(五年高考真题)2016届高考数学复习第二章第八节函数的模型及其综合应用理

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函数模块5年高考真题汇总通用版(含答案)

答案解释考点01函数概念与单调性考点02函数周期性与奇偶性应用又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知二、填空题考点03函数图像应用一、单选题-的大致图像，1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．2y =【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解【详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，．．．．A．10π9BC．4π3D【答案】C【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到．．．．【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．．．．．【答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x y f x ==+32()22x x x f x -=-=-+，344240,2-⨯>+排除选项D ；考点04函数性质综合应用一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.3．（2021·全国·统考高考真题）设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b C ．2ab a <D ．2ab a >【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，a<0，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立.故选：D933⎝⎦。

2016高考数学-函数模型及其应用

2016高考数学:函数模型及其应用
2016高考各科复习资料
2016年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2016年高考复习，2016年高考一轮复习，2016年高考二轮复习，2016年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。

1、常见函数模型：(1)一次函数模型:;
(2)二次函数模型:;(3)指数型函数模型：;
(4)对数型函数模型：(5)幂函数型模型：2、函数模型的应用：一方面是利用已知的模型解决问题;另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。

解函数应用题的一般步骤：
(1)审题：深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格(或图形)外理数据，便于寻找数据关系。

(2)建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。

(3)解模：根据建立的数学模型，选择合适方法，求出问题的解，要特别注意变量范围的限制。

(4)还原：将数学的问题的答案还原为实际问题的答案，在这以前一定要进行检验。

精心整理，仅供学习参考。

专题12 函数模型及其应用-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)

专题十二函数模型及其应用【考情解读】1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．【重点知识梳理】1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)2.(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：[难点正本疑点清源]1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质． (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题． (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题． (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．【高频考点突破】考点一二次函数模型例1、某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【探究提高】二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．【变式探究】某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2 (0<x <240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台考点二指数函数模型例2、诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)．(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)【探究提高】此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．【变式探究】已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． .考点三分段函数模型例3、为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎨⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【探究提高】本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值．【变式探究】根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25D ．60,16【真题感悟】【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭ 【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是．【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C）满足函数关系b kx e y +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

【三维设计】(新课标)2016届高考数学5年真题备考题库第二章第9节函数模型及其应用理(含解析)

第2章函数、导数及其应用第9节函数模型及其应用1.（2014湖南，5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2 B. p ＋1 q ＋1 －12C.pqD. p ＋1 q ＋1 －1解析：设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝ 1＋p 1＋q －1，故选D.答案：D2.（2014山东，5分）已知函数y ＝f(x)(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．解析：函数g (x )的定义域是[－2,2]，根据已知得h x ＋g x2＝f (x )，所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2. 又h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2> 4－x 2恒成立，即3x ＋b >4－x 2恒成立．令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可，由|b |10>2，解得b >210(舍去负值)，故实数b 的取值范围是(210，＋∞)．答案：(210，＋∞)3．（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为________(m)．解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力．如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AFAH⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x .则S ＝x (40－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．答案：204．（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨论思想．(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．5．（2012江西，5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表( )植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0.9y ＝0，向上平移至过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，求得B (30,20)，故选B.答案：B6．（2013湖南，5分）设函数f (x )＝a x＋b x－c x，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②∃x ∈R ，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0.解析：本小题主要考查指数函数的性质、全称量词和存在量词的含义、零点存在性定理及推理论证能力．(1)由题设f (x )＝0，a ＝b ⇒2a x ＝c x⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＝12，又a ＋b ≤c ，a ＝b ⇒a c ≤12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0，所以12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x⇒0<x ≤1.(2)由题设a ＋b >c ⇒a c ＋b c >1，又0<a c <1,0a c ，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x >b c ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b cx >1，即f (x )>0，所以①正确；由(1)可知②正确；由△ABC 为钝角三角形，所以a 2＋b 2<c 2，所以f (2)<0.又a ＋b >c ，所以a c ＋b c>1，所以f (1)>0，由零点存在性定理可知③正确．答案：{x |0<x ≤1} ①②③7．（2013安徽，12分）设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)； (2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a1＋a 2，故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．因此区间I ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 1＋a 2，I 的长度为a1＋a 2.(2)设d (a )＝a1＋a 2，则d ′(a )＝1－a21＋a 2 2.令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增；当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或 a ＝1＋k 处取得．而d 1－k d 1＋k ＝1－k1＋ 1－k 21＋k 1＋ 1＋k 2＝2－k 2－k 32－k 2＋k3<1，故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2.8．（2011陕西，5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米．答案：20009．（2012湖南，13分）某企业接到生产3 000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k (k 为正整数)．(1)设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间； (2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．解：(1)设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )，由题设有T 1(x )＝2×3 0006x ＝1 000x ，T 2(x )＝2 000kx ，T 3(x )＝ 1 500200－ 1＋k x，其中x ，kx,200－(1＋k )x 均为1到200之间的正整数．(2)完成订单任务的时间为f (x )＝max{T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )}，其定义域为{x |0＜x ＜2001＋k，x ∈N *}，易知，T 1(x )，T 2(x )为减函数，T 3(x )为增函数．注意到T 2(x )＝2kT 1(x )，于是①当k ＝2时，T 1(x )＝T 2(x )，此时f (x )＝max{T 1(x )，T 3(x )}＝max{1 000x ，1 500200－3x}．由函数T 1(x )，T 3(x )的单调性知，当1 000x ＝ 1 500200－3x 时f (x )取得最小值，解得x ＝4009.由于44＜4009＜45，而f (44)＝T 1(44)＝25011，f (45)＝T 3(45)＝30013，f (44)＜f (45)．故当x ＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f (44)＝25011.②当k ＞2时，T 1(x )＞T 2(x )，由于k 为正整数，故k ≥3，此时 1 500200－ 1＋k x≥1 500200－ 1＋3 x ＝37550－x.记T (x )＝37550－x，φ(x )＝max{T 1(x )，T (x )}，易知T (x )是增函数，则f (x )＝max{T 1(x )，T 3(x )}≥max{T 1(x )， T (x )}＝φ(x )＝max{1 000x ，37550－x}．由函数T 1(x )，T (x )的单调性知，当1 000x ＝37550－x 时φ(x )取最小值，解得x ＝40011.由于36＜40011＜37，而φ(36)＝T 1(36)＝2509＞25011，φ(37)＝T (37)＝37513＞25011.此时完成订单任务的最短时间大于25011.(3)当k ＜2时，T 1(x )＜T 2(x )，由于k 为正整数，故k ＝1，此时f (x )＝max{T 2(x )，T 3(x )}＝max{2 000x ，750100－x}．由函数T 2(x )，T 3(x )的单调性知，当2 000x ＝750100－x 时f (x )取最小值，解得x ＝80011，类似(1)的讨论，此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当k ＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44,88,68.。

