2012届黑龙江省大庆实验中学高三数学文科期中考试题及答案
黑龙江大庆实验中学2011届高三上学期期中考试(数学文)
大庆实验中学2010－2011学年度上学期期中考试高三数学试题（文科）出题人：侯典峰说明：（1）试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟；（2）答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应的位置.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{|51}A x x =-≤<，{|2}B x x =≤，则A B 等于(A){|12}x x ≤≤ (B){52}x -≤≤ (C){|1}x x < (D){|2}x x ≤ （2）已知等差数列79412{},16,1,n a a a a a +==中则的值是(A)15(B)30(C)31(D)64（3）命题x x q x p >>2:,1:，p 是q 的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件（4）若2313log 3,log 2,log 2,,,a b c a b c === 则的大小关系是(A)a b c << (B)b c a << (C) c a b << (D) c b a <<（5）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin(2)6y x π=+的图象(A)向左平移4π个单位 (B)向左平移2π个单位 (C)向右平移4π个单位 (D)向右平移2π个单位（6）函数f(x)＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间( )(A) (18，14) (B) (14，12) (C) (12，1) (D) (1,2)（7）若2,a b == 且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角为(A)4π (B)3π(C)32π (D)65π（8） 函数sin()(0,||,)4y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图象如图所示，则函数为(A) 4sin()84y x ππ=-(B) 4sin()84y x ππ=-+(C)4sin()84y x ππ=--(D)4sin()84y x ππ=+（9） 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知342332,32,S a S a q =-=-=则公比(A)3(B)4(C)5(D)6（10）设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 (A)2716-(B)1516(C)89(D)18（11）已知偶函数()x f 在区间[)+∞,0上单调递增，则满足()⎪⎭⎫ ⎝⎛<-3112f x f 的x 的取值范围是(A)⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31 (B) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,31 (C)⎪⎭⎫⎝⎛32,21 (D)⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,21 （12）函数：①sin y x x =⋅②cos y x x =⋅③|cos |y x x =⋅④2x y x =⋅的图象（部）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是(A)④①②③ (B)①④③② (C)①④②③(D)③④②①第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.（13）设函数()()5142++-=x a x x f 在[)+∞-,1上是增函数，在(]1,-∞-上是减函数，则()=-1f .（14）已知向量),(),1,1(),4,2(λ+⊥==若则实数λ= （15）在等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33m a =，则m 为＿＿＿＿＿.（16）设函数()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，有下列结论： ①函数()f x 的最小正周期是π； ②直线3x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；③点5(,0)12π-是函数()f x 图象的一个对称中心；④将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后所得的函数是偶函数. 其中所有正确结论的序号是＿＿＿＿＿.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（Ⅰ）求{}n a 的公比q ；（Ⅱ）已知133a a -=，求n S ．(18) （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，5b =，ABC ∆的面积为（Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（19）（本小题满分12分）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，（Ⅰ）若5S =5，求6S 及a 1； （Ⅱ）求d 的取值范围.（20）（本小题满分12分）已知：2()sin 21().f x x x x R =+∈求： （Ⅰ）()f x 的最小正周期；（Ⅱ）()f x 的单调增区间；（Ⅲ）若[,]44x ππ∈-时，求()f x 的值域.(21) （本小题满分12分）已知函数),()1(31)(223R b a b x a ax x x f ∈+-+-=．（Ⅰ）若1=x 为)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f y =的图象在点（)1(,1f ）处的切线方程为03=-+y x ，求)(x f 在区间]4,2[-上的最大值；（Ⅲ）当0≠a 时，若)(x f 在区间)1,1(-上不单调，求a 的取值范围．(22) （本小题满分12分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-(2t >-),设n t f m f ==-)(,)2(.（Ⅰ）试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数； （Ⅱ）求证:n m >；（Ⅲ）求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.大庆实验中学2010－2011学年度上学期期中考试 高三数学试题（文科）D A A D C C A B B B A C 1 -3 50 ①②④ （17）（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ，故022=+q q 又0≠q ，从而21－=q ……………………5分（Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a 从而141281113212n nn S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭……10分（18）解：（Ⅰ）由已知3C π=，5b =，1sin 2ABC S ab C ∆=知15sin 23a π=⋅⋅得8a =由余弦定理可得2642580cos 493c π=+-=，从而可知7c = ……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知4925641cos 707A +-==，由于A是三角形的内角，故sin A ==所以1113sin sin cos cos sin 6667214A A A πππ⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝⎭ ………………12分(19)解：（Ⅰ）由题意知31556-=-=S S 8566-=-=∴S S a ⎩⎨⎧-=+=+∴85510511d a d a 解得：71=a 所以7,316=-=a S ……………………6分（Ⅱ）01565=+S S 即0110922121=+++d da a 故8)94(221-=+d d a （或0)110(88122≥+-=∆d d ）所以82≥d 所以2222≥-≤d d 或 即d 的取值范围是2222≥-≤d d 或 ……………………12分 20．解：2()sin 21)1f x x x =-+=sin 212sin(2)13x x x π++=++……………………4分（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为22T ππ==……………………6分 （Ⅱ）由222232k x k πππππ-≤+≤+，得522266k x k ππππ-≤≤+ 5,()1212k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈∴函数()f x 的单调增区间为5,,().1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦………9分 （Ⅲ）因为5,,2,,44366x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1sin(2),132x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦[]()0,3.f x ∴∈………12分 21解：（Ⅰ）)1(2)(22-+-='a ax x x f ,,02,0)1(,)(12=-='∴=a a f x f x 即的极值点为.20或=∴a ,经检验. 2 0 或 = a 是所求的值……３分 （Ⅱ）由题意可知()12f =，()'11f =-，解之得81,3a b ==，即()321833f x x x =-+，∴x x x f 2)('2-=，令()'0fx =，得0=x 和2=x当x 变化时，()'fx ，()f x 的变化情况如下表所以当4x =时，函数()f x 有最大值为8 …………９分（Ⅲ）因为函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，所以函数)(x f '在)1,1(-上存在零点． 又()()()'11f x x a x a =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，0)('=x f 的两根为1,1+-a a ，且在区间)1,1(-上不可能有2个零点．所以0)1()1(<'-'f f 即：0)2)(2(2<-+a a a 解之得20a -<<或02a <<即所求a 的取值范围是()()2,00,2- ． ……1２分(22)(Ⅰ)解:因为2()(33)(23)(1)x x x f x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅由()0f x '>得10x x ><或；由()0f x '<得01x <<,所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减,故若)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤…………………3分(Ⅱ)证:因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减,所以()f x 在1x =处取得极小值e ， 又213(2)f e e-=<,所以()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f -从而当2t >-时,(2)()f f t -<,即m n <………………6分)(Ⅲ)证:因为0'2000()x f x x x e=-,所以0'20()2(1)3x f x t e =-即为22002(1)3x x t -=-, 令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的个数因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+- (7)分)所以 ①当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解 ……(8分) ②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<, 所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解 ………………(9分)③当1t =时,2()001g x x x x x =-=⇒==或,所以()0g x =在(2,)t -上有且只有一解； (10)当4t =时,2()6023g x x x x x =--=⇒=-=或, 所以()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解…(11分)综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-, 且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意；当14t <<时,有两个0x 适合题意…(12分)。
大庆实验中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学试题及答案(文)
大庆实验中学2012—2013学年高二下学期期中考试数学试题(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的)1. 复数21ii-的虚部是（ ） A. 1- B. 1 C. i -D. i2. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程+=a x b y 必过点( )A.(1.5 ,4)B. (2,2)C.(1.5 ,0)D.(1,2)3. 设点P 对应的复数为i 33+-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可能为( )A. (3，π43) B. (3，π45) C. (23，π43) D. (23,π45) 4.用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是( )A. 0a b 、至少有一个为 B . 0a b 、至少有一个不为 C. 0a b 、全不为 D. 0a b 、中只有一个为5.在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换公式是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧==''23.A yy x x ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 23.B ''⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 213.C '' ⎪⎩⎪⎨⎧==''213.D yy x x6. 根据右边的流程图，则输出的结果是（ ）A. 7B. 8C. 720D. 5040 7. 设二次函数2()4()f x ax x c x =-+∈R 的值域为[0,)+∞，则19c a+的最小值为（ ）A ．3B ．92C ．5D ．7 8. 已知双曲线的一个焦点为)0,5(-F ,点P 位于该双曲线上，线段PF 的中点坐标为（0，2），则该双曲线的标准方程为（ ）A ．2214x y -= B ．22132x y -= C ．22123x y -= D ． 2214y x -= 9.已知曲线1C ：2ρ=和曲线2C：cos()4πρθ+=1C 上到2C的点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知2=||a ，=a )(y x ，，且x ≥0，y ≥0，则 10)(4++-=y x xy S 的最大值为（ ）A. 2812+B. 2C. 18D. 011.直线233+=x y 与圆心为D 的圆))2,0[(sin 31cos 33πθθθ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 交于A,B 两点，则直线AD 、BD 的倾斜角之和为（ ）A.π43 B. π45C. π34D. π6512.设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=.记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =， 则2006(2006)f = （ ）A ．20B ．4C ．42D ．145第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期中试题 文
大庆实验中学2016—2017学年度上期期中考试高三数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}20,ln(1)x A xB x y x x ⎧-⎫=≥==-⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,2) D ．(1,2) 2.下列函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的函数是( )A.lg y x = B ．1y x =+ C ．3y x = D ．2xy -=3.已知,2sin 2cos ,2παπαα<<=则sin()2πα+=( )A ．14 B ．14- C ．15 D ．15-4. 若复数z 满足2(3)13i z i -=-+(其中i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5. 下列说法错误的是( )A ．“2m =-”是“直线(1)10mx m y +--=与直线320x my ++=垂直”的充分不必要条件B ．已知a R ∈，则"1"a <是"2"x x a -+>恒成立的必要不充分条件C ．设,p q 是两个命题，若()p q ⌝∧是假命题，则,p q 均为真命题D ．命题:",p x R ∃∈使得210",x x ++<则:",p x R ⌝∀∈均有210"x x ++≥6.设函数()lg f x x =,若0a b <<，且()()f a f b =，则25z a b=+的最小值是( ) A 10．2 C ．10．27. 已知0,a >实数,x y 满足13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若3z x y =+的最小值是2，则=a ( )A ．14 B ．13 C ．12D ．1 8.等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式21()022d dx a x c +-+≥的解集是[0,12]，则使得数列{}n a 的前n 项和大于零的最大的正整数n 的值是( )A ．11B ．11或12C ．12D ．12或13 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A ．323 B ．163 C ．83 D ．4310. 在ABC ∆中,内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，已知2223,,4b ac 成等差数列，则sin B 的最大值为( ) A ．23 B.53 C. 13D. 22311. 已知定义在R 上的函数()f x 为偶函数，且满足()(2)f x f x =+，(1)1f -=，若数列{}n a 的前n 项和n S 满足1112,2n n S a a +==，则56()()f a f a +=( ) A ．4 B ． 2 C ．1 D ．012.对于函数()f x ，若存在常数s ，使得对定义域内的每一个x 的值，都有()(2)f x f s x =--，则称()f x 为“和谐函数”，给出下列函数①1()1f x x =+ ②2()(1)f x x =- ③32()1f x x x =++ ④()cos f x x x =，其中所有“和谐函数”的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.直线0130sin 150cos 0=--y x 的倾斜角是_____________14. 已知四面体,P ABC PA -⊥面ABC ，4,ABC 3PA =∆是边长为的正三角形，则四面体P ABC -外接球的表面积是____________15. 