初中三角函数公式及其定理及习题
初中数学三角函数公式最全
初中数学三角函数公式最全三角函数是数学中重要的概念和工具之一，在初中数学中也是一个重要的知识点。
掌握了三角函数的基本概念和公式，可以解决很多几何和物理相关的问题。
下面将介绍一些初中数学中三角函数的常见公式。
1.正弦定理：在任意三角形ABC中，边长分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C。
则有：a/sin A = b/sin B = c/sin C2.余弦定理：在任意三角形ABC中，边长分别为a，b，c，对应的角度为A，B，C。
则有：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C3.正弦函数的性质：sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin Bsin(180° ± θ) = ±sin θsin²θ + cos²θ = 1sin²θ = 1/2(1 - cos 2θ)4.余弦函数的性质：cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin Bcos(180° ± θ) = -cos θcos²θ + sin²θ = 1cos²θ = 1/2(1 + cos 2θ)5.正切函数的性质：tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B) tan(180° ± θ) = ±tan θ6.三角函数的周期性：sin(θ ± 360°n) = sin θcos(θ ± 360°n) = cos θtan(θ ± πn) = tan θ7.三角函数的倒数关系：sin θ = 1 / csc θcos θ = 1 / sec θtan θ = 1 / cot θ8.三角函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin Bcos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin Btan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)9.三角函数的倍角公式：sin 2θ = 2sin θ cos θcos 2θ = cos²θ - sin²θ= 2cos²θ - 1= 1 - 2sin²θtan 2θ = 2tan θ / (1 - tan²θ)10.三角函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cos θ)/2]cos(θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]tan(θ/2) = ±√[(1 - cos θ)/(1 + cos θ)]以上是初中数学中常见的三角函数公式，可以通过这些公式来解决各种三角函数的计算问题。
三角函数公式经典题型
三角函数公式经典题型1. 正弦函数与余弦函数的基本关系问题描述：已知角度Θ的正弦值为sinΘ，余弦值为cosΘ，且0 ≤ Θ ≤ π/2，求解以下问题：a) sin^2Θ + cos^2Θ = ?b) sin(90° - Θ) = ?解答：a) 根据三角函数的基本关系，正弦函数与余弦函数满足sin^2Θ + cos^2Θ = 1，所以答案为 1。
b) 根据余弦函数的定义，cos(90° - Θ) = sinΘ，因此 sin(90° - Θ) = sinΘ。
2. 三角函数的和差公式问题描述：已知角度Θ和φ的正弦值分别为sinΘ和sinφ，余弦值分别为cosΘ和cosφ，求解以下问题：a) sin(Θ ± φ) = ?b) cos(Θ ± φ) = ?解答：a) 根据正弦函数的和差公式，sin(Θ ± φ) = sinΘ cosφ ± cosΘ sinφ。
b) 根据余弦函数的和差公式，cos(Θ ± φ) = cosΘ cosφ ∓ sinΘ sinφ。
3. 三角函数的倍角公式问题描述：已知角度Θ的正弦值为sinΘ，余弦值为cosΘ，求解以下问题：a) sin 2Θ = ?b) cos 2Θ = ?解答：a) 根据正弦函数的倍角公式，sin 2Θ = 2sinΘ cosΘ。
b) 根据余弦函数的倍角公式，cos 2Θ = cos^2Θ - sin^2Θ。
4. 三角函数的半角公式问题描述：已知角度Θ的正弦值为sinΘ，余弦值为cosΘ，求解以下问题：a) sin(Θ/2) = ?b) cos(Θ/2) = ?解答：a) 根据正弦函数的半角公式，sin(Θ/2) = ±√((1 - cosΘ)/2)。
b) 根据余弦函数的半角公式，cos(Θ/2) = ±√((1 + cosΘ)/2)。
以上是三角函数公式的经典题型解答。
三角函数公式及其练习
三角函数公式复习与练习1、若βα与终边相同，则 。
2、同角三角函数的基本关系式 ①、 ②、 ③、3、诱导公式①、=-)sin(απ =-)cos(απ =-)tan(απ ②、=+)sin(απ =+)cos(απ =+)tan(απ ③、=-)sin(α =-)cos(α =-)tan(α ④、=-)2sin(απ=-)2cos(απ=-)2tan(απ⑤、=+)2sin(απ=+)2cos(απ=+)2tan(απ⑥、=+)2sin(παk =+)2cos(παk =+)2tan(παk 4、两角和与差的三角函数公式=+)sin(βα =-)sin(βα =+)cos(βα =-)cos(βα =+)tan(βα =-)tan(βα5、二倍角的正弦、余弦和正切公式=α2sin=α2cos=α2tan6、三角函数的降幂公式=α2sin =α2cos7、化x b x a cos sin +为一个角的一个三角函数的形式（辅助角公式）=+x b x a cos sin8、正弦定理：9、余弦定理：10、S ⊿=11、特殊角的三角函数值12、三角函数的图像及性质x y sin =x y cos =x y tan =13、图像的变化（先平移再伸缩）x y sin = ⇒ )s i n (ϕ+=x y⇒ )s i n (ϕω+=x y ⇒ )s i n (ϕ+=x A y（先伸缩再平移）x y sin = ⇒ )s i n(x y ω= ⇒ )s i n (ϕω+=x y ⇒ )s i n (ϕ+=x A y 练习：1、已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[,]122x ππ∈，求()f x 的值域. 解：（Ⅰ）由最低点为2(,2)23M A π-=得 由222T T πππωπ====得 由点2(,2)3M π-在图像上得42sin()23πϕ+=-即4sin()13πϕ+=- 41122,326k k k Z πππϕπϕπ∴+=-=-∈即，又(0,)2πϕ∈，6πϕ∴=()2sin(2)6f x x π∴=+（Ⅱ）[0,],2[,]12663x x ππππ∈∴+∈Q ,0()166x f x ππ∴==当2x+即时，取得最小值；,()6312x f x πππ==当2x+即时，2、已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。
三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也 可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲 一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角； （1）任意角 负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义 已 知 角 终 边 上 的 任 一 点 P(x, y) （ 非 原 点 O ）， 则 P 到 原 点 O 的 距 离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ， 如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略 （5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角
