高考总复习全套完整资料------第56课时--轨迹和对称问题
高中数学选修一 讲义 专题2.9 点、线间的对称关系-重难点题型精讲(学生版)
专题2.9 点、线间的对称关系-重难点题型精讲1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：4．直线关于直线的对称【题型1 点关于点的对称问题】【例2】（2022·河南·高二阶段练习）直线l:4x+3y−2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为（）A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0【变式2-1】（2020·山东·高考真题）直线2x+3y−6=0关于点(−1,2)对称的直线方程是（）A．3x−2y−10=0B．3x−2y−23=0C．2x+3y−4=0D．2x+3y−2=0【变式2-2】（2022·浙江绍兴·高二期末）直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是A．a=−1，b=−9B．a=−1，b=9C．a=1，b=−9D．a=1，b=9【例3】（2022·全国·高二课时练习）点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（）A．(−1,−3)B．(−1,−4)C．(4,1)D．(2,3)【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点A(−2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B，则点B的坐标为（）A．(1,−2)B．(2,1)C．(2,−1)D．(−1,2)【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（）A．3x＋4y－7＝0B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0D．3x＋4y－1＝0【变式3-3】（2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2B．3C．5D．7【例5】（2022·江苏·高二课时练习）若一束光线从点A(1,0)射入，经直线y=−x+3反射到直线y=x+3上的点B，再经直线y=x+3反射后经过点C(−1,0)，则点B的坐标为（）A．(−2,1)B．(0,3)C．(−1,2)D．(−1,1)【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A(2,4)射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（）【例6】（2022·江苏·高二阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−1,−4)，若将军从点A(−1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马“的最短总路程为（）A．√13B．√17C．2√17D．10【变式6-1】（2021·辽宁沈阳·高二期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−4,−4)，若将军从点A(−2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=2，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√13B．5C．2√10D．10【变式6-2】（2022·河南·高二阶段练习）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为(x+1)2+(y−1)2≤1，若将军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+2y−5=0，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（）A．12x+5y−12=0B．21x+2y−21=0C．4x+y−4=0D．11x+2y−11=0【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为B(−2,0)，若将军从山脚下的点A(13,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+2y=3，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√1453B．5C．√1353D．163。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第二章 §2.4 函数的对称性
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章§2.4 函数的对称性1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题.第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于 对称，偶函数关于 对称.(2)若f (x ＋a )是偶函数，则函数f (x )图象的对称轴为 ；若f (x ＋a )是奇函数，则函数f (x )图象的对称中心为 .2.若函数y ＝f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数的图象关于直线x ＝a 对称；若函数y ＝f (x )满足f (a －x )＝－f (a ＋x )，则函数的图象关于点 对称.原点y 轴x ＝a (a ,0)(a ,0)3.两个函数图象的对称(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于 对称；(2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于 对称；(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于 对称.y 轴x 轴原点1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数y ＝f (x )是奇函数，则函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称.( )(2)若函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.( )(3)函数y ＝5x 与y ＝5－x 的图象关于x 轴对称.( )(4)若函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称.( )√√√×2.函数f(x)＝ 的图象的对称中心为√A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,1)3.已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则√A.f(－1)<f(3)B.f(0)>f(3)C.f(－1)＝f(3)D.f(0)＝f(3)因为f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上单调递增，所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3).4.(2023·南昌检测)已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝(－1,2)－f(－x)的图象必过点________.y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2).返回第二部分探究核心题型题型一 轴对称问题√由函数f(x＋1)为偶函数，可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2＋x)＝f(－x)，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)，可得函数f(x)的周期为4，(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单(－1,1)调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________.∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增.又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，∴－x2>－1，即x2<1，∴－1<x<1，∴原不等式的解集为(－1,1).思维升华函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；跟踪训练1 (1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是A.f(－1)<f(1)<f(2)B.f(1)<f(2)<f(－1)C.f(2)<f(－1)<f(1)√D.f(－1)<f(2)<f(1)因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以f(x)的对称轴为直线x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1).(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则所有交点的横坐标之和为√A.0B.mC.2mD.4m依题意，函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称.函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，所以若函数y＝|x2－4x－5|与y＝f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，题型二 中心对称问题例2 (1)(多选)下列说法中，正确的是√√√f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确；对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1,2)，C正确；所以b＋c＝4，D不正确.√因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－x)＝f(2＋x)，因为函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(－x)＝－f(4＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0.思维升华函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点 成中心对称.跟踪训练2 (1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是A.(－1,2)B.(－∞，－1)∪(2，＋∞)C.(－2,1)√D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1,0)对称，因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)在R上单调递减，所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1，所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于√A.－3B.－1C.1D.3∵f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝0，又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，题型三 两个函数图象的对称例3 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象√A.关于直线x＝1对称B.关于直线x＝3对称C.关于直线y＝3对称D.关于点(3,0)对称设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.思维升华跟踪训练3 下列函数与y＝e x的图象关于直线x＝1对称的是A.y＝e x－1B.y＝e1－x√C.y＝e2－xD.y＝ln x与f(x)＝e x的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.知识过关一、单项选择题1.下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是√A.y＝B.y＝lg|x|C.y＝tan xD.y＝x3y＝lg|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，但无对称中心，故B错误；故D错误.2.(2024·聊城检测)函数y＝2－x与y＝－2x的图象A.关于x轴对称B.关于y轴对称√C.关于原点对称D.关于直线y＝x轴对称令f(x)＝2x，则－f(－x)＝－2－x，∵y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，∴y＝2－x与y＝－2x的图象关于原点对称.3.(2023·襄阳模拟)已知函数f(x)＝2x＋ (x∈R)，则f(x)的图象√A.关于直线x＝1对称B.关于点(1,0)对称C.关于直线x＝0对称D.关于原点对称√因为f(x)在区间(a,2a－1)上单调递减，5.已知函数f(1－x)的图象与函数f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m等于√设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点Q(x′，y′)，则y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，6.(2023·重庆模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则√因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称，且f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1.二、多项选择题7.设函数f (x )＝2x －1＋21－x ，则下列说法错误的是A.f (x )在(0，＋∞)上单调递增B.f (x )为奇函数C.f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.f (x )的图象关于点(1,0)对称√√√∵f(x)＝2x－1＋21－x，∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，A，D错误；∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，故B错误.8.(2023·恩施模拟)定义在R 上的函数f (x )，f (x ＋1)的图象关于点(－1,0)对称，恒有f (x －1)＝f (3－x )，且f (x )在[1,2]上单调递减，则下列结论正确的是A.直线x ＝1是f (x )的图象的对称轴B.周期T ＝2C.函数f (x )在[4,5]上单调递增D.f (5)＝0√√。
高中数学同步教学课件 对称问题
经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为
A.2 10
B.6
C.3 3
√D. 26
1234
由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1 (0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
∴a2b＋－a 22× ＋2 b－＝13，＝－1，
a＝1， 解得b＝3. ∴P2(1,3)，
3.直线关于点对称 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐 标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标， 再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
4.直线关于直线对称 求直线l1：ax＋by＋c＝0(a，b不全为0)，关于直线l2：dx＋ey＋f＝0(d，e 不全为0)的对称直线l3(其中直线l1与l2不平行) 第一步：联立l1，l2的方程，求出交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任找一点(非交点)Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称 点Q′(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程.
2.点关于直线对称 点P(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)对称的点为P′(x2，y2)， 连接PP′，交l于点M，则l垂直平分PP′，所以PP′⊥l，且M为PP′ 的中点，
kl·kPP′＝－1， 又因为 M 在直线 l 上，故可得A·x1＋2 x2＋B·y1＋2 y2＋C＝0， 解出(x2，y2)即可.
①
∵BB′的中点a2，b＋2 4在直线 l 上，
∴a2－b＋2 4－1＝0，即 a－b－6＝0.
②
由①②得ab＝ ＝－5，1，
∴点B′的坐标为(5，－1).
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。
2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。
②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。
③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。
其中，c表示焦距，a表示长半轴长。
椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。
由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。
当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。
当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。
双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。
需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。
当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。
当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。
双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。
2023年高考数学一轮复习课件——函数的奇偶性、周期性与对称性
2.若函数 f(x)＝2gx－x，3，x<x0>，0 为奇函数，则 f(g(－1))＝_－__1__.
∵f(x)为奇函数且f(－1)＝g(－1)， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1， ∴g(－1)＝1， ∴f(g(－1))＝f(1)＝－1.
思维升华
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关 键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的 恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结 合几何直观求解相关问题.
(3)f(x)＝log2(x＋ x2＋1).
