2017-2018学年广西南宁市第二中学高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版

2017-2018学年广西南宁市第二中学高二下学期期中考试数学（文）试题一、选择题: 本大题共12 小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{≤≤+αππα4k 2ππ+k ，}Z k ∈中角表示的范围（阴影部分)是( )2. 设i 为虚数单位，若复数z 满足i iz=+1其中z 为复数z 的共轭复数，则z （ ） A ．1 B ．2 C ．22D ．2 3. 设5323cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，则()απ+tan =（ ） A ．43-B ．43C ． 34-D ．34 4. 下列曲线中离心率为322的是（ ） A ．18922=-y x B ．1922=-y x C. 18922=+y x D ．1922=+y x 5. 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上随机取一个数x ，则x cos 的值介于21与23之间的概率为（ ） A ．31 B ．41 C. 51 D ．616. 已知命题P ：R x ∈∀，012>+-x x ；命题:q 若22lg lg b a <，则b a <，下列命题为假命题的是（ ）A ．q p ∨B ．q p -∨ C. q p ∨- D ．q p -∨- 7. 将函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=42cos πx x f 的图象向左平移8π个单位后得到函数()x g 的图象，则()x g （ ）A ．为奇函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π上单调递减 B ．为偶函数，在⎪⎭⎫⎝⎛-8,83ππ上单调递增 C. 周期为π，图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,83π对称 D ．最大值为1，图象关于直线2π=x 对称8. 设抛物线x y 82=的焦点为F ，准线为l ，p 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为3-，那么=PF （ ） A ．34 B ． 8 C. 38 D ．16 9. 在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若12cos 2cos22=-+C BA ，AB sin 3sin 4=，1=-b a ，则c 的值为（ ）A ．13B ． 7 C. 37 D ．6 10. 若b a <<0，1=+b a ，则a ，21，ab 2中最大的数为（ ） A ．a B ．ab 2 C.21D ．无法确定 11. 设奇函数()()()ϕωϕω+--=x x x f cos 3sin ()0>ω在[]1,1-∈x 内有9个零点，则ω的取值范围为（ ）A ． [)ππ5,4B ．[]ππ5,4 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ41,51 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ41,51 12. 已知函数())1(ln 22e x ex x f ≤≤= ，()1+=mx x g 若()x f 与()x g 的图像上存在关于直线1=y 对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-e e 2,2B ．[]e e 3,32-- C. []e e 3,2-- D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--e e 3,223二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分13. 如图，函数()x f y =的图象在点P 处的切线方程是92+-=x y ，则()()44f f '+的值为 ．14. 若点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤2x x y xy ，表示的平面区域内，则y x z +=2的最大值为 ．15. 太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西︒15的方向上，汽车行驶km 1到达B 处后，又测得小岛在南偏西︒75的方向上，则小岛到公路的距离是 km ．16. 设函数()x x x f cos 2sin -=，己知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ且满足55cos =θ，则关于t 的不等式()25<-θt f 的在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ25,2t 上的解集为 ．三、解答题17. (本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，53-=a ，108=a ，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，且11=b ，14S ，23S ，32S 成等差要列.(1) 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式(2) 设n n n b a c +=，求数列{}n c 的前50项和50T 18. (本小题满分12 分)ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知a b B c =+23cos . (1) 求角C(2) 如图，若BC AC =，D 为ABC ∆外一点，BC AD //,CD AD =,若四边形ABCD 的面积为33+，求AD.19. (本小题满分12 分)某购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布，在当月的电脑消费小票中随机抽取n张进行统计，将结果分成5 组，分别是[)200,0，[)400,200，[)600,400，[)800,600，[]1000,800制成如图所示的频率分布直方图（假设消费金融均在[]1000,0元的区间内).