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()xf x f x '>，则不等式2(1)(1)(1)x f x f x -+>-的解集是_____________16. 在ABC ∆中，4,3,5,AC BC AB O ===为ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，其中01,01x y ≤≤≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的Q 区域面积为____________三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足*21320(),5,n n n a a a a N a ++-+=∈=其前7项和为42，数列{}n b 是等比数列，11241,b a b a =-= (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式; (2)令3111log ,2n n n n n b c d c c +=+=，求数列{}n d 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG 2BC CD CE ===，，1AD BG == (1)证明：AG ∥平面BDE ；(2)求AB BDE 与平面所成角的正弦值19.（本小题满分12分）已知向量(2cos ,)()m x t t R =∈u r ，(sin cos ,1)n x x =-r，函数()y f x m n ==⋅u r r ，将()y f x =的图像向左平移8π个单位长度后得到()y g x =的图像且()y g x =在区间[0,]4π内的最大值为2(1)求t 的值及()y f x =的最小正周期; (2)若[]0,x π∈，求()y f x =的单调递增区间20.（本小题满分12分）定义在实数集上的函数2()(f x x ax a =+为常数），31()(3g x x bx m b =-+为常数），若函数()f x 在1x =处的切线斜率为3，2x =是()g x 的一个极值点(1)求,a b 的值;(2)若存在[4,4]x ∈-使得()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且面积为,S 若7cos 6S A =(1)求cos A 的值;(2)若10,2a c C A +==，求边b22.（本小题满分12分）已知函数x x x x f +-=2ln )(，12)1()(2-+-=mx x m x g (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若0>x 时关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，求整数m 的最小值大庆实验中学2016—2017学年度上期期中考试 高三数学（文）参考答案13.3π 14.28π 15.()1,2 16. 5*2117.20()n n n a a a a N ++-+=∈Q （1）所以数列{}n a 为等差数列 又24a =，前7项和42则数列{}n a 的首项12a =，公差1d =2n a n ∴=+ Q 数列{}n b 是等比数列，122,6b b ==1323n n q b -∴=∴=⨯3111(2)1log 21n n n n b c c n d n n n =+∴=∴==-+Q （n+1）121111111)223111=11n n n S d d d d n n n n n -∴=++++=-+-++-+=-++L L 18.(1)()sin 2cos 21)14f x x x m x m π=-+-=-+- ()21g x x m ∴=+-()y g x =Q 在区间[0,]4π1,m T π∴==3222,,(0,)24288k x k k Z k x k k Z x ππππππππππ-≤-≤+∈∴-≤≤+∈∈Q (2)由[]0,x π∈Q所以)(x f y =的单调递增区间是370,,88πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和19.（1）取CE 的中点H ，连结HG,交BE 于飞，连结DF,易得AD GH AD GH =,//所以四边形ADFG 是平行四边形， 所以DF G //A又BDE G 平面⊄A ,BDE DF 平面⊂ 所以AG ∥平面BDE（2）设点A 到平面BDE 的距离为h,2BCD BCE π∠=∠=，2BC CD CE ===所以22BD BE DE ===32=∆BDE S 所以11221AB =⨯⨯=∆D S2,BCD BCE CE BC CE CDBC CD C CE π∠=∠=⊥⊥⋂=⊥因为所以又所以平面ABCDABDE BDE A V V --=又CES h S D DE ⨯⨯=⨯⨯∆∆AB B 3131所以3321313231=⨯⨯=⨯⨯h h 得所以sinhAB BDEABθθ===设与平面成角为，则所成角的2220.()()2,(1)231()f x x ax f x x a f a a f x x x''=+∴=+∴=+=∴=∴=+ Q（1）32311 ()()202()2 33g x x bx m g x x b g b b g x x x m''=-+∴=-∴=-=∴=∴=-+Q（2）若存在[4,4]x∈-使得()()f xg x≥成立,即存在321[4,4],m3,3x x x x∈-≤-++令3221()3()23(1)(3)3h x x x x h x x x x x'=-++∴=-++=-+-所以当41x-<<-时，()0h x'<；当13x-<<时，()0h x'>；当34x<<时，()0h x'<存在[4,4]x∈-使得()()f xg x≥成立，则max()m h x≤，又上可知()h x的最大值在43x x=-=或取得，而20(4),(3)993h h m-==∴≤1321.cos sin tan0cos24S A bc A A A Aπ==∴=<<∴=（1）(2)有正弦定理可知，sin sin232cos104,c6sin sin2c C AA a c aa A A====+=∴==Q3cos sin41sin sin2cos28sin sin()A AC A C AB A C=∴=∴====∴=+=Q由正弦定理sin5sinab BA=⋅=22.（1）2'121(21)(1)()21x x x xf x xx x x-++-+-=-+=='()01f x x><<由，得0,'()01f x x<>由，得所以函数的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是()1+∞，（2）令()()()F x f x g x=-=xxx+-2ln12)1(2+---mxxm（0x>）2'12(12)1()212mx m x F x mx m x x -+-+=-+-==(21)(1)mx x x--+ '0,()0m F x ≤>当时，所以函数()F x 在()0+∞，上单调递增，(1)320F m =-+>, 所以原不等式不成立当0m >时，函数()F x 在102m ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在1+2m ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，所以函数max 11()()ln(2)24F x F m m m==- 令1()ln 2ln 4h x x x =--, '211()04h x x x =--<,所以函数()h x 在()0+∞，递减， 11()=022h >，1(1)=-ln 204h <，所以当1m ≥时，()0h x <，所以整数m 的最小值为1.。
黑龙江省大庆实验中学2014届高三上学期期中考试数学文试题 Word版含答案
大庆实验中学2013---2014学年度上学期期中考试数学（文）试题参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长. 球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径.球的表面积公式：S=4πR 2,其中R 是球的半径.台体体积公式：1()3V h s s =下上,其中s s 下上分别为台体上下底面面积，h 表示台体的高一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.集合{}Z x x x A ∈≤+=,21,{}11,3≤≤-==x x y y B ，则=B A ( ) A ．(]1,∞-B.[]1,1-C.φD.{}1,0,1-2. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为（ ）A . 2 B. 3 C. 4 D. 9 3.）A ．9B ． 9-CD ．19-4. 若平面向量=a )2,1(-与b 的夹角是︒180，且︱b ︱53=，则b 的坐标为（ ）A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-5. 在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )．A.63B.223C ．－63D ．－2236．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α； ②若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α； ③若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ；④若m ，n 是异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，则n ∥α. 其中正确的命题有( )．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④7．已知等差数列{}n a 的前13项之和为134π，则678tan()a a a ++等于（ ）A ．—1BC．3D ．1 8. 若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是 ( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b≤1 C.ab ≥2D ．a 2＋b 2≥89．将函数y ＝f (x )·sin x 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )可以是 ( )． A ．sin xB ．cos xC ．2sin xD ．2cos x10．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．143 B ．173C ．203D ．811．当a > 0时，函数2()(2)x f x x ax e =-的图象大致是()12．已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且)(x f 的导数)(/x f 在R 上恒有)(21)(/R x x f ∈<，则不等式212)(22+<x x f 的解集是（ ）A ． ),1(+∞B ． )1,(--∞ C. )1,1(- D. ),1()1,(+∞⋃--∞二、 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.14．已知O 为坐标原点，点)1,1(-A .若点),(y x M 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+,2,1,2y x y x上的动点，则OM OA ⋅的取值范围是 .15．已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的一点，若曲线在M 处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是________．16半径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为三、 解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知)sin()2tan()23tan()2cos()sin()(απαππααπαπα--++---=f（1）化简)(αf（2）若α是第三象限角，且51)23cos(=-πα ，求)(αf 的值18. （本小题满分12分）已知p ：f (x )＝1－x3，且|f (a )|<2；q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，且A ≠Ø.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．19. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足0cos cos )2(=--A b B a c（1）若13,7=+=c a b ，求ABC ∆的面积；（2）求)6sin(sin 3π-+C A 的取值范围．20. （本小题满分12分）如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB//CD,AD ⊥AB,AB=2,AD=,AA 1=3,E 为CD 上一点,DE=1,EC=3(1) 证明:BE ⊥平面BB 1C 1C; (2) 求点1B 到平面EA 1C 1 的距离21. （本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1.数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式；(3)设数列{b n }的前n 项和为T n ，是否存在常数λ，使得不等式(－1)n λ＜1＋T n －6T n ＋1－6(n ∈N＋)恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．22. （本小题满分12分）已知函数)(1)(R a xa ax x f ∈-+=,x x g ln )(=． （1）若对任意的实数a ,函数)(x f 与)(x g 的图象在0x x =处的切线斜率总相等，求0x 的值（2）若0>a ，对任意0>x ，不等式1)()(≥-x g x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
【解析】黑龙江省大庆市大庆实验中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题
大庆实验中学2019-2020学年度上学期期中考试高三数学(文科)试题一、选择题（单选题，共60分）1.若2a =v，14b =v ，a v 与b v 的夹角为120o ,则a b ⋅=r r （ ）A. 14-B.14C. 1D. -2【答案】A 【分析】根据向量的数量积运算即可.【详解】111cos1202()424a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯-=-r r r v故选：A【点睛】本题主要考查数量积的基本运算cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>r r r r rv ,属于基础题型.2.已知复数z 满足2zi i x =-+()x R ∈，若z的虚部为-2，则z =（ ）．A. 2B. 【答案】B 【分析】根据2zi i x =-+求得z 再根据虚部为-2求得x ,进而求得z【详解】由22,2i xzi i x z xi i-+=-+==--,又z 的虚部为-2,故2,2x x -=-= 故22z i =--,故z ==故选：B【点睛】本题主要考查复数的一般运算与模长公式等,属于基础题型.3.已知集合{}{}2230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =I （ ） A. [3,0]-B. [3,1]-C. [3,0)-D. [1,0)-【答案】C 【分析】解出集合,A B 中的范围,再求交集即可.【详解】由2230x x +-≤有(1)(3)0x x -+≤,即31x -≤≤,又ln()x -中0x ->即0x <. 故A B =I [3,0)- 故选：C【点睛】本题主要考查二次不等式的求解与集合的基本运算,属于基础题型. 4.过点(2,0)且与直线2410x y --=平行的直线方程是（ ） A. 210x y --=B. 240x y +-=C. 220x y --=D.220x y +-=【答案】C 【分析】根据平行线的斜率相等,再利用点斜式得出方程即可. 【详解】直线2410x y --=的斜率为12k =,故过点(2,0)的直线方程为10(2)2y x -=- 化简得220x y --= 故选：C【点睛】本题主要考查直线的方程,包括点斜式的用法与平行线的性质等,属于基础题型. 5.已知()sin()cos()f x x x ϕϕ=+++为奇函数，则ϕ的一个取值是（ ）A.2πB. 2π-C.4π D. 4π-【答案】D 【分析】利用奇函数在0处有定义时(0)0f =,化简得tan 1ϕ=-再观察满足的选项即可.【详解】由()sin()cos()f x x x ϕϕ=+++为奇函数知(0)sin cos 0f ϕϕ=+=,显然cos 0ϕ≠,故sin cos tan 1ϕϕϕ=-⇒=-,观察选项知ϕ的一个取值是4π- 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的同角关系与三角函数求值问题,属于基础题型.6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41a =，80S =，当n S 取最大值时n 的值为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【分析】利用等差数列求和公式知450a a +=,进而得出n S 取最大值时n 的值即可.【详解】因为80S =,所以188()02a a +=,即180a a +=,又1845450,1,1a a a a a a +=+=∴==-,故等差数列{}n a 公差20d =-<,当n S 取最大值时n 的值为4 故选：B【点睛】本题主要考查首项为正公差为负的等差数列的前n 项和的最大值问题,当10n n a a +≥⎧⎨≤⎩时取得前n 项和的最大值,属于基础题型. 7.若a b >，则（ ） A. a b > B. lg()0a b ->D. 22a b <【答案】C 【分析】对A,B 举反例说明即可,C,D 根据单调性进行分析即可. 【详解】对A,当1,2a b =-=-时a b <,故A 错误.对B, 当1,0a b ==时lg()lg10a b -==,故B 错误. 对C, a b >则33a b >即330a b ->成立,故C 正确. 对D,因为2xy =为增函数所以a b >时22a b >,故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查不等式的性质与函数的单调性等,属于基础题型.8.已知三棱锥A-BCD ，点E 、F 、G 分别是BC 、AC 、AD 的中点，直线AB 与CD 所成的角为60︒，则EFG Ð的大小是（ ） A. 30︒B. 60︒C. 60︒或120︒D. 30︒或150︒【答案】C 【分析】画出图像分析可得EFG Ð和直线AB 与CD 所成的角相等或者互补.【详解】由题得EF 为ABC ∆的中位线,故EF ∥AB ,同理得FG ∥CD ,故AB 与CD 所成的角为EF 与FG 所成的角,又EFG Ð和直线EF 与FG 所成的角相等或者互补. 即可能为60︒或120︒故选：C【点睛】本题主要考查立体几何中平行与角的运用,注意中位线的用法即可,属于基础题型.9.已知双曲线221:134x y C -=，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则双曲线2C 的离心率为（ ）或2【答案】B 【分析】由双曲线2C 的焦点在y 轴上,设22222:1y x C a b-=,则渐近线方程为a y x b =±.又渐近线与双曲线1C 相同,列出关于,a b 的关系式化简求离心率即可.【详解】因为双曲线2C 的焦点在y 轴上,故设22222:1y xC a b-=,则渐近线方程为a y x b =±.又渐近线与双曲线1C 相同为y x =,即a b =,故b a =故2C 的离心率2e ===故选：B【点睛】焦点在y 轴上的双曲线22221y xa b-=的渐近线方程为a y x b =±,双曲线离心率c e a ==属于基础题型. 10.已知在ABC ∆中,2BC CA =， 44C =︒，则ABC ∆三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角、直角或钝角三角形都可能【答案】C 【分析】判断三角形的形状求最大角A 的余弦值即可,利用余弦定理求解三边的关系,注意44C =︒接近45︒,故利用角,A C 的余弦定理结合cos45︒进行A 的余弦值范围的判断即可.