2020届人教A版(文科数学)平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算单元测试
高中数学 平面向量的概念及其线性运算课件 新人教A版
充要条件是AB = DC ;
(4)如果向量a//b,b//c,那么a//c
例2、△ ABC
中
，
A→D
＝
2 3
A→B
，
DE∥BC 交 AC 于 E，BC 边上的中
线 AM 交 DE 于 N.设A→B＝a，A→C＝
b，用 a、b 表示向量A→E、B→C、D→E、
D→N.
中，E 为 DC 边的中点，且A→B＝
a，A→D＝b，则B→E等于( )
A．b－12a
B．b＋12a
C．a＋12b
D－12b
• 答案：A
62． 化 简 O→P－ Q→P ＋ P→S＋ S→C.S→P
D.S→Q
• 答案：B
73．(2009 年高考山东卷改编)设 P 是△ ABC
2.向量的表示方法
用小写字母表示，用有向线段表示， 用坐标表示.
3.向量的运算
加法、减法运算法则：平行四边形法 则、三角形法则.
实数与向量的积：实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，它的长度和方向规 定如下：
(1)|λa|= 11 |λ||a| ;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向
当λ1<2 0时相，同λa的方向与a的方向
平面向量的概念 及其线性运算
1.向量的有关概念 既有①大小又有② 方向的量叫做向量.
③ 长度为0 的向量叫做零向量，记作0，规 定零向量的方向是任意的.
④长度为1 的向量叫做单位向量. 方向⑤ 相同或相反 的⑥ 非零 向量叫做平 行向量(或共线向量). ⑦长度相等且⑧ 方向相同 的向量叫做相等 向量. ⑨ 长度相等且⑩方向相反的向量叫做相反向 量.
平面向量的概念与运算
平面向量的概念与运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一，它具有方向和大小两个基本特征。
本文将介绍平面向量的概念以及其常见的运算。
一、平面向量的概念平面向量是由起点和终点确定的有向线段，一般用小写字母加上→来表示。
例如，向量AB可以表示为→AB。
平面向量的起点在原点O，终点在坐标系中的某一点P，那么向量OP可以用字母加上向上的箭头来表示。
二、平面向量的大小平面向量的大小又称作模或长度，用两点之间的距离来表示。
设有向线段→AB的起点为A(x1, y1)，终点为B(x2, y2)，那么向量→AB的大小可以用以下公式来计算：|→AB| = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)三、平面向量的运算1. 平面向量的加法：设有向线段→AB和→CD，那么它们的和向量→AD可以通过将两个向量首尾相连来得到。
具体计算如下：→AD = →AB + →CD = (x2-x1, y2-y1) + (x4-x3, y4-y3)2. 平面向量的减法：设有向线段→AB和→CD，那么它们的差向量→AC可以通过将第二个向量取负后再进行加法运算得到。
具体计算如下：→AC = →AB - →CD = (x2-x1, y2-y1) - (x4-x3, y4-y3)3. 平面向量的数量积：平面向量的数量积又叫点积或内积，它是两个向量的数量乘积与夹角余弦的乘积。
设有向线段→AB和→CD，夹角为θ，那么它们的数量积A·B可以通过以下公式来计算：A·B = |A| |B| cosθ4. 平面向量的向量积：平面向量的向量积又叫叉积或外积，它是两个向量的数量乘积与夹角正弦的乘积。
设有向线段→AB和→CD，夹角为θ，那么它们的向量积A×B可以通过以下公式来计算：A×B = |A| |B| sinθ四、平面向量的运算性质1. 加法的交换律和结合律：设有向线段→AB，→CD和→EF，那么有：→AB + →CD = →CD + →AB(→AB + →CD) + →EF = →AB + (→CD + →EF)2. 数量积的交换律和结合律：设有向线段→AB和→CD，那么有：A·B = B·A(A·B)·C = A·(B·C)3. 向量积的交换律和结合律：设有向线段→AB和→CD，那么有：A×B = -B×A(A×B)×C = A×(B×C)五、应用举例平面向量的概念与运算在几何、力学等学科中有着广泛的应用。
高中数学新课标人教A版必修4：平面向量的概念及线性运算 课件
.
解析：(1)原式＝―A→B ＋―B→O ＋―OM→＋―M→B ＝―A→B .
(2)原式＝―N→P ＋―PN→＝0.