(1)若在消费金额为[)400,0元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票中至少一张来自[)200,0元区间的概率；(2) 为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案， 方案一：全场商品打8.5折，方案二：全场购物满200元减20元，满400元减50元，满600元减80元，满1800元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分别计算按照不同方案100位顾客在该商场的平均花费，并以此为依据分析哪种方案优惠力度更大(直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值)， 20. （本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222a y x =+于相异两点Q P , (1) 若直线l 的斜率为1，求PQ 的值: (2) 若λ=，求实数λ的取值范围.21. (本小题满分12分) 已知函数()xe x a x xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，R a ∈； （1）当0=a 时，求()x f 在[]0,2-上的最大值；（2) 若函数()x f 在区间()1,0内有且只有一个极值点，求a 的取值范围，请考生在第22、23愿中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.22. (本小题满分10分) 选修4-4: 坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos y x : （θ为参数，[]πθ,0∈）将曲线1C 经过伸缩变换: ⎩⎨⎧='='yy xx 3得到曲线2C .(1) 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求2C 的极坐标方程； (2) 若直线⎩⎨⎧==ααcos cos :t y t x l (t 为参数) 与1C ，2C 相交于B A ,两点，且12-=AB ,求α的值.23.(本小题满分10分) 选修4-5: 不等式选讲 已知函数()22222-++-=ax a x x f ， （1) 当1=a 时，解不等式()2<x f ；（2) 若对于任意非等实数a 以及任意实数x ，不等式()2a xb x f -->恒成立，求实数b 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CBADA 6-10:CDBAC 11、12：AD 【部分题目解析】 7.()x x x g 2cos 482cos =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ，值域为[]1,1-，为偶函数，选项A 排除；周期π=T ,令πππk x k 222<<-，Z k ∈,πππk x k <<-2，Z k ∈，故单调增区间为⎪⎭⎫⎝⎛-πππk k ,2()Z k ∈,令πππ+<<k x k 222，Z k ∈，2πππ+<<k x k ，Z k ∈，单调减区间为⎪⎭⎫⎝⎛+2,πππk k ()Z k ∈，函数()x g 在⎪⎭⎫⎝⎛-8,83ππ上无单调性，选项B 排除； 令22ππ+=k x ，Z k ∈，42ππ+=k x ，Z k ∈，所以对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0,42ππk ，当8342πππ=+k ，41=k ，不符合，排除C 选项； 令πk x =2，Z k ∈，2πk x =，Z k ∈，当1=k ，2π=x 是函数()x g 的一条对称轴，选项D正确.10.b a <<0 ，1=+b a ，a b a -=<1，即a a -<1，21<a ； 又()21222=+<b a ab ，（b a <等号取不到）∴最大的数为21；故选C.11. ()()()ϕωϕω+--=x x x f cos 3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+=3sin 2πϕωx 因为函数()x f 为奇函数，所以()ππϕπϕk x f +==⇒⎪⎭⎫⎝⎛-=33sin 2，Z k ∈； 所以，()()πϖk x x f +=sin 2，()0=x f 即()0sin =+πϖk x ππϖm k x =+⇒，Z k ∈； 解得πϖkm x -=，设k m n -=，则ϖπn x =，Z n ∈；因为()0=x f 在[]1,1-=x 内有9个零点，所以11≤≤-ϖπn πϖπϖ≤≤-⇒n 54≤≤⇒πϖπϖπ54≤≤⇒；12. ()1+=mx x g 关于直线1=y 对称的直线mx y -=1，所以，直线mx y -=1与x y ln 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e 上有交点，作出mx y -=1与x y ln 2=的函数图象，所图所示：若直线mx y -=1经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,1e ，则e m 3=，若直线mx y -=1与x y ln 2=相切，设切点为()y x ,：则⎪⎩⎪⎨⎧-==-=m x x y m x y 2ln 21，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-232323e m y e x ，所以232--e e m 3≤≤；故选D.二、填空题13. -1 14. 6 15. 6316.b c a << 【部分题目解析】15.如图所示，依题意可得：︒=∠15CAB ,︒=∠105CBA ,︒=∠60ACB ,km AB 1=； 由正弦定理得ACB AB CAB BC ∠=∠sin sin ，所以︒︒=60sin 15sin BC .设C 到直线AB 的距离为d ，则︒⋅=75sin BC d ︒︒⋅︒=60sin 75sin 15sin ︒︒⋅︒=60sin 15cos 15sin ︒︒=60sin 230sin km 63=.16.【解析】因为，55cos =θ，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ，所以552sin =θ； 则()()θθsin cos cos sin 5x x x f -=()θ-=x sin 5，所以()t t f sin 5=-θ； 则()25<+θt f 21sin <⇒t ，结合正弦函数的图像可知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ613,65t三、解答题17.