新课标八年级暑期专练暑期专练----四边形(3)
期末典例专练07：平行四边形、梯形基本题型和周长应用问题-四年级数学上册典型例题系列(解析版)人教版
四年级数学上册典型例题系列期末典例专练07：平行四边形梯形基本题型和周长应用问题一、填空题。
1．两个完全一样的梯形能拼成( )、( )和( )。
【答案】平行四边形长方形正方形【分析】两个完全一样的一般的梯形可以拼成一个平行四边形；两个完全一样的上、下底之和和高相等的直角梯形可以拼成一个正方形；两个完全一样的上、下底之和和高不相等的梯形可以拼成一个长方形。
据此填空。
【详解】两个完全一样的梯形能拼成平行四边形、长方形和正方形。
【点睛】本题考查了平面图形的拼接，掌握梯形的特点是解题的关键。
2．把长方形拉成平行四边形它的周长( )（填“变”或“不变”），依据是( )。
【答案】不变平行四边形容易变形【分析】因为平行四边形具有不稳定性，易变形，所以可以把长方形拉成平行四边形，因为四条边的长度不变，可知周长不变。
据此解答。
【详解】根据分析可知，把长方形拉成平行四边形它的周长不变（填“变”或“不变”），依据是平行四边形容易变形。
3．图中a∥b，两条平行线之间有( )个梯形，( )个平行四边形。
【答案】 4 1【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形，观察图中可知，单个的梯形有2个，2个梯形组成的梯形有1个，1个梯形和一个三角形组成的梯形有1个，据此加起来即可；两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；据此解答。
【详解】2＋1＋1＝3＋1＝4（个）图中a∥b，两条平行线之间有4个梯形，1个平行四边形。
【点睛】此题解答的关键是：一定要认真观察，有条理、有顺序的进行数，做到不重复，不遗漏。
4．平行四边形和梯形都有( )条高，如图的梯形中，高为( )厘米。
【答案】无数4【分析】根据平行四边形、梯形的特征可知：平行四边形和梯形都有无数条高，上下底之间的距离就是平行四边形和梯形的高；据此解答。
【详解】根据分析：平行四边形和梯形都有无数条高，如图的梯形中，高为4厘米。
【点睛】本题考查了平行四边形及梯形的特征。
5．用一根铁丝围成了平行四边形（如图），这个平行四边形的周长是( )cm，如果用这根铁丝围成一个半圆形，半圆形的周长是( )cm。
八年级四边形经典练习提高题含答案
八年级梯形菱形正方形综合试题(含答案)1、如图，在矩形ABCD 中,AB = 3，AD = 4， P 是AD 上不与A 、D 重合的一动点，PE ⊥AC ， PF ⊥BD,E 、F 为垂足，则PE + PF 的值为（ ) A 、2B 、2。
4C 、2。
5D 、 2.62、下列命题正确的是（ ) A 、 两邻边相等的四边形是菱形B 、一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C 、对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D 、对角线垂直的四边形是菱形3、已知菱形的周长是高的8倍，则菱形较大的一个角是（ ) A 、100° B 、120° C 、135° D 、150°4。
如图梯形ABCD 的两底长为AD =6，BC =10，中线为EF ， 且∠B =90︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则△EFP 与 梯形ABCD 的面积比为何？(A) 1:6 (B) 1：10 （C ） 1:12 (D) 1：16 。
D CBA EFP5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ,对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ,AD ＝4,BC ＝8，则AE ＋EF 等于（) A ．9 B ．10 C ．11 D ．126。
如图,在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， 对角线AC ⊥BC ，∠B ＝60º，BC ＝2cm ，则梯形ABCD 的面积为( ） A ．33cm 2 B ．6 cm 2C ．36cm 2D ．12 cm 27．（1)梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC 的长是（ ）A ．3B ．4C ． 2D ．5 (2）已知等腰梯形的底角为45o ，高为2，上底为2，则其面积为 （A ）2 （B)6 (C)8 （D ）128．如图，在等腰梯形ABCD 中,AC ⊥BD ，AC ＝6cm ，则等腰梯形ABCD 的面积为_____cm 2.ACBD(第3题图)60°30°D CBA9，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AD AB ==，若︒=∠60ABC ,12=BC ,则梯形ABCD 的周长为____________.10.如图,已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =30°，∠C =60°,AD =4，AB =33,则下底BC 的长为 __________．1、如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，AO = OC ，EF 经过点O 且分别交AD 、BC 于点E 、F,求证:ED = BF2、设等边△AEF 与菱形ABCD 有一公共顶点A ，且边长相等，三角形另两角的顶点E 和F 分别在菱形的边BC 和CD 上，求∠BAD 的度数3、如图，已知正方形ABCD ，E 为BC 上任意点，延长AB 至F ，使BF = BE ，AE的延长线交CF于G，求证:AG⊥CF4、如图，已知正方形ABCD，BE∥AC，AE＝AC,求证：CF＝CE5、如图，矩形ABCD中，DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F,∠BDF = 15°，求∠DOC和∠COF的度数6、如图，矩形ABCD中，点H在对角线BD上，HC⊥BD,HC的延长线交∠BAD的平分线于点E，试说明CE与BD的数量关系答案1。
四边形中线段的数量与位置关系-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练08四边形中线段的数量与位置关系1.在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图1，当EF与AB相交时，当∠EAB=60°时，请直接写出∠C度数为________；（2）求证：EG=AG+BG；（3）如图2，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）①60∘（2）在GE上取H，使GH=GB，连接HB、EB∵∠EGB=∠EAB=60∘，AE=AB∴△HGB、△EAB是等边三角形∴BE=BA，BH=BG，∠GBA+∠ABH=60∘，∠HBE+∠ABH=60∘∴∠HBE=∠GBA∴△HBE≌△GBA∴HE=GA∴GE=GH+HE=BG+AG（3）连接AG，将△AGE绕A顺时针旋转90°至△AHB处∴HB=GE，AH=AG∵∠EGB=∠EAB=90∘∵在四边形ABGE中，∠ABG+∠AEG=180∘∴∠ABH+∠ABG=180∘，即H，B，G三点共线∵∠EAG+∠BAG=90∘∴∠HAB+∠BAG=90∘，即∠HAG=90∘∵AH=AG∴△AHG是等腰直角三角形∴HG=√2AG∵HG=HB+BG=EG+BG∴EG+BG=√2AG．【解析】（1）平行四边形ABCD中∴AD//BC, AB//CD∴∠EAB+∠ABC=180∘, ∠C+∠ABC=180∘∴∠EAB=∠C∵∠EAB=60∘∴∠C=60∘故答案为：60∘2.如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）若四边形ADEG是正方形，请直接写出AC与AB的数量关系（不用写证明过程）【答案】（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE是正方形∴BD＝BA，BE=BC，∠DBA＝∠EBC＝＝90°∴∠DBE+∠EBA=90°，∠ABC+∠EBA=90°∴∠DBE＝∠ABC∴△BDE≌BAC（2）证明：∵△BDE≌BAC∴DE＝AC＝AG∠BAC＝∠BDE∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∵DE=AG∴四边形ADEG是平行四边形．（3）AC＝√2AB3.如图（1）[方法呈现]如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB=3，AC=5，求中线AD长的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC−CE< AE<AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是________ .（2）[探究应用]如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程.（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论【答案】（1）1＜AD＜4（2）解：延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中CE=BE，∠BAF＝∠F，∠AEB=∠FEC，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF=AB∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD.（3）解：延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AF=FG，△ABE≌△GEC，∴AB=CG，∴AF+CF=AB【解析】（1）解：（1）由题意知AC-CE＜AE＜AC+CE，即5-4＜AE＜5+3，∴1＜AD＜4，故答案为：1＜AD＜4；4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=kBC，直线l经过点A，过点C、B分别向直线l作垂线，垂足分别为E、F，CE交AB于点M．（1）如图，若k=1，求证：AE+BF=CE．（2）如图2，若k=2，则AE、BF、CE之间的数量关系是________．（3）在（2）的条件下，如图3，连接 CF ，过点 A 作 AG //CF ，交 CE 延长线于点 G ，若 CF =3√5 ， BF =5 ，求 MG 的长．【答案】 （1）证明：如图，过点 C 作 CH ⊥BF ，交 FB 的延长线于点 H ，∵ CH ⊥BF ， BF ⊥EF ， CE ⊥EF ， ∴ ∠CHF =∠HFE =∠FEC =90° ， ∴四边形 CEFH 是矩形， ∴ CE =HF ， ∠HCE =90° ， ∵ ∠HCE =∠ACB =90° ，∴∠HCB +∠BCE =∠ECA +∠BCE =90° ，即 ∠HCB =∠ECA ， ∵AC =kBC ， k =1 ， ∴ AC =BC ，在 △BHC 和 △AEC 中， {∠BHC =∠AEC =90°∠HCB =∠ECA BC =AC ，∴ △BHC ≅△AEC(AAS) ， ∴ BH =AE ，∴AE+BF=BH+BF=HF=CE，即AE+BF=CE；（2）CE=12AE+BF（3）解：如图，过C作CP⊥BF，交FB的延长线于点P，由（2）可知，CP=EF，CE=PF，AE=2BP，EC=2PC，∴PF=CE=2PC，在Rt△CPF中，由勾股定理得：PC2+PF2=CF2，∴PC2+(2PC)2=(3√5)2，解得PC=3或PC=−3（不符题意，舍去），∴EF=PC=3，PF=CE=2PC=6，BP=PF−BF=6−5=1，AE=2BP=2，∴AF=EF+AE=5，∵CF//AG，∴△AEG∼△FEC，∴EGEC =AEFE，即EG6=23，解得EG=4，∵∠AEC=∠AFB=90°，∴EM//BF，∴△AEM∼△AFB，∴MEBF =AEAF，即ME5=25，解得ME=2，∴MG=EG+ME=6，故MG的长为6．【解析】（2）如图，过C作CP⊥BF，交FB的延长于点P，∵CP⊥BF，BF⊥EF，CE⊥EF，∴∠CPF=∠PFE=∠FEC=90°，∴四边形CEFP是矩形，∴CP=EF，CE=PF，∠PCE=90°，∵∠ACB=∠PCE=90°，∴∠ECA+∠BCE=∠PCB+∠BCE=90°，即∠ECA=∠PCB，在△AEC和△BPC中，{∠ECA=∠PCB∠AEC=∠BPC=90°，∴△AEC∼△BPC，∴AEBP =ECPC=ACBC=kBCBC=k=2，∴AE=2BP，EC=2PC，∴CE=PF=BP+BF=12AE+BF，故答案为：CE=12AE+BF；5.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45∘，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC （或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：________；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45∘，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）【答案】（1）AH=AB（2）解：（1）中的数量关系仍成立．