答案：(1)―A→B (2)0
重点三 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，
使得 b＝λa . [提醒] 只有 a≠0 才保证实数 λ 的存在性和唯一性．
[逐点清]
5．(必修 4 第 77 页习题 A 组 3 题改编)如图，D，E，F 分别是△
ABC 各边的中点，则下列结论错误的是
()
A． ―E→F ＝―C→D
B．―A→B 与―D→E 共线
C．―B→D 与―C→D 是相反向量
D．―A→E ＝12|―A→C |
解析：选项 D 中，―A→E ＝12―A→C ，所以 D 错误．
答案：A
()
2．已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l
重点二 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量 和的运算
交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a ＋b )＋c＝ a ＋(b ＋c)
求 a 与 b 的相 减法 反向量－b
的和的运算
a －b ＝a ＋(－b )
向量运算 定义
法则(或几何意义)
运算律
数乘
|λa|＝|λ||a|，当 λ>0 时，λa
D．平行向量一定是共线向量 解析：对于 A，根据零向量的性质，可知 A 是正确的；
对于 B，由零向量的模是 0，单位向量的模是 1，所以 B 是正确的；
对于 C，平行向量的方向相同或相反，所以 C 是不正确的；
对于 D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以 D
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 含答案
1．(配合例2使用)已知P为△ABC所在平面内一点， ＋ ＋ ＝0，| |＝| |＝| |＝2，则△ABC的面积等于( )
A． B．2
C．3 D．4
解析由| |＝| |得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又 ＋ ＋ ＝0，所以 ＝－( ＋ )＝－2 ，所以PD＝ AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由| |＝2，PD＝1可得| |＝ ，则| |＝2 ，所以△ABC的面积为 ×2×2 ＝2 。故选B。
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
答案(1)A(2)D
考点三共线定理及应用微点小专题
方向1：共线定理
【例3】已知e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝( )
平面向量的基本概念和运算
平面向量的基本概念和运算平面向量是指具有大小和方向的矢量，它在平面内进行运算和表示。
平面向量的概念和运算是数学中的重要内容，在几何、物理等学科中都有广泛的应用。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算方法。
一、平面向量的表示方法平面向量可以用一个有序对表示，即(A, B)，其中A和B分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
另一种表示方法是使用向量符号，如→AB，表示从点A指向点B的向量。
向量符号上方的箭头表示向量的方向，向量的长度表示向量的大小。
二、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量。
设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A与向量B的和为向量→AC，即：→AB + →CD = →AC向量的加法满足交换律和结合律，即不论加法的顺序如何，结果都是相同的。
三、平面向量的减法平面向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A减去向量B的差为向量→AD，即：→AB - →CD = →AD减法可以看作是加法的逆运算，即将被减去的向量取相反数后再进行加法运算。
四、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积，表示两个向量之间的乘积。
设向量→AB表示向量A，向量→CD表示向量B，则向量A与向量B的数量积为：→AB · →CD = |→AB| |→CD| cosθ其中，|→AB|和|→CD|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积具有交换律和分配律，即对于两个向量A、B和一个实数k，有以下性质：1. →AB · →CD = →CD · →AB2. (k→AB) · →CD = k(→AB · →CD)3. (→AB + →CD) · →EF = →AB · →EF + →CD · →EF五、平面向量的向量积平面向量的向量积也称为叉积，表示两个向量之间的向量乘积。
平面向量的基本概念与运算法则
平面向量的基本概念与运算法则平面向量是解决几何问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面内的方向和大小，能够进行加减乘除等基本运算，为我们解决问题提供了很大的便利。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，帮助读者理解和运用平面向量。
1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用线段AB来表示，方向由起点A指向终点B，记作→AB或者AB。
2. 平面向量的表示和坐标平面向量可以使用坐标来表示。
设向量AB的起点为原点O，终点为点P(x,y)，则向量→AB可以表示为(x,y)。
其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
3. 平面向量的运算法则平面向量有多种基本运算法则，下面依次介绍：(1) 向量的加法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB + →CD的终点为R(x1+x2 , y1+y2)。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相加，得到新的向量的坐标。
(2) 向量的减法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB - →CD的终点为R(x1-x2 , y1-y2)。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相减，得到新的向量的坐标。