（1）因为385a a d -=315=⇒=d ，所以()14333-=-+=n d n a a n ； 因为14S ，23S ，32S 成等差要列，所以=26S 14S +32S 31223S S S +=⇒，整理得：()23122S S S S -=-；所以⇒=322b b 223==b b q ；所以1112--=⋅=n n n q b b ； (2)3140>⇒>n a n ，所以数列{}n a 从第五项开始为正数，设数列{}n a 的前n 项和为n A ； 则=50T ()421...a a a +++-+()5065...a a a ++++()5021...b b b +++504502S A A +-=； 因为=n A ()n n 214311-+-()2253n n -=，所以312550=A，264-=A ；又因为122121505050-=--=A ；所以125231255050-++=T 5023176+= 18. (1)在ABC ∆中，由正弦定理得的AB BC sin sin 23cos sin =+， 又)(C B A --=π,所以)sin(sin 23cos sin C B B B C +=+， 故=+B BC sin 23cos sin B C C B cos sin cos sin +，所以C B B cos sin sin 23= 又()π,0∈B ,所以0sin ≠B ，故23cos =C ，又()π,0∈C ，所以6π=C .(2) 设x AD =，则x CD =，因为BC AD //，且由（1）知6π=C ，所以6π=∠CAD ， 则由CD AD =可知6π=∠ACD ，所以π32=∠CDA ；则由余弦定理：222CD AD AC +=π32cos 2CD AD ⋅-，可得x AC 3=，所以x BC 3=;所以ABCD S 四边形ACD ABC S S ∆∆+=+⋅=6sin 21πAC BCπ32sin 21CD AD ⋅33434322+=+=x x ； 解得2=x ，即2=AD19.(1)由图可知，[)200,0中抽取2张，设为a ，b ，[)400,200中抽取4张，设为D C B A ,,,，共有15个基本事件：ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ,bB ,bC ,bD AD AC AB ,,CD BD BC ,,,,其中至少1张小票均来自[)200,0的基本事件为,ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ,bB ,bC ,bD ,所以53159==p ； （2）方案一：⨯85.0()1.09002.07004.05002.03001.0100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯425=元 方案二：4.04502.02801.0100⨯+⨯+⨯4481.07802.0620=⨯+⨯+元428425<，所以方案一优惠力度大.20.由题意得42=a 2=⇒a ，22=a c 2=⇒c ，则2222=-=c ab ； 则椭圆的方程为12422=+y x ，圆的方程为422=+y x ； （1）直线l 的方程为2+=x y ，⎩⎨⎧=++=42222y x x y ，得05832=++x x解得38-=+P A x x ，35=P A x x ，()232)35438112=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=AP又因为l 过()2,0，且()2,0为圆O 上的点，所以()2,0Q ，则2222=+=OQ OA AQ ；所以234=-=AP AQ PQ (2) 若AP PQ λ=()1+=⇒λ，因为()0,2-A ，所以()P Q y y 1+=λ；因为P ,Q 为相异两点，所以直线l 的斜率存在且不等于零；则设l ：2-=my x ，由⎩⎨⎧=+-=42222y x m y x ，得()04222=-+my y m ；所以242+=m m y P ；同理可得142+=m my Q； 12122++==+m m y y P Qλ112+=⇒m λ；因为R m ∈，且0≠m ，所以10<<λ21.（1）当0=a 时，()x xe x f =，()()x e x x f 1+='，当[)1,2--∈x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减，当[]0,1-∈x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增， 又()222--=-e f ，()00=f ，∴()0max =x f（2）()xe xa ax x x x f 223-++='，设()a ax x x x h -++=23，则()a x x x h ++='23 ①当0>a 时，()0>'x h 恒成立，故()x h 在()+∞,0上为增函数， 而()00<-=a h ，()021>=h ，故()x h 在()1,0有且只有一个零点， 故这个零点为函数()x f 在区间()1,0上的唯一极小值点. ②当0<a 时，()()123-++=x a x x x h ，当()1,0∈x 时，总有()0>x h 成立，即()x f 在区间()1,0上为增函数，故函数()x f 在区间()1,0上没有极值 . 综上所述，0>a22.（1）1C 的普通方程为()0122≥=+y y x ，把x x '=，y y '=33代入上述方程得，()01322≥'='+'y y x ，2C ∴的方程为()01322≥=+y y x令θρcos =x ，θρsin =y ，所以2C 的极坐标方程为- 11 - θθρ222sin cos 33+=[]()πθθ,01cos 232∈+=. （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R ∈=ραθ，由⎩⎨⎧==αθρ1得1=A ρ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=αθθρ1cos 2322得1cos 232+=αρ 而11cos 232-+α12-=，21cos ±=∴α，而[]πα,0∈，3πα=∴或32π 23. （1) 当1=a 时，()2221-++-=x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-+-≤--=1,1311,11.33x x x x x x ，所以()2<x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,35. 已知函数()22222-++-=a x a x x f ， （2) 由()2a x b x f -->，知22222-++-a x a x 2a x b -->，即21222+>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-b a x a x 而≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-2212a x a x 41222≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a ， 等号成立当且仅当“11≤≤-x ，1±a ”，所以42<+b ，2<b ，故实数b 的取值范围为()2,∞-。