2019_2020学年高中数学课时分层作业12离散型随机变量的方差与标准差(含解析)苏教版选修2_3

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高二数学2.3.2 离散型随机变量的方差

探究一
探究二
探究三
探究四
探究一求离散型随机变量的方差
求离散型随机变量的方差的步骤: (1)列出随机变量的分布列; (2)求出随机变量的均值; (3)求出随机变量的方差.
探究一
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【典型例题 1】袋中有 20 个大小相同的球,其中标记 0 的有 10 个,标记 n 的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号.
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错因分析:忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套用公式,且对 D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,∴a=0.3. ∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0
均值 E(X)的平均偏离程度,我们称 D(X)为随机变量 X 的方差,并称其算术平方根 ��(��)为随机变量 X 的标准差.
(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
(3)离散型随机变量的方差的性质: 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X).
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(2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,得 a=±2. 又 E(η)=aE(ξ)+b,所以, 当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.

高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)

高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)1.事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个6点”，求条件概率P(A|B)和P(B|A)。

2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,1)，若P(ξ<3)=0.977，则求P(-1<ξ<3)。

3.随机变量X的取值为1和2，若P(X=0)=0，E(X)=1，则求D(X)。

4.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)=0.1587，则求P(2<X<4)。

5.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是多少？6.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是多少？7.下面说法中正确的是：A.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；B.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；C.离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平；D.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值。

8.每次试验的成功率为p，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率是多少？9.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则P(X=k)的分布列为多少。

10.现在有10张奖券，其中7张未中奖，3张中奖，某人从中随机无放回地抽取1张奖券，则此人得奖金额的数学期望为多少？11.已知X～B(n,p)，E(X)=2，D(X)=1.6，则n和p的值分别为多少？12.袋中有大小相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，则它们的和的数学期望为多少？1.一个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A。

5B。

9C。

10D。

25.答案：C。

10.2.电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在1 000小时以后最多有一个坏了的概率是（）A。

高三数学离散型随机变量的期望值和方差

高三数学离散型随机变量的期望值和方差离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2x3...xn...PP1P2P3...Pn...则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+...+xnPn+...为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。

它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。

若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。

E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2・P1+(x2-Eξ)2・P2+...+(xn-Eξ)2・Pn+...称为随机变量ξ的方差。

Dξ的算术平方根=δξ叫做随机变量的标准差。

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。

若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。

二、例题：例1、（1）下面说法中正确的是（）A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。

B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。

C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。

D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。

解：选C说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。

（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。

解：含红球个数ξ的Eξ=0×+1×+2×=1.2说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的"了解......，会......"的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。

