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同济大学微积分第三版第二章习题课
f x0 0.
,
y
y 由
y f x
O x0 x
f x0 为极大值
y
y 由
y
y由
y f x
y f x
O x0 x
f x0 为极大值
O
f x0 为极小值
x0
x
⑶若函数 f x 在点 x0 处满足: f x0 0, f x0 0, 则 f x0 为 f x 的极值; 若 f x0 0, 则 f x0 为
要注意的是这两种近似计算在使用上的差别.
四、中值定理 1.罗尔定理 定理 存在 注 设 f x C a, b D a , b , 且 f a f b , 则
a, b , 使得 f 0.
罗尔定理主要应用于讨论
y
y f x
可导与连续的关系: 函数在一点可导, 则在该点必连续. 导数的几何意义: 函数在一点的导数为函数曲线在该点 的切线斜率. 由此得到曲线的切线方程及法线方程: 切线: 法线:
y y0 f x0 x x0 ,
1 y y0 x x0 . f x0
dy dy du . dx du dx
对于具有更多中间变量的复合函数, 则相应的求导法则 为:
dy dy du dv dw . dx du dv dw dx
3.高阶导数 若函数 y f x n 阶可导, 则递归定义
n n 1 y y n 1 . y 0 y
f x 0
0
2.求导法则
设 u, v 为可导函数, 则
同济大学微积分第三版课件第二章第十一节PPT课件
R 曲率是零, 而半径为 的圆弧的曲率是
如果直1道/ R,
与圆弧直接相切, 则在切点处曲率有一跳跃度. 只有
R 当 充分大, 列车在转弯时才显得比较平稳. 但这并不
符合实际. 故需要在直道和弯道之间加一段称作缓和曲
线的弯道, 才使得铁轨的曲率连续地从零过度到
1/ R.
第22页/共29页
y B
R 圆弧道（主弯道）
大的差异.
第2页/共29页
M3
但是, 转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度.
例如在下图中, 两段弧
与M1M2 有相M同1M的切2 线转
角, 但曲线的弯曲程度则是不同的.
M1
M1
M 2
M2
第3页/共29页
2.曲率的概念
设平面曲线 是光C滑的, 在 上取一C点
度的基点, 设点 是曲M线上任意一点, 弧
为 s,点 M是曲 线 上的C另外一点, 弧
作为度量M弧 0 的弧长M 0 M
的弧M长为0M
s s, 点 M处切线的倾
y
角为 , M处切线的倾角为
, 则 MM的弧长为 s, 切线的转角为 ,
M
M
s
O
x
第4页/共29页
称 为弧段
s
M的M平均曲率, 记为 即
K,
K .
s
s 0 若当
例4 计算抛物线 y ax2 b上x任意一c点处的曲
率, 并求出曲率最大处的位置.
解 因 y 2ax b, y 代2入a公.式⑵得
2a
K
,
1
2ax
b
2
3
/
2
由于在上式中, 分子为常数, 故当
2a时x,曲b率 0
教学课件微积分第三版
称函数值f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值,
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
微积分ppt讲课文档
数学中的每一个定理，不论验证了多少实例，只有当 它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中
第四页，共66页。
成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
③ 对应法则f , 使对 xX,有唯一确定的
yf(x)与之对应. (2) 对 xX,元素 x 的像y是唯一的; 而对 yRf ,元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 R f 是Y 的一个子集, 即Rf Y, 不一定 Rf Y.
第二十七页，共66页。
2. 几类重要映射 设映射 f : X Y. 若Rf Y,即Y 中任一元素y 都是X中某
第八页，共66页。
同学们要注意抓好学习的六个环节
高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最 重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力 的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学 们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应 新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节.
(1)预习 为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的
一个法则f , 使得对 xX,通过f , 在Y中有唯一
确定的元素 y 与之对应, 则称f 为 从 X 到 Y 的映
射 (或算子), 记作
f : XY,
并称y为x(在映射f下)的 像, 并记作 f (x), 即
yf(x), x称为y的 原像.
第二十五页，共66页。
第四页，共66页。
成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
③ 对应法则f , 使对 xX,有唯一确定的
yf(x)与之对应. (2) 对 xX,元素 x 的像y是唯一的; 而对 yRf ,元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 R f 是Y 的一个子集, 即Rf Y, 不一定 Rf Y.
第二十七页，共66页。
2. 几类重要映射 设映射 f : X Y. 若Rf Y,即Y 中任一元素y 都是X中某
第八页，共66页。
同学们要注意抓好学习的六个环节
高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最 重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力 的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学 们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应 新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节.
(1)预习 为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的
一个法则f , 使得对 xX,通过f , 在Y中有唯一
确定的元素 y 与之对应, 则称f 为 从 X 到 Y 的映
射 (或算子), 记作
f : XY,
并称y为x(在映射f下)的 像, 并记作 f (x), 即
yf(x), x称为y的 原像.