初中三角函数公式及定理大全
初中三角函数公式及定理大全1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 。
（其中R为外接圆的半径），2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC。
初中三角函数公式及定理大全1锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(sin)：对边比斜边，即sinA=a/c余弦(cos)：邻边比斜边，即cosA=b/c正切(tan)：对边比邻边，即tanA=a/b余切(cot)：邻边比对边，即cotA=b/a正割(sec)：斜边比邻边，即secA=c/b余割(csc)：斜边比对边，即cscA=c/a初中三角函数公式及定理大全2互余角的关系sin(π-α)=cosα, cos(π-α)=sinα,tan(π-α)=cotα, cot(π-α)=tanα.积的关系sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα初中三角函数公式及定理大全3平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)倒数关系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1初中三角函数公式及定理大全4三角函数的和差化积公式sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)。
三角函数公式及其定理
初中三角函数公式及其定理
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：
当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
A
90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边
邻边 C A
90B 90∠-︒=∠︒
=∠+∠得由B A。
初中三角函数公式大全
初中三角函数公式大全一、正弦定理在任意三角形ABC中，我们可以利用正弦定理计算三角形的边与角之间的关系。
正弦定理的表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c表示三角形的三条边的长度，A、B、C表示对应的内角。
利用正弦定理，我们可以求解出任意一个角的大小，或者求解出任意一条边的长度。
二、余弦定理余弦定理和正弦定理类似，也是用于计算三角形的边与角之间的关系。
余弦定理的表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosCb² = a² + c² - 2accosBa² = b² + c² - 2bccosA其中a、b、c表示三角形的三条边的长度，A、B、C表示对应的内角。
余弦定理可以帮助我们计算三角形边的长度，特别是当已知两边和它们之间的夹角时。
三、正切公式对于任意角度θ，我们可以利用正切公式计算其正切值：tanθ = sinθ/cosθ正切公式可以帮助我们计算角度的正切值，常常用于解决与直角三角形相关的问题。
四、倍角公式倍角公式是用来计算角度的二倍角的三角函数值。
倍角公式的表达式如下：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ)/(1-tan²θ)五、半角公式半角公式是用来计算角度的一半或二分之一角的三角函数值。
半角公式的表达式如下：sin(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/2]cos(θ/2) = ±√[(1+cosθ)/2]tan(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/(1+cosθ)]半角公式可以帮助我们计算角度的一半或二分之一角的三角函数值。
六、常用的三角函数关系在学习三角函数时，我们需要掌握一些常用的三角函数关系。
这些关系可以帮助我们在不同的三角函数之间进行转换。
三角函数公式初中定理
三角函数公式初中定理三角函数是数学中一个重要的分支，在初中阶段的数学学习中有一些关于三角函数的定理被广泛应用。
下面就让我们来详细介绍一下这些关于三角函数的初中定理。
1.正弦定理正弦定理是三角函数中最重要的定理之一、对于任意一个三角形ABC，设其三个内角分别为A、B和C，对应的三边分别为a、b和c，则有以下公式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中，sinA、sinB和sinC分别是A、B和C的正弦值。
这个定理可以用来计算一个已知三角形的边长或角度，或者判断一个已知三边长度的三角形是否存在。
2.余弦定理余弦定理也是三角函数中一项重要的定理。
对于一个任意三角形ABC，设其三个内角分别为A、B和C，对应的三边分别为a、b和c，则有以下公式成立：c² = a² + b² - 2abcosC其中，cosC是角C的余弦值。
这个定理可以用来计算两条已知边的夹角，或者已知两边和夹角计算第三边的长度。
3.正切定理正切定理是三角函数中的一个重要理论。
对于一个任意三角形ABC，设其三个内角分别为A、B和C，对应的三边分别为a、b和c，则有以下公式成立：tanA = sinA/cosA其中，tanA是角A的正切值。
正切定理可以用来计算三角形中一个角的正切值。
4.选角定理选角定理是三角函数中的一个重要定理之一、对于一个任意三角形ABC，设其三个内角分别为A、B和C，则有以下关系成立：A+B+C=180°这个定理告诉我们，一个三角形的三个内角的和等于180度。
5.弧度定义在三角函数中，角度也可以用弧度来表示。
一个角的弧度定义为从圆心到圆上一点所对应的弧长与半径的比值。
弧度大约等于57.3°。
这个定理可以让我们更好地理解角度的概念，并且将角度转化为弧度进行计算。
总结：以上就是初中阶段三角函数的一些重要定理。
正弦定理、余弦定理、正切定理和选角定理是三角函数运用的基础，能够帮助我们计算未知边长或角度，判断三角形的存在性。
初中三角函数公式大全
初中三角函数公式大全初中阶段主要学习的三角函数公式有正弦定理、余弦定理、正切定理以及诱导公式等。
下面将分别介绍这些公式。
一、正弦定理正弦定理是用来求解三角形的边长和角度的重要公式。
设三角形ABC的边长分别为a、b 和c，对应的角度分别为A、B和C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据正弦定理，如果我们已知两个角和它们对应的两条边的长度，可以通过公式求解第三条边的长度；如果我们已知一个角和它对应的两条边的长度，可以通过公式求解另外两个角的大小。
二、余弦定理余弦定理是在已知三角形的两边和夹角情况下，求解第三边的长度的重要公式。
设三角形ABC的边长分别为a、b和c，对应的角度分别为A、B和C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC根据余弦定理，如果我们已知三角形的两边和它们之间的夹角，可以通过公式求解第三边的长度；如果我们已知三角形的三个边长，可以通过公式求解任意一个角的大小。
三、正切定理正切定理是在已知三角形的两边和夹角情况下，求解切线斜率的重要公式。
设三角形ABC 的边长分别为a、b和c，对应的角度分别为A、B和C，则正切定理可以表示为：tanA = a/b根据正切定理，如果我们已知三角形的两边和它们之间的夹角，可以通过公式求解切线斜率；如果我们已知切线斜率和其中一条边的长度，可以通过公式求解夹角的大小。
四、诱导公式诱导公式是将不常用的角度转换为常用角度的公式，常用的诱导公式如下：sin(π-x) = sinxcos(π-x) = -cosxtan(π-x) = -tanxsin(π+x) = -sinxcos(π+x) = -cosxtan(π+x) = tanxsin(2π-x) = -sinxcos(2π-x) = cosxtan(2π-x) = -tanx其中，x为任意角度。
这些公式可以帮助我们在解决三角函数问题时进行角度的转化，简化计算过程。
三角函数公式练习题及答案详解