【详解】设ABC ∆中,,A B C 的对边分别为,,a b c 则2a b =因为44C =︒,故cos cos 452C >︒=,即222222225cos (524a b c b c C c b ab b +--=>⇒>⇒<-.故222222223(53(2cos 02222b c a c b b b b A bc bc bc bc+-----==<=<即cos 0A <,故90A >︒为钝角 故选：C【点睛】本题主要考查解三角形中对三角形形状判断的应用,属于中等题型.11.过某一圆锥的高的中点和一个三等分点（该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近），分别作平行于该圆锥底面的平面，圆锥被分割成三个部分，则这三个部分的侧面积之比为（ ） A. 2:1:3 B. 2:3:6C. 4:5:27D. 4:9:36【答案】C 【分析】设底面半径为R ,母线长为l ,再分别表示出三部分的侧面积即可.【详解】设底面半径为R ,母线长为l ,则圆锥被分割成的三个圆锥的侧面积分别为1S Rl π=,2224R l Rl S ππ=⋅⋅=,3339R l RlS ππ=⋅⋅= 故圆锥被分割成三个部分的侧面积分别为11213'(1)44S S S Rl Rl ππ=-=-=, 223115'()4936S S S Rl Rl ππ=-=-=,33'9RlS S π==故侧面积比为321153':':'::4:5:279364S S S == 故选：C【点睛】本题主要考查立体几何中的比例关系,注意设半径与母线长分别表示需要表达的量再求比值即可,属于基础题型.12.已知点F 是椭圆22:142x y C +=的右焦点，斜率为(0)k k >的直线l 过点F 并与椭圆C 交于A 、B 两点， 且满足4AF FB =u u u r u u u r,则k 的值为（ ）A. 1 【答案】B 【分析】由题可设直线倾斜角为θ,再根据焦半径公式与4AF FB =u u u r u u u r求出cos θ,进而算得k 的值tan θ即可.【详解】因为22:142x y C +=,所以离心率2e =,设直线倾斜角为θ,由焦半径公式与4AF FB =u u u r u u u r得4344cos 1cos cos 1cos 1cos 55ep ep e e e e e θθθθθ=⇒-=+⇒==-+.故tan 6θ===,即斜率6k = 故选：B【点睛】本题主要考查焦半径公式的运用,属于中等题型. 二、填空题（共20分）13.已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线221yx m-=的离心率是_____．2【分析】由m 是2与8的等比中项算出4m =±,再分两种情况计算圆锥曲线221yx m-=的离心率即可.【详解】由m 是2与8的等比中项有22816m =?,故4m =±.当4m =时圆锥曲线方程2214y x -=,为焦点在x 轴的双曲线,其中1,a c ==此时离心率e =当4m =-时圆锥曲线方程2214y x +=,,为焦点在y 轴的椭圆,其中2,a c ==此时离心率e =2【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线方程运用,属于基础题型.14.设曲线3(1)ln y a x x =--在点(1,0)处的切线方程为22y x =-,则a =_______. 【答案】1 【分析】求导后代入1x =即可算得在点(1,0)处的切线斜率,与22y x =-斜率相等,列式求得a 即可. 【详解】由3(1)ln y a x x =--有1'3y a x=-,故在点(1,0)处的切线斜率为31a -,又切线方程为22y x =-,故312,1a a -== 故答案为：1【点睛】本题主要考查导函数的几何意义,在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率,属于基础题型.15.已知1sin 12αα-=-，则tan α=_______.【答案】- 【分析】将13sin cos 2αα-合一变形算得α的取值集合,再求tan α即可. 【详解】由13sin cos 12αα-=-得cos sin sin cos sin()1333πππααα-=-=-,故232k ππαπ-=-,即26k παπ=-,故tan ta 36n(2)3k παπ-=-= 故答案为：3-【点睛】本题主要考查辅助角公式与三角函数求值等,属于基础题型.16.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值； ②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；③对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG P 平面1EBD ； ④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值. 其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号） 【答案】①②④ 【分析】对①,将四棱锥11B BED F -分成两部分11B BED -与11B BD F -分析即可对②,根据线面垂直的判定,注意用到11B D BD ⊥再利用线面垂直与线线垂直的判定即可. 对③,举出反例即可.对④,四边形1BED F 的周长012()C BE ED =+,展开长方体分析最值即可.【详解】对①,111111112B BED F B BED B BFD B BED V V V V ----=+=,又三棱锥1111B BED E BB D =--底面11BB D 不变,且因为1CC ∥底面11BB D ,故E 到底面11BB D 的距离即11E BB D -上的高长度不变.故三棱锥11B BED -体积一定,即四棱锥11B BED F -的体积恒为定值,①正确. 对②,因为111BB B D =,且长方体1111ABCD A B C D -,故四边形11BB D D 为正方形,故11B D BD ⊥.要1B D ⊥平面1BD E 则只需1B D BE ⊥,又CD BE ⊥,故只需BE ⊥面1DCB . 又1B C ⊂平面1DCB ,故只需1BE B C ⊥即可.因为111BB B D BD BC ==>,故当1BB BCBC CE= 时存在点E ,使得1BE B C ⊥,即1B D ⊥平面1BD E .故②正确. 对③,当E 在C 时总有CG 与平面1EBD 相交,故③错误.对④,四边形1BED F 的周长012()C BE ED =+,分析1BE ED +即可.将矩形11BCC B 沿着1CC 展开使得B 在DC 延长线上时,此时B 的位置设为P ,则线段1D P 与1CC 的交点即为使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值时的唯一点E .故④正确.故答案为：①②④【点睛】本题考查立体几何中的垂直平行判定等,在证明垂直等问题时需要用到线线线面垂直的性质和判定等,对空间想象能力以及立体几何证明有一定的要求,属于难题. 三、解答题（共70分） （一）必考题：共60分17.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)用分层抽样方法在收看文艺节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ (2)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为大于40岁的概率． 【答案】（1）2名；（2）35. 【分析】(1)根据分层抽样的方法,用5乘以大于40岁的观众所占的比例即可.(2)用枚举法将所有可能的情况均列出来,再数出恰有1名观众的年龄为大于40岁的情况数,再利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】(1)大于40岁的观众中应抽取20550⨯=2名观众 (2)设5名观众中20至40岁的观众3人分别为,,A B C ,大于40岁的2人分别为(,)a b , 则任取2名所有可能的情况有：(,),A B (,),A C (,),A a (,),A b (,),B C (,),B a (,),B b (,),C a (,),C b (,),a b 共10种结果,每种结果发生的概率都是110,是古典概型. 抽取的3名观众中恰有1名观众的年龄为20至40岁包含(,),A a (,),A b (,),B a (,),B b (,),C a (,),C b 共6个基本事件,设“在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为大于40岁”的事件为A 则A 发生的概率63()105P A == 【点睛】本题主要考查分层抽样以及基本的古典概型方法,属于基础题型.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1616a a +=，315S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n n n S S b S S ++-=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+（2）11(1)(3)3n T n n =-++【分析】(1)用基本量法求解首项与公差即可算得通项公式 (2)由11111n n n n n n nS S b S S S S +++-==-⋅,裂项相消后代入n S 即可.【详解】解：(1)设数列{}n a 的公差为d ,则1125163315a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13a =,2d =,21n a n ∴=+. (2)由(1)知()()12321S 222n n n a a n n n n +++===+,11111n n n n n n nS S b S S S S +++-==-⋅Q ,1221321111111n n n n T b b b S S S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111(1)(3)3n S S n n +=-=-++. 【点睛】本题主要考查基本量法求等差数列的方法以及简单的裂项相消问题,属于基础题型. 19.如图，在四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形．且1SA AD ==，M 是SD 的中点，AN SC ⊥于点N ．（1）求证：SC AM ⊥； （2）求AMN V 的面积．【答案】（1）见解+析；（2）312AMN S =V 【分析】（1）先证明AM ⊥平面SCD ，即证SC AM ⊥；（2）先求出11312S ACM AMN V S SC -=⨯=V ，再求AMN V 的面积．【详解】（1）∵SA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴SA CD ⊥．∵CD AD ⊥，AD SA A ⋂=， ∴CD ⊥平面SAD ．∵AM ⊂平面SAD ，∴CD AM ⊥，又1SA AD ==，M 是SD 的中点，∴AM SD ⊥，∵SD CD D ⋂=， ∴AM ⊥平面SCD ，∵SC ⊂平面SCD ，∴SC AM ⊥．（2）∵M 是SD 的中点，∴S ACM D ACM M ADC V V V ---==， ∴1111113232212S ACM ACD V S SA -=⨯=⨯⨯=V ． ∵AN SC ⊥，AM SC ⊥，AN AM A ⋂=，∴SC ⊥平面AMN ， ∴13S ACM AMN V S SC -=⨯V ．∵3SC =∴AMN V的面积3S ACM AMN V S SC -==V ． 【点睛】本题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间几何体体积的计算和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，短轴长为2，离心率为2.直线11:22l y x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N . （1）求椭圆C 的方程；（2）若已知点(2,0)A ,求AMN ∆的面积.【答案】(1) 2214x y +=【分析】(1)由题意列出,,a b c 的关系求解即可.(2) AMN ∆面积可以利用x 轴分割开的两个小三角形面积之和表示,或者以MN 为底,A 到直线11:22l y x =-的距离为高求解. 【详解】(1)由题意得22222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩, 解得1b =,所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)方法1：由222114x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x,得28430y y +-=, 判别式2448(3)112∆=-⨯⨯-=,设点M ,N 的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,所以12y y -==所以AMN ∆的面积12(21)12y y S -⨯-==方法2：由22112214y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消去y,得22230x x --=,判别式2(2)42(3)28∆=--⨯⨯-=, 设点M ,N 的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,所以MN ==又因为点()2,0A 到直线11:22l y x =-的距离1d =,所以AMN ∆的面积11||2S MN d ==【点睛】本题主要考查椭圆的基本量运算以及简单的直线与椭圆的位置关系求有关面积的问题,属于基本题型.21.已知函数()ln f x x kx =+,()2g x x =.k ∈R .（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()f x g x ≤恒成立,求k 的取值范围.【答案】(1) 当0k ≥时无极值点, 当k 0<时,极大值点1k-,无极小值点. (2) (,1]-∞ 【分析】 (1)求导()1f x k x'=+后分0k ≥和k 0<进行讨论即可. (2)由题()2ln 00x x kx x -+≤>恒成立,故参变分离写成ln xk x x≤-形式,分析函数()ln (0)xh x x x x=->的单调性求最大值即可.【详解】(1)()ln f x x kx =+的定义域为()0,∞+,()1f x k x'=+, 当0k ≥ 时,()10f x k x+'=>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增,无极值点, 当k 0<时,解()10f x k x +'=>,得10x k <<-,解()10f x k x +'=<得1x k >-,所以()f x 在10,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,在1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以函数()f x 有极大值点1k-,无极小值点. (2)由条件可得()2ln 00x x kx x -+≤>恒成立, 则当0x >时,ln xk x x≤-恒成立, 令()ln (0)x h x x x x =->,则()221ln x x h x x-+=', 令()21ln (0)k x x x x =-+>,则当0x >时,()120k x x x+'=>,所以()k x 在()0,∞+上为增函数. 又()10k =,所以在()0,1上,()0h x '<；在()1,+∞上,()0h x '>. 所以()h x 在()0,1上为减函数；在()1,+∞上为增函数.所以()()min 11h x h ==,所以1k ≤.,故k 的取值范围是(,1]-∞. 【点睛】(1)根据导函数是否有零点对参数进行分类讨论.(2)恒成立问题利用参变分离转化为最值的讨论问题,同时注意导函数如果不能直接判断在区间上的正负,则还需对导函数进行求导分析.本题属于综合题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4ρ=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，()2,0P -，求PA PB ⋅. 【答案】(1) 直线l 的普通方程为0y -+=.圆C 的直角坐标方程为2216x y +=.(2)12【分析】(1)根据所给的参数方程消去参数t 即可.(2)将参数方程2x t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩改写成标准形式122x s y s⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(s 为参数),再代入C 求得交点的对应的参数关系与韦达定理.再利用直线的参数方程的几何意义求解PA PB ⋅即可. 【详解】(1)将直线l 的参数方程消去参数t , 得直线l 0y -+=.由4ρ=,得2216x y +=,则圆C 的直角坐标方程为2216x y +=.(2)将直线l 的参数方程变为1222x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(s 为参数),代入2216x y +=,得22120s s --=,则1212s s =-,故121212PA PB s s s s ⋅=⋅==. 【点睛】本题主要考查直线参数方程的几何意义,注意参数方程需写成标准的结构,参数才有几何意义.属于基础题型. 23.已知函数()2|1||1|f x x x =+--，x ∈R ．（1）求()1f x ≤的解集； （2）若()f x x a =-有两个不同的解，求a 的取值范围．【答案】(1)[4,0]- ;(2) (3,1)-【分析】(1)分1x ≥,11x -<<,1x ≤-三种情况进行去绝对值再写成分段函数分情况讨论即可. (2)画出()f x 的函数图像,数形结合判断()f x x a =-有两个不同的解即()f x 与y x a =-有两个交点时a 的取值范围即可.【详解】解：(1)由绝对值的意义可得：3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩,①当1x ≥时,31x +≤得：无解,②当11x -<<时,311x +≤,解得：10x -<≤, ③当1x ≤-时,31x --≤,解得：41x --≤≤,综合①②③可得()1f x ≤的解集为：{|40}x x -≤≤；(2)若()f x x a =-有两个不同的解,即()y f x =的图象与直线y x a =-有两个交点,当y x a =-过点(1,2)--时,1a =,当y x a =-与3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩中第一段重合时,3a =-结合图象可得31a -<<． 故a 的取值范围是(3,1)-.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及数形结合的思想,属于中等题型.。
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期中考试 文【会员独享】