第二十五页，共66页。
同济大学微积分课件ch.ppt
例 求函数z x2 y3 2xy 在点1,2 处的导数.
解 zx 2x 2y, zy 3y2 2x,
所以 zx 1,2 6, zy 1,2 4.
x 例 设 z arctan y ,求 zx , zy.
解 由一元复合函数的求导法则得
11 y
zx
1
x 2
y
y
x2
, y2
zy
1
2z
a2
2z .
y2
x2
证
z cos x ay,
x
2z x2
sin
x
ay ,
z a cos x ay,y2z x2来自a2sin x
ay .
从而有
2z
a2
2z .
y2
x2
例 验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程
2z 2z 0.
x2 y2
证
z
x
x2
x
y2
,
2z x2
lim y z lim f x0, y0 y f x0, y0
y y 0
y 0
y
存在，则称此极限为函数z f x, y 在点 x0, y0 对 y
的偏导数，记作
z
, y x0 , y0
zy
x0, y0
,
f ,
y x0 , y0
fy x0, y0 .
当函数z f x, y 在点 x0, y0 同时存在对 x, y 的偏导数， 则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 可偏导.
yx
x
y
,
2z z
z yy
y2
y
y
.
而其中的第二与第三项称为混合偏导.
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
高等数学第三版第二章课件(每页16张幻灯片)
若 lim
Δx → 0 +
2.右导数:
f +′ ( x 0 ) = lim
x → x0 + 0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) ; = lim Δx → +0 x − x0 Δx
= lim
Δx → + 0
= f +′( x 0 ) 存在,
( 3) 求极限
⎧x , f ( x) = ⎨ ⎩ x,
x≤0 x>0
y = x2
y=x
,
0
x
∴ 函数 f ( x )在点 x 0 连续 .
15
在 x = 0处不可导, x = 0为 f ( x )的角点.
16
2. 设函数 f ( x )在点 x0 连续 , 但 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) Δy = lim = ∞, Δ x Δx → 0 Δx 称函数 f ( x )在点 x0有无穷导数 . (不可导) lim
解 ∵ sin 是有界函数 ,
1 x ∴ lim x sin
x →0
例如,
y
3
y = 3 x −1
f ( x) =
x − 1,
0
1 ⎧ ⎪ x sin , f ( x) = ⎨ x ⎪ 0, ⎩
x≠0 x=0
1
1 =0 x
,
－1/π
0
1/π
x
y = f ( x) y = f ( x)
在 x = 1处不可导.
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两 者的联系是：在某点 x 0 处的导数 f ′( x 0 ) 即是导 函数 f ′( x ) 在 x 0 处的函数值．
同济大学微积分第三版课件第三章第十一节
例9 计算反常积分 解 因
∫
x −1 5 5 x −1+1 x ∫1 x − 1dx = ∫1 x − 1 dx 5 5 1 = ∫ x − 1dx + ∫ dx 1 1 x −1
x→1
3 2 5
lim +
x
dx. 1 x −1 = ∞, 所以
5
x
5 2 28 = . = ( x − 1) + 2 x − 1 1 3 3 1
例10 计算反常积分
∫
+∞
1 x x −1
1
dx.
注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分. 解 注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分
∫
+∞
1
dx ∫0 t (1 + t 2 )dt x x − 1 dx = 2tdt
+∞ 0
1
x −1 = t2
+∞
2t
= 2∫
1 dt = π. 2 1+ t
∫
0
−∞
f ( x ) dx, ∫
+∞
0
都收敛, 都收敛 则称反常积分 为
+∞
∫
+∞
−∞
收敛, f ( x ) dx 收敛
+∞
且定义其值
∫
−∞
f ( x ) dx = ∫
0
−∞
f ( x )dx + ∫
0
f ( x )dx.
⑶
否则称反常积分
∫
+∞
−∞
发散的 f ( x ) dx 是发散的.