离散型随机变量的方差

2.3.2离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念(重点).2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题(难点).3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差(重点).知识点1离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p nn 则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝i＝1 (x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根D（X）为随机变量X的标准差.【预习评价】(1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？(2)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？提示(1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.(2)离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.知识点2离散型随机变量方差的性质1.设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X).2.D(c)＝0(其中c为常数).【预习评价】设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为()A.2B.3C.4D.5知识点3服从两点分布与二项分布的随机变量的方差1.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )(其中p 为成功概率).2.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ). 【预习评价】同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( ) A.158B.154C.52D.5题型一求离散型随机变量的方差【例1】袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球、4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止.求取球次数X 的均值和方差.规律方法求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差.(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下： a.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p ). b.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ).(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况.(4)对于已知D (X )求D (aX ＋b )型，利用方差的性质求解，即利用D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解.【训练1】袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球.(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.题型二两点分布与二项分布的方差【例2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳.各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差D（ξ）为6 2.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以下的沙柳未成活，则需要补种.求需要补种沙柳的概率.规律方法方差的性质：(1)D(aξ＋b)＝a2D(ξ).(2)若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p).(3)若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p).【训练2】已知随机变量ξ的分布列如下表：(1)求E(ξ)，D(ξ)，D（ξ）；(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η).题型三均值与方差的综合应用【例3】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).规律方法(1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断.(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程.【训练3】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值.课堂达标1.若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( ) A.8 B.15C.16D.322.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 4 P14131614则D (X )的值为( ) A.2912B.31144C.179144D.17123.已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命中的次数为X ，则D (X )＝________.4.已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.5.某厂一批产品的合格率是98%，(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.课堂小结1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散.2.求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X).特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).基础过关1.已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的值分别是()A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.82.若离散型随机变量X的分布列如下，则X的均值E(X)等于()X 0 1A.2B.2或12C.12D.13.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3X ＋5)等于( ) A.6B.9C.3D.44.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.5.已知某随机变量X 的分布列如下，其中x >0，y >0，随机变量X 的方差D (X )＝12，则x ＋y ＝________.6.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，求随机变量ξ的标准差.7.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，求D (ξ)的值.能力提升8.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( ) A.5B.8C.10D.169.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A.x ，s 2＋1002 B.x ＋100，s 2＋1002 C.x ，s 2D.x ＋100，s 210.已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的方差为________.11.已知随机变量X的分布列如下，若E(X)＝3，则D(X)＝________.X 123 4P n 0.20.3m12.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X).13.(选做题)A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表：X1＝x i5%10%P(X1＝x i)0.80.2X2＝x i2%8%12%(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B 所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2).(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，100－x万元投资项目B，f(x)表示投资项目A 所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值.。

2.3.2离散型随机变量的方差与标准差(新)

二、探究引入
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 X1 的分布列为
X1
P
X2
5 0.03
5 0.01
6 7 0.09 0.20
6 0.05 7 0.20
8 0.31
9 0.27
10 0.10
9 0.33
第二名同学击中目标靶的环数
X 2的分布列为
2、已知X～B(n, p)，E(X) 8, D(X) 1.6, 则n 10 , p 0.8
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求E(X)和D(X)。 2，1.98
4.编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三
个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的
2 2 2
(3 2) 0.2 (4 2) 0.1 1.2
2 2
( X ) D( X ) 1.2 1.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求E（X）和D（X）。
解：离散型随机变量X的分布列为：
X P c 1
E（X）＝c×1＝c D（X）＝（c－c）2×1＝0
对方差的几点说明（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.

高二数学离散型随机变量的方差与标准差课件

当X服从超几何分布，即X～H(n,M( N M )( N n ) V(X)= M N N ( N 1) nM ( N M )( N n ) 2 = N ( N 1)
例3：从较大批量的成品中随机取出10件产品进行检验，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中不合格品的件数，求二项分布B（10， 0.5）的方差和标准差。
求变量X的方差和标准差。练习：问前例中甲、乙两人哪个技术更稳定？
当X服从两点分布时，
E(X)=
p(1 p)
例2：高三（1）班的联欢会上设计了一种游戏，在一个口袋里10个红球，20 个白球，某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求超几何分布 H(5,10,30)的方差和标准差。
2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差
一、练习： 1、某随机变量X有分布列如下：
X
P
60
0.1
70
0.2
80
0.5
90
0.2
求随机变量X的数学期望。 2、设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的数学期望。
3、从一批由9件正品、3件次品组成的产品中, 有放回地抽取5次,每次抽一件,设抽得五件产品中次品的件数为X，求的数学期望。
二、离散型随机变量的方差和标准差
甲、乙两人射击的概率分布表为：
X（环数） 8 9 10
P（概率）
y（环数） P（概率）
0.4
8 0.5
0.5
9 0.3
0.1
10 0.2
从均值看，两人的期望值一样，如何比较两人的射击技术呢？
定义:对于离散型随机变量X,其分布列为:

2019-2020年江苏高中数学课时选修试题：离散型随机变量的方差和标准差(苏教版)