三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α=1sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝___________ sin(π+α)＝ ___________cos(π－α)＝___________ cos(π+α)＝___________tan(π－α)＝___________ tan(π+α)＝___________sin(2π－α)＝___________ sin(2π+α)＝___________cos(2π－α)＝___________ cos(2π+α)＝___________tan(2π－α)＝___________ tan(2π+α)＝___________（二） sin(π2 －α)＝____________ sin(π2+α)＝____________ cos(π2 －α)＝____________ cos(π2+α)＝_____________ tan(π2 －α)＝____________ tan(π2+α)＝_____________ sin(3π2 －α)＝____________ sin(3π2+α)＝____________ cos(3π2 －α)＝____________ cos(3π2+α)＝____________ tan(3π2 －α)＝____________ tan(3π2+α)＝____________ sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α公式的配套练习sin(7π－α)＝___________ cos(5π2－α)＝___________ cos(11π－α)＝__________ sin(9π2+α)＝____________ 3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin βcos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin βsin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin βsin (α－β)=sin αcos β－cos αsin βtan(α+β)= tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β 4． 二倍角公式sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2αtan2α=2tan α1－tan 2α5． 公式的变形（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2α（2） 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2 sin 2α＝1－cos2α2（3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β）tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β)（4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值）sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2α1+tan 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α6． 插入辅助角公式asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= b a) 特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π4) 7． 熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx1－tan α1＋tan α 1＋tan α1－tan α若A 、B 是锐角，A+B ＝π4 ，则（1＋tanA ）(1+tanB)=2 cos αcos2αcos22α…cos2 n α= sin2 n+1α 2 n+1sin α8． 在三角形中的结论（如何证明）若：A ＋B ＋C=π A+B+C 2 =π2tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanCtan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A 2＝19．求值问题（1）已知角求值题如：sin555°（2）已知值求值问题常用拼角、凑角如：1）已知若cos(π4 －α)＝35 ，sin(3π4 ＋β)＝513， 又π4 <α<3π4 ,0<β<π4,求sin(α＋β)。
三角函数公式汇总及练习题
三角函数公式汇总及练习题一、倍角公式1、Sin2A=2SinA*CosA2、Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-13、tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2是sinA的平方sin2（A））向左转|向右转二、降幂公式1、sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/22、2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/23、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三、推导公式1、1tanα+cotα=2/sin2α2、tanα-cotα=-2cot2α3、1+cos2α=2cos^2α4、、4-cos2α=2sin^2α5、1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina四、两角和差1、1cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ2、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ3、sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ4、4tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)5、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)五、和差化积1、sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]2、sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]3、cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]4、cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]5、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)六、积化和差1、sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/22、sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/23、cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2七、诱导公式1、(-α)=-sinα、cos(-α)=cosα2、tan(—a)=-tanα、sin(π/2-α)=cosα、cos(π/2-α)=sinα、sin(π/2+α)=cosα3、3cos(π/2+α)=-sinα4、(π-α)=sinα、cos(π-α)=-cosα5、5tanA=sinA/cosA、tan（π/2＋α）＝－cotα、tan（π/2－α）＝cotα6、tan（π－α）＝－tanα、tan（π＋α）＝tanα八、锐角三角函数公式1、sinα=∠α的对边/斜边2、α=∠α的邻边/斜边3、tanα=∠α的对边/∠α的邻边4、cotα=∠α的邻边/∠α的对边例1下列说法中，正确的是[]A.