以上这三类积分都称为无穷限的反常积分 以上这三类积分都称为无穷限的反常积分. 无穷限的反常积分
同济大学高等数学课件D121基本概念
可微性：偏导数是多元函数的偏导数之和，因此偏导数是可微 的 输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
全微分的定义 全微分的基本性质 全微分与偏导数的关系 全微分在多元函数中的应用
偏导数的定义
全微分的定义
偏导数与全微 分的关系
偏导数与全微 分的应用
二重积分的定义：二重 积分是定积分在二维空 间上的推广，表示函数 在某个区域上的面积。
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
逼近性：傅里叶级数可以逼近任何周期函数
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
三角恒等式：傅里叶级数中的系数满足三角恒等式
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
傅里叶级数是无穷级数的一种特殊 形式
傅里叶级数的收敛性和基本性质
计算方法：定积分可以使 用牛顿-莱布尼茨公式计 算，不定积分可以使用微 积分的基本原理计算。
应用：定积分可以用于求 解面积、体积、平均值等 问题，不定积分可以用于 求解原函数、导数、微分 等问题。
偏导数的定义：对于多元函数，偏导数表示函数在某一自变量 固定，其他自变量变化时函数的变化率 输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
二重积分和三重积分的计算方法基本相同，都是通过累加累减的方式进行
二重积分和三重积分的物理意义不同，二重积分表示面积，而三重积分表示体积
二重积分和三重积分的几何意义也不同，二重积分表示二维平面上的曲线与x轴围成的面积， 而三重积分表示三维空间中的曲面与x轴、y轴围成的体积
定义：常微分方程是描述一个或多个未知函数及其 导数之间关系的方程
分类：线性偏微分方程和非线性偏微分方程 偏微分方程的解法
偏微分方程的解法
有限差分法：用离散的有限个点上的近似值 来逼近偏微分方程的解
全微分的定义 全微分的基本性质 全微分与偏导数的关系 全微分在多元函数中的应用
偏导数的定义
全微分的定义
偏导数与全微 分的关系
偏导数与全微 分的应用
二重积分的定义：二重 积分是定积分在二维空 间上的推广，表示函数 在某个区域上的面积。
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
逼近性：傅里叶级数可以逼近任何周期函数
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
三角恒等式：傅里叶级数中的系数满足三角恒等式
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
傅里叶级数是无穷级数的一种特殊 形式
傅里叶级数的收敛性和基本性质
计算方法：定积分可以使 用牛顿-莱布尼茨公式计 算，不定积分可以使用微 积分的基本原理计算。
应用：定积分可以用于求 解面积、体积、平均值等 问题，不定积分可以用于 求解原函数、导数、微分 等问题。
偏导数的定义：对于多元函数，偏导数表示函数在某一自变量 固定，其他自变量变化时函数的变化率 输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
二重积分和三重积分的计算方法基本相同，都是通过累加累减的方式进行
二重积分和三重积分的物理意义不同，二重积分表示面积，而三重积分表示体积
二重积分和三重积分的几何意义也不同，二重积分表示二维平面上的曲线与x轴围成的面积， 而三重积分表示三维空间中的曲面与x轴、y轴围成的体积
定义：常微分方程是描述一个或多个未知函数及其 导数之间关系的方程
分类：线性偏微分方程和非线性偏微分方程 偏微分方程的解法
偏微分方程的解法
有限差分法：用离散的有限个点上的近似值 来逼近偏微分方程的解
同济大学微积分第三版课件第三章第二节
aa
注 本题中的两个积分结果也是常用的积分基本公式.
c o s 2x 1 1 c o s2 x , s in 2x 1 1 c o s2 x ,
2
2
sin2x2sinxcosx,
c o s c o s 1 2 c o s c o s , .
例9 计算下列积分:
⑴ sin3 xdx,
二、第二类换元法
定理 设 x t 是单调的、可导函数, 且t 0,
又 f tt有原函数, 则有换元公式
fxd x fttd t t 1x.
证 设 f tt的原函数为 t , 记
⑵ sin2xcos5xdx,
⑶ cos4 xdx,
⑷ sec6 xdx.
解 ⑴ s in 3 x d x 1 c o s 2 x d c o s x
cosx1cos3xC. 3
⑵ s in 2 x c o s 5 x d x s in 2 x 1 s in 2 x 2 d s in x
f ttdt . t1x
上述积分方法即称为第二类换元积分法.
一般, 当被积函数中含有 x2a2, a2x2等因子时
可通过适当的三角代换来求出相应的积分. 常用代换有:
a 2 x 2 , 作代换, x asint, x 2 a 2 , 作代换 xatant, x 2 a 2 , 作代换 xasect. a b x ,作代换 abx t.
解⑴
cscxdxsi1nxdx
2sin
1 xcos
x
dx
1
sec2
x 2
2 tanx
dx
22
2
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x
1 y2 ,
又因, ta n y ,即 a rc ta n y ,
从而
lim x0 x
d
dx
y 1y2
,
由此即得:
Klim lim
MM s x0 s
= lim x 0
x s
y 1 y2 3/ 2 .
x 1 x2
3/2 ,
求导得
1x2 Kx
3/23x1x2 2
1x2 3
1/2
2x 1x2 3x2 1x2 5/2 ,
K x 的图形
令 Kx 0,x
1 .此时曲率为 2
2
3
K 2 2 3 2.
曲率半径为R
解因
y 1, y 1 ,
x
x2
由计算公式得曲线在任一点处的曲率为
y
K 1y2
3/211 1//x x2 23/21x x23/2,
注意到. lim K x 0 ,lim K x 0 ,此说明当
x 0
x
x 0 或 x 曲线就越平坦.