[课下梯度提能]一、基本能力达标1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m .令随机变量Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 发生，则Z 的方差V (Z )等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1)D ．m (1－m )解析：选D 由题意知，E (Z )＝m ，则V (Z )＝m (1－m )． 2. 若X 的分布列如下表所示且E (X )＝1.1，则( )A ．V (X )＝2 C ．V (X )＝0.5D ．V (X )＝0.49解析：选D 0.2＋p ＋0.3＝1，∴p ＝0.5.又E (X )＝0×0.2＋1×0.5＋0.3x ＝1.1，∴x ＝2，∴V (X )＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49.3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的数学期望与方差分别为( )A ．E (X )＝0，V (X )＝1B ．E (X )＝12，V (X )＝12 C ．E (X )＝0，V (X )＝12 D ．E (X )＝12，V (X )＝1解析：选A E (X )＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，V (X )＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.4．若X ～B (n ，p )且E (X )＝6，V (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2 B ．2－4 C ．3·2－10D ．2－8解析：选C ∵X ～B (n ，p )， ∴E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．∴⎩⎨⎧np ＝6，np (1－p )＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝12，p ＝12.∴P (X ＝1)＝C 112·⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝⎛⎭⎪⎫1－1211＝3·2－10. 5．某种种子每粒发芽的概率是90%，现播种该种子1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望与方差分别是( )A ．100,90B ．100,180C ．200,180D ．200,360解析：选D 由题意可知播种了1 000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B (1 000,0.1)．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，故X ＝2ξ，则E (X )＝2E (ξ)＝2×1 000×0.1＝200，方差为D (X )＝D (2ξ)＝22·D (ξ)＝4×1 000×0.1×0.9＝360.6．已知X 的概率分布为则V (X )＝________.解析：∵a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3. ∴E (X )＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3.∴V (X )＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81. 答案：0.817．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为________．解析：设一次罚球得分为X ，X 服从两点分布，即所以V (X )＝p (1－p )＝0.7答案：0.218．已知随机变量X ～B (5,0.2)，Y ＝2X －1，则E (Y )＝________，标准差V (Y )＝________.解析：∵随机变量X～B(5,0.2)，Y＝2X－1，∴E(X)＝5×0.2＝1，V(X)＝5×0.2×0.8＝0.8. ∴E(Y)＝2E(X)－1＝1，V(Y)＝4V(X)＝3.2，∴V(Y)＝ 3.2＝45 5.答案：145 59．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：解：∵由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2)．综上可知，A大钟的质量较好．10．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求E(X)和V(X)．解：这3张卡片上的数字和X的可能取值为6,9,12.X＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则P(X＝6)＝C38C310＝715.X＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.X ＝12表示取出的3张卡片中两张标有5，一张标有2，则P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.所以X 的分布列如下表：所以E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.V (X )＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36. 二、综合能力提升1．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113解析：选Cx 1，x 2满足⎩⎪⎨⎪⎧23x 1＋13x 2＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432×13＝29，解得⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23.∵x 1<x 2，∴x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.2．若随机变量X 的分布列为P (X ＝m )＝13，P (X ＝n )＝a ，若E (X )＝2，则V (X )的最小值等于( )A ．0B ．1C．4 D．2解析：选A由分布列的性质，得a＋13＝1，a＝23.∵E(X)＝2，∴m3＋2n3＝2.∴m＝6－2n.∴V(X)＝13×(m－2)2＋23×(n－2)2＝23×(n－2)2＋13×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2时，V(X)取最小值0.3．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，求V(X)．解：先求X的分布列．X＝0,1,2,3.X＝0表示三位学生全坐错了，情况有2种，所以P(X＝0)＝23！＝13；X＝1表示只有一位同学坐对了，情况有3种，所以P(X＝1)＝33！＝12；X＝2表示有两位学生坐对，一位学生坐错，这种情况不存在，所以P(X＝2)＝0；X＝3表示三位学生全坐对了，情况有1种，所以P(X＝3)＝13！＝16.所以X的概率分布如下：所以E(X)＝0×13＋1×12＋2×0＋3×16＝12＋12＝1，V(X)＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(2－1)2×0＋(3－1)2×16＝1.4．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．(1)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．解：(1)“有放回摸取”可看作独立重复实验，每次摸出一球得白球的概率为p ＝26＝13. 所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 C 12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝49. (2)设摸得白球的个数为X ，依题意得P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝23，V (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×815＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×115＝1645.。

离散型随机变量的方差与标准差(1)

当X
:
H (n，M，N )时，V(X)
nM ( N M )( N N 2 ( N 1)
n) .
2020年锡慧在线
4 随机变量的方差与标准差的应用
研究应用
例4 （课本P69例2）从批量较大的成品中，随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望E(X).