大庆实验中学2011—2012年上学期高三期中考试数学试题（文科）说明：（1）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟；（2）答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应的位置．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合M={y|y = x 2}，N={y| x 2+ y 2=2 }，则M ∩N=（ ） （A ）{（1，1），（—1，1）} （B ） {1}（C ） [0，2]（D ） [0，2]（2）若1(,)1abi a b R i=+∈-，则复数a bi += （ ） （A ）1i + （B ）12i + （C ）2i - （D ）2i + （3）求和：1+3+5+┄+（4 n —3）=（ ）（A ）n （2n+1） （B ）（2n-1）2 （C ）（n+2）（2n+1） （D ）（2n+1）2（4）已知命题:(,0),23xxp x ∃∈-∞<，命题:(0,),tan sin 2q x x x π∀∈>，则下列命题为真命题的是（ ） （A ）p q ∧（B ） ()p q ∨⌝（C ） ()p q ⌝∧（D ）()p q ∧⌝（5）设y x ,是两个实数，命题：“y x ,中至少有一个数大于1．”成立的充分不必要条件是（ ） （A ）2=+y x（B ）2>+y x（C ）222>+y x （D ）1>xy（6）函数f （x ）＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间 （ ）（A ） （18，14）（B ） （14，12）（C ） （12，1）（D ） （1, 2）（7）若cos α+ sin α=tan α（0<α<21π）,则α∈（ ）（A ）（0，61π） （B ）（61π，41π）（C ）（41π，31π）（D ）（31π，21π）（8）若2,2,a b ==且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）（A ）4π（B ）3π（C ）32π （D ）65π（9） 函数sin()(0,||,)4y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图象如图所示，则函数为（ ）（A ） 4sin()84y x ππ=- （B ） 4sin()84y x ππ=-+（C ）4sin()84y x ππ=--（D ）4sin()84y x ππ=+（10）若ΔA 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于ΔA 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（ ）（A ） ΔA 1B 1C 1和ΔA 2B 2C 2都是锐角三角形 （B ）ΔA 1B 1C 1和ΔA 2B 2C 2都是钝角三角形（C ） ΔA 1B 1C 1是锐角三角形，ΔA 2B 2C 2是钝角三角形 （D ）ΔA 1B 1C 1是钝角三角形，ΔA 2B 2C 2是锐角三角形（11）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b]上是“亲密函数”，区间[a ，b]称为“亲密区间”．若2)(2++=x x x f 与12)(+=x x g 在[a ，b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是（A ）[0，2] （B ）[0，1]（C ）[1，2] （D ）[-1，0]（12）已知函数⎩⎨⎧>≤≤=1log 10 sin )(2010x x x x x f π，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是（ ）（A ）)2010,1( （B ） )2011,1( （C ）)2011,2( （D ）)2011,2[ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（13）若a 是1与3的等差中项，b 是a 与5的等比中项，则b =（14）已知ΔABC 中a=x ，b=2，B=450，若该三角形有两个解，则x 的取值范围是 （15）设f （x ）是定义在R 上的奇函数, 满足f （x-2）=－ｆ（x ）．当]1,1[-∈x 时,3)(x x f =,则下列四个命题： ①函数y=f （x ）是以4为周期的周期函数； ②当]3,1[∈x 时,3)2()(x x f -=;③函数y=f （x ）的图象关于x=1对称; ④函数y=f （x ）的图象关于点（3,0）对称．其中正确的命题序号是________________．（16）点P 是ΔABC 所在平面上任意一点，若存在非零实数m 1、m 2、m 3使m 1+m 2+m 3=，则ΔPAB 、ΔPBC 、ΔPAC 的面积比为 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16，第二个与第三个数和为12，求这四个数。
黑龙江省大庆实验中学高三上学期期中考试数学(文)试题.pdf
大庆实验中学2012—2013学年度高三上学期期中考试 数学试题（文） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 复数 （ ） A． B． C． D． 2. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) ①② ①③ ①④ ②④ 3. 已知命题：，命题Q：命题命题Q成立的充分不必要条件 B．必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件，，，…，，， 则 （ ） A．B． C．D． 5. 已知，则的值是 （ ） A． B． C． D． 6. 若的内角所对的边满足， 则的值为（ ） A． B． C．1D． 7. 设是等差数列的前项和，若，则 （ ） A． B． C． D． 8. 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ） A． B． C． D． 9. 如果数列满足是首项为1，公比为2的等比数列，则等于 A． B． C． D． 10. 已知都是正实数，且满足，则使恒成立的的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 11. 已知且，若函数在[3，4]是增函数，则的范围是（ ） （1，+∞） C． D． 12. 在正项等差数列中，前项和为，在正项等比数列中，前项和为， 若，，则 的取值范围是 ( ) A．(0，1)B．(，1)C．[1，＋∞]D．[，2] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 设等比数列的公比，前项和为，则的值为，，，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积为 15. 定义在上的函数存在极大值，则实数的取值范围是 16. 已知满足约束条件，若，则的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17.(本小题满分10分) 如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图， （Ⅰ）求该几何体的表面积； （Ⅱ）求该几何体的体积. 18.(本小题满分12分) 已知函数 （Ⅰ）的最小正周期； （Ⅱ），使不等式的取值范围.在中，角所对的边分别为，且满足，面积。
黑龙江省大庆中学高三上学期期中考试数学(文)试卷(有答案)
上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3.已知实数 , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则=y-的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π开始(5题图)6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知与y 之间的几组数据如表：则y 与的线性回归方程y b x a =+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ） A. sin y x = B. 3y x x =- C. 2x y = D.lg(y x = 9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b (0, +),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x x e f x e >+ 的解集为 （ ）A. {}|0x x >B. {}|0x x <C. {}|11x x x <->或D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f()，关于函数y=f()有下列说法： ①f()的值域为[0，2]； ②f()是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在轴上时，f()的图象与轴所围成的面积为83π+其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,3B b =-=，求∆ABC 的面积。
大庆实验中学数学高三上期中测试题(含解析)
一、选择题1．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S2．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20473．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C ．122D ．624．在ABC 中，4ABC π∠=，2AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．1010B ．105C ．31010D ．555．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．166．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．37．若ABC 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=,2ABCS =,则b =（ ）A ．5B ．25C ．41D ．528．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-39．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．71010．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．612．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5213．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S15．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．(22,10C ．()22,10D ．)10,8二、填空题16．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）17．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________． 18．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 19．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.20．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC AB+AB AC+BC 2AB⋅AC的最大值是__________． 21．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．22．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .23．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++等于__________．24．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 25．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．三、解答题26．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 27．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/minm，山路AC长为1260m，经测量12 cos13A=，3cos5C=．（1）求索道AB的长；（2）问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？28．设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n−1.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n.29．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，且211a=，7161S=．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若6512n nS a n>--，求n的取值范围；（3）若11nn nba a+=，求数列{}nb的前n项和nT．30．已知数列{}n a是等差数列，数列{}n b是公比大于零的等比数列，且112a b==, 338a b==.（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式;（2）记nn bc a=，求数列{}n c的前n项和n S.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．A4．C5．A6．A7．A8．D9．B10．B11．B12．B13．C14．D15．B二、填空题16．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题17．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等；18．7【解析】由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3(n≥2)两式相减得2an＋1－2an＋an＝0化简得2an＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a119．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数20．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB⋅AC= bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c21．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据22．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行23．50【解析】由题意可得=填5024．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误25．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由已知条件判断出公差0d<，对20191 <-aa进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.2．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.3．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.4．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC =∠sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.5．A【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+ 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈ 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2AB -()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x ，则(1,3)A =-.由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-.所以=1,2AB -().因为不等式2+0x ax b +<的解集为AB ,所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.7．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 8．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．9．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==,从而可得：30BAC ∠= 由正弦定理，得：56sin 45sin 30AB =， 103AB ∴=那么在Rt ADB ∆中，60ABD ∠=,3sin 6010315AD AB ∴===， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．10．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=，所以，(1)2x y ++=，则141441412()[(1)]()52591111x y x yx y x y x y y x y x+++=+++=+++=++++，所以，14912 x y++，当且仅当4111x yy xx y+⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y++的最小值为92，故选B．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．11．B解析：B【解析】【分析】【详解】由z＝x＋3y得y＝－13x＋3z，先作出{xy x≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.12．B解析：B【解析】【分析】设f（x）1221x x=+-，根据形式将其化为f（x）()1152221x xx x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2，得到f（x）的最小值为f （13）92=，再由题中不等式恒成立可知m≤（1221x x+-）min，由此可得实数m的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．13．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.14．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.15．B解析：B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a ⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<.二、填空题16．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题解析：128【解析】 【分析】 由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题17．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；18．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7 【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n n S S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 19．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析：[]20,30【解析】 【分析】先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x()f x 达到最小，得到()()56f f ≤，()()54f f ≤，解得即可.【详解】 ∵()3af x x x=++，*x ∈N ， ∴()2221a x af x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 为增函数， 最小值为()()min 14f x f a ==+，不满足题意， 当0a >时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，函数()f x在区间(上单调递减，当x ()0f x '>，函数()f x在区间)+∞上单调递增，∴当x =()f x 取最小值，又*x ∈N ，∴x()f x 达到最小， 又由题意知，5x =时取到最小值，∴56<<或45<≤，∴()()56f f ≤且()()54f f ≤，即536356a a ++≤++且534354a a++≤++， 解得2030a ≤≤.故实数a 的所有取值的集合为[]20,30. 故答案为：[]20,30. 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题.20．