大的差异.
M3
但是, 转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度.
例如在下图中,
两段弧 M
1M
与
2
M
1M
2 有相同的切线转
角, 但曲线的弯曲程度则是不同的.
M 1
M1
M 2
M2
2.曲率的概念
设平面曲线C 是光滑的, 在C 上取一点 M 0 作为度量弧
度的基点, 设点M 是曲线上任意一点, 弧 M 0 M 的弧长
应曲线上的点为抛物线的顶点.
曲率圆与曲率半径
设曲线C 在点M x, y处的曲率为KK0, 作出
点 M 处曲线C 的法线, 并且在曲线凹向一侧的法线上取
点D , 使
MD 1 .
y
1 K
K
以 D 为圆心, 为半径作圆,
D
称该圆为曲线C 在点M 的曲率
圆, D 为曲线C 在M 处的曲率 o
1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
例4 计算抛物线 yax2 bxc上任意一点处的曲
率, 并求出曲率最大处的位置.
解 因 y2axb,y2a.代入公式⑵得
2a
K
1
2ax
b2
3/
2
,
由于在上式中, 分子为常数, 故当2axb0时, 曲率
K 达到最大, 即当 xb/2a曲率取最大值, 此时, 对
即: 直线上任意点处的曲率为零.
例2 设曲线是半径为R 的圆, 则 sR,平均曲
率为
K 1 ,
s R
因而,
1
K lim . MM s R
此说明圆周上每一点的曲率相同,
R s
且等于半径的倒数.
二、曲率的计算公式
设曲线的直角坐标方程为 yfxC2a,b,即曲
第十一节 曲线的曲率
本节要点
本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方 法. 一、曲率的概念
二、曲率的计算公式
一、曲率的概念
1.问题的引出
在下图中, 我们看到弧段 M 1 M 2
比较平坦,
而弧段 M
2M
弯曲
3
得比较比较厉害. 即动
M2
点沿这段弧从点 M
到
1
到点M 2 再到点M 3 时,
M1
切线所转过的角有较
为 s , 点 M 是曲线C 上的另外一点, 弧M 0 M 的弧长为
s s, 点 M 处切线的倾
y
角为 , M 处切线的倾角为
, 则 M M 的弧长为 s , 切线的转角为 ,
M
M
s
O
x
称 s
为弧段M M 的平均曲率, 记为K
⑵
x
若曲线C 由参数方程
xt, yt,
t,,
其中: x ,y C 2 , ,x 2 y 2 0 ,则
tttt
K 2t2t3/2 .
⑶
例3 求y ln x 在任意点处的曲率.
M
M
s
ssxxsx,
Oa
bx
而线段M M 的长度为
并注意到
MM x2y2,
s
lim
1,
x0 MM
因
s
sM M
x2 y2
lim lim
lim
x 0 x x 0M M x x 0
x12212x1 22247.
得x
2,
从而得到圆心坐标为
2, 1 2
12 ln 2.
因而曲率圆方程为
x 22y1 21 2ln22247.
例6 铁路弯道的缓和曲线 铁路弯道的主要部分是呈 圆弧形的（称为主弯道）. 为了使列车在转弯时既平稳 又安全, 除了必须使直道与弯道相切外, 还须考虑轨道 曲线的曲率在切点邻近连续地变化. 我们知道, 直线的
,即
K . s
若当s 0时, 平均曲率的极限存在, 则称此极限为
曲线C 在点 M 处的曲率, 记为K , 即
K lim .
⑴
M M s
例1 对直线而言, 动点从 M 到 M 相应的切线的转角
为 0, 则
从而曲率
K 0,
s
K lim 0. MM s
线是光滑的. 在曲线上取定点 M0 x0,y0 作为度量弧长
的基点, 并且设曲线在区间 x 0 , x 上对应的一段弧长为
s x , 曲线上的点 M x, y 与
y
M x x ,y y x ,x x x 0
之间的一段弧长为
y f x
x
中心, 半径 称为曲线C 在点 M 处的曲率半径.
由定义可知, 曲线 C 在点M 处与其曲率圆有相同的切 线与曲率, 并且在点 M 的邻近处有相同的凹向.
例5 求曲线 y ln x上的点, 使曲线在该点的曲率为最
大, 并求相应的曲率圆.
解 由例3, 知曲线在任意点的曲率为
K
3 3/2 .
2
点的坐标为
1 2
,
1 2
ln
2
,
法线斜
率为k 1 . 法线方程为 2
y1ln2 2
12x
12.
在法线上求一点, 使该点与所给点的距离等于半径. 即有
x 122y12ln22247.
将法线方程代入, 则有