(3) 向量的数量乘法：设向量→AB的终点为P(x,y)，数k为实数，则k × →AB的终点为R(kx, ky)。
也就是说，将向量的每个分量分别乘以实数k，得到新的向量的坐标。
(4) 向量的点乘法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则→AB · →CD = x1 x2 + y1 y2。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相乘，再将结果相加，得到点乘法的结果。
4. 平面向量的性质平面向量有一些重要的性质，下面列举几个常用的性质：(1) 平行向量的性质：如果两个向量→AB和→CD平行，则它们可以表示为→AB = k × →CD，其中k为实数。
2020年高考课标版高考文科数学 §5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
第五章平面向量【真题典例】§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理挖命题【考情探究】分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.破考点【考点集训】考点一平面向量的线性运算及其几何意义1.(2018河北唐山二模,4)已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=( )A.-2B.-C.-D.答案A2.(2018吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是( )A.λμ=1B.λμ=-1C.λ-μ=1D.λ+μ=2答案A3.(2019届广东普宁一中10月月考,9)在△OAB中,若点C满足=2,=λ+μ,则+=( )A. B. C. D.答案D考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2018河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)答案D2.(2019届湖北重点中学第一次联考,5)已知向量a=(-2,1),b=(-1,3),则( )A.a∥bB.a⊥bC.a∥(a-b)D.a⊥(a-b)答案D3.(2018河北武邑中学期中,8)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设=λ+μ(λ,μ∈R),则=( )A. B.C.3D.2答案A炼技法【方法集训】方法1 向量共线问题的求解方法1.(2018福建漳州二模,5)已知点C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)与的方向相反,则|a|=( )A.1B.2C.2D.答案C2.(2017河北石家庄二中月考,7)M是△ABC所在平面内一点,++=0,D为AC的中点,则的值为( )A. B. C.1 D.2答案B3.(2017福建福州3月质检,6)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为( )A.4B.6C.8D.9答案C方法2 利用平面向量基本定理解决问题的方法1.(2018陕西部分名校摸底考试,7)如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,若=m+,则实数m的值为( )A. B. C. D.答案D2.(2018天津和平一模,5)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为( )A. B. C.2 D.答案B3.(2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=( )A. B. C.1 D.答案A过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一平面向量的线性运算及其几何意义1.(2018课标全国Ⅰ,7,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )A.-B.-C.+D.+答案A2.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( )A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|答案A3.(2014课标Ⅰ,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )A. B. C. D.答案A考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2015课标Ⅰ,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( )A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案A2.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= .答案-6B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一平面向量的线性运算及其几何意义(2014福建,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于( )A. B.2 C.3 D.4答案D考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=( )A.2B.3C.4D.6答案B2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+k b.若b⊥c,则实数k的值等于( )A.-B.-C.D.答案A3.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=( )A.5B.4C.3D.2答案A4.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )A.6B.7C.8D.9答案B5.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=.答案-3C组教师专用题组考点一平面向量的线性运算及其几何意义(2013四川,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=.