理由如下：如图②，延长CB至E，使BE=DN∵ABCD是正方形∴AB=AD，∠D=∠ABE=90∘在Rt△AEB和Rt△AND中{AB=AD∠ABE=∠ADNBE=DN∴Rt△AEB≅Rt△AND∴AE=AN，∠EAB=∠NAD ∴∠EAM=∠NAM=45∘在△AEM和△ANM中{AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM∴△AEM≅△ANM∴S△AEM=S△ANM，，EM=MN∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高∴AB=AH（3）解：如图③分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90∘分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD 由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD设AH=x，则MC=x−2，NC=x−3在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2∴52=(x−2)2+(x−3)2解得x1=6，x2=−1（不符合题意，舍去）∴AH=6．【解析】解：（1）AH=AB理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90∘，在△ABM与△ADN中，{AB=AD ∠B=∠DBM=DN ∴△ABM≅△ADN∴∠BAM=∠DAN，AM=AN∵AH⊥MN∴∠MAH=12∠MAN=22.5∘∵∠BAM+∠DAN=45∘∴∠BAM=22.5∘在△ABM与△AHM中{∠BAM=∠HAM∠B=∠AHM=90∘AM=AM∴△ABM≅△AHM∴AB=AD=AH故答案为：AH=AB6.某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：（1）如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE､CD，请你完成作图并证明BE=CD.（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）类比探究：如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE､BG，则线段CE､BG有什么关系？说明理由.（3）灵活运用：如图3，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长.【答案】（1）作图，如图所示：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠CAB，即∠DAC=∠EAB，在△ACD和△AEB中，{AD=AB∠DAC=∠EABAC=AE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴BE=CD（2）CE=BG，理由为：证明：∵四边形ABDE与四边形ACFG都为正方形，∴AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠CAB，即∠EAC=∠BAG，在△ACE和△ABG中，{AE=AB∠EAC=∠BAGAC=AG，∴△ACE≌△ABG（SAS），∴CE=BG（3）∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，在CD外侧作等边△CDE，则∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，{CD=CE∠BCD=∠ACEAB=AC，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE=BD，∵在Rt△ADE中，DE2=AE2-AD2=BD2-AD2= 52−32=16，∴DE=4，∴CD=47.如图，正方形ABCD，点P在射线CB上运动(不包含点B、C)，连接DP，交AB于点M，作BE⊥DP于点E，连接AE，作∠FAD=∠EAB，FA交DP于点F.（1）如图a，当点P在CB的延长线上时，①求证：DF=BE；②请判断DE、BE、AE之间的数量关系并证明；（2）如图b，当点P在线段BC上时，DE、BE、AE之间有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明；（3）如果将已知中的正方形ABCD换成矩形ABCD，且AD：AB= √3：1，其他条件不变，当点P在射线CB上时，DE、BE、AE之间又有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明.【答案】（1）证明：①正方形ABCD中，AD=AB，∠ADM+∠AMD=90°∵BE⊥DP，∴∠EBM+∠BME=90°，∵∠AMD=∠BME，∴∠EBM=∠ADM，在△ABE和△ADF中，{∠FAD=∠EAB∠EBM=∠ADMAD=AB，∴△ABE≌△ADF，∴DF=BE；②DE=BE+ √2AE，理由：由（1）有△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，∴∠BAE+∠FAM=∠DAF+∠FAM，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴EF= √2AE，∵DE=DF+EF，∴DE=BE+ √2AE；（2）解：DE= √2AE﹣BE；（3）DE=2AE+ √3BE或DE=2AE﹣√3BE.【解析】（2）证明：正方形ABCD中，AD=AB，∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，∵∠FAD=∠EAB，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°∵BE⊥DP，∴∠BEA+∠AEF=90°，∴∠BEA=∠AFE，∵∠FAD=∠EAB，AD=AB∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，BE=DF∵∠EAF=90°∴EF= √2AE，∵EF=DF+DE= √2AE，∴DE= √2AE﹣DF= √2AE﹣BE；（3）证明：①如图1所示时，正方形ABCD中，∠ADM+∠AMD=90°∵BE⊥DP，∴∠EBM+∠BME=90°，∵∠AMD=∠BME，∴∠EBM=∠ADM，∵∠FAD=∠EAB∴△ABE∽△ADF，∴ABAD =AEAF=BEDF，∵AD：AB= √3：1，∴AEAF =√3=BEDF，∴AF= √3AE，DF= √3BE∵∠FAD=∠EAB∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，∴EF= √AE2+AF2=2AE=DE﹣DF=DE﹣√3BE，即：DE=2AE+ √3BE；②如图2所示，∵∠DAF=∠BAE，∴∠EAF=∠BAD=90°，∵∠DAF=∠BAE，∴△BAE∽△DAF，∴ABAD =AEAF=BEDF，∵AD：AB= √3：1，∴AEAF =BEDF=√3，∴AF= √3AE，DF= √3BE，∵∠EAF=90°，根据勾股定理得，EF= √AE2+AF2=2AE=DE+DF=DE+ √3BE，∴DE=2AE﹣√3BE.8.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
专题18.2 平行四边形的判定专练(30道)-解析版
2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】专题18.2 平行四边形的判定专练（30道）一、解答题（本卷共30道，总分120分）1．（2024·广东江门·一模）如图，ABCD ，E 、F 分别是边、AB CD 上一点，且AE CF =，直线EF 分别交AC AD 、延长线、CB 延长线于O 、H 、G ．(1)求证：AHO CGO ≌△△．(2)分别连接AG CH 、，试判断AG 与CH 的关系，并证明． 【答案】(1)见解析(2)AG CH ∥，AG CH =，理由见解析【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AH CG ∥，AO CO =，∴,CAH ACG H G ∠=∠∠=∠，∴()AAS AHO CGO ≌；（2）证明：如图，连接AG CH 、，AHO CGO ≌△△，∴AH CG =，AH CG ∥，∴四边形AGCH 是平行四边形，∴AG CH ∥，AG CH =．2．（2024·新疆昌吉·模拟预测）如图，AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线，DE AC BF AC ⊥⊥，，垂足分别是E 、F ．求证：(1)ABF CDE ≌△△(2)四边形DEBF 是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB CD AB CD ∥，，∵BAF DCE ∠=∠，∵DE AC BF AC ⊥⊥，，∵90AFB CED ∠=∠=︒，∵()AAS ABF CDE ≌△△； （2）证明：∵ABF CDE ≌△△， ∵BF DE =，∵DE AC BF AC ⊥⊥，，∵BF DE ，∵四边形DEBF 是平行四边形．3．（八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，F 为AB 上一点，DF 与AC 交于点E ，DE FE =．(1)求证：四边形AFCD 是平行四边形；(2)若CD ==6=12BC CE ，BC AC ⊥，求BF 的长． 在ECD 和△EDC ECD DE FE ∠=∠∠=∠=∵()ECD EAF AAS ≌CD AF =，CD AF ∥，CD AF =四边形AFCD 是平行四边形．（2）解：∵=6BC CE 4．（八年级下·四川成都·期末）如图，在ABCD 中，点E ，F 在对角线AC 上，且AF CE =，连接BE DE BF ，，，DF ．(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若80BAC AB AF DC DF ∠=︒==，，，求EBF ∠的度数．）证明：在ABCD 中，AB CD ，和CDE 中，DCE ，∵SAS ABF CDE ≌（）BF DE DEF =∠=，ED BF ∥，四边形BEDF 是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF BE DF =，5．（八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AE CF =．(1)求证：四边形DEBF 是平行四边形；(2)若DE 为ADC ∠的角平分线，且6AD =，4EB =，求ABCD 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)32【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB CD ，AB CD =，∵AE CF =，∵BE DF =，且BE DF ，∵四边形DEBF 是平行四边形．（2）解：∵DE 为ADC ∠的角平分线，∵ADE CDE ∠=∠，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB CD ，∵AED CDE ∠=∠，∵ADE AED ∠=∠，∵6AE AD ==，∵4BE =，∵10AB AE BE =+=，∵ABCD 的周长()()2261032AD AB =⨯+=⨯+=．6．（八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，BE DF ∥且分别交对角线AC 于点E 、F ，连接ED 、BF ．(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若DF AC ⊥，12DF =，13DC BF ==，求BC 的长．在ABE 和CDF 中，7．（八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD CB∥，E为BD中点，延长CD到点F，使DF CD=．(1)求证：AE CE=；(2)求证：四边形ABDF为平行四边形；(3)若1CD=，2AF=，2BEC F∠=∠，求四边形ABDF的面积．在ADE 和△DAC AED CEB DEBE ∠=∠∠=∠=∵()AAS ADE CBE ≌AE CE =；（2）由（1）得：AE 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∥，AB CD =8．（八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；(2)若5BD BC==，6CD=，求平行四边形AEBD的面积．在ADF和BEF中，ADF BEFAFD BFEAF BF∠=∠∠=∠=∵ADF∵AASBEF（DF EF=．又∵AF BF=，四边形AEBD是平行四边形．（2）解：如图，过点BCDS=CDDG=四边形9．（2023·辽宁沈阳·一模）如图，已知ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，连接DE 并延长至点F 时，EF AE =，连接AF 、BE 和CF ．(1)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由；(2)若6AB =，2BD DC =，求四边形ABEF 的面积． ∵ABC 是等边三角形，ABC ∠=∠CD CE =，∴DEC 是等边三角形，DEC ∴∠=∠ABC ∴∠=∠AB DF ∴∥EF AE =AEF ∴是等边三角形，60AFD ∴∠=BD AF ∴∥，∴四边形ABDF （2）四边形ABDF2BD DC =AE BD ∴=AGE ∠=AEG ∴∠=12AG ∴=∵EG =110．（2024·山西临汾·一模）如图，在ABC 中，12AB AC ==，8BC =，以点A 为圆心，任意长为半径画弧交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以点M 利N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点H ，作射线AH 交BC 于点D ，延长DB 到点E ，使EB BD =．