第一象限的角是锐角B.锐角是第一象限的角C.小于90°的角是锐角D.0°到90°的角是第一象限的角【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”.在角的概念推广以后，这些概念容易混淆.因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键.【解】第一象限的角可表示为{θ|k·360°<θ<90°+k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为{θ|0°<θ<90°｝，小于90°的角为{θ|θ<90°｝，0°到90°的角为{θ|0°≤θ<90°｝.因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B).例2(90°-α)分别是第几象限角?【分析】由sinα·cosα<0，所以α在二、四象限;由sin α·tanα<0，所以α在二、三象限.因此α为第二象限的角，然后由角α的【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，的角.(2)因为180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.(3)解法一：因为90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以-180°-k·360°<-α<-90°-k·360°(k∈Z).故-90°-k·360°<90°-α<-k·360°(k∈Z).因此90°-α是第四象限的角.。
三角函数性质与应用例题和知识点总结
三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。
余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。
正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。
二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。
3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。
4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。
余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。
正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。
三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。
解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。
设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。
解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。
【初中数学】三角形与三角函数公式大全
【初中数学】三角形与三角函数公式大全【—三角形与三角函数】三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=ccosb+bcosc。
三角形与三角函数1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sina=b/sinb=c/sinc=2r.(其中r为外接圆的半径)2.切线定理（纳皮尔类比）：三角形任意两边的差和之比等于相应半角上的差和之比，即（a-b）/（a+b）=Tan[（a-b）/2]/Tan[（a+b）/2]=Tan[（a-b）/2]/cot（C/2）三、三角形中的恒等式：对于任何非直角三角形，比如ABC，总有Tana+tanb+Tanc=tanatanbtanc证明：已知（a+b）=（π-C）所以tan(a+b)=tan(π-c)然后（Tana+tanb）/（1-tanatanb）=（Tanπ-Tanc）/（1+TanπTanc）整理可得tana+tanb+tanc=tanatanbtanc类似地，我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ域和范围sin(x),cos(x)的定义域为r，值域为[-1,1]。
Tan（x）的定义域是x，它不等于π/2+Kπ（K）∈ z），值域为r。
cot(x)的定义域为x不等于kπ(k∈z),值域为r。
y=a·sin（x）+B·cos（x）+C的取值范围为[C-√ （a+b），C+√ （a+b）]三角函数的画法以y=SiNx的图像为例，获得y=asin的（ωx+φ）图像：方法一：Y=SiNx→ [左移]（φ>0）/右移（φ<0）oooφO单位]→ y=sin（x）+φ）→ 【纵坐标保持不变，横坐标扩展到原来的（1/ω）】→y=sin（ωx+φ）→ [纵坐标更改为原始a 倍（伸长[a>1]/缩短[0]方法二：Y=SiNx→ [纵坐标保持不变，横坐标扩展到原来的（1/ω）]→y=sinωX→ 【向左移动】（φ>0）/向右移动（φ<0）oφo/ω[单位]→ y=sin（ωx+φ）→ [纵坐标更改为原始a倍（伸长[a>1]/缩短[0]温馨提示：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosa。
(完整版)三角函数知识点及练习题含答案,推荐文档
y
++
o -
-x
y
-+
o -
+
x
y
-+
o +
-
x
、、 、、、
、、 、、、
、、 、、、
6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM;
正切线： AT.
a的 的 的 P、 x,y) r
x
y T
P O M Ax
7. 三角函数的定义域： 三角函数 f (x) sinx f (x) cosx f (x) tanx
8．如果 π ＜θ＜ π ，那么下列各式中正确的是( )
4
2
A．cosθ＜tanθ＜sinθ
B．sinθ＜cosθ＜tanθ
C．tanθ＜sinθ＜cosθ
D．cosθ＜sinθ＜tanθ
9．若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角，则 P（cosB－sinA，sinB－cosA）在( )
A．第一象限
任意角
1．D 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ
三角函数
1．B 2．A 3． C 4．D 5． A 6． C 7．B
11．A
12．±4
4 ±
5
13． ［ π ， 3π ］ 14． 0 22
15．二
16．［0， π ］∪（ π ， π ］∪（ 3π ，2π） 17．（ π ， 3π
4
24
2
44
8．D
9． D
10． D
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数值也不相同．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．若角 α、β 的终边关于 y 轴对称，则下列等式成立的是( )
初中三角函数知识点题型总结+课后练习
初中三角函数知识点题型总结+课后练习Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