显然函数f(x)的定义域为R， f(－x)＝log2[－x＋ －x2＋1] ＝log2( x2＋1－x) ＝log2( x2＋1＋x)－1 ＝－log2( x2＋1＋x)＝－f(x)， 故f(x)为奇函数.
思维升华
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算 中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝ 0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x ＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立， ∴函数f(x)为奇函数.
当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)
函数的对称性与周期性(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第2讲函数的对称性与周期性【考点分析】1.函数的对称性、周期性是高考命题热点，近两年新高考都考了一道选择题，分值5分，知识点比较灵活，需要全面掌握常见对称性，周期性的结论考点一：函数常见对称性结论①若函数()x f 对于任意的x 均满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．②若函数()x f 对于任意的x 均满足()()2f a x f a x b ++-=则()y f x =关于点()a b ，对称．考点二：函数常见周期性结论若函数对于任意的x 都满足()()x f T x f =+，则T 为()x f 的一个周期，且()()x f nT x f =±几个常见周期性结论①若函数()y f x =满足()()f x m f x +=-，则2T m =．②若函数()y f x =满足)((1)f x m f x =±＋，则2T m =．③若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x -+=+，则2T m =．④若函数()y f x =满足()()b x f a x f +=+，则a b T -=．⑤若函数()y f x =的图象关于直线x a =，x b =都对称，则()f x 为周期函数且2||b a -是它的一个周期．⑥函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点0()A a y ，、0()B b y ，都对称，则函数()y f x =是以2||b a -为周⑦函数()y f x =()x R ∈的图象关于0()A a y ，和直线x b =都对称，则函数()y f x =是以4||b a -为周期的周期函数．⑧若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x ++=-，则函数()f x 是以4m 为周期的周期函数．【题型目录】题型一：利用周期性求函数值题型二：利用周期性求函数解析式题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【典型例题】题型一：利用周期性求函数值【例1】设()f x 是定义在R 上周期为2的函数，当(11]x ∈-，时，2210()01x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，，其中m R ∈．若13(()162f f =，则m 的值是．答案：1解析： ()x f 是定义在R 上周期为2的函数，当(11]x ∈-，时，2210()01x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，，∴m m f f +-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛432122121232，41161161==⎪⎭⎫⎝⎛f ，∴14341=⇒+-=m m 【例2】设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________答案：5.0-解析： (2)()f x f x +=-，∴()x f 是周期为4的函数，所以()()()5.05.05.05.7-=-=-=f f f 【例3】定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()()112,214f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于A.14B.12C.13D.35答案：D解析： ()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f x f =+-++--=+++-=+11111121214，所以()x f 是周期为4的函数，()()()()53212142016=+-==f f f f 【例4】（重庆南开高一上期中）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=,且()11f =,则()()20202019f f -的值为()A.1-B.0C.1D.2答案：C解析： ()()4f x f x +=所以4=T ，所以()()002020==f f ，()()()1112019-=-=-=f f f ，所以()()()20202010119f f =--=-【例5】（2022·云南昭通·高一期末）已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，且周期为2，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，则132f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．1B ．1C 1D ．1【题型专练】1.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =（）A ．3B ．3-C ．255D ．255-【答案】B【分析】根据题意可知()f x 是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.【详解】由()()2f x f x +=-可得，()()42=()f x f x f x +=-+，故()f x 是以4为周期的周期函数，故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-，故选：B2.（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(6)()f x f x +=-，若当[]3,0x ∈-时，()6x f x -=，则(2021)f =（）A ．0B ．1C ．6D ．216【答案】C【分析】由(6)()f x f x +=-可得函数周期为6，进而(2021)(33761)(1)f f f =⨯-=-，最后求出答案.【详解】根据题意，偶函数()f x 满足(6)()f x f x +=-，即(6)()f x f x +=，()f x 是周期为6的周期函数，则(2021)(33761)(1)f f f =⨯-=-，当[3,0]x ∈-时，()6x f x -=，则1(1)66f -==，故(2021)6f =故选：C3.（重庆南开高一上期末）函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()00f ≠.若对任意实数x ，y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝+⎪⎭，则()2020f =（）A.B.-1C.0D.1答案：D解析：由题意知，令0==y x ，可得()()02022f f =，因()00f ≠，所以()10=f 102f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以()()0212121=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++x x f x x f x f x f ，所以()()x f x f -=+1，所以2=T ，所以()()102020==f f 4．（2022·云南红河·高一期末）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，R x ∀∈，都有(4)()f x f x +=，若当[0,1]x ∈时，2()log ()f x x a =+，则(7)f -=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】()f x 是定义在R 上的奇函数得a ，有(4)=()f x f x +得到()f x 是周期函数，利用函数周期性可得答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)=0f ∴，得=1a ，∴当[]0,1x ∈时，2()log (1)=+f x x ，R x ∀∈，都有(4)=()f x f x +，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()7=7811f f f ∴--+==.故选：C.5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()22f x f x -=+，又当(]0,1x ∈时，()3xf x =，则131log 72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．题型二：利用周期性求函数解析式【例1】已知定义在实数集R 上的函数()x f 满足：（1）()()x f x f =-；（2）()()x f x f -=+22；（3）当[]2,0∈x 时解析式为12-=x y ，当[]0,4-∈x 时，求函数的解析式。
高一数学复习考点知识讲解课件14---轨迹问题
高一数学复习考点知识讲解课件第3课时轨迹问题考点知识1.掌握定义法求圆的方程.2.掌握直接法求圆的方程.3理解相关的方法(代入法)求轨迹方程．一、定义法求轨迹方程例1已知圆x 2＋y 2＝1，点A (1,0)，△ABC 内接于圆，且∠BAC ＝60°，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点D 的轨迹方程是() A ．x 2＋y 2＝12 B ．x 2＋y 2＝14 C ．x 2＋y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x <12D ．x 2＋y 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x <14答案D解析如图所示，因为∠BAC ＝60°，又因为圆周角等于圆心角的一半，所以∠BOC＝120°，又D为BC的中点，OB＝OC，所以∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，有OD＝12OB＝1 2，故中点D的轨迹方程是x2＋y2＝14，如图，由∠BAC的极限位置可得，x<14.反思感悟(1)当动点满足到定点距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程．(2)注意轨迹与轨迹方程不同．跟踪训练1长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB 的中点M的轨迹方程为__________．答案x2＋y2＝9解析设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以OM＝12AB＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．二、直接法求轨迹方程例2点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．解设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，PN＝BN.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.反思感悟直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y 之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型．(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．跟踪训练2点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点．求过点B的弦的中点T的轨迹方程．解设T(x，y)．因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.当斜率存在且不为0时，有k OT·k BT＝－1.即y x ·y －1x －1＝－1，整理得x 2＋y 2－x －y ＝0.