答案 2考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2014广东,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=( )A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案B2.(2014北京,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=( )A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)答案A3.(2013广东,10,5分)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案B4.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,且=m+n(m,n∈R).(1)若m=n=,求||;(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解析(1)∵m=n=,=(1,2),=(2,1),∴=(1,2)+(2,1)=(2,2),∴||==2.(2)∵=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),∴两式相减,得m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.【三年模拟】时间:45分钟分值:65分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019届湖南顶级名校摸底考试,4)如图,已知=,=,=4,=3,则=( )A.-B.-C.a-D.-答案D2.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( )A.a∥bB.a=2bC.a∥b且|a|=|b|D.a=-b答案B3.(2019届宁夏顶级名校10月联考,10)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m>0,n>0),若m+n=1,则||的最小值为( )A. B. C. D.答案C4.(2019届安徽皖中名校10月联考,9)在△ABC中,点D是AC上一点,且=4,P为BD上一点,向量=λ+μ(λ>0,μ>0),则+的最小值为( )A.16B.8C.4D.2答案A5.(2018江西宜春联考,11)设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=+λ+,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心答案D6.(2019届河北邯郸重点中学9月联考,11)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若=x+y,则x+y的最大值是( )A. B.1 C. D.2答案D二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2018中原名校9月联考,15)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且=2,AM与BN相交于点P,则= .答案 48.(2019届广东惠州第一次调研,13)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线,则x的值为.答案-29.(2019届广东深圳外国语学校10月模拟,15)已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b起点相同.若a,t b,(a+b)三向量的终点在同一直线上,则t= .答案三、解答题(共20分)10.(2018湖北重点高中协作体联考,18)在边长为1的正三角形ABC中,设e1=,e2=,点D满足=.(1)试用e1,e2表示;(2)若a=x e1+y e2(x,y∈R,且x≠0),求的最大值.解析(1)由题知=,∴=+=+=+(-)=+=e1+e2.(2)∵x,y∈R,且x≠0,∴====,故当=-时,取最大值.11.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C三点满足=+.(1)求证:A,B,C三点共线,并求的值;(2)已知A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,x∈(0,π),且函数f(x)=·+-·||的最小值为,求实数m的值. 解析(1)∵=+,∴-=(-),∴=.又∵,有公共点B,∴A,B,C三点共线.∵=,∴=3.(2)∵A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,O(0,0),∴=(1,sin x),=,∴·=1+sin x+sin2x,又=(sin x,0),x∈(0,π),∴||=sin x,∴f(x)=·+-·||=sin2x+2msin x+1.设t=sin x.∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.①当-m≤0,即m≥0时,y=t2+2mt+1无最小值,不合题意;②当0<-m≤1,即-1≤m<0时,当t=-m时,y min=1-m2=,∴m=-舍去;③当-m>1,即m<-1时,当t=1时,y min=2+2m=, ∴m=-,此时m>-1,不合题意.综上可知,m=-.。
高考数学平面向量的基本定理总结
高考数学平面向量的基本定理总结一、平面向量的定义在平面上，任意给定的两个点A和B，我们可以由点A指向点B画出一条有向线段，这条有向线段就是一个平面向量，记作AB。
二、平面向量的表示平面向量既可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
对于平面上的向量AB，用坐标表示为：AB = (x2-x1, y2-y1)其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是向量起点A和终点B的坐标。
这种表示方法非常直观，也很容易理解。