过点E 作EF EC ⊥交AB 的延长线于点F ，连接AE DF ，．(1)求证：四边形ADFE 是平行四边形；(2)直接写出点E 到DF 的距离．和FBE中，=90FEBFBE︒，∵(ASAABD FBE≌AD FE=，又EF AD∥，四边形ADFE是平行四边形；（2）解：如图，过点∵ABD FBE≌，DEF S =DE EQ =11．（2024·贵州·一模）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 边上一点，且BC DC =，点E 是CD 延长线上一点，且CD DE =，点F 在AB 上，且BD DF =．(1)求证：四边形CBEF 为平行四边形；(2)若5CF CD +=，求四边形CBEF 的周长；(3)过点D 作DG CE 交BE 于点G ，判断BDG ∠和CAD ∠的大小关系并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形CBEF 的周长为10(3)BDG CAD ∠=∠，理由见解析【详解】（1）证明：CD DE =，BD DF =，∴四边形CBEF 是平行四边形；（2）四边形CBEF 是平行四边形，∴CF BE =，BC EF =，5CF CD +=，BC DC =，∴5CF BC +=，平行四边形CBEF 的周长为：()210CF BC BE EF CF BC +++=+=；（3）DG CE ，∴90GDC ∠=︒，即90BDG CDB ∠+∠=︒，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，∴90CAD CBD ∠+∠=︒，BC DC =，∴CDB CBD ∠=∠，∴BDG CAD ∠=∠．12．（八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O E F ，，为BD 上两点，连接AE AF CE CF ，，，，且BF DE =．(1)求证：四边形AECF 为平行四边形；(2)若46AB AC CD AC E F ⊥==，，，，为BD 的三等分点，求OE 的长度．13．（八年级下·全国·随堂练习）如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连结DF 并延长，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．(1)求证：四边形AEBD 是平行四边形；(2)若56BD BC CD ===，，求平行四边形AEBD 的面积．）证明：四边形点ADF DAF AF ∠⎧⎪∠⎨⎪⎩ADF ∴△AD BE ∴=∴四边形14．（八年级上·山东济宁·期末）如图，在ACFD 中，点B ，E 分别在AC ，DF 上，AB FE =，AF 分别交BD ，CE 于点M ，N ．(1)求证：四边形BCED 是平行四边形；(2)已知6DE =，连接BN ，若BN 平分DBC ∠，求CN 的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)6CN =．【详解】（1）证明：∵四边形ACFD 是平行四边形，∵AC DF =，AC DF ∥，∵AB FE =，∵AC AB DF FE -=-，即BC DE =，∵四边形BCED 是平行四边形；（2）解：∵BN 平分DBC ∠，∵DBN CBN =∠∠，由（1）得：四边形BCED 是平行四边形，∵6BC DE ==，EC DB ∥，∵CNB DBN =∠∠，∵CNB CBN ∠=∠，∵6CN BC ==．15．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，线段EF 分别交AD AC BC 、、于点E 、O 、F ，∵EF AC ⊥，∵AO CO =．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）爱动脑筋的小明发现： 在本题∵、∵、∵三个已知条件中，有一个多余条件，去掉这个条件，四边形AFCE 是平行四边形的结论依然成立，可以去掉的这个条件是 （直接写出这个条件的序号），并证明四边形AFCE 是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）∵，见解析【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AE CF ，∵EAO FCO ∠=∠，在AOE △和COF 中，EAO FCO OA OCAOE FOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵AOE COF △≌△，∵AE CF =，∵四边形AFCE 是平行四边形；（2）在本题∵、∵、∵三个已知条件中，去掉∵条件，四边形AFCE 是平行四边形的结论依然成立，证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AE CF ，∵EAO FCO ∠=∠，在AOE △和COF 中，EAO FCO OA OCAOE FOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵AOE COF △≌△，∵AE CF =，∵四边形AFCE 是平行四边形．16．（八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在AC 上，且AE CF =．(1)求证：四边形DEBF 是平行四边形；(2)过点O 作OM BD ⊥，垂足为O ，交DF 于点M ，若BFM 的周长为12，求四边形BEDF 的周长． 【答案】(1)见解析(2)24【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，AE CF =，∴OA AE OC CF -=-，∴OE OF =，又OB OD =，∴四边形DEBF 是平行四边形；（2）解：由（1）知OB OD =，又OM BD ⊥，∴OM 垂直平分BD ，∴MD MB =，BFM 的周长为12，∴12FB FM MB ++=，∴12FB FM MD FB FD ++=+=，四边形DEBF 是平行四边形，∴四边形BEDF 的周长()221224FB FD =+=⨯=．17．（八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 边上的点，且ABE CDF ∠=∠．(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)连接CE ，若CE 平分DCB ∠，DF BC ⊥，4DF =，5DE =，求平行四边形ABCD 的周长． ）证明：四边形ABE ∠=(ASA ABE CDF ∴≌AE CF ∴=，AD AE BC CF ∴-=-DE BF ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）四边形BF DE ∴=四边形.AB CD ∴=CE 平分DCE ∠∴DEC ∴∠=DE CD ∴=BF DE ∴=DF BC ⊥CF ∴=BC BF ∴=∴平行四边形18．（八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形ABCD 中，45BAD C ∠=∠=︒，AD BD =，90CBD ∠=︒．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若点P为线段CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP AP⊥交直线BD于点E．∵如图2，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；∵如图3，当点P在线段CD上时，求证：DEDA=．）证明：AD BD=︒，∠=CBD∴∠CBD∴∥AD∠=45C∴∠BDC∴∠BDC∴∥AB CD∴四边形1）知BDC是等腰直角三角形，当点∥AB CD ADC ∴∠ADC ∴∠PAD ∠+∠AOD ∠=PAD ∴∠=PAD ∴(AAS PED ≌AP PE ∴=；证明：过点P 作PFPF CD ⊥DPF ∴∠=DPA ∴∠=四边形C ∴∠=∠AB CD ， 又AD BD =45DAB DBA CDB ∴∠=∠=︒，ADB ∴∠=∠，45PFD ∴∠=PFD PDF ∴∠=∠PD PF =，()ASA ADP EFP ∴≌AD EF ∴=，在Rt FDP 中，PDF ∠DE DF=∴+DA219．（九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，90∠=︒，ADB-向终点C匀速运动，60∠=︒，4AAD．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AB BC=-于点Q，将线段PQ绕着点P逆时针旋转60︒得到线段PE，连结QE，连结PO并延长交折线CD DA设点P的运动时间为t（s）．(1)用含t的代数式表示PB的长．=．(2)当点P在边AB上运动时，求证：AP CQ△内部时，求t的取值范围．(3)当点E在ABD(4)当PQE与BCD△的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出t的值．∠=）解：ADB43．四边形为平行四边形，在ABCD中，AC ∴经过点O ，OA OC =，四边形ABCD 为平行四边形，AB CD ∴∥，QCO PAO ∴∠=∠．在APO △和CQO 中，AOP COQ OA OCOAP OCQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)APO CQO ≌∴，AP CQ ∴=（3）解：∵当点E 与点D 重合时，如图，由题意得：PQE 为等边三角形，60PQE QPE ∴∠=∠=︒，AB CE ∥，60QPB PQE ∴∠=∠=︒，60A QPB ∴∠=∠=︒，AD PQ ∴∥，∴四边形APQD 为平行四边形，4PQ AD ∴==，4DQ PQ AP ∴===，24t ，2t ∴=，∵当点E 落在AB 边上时，如图，由题意得：PQE 为等边三角形，60PEQ ∴∠=︒，AD EQ∥∴四边形EQ AD∴=4PE∴=．AE AP∴=(AAS)DOQ BOP≌∴DQ PB∴=，PB AE∴=，8224t t∴-=-，3t∴=，时，PQE与△QPE∠=PDQ∴∠PD DQ∴⊥AB CD∥DP AB∴⊥12AP∴=22t∴=，则，PQE与△综上，当PQE与△20．（八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE CF=．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)连接BD交AC于点O，若14BD=，AE CF EF+=，求EG的长．在AGE和CHF中，AG CHGAE HCFAE CF=∠=∠=，∵()SAS AGE CHF ≌,GE HF AEG =∠=∠GEF HFE ∠=∠，GE HF ∥，又∵GE HF =，是ABO 的中位线，1722O B =．21．（八年级上·山东济南·期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，AB EC AD +=．(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)若=60B ∠︒，求证：AE CD =；(3)在（2）的条件下，连接AC 、DE ，若80AED ∠=︒，求ACE ∠的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)40ACE ∠=︒．【详解】（1）证明：∵AD BC ∥，∴DAE AEB ∠=∠,又BAE DAE ∠=∠∵，∴BAE AEB ∠=∠,∴AB BE =；AB EC AD +=，∴BE EC AD +=,∴BC AD =，∴四边形ABCD 为平行四边形；（2）证明：60ABE ∠=︒，AB BE =，∴AEB △为等边三角形，∴AB AE =，∵ABCD 中，AB CD =，∴AE CD =，（3）解：∵AEB △为等边三角形，∴18060120AEC ∠=︒-︒=︒，∵ABCD 中，AB CD ∥，∴18060120DCE ∠=︒-︒=︒，∴AEC DCE ∠=∠，又EC EC =，AE CD =，∴()SAS CEA ECD △≌△，∴ACB DEC ∠=∠，∵80AED ∠=︒∴180608040DEC ︒︒︒︒∠=--=∴40ACE ∠=︒．22．（八年级上·吉林·期末）如图，在ABCD 中，BD 为对角线，EF 垂直平分BD 分别交AD 、BC于点E 、F ，交BD 于点O ．(1)试说明：BF DE =；(2)试说明：C ABE DF ≌△△；(3)如果在ABCD 中，5AB =，10AD =，有两动点P 、Q 分别从B 、D 两点同时出发，沿BAE 和DFC △各边运动一周，即点P 自B →A →E →B 停止，点Q 自D →F →C →D 停止，点P 运动的路程是m ，点Q 运动的路程是n ，当四边形BPDQ 是平行四边形时，求m 与n 满足的数量关系．