当x ＝0或1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上． 故所求轨迹方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 三、代入法求轨迹方程例3已知动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1， ∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思感悟代入法求解曲线方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程．(4)化简、整理，得所求轨迹方程．其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”．跟踪训练3设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON (O 为坐标原点)为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程． 解如图所示，连接OP ，MN .设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，即所求点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．1．知识清单： (1)定义法求轨迹方程． (2)直接法求轨迹方程． (3)代入法求轨迹方程． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：将求轨迹方程与求轨迹弄混．1．若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为()A ．x 2＋y 2＝25(y ≠0)B ．x 2＋y 2＝25C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D ．(x －2)2＋y 2＝25 答案C解析线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12AB ＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．2．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是() A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案A解析设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，则点M 的轨迹方程是__________． 答案x 2＋y 2＝16 解析设M (x ，y )，则(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理可得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16.4．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________________． 答案x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0解析由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)，由于P在圆上，∴(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.课时对点练1．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是() A．x2＋y2＝4B．x2－y2＝4C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2－y2＝4(x≠±2)答案C解析设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故k MP·k NP＝－1.即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则M点的轨迹围成区域的面积为()A．πB．2πC．3πD．4π答案D解析以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，x2＋y2(x－3)2＋y2＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圆的面积为4π.3．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是()A．点B．直线C．线段D．圆答案D解析∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．4．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝9B．(x－1)2＋(y＋1)2＝9C．(x＋1)2＋(y－1)2＝9D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝9答案B解析设圆心M 的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足P A ＝2PB ，则P 的轨迹为() A ．直线B ．线段 C ．圆D ．半圆 答案C解析设点P 的坐标为(x ，y )，∵A (－2,0)，B (1,0)，动点P 满足P A ＝2PB ，∴(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，两边平方得(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4. ∴P 的轨迹为圆．6.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，则线段AB 的端点B 的轨迹方程为()A ．(x －9)2＋(y －6)2＝4B ．(x －6)2＋(y －9)2＝4C ．(x ＋6)2＋(y ＋9)2＝4D ．(x ＋9)2＋(y ＋6)2＝4 答案A解析设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.7.已知圆O ：x 2＋y 2＝4及一点P (－1,0)，Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C ，则轨迹C 的方程为____________________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝1 解析设M (x ，y )，则Q (2x ＋1,2y )，因为Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x ＋1)2＋4y 2＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝1， 所以轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝1. 8．圆x 2＋y 2＝8内有一点P (2，－1)，AB 为过点P 的弦，则AB 的中点Q 的轨迹方程为______________．答案x 2＋y 2＋y －2x ＝0解析设AB 的中点为Q (x ，y )，则AB 的斜率为k ＝y ＋1x －2，又OQ ⊥AB ，所以k OQ ·k ＝－1，即y x ·y ＋1x －2＝－1，整理得x 2＋y 2＋y －2x ＝0， 所以点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＋y －2x ＝0.9．已知两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹方程．解以两定点A ，B 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系， 设A (－3,0)，B (3,0)，M (x ，y )，则MA 2＋MB 2＝26.∴(x ＋3)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝26.化简得M 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.10．已知圆(x ＋1)2＋y 2＝2上动点A ，x 轴上定点B (2,0)，将BA 延长到M ，使AM ＝BA ，求动点M 的轨迹方程．解设A (x 1，y 1)，M (x ，y )，∵AM ＝BA ，且M 在BA 的延长线上，∴A 为线段MB 的中点．由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x ＋22，y 1＝y 2，∵A 在圆上运动，将点A 的坐标代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝2， 化简得(x ＋4)2＋y 2＝8，∴点M 的轨迹方程为(x ＋4)2＋y 2＝8.11．等腰三角形ABC 中，若一腰的两个端点分别是A (4,2)，B (－2,0)，A 为顶点，则另一腰的一个端点C 的轨迹方程是()A ．x 2＋y 2－8x －4y ＝0B ．x 2＋y 2－8x －4y －20＝0(x ≠－2，x ≠10)C ．x 2＋y 2＋8x ＋4y －20＝0(x ≠－2，x ≠10)D ．x 2＋y 2－8x －4y ＋20＝0(x ≠－2，x ≠10)答案B解析设另一腰的一个端点C 的坐标为(x ，y )，由题设条件知(x －4)2＋(y －2)2＝40，x ≠10，x ≠－2.整理，得x 2＋y 2－8x －4y －20＝0(x ≠10，x ≠－2)．12．已知△ABC 的顶点A (0,0)，B (4,0)，且AC 边上的中线BD 的长为3，则顶点C 的轨迹方程是__________．答案(x －8)2＋y 2＝36(y ≠0)解析设C (x ，y )(y ≠0)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. ∵B (4,0)，且AC 边上的中线BD 长为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9， 即(x －8)2＋y 2＝36(y ≠0)．13．存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．现已知在平面直角坐标系中A (－2,0)，B (2,0)，动点P 满足P A ＝λPB (λ>0)，若点P 的轨迹为一条直线，则λ＝__________；若λ＝2，则点P 的轨迹方程为__________________．答案1x 2＋y 2－203x ＋4＝0解析设P (x ，y )，由P A ＝λPB ，可得(x ＋2)2＋y 2＝λ(x －2)2＋y 2，两边平方，整理得点P 的轨迹方程为(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋4(1＋λ2)x ＋4－4λ2＝0.若该方程表示直线，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ2＝0，1＋λ2≠0，解得λ＝1或λ＝－1(舍去)．若λ＝2，则点P 的轨迹方程为3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，即x 2＋y 2－203x ＋4＝0.14．已知△ABC 的边AB 的长为4，若BC 边上的中线为定长3，则顶点C 的轨迹方程为______________．答案(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)解析以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 的中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵AD ＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9.②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．15．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝4.在△ABD 中，∠ADB ＝120°，则CD 的取值范围是() A ．[27－2,27＋2] B ．(4,23＋2]C ．[27－2,23＋2]D ．[23－2,23＋2]答案C解析以点B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (23，0)，C (0,4)．设D (x ，y )，因为∠ADB ＝120°，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在直线AB 的下方．当点D 在直线AB 的上方时，直线BD 的斜率k 1＝y x ，直线AD 的斜率k 2＝y x －23. 由两直线的夹角公式可得tan120°＝－tan60°＝k 2－k 11＋k 2·k 1， 即－3＝y x －23－y x 1＋y x －23·y x，化简整理得(x －3)2＋(y ＋1)2＝4，可得点D 的轨迹是以点M (3，－1)为圆心，以r ＝2为半径的圆，且点D 在AB 的上方，所以是圆在AB 上方的劣弧部分，此时CD 的最短距离为CM －r ＝(3)2＋(4＋1)2－2＝27－2.当点D 在直线AB 的下方时，同理可得点D 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，此时点D 的轨迹是以点N (3，1)为圆心，以r ＝2为半径的圆，且点D 在AB 的下方，所以是圆在AB 下方的劣弧部分，此时CD 的最大距离为CN ＋r ＝(3)2＋(4－1)2＋2＝23＋2. 所以CD 的取值范围为[27－2,23＋2]．16．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l 1的方程为(1＋2m )x ＋(m －1)y －3m ＝0.若直线l 1过定点P ，点M ，N 在圆O 上，且PM ⊥PN ，Q 为线段MN 的中点，求点Q 的轨迹方程． 解直线l 1的方程为(1＋2m )x ＋(m －1)y －3m ＝0，即(x －y )＋m (2x ＋y －3)＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点P 的坐标为(1,1)．因为点M ，N 在圆O 上，且PM ⊥PN ，Q 为线段MN 的中点，则MN ＝2PQ ，设MN 的中点Q (x ，y )，则OM 2＝OQ 2＋MQ 2＝OQ 2＋PQ 2，即4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32，即为点Q 的轨迹方程．。