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析：2√2【解析】试题分析：由题意得12bcsinA =12a 2⇒bcsinA =a 2，因此AC AB+AB AC+BC 2AB⋅AC=b c+cb+a 2bc=b 2+c 2+a 2bc=a 2+2bccosA+a 2bc=2cosA +2sinA ≤2√2,从而所求最大值是2√2考点：正余弦定理、面积公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.21．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】 【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】 1112222n n nn b b b H n-++++==,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅,故2121()(22212)n n n b b n b n --⋅++=-≥+,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35． 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.22．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：4[,13]5【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域，由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22xy+的最小值，为2455=，原点到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为22x y +的最大值为13，因此22xy +的取值范围为4[,13].5【考点】 线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.23．50【解析】由题意可得=填50解析：50 【解析】由题意可得51011912a a a a e ==，1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===，填50.24．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误解析：①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为，，所以，所以，故①项正确； 对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误； 而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；对于④：()3322()a b a b a ab b +=+-+22()3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故④项错误； 对于⑤1a +1a =a b ab +=2ab≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.25．【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析：23π【解析】由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571cos 2352C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为2π3.三、解答题26．（1）6n a n =-；（2）552-. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式． （2）推出112n S n n -=，令n n Sc n =，得到{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ，又∵d ≠0，可得a 1=-5d ；而51545152S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6， 即数列{a n }的通项公式为a n =n -6．（2）因为()2111122n n n n nS na d ⋅--=+=，所以112n S n n -=， 令nn S c n =，则112n nc c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 【点睛】本题主要考查了等差数列以及等比数列的综合应用，以及等差数列求和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及利用等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．27．（1）=1040AB m （2）3537（3）1250625[,]4314（单位：m/min ） 【解析】 【分析】 【详解】（1）在ABC ∆中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4sin 5C =， 从而[]sin sin ()B A C π=-+sin()A C =+5312463sin cos sin cos 13513565A C C A =+=⨯+⨯=．由正弦定理sin sin AB AC C B=，得12604sin 104063sin 565AC AB C B =⨯=⨯=（m ）． （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯2200(377050)t t =-+， 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 故当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=， 得12605sin 50063sin 1365AC BC A B=⨯=⨯=（m ）． 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：/min m ）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.28．(1)a n =3n−1;(2)T n =94−6n+94×3.【解析】 试题分析：(1)由题意结合通项公式与前n 项和的关系可得a n =3n−1;(2)结合(1)中求得的通项公式和所给数列通项公式的特点错位相减可得数列{b n }的前n 项和T n =94−6n+94×3n.(3) 试题解析：(Ⅰ)由2S n ＝3a n －1 ①2S n －1＝3a n －1－1 ②②-①得2a n ＝3a n －3a n －1，∴＝3，(n ≥2)又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，（符合题意）∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n ＝∴T n ＝＋＋＋…＋，…………………③ T n ＝＋＋…＋＋，………④ ③－④得：T n ＝＋＋＋…＋－ ＝－＝－∴T n ＝－.29．（1）61n a n =-；（2）9n ≥且*n N ∈；（3）5(65)n n T n =+． 【解析】【分析】（1）首先根据题意列出方程217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解方程组再求n a 即可. （2）首先计算n S ，再解不等式6512n n S a n >--即可.（3）首先得到11166(1)65n b n n =--+，再利用裂项法即可得到前n 项和n T 的值. 【详解】（1）由题意得217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得156a d =⎧⎨=⎩ 所以61n a n =-． （2）由（1）得2(1)56322n n n S n n n -=+⨯=+， 因为6512n n S a n >--，即2329180n n -+≥. 解得23n ≤或9n ≥， 因为1n ≥且*n ∈N ，所以n 的取值范围为9n ≥且*n ∈N . （3）因为11111611()()6(615)566n n n b a a n n n n +===--+-+，所以1111111[()()()]651111176165n T n n =-+-+⋯+--+ 1116565(5)65)(n n n -==++ 【点睛】本题第一问考查等差数列通项公式的求法，第二问考查等差数列前n 项和n S 的求法，第三问考查裂项法求和，属于中档题.30．（1）31,2n n n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且． 由，得，解得． 所以． 由，得，又，解得． 所以． （2）因为， 所以．。
黑龙江省大庆实验中学高三上学期期中考试数学文试题扫描含答案
大庆实验中学2019-2020学年度上学期期中考试 高三数学（文科）试题答案1-12：ABCCD BCCBC CB 532 14.1 15.3 16. ①②④ 17. 【答案】（I ）1；（II ）35. （I ）大于40岁的观众中应抽取2名观众 （II ）5名观众中任取2名有10种结果，每种结果发生的概率都是110， 是古典概型.抽取的3名观众中恰有1名观众的年龄为20至40岁包含6个基本事件， 所以其发生的概率是610，既35. 18.解：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，则1125163315a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13a =，2d =，21n a n ∴=+. （II ）由（1）知()()12321S 222n n n a a n n n n +++===+， 11111n n n n n n nS S b S S S S +++-==-⋅Q ， 1221321111111n n n n T b b b S S S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111(1)(3)3n S S n n +=-=-++. 19. 【详解】()I SA ⊥Q 底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，SA CD ∴⊥，CD AD Q ⊥，AD SA A ⋂=，CD ∴⊥面SADAM ⊂Q 面SAD ，CD AM ∴⊥，又SA AD 2==，点M 是SD 的中点，AM SD ∴⊥，SD CD D ⋂=Q ，AM ∴⊥面SCD ，SC ⊂Q 面SDC ，SC AM.∴⊥()II M Q 是SD 的中点，S ACM D ACM M ADC V V V ---∴==， ∴S ACM ACD 11111V 21S SA 111323212-=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=V ， AN SC ⊥Q ，AN AM A ⋂=，SC ∴⊥面AMN ，S ACM AMN 1V S SC 3-∴=⋅V ， 222SC 1113=++=QAMN ∴V 的面积S ACM AMN 3V 3S SC -==V 20．解：（I ）由题意得222223b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩， 解得1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （II ）方法1：由222114x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x,得28430y y +-=, 判别式2448(3)112∆=-⨯⨯-=，设点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，所以127y y ∆-==， 所以AMN ∆的面积127(21)12y y S -⨯-== 方法2：由22112214y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y,得22230x x --=, 判别式2(2)42(3)28∆=--⨯⨯-=，设点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，所以2211281()1()222MN ∆=+=+⋅， 又因为点()2,0A 到直线11:22l y x =-的距离21211()2d =+， 所以AMN ∆的面积221128721()211()211||22S MN d =+⋅=⋅=+. 21. （I ）的定义域为，，当时，，所以在上单调递增，无极值点，当时，解，得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值点，无极小值点.（II ）由条件可得恒成立，则当时，恒成立， 令，则， 令， 则当时，，所以在上为增函数. 又，所以在上，；在上，. 所以在上为减函数；在上为增函数. 所以，所以.，故k 的取值范围是(,1]-∞.22.解：（I ）将直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 330x y -+=.由4ρ=，得2216x y +=，则圆C 的直角坐标方程为2216x y +=.（II ）将直线l 的参数方程变为1223x s y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数），代入2216x y +=，得22120s s --=，则1212s s =-， 故121212PA PB s s s s ⋅=⋅==.23. 【答案】(I)[4,0]- ;(II)（-3,1）解：（I ）由绝对值的意义可得：3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，①当1x ≥时，31x +≤得：无解，②当11x -<<时，311x +≤，解得：10x -<≤，③当1x ≤-时，31x --≤，解得：41x --≤≤，综合①②③可得()1f x ≤的解集为：{|40}x x -≤≤；（II ）若()f x x a =-有两个不同的解，即()y f x =的图象与直线y x a =-有两个交点，当y x a =-过点(1,2)--时，1a =，当y x a =-与3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩中的第一段重合时，3a =-结合图象可得31a -<<．故a 的取值范围是（-3,1）.。
黑龙江省大庆市第三十五中学2012届高三上学期期中考试数学(文)试题
高三数学文科期中试题时间：120分钟 总分：150分一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，把答案填入答题卡中. 1．已知集合{}R x x x A ∈≤=,2,{|4,}B x x Z =≤∈,则A B ⋂=( ）A ．（0，2)B 。
［0,2]C 。
{0，2｝ D.｛0,1,2}2. 在△ABC 中,sin 2cos cos cos 2sin sin A C A AC A+=-是角A 、B 、C 成等差数列的( )A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知a 是函数x x f x21log 2)(-=的零点,若a x <≤00，则)(0x f 的值满足（)A ．0)(0=x f B ．0)(0>x f C ．0)(0<x f D ．)(0x f 的符号不确定4．下列函数中，同时具有性质:（1)图象过点(0，1）；（2）在区间（0，＋∞）上是减函数；(3）是偶函数。
这样的函数是 （ ) A.y ＝x 3＋1 B 。
y ＝log 2(｜x |＋2) C 。
y ＝（错误!）|x | D 。
y ＝2|x ｜5．函数32()f x xbx cx d =+++图象如图,则函数)332(log 22c bx x y ++=的单调递减区间为（ ）A 。
),21[+∞ B 。
),3[+∞ C 。
]3,2[- D6.设变量x ，y 满足约束条件：123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩z=2x+3y 的最小值为（ ）A.6 B 。
7 C 。
8 D 。
23AC D7．设数列{}na 中,32,211+==+n n a a a， 可能是则通项n a ()A ．n 35-B ．1231-⋅-nC ．235n - D ．3251-⋅-n8．函数y=sin 2x + 2cos x （343ππ≤≤x ）的最大值与最小值分别（ ）A ．最大值47,最小值为－41B ．最大值为47，最小值为－2C ．最大值为2，最小值为－41 D ．最大值为2，最小值为－29．已知33cos cos ,36sin sin =+=+βαβα，则=-2cos 2βα（ ）A ．43 B ．21 C ．14D ．16110。
黑龙江省大庆实验中学高三11月月考(期中)数学(文)试题
黑龙江省大庆实验中学高三11月月考（期中）数学（文）试题2021——2021学年度高三上学期数学〔文〕试题一、选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分.每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.〕1．集合{}2,1,0,1A =--，{}|1B x y x ==+那么A B =( )A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}0,1D ． {}1,0,1- 2．双数z 满足(34)12i z i -=+那么z 的共轭双数是〔 〕 A ．1255i -- B ．1255i -+ C ．1255i + D ． 1255i - 3. 设a ，b R ∈，假定a b >，那么〔 〕 A.11a b< B. 22a b > C. lg lg a b > D. sin sin a b > 4．等比数列{}n a 中，，，那么〔 〕A ． 2B ．C ．D ． 4 5．平面向量满足,假定，那么向量的夹角为( )A ．B ．C ．D ． 6．函数，那么的极大值为〔 〕A. 2B.C.D. 7．设，满足约束条件那么目的函数的取值范围是〔 〕 A ． B ． C ． D ． 8．设函数()2121x x f x e e x -=+-+，那么使得()211f x ->成立的x 的取值范围是〔 〕A ． 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ． ()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()1,+∞D ． 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．函数的图象向右平移个单位长度后失掉的函数图象关于轴对称，那么函数在上的最大值与最小值之和为〔 〕A ．B ． -1C ． 0D ．10．圆C 的方程为2220x x y -+=，直线:220l kx y k -+-=与圆C 交于A ，B 两点，那么当ABC ∆面积最大时，直线l 的斜率k =〔 〕A ． 1B ． 6C ． 1或7D ． 2或611．函数()f x = 3231ax x -+，假定()f x 存在独一的零点0x ，且00x >，那么a 的取值范围为〔 〕A. ,2-∞-（）B. ,1)-∞-（C. ()1,+∞D. ()2,+∞ 12．函数()2ln f x a x x =-,在区间(0,1)内任取两个实数,p q ,且p q >，假定不等式()()112f p f q p q+-+>-恒成立，那么实数a 的取值范围是( )A. ()12,+∞B. [)12,+∞C. ()24,+∞D. [)24,+∞ 二、填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分.〕13．双曲线的方程为221925y x -=，那么其渐近线方程为 . 14．如图，与有一个公共顶点，且与的交点平分，假定，那么的最小值为 .15．观察以上等式3333235,37911,413151719,52123252729,...=+=++=+++=++++， 假定相似下面各式方法将3m 分拆失掉的等式左边最后一个数是109, 那么正整数m =_________.16．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点和右焦点，上顶点为A ，2AF 的中垂线交椭圆于点B ，假定左焦点在线段AB 上，那么椭圆离心率为_________.三、解答题〔此题共6小题，17题10分，其他每题12分，共70分.〕17．公差不为0的等差数列{}n a 的首项11a = ,且126,,a a a 成等比数列. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式; 〔2〕记 11n n n b a a +=求数列{}n b 的前项和. 18．