【三维设计】(新课标)2016届高考数学5年真题备考题库第二章第8节函数与方程理(含解析)

第2章函数、导数及其应用第8节函数与方程1. (2014山东，5分)已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx ，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k<1.答案：B2. (2014天津，5分)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象，如图，令g (x )＝a |x－1|，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点，显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a 1－x消去y ，得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，由Δ>0，解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a 1－x消去y ，得x2＋(3＋a )x －a ＝0，由Δ>0，解得a >－1或a <－9.综上，实数a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)．3. (2014江苏，5分)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x∈[－3,4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，124. (2014新课标全国卷Ⅰ，5分)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1有两个零点，不符合题意，故a ≠0.f ′(x )＝3ax2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a，由题意得a <0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，解得a <－2，选B.答案：B5．(2013安徽，5分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识，意在考查考生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识．因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，可知关于导函数的方程f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不等的实根x 1，x 2.则方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有两个不等的实根，即f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，原方程根的个数就是这两个方程f (x )＝x 1和f (x )＝x 2的不等实根的个数之和．由上述可知函数f (x )在区间(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是单调递增的，在区间(x 1，x 2)上是单调递减的，又f (x 1)＝x 1<x 2，如图所示，由数形结合可知，f (x )＝x 1时，有两个不同实根，f (x )＝x 2时有一个实根，所以不同实根的个数为3.答案：A6．(2013天津，5分)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝12图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝12x的图象，易知有2个交点．答案：B7．(2013湖南，5分)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想．由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．答案：B8．(2013重庆，5分)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b) 和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a) 和(c，＋∞)内解析：本题考查函数的零点，意在考查考生数形结合的能力．由已知易得f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，故函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．答案：A9．(2013福建，5分)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：本题考查集合、方程的根、计数原理等基础知识，意在考查考生的综合能力．因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或1或0或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b 可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.答案：B10．（2012辽宁，5分）设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题意知函数f (x )是偶函数，且周期是2.作出g (x )，f (x )的函数图像，如图．由图可知函数y ＝g (x )，y ＝f (x )在[－12，32]图像有6个交点，故h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点有6个．答案：B11．（2012天津，5分）函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：法一：函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y ＝2x，y ＝2－x 3在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.法二：由题意知f (x )为单调增函数且f (0)＝－1<0，f (1)＝1>0，所以在区间(0,1)内有且只有一个零点．答案：B12．（2012湖北，5分）函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝k π＋π2(k ＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．答案：C13．（2011新课标全国，5分）函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：如图，两个函数图像都关于点(1,0)成中心对称，两个图像在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.答案：D。

[推荐学习]河南省罗山高中2016届高考数学二轮复习函数模型及其应用精选练习(2)理

河南省罗山高中2016届高三数学复习精选练习（理数，含解析）：函数模型及其应用（2）1、设)]([)(,11)()(11x f f x f x x x f x f n n =+-==+,记M 为22)(22012+-=x x x f 的实数解集,则M 为( )A.空集B. RC.单元素集合D.二元素集合【答案】C 2、函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是（）A ．11(,)84B ．11(,)42C ．1(,1)2D ．（1，2）【答案】C【解析】因为01)1(,01)21(>=<-=f f ，所以0)1()21(<f f ，零点在区间)1,21(上，答案选C.3、国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为 ( )．A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元【答案】C【解析】设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800.4、对于函数)(x f 与)(x g 和区间E,如果存在E x ∈0,使1|)()(|00<-x g x f ,则我们称函数)(x f 与)(x g 在区间E 上“互相接近”.那么下列所给的两个函数在区间),0(+∞上“互相接近”的是 ( )A.2)(x x f =,32)(-=x x gB.x x f =)(,2)(+=x x gC. x x f ln )(=,x x g =)(D.x e x f -=)(,xx g 1)(-= 【答案】D5、研究函数()()1||xf x x R x =∈+的性质，分别给出下面结论： ①若12x x =-，则一定有12()()f x f x =-； ②函数()f x 在定义域上是减函数； ③函数()f x 的值域为(1,1)-；④若规定11()(),()[()]n n f x f x f x f f x +==，则()1||n xf x n x =+对任意*n N ∈恒成立，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C6、已知函数21,0,()1,0,x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩则满足不等式2(3)(2)f x f x -<的x 的取值范围为（）A ．[)3,0-B ．（－3，0）C ．（－3，1）D ．（－3【答案】B【解析】由函数图象可知，不等式的解为23220x x x -><⎧⎨⎩，，即(30)x ∈-，，故选B.7、设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为（） A. (10)(1)-+∞，， B. (1)(01)-∞-，， C. (1)(1)-∞-+∞，， D. (10)(01)-，，【答案】D8、已知函数()22,21f x x x x =+-≤≤且x Z ∈，则()f x 的值域是( )A ．[]0,3B ．[]1,3-C ．{}0,1,3D ．{}1,0,3-【答案】C9、以每秒a 米的速度从地面垂直向上发射子弹，t 秒后的高度x 米可由x ＝at －4.9t 2确定，已知5秒后子弹高245米，问子弹保持245米以上(含245米)高度共有( ) A ．4秒 B ．5秒 C ．6秒 D ．7秒【答案】B【解析】已知x ＝at －4.9t 2，由条件t ＝5秒时，x ＝245米，得a ＝73.5，所以x ＝73.5t －4.9t 2.子弹保持在245米以上(含245米)，即x≥245，所以73.5t －4.9t 2≥245.解得5≤t≤10.因此，子弹保持在245米以上的高度有5秒．10、已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x ax x=->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．34,45⎛⎤⎥⎝⎦D ．34,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C11、2002年初,甲？乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2010年初在经济指标对比时发现,这两家企业在2002年和2009年缴纳的地税均相同,其间每年缴纳的地税按各自的规律增长:企业甲年增长数相同,而企业乙年增长率相同.则2010年企业缴纳地税的情况是( )A.甲多B.乙多C.甲乙一样多D.不能确定【答案】B【解析】设企业甲每年缴纳的地税组成数列{a n },由于企业甲年增长数相同,所以数列{a n }是等差数列,则a n 是关于n 的一次函数.设企业乙每年缴纳的地税组成数列{b n },由于企业乙年增长率相同,所以数列{b n }是等比数列,则b n 是关于n 的指数形函数.根据题意,a 1=b 1,a 8=b 8,如图知a 9>．都有12()0,()0f x f x >>,且1212()()()f x f x f x x +<+成立，则称函数()f x 为“守法函数”。