2025版高考数学一轮总复习课时作业第二章函数专题突破3函数的对称性及其应用
其次章函数专题突破3 函数的对称性及其应用1. 下列函数中，其图象与函数的图象关于原点对称的是（D）A. B. C. D.解：函数的图象关于原点对称的图象对应的函数是.故选.2. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（C）A. B. C. D.解：因为，所以函数的图象关于直线对称.又在上单调递增，所以在上单调递减.所以，，故正确.故选.3. 若函数的图象关于点对称，则实数（B）A. 2B. 3C. 5D. 6解：由题意，知，即，解得.此时，图象明显关于点对称，符合题意.故选.4. 已知定义域为的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对随意的恒成立，则实数的取值范围是（B）A. ，B.C. ，D.解：因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称.又在上单调递减，所以在上单调递增.而不等式对随意的恒成立，由于，所以.所以原不等式等价于.又，所以，解得．故选．5. [2024年新课标Ⅱ卷]已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（B）A. B. C. D.解：（方法一）令,满足全部条件，代入检验，知仅正确.（方法二）因为函数为偶函数，所以.可得.因为函数为奇函数，所以.所以.所以，即.故函数是以4为周期的周期函数.因为函数为奇函数，所以.故.其他三个选项未知.故选.6. 【多选题】已知是定义在上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是（ACD）A.B. 在区间上单调递增C.D. 是满足条件的一个函数解：因为是定义在上的奇函数，所以.又，所以，即.所以，正确.无法得出在区间上单调递增，故错误.因为的一个周期为8，所以，故正确.为奇函数，且，故正确.故选.。
最新高考-高考数学复习对称问题 精品
7.3 对称问题●知识梳理1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有x x y y -'-'·k =－1，20y y +'=k ·20x x +'+b ，特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）.3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（y ，x ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足x x y y --·k =－1， 20y y +=k ·20xx ++b ，代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程.4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. ●点击双基1.已知点M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x +y =0对称，则点Q 的坐标为A.（a ，b ）B.（b ，a ）C.（－a ，－b ） D .（－b ，－a ） 解析：N （a ，－b ），P （－a ，－b ），则Q （b ，a ）．可求出x ′、y ′.从中解出x 0、y 0，答案：B2.曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线方程是A.y 2=8－4xB.y 2=4x －8C.y 2=16－4x D .y 2=4x －16解析：设曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线为C ，在曲线C 上任取一点P （x ，y ），则P （x ，y ）关于直线x =2的对称点为Q （4－x ，y ）.因为Q （4－x ，y ）在曲线y 2=4x 上，所以y 2=4（4－x ），即y 2=16－4x . 答案：C3.已知直线l 1：x +my +5=0和直线l 2：x +ny +p =0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是A.m 5=np B.p =－5C.m =－n 且p =－5 D .m1=－n 1且p =－5解析：直线l 1关于y 轴对称的直线方程为（－x ）+my +5=0，即x －my －5=0，与l 2比较，∴m =－n 且p =－5.反之亦验证成立. 答案：C4.点A （4，5）关于直线l 的对称点为B （－2，7），则l 的方程为____________. 解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线. 答案：3x －y +3=05.设直线x +4y －5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y －3=0对称的直线的倾斜角是____________.解析：数形结合. 答案：π－θ ●典例剖析【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.2x +y －4=0，3x +4y －1=0，方法一：设直线b 的斜率为k ，又知直线a 的斜率为－2，直线l 的斜率为－43. 则)2()43(1)2(43-⨯-+---=)43(1)43(-+--k k . 解得k =－112. 代入点斜式得直线b 的方程为解：由解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上.y －（－2）=－112（x －3）， 即2x +11y +16=0.方法二：在直线a ：2x +y －4=0上找一点A （2，0），设点A 关于直线l 的对称点B 的坐标为（x 0，y 0），3×220x ⨯+4×200y +－1=0， 2000--x y =34， 解得B （54，－58）. 由两点式得直线b 的方程为)58(2)2(-----y =5433--x ，即2x +11y +16=0.方法三：设直线b 上的动点P （x ，y ）关于l ：3x +4y －1=0的对称点Q （x 0，y 0），则有3×20x x ++4×20y y +－1=0，00x x y y --=34. 解得x 0=256247+-y x ，y 0=258724+--y x .Q （x 0，y 0）在直线a ：2x +y －4=0上， 则2×256247+-y x +258724+--y x －4=0，化简得2x +11y +16=0是所求直线b 的方程.方法四：设直线b 上的动点P （x ，y ），直线a 上的点Q （x 0，4－2x 0），且P 、Q 两点关于直线l ：3x +4y －1=0对称，则有5|143|-+y x =5|1)24(43|00--+x x ，00)24(x x x y ---=34.消去x 0，得2x +11y +16=0或2x +y －4=0（舍）.评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与方法二，除了点E 外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.【例2】 光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.由剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.解：∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上， 同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上， ∴k B A 2=3246--+=－2.故所求直线方程为y －6=－2（x +2）， 即2x +y －2=0.评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例3】 已知点M （3，5），在直线l ：x －2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小.剖析：如下图，作点M 关于直线l 的对称点M 1，再作点M 关于y 轴的对称点M 2，连结MM 1、MM 2，连线MM 1、MM 2与l 及y 轴交于P 与Q 两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ 的周长最小.O x yPQM M M12解：由点M （3，5）及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点M 1（5，1）.同样容易求得点M 关于y 轴的对称点M 2（－3，5）.据M 1及M 2两点可得到直线M 1M 2的方程为x +2y －7=0.令x =0，得到M 1M 2与y 轴的交点Q （0，27）. x +2y －7=0， x －2y +2=0， 故点P （25，49）、Q （0，27）即为所求.评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.深化拓展恰当地利用平面几何的知识解题.不妨再试试这个小题：已知点A （1，3）、B （5，2），在x 轴上找一点P ，使得|P A |+|PB |最小，则最小值为____________，P 点的坐标为____________.答案：41 （517，0） ●闯关训练 夯实基础1.已知圆C 与圆（x －1）2+y 2=1关于直线y =－x 对称，则圆C 的方程为 A.（x +1）2+y 2=1 B.x 2+y 2=1C.x 2+（y +1）2=1 D .x 2+（y －1）2=1 解析：由M （x ，y ）关于y =－x 的对称点为（－y ，－x ）， 即得x 2+（y +1）2=1. 答案：C2.与直线x +2y －1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为 A.2x －y －5=0 B.x +2y －3=0解方程组得交点P （25，49）.C.x +2y +3=0 D .2x －y －1=0解析：将x +2y －1=0中的x 、y 分别代以2－x ，－2－y ，得（2－x ）+2（－2－y ）－1=0，即x +2y +3=0.故选C.答案：C3.两直线y =33x 和x =1关于直线l 对称，直线l 的方程是____________. 解析：l 上的点为到两直线y =33x 与x =1距离相等的点的集合，即2)3(1|3|+-y x =｜x －1｜，化简得x +3y －2=0或3x －3y －2=0.答案：x +3y －2=0或3x －3y －2=04.直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A （4，－1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是____________.解析：易知A （4，－1）、B （3，4）在直线l ：2x －y －4=0的两侧.作A 关于直线l 的对称点A 1（0，1），当A 1、B 、P 共线时距离之差最大.答案：（5，6）5.