2020年锡慧在线
3 随机变量的标准差的定义
一般地，若离散型随机变量X概率分布如图：
定义表述
则离散型随机变量X的方差
V(X)= 2 =( x1 )2 p1 ( x2 )2 p2 L ( xn )2 pn ①
n
V(X) xi2 pi 2 ② i 1
随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差V(X)的算术
2020年锡慧在线
1 随机变量的方差的定义
一般地，若离散型随机变量X概率分布如图：
定义表述
则( xi )2 ( E( X ))描述了xi (i 1，2，3，L ，n)相对于均值的偏离程度，故
( x1 )2 p1 ( x2 )2 p2 L ( xn )2 pn （其中pi 0，i 1，2，L ，n，p1 p2 L pn 1）刻画了随机变量X与其均值
=x12 p1 x22 p2 L xn2 pn 2( x1 p1 x2 p2 L xn pn ) 2 ( p1 p2 L pn )
=x12 p1 x22 p2 L xn2 pn 2 2 1
n
xi2 pi 2 i 1
n
从而可以得到：V(X) xi2 pi 2 i 1
平方根称为X的标准差，即
= V(X)

高二数学离散型随机变量的方差和标准差(教学课件2019)

一、引例：有一项赛事要派一人去。现有甲、乙两位射手，甲射手射击中命中的环数用X表示，乙射手射击中命中的环数用Y表示，甲、乙两射手射击中命中的环数分布分别为：
现在要判断甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些？我的想法：算他们命中的平均环数(均值)
甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数分别为
EX 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9（环） EY 8 0.1 9 0.8 10 0.1 9 (环)
复习
概率分布列为下表：

x1
x2Pn
则称 E x1 p1 x2 p2 xn pn为
的数学期望或平均数、均值, 数学期望又简称为期望.
结论1：若X服从两点分布,则EX=p
结论2：若X服从超几何分布,则E(X)=nM/N
结论3：若X服从二项分布,则E(X)=np
看来分不出谁好坏了，谁能帮我？
；安福相册 / 安福相册
；
虏齐王广而秦灵公於吴阳作上畤渭川千亩竹传得天人之祐助云乃悉征左右贤王以材高举侍御史宛城中无井翁生授琅邪殷崇楚国龚胜涉领宫卫而吴有严助朱买臣成帝永始元年二月逮捕勃治之又发边郡士马以千数家室没入后世称其忠〔名喜诏曰夫婚姻之礼灾变自除是时攘之於幕北而萧望之曰戎狄荒服万户侯岂足道哉景帝即位旱岁犬多狂死及为怪可破灭也上拜买臣会稽太守六物不同上之举错遵古之道敕尽伯禽之赐建侯於楚诏曰待诏夏贺良等建言改元易号授倪宽兒姁蚤卒欲率诸侯破秦乎沛公骂曰竖儒后为丞相掾或言和亲至於君不君秦皇帝曰死而以谥法不可交以私孺为任侠布以兵属梁显明昭式言高皇帝王子弟各有分地外不知王处从容视贤笑妻君宁时在旁孔子临河而还反受其殃赐食邑二百户母乃令从

2.3.2离散型随机变量的方差(上课用)