全国版版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用函数模型及其应用理

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【加固训练】 1.(2016·石家庄模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午 8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为 ( )
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A.上午10:00 C.下午4:00
故函数v 1 x 5，
解得
a b
5 2
1 8
,
,
82
2，0＜x 4,
v
1 8
x
5 2
, 4＜x
20.
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(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得
当故0ff(<xx)xm≤a4x=2时x18f,,(0xf＜42()xx=)52为4x4,×,增4＜2函=x 8数;2,0，
14
2.(必修1P107习题3.2A组T4改编)有一批材料可以建成
200m长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一
块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩
形(如图所示),则围成的矩形最大面积为
.(围
墙厚度不计)
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【解析】设矩形的长为xm,宽为200 mx , 4
则S=x·200 x= (1-x2+200x). 当x=100时4 ,Smax4=2500m2. 答案:2500m2
经验绘制了2015年春节前后,从12月21日
至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千
克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在
12月26日大约卖出了西红柿
千克.
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(2)(2016·太原模拟)牧场中羊群的最大蓄养量为m只, 为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为 k(k>0).

2016年高考全国数学卷二试题及答案解析

A．
B．
C．
D．
二、填空题（共4小题）
13.
已知向量，，且，则 =___________.
14.
若满足约束条件，则的最小值为__________.
15.
的内角的对边分别为，若，，，则 =____________.
16.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.
答案：A
7.考点：空间几何体的三视图与直观图
试题解析：因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为，故选C.
答案：C
8.考点：几何概型
试题解析：至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.
答案：B
9.考点：算法和程序框图
试题解析：第一次运算：，
第二次运算：，
第三次运算：，故选C．
因为，所以，所以
，，，，
，，
四点共圆．
（Ⅱ），，
,
四点共圆
所以
所以
答案：（Ⅰ）见解析(Ⅱ)
23.考点：参数和普通方程互化极坐标方程
试题解析：（Ⅰ）利用，可得C的极坐标方程；(Ⅱ)先将直线的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得的斜率．
解析（Ⅰ）由得
，
故的极坐标方程为
(Ⅱ)由（为参数）得，即
试题解析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.
答案：和

(五年高考真题)2016届高考数学复习第二章第八节函数的模型及其综合应用理(全国通用)

第八节函数的模型及其综合应用考点一函数的实际应用1．(2015·北京，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( ) A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A 显然不对；B 应是甲车耗油最少；C 甲车以80千米/小时的速度行驶10 km ，消耗1升汽油．故D 正确．答案 D2．(2014·湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1解析设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1，故选D. 答案 D3.(2013·陕西，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位： m)的取值范围是( ) A ．[15，20] B ．[12，25] C ．[10，30]D ．[20，30]解析设矩形另一边长为y ，x 40＝40－y40，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C.答案 C4．(2011·湖北，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10 ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( ) A ．5太贝克B ．75 ln 2太贝克C ．150 ln 2太贝克D ．150太贝克解析由题意M ′(t )＝M 02－30t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2，M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10 ln 2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150，故选D.答案 D5．(2015·四川，13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析由题意⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b ＝18×192＝24.答案 246.(2012·江苏，17)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx－120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．∴炮的最大射程为10千米． (2)∵a >0，∴炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.∴当a 不超过6千米时，可击中目标．7．(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，R 以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．考点二函数的综合应用1．(2014·辽宁，12)已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12B.14C.12πD.18解析不妨令0≤y <x ≤1，当0<x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；当12<x －y ≤1时，|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14.综上，|f (x )－f (y )|<14，所以k ≥14. 答案 B2．(2013·天津，8)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0B.⎝⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52解析 a ＝0时，A ＝∅，不满足条件．a >0时，易知f (0)＝0，x >0时，f (x )＝x (1＋a |x |)>0，于是f (0＋a )>0＝f (0)，而由已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A 可得0∈A ，即f (0＋a )<f (0)，所以a >0也不满足条件，故a <0.易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a （x ≥0），－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a （x <0），在坐标系中画出y ＝f (x )与y ＝f (x ＋a )的图象如图所示，由图可知满足不等式f (x ＋a )<f (x )的解集A ＝(x A ，x B )．由x (1－ax )＝(x ＋a )[1－a (x ＋a )]可得x A ＝1－a22a ；由x (1＋ax )＝(x ＋a )[1＋a (x ＋a )]，可得x B ＝－1＋a22a.∴A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22a ，－1＋a 22a (a <0)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 22a <－12，－1＋a 22a >12，a <0，解得1－52<a <0.故选A.答案 A3．(2012·新课标全国，12)设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( ) A ．1－ln 2B.2(1－ln 2)C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)解析由题意知函数y ＝12e x与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 最小距离的2倍，设y ＝12e x上点(x 0，y 0)处的切线与y ＝x 平行，有12e x 0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴切点到直线y ＝x 的距离d ＝1－ln 22，所以|PQ |的最小值为22(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2)．答案 B4．(2014·湖北，14)设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数． (2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 解析过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线的方程为y －f (a )＝f （a ）＋f （b ）a －b(x －a )，令y ＝0得c ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）.(1)令几何平均数ab ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b )，可取f (x )＝x (x >0)；(2)令调和平均数2ab a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ），可取f (x )＝x (x >0)．答案 (1)x (2)x5．(2014·山东，15)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．解析函数g (x )的定义域是[－2，2]，根据已知得h （x ）＋g （x ）2＝f (x )，所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立，即3x ＋b >4－x 2恒成立，令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可，由|b |10>2，解得b >210(舍去负值)，故实数b 的取值范围是(210，＋∞)．答案 (210，＋∞)6．(2013·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x(cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．解 (1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x(cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x(x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x(x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0，得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.(ⅰ)若1≤k <e 2，则－2<x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )>0.即F (x )在(－2，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)上的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． (ⅱ)若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x >－2时，F ′(x )>0，即F (x )在(－2，＋∞)上单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．(ⅲ)若k>e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2].。