已知△ABC 的一个顶点A （－1，－4），∠B 、∠C 的平分线所在直线的方程分别为l 1：y +1=0，l 2：x +y +1=0，求边BC 所在直线的方程.解：设点A （－1，－4）关于直线y +1=0的对称点为A ′（x 1，y 1），则x 1=－1，y 1=2×（－1）－（－4）=2，即A ′（－1，2）.在直线BC 上，再设点A （－1，－4）关于l 2：x +y +1=0的对称点为A ″（x 2，y 2），则有1422++x y ×（－1）=－1， 212-x +242-y +1=0. x 2=3， y 2=0，即A ″（3，0）也在直线BC 上，由直线方程的两点式得202--y =131++x ，即x +2y －3=0为边BC 所在直线的方程.培养能力6.求函数y =92+x +4182+-x x 的最小值.解：因为y =22)30()0(-+-x +22)50()4(-+-x ，所以函数y 是x 轴上的点P （x ，0）与两定点A （0，3）、B （4，3）距离之和. y 的最小值就是|P A |+|PB |的最小值.由平面几何知识可知，若A 关于x 轴的对称点为A ′（0，－3）， 则|P A |+|PB |的最小值等于|A ′B |， 即22)35()04(++-=45.解得所以y min =45.7.若抛物线y =2x 2上的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）关于直线y =x +m 对称且x 1x 2=－21，求m 的值.解：设直线AB 的方程为y =－x +b ，代入y =2x 2得2x 2+x －b =0，∴x 1+x 2=－21，x 1x 2=2b -=－21. ∴b =1，即AB 的方程为y =－x +1.设AB 的中点为M （x 0，y 0），则x 0=221x x +=－41，代入y 0=－x 0+1，得y 0=45.又M （－41，45）在y =x +m 上，∴45=－41+m .∴m =23.8.（文）直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A （－4，2）、B （3，1），求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状.解：由题意，点A 关于直线y =2x 的对称点A ′在BC 所在直线上，设A ′点坐标为（x 1，y 1），则x 1、y 1满足4211+-x y =－21，即x 1=－2y 1.①221+y =2·241-x ，即2x 1－y 1－10=0.②解①②两式组成的方程组，得 x 1=4， y 1=－2.∴BC 所在直线方程为121---y =343--x ， 即3x +y －10=0.3x +y －10=0， x =2，y =2x ， y =4.∴所求C 点坐标为（2，4）.由题意|AB |2=50，|AC |2=40，|BC |2=10， ∴△ABC 为直角三角形.（理）若抛物线y =ax 2－1上总存在关于直线x +y =0对称的两点，求实数a 的取值范围. 解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是抛物线上关于直线x +y =0对称的两点，则AB 的方程可设为y =x +b .y =x +b ，y =ax 2－1， 得ax 2－x －b －1=0，解方程组 得联立方程组可知Δ=1+4a （b +1）>0.①又221x x +=a 21，∴221y y +=－a21. ∴线段AB 的中点M （a 21，－a21）.∵M 点在直线AB 上，∴－a 21=a21+b ，即b =－a 1.②将②代入①得1+4a （1－a1）>0.∴a >43.探究创新9.已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1<x 4<2，求tan θ的取值范围.2,0)C (2,1) P 1解：设P 1B =x ，∠P 1P 0B =θ，则CP 1∠P 1P 2C 、∠P 3P 2D 、∠AP 4P 3均为θ又tan θ=21CP CP =21CP x -=x ， ∴CP 2=x x -1=x 1－1. 而tan θ=DP D P 23=)11(23--xDP =x DP 133-=x ，∴DP 3=x （3－x1）=3x －1.又tan θ=43AP AP =4)13(1AP x --=432AP x-=x ， ∴AP 4=x x 32-=x2－3. 依题设1<AP 4<2，即1<x2－3<2，∴4<x 2<5，41>2x >51. ∴21>tan θ>52. ●思悟小结1.对称问题分为点对称及轴对称.点对称仅用中点坐标公式即可解决，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决.特别是关于原点对称、坐标轴对称、直线x ±y =0对称都要熟练掌握.2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法.3.本章的内容是解析几何最基本的概念、公式和法则，这些内容的综合应用是高考中经常考查的内容.●教师下载中心 教学点睛1.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.2.许多问题都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等.3.对称问题除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可以用求轨迹的思想——代入法来求解.拓展题例【例1】 已知两点A （2，3）、B （4，1），直线l ：x +2y －2=0，在直线l 上求一点P . （1）使|P A |+|PB |最小； （2）使|P A |－|PB |最大. 解：（1）可判断A 、B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为（x 1，y 1）.221+x +2·231+y －2=0， 2311--x y ·（－21）=－1. x 1=－52， y 1=－59.由两点式求得直线A 1B 的方程为y =117（x －4）+1，直线A 1B 与l 的交点可求得为P （2556，－253）. 由平面几何知识可知|P A |+|PB |最小.（2）由两点式求得直线AB 的方程为y －1=－（x －4），即x +y －5=0. 直线AB 与l 的交点可求得为P （8，－3），它使|P A |－|PB |最大. 【例2】 直线l 经过点（1，1），若抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l 对称，求直线l 斜率的取值范围.解法一：设直线l 的方程为y －1=k （x －1），弦的两个端点分别是A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），代入抛物线方程并作差得（y 1+y 2）（y 1－y 2）=x 1－x 2.则有解得∵k AB =2121x x y y --=－k1，∴y 1+y 2=－k .注意到AB 的中点在直线l ：y －1=k （x －1）上，∴x 1+x 2=1－k2. ∴y 12+y 22=x 1+x 2=1－k2. 由y 12+y 22>2)(221y y +，得1－k 2>22k ⇒k k k k 2)22)(2(2+-+<0⇒－2<k <0. 解法二：设抛物线上关于直线l ：y －1=k （x －1）对称的两点为（y 12，y 1）、（y 22，y 2），222121y y y y --=－k1221y y +－1=k （22221y y +－1）y 1+y 2=－k ，y 1y 2=22k +k 1－21，∴y 1、y 2是方程y 2+ky +22k +k 1－21=0的两根.由Δ=k 2－4（22k +k 1－21）>0⇒kk k k )22)(2(2+-+<0 ⇒－2<k <0.则⇒。
2019-2020年高三数学 第56课时 轨迹和对称问题教案
2019-2020年高三数学第56课时轨迹和对称问题教案教学目标：掌握轨迹问题及对称问题的基本解法（一）主要知识及主要方法：求轨迹方程常用的方法：定义法；利用图形的几何性质；轨迹法；参数法；代入法；待定系数法；交轨法；向量法.要注意“查漏补缺，剔除多余”.对称分为中心对称和轴对称.中心对称问题常利用中点坐标公式解决；解决轴对称问题常根据下列两个条件：①垂直.即已知点和对称点的连线与对称轴垂直；②中点.即已知点和对称点的中点在对称轴上.（二）典例分析：问题1．（北京）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．求边所在直线的方程；求矩形外接圆的方程；若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．问题２．（福建）如图，已知点，Array直线：，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；问题3．倾斜角为的直线交椭圆于两点，求线段中点的轨迹方程问题4．双曲线关于直线对称的曲线方程是已知抛物线，.问是否存在过点的直线，使抛物线上存在不同的两点关于直线对称？如果存在，求出直线斜率的取值范围；如果不存在，请说明理由.（三）课后作业：已知动点满足34x y =+，则点的轨迹是椭圆 双曲线 抛物线 两相交直线（辽宁）已知点、，动点满足，则点的轨迹是 圆 椭圆 双曲线 抛物线在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程是已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹是圆 抛物线 椭圆双曲线： 内部一点与圆周上动点连线的中垂线交于，求点的轨迹方程.已知圆：和圆：，动圆同时与与圆相外切，求动圆圆心的轨迹.已知椭圆：，试确定的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线对称.设椭圆与双曲线有公共的焦点，，并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹.（四）走向高考：(天津)设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．（陕西）如图,三定点,,; 三动点满足, ,, ， (Ⅰ) 求动直线斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点的轨迹方程.。
人教A版高中数学选修高考二轮复习新第课时轨迹和对称问题
课题：轨迹和对称问题教学目标：掌握轨迹问题及对称问题的基本解法 （一） 主要知识及主要方法：1.求轨迹方程常用的方法：()1定义法；()2利用图形的几何性质；()3轨迹法； ()4参数法；()5代入法；()6待定系数法；()7交轨法；()8向量法.要注意“查漏补缺，剔除多余”.2.对称分为中心对称和轴对称.中心对称问题常利用中点坐标公式解决；解决轴对称问题常根据下列两个条件：①垂直.即已知点和对称点的连线与对称轴垂直；②中点.即已知点和对称点的中点在对称轴上.（二）典例分析： 问题1．（07 北京）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．()1求AD 边所在直线的方程；()2求矩形ABCD 外接圆的方程；()3若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．问题２．（07福建）如图，已知点(10)F ，，直线l ：1x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于,A B 两点，交直线l于点M ，已知1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r，求12λλ+问题3．倾斜角为4π的直线交椭圆1422=+y x 于B A ,两点，求线段AB 中点的轨迹方程问题4．()1双曲线22143x y -=关于直线20x y -+=对称的曲线方程是()2已知抛物线221y x =-，()2,0A .问是否存在过A 点的直线l ，使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称？如果存在，求出直线l 斜率的取值范围；如果不存在，请说明理由.（三）课后作业：1.已知动点(),P x y 满足34x y =+，则P 点的轨迹是.A 椭圆 .B 双曲线 .C 抛物线 .D 两相交直线2.（04辽宁）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅=u u u r u u u r，则点 P 的轨迹是 .A 圆 .B 椭圆 .C 双曲线 .D 抛物线3.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知()3,1A ，()1,3B -，若点C 满足 OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r，其中,R αβ∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程是4.已知点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(,)Q x y xy +的轨迹是 .A 圆 .B 抛物线 .C 椭圆 .D 双曲线5.C ⊙： 16)3(22=++y x 内部一点A)与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.6.已知圆1C ：()2231x y ++=和圆2C ：()2239x y -+=，动圆M 同时与1C 与圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹.7.已知椭圆C ：22143x y +=，试确定m 的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线4y x m =+对称.8.设椭圆与双曲线有公共的焦点()14,0F -，()24,0F ，并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹.（四）走向高考：9.(07天津)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．10.（06陕西）如图,三定点()2,1A ,()0,1B -,()2,1C -; 三动点,,D E M 满足AD t AB =u u u r u u u r , BE tBC =u u u r u u u r ,DM tDE =u u u u r u u u r, []0,1t ∈， (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.。