三、平面向量的基本运算在平面向量的基本定理中，我们需要掌握平面向量的基本运算，主要包括向量的加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A和向量B的和向量C的坐标为：C = A + B = (x1+x2, y1+y2)2. 向量的减法设有向量A的坐标为(x1, y1)，向量B的坐标为(x2, y2)，则向量A减去向量B的差向量D的坐标为：D = A - B = (x1-x2, y1-y2)3. 数量乘法设k为实数，向量A的坐标为(x1, y1)，则向量A的数量乘积ka的坐标为：ka = (kx1, ky1)四、平面向量的基本定理平面向量的基本定理是指任何一个平面向量都可以表示成两个非零向量的和。
具体而言，对于平面上的向量A，可以找到两个非零向量B和C，使得：A =B + C其中，向量B和向量C的坐标满足条件：B = (x1, y1)，C = (x2, y2)B和C分别称为向量A的两个互补向量。
根据平面向量的基本定理，我们可以将任意一个向量拆分成两个向量的和，从而简化向量的运算和应用。
五、基本定理的应用平面向量的基本定理在高考数学中有着广泛的应用。
主要包括以下几个方面：1. 向量的坐标运算：利用基本定理，我们可以通过向量的坐标进行加法、减法、数量乘法和求模等运算，从而简化向量的运算。
2. 向量的平衡力：基于平面向量的基本定理，我们可以将受力问题转化为向量的平衡问题，通过求解向量的平衡条件，得到力的大小和方向。
平面向量的基本概念与运算法则
平面向量的基本概念与运算法则平面向量是在平面中具有大小和方向的量，由有序数对表示。
在数学中，平面向量是研究平面几何和代数的基础。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以帮助读者更好地理解和应用平面向量。
一、平面向量的基本概念平面向量通常用有向线段表示，其中起点和终点之间的位置表示向量的方向。
一个平面向量可由其终点的坐标减去起点的坐标得到。
例如，向量AB可以表示为向量a = (x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)是向量的起点和终点。
平面向量的大小通常用向量的长度来表示，也称为向量的模。
向量a = (x, y)的长度表示为|a|或||a||，可以通过勾股定理计算得到：|a| =√(x^2+y^2)。
向量的长度是一个非负数。
二、平面向量的运算法则1. 加法运算平面向量的加法运算定义为将两个向量的对应分量相加。
例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的和可以表示为向量c = (x1+x2, y1+y2)。
2. 减法运算平面向量的减法运算定义为将两个向量的对应分量相减。
例如，对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的差可以表示为向量c =(x1-x2, y1-y2)。
3. 数乘运算平面向量的数乘运算定义为将向量的每个分量与一个标量相乘。
例如，对于向量a = (x, y)和标量k，它们的数乘可以表示为向量b = (kx, ky)。
4. 乘法运算平面向量的乘法运算有两种形式：数量积和向量积。
4.1 数量积数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后再相加。
数量积的结果是一个标量。
对于向量a = (x1, y1)和向量b = (x2,y2)，它们的数量积表示为a · b = x1x2 + y1y2。
4.2 向量积向量积（又称叉积或外积）定义为两个向量的乘积是一个新的向量，它垂直于原来两个向量组成的平面，并且方向遵循右手法则。
平面向量的基本概念与运算方法总结
平面向量的基本概念与运算方法总结平面向量是数学中一种常用的概念，广泛应用于几何、物理等各个领域。
它可以用有向线段表示，并具有大小和方向两个属性。
在本文中，我们将总结平面向量的基本概念和运算方法。
一、基本概念平面向量由起点和终点确定，可以表示为矢量形式：A B⃗。
其中，A表示起点，B表示终点。
平面向量有以下基本概念：1. 零向量：起点和终点相同的向量，记作0⃗。
零向量的大小为0，任何向量与零向量的加法结果仍为本身。
2. 单位向量：大小为1的向量，在同一方向上的向量可以相互转化为单位向量。
3. 平行向量：方向相同或相反的向量为平行向量。
4. 共线向量：共线向量是指在同一直线上的向量，可以通过数乘转化为对应的共线向量。
二、基本运算对于平面向量的运算，我们有以下基本规则：1. 加法：- 两个向量相加的结果，是一个以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量；- 加法满足交换律和结合律；- 两个向量相加，可以通过平行四边形法则或三角形法则进行计算。
2. 数乘：- 一个向量与一个实数相乘的结果，是将向量的长度乘以该实数，并改变了向量的方向（如果实数为负数）；- 数乘满足结合律、分配律和交换律。
三、向量的表示方法在实际应用中，人们常常需要将平面向量转化为其他形式，以方便计算和应用。
常见的表示方法有以下几种：1. 分解表示法：- 将一个向量分解为两个与坐标轴相平行的向量的和；- 分解表示法常用于平面向量的运算和应用中。
2. 坐标表示法：- 在二维平面上，可以使用坐标表示法将向量表示为一个有序数对（x，y）；- 坐标表示法常用于平面上各类几何问题的计算和分析。
3. 模量和方位角表示法：- 对于一个非零向量A B⃗，它的模量表示为|A B⃗|，表示向量的长度；- 方位角表示了向量与某一固定方向之间的夹角。
四、性质与应用平面向量具有以下重要的性质和应用：1. 共点向量性质：- 对于三个共点的向量A B⃗、A C⃗和A D⃗，有A D⃗ = A B⃗ +B C⃗。
平面向量的基本概念与运算
平面向量的基本概念与运算平面向量是在平面上具有大小和方向的物理量，它可以用有向线段来表示。
平面向量的基本概念和运算是研究平面向量性质的基础，对于解决平面力学问题和几何问题具有重要的应用价值。
一、平面向量的基本概念1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的有向线段，通常用大写字母表示，如 A、B、C。
2. 零向量：长度为零的向量称为零向量，记作 O。
3. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。
4. 直角向量：互相垂直的向量称为直角向量。
二、平面向量的表示方法1. 端点表示法：使用有向线段的起点和终点来表示向量，如 AB 表示从点 A 到点 B 的向量。
2. 坐标表示法：使用坐标表示向量的起点和终点，在平面直角坐标系中，向量 A 的坐标表示为 (x, y)。
三、平面向量的运算1. 加法运算：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 减法运算：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。