（画出示意图） 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)15mn +=【详解】（1）解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，ODE OBF ∴∠=∠，EF 垂直平分BD ，OB OD ∴=，在OBF 和ODE 中，OBF ODE OB ODBOF DOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， BOF DOE ∴≌△△（ASA ），BF DE ∴=；（2）解：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，A C ∠=∠，BF DE =，AE CF ∴=，在ABE 和CDF 中，AB CD A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE CDF ∴≌△△(SAS )；（3）解：EF 垂直平分BD ，BF DF ∴=，ABE CDF ≌△△，DF BE ∴=，AE CF =，DFC ∴的周长是DF CF CD ++BF CF CD =++BC CD =+15=，故ABE 的周长也是15，∵当P 在AB 上，Q 在CD 上，AB CD ∥，BPO DQO ∴∠=∠，在BPO △和DQO 中BPO DQO POB DOQ OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPO DQO ∴≌(AAS )，BP DQ ∴=，m n ∴+BP DF CF CQ =+++DF CF CQ DQ =+++DF CF CD =++15=∵当P 在AE 上，Q 在CF 上，AD BC ∥，PEO QFO ∴∠=∠，EOD FOB ≌，OE OF ∴=，在PEO 和QFO 中PEO QFO OE OFEOP FOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， PEO QFO ∴≌(ASA )，PE QF ∴=，AE CF =，CQ AP ∴=，m n +AB AP DF PQ =+++CD CQ DF FQ =+++DF CF CD =++15=；∵当P 在BE 上，Q 在DF 上，AD BC =，AE CF =，DE BF ∴=，DE BF ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，BE DF ∴=，BE DF ∥，PEO QFO ∴∠=∠，在PEO 和QFO △中PEO QFO OE OFEOP FOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， PEO QFO ∴≌(ASA )，PE FQ ∴=，m n ∴+AB AE PE DQ =+++CD CF QF DQ =+++DF CF CD =++15=；综上所述：m 与n 满足的数量关系是15m n +=．23．（2021·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平行四边形ABCD 中，AE CF 、分别平分BAD ∠和BCD ∠，AE 交BC 于点E ，CF 交AD 于点F ．(1)如图1，求证：BE DF =；(2)如图2，连接BD 分别交AE CF 、于点G 、H ，连接AH CG CF EH AH ，，，，与GF 交于点M ，EH 与GC 交于点N ，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形ABCD 除外）．在ABE 和CDF 中，B D AB CDBAE DCF ∠=∠=∠=∠， ∵(ASA ABE CDF ≌∵BE DF =；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AD BC AD BC =∥，，由（1）得：BAE BCF BE DF ∠=∠=，，∵CE AF =，∵四边形AECF 是平行四边形，∵AE CF AE CF =∥，，∵AD BC ∥，∵ADG CBH ∠=∠，在DAG 和BCH 中，ADG CBH AD CB DAG BCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵()ASA DAG BCH ≌，∵AG CH =，又∵AG CH ∥，∵四边形AGCH 是平行四边形，∵AH CG ∥，∵AE CF =，∵AE AG CF CH -=-，即EG FH =，∵四边形EGFH 是平行四边形，∵EH GF ∥，又∵AH CG ∥，∵四边形MGNH 是平行四边形，∵图中所有的平行四边形（平行四边形ABCD 除外）为平行四边形AECF 、平行四边形AGCH 、平行四边形EGFH 、平行四边形MGNH ．24．（九年级上·北京东城·期末）如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到'AP ，连接PP '，BP '．(1)用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；(2)当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为______；②若M 为BC 的中点，连接PM ，用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明． 【答案】(1)BP CP '=，详见解析(2)∵60︒；∵2AP PM =【详解】（1）解：BP CP '=，理由如下：ABC 是等边三角形，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒，2360∴∠+∠=︒，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到'AP ，AP AP '∴=，60P PA '∠=︒，1260∴∠+∠=︒，13∠∠∴=，(SAS)ABP ACP '∴≌，BP CP '∴=；（2）解：∵如图，当120BPC ∠=︒时，则8618060BPC ∠+∠=︒-∠=︒，ABP ACP '≌，45∴∠=∠，47P BP '∴∠=∠+∠5608=∠+︒-∠606608=︒-∠+︒-∠120(68)=︒-∠+∠12060=︒-︒60=︒；∵2AP PM =，理由如下：延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，M 为BC 的中点，BM CM ∴=，∴四边形PBNC 为平行四边形，BN CP ∴∥且BN CP =，BN BP '∴=，96∠=∠，又8660∠+∠=︒，8960∴∠+∠=︒，60PBN P BP '∴∠=︒=∠，又BP BP =，P B BN '=，∴(SAS)P BP NBP '≌，2PP PN PM '∴==，又APP '△为正三角形，PP AP '∴=，2AP PM ∴=．25．（八年级上·福建泉州·阶段练习）如图所示四边形ABCD 中，4AB BC CD DA ====，120BAD ∠=︒，AEF △为正三角形，点E 、F 分别在边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合．(1)四边形ABCD______平行四边形（是或不是）(2)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE CF=；(3)当点E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．AB CD，ADAB CD，AD60︒，DA=，4∵ABC和ACD为等边三角形，∠=︒，AC=∠=︒，46060BAC△是等边三角形，AEFEAF∠=︒，60∠+∠=︒，EAC160∠=∠，13∵(ASA ABE ACF ≌BE CF =；（3）四边形AECF 的面积不变，为定值理由如下：由（2）得ABE ACF ≌，则故AEC ACF AEC ABE ABC AECF S S S S S S =+=+=四边形，是定值，H 点， ，4AB AC ==22AH AB BH =-=26．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，AB CD =，点E 、F 在对角线AC 上，且AE CF =．(1)如图1，求证：DF BE ∥；(2)如图2，延长DF 、BE 分别交BC 、AD 于点P 、N ，连接BF 并延长交CD 于点M ，连接DE 并延长交AB 于Q ，在不添加其它线的条件下，直接写出图中所有的平行四边形．【答案】(1)见详解(2)ABCD 、DEBF 、DNBP 、DQBM【详解】（1）证明：∵ABCD ， ∵DCF BAE ∠=∠，∵AB CD =，AE CF =，∵(SAS)ABE CDF ≌△△，∵CDF ABE ∠=∠，∵CDF DCF BAE ABE ∠+∠=∠+∠即BEF DFE ∠=∠，∵DF BE ∥；（2）图中的平行四边形有：ABCD 、DEBF 、DNBP 、DQBM ，理由如下，∵AB CD ，AB CD =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AD BC ∥，由（1）得(SAS)ABE CDF ≌△△∵BE DF =，又DF BE ∥，∵四边形DEBF 是平行四边形；∵DP NB ∥，DE BF ∥，∵AD BC ∥，∵四边形DNBP 是平行四边；∵DE BF ∥，AB CD∵四边形DQBM 是平行四边形，综上所述，图中的平行四边形有：ABCD 、DEBF 、DNBP 、DQBM ．27．（八年级下·广东湛江·期中）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，BAD ∠的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．(1)求证：BE CD =；(2)若BF 恰好平分ABE ∠，连接AC 、DE ，求证：四边形ACED 是平行四边形；(3)若BF AE ⊥，60BEA ∠=︒，4AB =，求平行四边形ABCD 的面积．∵ABE 是等边三角形，AB AE ==BF AE ⊥AF EF =在Rt ABF 中，由勾股定理得，DAE AEB =∠ADF ECF ≌△平行四边形ABCD ABE =的面积28．（八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，=90BAC DAE AC AB AD AE AF BE ∠=∠︒==⊥，，，，FA 的延长线交CD 于H ．(1)求证：CAH ABE ∠=∠；(2)求证：点H 是CD 的中点；(3)若12BAE S =△，求ACH S ． 【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)6【详解】（1）证明：∵90BAC ∠=︒，∵90BAF CAH ∠+∠=︒，∵AF BE ⊥，∵90AFB ∠=︒，∵90ABF BAF ∠+∠=︒，∵ABE CAH ∠=∠；（2）证明：过点C 作CG AD ∥交FA 的延长线于点G ，连接DG ， ∵CG AD ∥，∵=180ACG CAD ∠+∠︒，又∵180CAD BAE ∠+∠=︒，∵ACG BAE ∠=∠，由（1）可得，ABE CAH ∠=∠，在ACG 和BAE 中，GAC EBA AC ABACG BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵()ACG BAE ASA ≌，∵CG AE =，又∵AE AD =，∵CG AD =，∵四边形ACGD 是平行四边形，224ACGD BAE SS ==，1122ACD ACGD S S ==点H 是CD 的中点，162ACH ACD S S ==．29．（八年级下·吉林长春·期中）如图，ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE DF =，连接EF 交BD 于O ．(1)连接BF 、DE ，判断四边形DEBF 的形状并说明理由．(2)若6AE =，2BE =，BOF 的面积为2，求ABCD 的面积．(3)若BD AD ⊥，45A ∠=︒，EF AB ⊥，延长EF 交AD 的延长线于G ，当1FG =时，则AB 的长为______． 【答案】(1)四边形DEBF 是平行四边形，理由见解析；(2)16；(3)4；【详解】（1）解：四边形DEBF 是平行四边形； 证明：由题意，在ABCD 中，DF EB ∥，∵BE DF =，∵四边形DEBF 是平行四边形；（2）解：∵四边形DEBF 是平行四边形，2DOE BOF SS ==，4DBE EFBS S ==，6AE =，2BE =82ADEEDBSAB S EB ===ADB S=∵ABCD 的面积为16ADB S =（3）解：∵，90ADB ∠=45A ∠=︒，DBA ∠=∠EF AB ⊥，∵ODG 是等腰直角三角形，AB CD ，EF DF OG ⊥，OF FG =，DFG 是等腰直角三角形，四边形DEBF 是平行四边形，OE OF =，BE DF =1OE =，∵DFG 是等腰直角三角形，DF FG =GE OE =AE GE =AB AE =30．（八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，AB AD ⊥，AB AD =，AC AE ⊥，AC AE =．(1)如图1，BAC ∠、ADE ∠、AED ∠之间的数量关系为______；(2)如图2，点F 为DE 的中点，连接AF ．∵求证：2BC AF =．∵判断BC 与AF 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)BAC ADE AED ∠=∠+∠(2)∵见详解；∵BC AF ⊥，理由见详解【详解】（1）解：∵AB AD ⊥，AC AE ⊥，∵90BAD CAE ∠=∠=︒，，故90BDA ABD ∠+∠=︒，90ECA AEC ∠+∠=︒，在四边形BCED 中，360180180ADE AED ABC ACB ∠+∠+∠+∠=︒-︒=︒， 故()180ADE AED ABC ACB ∠+∠=︒-∠+∠，∵在三角形ABC 中，()180ABC ABC ACB ∠=︒-∠+∠，∵BAC ADE AED ∠=∠+∠，所以BAC ∠、ADE ∠、AED ∠之间的数量关系为BAC ADE AED ∠=∠+∠； （2）解：∵延长AF 至点P ，使PF AF =，连接DP ，EP ，如图所示：∵点F 为DE 的中点，∵DF EF =，∵PF AF =，∵四边形AEPD 是平行四边形，∵DP AE =，AED PDE ∠=∠，则ADP ADE PDE ∠=∠+∠，由（1）知，BAC ADE AED ∠=∠+∠，故ADP BAC ∠=∠，∵AC AE =，∵PD AC =，∵AD AB =，∵ABC DAP ≌∵BC AP =， ∵2AP AF =， 即2BC AF =； ∵BC AF ⊥，理由如下： 延长FA 交BC 于点N ，如图所示：∵AB AD ⊥，AC AE ⊥， ∵90BAD CAE ∠=∠=︒， ∵90BAN DAF ∠+∠=︒， 由∵知ABC DAP ≌， ∵ABN DAF ∠=∠， ∵90BAN ABN ∠+∠=︒ ∵在ABN 中，()18090ANB BAN ABN ∠=︒-∠+∠=︒， 即BC AF ⊥．。