2016届高考数学复习第二章第八节函数的模型及其综合应用理

第八节函数的模型及其综合应用A组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2015·北京昌平区模拟)在2014年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是( )A．32人B．35人C．40人D．45 人解析设旅行团的人数为x人，每张机票收费为m元，旅行社获得的机票利润为y，当1≤x≤30且x∈N时，m＝800，y max＝800×30－12 000＝12 000，当30<x≤45且x∈N时，m＝800－20(x－30)＝1 400－20x，则y＝(1 400－20x)x－12 000＝－20x2＋1 400x－12 000，对应的抛物线开口向下，因为x∈N，所以当x＝－1 4002×（－20）＝35，函数取得最大值．所以当旅行社人数为35时，旅行社可获得最大利润．故选B.答案 B2．(2015·辽宁五校协作体模拟)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为s＝12t2米，那么，此人( )A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米解析以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为－25＋6t，汽车在时间t内的位移为s＝12t2，故设相对位移为y m，则y＝－25＋6t－12t2＝－12(t－6)2－7，故不能追上汽车，且当t＝6时，其间最近距离为7米．故选D.答案 D3．(2015·沈阳模拟)某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3S t 1＋t 2＋t 3＝3S S v 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.答案 D4．(2014·武汉调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( ) A ．5 km 处 B ．4 km 处 C ．3 km 处D ．2 km 处解析设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x ＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．答案 A 二、填空题5．(2014·金华十校期末)有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为______．(围墙厚度不计)解析设矩形场地的宽为x m ，则矩形场地的长为(200－4x )m ，面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500.故当x ＝25时，S 取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m 2.答案 2 500 m 2三、解答题6．(2015·四川乐山模拟)某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5（0≤x ≤7），13.5（x >7）.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5（0≤x ≤7）10.5－x （x >7）(1)要使工厂盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27<0或 ⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3<x <9，或7<x <10.5. 则3<x ≤7或7<x <10.5，即3<x <10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内． (2)当3<x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x >7时，f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时盈利最大．一年创新演练7．某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－110t 3(H 为常数)，其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v (m 3/h). 那么瞬时融化速度等于v (m 3/h)的时刻是图中的( )A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 4解析平均融化速度为v ＝V （100）－V （0）100－0，反映的是V (t )图象与坐标交点线的斜率，观察可知t 3处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致，故选C.答案 CB 组专项提升测试三年模拟精选一、填空题8．(2014·惠州模拟)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m ＝________．解析根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，解得t ＝15，故m＝15－5＝10. 答案 10 二、解答题9．(2014·河南鹤壁二模)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P (元/件)．前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升趋势，其中4天的单价记录如下表：时间(将第x 天记为x )x1 10 11 18 单价(元/件)P918而这20天相应的销售量Q (百件/天)与时间x (天)对应的点(x ，Q )在如图所示的半圆上．(1)写出每天销售收入y (元)关于时间x (天)的函数； (2)在这20天中哪一天销售收入最高？此时单价P 定为多少元为好？(结果精确到1元)解 (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10－x ，x ∈[1，10]，x －10，x ∈[11，20](x ∈N *)，Q ＝100－（x －10）2，x ∈[1，20]，x ∈N *，∴y ＝100QP ＝100（x －10）2[100－（x －10）2]，x ∈[1，20]，x ∈N *. (2)∵(x －10)2[100－(x －10)2]≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －10）2＋100－（x －10）222＝2 500，当且仅当(x －10)2＝100－(x －10)2，即x ＝10±52时，y 有最大值．又x ∈N *，∴当x ＝3或17时，y max ＝70051≈4 999，此时，P ＝7.答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P 定为7元为好．一年创新演练10．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y (单位：万元)与技术改造投入x (单位：万元)之间的关系满足：①y 与a －x 和x 2的乘积成正比例；②当x ＝a4时，y ＝3a 316；③0≤x 2（a －x ）≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0，2]．(1)设y ＝f (x )，求f (x )的表达式，并求y ＝f (x )的定义域； (2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入x 的值．解 (1)设y ＝k (a －x )x 2，由②得k ＝4， ∴y ＝4(a －x )x 2.∵0≤x 2（a －x ）≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0，2]，y ＝f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2ta 1＋2t ，t为常数，且t ∈[0，2]． (2)f ′(x )＝－4x (3x －2a )，令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2a3， (ⅰ)当2ta 1＋2t ≥2a3，即1≤t ≤2时，若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3，则f ′(x )>0；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2ta 1＋2t ，则f ′(x )<0，故当x ＝2a 3时，y max ＝16a 327.(ⅱ)当2ta 1＋2t <2a 3，即0≤t <1时，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2ta 1＋2t 时恒有f ′(x )>0，此时f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2ta 1＋2t 上是增函数，故当x ＝2ta 1＋2t 时，y max ＝16t 2a3（1＋2t ）3.综上，当1≤t ≤2，投入x ＝2a 3时，附加值y 最大，为16a 327万元；当0≤t <1，投入x ＝2ta1＋2t 时，附加值y 最大，为16t 2a3（1＋2t ）3万元．。