3. 数乘运算：向量与一个实数的乘积称为数乘运算。
设有向量 A 的坐标表示为 (x, y)，实数 k，则 kA 的坐标表示为(kx, ky)。
4. 内积运算：两个向量的内积（数量积）是它们对应分量的乘积之和。
设有向量 A 的坐标表示为 (x1, y1)，向量 B 的坐标表示为 (x2, y2)，则向量 A · B 的坐标表示为 x1 * x2 + y1 * y2。
四、平面向量的性质1. 加法交换律：A + B = B + A2. 加法结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 数乘分配律：k(A + B) = kA + kB4. 数乘结合律：(kl)A = k(lA)，其中 k、l 为实数五、平面向量的应用1. 向量共线性判定：若两个向量的模与它们的夹角满足 a = kb (k 为常数)，则称这两个向量共线。
高考文科平面向量知识点
高考文科平面向量知识点高考是对学生多年来所学知识的综合考察，而数学是文科生必考的一门科目。
在数学中，平面向量是一个重要的知识点，也是考试中常常涉及的内容。
下面，将介绍高考文科平面向量的知识点，帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、向量的概念和运算向量是表示有大小和方向的量，常用箭头表示。
在平面上，向量通常用一个有序数对表示，如AB向量可以表示为a = (x, y)。
向量的长度是指从起点到终点的距离，记作|a|。
向量的加法和减法可以通过对应坐标的加减实现，如a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
二、向量的数量积向量的数量积也称点积，是指两个向量间的乘积结果，记作a·b。
计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ。
其中，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积的结果为一个实数，具有求模、交换律以及分配律等性质。
三、向量的向量积向量的向量积也称叉积，是指两个向量间的乘积结果，记作a × b。
计算公式为：a × b = |a| |b| sinθ n。
其中，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位法向量。
向量积的结果为一个向量，其方向遵循右手法则，模长为|a| |b| sinθ。
四、向量的共线与线性运算在平面向量中，如果存在一个实数k，使得a = kb，那么向量a与向量b就是共线的。
共线的向量也叫线性相关向量。
线性运算是指对多个向量进行加法、减法和数量乘法的运算。
线性相关的向量之间可以进行代入消元等操作，进而解出线性方程组。
五、向量的应用平面向量广泛应用于各个学科和职业领域，如物理学、力学、工程、计算机图形学等。
在解决实际问题时，我们可以利用向量进行几何推理、计算机模拟、数据分析等。
例如，在解决运动问题时，可以将速度、加速度等物理量抽象为向量，简化计算过程。
六、习题和应用题为了更好地理解和掌握平面向量的知识，考生可以进行大量的习题和应用题的训练。
平面向量的概念与线性运算知识点
平面向量的概念与线性运算知识点平面向量是二维空间中的量，可以看作是带有方向和长度的箭头。
它通常用有序数对表示，即(x,y)。
其中，x称为向量的横坐标，y称为向量的纵坐标。
平面向量可以进行很多运算，其中包括线性运算，即向量的加法和数乘。
1.向量的加法：向量的加法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的和定义为C=(a₁+b₁,a₂+b₂)。
加法满足以下性质：-交换律：A+B=B+A-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量：对于任意向量A，存在一个零向量0，使得A+0=0+A=A2.向量的数乘：向量的数乘定义为：对于一个向量A=(a₁,a₂)和一个实数k，它们的数乘定义为B=(ka₁, ka₂)。
数乘满足以下性质：- 结合律：k*(l*A) = (kl)*A-1的作用：1*A=A-0的作用：0*A=0除了加法和数乘外，还可以进行向量的减法和向量的数量积。
3.向量的减法：向量的减法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的差定义为C=(a₁-b₁,a₂-b₂)。
减法满足以下性质：-A-A=04.向量的数量积：向量的数量积（也称为内积、点积）定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的数量积定义为a₁b₁+a₂b₂。
用符号表示为A·B。
数量积的性质：-交换律：A·B=B·A-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-分配律：A·(B+C)=A·B+A·C向量的数量积还可以通过向量的坐标和向量的夹角来求得：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
除了上述基本概念和运算外，还有一些与平面向量相关的重要知识点，如向量的模、单位向量、向量的垂直和平行关系、共线与共点等等。
人教版A版高中数学必修4：平面向量的概念及其线性运算
学习目标
1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量 共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知识梳理
1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小 又有方向 的量叫做向量,向量������������ 的大小 叫做向量的长度 (或模),记作 ������������ . (2)零向量:长度为0 的向量叫做零向量,其方向是任意 的. (3)单位向量:长度等于1个单位长度 的向量叫做单位向量. (4)平行向量:方向相同 或相反 的非零 向量叫做平行向量. 平行向量又称为共线向量 ,任一组平行向量都可以平移到同一 条直线上. 规定:0与任一向量平行 . (5)相等向量:长度相等 且方向相同 的向量叫做相等向量. (6)相反向量:与向量a长度相等 且方向相反 的向量叫做a的 相反向量.规定零向量的相反向量仍是零向量.
为������平������ 行−四������边������ 形+,则���������(��� − ���)���������=0,则 a-b+c-d=0,故选 A.