第十三章轴对称验收卷-八年级上册考点专训(解析版)(人教版)
第十三章轴对称验收卷一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．下列防疫标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三2．如图所示，BDC角形（）对A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】从最简单的开始找，因为图形对折，所以首先△CDB≌△C′DB，由于四边形是长方形所以，△ABD≌△CD B．进而可得另有2对，分别为：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，如此答案可得．【详解】解：∵△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，∴C′D=CD，BC′=BC，∵BD=BD，∴△CDB≌△C′DB（SSS），同理可证明：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，△ABD≌△CDB三对全等．所以，共有4对全等三角形．故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SS A、HL．注意：AA A、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．3．如图，已知钝角ABC，依下列步骤尺规作图，并保留了作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA长为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H．则下列说法不正确的是（）A．AH是ABC中BC边上的高B．AH DHC ．AC 平分BAD∠D ．作图依据是：①两点确定一条直线；②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【详解】解：如图，连接CD ，BD ，由作图步骤可知，AC DC =，AB DB =，由①两点确定一条直线，②到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知BH 为AD 的垂直平分线，即AD BH ⊥，AH DH =，故选C ．【点睛】本题考查作图－基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是判定图示所做为垂直平分线．4．如图，ABC 中，AD BC ⊥，AD 平分BAC ∠，以下结论：①线段AD 是线段BC 的垂直平分线②ABC 是等腰三角形；③ABD ACD S S = ；④D 为BC 的中点．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据已知条件证明出△ADB ≌△ADC ，由全等得到AB =AC ，BD =CD ，最后得出结论．【详解】解：∵AD BC ⊥，AD 平分BAC ∠，∴∠ADB =∠ADC =90°，∠BAD =∠CAD ，在△ADB 和△ADC 中，BAD CAD AD AD ADB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADB ≌△ADC （ASA ）∴AB =AC ，BD =CD ，ABD ACDS S = ∵AD BC ⊥，D 为BC 的中点，∴线段AD 是线段BC 的垂直平分线，∴①②③④说法正确，故选：D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与线段垂直平分线的定义，证明出三角形全等是解本题的关键．5．如图，点P 是AOB ∠内的一点，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，连接OP ，CD ．若PC PD =，则下列结论不一定．．．成立的是（）A ．AOP BOP∠=∠B ．OPC OPD ∠=∠C ．PO 垂直平分CD D ．PD CD=【答案】D【分析】根据角平线的判定定理可判断A ，证明Rt COP Rt DOP ≌，可判断B ，根据Rt COP Rt DOP ≌，可得OC =OD ，进而可判断C ，根据等边三角形的定义，可判断D ．【详解】解：∵点P 是AOB ∠内的一点，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，PC PD =，∴OP 是∠AOB 的平分线，即AOP BOP ∠=∠，故A 成立，不符合题意；∵OP =OP ，AOP BOP ∠=∠，∴Rt COP Rt DOP ≌（HL ），∴OPC OPD ∠=∠，故B 成立，不符合题意；∵Rt COP Rt DOP ≌，∴OC =OD ，又∵PC PD =，∴PO 垂直平分CD ，故C 成立，不符合题意；∵PCD 不一定是等边三角形，∴PD CD =不一定成立，故D 符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查角平分线的判定，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质以及等边三角形的定义，掌握上述定理和定义是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，∠C ＝60°，AD 是BC 边上的高，点E 为AD 的中点，连接BE 并延长交AC 于点F ．若∠AFB ＝90°，EF ＝2，则BF 长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．【详解】∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE＋EF＝8＋2＝10，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、含30︒角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=2，则CE的长为（）A．B．4C．D．2【答案】B【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE =CE ，故可得出∠B =∠DCE ，再由直角三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵在△ABC 中，∠B =30°，BC 的垂直平分线交AB 于E ，ED =2，∴BE =CE ，∴∠B =∠DCE =30°，在Rt △CDE 中，∵∠DCE =30°，ED =2，∴CE =2DE =4．故选：B ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．8．如图，在ABC 中，AC BC =，D 、E 、F 分别是各边延长线的点，131DAC ∠=︒，则ECF ∠的度数为（）A ．49︒B ．88︒C ．98︒D ．131︒【答案】C【分析】根据邻补角的定义求出49BAC ∠=︒，根据等边对等角得到49ABC BAC ∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵131DAC ∠=︒，∴49BAC ∠=︒，∵AC BC =，∴49ABC BAC ∠=∠=︒，∴98ECF ∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查邻补角的定义、等边对等角、三角形外角的性质等内容，掌握上述性质定理是解题的关键．9．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAD ∠=︒，AC BC AD ==，则CBD ∠的度数为（）A ．12°B ．13°C ．14°D ．15°【答案】D【分析】可过C 作CE ⊥AD 于E ，过D 作DE ⊥BC 于F ，依据题意可得∠FCD =∠ECD ，进而得到△CED ≌△CFD ，得到CF =BF ，再利用等腰三角形的判定可得出结论．【详解】解：如图，过C 作CE ⊥AD 于E ，过D 作DF ⊥BC 于F．∵∠CAD =30°，∴∠ACE =60°，且CE =12AC ，∵AC =AD ，∠CAD =30°，∴∠ACD =75°，∴∠FCD =90°-∠ACD =15°，∠ECD =∠ACD -∠ACE =15°，在△CED 和△CFD 中，CED CFD ECD FCD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CED ≌△CFD （AAS ），∴CF =CE =12AC =12BC ，∴CF =BF ，∵DF ⊥BC ，∴BD =CD ，∴∠DCB =∠CBD =15°，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，能够熟练运用其性质进行解题是关键．10．如图，在锐角三角形ABC 中，BC BA >，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，BA 长为半径作圆弧，交AC 于点D ；②分别以点A 、D 为圆心，大于12AD 长为半径作圆弧，计两弧交于点E ；③作射线BE ，交AC 于点P ，若60A ∠=︒，则ABP ∠的大小为（）A ．20︒B ．25︒C ．30°D ．35︒【答案】C【分析】根据作图步骤可知BP ⊥AC ，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案．【详解】由作图步骤可知：BP ⊥AC ，∴∠BPA =90°，∵60A ∠=︒，∴ABP∠=90°-∠A=30°，故选：C．【点睛】本题考查尺规作图——作垂线，熟练掌握各基本作图的步骤是解题关键．△都是等边三角形，连接AD，BE，OC：下列11．如图，A，B，E三点在同一直线上，ABC，CDE结论中正确的是（）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；∠；③OC平分AOE④△BPO≌△EDO．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】B【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的说法是正确的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴△CPQ 是等边三角形；∴②的说法是正确的；∵△PCD ≌△QCE ，∴PD =QE ，PCD QCE S S =△△，过点C 作CG ⊥PD ，垂足为G ，CH ⊥QE ，垂足为H ，∴1122PD CG QE CE ∙=∙，∴CG =CH ，∴OC 平分AOE ∠，∴③的说法是正确的；无法证明△BPO ≌△EDO ．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键．12．如图，等腰ABC 的底边BC 长为4cm ，面积为216cm ，腰AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上的动点．则CDM V 周长的最小值为（）A ．6cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm【分析】连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点A 关于直线EF 的对称点为点C ，MA ＝MC ，推出MC +DM ＝MA +DM ≥AD ，故AD 的长为BM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，MA ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC ＝12BC •AD ＝12×4×AD ＝16，解得AD ＝8cm ，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴MA ＝MC ，∴MC +DM ＝MA +DM ≥AD ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短＝（CM +MD ）+CD ＝AD +12BC ＝8+12×4＝10（cm ）．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键．13．等边三角形ABC 所在平面内有一点P ，且点P 不与点A ，B ，C 重合，使得PAB △，PBC ，PCA V 都是等腰三角形，这样的点P 共有（）A ．1个B ．4个C ．7个D ．10个【答案】D【分析】当点P 在三角形的内部时，点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则点P 是三角形的外心，当点P 在三角形的外部时，只要每条边的垂直平分线上的点到三角形的各个顶点连接而成的三角形是等腰三角形即可．【详解】如图所示：当点P 在三角形的内部时，点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则点P 是三角形的外心，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，与各边的垂直平分线的交点就是满足要求的点，每条垂直平分线上有3个交点，再加上三角形的外心，一共有10个点．故选D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握中垂线的性质与等边三角形的性质，是解题的关键．