45 锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC求：AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．C4.已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．453. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2 B ．2 C ．1D ．224. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 （2012?安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练1．（2012?重庆）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ． 类型四：利用网格构造直角三角形例1 （2012?内江）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A ．12B ．55C ．1010D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.特殊角的三角函数值AC例1．求下列各式的值︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°=30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= ︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒=在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数. 例2．求适合下列条件的锐角??．(1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α（5）已知??为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值 （6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数. 例3. 三角函数的增减性1．已知∠A 为锐角，且sin A < 21，那么∠A 的取值范围是A. 0°< A < 30°B. 30°< A ＜60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°例4. 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ． 解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． 类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ； (5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角：例1．（2012?福州）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ． 200米B ． 200米C ． 220米D ． 100（）米 例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ． 例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ．从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为米，求这棵树的高度.例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．例5．（2012?泰安）如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A ． 10米B ． 10米C ． 20米D ． 米例6．（2012?益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈，cos75°≈，tan75°≈，3≈，60千米/小时≈米/秒） 类型四. 坡度与坡角例．（2012?广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到海里，732.13≈)综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC=63． (1) 求BD 的长； (2) 求AD 的长．（2011东一）2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A ，AF ⊥CD 于点F ．AB CD ECB A（1）求证：∠BAE =∠DAF ； （2）若AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．三角函数与圆：1． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．35D ．45（延庆）19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,(1)求证：∠AOD=2∠C(2)若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。
初中三角函数公式及其定理及习题
初中三角函数公式及其定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 C A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
三角函数练习题正切定理与余切定理
三角函数练习题正切定理与余切定理三角函数练习题：正切定理与余切定理三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
在学习三角函数的过程中，我们常常会遇到不同类型的练习题。
本文将重点介绍正切定理与余切定理，并提供相关的练习题，帮助读者更好地掌握这两个定理的应用。
正切定理：在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数的定义为对边与邻边的比值：tanθ = opposite/adjacent。
正切定理指出，正切函数的值等于角度的正切值。
在练习中，我们常常需要求解给定角度的正切值，并应用到具体的问题中。
下面是一道相关的练习题：练习题1：已知一个直角三角形，其中一条直角边长度为5，另一条直角边长度为12。
求该直角三角形锐角θ的正切值。
解答：根据正切定理，我们可以使用已知的两个直角边求解。
tanθ = opposite/adjacent= 5/12因此，该直角三角形锐角θ的正切值为5/12。
余切定理：余切函数是正切函数的倒数，其定义为邻边与对边的比值：cotθ = adjacent/opposite。
余切定理指出，余切函数的值等于角度的余切值。
在练习中，我们需要运用余切定理求解给定角度的余切值，并应用到具体问题中。
下面是一道相关的练习题：练习题2：一个直角三角形的锐角θ的余切值为4/3。
求该直角三角形的另一个锐角的正切值。
解答：根据余切定理，我们可以根据给定的余切值求解。
cotθ = adjacent/opposite4/3 = adjacent/opposite由于正切函数的值是余切函数的倒数，可以得到：tanθ = 3/4因此，该直角三角形的另一个锐角的正切值为3/4。
通过以上的练习题，我们可以加深对正切定理和余切定理的理解，并且了解如何在具体问题中应用这两个定理。
总结：本文介绍了三角函数中的正切定理和余切定理，并提供了相关的练习题。
通过练习题的解答，读者可以进一步加深对这两个定理的理解，并能够将其应用于实际问题中。
初中三角函数知识点+题型总结+课后练习
锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方; 222c b a =+2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为∠A 可换成∠B ：定 义表达式取值范围关 系正弦斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A∠A 为锐角B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A∠A 为锐角正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A∠A 为锐角B A cot tan =B A tan cot =AA cot 1tan =倒数 1cot tan =⋅A A余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot a bA =cot 0cot >A∠A 为锐角3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值;4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值;5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值重要三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan 0 33 1 3 不存在αcot不存在3133 0)90cot(tan A A -︒=)90tan(cot A A -︒= B A cot tan =B A tan cot =)90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒= BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边 邻斜边 ABba c A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中,,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．已知：如图,⊙O 的半径OA ＝16cm,OC ⊥AB 于C 点,⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中,OC ⊥AB 于C 点,AB ＝16cm,⋅=∠53sin AOC1求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； 2求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4.已知A ∠是锐角,178sin =A ,求A cos ,A tan 的值类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°．D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =,10BC =,则tan EFC ∠的值为 Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．453. 如图6,在等腰直角三角形ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 为AC 上一点,若1tan 5DBA ∠= ,则AD 的长为 A ．2 B ．2 C ．1 D ．224. 如图6,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.A D E CB FA类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 2012•安徽如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB 的长．例2．已知：如图,△ABC 中,AC ＝12cm,AB ＝16cm,⋅=31sin A 1求AB 边上的高CD ； 2求△ABC 的面积S ； 3求tan B ．例3．已知：如图,在△ABC 中,∠BAC ＝120°,AB ＝10,AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练1．2012•重庆如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且△ABD 是等边三角形．若AB=2,求△ABC 的周长．结果保留根号2．已知：如图,△ABC 中,AB ＝9,BC ＝6,△ABC 的面积等于9,求sin B ．类型四：利用网格构造直角三角形例1 2012•内江如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sinA 的值为 A ．12 B ．55 C ．1010 D ．255对应练习：1．如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.特殊角的三角函数值例1．求下列各式的值CBA︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+2π－10－33tan30°－tan45°=30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= ︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒=在ABC ∆中,若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ,B A ∠∠，都是锐角,求C ∠的度数.例2．求适合下列条件的锐角α ． 121cos =α 233tan =α 3222sin =α433)16cos(6=- α5已知α 为锐角,且3)30tan(0=+α,求αtan 的值6在ABC ∆中,若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ,B A ∠∠，都是锐角,求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角,且sin A <21,那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角,且030sin cos <A ,则A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1．已知：如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB 于E ,BE ＝16cm,⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,3==BC AC ,作∠DAC ＝30°,AD 交CB 于D 点,求：1∠BAD ；2sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中,D 为BC 中点,且∠BAD ＝90°,31tan =∠B ,求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下如图所示： 在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝b ,BC ＝a ,AB ＝c ,①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段如图所示．在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中,∠C ＝90°．1已知：a ＝35,235=c ,求∠A 、∠B ,b ；2已知：32=a ,2=b ,求∠A 、∠B ,c ；3已知：32sin =A ,6=c ,求a 、b ；4已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；5已知：∠A ＝60°,△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图,△ABC 中,∠A ＝30°,∠B ＝60°,AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图,Rt △ABC 中,∠D ＝90°,∠B ＝45°,∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．例4．已知：如图,△ABC 中,∠A ＝30°,∠B ＝135°,AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角：例1．