届高考数学一轮复习精讲课件第单元第讲两直线的位置关系与对称问题湘教版46页文档
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
届高考数学一轮复习精讲课 件第单元第讲两直线的位置
关系与对称问题湘教版
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
2021-2022年高考数学一轮复习 8.5 轨迹问题教案
2021年高考数学一轮复习 8.5 轨迹问题教案●知识梳理本节主要内容是轨迹的概念及轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q与点P之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P的轨迹可以得到点Q的轨迹；（4）参数法.●点击双基1.动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是A.中心在原点的椭圆B.中心在（5，0）的椭圆C.中心在原点的双曲线D.中心在（5，0）的双曲线解析：直接法.答案：B2.（xx年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为F1（－，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=2，则该双曲线的方程是A.－=1B.－=1C.－y2=1D.x2－=1解析：设双曲线的方程为－=1.由题意||PF1|－|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2.又∵|PF1|·|PF2|=2，∴a=2，b=1.故双曲线方程为－y2=1.答案：C3.已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是A.y2－＝1（y≤－1）B.y2－＝1C.y2－＝－1D.x2－＝1解析：由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b2＝48，所以轨迹方程为y2－＝1（y≤－1）.答案：A4.F1、F2为椭圆+=1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________________.解析：延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知DO=F2B=2，∴动点D的轨迹方程为x2+y2=4.答案：x2+y2=45.已知△ABC中，B（1，0）、C（5，0），点A在x轴上方移动，且tan B+tan C=3，则△ABC的重心G的轨迹方程为________________.解析：设A（x0，y0），∵tan B+tan C=3，∴－=3，点A的轨迹方程为y0=－（x02－6x0+5）（x0≠1且x0≠5）.若G（x，y）为△ABC的重心，则由重心坐标公式：x=，y=，∴x0=3x－6，且y0=3y.代入A点轨迹方程得G的轨迹方程为y－1=－（x－3）2（x≠且x≠）.答案：y－1=－（x－3）2（x≠且x≠）●典例剖析【例1】在△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=－2，且△PMN的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程.剖析：如上图，以直线MN为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则所求椭圆方程为+=1.显然a2、b2是未知数，但a2、b2与已知条件没有直接联系，因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元，或改造已知条件.解法一：如上图，过P作PQ⊥MN，垂足为Q，令|PQ|=m，于是可得|MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m，|QN|=|PQ|cot∠PNQ=m.∴|MN|=|MQ|－|NQ|=2m－m=m.于是S△PMN=|MN|·|PQ|=·m·m=1.因而m=，|MQ|=2，|NQ|=，|MN|=.|MP|===，|NP|===.以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）.则2a=|MP|+|NP|=，2c=|MN|=，故所求椭圆方程为+=1.解法二：设M（－c，0）、N（c，0），P（x，y），y＞0，=，=2，则y·c=1，解之，得x=，y=，c=.设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2，则b2·（）2+a2（）2=a2b2，a2－b2=，解之，得a2=，b2=3.（以下略）评述：解法一选择了与a较接近的未知元|PM|、|PN|，但需改造已知条件，以便利用正弦定理和面积公式；解法二以条件为主，选择了与条件联系最直接的未知元x、y、c.本题解法较多，但最能体现方程思想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.深化拓展若把△PMN的面积为1改为·=，求椭圆方程.提示：由tan∠PMN=，tan∠MNP=－2，易得sin∠MPN=，cos∠MPN=.由·=，得||||=.易求得|PM|=，|PN|=.进而求得椭圆方程为+=1.【例2】（xx年福建，22）如下图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.剖析：欲求PQ中点M的轨迹方程，需知P、Q的坐标.思路一，P、Q是直线l与抛物线C 的交点，故需求直线l的方程，再与抛物线C的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M的轨迹方程；思路二，设出P、Q的坐标，利用P、Q的坐标满足抛物线C的方程，代入抛物线C的方程相减得PQ的斜率，利用PQ的斜率就是l的斜率，可求得M的轨迹方程.解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）、M（x0，y0），依题意知x1≠0，y1>0，y2>0.由y=x2，①得y′=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1，∴直线l的斜率k l=－=－，直线l的方程为y－x12=－（x－x1）. ②方法一：联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.∵M为PQ的中点，x0==－，y0=x12－（x0－x1）.消去x1，得y0=x02++1（x0≠0），∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）.方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1－y2=x12－x22=（x1+x2）（x1－x2）=x0（x1－x2），则x0==k l=－，∴x1=－.将上式代入②并整理，得y0=x02++1（x0≠0），∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）.评述：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法.本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题.深化拓展当点P在抛物线C上移动时，求点M到x轴的最短距离.提示：∵x≠0，x2>0，∴y=x2++1≥2+1=+1，当且仅当x2=，x=±时等号成立，即点M到x 轴的最短距离为+1.∴【例3】（xx年春季全国）已知抛物线y2＝4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程.剖析：点M是OM与AB的交点，点M随着A、B两点的变化而变化，而A、B为抛物线上的动点，点M与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数.解法一：设M（x0，y0），则k OM=，k AB=－，直线AB方程是y=－（x－x0）+y0.由y2=4px可得x=，将其代入上式，整理，得x0y2－（4py0）y－4py02－4px02=0. ①此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，∴A（，y1）、B（，y2）.∵OA⊥OB，∴k OA·k OB=－1.∴·=－1.∴y1y2=－16p2.根据根与系数的关系，由①可得y1·y2=，∴=16p2.化简，得x02+y02－4px0=0，即x2+y2－4px=0（除去原点）为所求.∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设A、B两点坐标为A（pt12，2pt1）、B（pt22，2pt2）.∴k OA=，k OB=，k AB=.∵OA⊥OB，∴t1·t2=－4.∴AB方程是y－2pt1=（x－pt12），①直线OM的方程是y=－x. ②①×②，得（px）t12+2pyt1－（x2+y2）=0. ③∴直线AB的方程还可写为y－2pt2=（x－pt22）. ④由②×④，得（px）t22+（2py）t2－（x2+y2）=0. ⑤由③⑤可知t1、t2是方程（px）t2+（2py）t2－（x2+y2）=0的两根.由根与系数的关系可得t1t2=.又t1·t2=－4，∴x2+y2－4px=0（原点除外）为所求点M的轨迹方程.故M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.解法三：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，由OM⊥AB得k=－.由y2=4px及y=kx+b消去y，得k2x2+x（2kb－4p）+b2=0.所以x1x2=.消去x，得ky2－4py+4pb=0.所以y1y2=.由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2，所以=－，b=－4kp.故y=kx+b=k（x－4p）.用k=－代入，得x2+y2－4px=0（x≠0）.解法四：设点M的坐标为（x，y），直线OA的方程为y=kx，显然k≠0，则直线OB的方程为y=－x.y=kx，y2=4px，类似地可得B点的坐标为（4pk2，－4pk），从而知当k≠±1时，由解得A点的坐标为（，），k AB =)1(4)1(422k kp k k p -+=. 故得直线AB 的方程为y +4pk =（x －4pk 2），即（－k ）y +4p =x ， ①直线OM 的方程为y =－（－k ）x . ②可知M 点的坐标同时满足①②，由①及②消去k 便得4px =x 2+y 2，即（x －2p ）2+y 2=4p 2，但x ≠0，当k =±1时，容易验证M 点的坐标仍适合上述方程.故点M 的轨迹方程为（x －2p ）2+y 2=4p 2（x ≠0），它表示以点（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆.评述：本题考查了交轨法、参数法求轨迹方程，涉及了类比、分类讨论等数学方法，消参时又用到了整体思想法，对含字母的式子的运算能力有较高的要求，同时还需要注意轨迹的“完备性和纯粹性”.此题是综合考查学生能力的一道好题.深化拓展本题中直线AB 恒过定点（4p ，0），读者不妨探究一番.●闯关训练夯实基础1.已知M （－2，0）、N （2，0），｜PM ｜－｜PN ｜＝4，则动点P 的轨迹是A.