高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用：2.7 函数模型和函数的综合应用

函
数评f析(x )=本x 2题图以象新的定对义称的轴形为式直考线查x =了0,函故数B图错象误的,所对以称选性D.,考查学生运用所学知识分析问题、解
决问题以及知识迁移运用的能力.本题易错点有3 处:①误把“准偶函数”当作“偶函数”而
错选B;②忽视条件a≠0 而错选B;③不能从关系式f(x )= f(2a-x )得出函数f(x )的图象关于直线x = a
高考文数 ( 课标专用)
§2.7 函数模型和函数的综合应用
五年高考
自主命题· 省(区、市)卷题组
考点一函数模型及其应用
1.(2016 四川,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015 年全年投入研发资金130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%, 则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 ( ) (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2018 年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
解析 ①当x ∈[-3,0]时,因为f(x )≤|x |恒成立,所以x 2+2 x + a-2 ≤-x ,参变量分离得a≤-x 2-3 x +2, 令y=
-x 2-3 x +2=-
+ ,所以当x =0 或x =-3 时,y取得最小值,为2,所以a≤2.
②当x ∈(0,+∞)时,因为f(x )≤|x |恒成立,所以-x 2+2 x -2 a≤x ,参变量分离得a≥- x 2+ x ,令y= x 2+
雏个数分别为x ,y,z,则
当z=81 时,x = ,y= .
答案 8;11

高考数学一轮复习第二章函数2.8函数模型及其综合应用课件

,
5 2

D.
,
8 3

答案 B 本题考查了函数图象的应用以及不等式恒成立;考查数形结合思想的应用;以函数
间的递推关系为背景考查逻辑推理及数据分析的核心素养.
由题意可知,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x= 1 时,
2
f(x)min=- 14 ,且当x= 13 时,
个数分别为x,y,z,则
5x

3
y

1 3
z

100,当z=81时,x=
,y=
.
答案 8;11
解析本题考查二元一次方程组的实际应用.
把z=81代入方程组,化简得
x y 19, 5x 3y 73,
解得

x y

8, 11.
B组统一命题、省（区、市）卷题组
θ0
,
2

.
设f(θ)=sin
θcos
θ+cos
θ,θ∈ θ0 ,
2

.
则f '(θ)=cos2θ-sin2θ-sin θ=-(2sin2θ+sin θ-1)=-(2sin θ-1)(sin θ+1),
令f '(θ)=0,得θ= ,
6
当θ∈

θ0
,
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,
所以设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0).
则年总产值为4k×800(4sin θcos θ+cos θ)+3k×1 600(cos θ-sin θcos θ)=8 000k(sin θcos θ+cos θ),θ

(五年高考)高考数学复习第二章第八节函数模型及其综合应用文(全国通用)-人教版高三全册数学试

第八节函数模型及其综合应用考点一函数的实际应用问题1．(2014·某某，16)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．解析 (1)F ＝76 000v ＋20×6.05v＋18≤76 0002121＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立．(2)F ＝76 000v ＋20×5v＋18≤76 0002100＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.答案 (1)1 900 (2)1002．(2013·某某，14)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．解析设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案 203．(2011·某某，16)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b ＞a )以及实数x (0＜x ＜1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．解析依题意得x ＝c －a b －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0＜x ＜1，∴x ＝5－12.答案5－124．(2013·某某，20)某村庄似修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r ＞0，又由h ＞0可得r ＜53，故函数V (r )的定义域为(0，53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．考点二函数的综合应用问题1．(2014·某某，9)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)解析由题意可得准偶函数的图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴．选项A 、C 中函数的图象不存在对称轴，选项B 中函数的图象的对称轴为y 轴，只有选项D 中函数的图象存在不是y 轴的对称轴．答案 D2．(2014·某某，15)以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B ，现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)解析 ①显然正确；②反例：函数y ＝12x ＋1的值域为(0，1)，存在M ＝1符合题意，但此函数没有最值；③当f (x )趋于＋∞时，无论g (x )在[－M ，M ]内如何取值，f (x )＋g (x )都趋于＋∞，所以f (x )＋g (x )不可能有最大值，此命题正确；④由于ln(x ＋2)的值域为R ，xx 2＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，由③知如果a ≠0，则函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1的值域为R ，无最大值，与已知矛盾，所以a ＝0，所以此命题正确．答案 ①③④3．(2012·某某，16)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图①，则最优设计方案如图②，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图③，则铺设道路的最小总费用为________．解析根据题目中图③给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图③调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用)．此时铺设道路的总费用为2＋3＋1＋2＋3＋5＝16.答案164．(2011·某某，16)给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k.(1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为______；(2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为________．解析(1)由题可知f(n)∈N*，而k＝1时，若n＞1，则f(n)＝n－1∈N*，故只须f(1)∈N*，故f(1)＝a(a为正整数)．(2)由题可知k＝4，若n＞4，则f(n)＝n－4∈N*，而n≤4时，2≤f(n)≤3，即f(n)∈{2，3}，当n＝1时，f(n)＝2或3，当n＝2时，f(n)＝2或3，当n＝3时，f(n)＝2或3，当n ＝4时，f (n )＝2或3，故共可构成不同的函数f 的个数为16. 答案 (1)a (a 为正整数) (2)165．(2013·某某，21)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1a x ，0≤x ≤a ，11－a （1－x ），a ＜x ≤1.a 为常数且a ∈(0，1)．(1)当a ＝12时，求f (f (13))；(2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为f (x )的二阶周期点，证明：函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；(3)对于(2)中的x 1，x 2，设A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (a 2，0)，记△ABC 的面积为S (a )，求S (a )在区间[13，12]上的最大值和最小值．解 (1)当a ＝12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝23.(2)f (f (x ))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1a 2x ，0≤x ≤a 2，1a （1－a ）（a －x ），a 2＜x ≤a ，1（1－a ）2（x －a ），a ＜x ＜a 2－a ＋1，1a （1－a ）（1－x ），a 2－a ＋1≤x ≤1.当0≤x ≤a 2时，由1a2x ＝x 解得x ＝0，因为f (0)＝0，故x ＝0不是f (x )的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由1a （1－a ）(a －x )＝x解得x ＝a－a 2＋a ＋1∈(a 2，a )，因为f (a －a 2＋a ＋1)＝1a ·a －a 2＋a ＋1＝1－a 2＋a ＋1≠a －a 2＋a ＋1，故x ＝a－a 2＋a ＋1为f (x )的二阶周期点；当a ＜x ＜a 2－a ＋1时，由1（1－a ）2(x －a )＝x解得x ＝12－a ∈(a ，a 2－a ＋1)，因为f (12－a )＝11－a ·(1－12－a )＝12－a ，故x ＝12－a不是f (x )的二阶周期点；当a 2－a ＋1≤x ≤1时，由1a （1－a ）(1－x )＝x 解得x ＝1－a 2＋a ＋1∈(a 2－a ＋1，1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋a ＋1＝1（1－a ）·(1－1－a 2＋a ＋1)＝a －a 2＋a ＋1≠1－a 2＋a ＋1，故x ＝1－a 2＋a ＋1为f (x )的二阶周期点．因此，函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，x 1＝a－a 2＋a ＋1，x 2＝1－a 2＋a ＋1. (3)由(2)得A ⎝⎛⎭⎪⎫a －a 2＋a ＋1，a －a 2＋a ＋1， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋a ＋1，1－a 2＋a ＋1，则S (a )＝12·a 2（1－a ）－a 2＋a ＋1， S ′(a )＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2，因为a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，有a 2＋a ＜1，所以S ′(a )＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2＝12·a [（a ＋1）（a －1）2＋（1－a 2－a ）]（－a 2＋a ＋1）2＞0. (或令g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2，g ′(a )＝3a 2－4a －2＝3⎝⎛⎭⎪⎫a －2－103⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2＋103，因a ∈(0，1)，g ′(a )＜0，则g (a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝58＞0，故对于任意a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2＞0，S ′(a )＝12·a （a 3－2a 2－2a ＋2）（－a 2＋a ＋1）2＞0 则S (a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上单调递增，故S (a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上的最小值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝133，最大值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝120.6．(2012·某某，17)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. ∴当a 不超过6千米时可击中目标.。