14．如图，过边长为3的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ=时，连接PQ 交边AC 于点D ，则DE 的长为（）A ．13B ．12C ．32D ．2【答案】C【分析】过P 作//PF BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP PF QC ==，根据等腰三角形性质求出EF AE =，证PFD QCD ∆≅∆，推出FD CD =，推出12DE AC =即可．【详解】解：过P 作//PF BC 交AC 于F ，//PF BC ，ABC ∆是等边三角形，PFD QCD ∴∠=∠，60APF B ∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，60A ∠=︒，APF ∴∆是等边三角形，AP PF AF ∴==，PE AC ⊥ ，AE EF ∴=，AP PF = ，AP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD ∆和QCD ∆中PFD QCD PDF CDQ PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，PFD QCD ∴∆≅∆，FD CD ∴=，AE EF = ，EF FD AE CD ∴+=+，12AE CD DE AC ∴+==，3AC = ，32DE ∴=，故选：C．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．若点A （a ，4）和点B （－1，b ＋5）关于y 轴对称，则点a －b ＝_______________【答案】2【分析】根据关于y对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，从而确定对称点的坐标，从而求得,a b的值，再代入代数式求解即可【详解】点A（a，4）和点B（－1，b＋5）关于y轴对称∴(1) 45 ab=--⎧⎨=+⎩解得：11 ab=⎧⎨=-⎩2a b∴-=故答案为：2【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，关于坐标对称，代数式求值，理解关于y轴对称的点的坐标关系是解题的关键．16．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1＋∠2＝130°，则∠B ＋∠C＝___°．【答案】115【分析】先根据∠1+∠2=130°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵∠1+∠2=130°，∴∠AMN+∠DNM=3601302︒-︒=115°．∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）=360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）=360°，∴∠B+∠C=∠AMN+∠DNM=115°．故答案为：115．【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．17．如图．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AF EF =．若72CFE ∠=︒，则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF ，再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE ，求出∠A 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∵AF =EF ，∴∠A =∠AEF ，∵∠A +∠AEF =∠CFE=72°，∴∠A =36°，∵∠C =90°，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．18．如图，已知等边△AOC 的边长为1，作OD ⊥AC 于点D ，在x 轴上取点C 1，使CC 1＝DC ，以CC 1为边作等边△A 1CC 1；作CD 1⊥A 1C 1于点D 1，在x 轴上取点C 2，使C 1C 2＝D 1C 1，以C 1C 2为边作等边△A 2C 1C 2；作C 1D 2⊥A 2C 2于点D 2，在x 轴上取点C 3，使C 2C 3＝D 2C 2，以C 2C 3为边作等边△A 3C 2C 3；…，且点A ，A 1，A 2，A 3，…都在第一象限，如此下去，则等边△A 2021C 2020C 2021的边A 2021C 2021中点D 2021横坐标为_________．【答案】20242023252-【分析】根据等边三角形的性质分别求出C 1C 2，C 2C 3，C 3C 4，…，C 2020C 2021的边长，即刻求出OC 2021边长，进而求出点C 2021、点A 2021的横坐标，即可求出点D 2021横坐标．即可解决问题．【详解】解：∵等边△AOC 的边长为1，作OD ⊥AC 于点D ，∴OC ＝1，C 1C 2＝CD ＝12OC ＝12∴OC ，CC 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C 2020C 2021的长分别为232021*********⋯，，，，，OC 2021＝OC +CC 1+C 1C 2+C 2C 3，…+C 2020C 2021＝202223202120211111211=22222-++++⋯+，∴点C 2021的横坐标为20222021212-，∴等边△A 2021C 2020C 2021顶点A 2021的横坐标为20222023202120212022211123=2222---⨯，∴等边△A 2021C 2020C 2021的边A 2021C 2021中点D 2021横坐标为2023202220242022202120232321125=2222⎛⎫---+⨯ ⎪⎝⎭．故答案为：20242023252-．【点睛】本题为坐标规律题，考查了点的坐标和等边三角形的性质，有理数的运算等知识，综合性强，难度大，熟知等边三角形性质，准确找出A n 点的横坐标变化规律并熟练运算是解题的关键．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．已知：如图，∠CAE 是ABC 的外角，AD ∥BC 且∠1＝∠2，求证：AB ＝AC ．【答案】见解析【分析】先由平行线的性质得∠1=∠B，∠2=∠C，再由角平分线定义得∠1=∠2，则∠B=∠C，然后由等角对等边即可得出结论．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线定义等知识；熟练掌握等腰三角形的判定和平行线的性质是解题的关键．20．下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．（1）如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴；（2）如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴；（3）如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出答案；（2）直接利用轴对称图形的性质得出答案；（3）直接利用轴对称图形的性质得出答案．【详解】解：（1）如图①所示：（2）如图②所示：（3）如图③所示：【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是：正确掌握轴对称图形的性质．21．如图，在Rt ABC 中，=90C ∠︒．（1）请用尺规作图：作A ∠的平分线AD ，AD 交BC 于点D ；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若点D 恰好在线段AB 的垂直平分线上，求BAC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°【分析】（1）以点A 为圆心，以任意长为半径画弧交AC ，AB 于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，连结点A 与这两弧交点交BC 于点D ．（2）根据线段垂直平分线的性质可得DA DB =，结合角平分线的性质可得B DAB DAC ∠=∠=∠，根据直角三角形的性质即可求出BAC ∠的度数．【详解】解：（1）如答题20图，AD 即为所求．（2）∵点D 恰好在线段AB 的垂直平分线上，∴DA DB =；∴B DAB DAC ∠=∠=∠．∵90B DAB DAC ∠+∠+∠=︒，∴30.B DAB DAC ∠=∠=∠=︒∴60BAC ∠=︒．【点睛】本题主要考查了基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质．正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （0，0），B （5，1），C （2，4）．（1）在平面直角坐标系中描出点A ，B ，C ，并作出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）如果将△ABC 向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A 2B 2C 2，直接写出2A ，B 2，C 2的坐标，（3）求△A 2B 2C 2的面积；【答案】（1）见解析；（2）222(4,3),(1,2),(2,1)A B C ----；（3）9【分析】（1）根据A 、B 、C 三点坐标描出各点即可；依据轴对称的性质，作出对称点，顺次连接各点即可得出△A 1B 1C 1；（2）依据平移性质，可得到△A 2B 2C 2，进而可得到2A ，B 2，C 2的坐标；（3）依据网格特点，利用割补法和三角形面积公式求解即可．【详解】（1）如图所示；（2）作出△A 2B 2C 2，如图所示，则222(4,3),(1,2),(2,1)A B C ----；（3）由图象可知，△A 2B 2C 2的面积111542433519222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称、坐标与图形变换-平移、三角形的面积公式，作图时找到图形的关键点是解答的关键．23．如图1，三角形ABC 中，64A ∠=︒，90B ∠=︒，26C ∠=︒．点D 是AC 边上的定点，点E 在BC 边上运动，沿DE 折叠三角形CDE ，点C 落在点G 处．（1）如图2，若//DE AB ，求ADG ∠的度数．（2）如图3，若//EG AB ，求ADG ∠的度数．（3）当三角形DEG 的三边与三角形ABC 的三边有一组边平行时，直接写出其他所有情况下ADG ∠的度数．【答案】（1）52°；（2）142°；（3）116°或26°或38°或64°【分析】（1）根据折叠的性质得到∠CDE =∠A =∠GDE =64°，即可求出∠ADG ；（2）根据GE ∥AB ，得到∠BEG =90°，算出∠BFD ，利用四边形内角和即可求出∠ADG ；（3）找出其他所有情况，画出图形，利用平行线的性质求解即可．【详解】解：（1）由折叠可知：∠C =∠DGE =26°，∠CDE =∠GDE ，∵DE ∥AB ，AB ⊥BC ，∴DE ⊥BC ，则G 在BC 上，∴∠CDE =∠A =∠GDE =64°，∴∠ADG =180°-64°×2=52°；（2）由折叠可知：∠C =∠DGE =26°，∠CDE =∠GDE ，∠DEC =∠DEG ，∵GE ∥AB ，∴∠B =∠CEG =∠BEG =90°，∴∠EFG =90°-26°=64°，∵∠A =64°，∠B =90°，∴∠ADG=360°-64°-90°-64°=142°；（3）如图，DG∥AB，则∠ADG=180°-∠A=116°；如图，DG∥BC，∠ADG=∠C=26°；如图，EG∥AC，∠ADG=∠G=∠C=26°；如图，EG∥AB，∴∠A=∠CFE=64°，∠B=∠CEG=90°，由折叠可知：∠DEG=∠DEC=45°，∴∠CDE=180°-45°-26°=109°=∠EDG，∴∠EDF=180°-109°=71°，∴∠ADG=109°-71°=38°；如图，DG∥AB，∴∠ADG=∠A=64°；综上：其他所有情况下∠ADG的度数为116°或26°或38°或64°．【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠问题，解题的难点在于找出所有符合题意的情况，得到角的关系．24．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：．（2）如图2，若△ABC外角平分线BO和CO交于点O，过点O作OE∥BC分别交边AB和AC的延长线于点E和F．线段EF与BE，CF之间的数量关系是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系．（3）如图3，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB 于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．【答案】（1）EF＝BE＋CF；（2）成立，理由见解析；（3）EF＝BE－CF，理由见解析（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；（2）根据角平分线性质和平行线性质和平行线的性质即可推出；（3）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．【详解】解：（1）EF＝BE＋CF；理由如下：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△BEO和△CFO是等腰三角形即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；EF与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF，（2）结论依然成立．