设曲线C ：22250x y ax +-+=． 〔1〕假定曲线C 表示圆，务实数a 的取值范围；〔2〕事先3a =，假定直线l 过点(2,2)，且l 与曲线C 交于两点，，求直线l 的方程．19．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边区分为,,a b c []cos()cos 23sin cos a B C A b C A -+=. 〔1〕求角；〔2〕假定的周长为8，外接圆半径为，求的面积.20. 〔本小题总分值12分〕函数ax x x x f +-=2ln 2)( (a 为常数)．〔1〕事先2=a ，求函数)(x f 的图像在1=x 处的切线的方程；〔2〕假定函数],1[0)(e em ax x f 在=+-上有两个不等的实数根，务实数m 的取值范围. 21．函数()ln ,f x x ax a a R =-+∈ 〔1〕求函数的单调区间；〔2〕事先，函数的图象恒不在轴的上方，务实数的取值范围. 22.如图，椭圆E 的左右顶点区分为A B 、，左右焦点区分为12F F 、，12||4,23AB F F ==.〔1〕求椭圆E 的规范方程； 〔2〕直线(0)y kx mk =+>交椭圆于C D 、两点，与线段12F F 及椭圆短轴区分交于M N 、两点〔M N 、不重合〕且CN MD =．求k 的值；〔3〕在〔2〕的条件下，假定0m >，设直线,AD BC 的斜率区分为12,k k ，求2122k k 的取值范围．月考数学〔文〕试题答案 一选择题DABAC BADBC AB 二填空题〔13〕. 35xy =± 〔14〕. 3222+ 〔15〕10 〔16〕33三解答题 17．〔Ⅰ〕设等差数列{a n }的公差为d 〔d≠0〕， 首项a 1=1，且a 1，a 2，a 6成等比数列， a 22=a 1a 6，可得〔a 1+d 〕2=a 1〔a 1+5d 〕， 可得d 2=3a 1，即d=3〔0舍去〕， 可得a n =3n ﹣2； 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，18． (1)或.(2) 0,34140x x y =+-= 19． 〔1〕由， 得，即，所以即，由于，所以.由正弦定理得， 由于，所以，所以，得.〔2〕由于的外接圆半径为， 所以，所以，由余弦定理得所以，得，所以的面积. 20.．解：〔1〕事先2a =，2()2ln 2f x x x x =-+，2()22f x x x'=-+，切点坐标为(1,1)， 切线的斜率(1)2k f '==，那么切线方程为12(1)y x -=-， 即21y x =-．………………….4分 〔2〕方程()0f x ax m -+= 即为22ln 0x x m -+=，令2ln 2)(x x x g -=， 那么22(1)(1)()2x x g x x x x-+-'=-=， 由于1[,e]e x ∈，故()0g x '=时，1x =．事先11ex <<，()0g x '>；事先1e x <<，()0g x '<．故函数()g x 在1x =处取得极大值1)1(-=g ，………..8分 又212)1(ee g --=，22)(e e g -=，2211(e)()4e 0e e g g -=-+<， 那么1(e)()eg g <故函数()g x 在1[,e]e 上的最小值是(e)g ．……………………….10分方程()0f x ax m -+=在1[,e]e 上有两个不相等的实数根，那么有1122-<-≤--m e，故实数m 的取值范围是21(1,2]e +． ………………………12分 21〔1〕∵，∴．①事先，那么，所以在上单调递增；②事先，那么由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减．综上，事先，的单调递增区间为；事先，的单调递增区间为，单调递减区间为.〔2〕由题意得，∵事先，函数的图象恒不在轴的上方， ∴在上恒成立． 设，那么.令，那么，①假定，那么，故在上单调递增，∴，∴在上单调递增，∴，从而，不契合题意．②假定，事先，，在上单调递增，∴，∴在上单调递增，∴,从而在上，不契合题意；③假定，那么在上恒成立，∴在上单调递减，∴，∴在上单调递减，∴，从而恒成立．综上可得实数的取值范围是.22解：〔1〕由，可知，那么b=1，即椭圆方程为…..…..〔4分〕〔2〕设D〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕易知…．〔5分〕由消去y整理得：〔1+4k2〕x2+8kmx+4m2-4=0，由△＞0⇒4k2-m2+1＞0即m2＜4k2+1，…〔6分〕且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．〔8分〕〔3〕，由题知，点M、F1的横坐标，有，易知满足m2＜2．即，那么…〔11分〕．所以…..〔12分〕．。
黑龙江省大庆实验中学高三上学期期中考试试题——数学
黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知全集，集合，，则（ ）A ．{1}B ．{1，5}C ．{1，3，5}D ．{1，4}2．命题“2,320x R x x ∃∈-+=”的否定是 （ ）A ．2,320x R x x ∀∈-+=B ．2,320x R x x ∃∈-+≠C ．2,320x R x x ∃∈-+>D ．2,320x R x x ∀∈-+≠3．已知，，．则（ ）A ．B ．C ．D ．4．过点且平行于直线的直线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，则θθθθ22cos 2cos sin sin -+等于（ ）A ．1B ．C ．D ．6．直线与圆相交于A ，B 两点，则弦|AB|=（ ）A ．B ．C ．D ．7．若幂函数的图像经过点，则它在点A 处的切线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知，，则（ ）A ．B ．C ．1D ．9．直线与抛物线相交于A,B 两点，则线段AB 的中点P 的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为（ ）A ．B ．C ． D.11．设分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点Ｐ，满足，且到直线的距离等于，则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）A ．B ．()11cos 263f f ⋅>⎪⎭⎫⎝⎛π C ． D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数()()()2200x x f x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则________。
14．tan 70tan 503tan 70tan 50+-+的值为________。
15．在极坐标系中,为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为．在以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 231（t 为参数），直线与圆C 相交于A ，B 两点，已知定点,则|MA|·|MB|=________。
黑龙江省大庆中学高三上学期期中考试数学(文)试卷(有答案)
上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3.已知实数 , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则=y-的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π开始(5题图)6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知与y 之间的几组数据如表：则y 与的线性回归方程y b x a =+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ） A. sin y x = B. 3y x x =- C. 2x y = D.lg(y x = 9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b (0, +),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x x e f x e >+ 的解集为 （ ）A. {}|0x x >B. {}|0x x <C. {}|11x x x <->或D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f()，关于函数y=f()有下列说法： ①f()的值域为[0，2]； ②f()是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在轴上时，f()的图象与轴所围成的面积为83π其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,3B b =-=，求∆ABC 的面积。
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期中考试 理
黑龙江省大庆实验中学高三数学上学期期中考试 理【会员独享】一、选择题（每小题5分，共60分） 1．已知复数_212iz i+=-，其中i 是虚数单位，则复数z = （ ）A ．35i -B ．35iC ．i -D ．i2．已知0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9, 1.1a b c ===，则（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >> 3．满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1，a 2}的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数y ＝f （x ）在定义域（－32，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为（ ） A ．[－13，1]∪[2，3）B ．[－1，12]∪[43，83]C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－13]∪[12，43]∪[43，3）5．已知数列﹛n a ﹜为等比数列，且2113724a a a π+=，则212tan()a a 的值为（ ）AB ．C ．D ．-6．14 P ＝{a |a＝（－1,1）＋n （1,2），n ∈R}，Q ＝{b |b ＝（1，－2）＋n （2,3），n ∈R}是两个向量集合， 则P ∩Q 等于（ ） A ．{（1，－2）} B ．{（－23，－13）}C ．φD ．{（－13，－23）}7．若定义在R 上的二次函数2()4f x ax ax b =-+在区间[]02，上是增函数，且()(0)f m f ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．04m ≤≤B ． 02m ≤≤C ． 0m ≤D ． 0m ≤或4m ≥8．下列命题错误的是（ ） A ．若),(42sin 2)(R x xx x f ∈+=则1)(0/≤≤x fB ．点)0,83(π为函数)42sin(2)(π+=x x f 的图象的一个对称中心 C ．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若2||,1||==b a ，则b 在a 上的投影为1D ．ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件9．定义在R 上的函数)(x f y =满足()()f x f x -=-，()()11f x f x +=-．当x ∈(]0,1时，1)(+=x x f ，则()2010f 的值是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．210．直线2y x =与抛物线23y x =-围成的封闭图形的面积是（ ）A ．23B ．323C ． 23-D ．35311． 如果函数()22f x x a x =+--()0a >没有零点，则a的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．()0,1()2,+∞C ．()0,1()2,+∞D ．()0,2()2,+∞12．已知数列的通项为，下列表述正确的是（ ）A ． 最大项为0，最小项为B ． 最大项为0，最小项不存在C ． 最大项不存在，最小项为D ． 最大项为0，最小项为二、填空题（每小题5分，共20 分）13．若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域为_______． 14．．已知(2)1(1)()(1)xa x x f x ax -+<⎧=⎨≥⎩满足对任意121212()(),0f x f x x x x x -≠>-都有成立，那么a 的取值范围是_______． 15．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ．16．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知向量25(cos ,sin ),(cos ,sin ),5a b a b ααββ==-=，（1）求cos()αβ-的值 （2）若50,sin 2213ππβαβ-<<<<=-，求sin α的值． 18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为)(3,1,*11N n S a a S n n n ∈==+．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n a b 4log =,试比较2)1( (2)21-+++n b b b n 与的大小．19．（本小题满分12分）已知函数)(,21cos 2sin 23)(2R x x x x f ∈--=（1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数)(x f 的最小值和最大值； （2）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且0)(,3==C f c ，若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值．20．（本小题满分12分）设a ∈R，函数1()2x f x e -=（12++a ax ），其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ） 判断函数)(x f 在R 上的单调性;（Ⅱ） 当01<<-a 时，求函数)(x f 在[1，2]上的最小值．21．（本小题满分12分）设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且2113424n n n S a a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在等比数列{b n }，使a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n =（2n －1）·2n ＋1＋2对一切正整数都成立？并证明你的结论． （31(*)1n n a =∈+N ，且数列{c n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与16的大小．22．（本小题满分12分）已知函数x x x f ln )(=的图象为曲线C , 函数b ax x g +=21)(的图象为直线l ． （Ⅰ） 当3,2-==b a 时, 求)()()(x g x f x F -=的最大值; （Ⅱ）设直线l 与曲线C 的交点的横坐标分别为21,x x , 且21x x ≠,求证: 2)()(2121>++x x g x x ．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．C 2．C 3．B 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．B 10．B 11．Ｃ 12． Ａ 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．[)1,0 14．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,2315．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ 16．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2三、解答题（共6小题，共70分）17． （本小题满分10分）解：（1）∵255a b -=，∴22425a ab b -+= 又(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ==∴42351,cos()25a b a b αβ-===-== ……………………5分 （2）∵50,sin 2213ππβαβ-<<<<=-∴0αβπ<-<，由（1）得()3cos ,5αβ-=从而()4sin 5αβ-=又5sin 13β=-，得12cos 13β=代入，可得[]33sin sin ()65ααββ=-+=……………………10分 18．（本小题满分12分）解: （Ⅰ） 由n n S a 31=+ （1） 得123++=n n S a （2） （2）-（1）得 1123+++=-n n n a a a , 整理得412=++n n a a （)*∈N n ∴数列 ,,,,,432n a a a a 是以4为公比的等比数列．其中,333112===a S a ,所以，⎩⎨⎧⨯=-2431n n a ),2()1(N n n n ∈≥= …………………………6分 （2⎩⎨⎧≥-+==)2()2(3log )1(04n n n b n 2)1(.......2)1()]1(49[log 2)1()]1(13log 2[2)1(2)1)(2(3log )1()2(3log .......13log 03log 0.......,202)11(,122124444442121-≥+++∴->-+-=-+--=--+-=-++++++=+++≥=-==∴n b b b n n n n n n n n n b b b n b n n n…………………………12分19． （本小题满分12分）解:（I）1)62sin()(--=πx x f …………………………3分12512ππ≤≤-x32623πππ≤-≤-∴x ∴⇒≤-≤-1)62sin(23πx 01)62sin(231≤--≤--πx 则)(x f 的最小值是231--,最大值是0． ……………………6分（II ）01)22sin()(=--=πC c f ,则1)62sin(=-πC ,0,022C C ππ<<∴<<,611626πππ<-<-∴C ,26C π∴-=2π,3C π=, ……………………8分向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线∴1sin 2sin AB =， ……………………10分由正弦定理得，21=b a ① 由余弦定理得，3cos2222πab b a c -+=，即322=-+ab b a ②由①②解得2,1==b a ． ……………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）)12(21221)1(21)(22--+-=⋅+++-='---a ax ax e ax e a ax e x f x x x ． (2)分由于021>-xe , 只需讨论函数12)(2--+-=a ax ax x g 的符号: 当a = 0时, 01)(<-=x g ，即0)(<'x f ，函数)(x f 在R 上是减函数；当a >0时, 由于04)(4422<-=+-=a a a a ∆，可知0)(,0)(<'<x f x g 即，函数)(x f 在R 上是减函数； ……………4分当a <0时, 解0)(=x g 得a ax -±=1，且a aa a --<-+11．在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞-a a 1,和区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞--,1a a 上，0)(,0)(>'>x f x g 即，函数)(x f 是增函数；在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a 1,1上，0)(,0)(<'<x f x g 即， 函数)(x f 是减函数．