双曲线B.双曲线左边一支C.一条射线D.双曲线右边一支解析：利用几何性质.答案：C2.（xx 年河南）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （，0），直线y =x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是A.－=1B.－=1C.－=1D.－=1解析：设双曲线方程为－=1.将y =x －1代入－=1，整理得（b 2－a 2）x 2+2a 2x －a 2－a 2b 2=0.由韦达定理得x 1+x 2=，==－.由c 2=a 2+b 2求得a 2=2，b 2=5.答案：D3.曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为____________.解析：代入法（或相关点法）.答案：（x －6）2+4（y －10）2=44.与圆x 2+y 2－4x =0外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________.解析：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x =－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴.答案：y 2=8x （x >0）或y =0（x <0）5.自抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连结顶点O 与P 的直线和连结焦点F 与Q 的直线交于R 点，求R 点的轨迹方程.解：设P （x 1，y 1）、R （x ，y ），则Q （－，y 1）、F （，0），∴OP 的方程为y =x ， ①FQ 的方程为y =－y 1（x －）. ②由①②得x 1＝，y 1＝，代入y 2＝2x ，可得y 2＝－2x 2+x .6.求经过定点A （1，2），以x 轴为准线，离心率为的椭圆下方的顶点的轨迹方程. 解：设椭圆下方的焦点F （x 0，y 0），由定义=，∴|AF |=1，即点F 的轨迹方程为（x 0－1）2+（y 0－2）2=1.又设椭圆下方顶点为P （x ，y ），则x 0=x ，y 0=y ，∴点P 的轨迹方程是（x －1）2+（y －2）2=1.培养能力7.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜＝2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜＝｜MN ｜，求点P 的轨迹.解：以圆心O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如下图），则⊙O 的方程为x2＋y 2＝a 2，设点P 坐标为（x ，y ），并设圆与y 轴交于C 、D 两点，作PQ ⊥AB 于Q ，则有＝. ∵｜OP ｜＝｜MN ｜，∴｜OP ｜2＝｜OM ｜·｜PQ ｜.∴x 2+y 2＝a ｜y ｜，即 x 2＋（y ±）2＝（）2.轨迹是分别以CO 、OD 为直径的两个圆.8.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y =k （x －1），代入y 2=4x ，得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2=0.设l 方程与抛物线相交于两点，∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， 根据韦达定理，有x 1+x 2=，从而y 1+y 2=k （x 1+x 2－2）=.设△AOB 的重心为G （x ，y ）， x ==+，y ==， ∴y 2=x －.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB 的重心G（，0），也适合y 2=x －，因此所求轨迹C 的方程为y 2=x －.探究创新9.（xx 年春季安徽）已知k ＞0，直线l 1：y =kx ，l 2：y =－kx .（1）证明：到l 1、l 2的距离的平方和为定值a （a ＞0）的点的轨迹是圆或椭圆；（2）求到l 1、l 2的距离之和为定值c （c ＞0）的点的轨迹.（1）证明：设点P （x ，y ）为动点，则 +=a ，整理得2222)1(k a k x ++2)1(22ak y +=1. 因此，当k =1时，动点的轨迹为圆；则 消去k ，得x =+（y ）2，当k≠1时，动点的轨迹为椭圆.（2）解：设点P（x，y）为动点，则|y－kx|+|y+kx|=c.当y≥k|x|时，y－kx+y+kx=c，即y=c；当y≤－k|x|时，kx－y－y－kx=c，即y=－c；当－k|x|＜y＜k|x|，x＞0时，kx－y+y+kx=c，即x=c；当－k|x|＜y＜k|x|，x＜0时，y－kx－y－kx=c，即x=－c.综上，动点的轨迹为矩形.●思悟小结1.求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、化简、检验.检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性.2.如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.3.如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法.4.如果轨迹动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程.此法称为代入法.5.如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.6.注意参数的取值范围对方程的影响.●教师下载中心教学点睛1.已知曲线求方程或已知方程画曲线是解析几何中的两个基本问题.如何探求动点的轨迹方程呢？①从定义出发，还本索源.在探求动点的轨迹方程时，如能结合解析几何中某种曲线的定义，也就能寻找到解决问题的钥匙；②利用平面几何的性质.动点的轨迹与图形的性质相关，若某些轨迹与直线或圆有关，则可以利用三角形或圆的性质来帮助分析；③伴随曲线的思想和方法.如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立起某种关系，则借助于点P的运动轨迹，我们便可以得到点Q的运动轨迹，这便是伴随曲线的思想方法.2.在探求轨迹的过程中，需要注意的是轨迹的“完备性”和“纯粹性”，也就是说既不能多，也不能少，因此，在求得轨迹方程之后，要深入地再思考一下：①是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？②在所求得的轨迹方程中，x、y的取值范围是否有什么限制?拓展题例【例1】是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由．（1）准线是y轴；（2）顶点在x轴上；（3）点A（3，0）到此抛物线上动点P的距离最小值是2.解：假设存在这样的抛物线，顶点为（a，0），则方程为y2＝4a（x－a）（a≠0），设P（x0，y0），则y02＝4a（x0－a），｜AP｜2＝（x0－3）2＋y02＝［x 0－（3－2a ）］2＋12a －8a 2，令f （a ）＝｜AP ｜2，①当a ＞0时，有x 0≥a ，当3－2a ≥a 即a ∈（0，1］时，｜AP ｜2＝f （3－2a ），∴a ＝1或a ＝；抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －）.当3－2a ＜a 即a ＞1时，｜AP ｜2＝f （a ）.∴a ＝5或a ＝1（舍），抛物线方程为y 2＝20（x －5）.②当a ＜0时，显然与已知矛盾，∴所求抛物线方程为y 2＝4（x －1）或y 2＝2（x －）或y 2＝20（x －5）．【例2】 （xx 年太原市模拟题）已知椭圆的焦点为F 1（－1，0）、F 2（1，0），直线x =4是它的一条准线.（1）求椭圆的方程；（2）设A 1、A 2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P 是椭圆上满足|PA 1|－|PA 2|=2的一点，求tan ∠A 1PA 2的值；（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A 2为焦点的抛物线相交于点M 、N ，求MN 中点Q 的轨迹方程.解：（1）设椭圆方程为+=1（a ＞b ＞0）. c =1， =4，c =1， a =2，所求椭圆方程为+=1.（2）由题设知，点P 在以A 1、A 2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上. 由（1）知A 1（－2，0），A 2（2，0），设双曲线方程为－=1（m ＞0，n ＞0）.2m =2， m =1， m 2+n 2=4， n =.∴双曲线方程为x 2－=1.由+=1，x 2－=1，解得P 点的坐标为（，）或（，－）.当P 点坐标为（，）时，tan ∠A 1PA 2==－4. 同理当P 点坐标为（，－）时，tan ∠A 1PA 2=－4.故tan ∠A 1PA 2=－4.（3）由题设知，抛物线方程为y 2=8x .设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），MN 的中点Q （x ，y ），当x 1≠x 2时，有y 12=8x 1， ① y 22=8x 2， ② x =， ③ y =， ④ =. ⑤ ①－②，得（y 1+y 2）=8，将④⑤代入上式，有·2y =8，即y 2=4（x －1）（x ≠1）.当x 1=x 2时，MN 的中点为（1，0），仍满足上式.故所求点Q 的轨迹方程为y 2=4（x －1）. 由题设有 解得 ∴b 2=3. 则 解得。
高三数学对称问题
二、题型剖析
例1．（1）直线 2x y 3 0关于定点 M (1,2) 对
称的直线方程是（B）
对称问题
高三备课组
一、基础知识
1、 点关于点的对称
点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y).
点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点 的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点 坐标公式的应用问题 。
2、点关于直线的对称点
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的
“垂直平分线“，Байду номын сангаас用”垂直“和”平分“这
； https:///xuxiaoming/ 徐小明新浪博客
;
；
石头'是什麽，请记住，先挑'大石头'优先放进去吧！” ? 训练要求： ? 1.这则材料应该给出的话题是： ? 3.你的作文题目是： ? 4.你的论点或主旨是： ? 5.请写出能体现你的中心主旨的一句名言、歌词等或自编一句有哲理的话，不超过30字。 ? 6.请你联系所学过的课文，写出一二则相 关课内论据。语言要简洁。 ? 7.请你联系并提炼你的现实生活，或亲身经历或耳闻目睹的社会现象，写出一二则生活论据。 ? 8.请你联系所读过的各类课外书报，提炼整理出一二则论据。 ? 9.请为你的论点写出一段说理性文字。100字以内。 ? 10.你认为在立意上需要提醒大家注意的问题 ： ? 三、一头老驴掉到一个废弃的旧井里，很深，根本爬不上来。主人看它是老驴懒得去救它了，让它在那里自生自灭。 ? 那头驴一开始也放弃了求生的希望。每天不断地有人往井里倒垃圾，老驴也生气自己倒霉掉到了井里主人不要它，就算死了也不让它死得舒服点，每天还有那么多垃圾 扔下来，可是有一天，它改变了对垃圾的态度。它每天都把垃圾踩到自己的脚下，并从垃圾中找到残羹来维持自己
最新高考一轮总复习北师版新教材《第二节 直线的位置关系、距离及对称问题》
因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,即2x+3y-2=0.
(2)设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)
在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所
(方法 2)由垂直关系可设所求直线方程为 4x-3y+m=0.
2 + 3 + 1 = 0,
5 7
由
可解得交点的坐标为 - 3 , 9 ,
-3 + 4 = 0,
将点
5 7
-3,9
.
代入 4x-3y+m=0,得 m=9.故所求直线的方程为 4x-3y+9=0.
(方法3)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,λ∈R,即
又两直线间的距离是 5,所以
以 m=2.所以 m+n=0.
| +3|
d= 5
= 5,解得 m=2 或 m=-8.因为 m>0,所
规律方法 距离问题的常见题型及解题策略
(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标,然后代入公式求解,一般用来
判断三角形的形状等.