理由：∵BO平分∠CBE∴∠CBO＝∠EBO∵EF∥BC∴∠CBO＝∠EOB∴∠EBO＝∠EOB∴BE＝OE同理可证：CF＝OF∵EF＝OE＋OF∴EF＝BE＋CF（3）EF＝BE－CF∵BO平分∠ABC∴∠ABO＝∠CBO∵EF∥BC∴∠EOB＝∠CBO∴∠ABO＝∠EOB∴BE＝OE同理可证：CF＝OF∵EF＝OE－OF∴EF＝BE－CF【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，掌握三者的性质是解题的关键25．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，分别以AB，AC为边向三角形外作等边△ABD和等边△ACE，解答下列各题，并要求标注推导理由：（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，连接CD、BE，求证：DC＝BE；（3）如图3，若∠ACB=90°，连接DE，交AB于点F，求证：DF＝EF．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明即可；（2）由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°,AD=AB，AE=AC，运用SAS证明△ADC≌△ABE即可得到结论；（3）作DG//AE，证明DGB ACB∆≅∆得DG=AC，再根据AAS证明DGF EAF∆≅∆即可得到．【详解】解：（1）证明：∵△ABD 是等边三角形（已知）∴∠ADB =∠ABD =60°(等边三角形每个内角都相等，都等于60°)∵∠ABC =60°(已知)∴∠ABD +∠ABC =120°∴∠ADB +∠DBC =180°∴AD //BC (同旁内角互补，两直线平行)（2）∵△ABD ，△ACE 是等边三角形（已知）∴∠DAB =∠EAC =60°(等边三角形每个内角都相等，都等于60°)AD =AB ，AC =AE （等边三角形，三条边相等）∴∠DAB +∠BAC =∠EAC +∠CAB （等式的性质）∴∠BAC =∠EAD∴△ADC ≌△ABE (SAS )∴DC =BE （全等三角形对应边相等）（3）如图，作DG //AE ，交AB 于点G，∵∠ABC =60°,∠ACB =90°（已知）∴∠BAC =30°(直角三角形两锐角互余)∴90FAE EAC CAB ︒∠=∠+∠=∴∠DGA =∠FAE =90°(两直线平行，内错角相等)∴∠DGB =90°（补角的定义）在△DBG 和△ABC 中AB DB DBG ABC DGB ACB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△DBG ≌△ABC (AAS)∴DG=AC∵△AEC是等边三角形（已知）∴AE=CE（等边三角形的性质）∴DG=AE（等量代换）∵∠DFG=∠EFA(对顶角相等)又∠DGF=∠EAF(已证)∴△DGF≌△EAF(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质和判定是关键．26．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是．②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①AP＝2PM；②成立，证明见解析【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根据三角形的内角和定理计算，得出结论；（2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝1 2∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP ，得出AP ＝PC ，即可得出AP ＝2PM ；②延长PM ＝MH ，连接CH ，由“SAS ”可证△ACF ≌△BCP ，可得AF ＝BP ，∠AFC ＝∠BPC ＝120°，由“SAS ”可证△CM H ≌△BMP ，可得CH ＝BP ＝AF ，∠H CM ＝∠PBM ，由“SAS ”可证△AFP ≌△HCP ，可得AP ＝PN ＝2PM ．【详解】（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，在△AEC 和△CDB 中，AE CD A BCD AC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△CDB （SAS ），∴∠ACE ＝∠CBD ，∵∠BPC +∠DBC +∠BCP ＝180°，∴∠BPC +∠ACE +∠BCP ＝180°，∴∠BPC ＝180°﹣60°＝120°；（2）①解：AP ＝2PM ，理由如下：∵△ABC 为等边三角形，点M 是边BC 的中点，∴AM ⊥BC ，∠BAM ＝∠CAM ＝30°，∵AM ⊥BC ，点M 是边BC 的中点，∴PB ＝PC ，∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＝∠PCB ＝30°，∴PC ＝2PM ，∠ACP ＝30°，∴∠PAC ＝∠PCA ，∴PA ＝PC ，∴AP ＝2PM ，故答案为：AP ＝2PM ；②解：①中的结论成立，理由如下：延长PM 至H ，是MH ＝PM ，连接AF 、CH ，∵∠BPC ＝120°，∴∠CPF ＝60°，∵PF ＝PC ，∴△PCF 为等边三角形，∴CF ＝PF ＝PC ，∠PCF ＝∠PFC ＝60°，∵△ABC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，∠ACB ＝60°＝∠PCF ，∴∠BCP ＝∠ACF ，在△BCP 和△ACF 中，BC AC BCP ACF CP CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ACF （SAS ），∴AF ＝BP ，∠AFC ＝∠BPC ＝120°，∴∠AFP ＝60°，在△CM H 和△BMP 中，CM BM CMH BMP HM PM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CM H ≌△BMP （SAS ），∴CH ＝BP ＝AF ，∠MCH ＝∠MBP ，∴CH ∥BP ，∴∠HCP +∠BPC ＝180°，∴∠HCP ＝60°＝∠AFP ，在△AFP 和△HCP 中，CH AF HCP AFP CP PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFP ≌△HCP （SAS ），∴AP＝PH＝2PM．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
初中八年级数学经典四边形习题60道(附答案)
赵老师经典四边形习题50道（附答案）1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E_ D_ C_ B _ C_ A _ B_ A _ B_ E_A_ B赵老师若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。
数学人教版八年级上册四边形内角和
11.3.2多边形的内角和知识与能力1.理解多边形内角和公式及外角和的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式。
（重点）2.灵活运用多边形的内角和与外角和进行相关的计算与证明。
（难点）过程与方法1.让学生经历猜想.探索.推理.归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力。
2.通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并有效的解决问题。
情感态度与价值观通过学生间的交流.探索，进一步激发学生学习数学的热情与求知欲望，培养良好的数学思维品质。
教学过程一、复习引入问题：你知道三角形内角和是多少度吗？1、教师提问：学生思考作答。
2、教师总结：三角形内角和等于180°。
3、引出课题：你想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和与外角和。
设计意图：回顾已学知识：三角形内角和等于180度，为后边的问题的解决作铺垫，利用学生的好奇心设疑，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与下面多边形内角和探索的活动中去。
二、探究新知（一）四边形的内角和问题：你知道任意一个四边形是多少度吗？学生展示探究成果。
分成两个三角形180°×2=360°分成四个三角形，180°×4－360°=360°分成三个三角形，180°×3－180°=360°引导学生猜想：四边形的内角和等于360°学生分小组交流与探究，进一步来论证自己的猜想。
由各小组成员汇报探索的思路和方法，讲明理由。
教师江总学生所探索出的不同方法，除测量与拼凑法外，并提出疑问：你们添加辅助线的目的是什么？说一说你的想法。
教师在学生回答的基础上小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和定理求得四边形内角和。
教师可点拨学生从正方形、长方形这两个特殊的多边形的内角和入手，进而猜测出四边形的内角和等于360°设计意图：“解放学生的手，解放学生的大脑”，鼓励学生积极参与，合作交流，用自己的语言表达解决问题的方式方法，发展学生的语言表达能力与推理能力。
专题1.2 三角形中四类重要的最值模型 专题讲练(原卷版)
专题1.2 三角形中四类重要的最值模型专题讲练三角形中重要的四类最值模型（将军饮马模型、瓜豆模型（动点轨迹）、胡不归模型、费马点模型等）在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
特殊三角形中的分类讨论则体现了另一种数学思想，希望通过本专题的讲解让大家对这两类问题有比较清晰的认识。
重要模型模型1：将军饮马模型【模型图示】将军饮马拓展型：1）点P位定点，在直线1l，2l上分别找点M，N，使PMN△周长（即MNPNPM++）最小操作：分别作点P关于直线1l，2l的对称点’P和”P，连结”’PP与直线1l，2l的交点为M，N，()”’最小值△PPCPMN=求”’P P 长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°）A ，连结’AP ，AP ，”AP ，由对称性可求A AP P ∠=∠2”’也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），”’AP AP AP ==，可得特殊等腰”’△P AP ，利用三边关系求出”’P P 2）点P ，Q 为定点，直线1l ，2l 上分别找M ，N ，使PQMN 周长（即MN PN PM PQ +++）小操作：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点’P 和’Q ，连结’’Q P 与直线1l ，2l 的交点为M ，N ，()’’最小值四边形Q P PQ C PQMN +=例1．（2022·广东·九年级专题练习）已知点(1,1)A ，(3,5)B ，在x 轴上的点C ，使得AC BC +最小，则点C 的横坐标为_______．变式1．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）如图，等边ABC D 的边长为4，点E 是AC 边的中点，点P 是ABCD 的中线AD 上的动点，则EP CP +的最小值是_____．例2．（2022·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()4,2B ，PQ 是x 轴上的一条动线段，且1PQ =，当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为______.变式2．（2022·成都市·八年级专题练习）如图，四边形ABCD 是平行四边形，4AB =，12BC =，60ABC ∠=°，点E 、F 是AD 边上的动点，且2EF =，则四边形BEFC 周长的最小值为______．例3．（2022·安徽·八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点A（－1，－2），点B（4，12），试在x轴上找一点P，使得｜PA－PB｜的值最大，求P点坐标为_________．变式3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．例4．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°变式4．（2022·安徽·合肥市八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB 上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为___．例5．（2022·湖北武汉市·八年级期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9变式5．（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知，如图，30AOB ∠=°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ a ∠=，PQN b ∠=，当MP PQ QN ++最小时，则b a -=______．模型2：瓜豆原理 （动点轨迹）【解题技巧】1）动点轨迹为直线时，利用“垂线段最短”求最值。
八年级数学下册平行四边形的判定练习题
