分解在数据分析和降维等领域有广泛的应用。
通过计算矩阵的奇异值,我们可以提取矩阵的重要信息,并进行数据压缩和降维处理。
矩阵范数还可以用于矩阵的优化问题。
在优化问题中,我们经常需要求解一个矩阵或向量的最优解。
通过定义合适的矩阵范数,我们可以将优化问题转化为一个等价的标准形式,并利用矩阵范数的性质进行求解。
矩阵范数是一种重要的数学工具,它可以帮助我们了解矩阵的重要特征以及在实际问题中的应用。
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2、方阵谱半径的估计
一般方阵的谱半径:
对角占优矩阵的谱半径:
6.5 矩阵幂级数
1、矩阵级数及其收敛性
矩阵序列: ������ ������×������ 中,形如������0 , ������1 , ⋯ , ������������ , ⋯的有序矩阵列,称 为矩阵序列。 矩阵级数:由矩阵序列������0 , ������1 , ⋯ , ������������ , ⋯构成的如下和式
������
, (������ = 1, ⋯ , ������; ������ = 1, ⋯ , ������) 均收敛,则称矩阵级数 ������������ ≜ ������������������
������
∞ ������=0 ������������ 绝对收敛。其中,
。
矩阵级数绝对收敛的判别:
������������ −1
������������ , (������ = 1, ⋯ , ������) 存在,则称函数
������������ −1
������(������)在������ 的谱������ ������ ≜ *������1 , ������2 , ⋯ , ������������ +上有定义,或������(������)在������ 的谱
1、方阵特征值的估计(特征值在复平面上的分布)
圆盘定理1:
盖尔圆系:定理 6.4.1中,并集 ������1 ∪ ������2 ∪ ⋯ ∪ ������������ ≜ ������ 称为矩 阵������的盖尔圆系。 ������ 区: ������ 的盖尔圆系 ������ 中,记由 ������ 个圆组成的连通域为 ������������ ,又 若������������ 与其它圆无公共点,则称������������ 为������区。 圆盘定理2: 设������������ 是������ 的盖尔圆系之 ������ 区,则������������ 中有且只有������ 的 ������ 个特征值 (������重根算������个)。 特征值估计的改善:
其中,每个元素������������������ (������)都是复变量������ 的函数,则称������(������)为复变 量������的函数矩阵。若每个元素������������������ (������)都在������ = ������0 或������的某个定义 区域������ 上可微,则称此函数矩阵������(������)在������ = ������0 或区域������ 上是可 微的,并规定������(������)对������的导数为 ������ ������ ������ ������ = ������������������ ������ ������������ ������������
定 理 : 设 ������ ∈ ������ ������×������ , ������1 (������) 与 ������2 (������) 是 两 个 多 项 式 , 则
������1 (������)=������2 (������)的充要条件是������1 (������)与������2 (������)在������ 的谱������ ������ 上有相同
������ ������ 上 给 定 , 并 称 ������ ������������ , ������ ′ (������������ ), ⋯ , ������ ������������ , (������ = 1, ⋯ , ������)
为������(������)在������的谱������ ������ 上的值,或������(������)在������ ������ 上的谱值。
足������(������) < ������,则称收敛矩阵幂级数
������ ������ =
������=0
������������ ������������ ,
(������(������) < ������)
2、矩阵函数的计算
方法一:定义法。直接利用矩阵幂级数的定义式进行计算。 1 0 0 1 例:设������ = ,������ = ,求������ ������ , ������ ������ , ������ ������+������ 0 0 0 0 方法二:Jordan标准形法。 理论基础:
−1 −2 例:设������ = −1 0 −1 −1
6 3 ,求������ ������ , ������ ������������ , sin ������ 4
方法三:谱值相等法。 矩阵函数定义为一个矩阵幂级数的形式。对任一方阵������而 言,假定其最小多项式的次数为 ������ ,则因最小多项式是次数 最低的首 1 化零多项式,故 ������ 的任意 ������ 次方 ������������ , (������ ≥ ������) 均可由 ������������ , ������, ⋯ , ������������−1 线性表示。这样,可将矩阵幂级数表示为一个 有限次矩阵多项式的形式,即 ������ ������ = ������0 ������������ + ������1 ������ + ⋯ + ������������−1 ������������−1 (∗) 要计算任意矩阵函数������(������),只要确定系数������0 , ������1 , ⋯ , ������������−1 即 � 是矩阵范数、且相容,即
式(6.2.4)从向量范数导出的相容矩阵范数,称为由向量范数 诱导的相容矩阵范数,或称为算子范数。
性质2:
矩阵的 1- 范数、 2- 范数、∞ - 范数,也分别称为列和范数、 谱范数、行和范数。
5、矩阵范数的应用
对于实际问题,数字矩阵 ������ = (������������������ ) 的每个元素 ������������������ 通常会 带有误差������������������ ,即准确矩阵为 ������ + ������ = ������������������ + ������������������ = (������������������ + ������������������ )
������ ∞ ������ ������=0 ������������ ∞ ������=0 ������������ 收敛,当
收敛。 ������������ 收敛,即������������个绝对数值级
矩阵级数的绝对收敛性:若 数
∞ ������=0
∞ ������=0
������������������
(6.5.1)
称为矩阵������的幂级数。 矩阵幂级数的收敛性判别:
6.6 矩阵函数
1、矩阵函数的概念
设复变量幂级数
∞ ������ ������=0 ������������ ������ 的收敛半径为������ ,且当 ∞ ������ ������=0 ������������ ������
第6章 矩阵范数与矩阵函数
6.1 向量范数
1、向量范数的定义
2、 ������ ������ 空间上向量范数的性质之一
3、 ������ ������ 空间上的常用向量范数
分别称为1-范数、2-范数、∞-范数和������-范数。
4、������ ������ 空间上范数的性质之二
5、������ ������ 空间上范数的性质之三
6.2 矩阵范数
1、矩阵范数的定义
2、矩阵范数可看作向量范数,但具特殊性
对于某一矩阵范数系,若相容性不等式关系(6.2.1)成立,则 称该矩阵范数系为相容矩阵范数系。 相容矩阵范数系的性质:
3、矩阵的������1 范数、������2 范数和������∞ 范数
������
������1
≜
的值。
0 0 例:设������ = 2 −1 −1 0
1 2 ,求������ ������ , ������ ������������ −2
6.7 函数矩阵的微积分
1、单变量函数矩阵的概念
设矩阵 ������11 ������ ������21 (������) ������ ������ = ⋮ ������������1 (������) ������12 ������ ������22 (������) ⋮ ������������2 (������) ⋯ ������1������ ������ ⋯ ������2������ (������) ⋮ ⋮ ⋯ ������������������ (������)
对以上问题的回答,需要用到定理6.2.6.
式中 ∙ 为任一相容算子矩阵范数。
6.3 向量和矩阵的极限
1、矩阵Cauchy序列和收敛序列的定义
2、矩阵序列极限的属性
3、矩阵序列极限的运算法则
4、方阵谱半径的定义
5、方阵幂有零极限的条件
6、方阵谱半径与范数的关系
6.4 特征值与谱半径的估计
定义:设矩阵������的最小多项式为 ������ ������ = ������ − ������1
������1
������ − ������2
������2
⋯ ������ − ������������
������������
其中,������1 , ������2 , ⋯ , ������������ 为������的������个互异特征值。对任意函数������(������), 若 ������ ������������ , ������ ′ (������������ ), ⋯ , ������