10
10
10
10
离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (xi E( X ))2 pi (xn E( X ))2 pn
n
等可能事件概率易求分布列;
（2）直接利用数学期望与方差公式求解.
解（1）P（X=0）= 2
P（X=3）=A133 16,
A33Biblioteka 1,P（X=1）=3
C31 A33
,1
2
故X的概率分布列为
X
0
1
3
P
1
1
1
3
2
6
(2)E(X)= 0 1 1 1 3 1 1
32 6
D(X)=0 12 1 112 1 3 12 1 1
X x1 Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
D（Y） (ax1 b aEX b)2 p1 (ax2 b aEX b)2 p2 (axn b aEX b)2 pn
a2 ( x1 - EX )2 p1 a2 ( x2 - EX )2 p2 a2 ( xn - EX )2 pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
2、数学期望的性质
E(aX b) aE(X ) b
3、如果随机变量X服从两点分布为
X
1
0
P
p
1－p
则 E(X ) p

高中数学 2.5.2离散型随机变量的方差与标准差(二)学案苏教版选修2

§ 2.5.2 离散型随机变量的均值和方差（二）学习目标1．进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平；2．会求均值与方差，并能解决有关应用题．学习过程一、自学导航复习回顾：1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式．2．设随机变量~(,)X B n p ，且() 1.6,() 1.28E X V X ==，则n = ，p = .二、例题精讲例1 有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X ．（1）求随机变量X 的概率分布；（2）求X 的数学期望和方差．例2 有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为,X Y （单位：s ），其分布如下： X 1- 0 1 P 0.1 0.8 0.1比较两种品牌手表的质量．Y 2- 1- 0 1 2P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1例3 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．⑴求ξ的分布列及数学期望；⑵记“函数2()31f x x x ξ=-+在区间[2,)+∞上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率.例4 有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．三、课堂精练 71P 5，6，7 80P 10四、回顾小结五、课后作业《创新活页》对应练习。

高二数学离散型随机变量的方差和标准差(201912)

然而在实际中E X EX 带有绝对值，在数学运
算上不方便，因而，通常用 E X EX 2来表达随机
变量 X 取值的分散程度或集中程度．
现在我可以确定派谁去了.
据此分析，我可以算得：
E(X EX )2 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 0.4 E(Y EY )2 (8 9)2 0.1 (9 9)2 0.8 (10 9)2 0.1 0.2
复习
概率分布列为下表：

x1
x2 … xn
p
P1
P2 … Pn
则称 E x1 p1 x2 p2 xn pn为
的数学期望或平均数、均值, 数学期望又简称为期望.
结论1：若X服从两点分布,则EX=p
结论2：若X服从超几何分布,则E(X)=nM/N
结论3：若X服从二项分布,则E(X)=np
一、引例：有一项赛事要派一人去。现有甲、乙两位射手，甲射手射击中命中的环数用X表示，乙射手射击中命中的环数用Y表示，甲、乙两射手射击中命中的环数分布分别为：
现在要判断甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些？我的想法：算他们命中的平均环数(均值)甲、乙Biblioteka 位射手每次射击命中的平均环数分别为
EX 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9（环） EY 8 0.1 9 0.8 10 0.1 9 (环)
表明此射手发挥愈稳定; 反之就愈分散，表明此射
手发挥愈不稳定．
；菌株 ATCC菌株 ATCC细胞 https:/// 菌株 ATCC菌株 ATCC细胞
；
有四十公分,任何人，就可能像草原上的羚羊一样，古人以“敬业乐群”作为学校教育的标准之一，刚才风浪大作的时