课标5年高考3年模拟A版20高考数学第二章函数8函数模型和函数的综合应用课件文2

f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0,n≠0)
课标5年高考3年模拟A版
3
考向突破考向函数的实际应用例1 (2017福建质检,5)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11
故y=
50x 3x
115(3 x 6, x 2 68x 115(6
N*), x 20,
x
N*
).
(2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈N*),显然当x=6时,y取得最大值,为185.
对于y=-3x2+68x-115=-3
x
34 3
2
+
811 3
(6<x≤20,x∈N*),
2021/4/17
2021/4/17
课标5年高考3年模拟A版
7
考向突破考向函数的综合应用例2 (2017天津红桥期中联考,10)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表:
x
-1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示:
2021/4/17
课标5年高考3年模拟A版
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下列关于函数f(x)的命题: (1)函数y=f(x)是周期函数; (2)函数f(x)在(0,2)上是减函数; (3)如果当x∈[-1,t]时, f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4; (4)当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点. 其中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

高考数学 2.8 函数模型及其应用课后限时作业理(通用版)

高考数学 2.8 函数模型及其应用课后限时作业理（通用版）一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.汽汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )解析：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s随时间t 的增大而增大，故排除D项；另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除C项；又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B项，故选A项.答案：A2. 拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝1.06·(0.50×[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[3.1]＝4)，则从甲地到乙地通话时间为 5.5分钟的话费为( )A．3.71 B．4.24 C．4.56 D．4.77解析：从甲地到乙地的通话费用为1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×4＝4.24.答案：B3. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)满足的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为 ( ) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台解析：由题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N)，即x2＋50x≥30 000，所以(x＋25)2≥1752，所以x≥150.答案：C4.要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.如图，假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是( )A.3B.4C.5D.6解析：①易知3个水龙头不可能完全覆盖.②将边长为16的正方形分割成4个全等的正方形（如图），其对角线=82<12.所以每个正方形（小）都能被半径为6的圆覆盖，即4个水龙头可满足题意.答案：B5.（2011届·福州质检）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A．45.606万元 B．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析：设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆，设总利润为L (x )，则L (x )＝L 1＋L 2＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15)．L (x )在[0,10.2]上递增，在(10.2，＋∞)上递减，所以当x ＝10时，L (x )最大，L (x )max ＝45.6(万元)．故选B.答案：B6. 在某种金属材料的耐高温的实验中，温度y 随着时间t 变化的情况由微机记录后显示出的图象如图所示．已知下列说法：①前5分钟，温度增加的速度越来越快；②前5分钟，温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后，温度保持匀速增加；④5分钟以后，温度保持不变．其中正确的说法是 ( )A ．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④解析：注意y 是t 分钟时金属的温度．答案：D二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7. 一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则一定能确定正确的是 .解析：由丙图知0点到3点蓄水量为6，故应两个进水口进水，不出水，故①正确．由丙图知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位，故1个进水1个出水，故②错误．由丙图知4点到6点蓄水量不变，故可能不进水也不出水或两个进水一个出水，故③错误．答案：①8.用长度为24 m 的材料围成一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 m.解析：利用二次函数或基本不等式求解.答案：39. 某工厂生产某型号车床，年产量为10 000台，分若干批进行生产，生产每批车床前期投入为b 元．假设产品均匀投入市场，并且平均库存量为批量的一半．设每年每台的库存费为b2元，那么批量为台时，才能使一年中库存费与前期投入费的和最小．解析：设批量为x 台，则一年中库存费为x 2·b 2＝bx 4，一年中的前期投入费为10 000b x，当bx 4＝10 000b x ，即x ＝200时，bx 4＋10 000b x最小．答案：20010. 某种商品，进货价为每件50元．据市场调查，当销售价格x (元/件)满足50≤x ≤80时，每天售出的件数P ＝100 000x －402. 当销售价格定为元/件时，所获利润最多．解析：设销售价为每件x 元，获利润y 元，则有y ＝(x －50)·100 000x －402＝100 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x －40－10x －402. 将此式视为关于1x －40的二次函数，则当1x －40＝120，即x ＝60时，利润y 有最大值．答案：60三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．(1)若存款利率为x ，x ∈(0,0.048)，试写出存款数量g (x )及银行应支付给储户的利息h (x )与存款利率x 之间的关系式；(2)问存款利率为多少时，银行可获得最大收益．解：(1)由题意知，存款量g (x )＝kx ，银行应该支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2，x ∈(0,0.048)．(2)设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2＝－k (x －0.024)2＋0.0242k ，当x ＝0.024时，y 有最大值，所以存款利率定为0.024时，银行可获得最大收益．12. 某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P (元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：时间(将第x 天记录x ) 1 10 11 18单价(元/件)P 9 0 1 8而这20天相对的销售量Q (百件/天)与x 对应的点(x ，Q )在如图所示的半圆上．(1)写出每天销售收入y (元)与时间x (天)的函数．(2)在这20天中哪一天销售收入最高？每天销售价P 定为多少元为好？(结果精确到1元)解：(1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10－x ，x ∈[1，10]；x －10，x ∈[11，20]，x ∈N *， Q ＝100－x －102，x ∈[1,20]，x ∈N *，所以 y ＝100QP ＝100x －102[100－x －102]，x ∈[1,20]，x ∈N *. (2)因为(x －10)2[100－(x －10)2]≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －102＋100－x －10222＝2 500，所以当且仅当(x －10)2＝100－(x －10)2，即x ＝10±52时，y 有最大值．因为x ∈N *，所以取x ＝3或17时，y max ＝70051≈4 999(元)，此时，P ＝7(元)．答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P 定为7元为好．B 组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.如图所示，一质点P(x,y)在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V ＝V(t)的图象大致为 ( )解析：由题图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正数到0、负数，再到0，到正数，故A 项错误；质点P （x,y ）在终点的速率是由大到小接近0，故D 项错误；质点P （x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q （x,0）的速度为常数，因此C 项是错误的，故选B 项.答案：B2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x,y应为 ( )A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14解析：由题意知x 24－y ＝2024－8＝54，则x ＝30－54y . 矩形面积S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫30－54y y ＝－54(y －12)2＋180，则当y ＝12，x ＝15时，S 最大．答案：A二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.从装满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液后又用水填满，这样继续进行.如果倒完第k 次（k ≥1)时共倒出纯酒精x 升，设倒完第k+1次时共倒出纯酒精f(x)升，则函数f(x)的表达式为 .解析：由于倒完第k 次共倒出纯酒精x 升，则第k+1次倒酒精时，容器中还有纯酒精(20-x)升，第k+1次倒出了纯酒精1(20)20x -升，所以119()(20)1(120)2020f x x x x x =+-=+≤<. 答案：19()1(120)20f x x x =+≤< 4. 某学校需要购置实验设备若干套．经协商，厂家同意按出厂价结算，若超过50套还可以给予每套比出厂价低30元的优惠．如果按出厂价购买应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元(价格为整数)，则 a 的值为 .解析：设按出厂价y 元购买x (x ≤50)台应付a 元，则a ＝xy .若多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元，则a ＝(x ＋11)(y －30)(x ＋11>50)，所以xy ＝(x ＋11)(y －30)(39<x ≤50)，所以30x ＝11y －330，所以3011x ＝y －30. 