2012•福州如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100米,点A 、D 、B 在同一直线上,则AB 两点的距离是 A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100米例2．已知：如图,在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°,∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ,求点B 到地面的垂直距离BC ．例3昌平19.如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°, 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°,求风力发电装置的高AB 的长．例4 .如图,小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB 为1.7米,求这棵树的高度.例5．已知：如图,河旁有一座小山,从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°,又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ,求山的高度及缆绳AC 的长答案可带根号．例5．2012•泰安如图,为测量某物体AB 的高度,在D 点测得A 点的仰角为30°,朝物体AB 方向前进20米,到达点C,再次测得点A 的仰角为60°,则物体AB 的高度为 A ． 10米 B ． 10米 C ． 20米D ． 米例6．2012•益阳超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离AC 为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC=75°．A BCD E1求B 、C 两点的距离；2请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒类型四. 坡度与坡角例．2012•广安如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3,堤坝高BC=50m,则应水坡面AB 的长度是 A ．100m B ．1003m C ．150m D ．503m类型五. 方位角1．已知：如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B 处,测得灯塔M 在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时,与灯塔M 之间的最短距离是多少 精确到0.1海里,732.13≈综合题：三角函数与四边形：西城二模1．如图,四边形ABCD 中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2, tan∠BDC= 错误!．1 求BD 的长；2 求AD 的长．2011东一2．如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ,AF ⊥CD 于点F ． 1求证：∠BAE =∠DAF ； 2若AE =4,AF =245,3sin 5BAE ∠=,求CF 的长．三角函数与圆：1． 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y 轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为 D CB AOyx第8题图CB AA ．12 BC ．35D ．45延庆19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C(2) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径;2013朝阳期末21.如图,DE 是⊙O 的直径,CE 与⊙O 相切,E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B,在EC 上取一个点F,使EF=BF.1求证:BF 是⊙O 的切线; 2若54C cos =, DE =9,求BF 的长．作业：昌平1．已知21sin =A ,则锐角A 的度数是 A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒西城北2．在Rt △ABC 中,∠ C ＝90°,若BC ＝1,AB则tan A 的值为ABC ．12D ．2 房山3．在△ABC 中,∠C =90°,sin A=53,那么tan A 的值等于 .A ．35B . 45C . 34D . 43大兴4. 若sin α=32,则锐角α＝ . 石景山1．如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,BC ＝3,AC =2, 则tan B 的值是A ．23 B ．32CD丰台5．将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则tan α的值是 A ．21 B ．2 C ．25 D ．552 大兴5. △ABC 在正方形网格纸中的位置如图所示,则sin α的值是AαA.35B.34C.43D.45通县4．如图,在直角三角形ABC 中,斜边AB 的长为m ,40B ∠=,则直角边BC 的长是 A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m通州期末1．如图,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM ⊥OA 于M , 且OM : OP =4 : 5,则cos α的值等于 A ．34 B ．43 C ．45D ．35西城6．如图,AB 为⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,若OB 长为10, 3cos 5BOD ∠=, 则AB 的长是 A . 20 B. 16 C. 12 D. 87.在Rt △ABC 中,∠C=90°,如果cosA=54,那么tanA 的值是 A ．53 B ．35 C ．43 D ．3411．如图,在△ABC 中,∠ACB =∠ADC= 90°,若sin A =35,则cos ∠BCD 的值为 ．13.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 13．计算︒+︒-︒-︒45tan 30tan 345cos 260sin 2.1322604cos 30+sin 45tan 60-⋅．14.如图,小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB 为1.7米,求这棵树的高度.15．已知在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,a=64,b=212.解这个直角三角形DCBAA BCD E第1题图O M PBAα20. 如图,在Rt △ABC 中,∠CAB =90°,AD 是∠CAB 的平分线,tan B =21,求CDBD的值．延庆19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径,CB是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (3) 求证：∠AOD=2∠C (4) 若AD=8,tanC=34,求⊙O 的半径;延庆期末19．如图,某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为30︒,荷塘另一端D 处C 、B 在 同一条直线上,已知32AC =米,16CD =米, 求荷塘宽BD 为多少米 结果保留根号18.6分如图,在△ABC 中,点O 在AB 上,以O 为圆心的圆经过A ,C 两点,交AB 于点D ,已知2∠A +∠B =90︒． 1求证：BC 是⊙O 的切线； 2若OA =6,BC =8,求BD 的长．西城15．