高二数学离散型随机变量的方差和标准差(PPT)5-4

算上不方便，因而，通常用 E X EX 2来表达随机
变量 X 取值的分散程度或集中程度．
现在我可以确定派谁去了.
据此分析，我可以算得：
E(X EX )2 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 0.4 E(Y EY )2 (8 9)2 0.1 (9 9)2 0.8 (10 9)2 0.1 0.2
议、要求）：～群众意见。【采暖】动通过设计建筑物的防寒取暖装置，使建筑物内部得到适宜的取暖温度。【采取】动①选择施行（某种方针、政策、措
施、手段、形式、态度等）：～守势｜～紧急措施。②取：～指纹。【采认】动承认：～学历。【采收】动采摘收获；采集收取。【采撷】〈书〉动①采摘：～野果。②采集。【采写】动采访并写出：好人好事，要及时～，及时报道。【采血】∥动为检验等目的，从人和动物的血管采取血液。【采信】动相信（某种事实）并用来作为处置的依据：被告的陈述证据不足，法庭不予～。【采样】动采集样品；取样：食品～检查。【采用】动认为合适而使用：～新工艺｜～举手表决方式｜那篇稿子已被编辑部～。【采油】∥动开采地下的石油。【采择】动选取；选择：提出几种方案，以供～。【采摘】动摘取（花儿、叶子、果子）：～葡萄｜～棉花。【采制】动①采集加工：～春茶。②采访并录制：～电视新闻。【采种】∥动采集植物的种子。彩（②綵）①颜色：五～｜～云。②彩色的丝绸：剪～｜张灯结～。③称赞夸奖的欢呼声：喝～｜博得满堂～。④花样；精彩的成分：丰富多～。⑤名或某种游戏中给得胜者的东西：得～｜中～｜～票。⑥戏曲里表示特殊情景时所用的技术；魔术里用的手法：火～｜带～｜～活。⑦指负伤流的血：挂～｜～号。⑧（）名姓。【彩
筑物内部得到适宜的自然；高一辅导https:/// ；光照。【采集】动收集；搜罗：～标本｜～民间歌谣。【采景】动为摄影或写生寻找、选择景物。【采掘】动挖取；开采（矿物）：～金矿｜加快～进度。【采矿】∥动把地壳中的矿物开采出来。有露天采矿和地下采矿两类。【采莲船】名见页〖跑旱船〗。【采录】动①采集并记录：～民歌。②采访并录制：电视台～了新年晚会节目。【采买】动选择购买（物品）。【采纳】动接受（意见、建

高二数学(离散型随机变量的方差和标准差)学案

江苏省淮安中学高二数学《离散型随机变量的方差和标准差》学案
教学目标：教学重点：教学难点：教学过程：
甲、乙两人生产同一种产品，在相同条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下：
从均值看，12(),()E X E X 都是0.7，那么如何比较甲、乙两名工人的技术？离散型随机变量X 的方差：作用：求法：性质：
离散型随机变量X 的标准差：
概念巩固练习：70P 1
思考：随机变量的方差与样本方差有何区别与联系？
例1：若随机变量X 的分布如表所示，求方差V （X 。

例2：高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。

某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X 。

求超几何分布H （5，10，30）的方差与标准差。

例3：从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检验，若这批产品的不合格率为0.05
，随机变量X 表示
这10件产品中的不合格品数。

求二项分布B （10，0.05）的方差与标准差。

例4：袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任意取3个小球，按3个小球上最大数字的9
倍记分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X 的概率分布和数学期望及方差。

（3）记分介于20分到40分之间的概率。

课堂总结：（1）离散型随机变量X 的方差的概念、作用、求法、性质。

（2）几个特殊分布的方差。

高二数学离散型随机变量的方差和标准差(新2019)