(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式.若已知
3.若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.(
)
题组二 双基自测
4. (2022·山东潍坊二模)已知直线l1:x-3y=0,l2:x+ay-2=0,若l1⊥l2,则a=(
2024年高中数学专题重难点题型培优精讲点线间的对称关系学生版新人教A版选择性必修第一册 (1)
专题2.9点、线间的对称关系1．点关于点的对称2．直线关于点的对称3．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：4．直线关于直线的对称【题型1 点关于点的对称问题】【方法点拨】点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.【例1】若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（）A．(0,4)B．(0,2)C．(−2,4)D．(4,−2)【变式1-1】点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为．【变式1-2】点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为．【变式1-3】已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(−2,−3)，则点P(x,y)到原点的距离是. 【题型2 直线关于点的对称问题】【方法点拨】【例2】直线l:4x+3y−2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为（）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【变式2-1】直线2x+3y−6=0关于点(−1,2)对称的直线方程是（）A．3x−2y−10=0B．3x−2y−23=0C．2x+3y−4=0D．2x+3y−2=0【变式2-2】直线ax+3y−9=0与直线x−3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是A．a=−1，b=−9B．a=−1，b=9C．a=1，b=−9D．a=1，b=9【变式2-3】直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【题型3 点关于直线的对称问题】【方法点拨】点关于直线的对称问题有三种情况：【例3】点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（）A．(−1,−3)B．(−1,−4)C．(4,1)D．(2,3)【变式3-1】已知点A(−2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B，则点B的坐标为（）A．(1,−2)B．(2,1)C．(2,−1)D．(−1,2)【变式3-2】已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2，5)，则直线l的方程是（）A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0【变式3-3】已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【题型4 直线关于直线的对称问题】【方法点拨】【例4】直线y=2x+1关于直线y=x对称的直线方程为（）A．x−3y+1=0B．x−3y−1=0C．x−2y−1=0D．x−2y+1=0【变式4-1】两直线l1:2x−y+1=0,l2:y=x，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为（）A．2x−y+1=0B．x−3y+1=0C．2x−3y+2=0D．x−2y−1=0【变式4-2】求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【变式4-3】若两条平行直线l1：x−2y+m=0(m>0)与l2：2x+ny−6=0之间的距离是2√5，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为（）A．x−2y−13=0B．x−2y+2=0C．x−2y+4=0D．x−2y−6=0【题型5 光的反射问题】【方法点拨】光的反射问题，在这里主要是研究一条光线经过点P射到直线l上，然后反射经过点Q，求入射光线或反射光线所在直线方程等问题，关键是利用光学知识得到入射光线所在直线与反射光线所在直线关于直线l对称，然后转化为点(或直线)关于直线的对称问题来解决.1111将军饮马问题主要是点、线间的对称问题，借助题干条件，找出其中蕴含的对称关系，进行转化求解即可.【例6】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−1,−4)，若将军从点A(−1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马“的最短总路程为（）A．√13B．√17C．2√17D．10【变式6-1】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(−4,−4)，若将军从点A(−2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=2，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．√13B．5C．2√10D．10【变式6-2】在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为(x+1)2+(y−1)2≤1，若将军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+2y−5=0，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（）A．12x+5y−12=0B．21x+2y−21=0C．4x+y−4=0D．11x+2y−11=0【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白。
2025版高考数学全程一轮复习第二章函数第四节函数的对称性课件
5．已知函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，且当x≥2时，f(x)＝x2－6x＋5， 则f(1)＝__－__4__．
解析：因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)， 所以当x＝1时，f(1)＝f(3)＝32－6×3＋5＝－4.
答案：B
解析：函数y＝f(1－x)是由y＝f(－x)向右平移一个单位得到， 函数y＝f(x－1)是由y＝f(x)向右平移一个单位得到， 又函数y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称， 所以函数y＝f(1－x)与y＝f(x－1)关于直线x＝1对称， 又y＝f(x－5)是由y＝f(x－1)向右平移4个单位， 所以函数y＝f(1－x)与函数y＝f(x－5)关于直线x＝3对称．
(2)[2024·安徽芜湖模拟]已知函数y＝f(x＋1)是偶函数，且y＝f(x)在
(1，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(1)>f(0)
B．f(2)>f(0)
C．f(－2)<f(2)
D．f(－2)>f(0)
答案：D
解析：y＝f(x＋1)是偶函数，则y＝f(x)关于x＝1对称， 又因为y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，1)上单调递减， 所以f(1)<f(0)，f(－2)>f(0)， 根据函数y＝f(x)关于x＝1对称，可知，f(2)＝f(0)，则f(－2)>f(2)，只有D正确．
4．定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，当x∈[0，1)
时，f(x)＝ x，则f(－32)＝( )
A．
2 2
B．12
C．－
2 2
D．－12
答案：C
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(x)＝f(－2－x)， 因为f(x)为奇函数，且当x∈[0，1)时，f(x)＝ x， 所以f(－32)＝f(－2＋32)＝f(－12)＝－f(12)＝－ 12＝－ 22.
高考物理一轮复习 第2部分极端法、对称法、全过程法、逆向思维法和递推法课件
姆定律可得，I1＝r＋ER1，I2＝r＋ER2.所以有 I2＝rr＋＋RR12I1＝rr＋＋180
×0.2
A＝
0.2
0.4 r 8
A．虽然电源内阻
r
的数值未知，但其取
值范围是 0～∞，所以，当 r＝0 时，I2＝0.25 A；当 r→∞时， I2→0.2 A．故电流表示数的变化范围是 0.2 A＜I2＜0.25 A， 故本题的正确选项是 B、C.
物理中对称现象比比皆是，对称的结构、对称的作用、 对称的电路、对称的物像等．一般情况下，对称表现为研究 对象在结构上的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称 性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等．
用对称性解题的关键是敏锐地抓住事物在某一方面的 对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径，利用对称法 分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接 抓住问题的实质，快速简便地求解问题．
(2)要使 A、B 不分离，力 F 应满足什么条件？ 图 7－2－4
解：力 F 撤去后，运动具有明显的对称性，该题利用最 高点与最低点的对称性来求解，会简单得多．
(1)最高点与最低点有相同大小的回复力(总是指向平衡 位置的合力)，只是方向相反．在最低点，即原来平衡的系统 在撤去力 F 的瞬间，受到的合外力应为 F，方向竖直向上； 当到达最高点时，系统受到的合外力也应为 F，方向竖直向 下，A 受到的合外力为12F，方向向下，考虑到重力的存在， 所以 B 对 A 的弹力为 mg－F2.
s＝ v20－2gh
2gh＝2
v02 4g
2
h
v02 4g
2
当 h＝4vg20＝2.5 m 时，飞行距离最大，为 smax＝2vg20＝5 m.
对称法 方法简介：由于物质世界存在某些对称性，使得物理学 理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种 物理现象和物理规律中．应用这种对称性不仅能帮助我们认 识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求 解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称 法．
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课题：轨迹和对称问题
（一）主要知识及主要方法：
1.求轨迹方程常用的方法：()1定义法；()2利用图形的几何性质；()3轨迹法；()4参数法；()5代入法；()6待定系数法；()7交轨法；()8向量法.要注意“查漏补缺，剔除多余”.
2.对称分为中心对称和轴对称.中心对称问题常利用中点坐标公式解决；解决轴对称问
题常根据下列两个条件：①垂直.即已知点和对称点的连线与对称轴垂直；②中点.即已
知点和对称点的中点在对称轴上.
（二）典例分析：
问题1．矩形ABCD的两条对角线相交于点(20)
M，，AB边所在直线的方程为
T-，在AD边所在直线上．
--=，点(11)
x y
360
()1求AD边所在直线的方程；()2求矩形ABCD外接圆的方程；()3若动圆P过点N-，，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
(20)
问题２．如图，已知点(10)
F，，
直线l ：1x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线
l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于,A B 两点，交直线l
于点M ，已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；
问题3．倾斜角为4π的直线交椭圆
14
22
=+y x 于B A ,两点，求线段AB 中点的轨迹方程
问题
4．()1双曲线22
143
x y -=关于直线20x y -+=对称的曲线方程是
()2已知抛物线221y x =-，()2,0A .问是否存在过A 点的直线l ，使抛物线上存在不
同的两点关于直线l 对称？如果存在，求出直线l 斜率的取值范围；如果不存在，请说明理由.
（三）课后作业：
1.已知动点(),P x y 满足34x y =+，则P 点的轨迹是
.A 椭圆 .B 双曲线 .C 抛物线 .D 两相交直线
2.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点
P 的轨迹是 .A 圆 .B 椭圆 .C 双曲线 .D 抛物线
3.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知()3,1A ，()1,3B -，若点C 满足
OC OA OB αβ=+，其中,R αβ∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程是
4.已知点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(,)Q x y xy +的轨迹是
.A 圆 .B 抛物线 .C 椭圆 .D 双曲线
5.C ⊙： 16)3(22=++y x 内部一点A
)
与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线
交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.
6.已知圆1C ：()2231x y ++=和圆2C ：()2
239x y -+=，动圆M 同时与1C 与圆2C
相外切，求动圆圆心M 的轨迹.
7.已知椭圆C ：22
143
x y +=，试确定m 的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关
于直线4y x m =+对称.
8.设椭圆与双曲线有公共的焦点()14,0F -，()24,0F ，并且椭圆的长轴长是双曲线实
轴长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹.
（四）走向高考：
9.设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，
212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为11
3
OF ．
（Ⅰ）证明a =； （Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，
过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．
10.如图,三定点()2,1A ,()0,1B -,()2,1C -; 三动点,,D E M 满足AD t AB =,
BE tBC =,DM tDE =, []0,1t ∈， (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.。