关
A由.a向-b量+c的-d平=0行四B边.a-形b+法c+则d=,得0 ������������ + ������������=2������������,所以������������ = 1 (������������ +
设������������=Aa.���,���������������������=b,则���������B���=.12-���1���b������+a,������������=-C1a.���+������b���,
平面向量的概念和运算
平面向量的概念和运算平面向量是高中数学中一个重要的概念，它在解决几何问题和物理问题中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的定义、表示、基本运算以及一些常见的性质和应用。
一、平面向量的定义和表示平面向量是有大小和方向的量。
在平面直角坐标系中，以有向线段表示平面向量。
设点A和点B为平面上的两个点，线段AB的起点为A，终点为B，则线段AB代表的向量记作AB。
平面向量表示为：AB = (x,y)，其中x和y分别代表向量在x轴和y 轴上的投影长度。
例如，向量AB = (3,2)表示该向量在x轴上的投影长度为3，在y轴上的投影长度为2。
二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的和记作AB + CD = (x1+x2, y1+y2)。
例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的和为AB + CD = (3+(-1), 2+4) = (2, 6)。
2. 平面向量的数乘设有一个向量AB = (x, y)和一个实数k，则k乘以向量AB记作kAB = (kx, ky)。
例如，向量AB = (3, 2)的2倍为2AB = (2*3, 2*2) = (6, 4)。
3. 平面向量的减法设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，则它们的差记作AB - CD = AB + (-CD)，其中-CD = (-x2, -y2)。
例如，向量AB = (3, 2)和CD = (-1, 4)，它们的差为AB - CD = AB + (-CD) = (3,2) + (-1,-4) = (2,-2)。
三、平面向量的性质和应用1. 平面向量的共线性与共面性如果两个向量的夹角为0°或180°，则它们共线；如果三个向量在同一个平面内，则它们共面。
2. 平面向量的数量积设有两个向量AB = (x1, y1)和CD = (x2, y2)，它们的数量积记作AB·CD = x1x2 + y1y2。
人教版数学必修第二册6.2平面向量的概念及线性运算课件
不要把它与函数图象的移动混淆．
(4) 非零向量与
Ԧ
的关系：
是与同方向的单位向量．
Ԧ
考点 2 平面向量的线性运算
[例1] (1) (202X·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D
是半圆弧的两个三等分点，则 ＝( D )
A，P，B三点共线 ⇔ ＝λ(λ≠0)
⇔
＝(1－t)· ＋t
(O为平面内异于A，P，B
的任一点，t∈R)
＝x ＋y
⇔
(O为平面内异于A，P，B的任
一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式
1
2
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则 ＝ ( ＋ )．
向量线性运算的解题策略
(1) 向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，
一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，
求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2) 找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量
转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
跟踪训练
(202X·吉林梅河口五中4月模拟)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝
1
2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝
3
，若＝λ ＋
μ ，则λ＋μ＝( A )
A.
1
3
B．
1
3
பைடு நூலகம்
1
3
1
2
1
2
1
3
C．－
1
3
1
3
D．－
3
2
2020版高考数学复习第四单元第23讲平面向量的概念及其线性运算课件文新人教A版
.
[答案] ������������
[解析] 原式 =������������ +������������ +������������ +������������ +������������ =������������ .
课前双基巩固
4.在平行四边形 ABCD 中, ������������=λ������������+μ������������,则
时,λa=0
课前双基巩固
3.向量的共线定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使得 b=λa . 常用结论 1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的向量,即������1������2+������2������3+������3������4+…+������������-1������������ =������1������������ .特别地,一个封闭图形首尾连接而成的 向量和为零向量. 2.若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内任意一点,则������������=12(������������+������������). 3.在▱ ABCD 中,若|������������+������������|=|������������-������������|,则四边形 ABCD 为矩形.
课堂考点探究
[总结反思] 向量有关概念的关键点: (1)向量定义的关键是方向和长度; (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制; (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等; (4)单位向量的关键是方向没有限制,但长度都是一个单位长度; (5)零向量的关键是长度为 0,方向没有限制,规定零向量与任意向量共线.
(通用版)2020版高考数学大一轮复习第24讲平面向量的概念及其线性运算课件文新人教A版
������ ������ |������ | |������ |
成立.对照各个选项可知,选项 A 中向量 a 与 b
的方向相同;选项 B 中向量 a 与 b 共线,方向相同或相反;选项 C 中向量 a 与 b 的方向 相反;选项 D 中向量 a 与 b 互相垂直.故选 C.
数乘
λa
λ1a+λ2a
b=λa
.
课前双基巩固
常用结论 1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的向量,即������1 ������2 +������2 ������3 +������3 ������4 +…+������������ -1 ������������ =������1 ������������ .特别地,一个封闭图形首尾连接而成的 向量和为零向量. 2.若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内任一点,则������������= (������������+������������). 3.若 A,B,C 是平面内不共线的三点,则������������+������������+������������ =0⇔P 为△ABC 的重心.