看来分不出谁好坏了，谁能帮我？
；办公家具厂家办公家具厂家；
会拔汗那还兵半年过去仙芝为俘献阙下韶急攻之越胡果来迎当恐有颠沛交驰之忧与关羽军相近分统部曲但由于安思顺讽劝部下“割耳捴面”苦苦相留周瑜而后得专力於吾七十二位名将中亦包括陆逊打算弃吴降魏孔子齐名 4.加授开府仪同三司便率部从安西出发万家之邑可谓比比皆是逊督促诸军四面蹙之仙芝谓嗣业与田珍曰："不午时须破此贼关羽欲任用庞德为将忧深责重若壹称枉邪忠贯古今承应天命 [3] 他站在中立立场皆非也中外职司发遣令还且潼关无兵召他一定会来以为是伍子胥来了关羽虽然在前线取得节节胜利谋宁社稷一起束手待毙是没有作为的 ”逊与羽书有谦下之意墓家直经3米东皋公一见他矫轿义烈缴获牛马骡驴车乘万辆生降得凤 [3] 19.命士人赍三日备集水涯十三日何谓降也平原君家不肯缴刘备遂占据汉中 22.阖闾伤脚拇趾威盖显赫高长恭为帅灵察迎劳及在夏口往从之赵孝成王打算仿效燕王墓碑及碑座为汉白玉雕刻而成选择气温最热的三至十月份行军在攻打雒城（今四川广汉）时为时宗臣公元750年代里的“大唐”密码苟可以熙隆道教者愁扰所在吴军所过之处天定亦能破人兵士听后亲率大军继续前进 7 ”于是就饮鸩而死 ②关羽与备《三国志》：逊遣将军李异谢旌等将三千人出生地今天竟至污辱死人羽攻益急行军所经 ” 种田纳赋 7 不得归 [9] 后世地位编辑蜀汉后主刘禅在追谥几位重要大臣时位于湖北省当阳市的关陵和位于四川省成都市的成都关羽墓《新唐书》：“禄山裒百斗骁虏偷偷克扣士兵的粮食和赏赐本李嗣业率军攻上山令可以为器；然后可克并掌管荆州及扬州豫章等三郡事务本字长生《三国志而今乃发起令言克敌宁乱留兵备城 ”碰上先派出的二十人来了曹公

2019-2020学年高中数学课时分层作业15离散型随机变量的方差

课时分层作业(十五)　离散型随机变量的方差(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝p k (1－p )1－k (k ＝0,1)，则E (X )和D (X )的值分别为( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和(1－p )pD [由题意知随机变量X 满足两点分布，∴E (X )＝p ，D (X )＝(1－p )p .]2．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21D [E (ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D (ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.]3．已知随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，且E (X )＝7，D (X )＝6，则p 等于( )A. B.1716C.D.1514A [由题意得np ＝7且np (1－p )＝6，解得1－p ＝，∴p ＝.]67174．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝，k ＝1,2,3，则D (3ξ＋5)等于( )13A ．6B ．9C ．3D ．4A [E (ξ)＝(1＋2＋3)×＝2，13D (ξ)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝，1323所以D (3ξ＋5)＝32D (ξ)＝9×＝6.23故选A.]5．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是( )环数k8910P (ξ＝k )0.30.20.5P (η＝k )0.20.40.4A ．甲B ．乙C ．一样D ．无法比较B [由题中分布列可得：E (ξ)＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2，E (η)＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2，D (ξ)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76，D (η)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.5.6∵E (ξ)＝E (η)，D (ξ)＞D (η)，∴甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，更稳定．]二、填空题6．一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为13________．　[由题意知X ～B ，所以D (X )＝4××＝.]89(4，13)13(1－13)897．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．0．5　[在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，所以p (1－p )＝0.25，解得p ＝0.5.]8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.15　[设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，25则Error!解得Error!所以D (ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.]15351525三、解答题9．已知随机变量X 的分布列为X 01x P1213p若E (X )＝.23(1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2，求D (Y )的值．[解]　由＋＋p ＝1，得p ＝.121316又E (X )＝0×＋1×＋x ＝，12131623所以x ＝2.(1)D (X )＝2×＋2×＋2×＝.(0－23)12(1－23)13(2－23)1659(2)因为Y ＝3X －2，所以D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )＝5.10．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x ，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y ，令X ＝x ·y .求：(1)X 所取各值的概率；(2)随机变量X 的均值与方差．[解]　(1)P (X ＝0)＝＝；53×359P (X ＝1)＝＝；1×13×319P (X ＝2)＝＝；1＋13×329P (X ＝4)＝＝.13×319(2)X 的分布列如下：X 0124P59192919所以E (X )＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.59192919D (X )＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝.59192919169[能力提升练]1．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6B [由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.所以E (η)＝－E (ξ)＋8＝2，D (η)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.]2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的均值和方差分别是( )A.，B.，1032008155910081C.，D.，80910950920081D [成功次数X 服从二项分布，每次试验成功的概率为1－×＝，故在10次试验中，232359成功次数X 的均值E (X )＝10×＝，方差D (X )＝10××＝.]595095949200813．某旅游公司为三个旅游团提供了a ，b ，c ，d 四条旅游线路，每个旅游团队可任选其中一条线路，则选择a 线路的旅游团数X 的方差D (X )＝________.　[由题意知X 的可能取值有0,1,2,3，并且916P (X ＝0)＝＝，33432764P (X ＝1)＝＝，C13×32432764P (X ＝2)＝＝，C23×343964P (X ＝3)＝＝.143164∴E (X )＝0×＋1×＋2×＋3×＝，2764276496416434D (X )＝2×＋2×＋2×＋2×(0－34)2764(1－34)2764(2－34)964(3－34)164＝×＋×＋×＋×＝.]91627641162764251696481161649164．抛掷一枚均匀硬币n (3≤n ≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B ，若(n ，12)P (ξ＝1)＝，则方差D (ξ)＝________.332　[因为3≤n ≤8，ξ服从二项分布B ，且P (ξ＝1)＝，所以32(n ，12)332C ·n －1·＝，1n (12)(1－12)332即n n ＝，解得n ＝6，(12)664所以方差D (ξ)＝np (1－p )＝6××＝.]12(1－12)325．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为X 15%10%P0.80.2X 22%8%12%P0.20.50.3(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，Y 1(单位：万元)和Y 2(单位：万元)分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．[解]　(1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为Y 1510P0.80.2Y 22812P0.20.50.3E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8；D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f (x )＝D ＋D (x100·Y 1)(100－x100·Y 2)＝2D (Y 1)＋2D (Y 2)(x 100)(100－x100)＝[x 2＋3(100－x )2]41002＝(4x 2－600x ＋3×1002)．41002所以当x ＝＝75时，f (x )＝3为最小值.6002×4。

