07-08-2线性代数期中试卷(文)小强

课程名称：线性代数 考试类型：期中考试 考试时间：90’ 适用班级：
一．填选题(4'1040'⨯=)
1. 设
10
a A
b ⎛⎫=
⎪⎝⎭
, 则A 可逆的条件是
ab ≠, 此时1
A -=
110b ab a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
2. 在五阶行列式中1253354124a a a a a 的符号为
-
；
3. 设132231αβ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，
则T αβ=10
, T
αβ=32164296
3⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
. 4. 11121313121121
222323222131
32
33
33
32
31
()22122
a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=-- 5. 000100
02000100000000
1
D n n =
=-
(2)(1)
2
(1)
!n n n ---, (n 为个人学号最后两位加100)
6. 设4阶行列式D 中第二列元素依次为-1, 2, 1, 0, 它们的余子式依次分别是0, 3,
2, 3, 则D =4
；(＊如果该行列式中第一列的元素依次是2, 1, x , 0, 则x =
3/2
.)
7. 设,A B 为3阶矩阵, ||2,||3A B ==-, 那么21*|2|T A B A A --=192
.
8. 若n 阶矩阵A 满足方程2230,A A I ++=则1A -=1
(2)3
A I -+.
9. 对方程组123231
2330
4050
x kx x x x kx x x +-=⎧⎪
+=⎨⎪--=⎩, 下列命题正确的是( AD ).
(A) 若方程组有非零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-或1k =-
(B) 若方程组有非零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-且1k =- (C) 若方程组有只有零解，则系数行列式等于0, 从而3k =-或1k =- (D) 若方程组有只有零解，则系数行列式不等于0, 从而3k ≠-且1k ≠- 10. 矩阵m n A ⨯, 且()r A r m n =<<, 则正确的是( ABCD ).
(A) A 中r 阶子式不全为0； (B) A 中任何阶数大于r 的子式皆为0；
(C) A 不可能是满秩矩阵 (D) A 经过初等变换可化为r I O O O ⎛⎫
⎪⎝⎭
;
二．计算题 (60')
11. (8')设1
40
320A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝
⎭, 121032B -⎛⎫
⎪
=
⎪ ⎪-⎝
⎭
, 求矩阵X , 使32A X B +=. 解：由32A X B
+=，得
132124102
5111(3)1009191/29/22223620929/21X B A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12. (8')求行列式1
231232224101
301D =
-
解：
21
3132
43
41
221231123112311231232201400140014014
24100072007200721
3
1
130
7
2r r r r r r r r r r D --+--------=
=
===---------
13. (10')求行列式11111
11n n
n D n
=
解：
1
12()
2,,1
1121112111112110111
1
21
1
1
(21)(1)
i n r r c c c i n
n n n n n n n n n D n
n n
n n n -+++=-----=
=
=
--=--
14. (10')求解方程组12312312323052722025440
x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
-+-=⎨⎪-+-=⎩
.
解：
21
31
32
32313
52(1/9)
1721
1231
123(,)52722071737
254407810112
311230
71737071737
009270013110
30
701400
13r r
r r r r r r r r r A
A b ---⨯--+----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
==-−−−→
- ⎪
⎪
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭----⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪
−−−→-−−−−→
- ⎪
⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫
−−−→-- ⎝
⎭ 1221/7
(1/7)
10010102
00
13()()3r r r r A
r A +⨯⨯-⎛⎫⎪ ⎪−−−−→
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝
⎭
∴== 从而原方程组有唯一解，其解为：1231,2,3x x x ===
15. (12')设0
331
10,212
3A A X A X ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪-⎝
⎭
, 求: (1) 1
(2)
A I --, (2)X
解：
122131
3232(1/2)
2
33100110010(2,)1
1001023310012100
11210011100101
1
00100
131200131
2001
101100
2111110010
13
1
2000
11/2
1/r r r r r r r r r A I I ↔++-⨯---⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪-=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝
⎭
--⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝
⎭⎝
⎭
-−−−−→23
12
31
1
10
010
0101/21/23/2
2
1/200
1
1/2
1/2
1/21001/23/23/20
101/21/23/2
00
1
1/2
1/2
1/21/2
3/23/2(2)
1/21/23/2
1/21/2
1/22(2)(r r r r A I A X A X A I X A
X A -+--⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪−−−→
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭
-⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭
-⎛⎫
⎪∴-=-
⎪ ⎪-⎝
⎭
=+∴-=∴=- 1
1/2
3/23/20
330
332)1/2
1/23/21
101231/21/2
1/21
2
31
1
0I A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=-=-
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
16. (12')设
12001062410
,11136161
19
7
14
34A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪
⎪----⎝⎭
求秩()r A , 并判断A 是否为满秩矩阵.
解：
31
4123324421/21/3(1/7)
1200112001062410062410
11136160936151
19
71434021714
3512001120010
312503125031250000003
1
2
50
0r r r r r r r r r r r A --⨯⨯-⨯--⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→ ⎪
⎪
⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ −−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎝⎭
⎝⎭
()2m in(4,5)
r A ⎪⎪⎪∴=<
从而A 不是满秩矩阵。