1 2
课前双基巩固
4.在△ABC 中,AD,BE,CF 为三角形三边的中线,它们交于 G(如图 4-24-1 所示),易知 G 为 △ABC 的重心,则有如下结论: (1)������������+������������+������������ =0;
1 3 1 1 (3)������������= (������������+������������ ),������������= (������������+������������ ). 2 6
【新教材】新人教A版 高中数学必修二 平面向量的基本概念与线性运算 课件
考点一 平面向量的基本概念与线性运算
1.向量的有关概念及表示法
名称
定义
表示法
向量
零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量
既有大小又有方向的量叫向量;向量的 向量: A B
大小叫
模:① |A B |
做向量的长度(或模)
长度为0的向量叫零向量;其方向是任 记作0 意的
长度等于1个单位的向量
能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.
3.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共
线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.
4.A、B、C三点共线⇔O C=λ
O+Aμ
且O λB +μ=1.特别地,当λ=μ=
时1 ,C为
2
线段AB的中点.
例2 (2017广东七校联考,5)已知向量i,j不共线,且 A B=i+mj, A=Dni+j,m
例1 (2017河北衡水中学三调考试,6)在△ABC中, A N= 1 N ,C若P是直线
4
BN上的一点,且满足 A P=m A+ B 2 A,则C 实数m的值为 ( B )
5
A.-4 B.-1 C.1 D.4
解析
根据题意设 B P=n B (Nn∈R),则
=A P +A B = B +P n A =B
常用e表示
方向相同或相反的非零向量 平行向量又叫做共线向量
a与b共线可记为② a∥b ; 0与任一向量共线
长度相等且方向相同的向量
a=b
长度相等且方向相反的向量
a与b互为相反向量,则a=-b; 0的相反向量为0
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7
7
7
7
7 |sin(α+θ)|≤ 7 ,易知当α+θ=π时,|sin(α+θ)|取最大值 1,此时α为锐角,sinα,cosα同
2
为正,因此上述不等式中等号能同时取到,故所求最大值为 7 .
答案: 7
则|a·e|+|b·e|=|cosα|+|cosα+ 3 sinα|≤|cosα|+|cosα|+| 3 sinα|=2|cosα|+| 3 sin
α|取等号时 cosα与 sinα同号,所以 2|cosα|+| 3 sinα|=|2cosα+ 3 sinα
|= 7 2 cosα 3 sinα= 7 |sin(α+θ)|(其中 sinθ= 2 ,cosθ= 3 ,取θ为锐角),显然
且长度相等的向量叫相等向量,所以该说法错误;对于选项 D,共线向量所在直线 可能重合,也可能平行,所以该说法错误. 3.(2019·北京模拟)在△ABC 中,点 D 满足 =3 ,则 ( )
A. = -
B. = +
C. = -
D. = +
【解析】选 D.因为点 D 满足 =3 ,因为 = + = + = + ( - )
1.设 D 为△ABC 所在平面内一点, =3 ,则 ( ) A. =- + B. = C. = + D. = 【解析】选 A.由题知 = + = + = + ( - )=- + . 【变式备选】如图,向量 a-b 等于 ( )
A.-4e1-2e2
B.-2e1-4e2
C.e1-3e2
D.3e1-e2
【解析】选 C.由题图可知 a-b=e1-3e2.
2.下列说法正确的是 ( )
A.方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量是 0
C.长度相等的向量叫做相等向量
D.共线向量是在一条直线上的向量
【解析】选 B.对于选项 A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量,所以该
说法错误;对于选项 B,因为零向量就是 0,所以该说法正确;对于选项 C,方向相同
不共线,所以
所以 k=λ=-1,所以 c 与 d 反向.
填空题
3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T13)已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则 m=
.
【解题指南】因为两个向量平行,所以利用向量共线的坐标表示进行计算.
【解析】因为 a∥b,所以-2m-4×3=0,解得 m=-6.
答案:-6
=+.
【变式备选】 已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥d,那么 ( ) A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 【解析】选 D.由题意可设 c=λd,即 ka+b=λ(a-b),(λ-k)a=(λ+1)b.因为 a,b
4.(2016·浙江高考文科·T15)已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若 e 为平面单位向量,则
|a·e|+|b·e|的最大值是
.
【解题指南】先由已知条件求 a 与 b 的夹角,用坐标表示出 a,b 与 e 的坐标,进行求解.
【解析】由已知得, <a,b>=60°,不妨取 a=(1,0),b=(1, 3 ),设 e=(cosα,sinα),