又因为x ∈N ，y ∈N,39<x ≤50，所以x ＝44，所以y ＝150，所以a ＝xy ＝6 600.答案：6 600三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用甲图中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用乙图中的抛物线段表示．(1)写出甲图表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )；写出乙图表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)认定市场售价减去种植成本为纯利益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)由题图可得市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ， 0≤t ≤200；2t －300， 200＜t ≤300. 由题图可得种植成本与时间的函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋72t －1 0252，200＜t ≤300.当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )＝－1200(t －50)2＋100，所以，当t ＝50时，h (t )在区间[0,200]上取得最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h (t )＝－1200(t －350)2＋100，所以，当t ＝300时，h (t )在区间(200,300]上取得最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．6. 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2009年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2009年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为“其生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完．假设2009年生产的化妆品正好销完．(1)将2009年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2009年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 解：(1)由题意，得3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2，所以x ＝3－2t ＋1. 当年生产x (万件)时，年生产成本＝年生产费用＋固定费用＝32x ＋3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3，当销售x (万件)时，年销售收入＝150%·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，所以年利润＝年销售收入－年生产成本－年促销费，即y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1(t ≥0)． (2)因为y ＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－216＝42(万元)，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42，所以当促销费定在7万元时，企业的年利润最大．。

五年高考(2016-)高考数学(理)真题分项详解——专题02 函数 (学生版)

专题02 函数【2020年】1.（2020·新课标Ⅰ）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+ C. e x y a b =+D. ln y a b x =+2.（2020·新课标Ⅱ）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（） A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名3.（2020·新课标Ⅰ）若242log 42log a b a b +=+，则（）A. 2a b >B. 2a b <C. 2a b >D. 2a b <4.（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减5.（2020·新课标Ⅱ）若2233x y x y ---<-，则（） A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<6.（2020·新课标Ⅲ）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3） A. 60B. 63C. 66D. 697.（2020·新课标Ⅲ）已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b8.（2020·山东卷）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天D. 3.5天9.（2020·山东卷）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃10.（2020·天津卷）函数241xy x =+的图象大致为（）Ruize 知识分享A .B.C. D.11.（2020·天津卷）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c a b <<12.（2020·天津卷）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③13.（2020·天津卷）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（） A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞14.（2020·浙江卷）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（）A. B.C.D.15.（2020·浙江卷）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0在x ≥0上恒成立，则（） A. a <0B. a >0C. b <0D. b >016.（2020·山东卷）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A .若n =1，则H (X )=0B. 若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C. 若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D. 若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )17.（2020·北京卷）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 18.（2020·北京卷）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．19.（2020·江苏卷）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 20.（2020·新课标Ⅲ）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【2019年】1．（2019·全国Ⅰ卷）已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则（） A ．a b c <b ，则（） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │4．（2019·北京卷）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（） A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.15．（2019·全国Ⅰ卷）函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为（） A ．B ．C ．D ．6．（2019·全国Ⅲ卷）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为（）A ．B ．C．D．7．（2019·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数1xya=，1(2log)ay x=+(a>0，且a≠1)的图象可能是（）8．（2019·全国Ⅱ卷）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行．2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：121223()()M M MR rR r r R+=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r的近似值为（）A21MRMB212MRMC2313MRMD2313MRM 9．（2019·全国Ⅲ卷）设()f x是定义域为R的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则（）A．f（log314）＞f（322-）＞f（232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）10．（2019·全国Ⅱ卷）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11．（2019·浙江卷）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（）A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >012．（2019·江苏卷）函数276y x x =+-域是 .13．（2019·全国Ⅱ卷）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．()e ax f x =-14．（2019·北京卷）设函数（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．15．（2019·浙江卷）已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 16．（2019·北京卷）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．17．（2019·江苏卷）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【2018年】1．（2018·全国Ⅱ卷）函数()2e e x xf x x--=的图像大致为()()()2e e0,,x xx f x f x f xx--≠-==-∴()()()()()243e e e e22e2e,x x x x x xx x x xf xx x---+---++=='2．（2018·全国Ⅲ卷）函数422y x x=-++的图像大致为3．（2018·浙江卷）函数y=2x sin2x的图象可能是A．B．C ．D ．4．（2018·全国Ⅰ卷）设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =5．（2018·全国Ⅱ卷）已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．506．（2018·天津卷）已知2log e a =，ln2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>7．（2018·全国Ⅲ卷）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）19．（2018·江苏卷）函数()2log 1f x x =-________．20．（2018·全国Ⅲ卷）函数()πcos36f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．21．（2018·浙江卷）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