如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,点D 在AC 边上．若DB =6,AD =12CD ,sin ∠CBD =23,求AD 的长和tan A 的值．18．如图,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向,距离灯塔100海里的A 处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处. 1B 处距离灯塔P 有多远2圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上,距离灯塔200海里的O 处．径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B DBOACABCDD 第18题图OCBA危险,并说明理由22．已知,如图,在△ADC 中,90ADC ∠=︒,以DC 为直径作半圆O ,交边AC 于点F ,点B 在CD 的延长线上,连接BF ,交AD 于点E ,2BED C ∠=∠．1求证：BF 是O 的切线；2若BF FC =,3AE =,求O 的半径．15．如图,为了测量楼AB 的高度,小明在点C 处测得楼AB 的顶端A 的仰角为30º,又向前走了20米后到达点D ,点B 、D 、C 在同一条直线上,并在点D 测得楼AB 的顶端A 的仰角为60º,求楼AB 的高．14.2009·眉山中考海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向,2小时后船行驶到C 处,发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B 到C 处的距离;15.2009·常德中考如图,某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ,向前走200米来到山脚A 处,测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5,求山的高度不计测角仪的高度,3 1.73≈,结果保留整数．16.2008·广安中考如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º,已知原滑滑板AB的长为5米,点D 、B 、C 在同一水平地面上．1改善后滑滑板会加长多少 精确到0.01D O AC B FE2若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行 说明理由;参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449===18. 在一次数学活动课上,海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽,如图13所示,某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ,测得C 在A 北偏西31︒的方向上,沿河岸向北前行20米到达B 处,测得C 在B 北偏西45︒的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度．参考数值：tan31°≈53,sin31°≈21 ．图13。
初中三角函数公式及其定理
初中三角函数公式及其定理第十一次授课1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 C A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)
初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
235、30°、45 6 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
例1：已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ）A ．43B ．45C ．54D ．34【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RT ΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c =，tan bB a=和222a b c +=；由3s i n 5A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44tan 33b x B a x ===，所以选A ． 例2：104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=______．【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算，104cos30sin 60(2)2008)-︒︒+--=13412222⎛⎫⨯+--= ⎪⎝⎭，故填32．1. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ C ）A ．8米 B． CD米:i h l =hlα2. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ B ）A．5sin40°B．5cos40°C．5tan40°D．5cos40°3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ B ）A．4 mC．．8 m4. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ A ）A．米 B． 10米C．15米 D．5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（ D ）A．3 B．5 C．25D．2256. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为 82.0 米（精确到0.1）.1.4141.732）7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度.解：过点A作直线BC的垂线，垂足为点D.则90CDA∠=°，60CAD∠=°，30BAD∠=°，CD=240米.在Rt ACD△中，tanCDCADAD∠=，DABtan60CDAD∴===°在Rt ABD△中，tanBDBADAD∠=，tan30803BD AD∴===·°.∴BC CD BD=-=240-80=160.答：这栋大楼的高为160米.8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平面上．（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：141.12=，732.13=，449.26=，以上结果均保留到小数点后两位．）解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=45°∴AC=BC=AB·sin45°=22224=⨯在Rt△ADC中，∠ADC=30°∴AD= 24212230sin=÷=oAC∴AD-AB=66.1424≈-∴改善后滑滑板会加长约1.66米.（2）这样改造能行，理由如下：∵989.462332230tan≈=÷==oACCD∴07.22262≈-=-=BCCDBD∴6-2.07≈3.93＞3∴这样改造能行.9．求值112|20093tan303-⎛⎫+--+⎪⎝⎭° 1.解：原式= 2133-++6=10. 计算：200912sin603tan30(1)3⎛⎫-++-⎪⎝⎭°°2.原式=2311-=0．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：
当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
A
90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边
邻边 C A
90B 90∠-︒=∠︒
=∠+∠得由B A。