……7分综上可知：当a ≥0时，函数)(x f 在R 上是减函数；当a <0时,函数)(x f 在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞-a a 1,上是增函数； 在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a 1,1上是减函数；在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞--,1a a 上是增函数． （Ⅱ） 当01<<-a 时，21,11>--<-+a aaa,所以, 函数)(x f 在区间[1，2]上是减函数，其最小值是2215)2(e a f +=． ……………12分2211111112111112311112211321(1) 424113,()(2)0.4240,2,{}.1130,3,2 1.424(2)12,2(211)26,2(2n n n n n n n n n n n n n n n n S a a S a a a a a a a a a a a a S a a a a n n a b a b a b +++++++=+-=+-+--=+>=+==+->∴==+==⨯-+=+=⨯解∶由得相减并整理为又由于则故是等差数列故当时、、112112223123234121)226. (5),2, 4. 22(21)2.(7)325272(21)22(21)2325272(21)2,2325272(21)2, (21)2n n n n n n n n n b b b a b a b a b n n n S n S n S n +++-+====+++=-++++++=-+=+++++=+++++∴=+分可解得猜想使成立分下面证明恒成立令①②②-①可得111212222(21)2 2. (10)11111(3)(),(21)(23)22123(22)11111111111()(),235572123232361. (146n n n n n n n n c n n n n n T c c c n n n T +++-+=-+=<=-+++++=+++<-+-++-=-<+++<分则故即)分22．（本小题满分12分）解：（1）3ln )(3,2+-=∴-==x xxx F b a10ln 11ln 1)(222=⇒=--=--='x xx x x x x F )(,0)(),1,0(x F x F x '>'∈单调递增， )(,0)(),,1(x F x F x '<'+∞∈单调递减， 2)1()(max ==F x F ……………6分（2）不妨设21x x <，要证2)()(2121>++x x g x x 只需证2)(21)(2121>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++b x x a x x⇒+>++21212)(21x x b x x a 2112122122)(2)()(21x x x x x x b x x a +->-+-2112121222)(2)21(21x x x x bx ax bx ax +->+-+b ax x x +=11121ln b ax x x +=22221ln 121212)(2ln ln x x x x x x +->-，即121212)(2ln x x x x x x +->)(2ln )(121212x x x xx x ->+ 令)(2ln)()(111x x x xx x x H --+= ),(1+∞∈x x 只需证)(0)(2ln)()(1111x H x x x xx x x H =>--+= 1ln)(11-+='xx x x x H 令 1ln )(11-+=x x x x x G 0)(21>-='xx x x G )(x G 在),(1+∞∈x x 单调递增。
2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高三(上)期中数学试卷(文科)
2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x ∈N||x|≤2}，B ={y|y =1−x 2}，则A ∩B =( )A. {x|−2≤x ≤1}B. {0,1}C. {1,2}D. {x|0≤x ≤1}2. 已知复数z 满足z(1−i)=2i ，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若0<b <1，则“a >b 3”是“a >b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数f(x)=x 2+ln|x|x的图象大致为( )A.B.C.D.5. 若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A. 若α⊥β，m ⊥β，则m//αB. 若m//α，n ⊥m ，则n ⊥αC. 若m//α，n//α，m ⊂β，n ⊂β，则α//βD. 若m//β，m ⊂α，α∩β=n ，则m//n6. 设x ，y 满足约束条件{x +y ≤43x +y ≥2x −y ≤2，则z =3x −y 的最大值为( )A. 4B. 6C. 8D. 107. 在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F.若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =( )A. 1B. 59 C. −13 D. −598. 已知函数f(x)=ln(x +√x 2+1)，若正实数a ，b 满足f(4a)+f(b −1)=0，则1a +1b的最小值为( )A. 4B. 8C. 9D. 139. 已知tanθ+1tanθ=4，则cos 2(θ+π4)=( )A. 12B. 13C. 14D. 1510. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥ABCD ，NB ⊥ABCD.且MD =NB =1.则下列结论中：①MC ⊥AN②DB//平面AMN ③平面CMN ⊥平面AMN④平面DCM//平面ABN 所有假命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知函数f(x)=√3cos(2x −π2)−cos2x ，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象( )A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度D. 向右平移π12个单位长度12. 已知函数f(x)=xlnx +ae x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1e )B. (0,1e )C. (−1e ,+∞)D. (−1e ,0)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知A(−1,0)，B(1,2)，C(1,t)，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则t 的值是______ ．)的14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2部分图象如图所示，则f(x)=______ ．15.等差数列{a n}中，其前n项和为S n，满足a3+a4=12，a5=9，则S7的值为______ ．16.中国古代数学经典《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biēnào).若三棱锥P−ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA=2，AB=3，AB⊥BC，该鳖臑的外接球的表面积为29π，则该鳖臑的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a5=16，S6=36．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1，求{b n}的前n项和T n．a n⋅a n+118.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为b2．3sinB(1)求sin A sin C；(2)若cosAcosC=1，b=3，求a+c的值．619.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，E，F分别为AB，B1C1的中点．(Ⅰ)求证：B1E//平面ACF；(Ⅱ)求三棱锥B1−ACF的体积．20.在数列{a n}中，a1=1，a2=3.a n+2=3a n+1−2a n−n+1．(1)证明{a n+1−a n−n}为等比数列；(2)求a n．21.为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都要网络报价一次，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年11月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的数据，统计了最近5个月参与竞拍的人数(见表)：月份 2020.6 2020.07 2020.08 2020.09 2020.10 月份编号t 1 2 3 4 5 竞拍人数y(万人)0.50.611.41.7(1)由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y(万人)与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程y ̂=b ̂t +a ，并预测2020年11月份参与竞拍的人数．(2)某市场调研机构从拟参加2020年11月份车牌竞拍人员中，随机抽取了200人，对他们的拟报价价格进行了调查，得到如下频数分布表和频率分布直方图： 报价区间(万元) [1,2) [2,3) [3,4)[4,5) [5,6] [6,7) [7,8] 频数1030a 60302010(ⅰ)求a 、b 的值及这200位竟拍人员中报价大于5万元的人数；(ⅰ)若2020年11月份车牌配额数量为3000，假设竞拍报价在各区间分布是均匀的，请你根据以上抽样的数据信息，预测(需说明理由)竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −；②∑t i 25i=1=55，∑t i 5i=1y i =18.8．22.已知函数f(x)=lnx+ax (a∈R)的图象在x=1e处的切线斜率为−e．(1)求实数a的值，并讨论f(x)的单调性；(2)若g(x)=e x⋅f(x)，证明：g(x)>1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x∈N||x|≤2}={x∈N|−2≤x≤2}={0,1，2}，B={y|y=1−x2}={y|y≤1}，∴A∩B={0,1}．故选：B．分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由z(1−i)=2i，得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,1)，所在象限为第二象限．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据0<b<1推知b>b3，由此可推“a>b3”是“a>b”的必要不充分条件．故选：B．根据0<b<1推知b与b3的大小关系，由此可推“a>b3”是“a>b”的关系．本题考查充分必要条件的判断，考查基本的推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，f(x)=x2+lnxx ，f(1e)=1e2+ln1e1e=1e2−e>0，故AD不符合，当x <0时，f(x)=x 2+ln(−x)x，f(−1)=1>0，当x →−∞时，f(x)→+∞，故A 不符合， 故选：C ．根据函数值的正负即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数值的正负，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：若α⊥β，m ⊥β，则m 与α可能平行也可能相交，故A 错误； 若m//α，n ⊥m ，则n ⊂α或n//α或n 与α相交，故B 错误； 若m//α，n//α，m ⊂β，n ⊂β，则α//β或α与β相交，故C 错误； 若m//β，m ⊂α，α∩β=n ，则m//n ，故D 正确． 故选：D ．根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断．本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由x ，y 满足约束条件{x +y ≤43x +y ≥2x −y ≤2作出可行域如图，联立{x +y =4x −y =2，解得A(3,1)，化目标函数z =3x −y 为y =3x −z ， 由图可知，当直线y =3x −z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为8． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7.【答案】B【解析】解：解法一，以A 为原点，AB 为x 轴，建立平面直角坐标系，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)， 所以x AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2x,6y)； 根据题意知，FEAF =DEAB =12，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,43)， 所以2x =23，6y =43， 解得x =13，y =29， 所以x +y =13+29=59．解法二：根据题意知，FEAF =DEAB =12， 所以DF =12FB ，DF =13DB ，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即{x =133y =23， 解得{x =13y =29，所以x +y =13+29=59． 故选：B ．解法一，建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据平面向量的坐标表示与线性运算，列方程求出x 、y 的值，再求和．解法二：根据平面向量的线性表示与运算，利用平面向量的基本定理列出方程求得x 、y的值，再求和．本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数单调性、奇偶性的性质及应用，训练了利用基本不等式求最值，是难题．证明函数f(x)为奇函数且是定义域内的增函数，由已知可得4a+b=1，然后利用“1的代换”结合基本不等式求最值．【解答】解：函数f(x)=ln(x+√x2+1)的定义域为R，且f(−x)=ln(−x+√x2+1)=x+√x2+1=−ln(x+√x2+1)=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，又x+√x2+1是[0,+∞)上的增函数，由复合函数的单调性可知f(x)在[0,+∞)上是增函数，则f(x)是定义域上的增函数，又f(4a)+f(b−1)=0，得f(4a)=−f(b−1)=f(1−b)，∴4a=1−b，即4a+b=1．又a>0，b>0，∴1a +1b=(1a+1b)(4a+b)=5+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=9，当且仅当b=2a，即a=16,b=13时取等号．故选：C．9.【答案】C【解析】解：由tanθ+1tanθ=4，得sinθcosθ+cosθsinθ=4，即sin2θ+cos2θsinθcosθ=4，∴sinθcosθ=14，∴cos2(θ+π4)=1+cos(2θ+π2)2=1−sin2θ2=1−2sinθcosθ2=1−2×142=14．故选：C．由已知求得sinθcosθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解cos2(θ+π4)的值．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．10.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD−A′NC′M中，如图所示．对于①，MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线，因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故①正确；对于②，∵DB//MN，MN⊂平面AMN，DB⊄平面AMN，∴DB//平面AMN，故②正确；对于③，正方体ABCD−A′NB′M中，由二面角A−MN−C的大小不是直角，得面CMN⊥面AMN不成立，故③不正确；对于④，∵面DCM与面ABN分别是正方体ABCD−A′NC′M的内外侧面所在的平面，∴面DCM//面ABN成立，故④正确．∴所有假命题的个数是1个．故选：B．由题意将题中的几何体放在正方体ABCD−A′NC′M中，再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对四个命题逐一判断得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：f(x)=√3cos(2x −π2)−cos2x =√3sin2x −cos2x =2sin(2x −π6)， 将函数f(x)2=sin(2x −π6)的图象向左平移π12个单位， 可得y =2sin[2(x +π12)−π6]=2sin2x 的图象， 显然，y =sin2x 为奇函数， 故选：C ．利用辅助角公式化积，结合y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律及正弦函数、余弦函数的奇偶性得出结论．本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，是中档题．12.【答案】D【解析】解：∵f′(x)=1+lnx +ae x ，由题意，f′(x)=1+lnx +ae x =0有两个不同的实根， 即y =−a 和y =1+lnx e x在(0,+∞)上有两个交点，令g(x)=1+lnx e x ，∴g′(x)=1x−lnx−1e x．记ℎ(x)=1x −lnx −1，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，且ℎ(1)=0，所以当x ∈(0,1]时，ℎ(x)≥0，g′(x)≥0，所以g(x)在(0,1]上单调递增； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，g′(x)<0，所以g(x)在(1,+∞)上单调递减， 故g(x)max =g(1)=1e .当x →0时，g(x)→−∞；当x →+∞时，g(x)→0， 当0<−a <1e ，即−1e <a <0时，y =−a 和y =1+lnx e x在(0,+∞)上有两个交点，故选：D ．求出f′(x)=1+lnx +ae x ，由题意可得y =−a 和y =1+lnx e x在(0,+∞)上有两个交点，令g(x)=1+lnx e x，g′(x)=1x−lnx−1e x.记ℎ(x)=1x −lnx −1，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，g(x)在(0,1]上单调递增；求解函数的最值，然后推出结果．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．13.【答案】2【解析】解：A(−1,0)，B(1,2)，C(1,t)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,t −2)， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以2(t −2)−2×0=0， 解得t =2． 故答案为：2．由平面向量的坐标表示与共线定理，列方程求出t 的值．本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理应用问题，是基础题．14.【答案】2sin(2x −π3)【解析】解：由图象可得：34T =5π12+π3，且A =2，则T =π，所以T =2πω=π，即ω=2，所以f(x)=2sin(2x +φ)，又f(x)max =f(5π12)=2sin(2×5π12+φ)=2， 所以φ+5π6=π2+2kπ，k ∈Z ，则φ=2kπ−π3，k ∈Z ，又|φ|<π2， 所以φ=−π3，所以函数f(x)是解析式为：f(x)=2sin(2x −π3)， 故答案为：f(x)=2sin(2x −π3).利用图象求出A 和周期，进而可以求出ω，再利用最值求出φ的值即可． 