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第八节函数的模型及其综合应用考点一函数实际应用1．(2015·北京，8)汽车“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况. 下列叙述中正确是( ) A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/时速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析汽车每消耗1升汽油行驶里程为“燃油效率”，由此理解A 显然不对；B 应是甲车耗油最少；C 甲车以80千米/小时速度行驶10 km ，消耗1升汽油．故D 正确．答案 D2．(2014·湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年增长率为p ，第二年增长率为q ，则该市这两年生产总值年平均增长率为( )A.p ＋q2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1解析设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1，故选D. 答案 D3.(2013·陕西，9)在如图所示锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位： m)取值范围是( ) A ．[15，20] B ．[12，25] C ．[10，30]D ．[20，30]解析设矩形另一边长为y ，x 40＝40－y40，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C.答案 C4．(2011·湖北，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137含量．已知t ＝30时，铯137含量变化率是－10 ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( ) A ．5太贝克B ．75 ln 2太贝克C ．150 ln 2太贝克D ．150太贝克解析由题意M ′(t )＝M 02－30t⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2，M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10 ln 2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150，故选D.答案 D5．(2015·四川，13)某食品保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃保鲜时间是192小时，在22 ℃保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃保鲜时间是________小时．解析由题意⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b ＝18×192＝24.答案 246.(2012·江苏，17)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后轨迹在方程y ＝kx－120(1＋k 2)x 2(k >0)表示曲线上，其中k 与发射方向有关．炮射程是指炮弹落地点横坐标． (1)求炮最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．∴炮最大射程为10千米． (2)∵a >0，∴炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 方程a 2k 2－20ak ＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. ∴当a 不超过6千米时，可击中目标．7．(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直直线型公路，为进一步改善山区交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界直线型公路，记两条相互垂直公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建公路为l ，如图所示，M ，N 为C 两个端点，测得点M 到l 1，l 2距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2距离分别为20千米和2.5千米，R 以l 2，l 1所在直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 横坐标为t . ①请写出公路l 长度函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 长度最短？求出最短长度．解 (1)由题意知，点M ，N 坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设在点P 处切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x3，则l 方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 长度最短，最短长度为153千米．考点二函数综合应用1．(2014·辽宁，12)已知定义在[0，1]上函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 最小值为( ) A.12B.14C.12πD.18解析不妨令0≤y <x ≤1，当0<x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；当12<x －y ≤1时，|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14.综上，|f (x )－f (y )|<14，所以k ≥14. 答案 B2．(2013·天津，8)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 不等式f (x ＋a )<f (x )解集为A .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0B.⎝⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52解析 a ＝0时，A ＝∅，不满足条件．a >0时，易知f (0)＝0，x >0时，f (x )＝x (1＋a |x |)>0，于是f (0＋a )>0＝f (0)，而由已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A 可得0∈A ，即f (0＋a )<f (0)，所以a >0也不满足条件，故a <0.易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a （x ≥0），－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a （x <0），在坐标系中画出y ＝f (x )与y ＝f (x ＋a )图象如图所示，由图可知满足不等式f (x ＋a )<f (x )解集A ＝(x A ，x B )．由x (1－ax )＝(x ＋a )[1－a (x ＋a )]可得x A ＝1－a22a ；由x (1＋ax )＝(x ＋a )[1＋a (x ＋a )]，可得x B ＝－1＋a22a.∴A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22a ，－1＋a 22a (a <0)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 22a <－12，－1＋a 22a >12，a <0，解得1－52<a <0.故选A.答案 A3．(2012·新课标全国，12)设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |最小值为( ) A ．1－ln 2 B.2(1－ln 2) C ．1＋ln 2D.2(1＋ln 2)解析由题意知函数y ＝12e x与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 最小距离2倍，设y ＝12e x上点(x 0，y 0)处切线与y ＝x 平行，有12e x 0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴切点到直线y ＝x 距离d ＝1－ln 22，所以|PQ |最小值为22(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2)．答案 B4．(2014·湖北，14)设f (x )是定义在(0，＋∞)上函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))直线与x 轴交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 几何平均数． (2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求函数即可) 解析过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))直线方程为y －f (a )＝f （a ）＋f （b ）a －b(x －a )，令y ＝0得c ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）.(1)令几何平均数ab ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b )，可取f (x )＝x (x >0)；(2)令调和平均数2ab a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ），可取f (x )＝x (x >0)．答案 (1)x (2)x5．(2014·山东，15)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b “对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 取值范围是________．解析函数g (x )定义域是[－2，2]，根据已知得h （x ）＋g （x ）2＝f (x )，所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立，即3x＋b>4－x2恒成立，令y＝3x＋b，y＝4－x2，则只要直线y＝3x＋b在半圆x2＋y2＝4(y≥0)上方即可，由|b|10>2，解得b>210(舍去负值)，故实数b取值范围是(210，＋∞)．答案(210，＋∞)6．(2013·新课标全国Ⅰ，21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k取值范围．解(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0，得x1＝－ln k，x2＝－2.(ⅰ)若1≤k<e2，则－2<x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)<0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0.即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x>－2时，F′(x)>0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅲ)若k>e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k取值范围是[1，e2].。

(五年高考真题)2016届高考数学复习 第二章 第八节 函数的模型及其综合应用 理