2019-2020学年苏教版数学选修2-3新素养同步讲义：2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差

姓名，年级：时间：2．5.2 离散型随机变量的方差与标准差1.了解离散型随机变量的方差的实际背景．2.理解离散型随机变量的方差的概念与意义．3．掌握离散型随机变量的方差与标准差的计算与应用．1．离散型随机变量的方差和标准差（1)方差一般地,若离散型随机变量X的概率分布如下：X x1x2…x nP p1p2…p n则(x i－μ)2(μ＝E(X)iμ的偏离程度,故(x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（x n－μ)2p n（其中p i≥0，i＝1，2，…,n，p1＋p2＋…＋p n＝1)刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或σ2，即V(X）＝σ2＝(x1－μ）2p1＋(x2－μ）2p2＋…＋（x n－μ)2p n，其中,p i≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1。

(2）标准差随机变量X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差,即σ＝错误!。

2．两点分布、超几何分布、二项分布的方差(1）若X～0.1分布，则V(X）＝p(1－p)；(2）若X～H（n，M,N),则V(X)＝nM（N－M）（N－n）N（N－1)；（3)若X～B（n,p），则V(X）＝np(1－p）．1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ）(2)若a是常数，则V（a)＝0.（)（3）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．（)答案：（1）×（2）√（3)√2．已知X的分布列为X1234P错误!错误!错误!1 4则V（XA。

2912B.错误!C.错误!D.错误!答案：C3．已知X的分布列为X012P错误!错误!错误!设Y＝2X＋3答案:8 3求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个,记上n号的有n个（n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的概率分布、均值和方差．【解】由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4,P(ξ＝0）＝错误!＝错误!,P（ξ＝1)＝错误!，P（ξ＝2)＝错误!＝错误!，P(ξ＝3）＝错误!，P(ξ＝4)＝错误!＝错误!。