本题考查了三角函数的图象性质，涉及到周期和最值问题，属于基础题．15.【答案】49【解析】解：∵a 3+a 4=12，a 5=9， ∴2a 1+5d =12，a 1+4d =9， 解得a 1=1，d =2， ∴S 7=7a 1+7×62×d =7+42=49，故答案为：49．利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．16.【答案】4【解析】解：由题意，三棱锥P−ABC为鳖臑，且PA⊥平面ABC，PA=2，AB=3，如图所示，∠PAB=∠PAC=∠ABC=∠PBC=90°，又该鳖臑的外接球的表面积为29π，可知PC为外接球的直径，则R2=29π4π=294，∴BC=√4R2−PA2−AB2=√4×294−22−32=4，则该鳖臑的体积为：V=13×12×3×2×4=4．故答案为：4．由题意知PC是三棱锥P−ABC的外接球直径，由外接球直径求得BC的长，再计算三棱锥的体积．本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意得{a4+a5=2a1+7d=16, S6=6a1+6×52d=36, 解得{a1=1, d=2, 所以a n=1+2(n−1)=2n−1；(2)b n=1a n⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．故{b n }的前n 项和T n 为：n2n+1．【解析】本题考查等差数列通项公式的应用，数列求和的方法，考查计算能力，属于中档题．(1)利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解通项公式； (2)化简通项公式利用裂项相消法求解数列的和即可．18.【答案】解：(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵△ABC 的面积为b 23sinB，∴12ac ⋅sinB =b 23sinB ，即2b 2=3ac ⋅sinBsinB ． 再利用正弦定理可得2sin 2B =3sinAsinC ⋅sin 2B ， 因为sinB >0， ∴sinAsinC =23．(2)cosAcosC =16，b =3，sinAsinC =23，∴cosAcosC −sinAsinC =−12=cos(A +C)=−cosB ，∴cosB =12，∴B =π3． 由正弦定理，asinA =bsinB =c sinC =2R =2√3， ∴sinAsinC =a 2R ⋅c 2R=ac 4R2=ac12=23，ac =8，再根据余弦定理，b 2=9=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =(a +c)2−3ac ， ∴(a +c)2=9+3ac =33，∴a +c =√33．【解析】(1)由题意利用正弦定理求得sin A sin C 的值．(2)由题意利用两角差的余弦公式求得cos B 的值，可得B 的值，再利用正弦定理求得ac 的值，利用余弦定理求得a +c 的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在△ABC 中，∵E 、M 分别为AB ，AC 的中点，∴EM//BC 且EM =12BC ，又F为B1C1的中点，B1C1//BC，∴B1F//BC且B1F=12BC，即EM//B1F且EM=B1F，故四边形EMFB1为平行四边形，∴B1E//FM，又MF⊂平面ACF，B1E⊄平面ACF，∴B1E//平面ACF；(Ⅱ)解：设O为BC的中点，∵棱柱底面是正三角形，AB=2，∴有AO=√3，且AO⊥平面BCC1B1，于是V B1−ACF =V A−B1CF=13×S△B1CF×AO=13×12×2×√3=√33．【解析】(Ⅰ)取AC的中点M，连结EM，FM，由三角形中位线定理可得EM//BC且EM=12BC，结合已知得到EM//B1F且EM=B1F，则四边形EMFB1为平行四边形，可得B1E//FM，再由线面平行的判定可得B1E//平面ACF；(Ⅱ)设O为BC的中点，由已知得到AO⊥平面BCC1B1，然后利用等积法求三棱锥B1−ACF的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：(1)由a n+2=3a n+1−2a n−n+1得a n+2−a n+1−(n+1)=2(a n+1−a n−n)，又a2−a1−1=1，所以{{a n+1−a n−n}是以1为首项，2为公比的等比数列；(2)由(1)可得a n+1−a n−n=2n−1，∴a n−a n−1−(n−1)=2n−2，即a n−a n−1=2n−2+n−1，∴a n−1−a n−2=2n−3+(n−2)，…a2−a1=1+1，用累加法即可的a n−1=2n−2+2n−3+⋯+1+(n−1)+(n−2)+⋯+1，即a n−1=2n−1−1+n(n−1)2，∴a n=2n−1+n2−n2，又a1=1也满足上式，∴a n=2n−1+n2−n2．【解析】(1)由a n+2=3a n+1−2a n −n +1得a n+2−a n+1−(n +1)=2(a n+1−a n −n)， 又a 2−a 1−1=1，所以可得{{a n+1−a n −n}是以1为首项，2为公比的等比数列； (2)由(1)可得a n+1−a n −n =2n−1，∴a n −a n−1−(n −1)=2n−2，即a n −a n−1=2n−2+n −1， 最后用累加法即可求出a n ，同时验证a 1=1是否满足即可．本题第一问考查通过变形将已知条件变为等比数列的形式，再求出首项，第二问利用累加法分组求和从而计算出通项公式，设计巧妙，值得借鉴．本题属于难题．21.【答案】解：(1)由题意求出t −=13(1+2+3+4+5)=3，y −=15(0.5+0.6+1.4+1.7)=1.04，由∑t i 25i=1=55，∑t i 5i=1y i =18.8， b ̂=∑t i 5i=1y i −5t −⋅y−∑t i 25i=1−5t2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32，a ̂=y −−b ̂t −=1.04−0.32×3=0.08， 从而得到回归直线方程为y ̂=0.32t +0.08， 当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2(万)， (2)(i)由a200=0.5，可得a =40，由频率和为1，得(0.05×2+0.10+2c +0.20+0.30)×1=1，解得b =0.15， 200位竟拍人员报价大于5万元的人数为(0.05+0.10+0.15)×200=60人， (ii)2020年11月份车牌配额数量为3000，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数的比例为300020000×100%=15%，又由于频率分布直方图和竞拍报价大于6万元的频率为0.05+0.10=0.15， 所以根据统计思想(样本估计总体)可预测竞拍的最低成交价为6万元．【解析】(1)由题意求出t −=3，y −=1.04，代入公式求值，从而得到回归直线方程； (2)(i)根据频数等于总数与频率的乘积可得a ，根据频率面积之和为1，可得b ，再根频率等于频数除以总数可得结果，(ii)先求出报价在最低成交价以上的人数占总人数的比例，再对应频率分布直方图的频率可得结果．本题考查线性回归方程的求法，考查样本数据的平均值与方程的求法，考查频率分布直方图，考查计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1x −a x 2，故f′(1e )=e −ae 2=−e ，解得：a =2e ，故f′(x)=1x −2ex 2，令f′(x)>0，解得：x >2e ，令f′(x)<0，解得：0<x <2e ， 故f(x)在(0,2e )递减，在(2e ,+∞)递增； (2)证明：函数g(x)的定义域是(0,+∞)， 要证g(x)>1，即证e x (lnx +2ex )>1， 即证xlnx >xe x −2e ，设ℎ(x)=xlnx(x >0)，则ℎ′(x)=lnx +1， ∵ℎ′(1e )=ln 1e +1=0，故x ∈(0,1e )时，ℎ′(x)<0，x ∈(1e ,+∞)时，ℎ′(x)>0， 故ℎ(x)在(0,1e )递减，在(1e ,+∞)递增， 故ℎ(x)min =ℎ(1e )=−1e ， 设t(x)=xe x −2e (x >0)，则t′(x)=1−x e x，故x ∈(0,1)时，t′(x)>0，t(x)递增， x ∈(1,+∞)时，t′(x)<0，t(x)递减， 故t(x)max =t(1)=−1e ，综上，在(0,+∞)上恒有ℎ(x)>t(x)成立， 故g(x)>1．【解析】(1)求出函数的导数，根据f′(1e )=−e ，求出a 的值，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为证明xlnx >xe x −2e ，设ℎ(x)=xlnx(x >0)，t(x)=xe x −2e (x >0)，根据函数的单调性证明结论成立即可．本题考查了切线斜率问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．。
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大庆实验中学2011—2012年上学期高三期中考试数学试题（文科）说明：（1）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟；（2）答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应的位置．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合M={y|y = x 2}，N={y| x 2+ y 2=2 }，则M ∩N= （ ） （A ）{（1，1），（—1，1）} （B ） {1}（C ） [0，2]（D ） [0，2]（2）若1(,)1abi a b R i=+∈-，则复数a bi +=（ ） （A ）1i + （B ）12i + （C ）2i -（D ）2i +（3）求和：1+3+5+┄+（4 n —3）= （ ） （A ）n （2n+1） （B ）（2n-1）2 （C ）（n+2）（2n+1） （D ）（2n+1）2 （4）已知命题:(,0),23xxp x ∃∈-∞<，命题:(0,),tan sin 2q x x x π∀∈>，则下列命题为真命题的是 （ ） （A ）p q ∧（B ） ()p q ∨⌝（C ） ()p q ⌝∧（D ）()p q ∧⌝（5）设y x ,是两个实数，命题：“y x ,中至少有一个数大于1．”成立的充分不必要条件（ ） （A ）2=+y x（B ）2>+y x（C ）222>+y x （D ）1>xy（6）函数f （x ）＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间（ ）（A ） （18，14）（B ） （14，12）（C ） （12，1）（D ） （1, 2）（7）若cos α+ sin α=tan α（0<α<21π）,则α∈ （ ） （A ）（0，61π） （B ）（61π，41π）（C ）（41π，31π）（D ）（31π，21π）（8）若2,a b == 且()a b a -⊥ ，则a 与b的夹角为 （ ）（A ）4π （B ）3π （C ）32π （D ）65π （9） 函数sin()(0,||,)4y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图象如图所示，则函数为（ ） （A ） 4sin()84y x ππ=-（B ） 4sin()84y x ππ=-+（C ）4sin()84y x ππ=--（D ）4sin()84y x ππ=+ （10）若ΔA 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于ΔA 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（ ）（A ） ΔA 1B 1C 1和ΔA 2B 2C 2都是锐角三角形 （B ）ΔA 1B 1C 1和ΔA 2B 2C 2都是钝角三角形 （C ） ΔA 1B 1C 1是锐角三角形，ΔA 2B 2C 2是钝角三角形 （D ）ΔA 1B 1C 1是钝角三角形，ΔA 2B 2C 2是锐角三角形 （11）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b]上是“亲密函数”，区间[a ，b]称为“亲密区间”．若2)(2++=x x x f 与12)(+=x x g 在[a ，b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是（A ）[0，2] （B ）[0，1]（C ）[1，2] （D ）[-1，0]（12）已知函数⎩⎨⎧>≤≤=1log 10 sin )(2010x x x x x f π，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是（ ）（A ）)2010,1(（B ） )2011,1( （C ）)2011,2( （D ）)2011,2[第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（13）若a 是1与3的等差中项，b 是a 与5的等比中项，则b =（14）已知ΔABC 中a=x ，b=2，B=450，若该三角形有两个解，则x 的取值范围是 （15）设f （x ）是定义在R 上的奇函数, 满足f （x-2）=－ｆ（x ）．当]1,1[-∈x 时,3)(x x f =,则下列四个命题：①函数y=f （x ）是以4为周期的周期函数； ②当]3,1[∈x 时,3)2()(x x f -=;③函数y=f （x ）的图象关于x=1对称; ④函数y=f （x ）的图象关于点（3,0）对称． 其中正确的命题序号是________________．（16）点P 是ΔABC 所在平面上任意一点，若存在非零实数m 1、m 2、m 3使m 1PA +m 2PB +m 3PC =O ，则ΔPAB 、ΔPBC 、ΔPAC 的面积比为 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16，第二个与第三个数和为12，求这四个数。
（18） （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，5b =，ABC ∆的面积为．（Ⅰ）求,a c 的值；（Ⅱ）求sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（19）（本小题满分12分）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，（Ⅰ）若5S =5，求6S 及a 1；（Ⅱ）求d 的取值范围．（20）（本小题满分12分）已知ΔABC 的周长为6，|BC |，|CA |，|AB |成等比数列， （Ⅰ）求ΔABC 的面积S 的最大值；（Ⅱ）求·的最小值。
（21）（本小题满分12分）已知x x x g xax x f 2ln )( .2ln )(+=-+= （1）求)(x f 的单调区间; （2）试问过点)5,2(可作多少条直线与曲线)(x g y =相切？请说明理由。
（22） （本小题满分12分）已知函数2(2)()().xx x x e f x g x e e -==,（1） 求函数()f x 的极值；（2） 求证：当1x >时，()();f x g x >（3） 如果21x x <，且12()()f x f x =，求证：12()(2).f x f x >-参考答案一、DDBCB CCABC BC二、（13）±10，（14）（2， 22），（15）①②③，（16）312::m m m 三、（17）解：设这四个数为a d -，a ，a d +，2()a d a + ……………………2分那么2()16()12a d a d aa a d ⎧+-+=⎪⎨⎪++=⎩ ……………………4分 44a d =⎧⇒⎨=⎩或96a d =⎧⎨=-⎩ ……………………8分 ∴这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1 ……………………10分（18）解：（Ⅰ）由已知3C π=，5b =，1sin 2ABC S ab C ∆=知15sin 23a π=⋅⋅得8a =由余弦定理可得2642580cos 493c π=+-=，从而可知7c = ……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知4925641cos 707A +-==，由于A是三角形的内角，故sin A ==所以1113sin sin cos cos sin 666727214A A A πππ⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝⎭ …………12分 （19）解：（Ⅰ）由题意知31556-=-=S S 8566-=-=∴S S a ⎩⎨⎧-=+=+∴85510511d a d a解得：71=a 所以7,316=-=a S ……………………6分 （Ⅱ）01565=+S S 即0110922121=+++d da a 故8)94(221-=+d d a （或0)110(88122≥+-=∆d d ）所以82≥d 所以2222≥-≤d d 或即d 的取值范围是2222≥-≤d d 或 ……………………12分 （20）解：（1）,,a b c 成等比数列2b ac ∴=2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--∴==≥=0B π<< 03B π∴<≤当且仅当a c =时取等号 ………………2分又66a b c a c b ++=∴+=-60222a c bb b +-∴=≤=⇒<≤ …………4分22111sin sin 2222S ac B b B ∴==≤⋅= ∴当2,b a c ==时，max S = ………………6分（2）22222()2cos 22a cb ac ac b BA BC ac B +-+--⋅===2222(6)3618(3)272b b b b b --==--+=-++02b <≤ ∴当2b =时，()min2BA BC ⋅=……………………12分（21）解： （1）2()(0)x af x x x-'=> ……………………1分 （ⅰ）当0a ≤时，()0f x '> ()f x ∴在(0,)+∞上单调递增 ………………3分 （ⅱ）当0a >时，若0,x a <<则()0f x '<；若,x a >则()0f x '>()f x ∴在()0,a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增 ……………………5分 （2）设切点为()000,ln 2x x x +1()2g x x'=+ ………………6分 ∴切线方程为：()00001ln 2(2)()y x x x x x -+=+- 切线过点（2，5）()000015ln 2(2)(2)x x x x ∴-+=+- 即000ln 220x x x -+=……（＊） ……………………8分 令()ln 22x x x x Φ=-+，()ln 1x x 'Φ=- ………………9分当0x e <<时，()0x 'Φ<；当x e >时， ()0x 'Φ>()x ∴Φ在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增 ……………………10分又2123()20,()0,()20e e e e ee -Φ=-+<Φ=>Φ=> ()0x ∴Φ=在21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，即方程（＊）在()0,+∞上有两个根∴过点()2,5可作两条直线与曲线()y g x =相切． ……………………12分 （22）解：⑴∵()f x =xx e，∴()f x '=1x x e -． （2分）令()f x '=0，解得1x =．（3分） ∴当1x =时，()f x 取得极大值(1)f =1e． （4分） ⑵证明：2(2)()()()xx x x e F x f x g x e e-=-=-令,则 ()F x '=22221(1)(1)()x x x x x e x x e e e e e +-----=． （6分） 当1x >时，1x -＜0，2x ＞2，从而22xe e -＜0， ∴()F x '＞0，()F x 在(1,)+∞是增函数．11()(1)0,1()().F x F x f x g x e e>=-=>>∴故当时, （8分） ⑶证明：∵()f x 在(,1)-∞内是增函数，在(1,)+∞内是减函数．∴当12x x ≠，且12()()f x f x =时，1x 、2x 不可能在同一单调区间内．∴121x x <<， 由⑵的结论知1x >时，()()()F x f x g x =-＞0，∴22()()f x g x >． ∵12()()f x f x =，∴12()()f x g x >．又22()(2)g x f x =-，∴12()(2).f x f x >- （12分）。