BDCAO图1FEDCBA图2F E D CBA HG FEOAB C DOM ABCD图1FE DCB A4321图3F ED CBA H G 图2F E DCB A八年级数学下册平行四边形的判定练习题识记知识1）定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.∵ , ∴四边形ABCD 是平行四边形.2）定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.3）定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.4）定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.∵∴四边形ABCD 是平行四边形.5）定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵∴四边形ABCD 是平行四边形. 二、平行四边形性质与判定的综合应用例1： 如图， 已知：E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE=CF 。
求证：四边形BFDE 是平行四边形变式一：在□ABCD 中，E ，F 为AC 上两点，BE//DF ．求证：四边形BEDF 为平行四边形．变式二：在□ABCD 中，E,F 分别是AC 上两点，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F.求证:四边形BEDF 为平行四边形想一想：在□ABCD 中， E ，F 为AC 上两点， BE ＝DF ．那么可以证明四边形 BEDF 是平行四边形吗？例2：如图，平行四边形ABCD 中，AF ＝CH ，DE ＝BG 。
求证：EG 和HF 互相平分。
练习1、如图所示，在四边形ABCD 中，M 是BC 中点，AM 、BD 互相平分于点O ，那么请说明AM=DC 且AM ∥DC：1、以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 2、如图，在□ABCD 中，已知两条对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD >BC ，BC = 6cm ,P ,Q 分别从A ，C 同时出发，P 以1厘米/秒的速度由A 向D 运动，Q 以2厘米/秒的速度由C 向B 运动，几秒后四边形ABQP 成为平行四边形？1、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A 、一组对边相等，另一组对边平行；C 、一组对角相等，一组邻角互补；B 、一组对边平行，一组对角互补；D 、一组对角互补，另一组对角相等。
专题02 图形的旋转(七大类型)(题型专练)(解析版)
专题02 图形的旋转（七大类型）【题型1 生活中的旋转现象】【题型2 利用旋转的性质求角度】【题型3 利用旋转的性质求线段长度】【题型4 旋转中的坐标与图形变换】【题型5 作图-旋转变换】【题型6 旋转对称图形】【题型7 旋转中周期性问题】【题型1 生活中的旋转现象】1．（2023春•沭阳县月考）下列运动属于数学上的旋转的有（ ）A．钟表上的时针运动B．城市环路公共汽车C．地球绕太阳转动D．将等腰三角形沿着底边上的高对折【答案】A【解答】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项正确；B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项错误；C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项错误；D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项错误；故选：A．2．（2022秋•隆安县期中）下列运动形式属于旋转的是（ ）A．飞驰的动车B．匀速转动的摩天轮C．运动员投掷标枪D．乘坐升降电梯【答案】B【解答】解：由题意知，匀速转动的摩天轮属于旋转，故选：B．3．（2021秋•栖霞市期末）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、B、C这三个图都只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D 既可经过平移，又可经过旋转得到，故选：D．4．（2022春•诏安县期中）下列现象不是旋转的是（ ）A．传送带传送货物B．飞速转动的电风扇C．钟摆的摆动D．自行车车轮的运动【答案】A【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A【题型2 利用旋转的性质求角度】5．（2023春•肃州区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）A．30°B．60°C．90°D．150°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，即旋转角度为60°．故选：B．6．（2023春•曹县期末）如图，△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，点E落在BC边上，连接BD，当BD⊥BC时，∠ABC的度数为（ ）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝50°，∴∠ABD＝∠ADB＝＝65°，又∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝90°﹣65°＝25°，故选：B．7．（2023春•顺德区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数为（ ）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，故选：B．8．（2023春•惠安县期末）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°，得到△EBD．若点A、D、E在同一条直线上，则∠CAD的度数为（ ）A．.100°B．.90°C．.80°D．.110°【答案】A【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转80°，得到△EBD，∴∠EBA＝80°，BE＝BA，∠CAB＝∠E，∴∠E＝∠BAE＝∠CAB，∵∠CAD＝∠CAB+∠BAE，∴∠CAD＝∠BAE+∠E，∵∠EBA＝80°，∴∠E+∠BAE＝100°，即∠CAD＝100°，故选：A．9．（2023•普兰店区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）A．50°B．60°C．40°D．30°【答案】A【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°∴∠DOC＝80°﹣α∵∠A＝2∠D＝100°∴∠D＝50°∵∠C+∠D+∠DOC＝180°∴100°+50°+80°﹣α＝180°解得α＝50°故选：A．10．（2023•小店区校级一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC'∥AB，划∠BAB′的度数是（ ）A．35°B．40°C．50°D．70°【答案】B【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴∠C′AB′＝∠CAB＝70°，AC′＝AC，∴∠C＝∠AC′C＝∠C′CA＝70°，∴∠C′AC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠C′AC＝∠BAB′＝40°，即旋转角的度数是40°，故选：B．【题型3 利用旋转的性质求线段长度】11．（2023•扎兰屯市一模）如图，P为正方形ABCD内一点，PC＝1，将△CDP 绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是（ ）A．1B．C．2D．2【答案】B【解答】解：∵将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，∴∠BCD＝∠PCE＝90°，PC＝CE＝1，∴PE＝＝＝，故选：B．12．（2023春•沈河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在边AB上，则点B'与点B之间的距离为（ ）A．4B．2C．3D．【答案】B【解答】解：如图，连接BB'，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠BCB'＝∠ACA'，CB＝CB'，CA＝CA'，∵∠A＝60°，∴△ACA'是等边三角形，∠ABC＝30°，∴∠ACA'＝60°，AB＝2AC，∴∠BCB'＝60°，∴△BCB'是等边三角形，∴BB'＝BC，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BC＝＝＝2，∴BB'＝2，故选：B．13．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为边AB上一点，且，将CM绕着点M顺时针旋转使得点C落在AB延长线上的点E处，连接CE，则点M到直线CE的距离是（ ）A．2B．C．5D．【答案】D【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∵，∴BM＝3，在Rt△BMC中，由勾股定理得，CM＝＝5，∵将CM绕着点M顺时针旋转使得点C落在AB延长线上的点E处，∴CM＝CE＝5，∴BE＝2，在Rt△CBE中，由勾股定理得，CE＝＝2，设点M到直线CE的距离为h，则S＝，△MCE∴h＝，∴点M到直线CE的距离是2，故选：D．14．（2023•阿荣旗一模）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ ）A．B．C．1D．2【答案】C【解答】解：如图：OE交AB于点N，O交BC于点M，∵四边形ABCD和四边形OEFG是两个边长相等的正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BON＝∠MOC，在△OBN与△OCM中，，∴△OBN≌△OCM（ASA），∴S△OBN ＝S△OCM，∴四边形OMBN的面积等于△BOC的面积，即重合部分的面积等于正方形面积的，∴两个正方形的重合部分的面积＝，故选：C．15．（2023•凤阳县二模）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．若DF＝3，则BE的长为（ ）A．B．C．1D．2【答案】D【解答】解：∵将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．∴∠ADF＝∠ABG＝90°，AF＝AG，∠DAF＝∠GAB，∴∠ABG+∠ABE＝180°，∴点G、B、E共线，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＝∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠EAF＝∠GAE，∵AE＝AE，∴△EAF≌△EAG（SAS），∴EF＝EG，设BE＝x，则EF＝EG＝x+3，CE＝6﹣x，在Rt△ECF中，由勾股定理得，32+（6﹣x）2＝（x+3）2，解得x＝2，∴BE＝2，故选：D【题型4 旋转中的坐标与图形变换】16．（2023•沛县三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，），以原点O为中心，将点A顺时针旋转90°得到点A'，则点A'坐标为（ ）A．（1，−）B．（−，1）C．（0，2）D．（，1）【答案】D【解答】解：如图所示，过A作AB⊥x轴于B，过A'作A'C⊥x轴于C，∵∠AOA'＝90°＝∠ABO＝∠OCA'，∴∠BAO+∠AOB＝90°＝∠A'OC+∠AOB，∴∠BAO＝∠COA'，又∵AO＝OA'，∴△AOB≌△OA'C（AAS），∴A'C＝BO＝1，CO＝AB＝，∴点A′坐标为（，1），故选：D．17．（2023春•六盘水期中）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（6，﹣1），将OA绕原点按顺时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为（ ）A．（﹣6，1）B．（﹣1，﹣6）C．（﹣6，﹣1）D．（﹣1，6）【答案】B【解答】解：作BC⊥x轴于点C，∵点A的坐标为（6，﹣1），将OA绕原点顺时针方向旋转90°得OB，∴OB＝OA，∠BOC＝90°，∴点B的坐标为（﹣1，﹣6），故选：B．18．（2023•南海区校级三模）如图，A（2，0），C（0，4），将线段AC绕点A 顺时针旋转90°到AB，则B点坐标为（ ）A．（6，2）B．（2，6）C．（2，4）D．（4，2）【答案】A【解答】解：过点B作BD⊥x轴于D，∵A（2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，∵∠AHB＝∠AOC＝∠BAC＝90°，∴∠CAO+∠ACO＝90°，∠CAO+∠BAD＝90°，•∴∠ACO＝∠BAD，在△AOC和△BAD中，，∴△AOC≌△BAD（AAS），∴BD＝OA＝2，AD＝OC＝4，∴OD＝AD+OA＝6，∴C（6，2）．故答案为：A．19．（2023•商丘模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为（ ）A．（6，4）B．（4，3）C．（7，4）D．（8，6）【答案】C【解答】解：过A′作A'C⊥x轴于点C，由旋转可得∠O'＝90°，O'B⊥x轴，∴四边形O'BCA'为矩形，∴BC＝A'O'＝OA＝3，A'C＝O'B＝OB＝4，∴OC＝OB+BC＝7，∴点A'坐标为（7，4）．故选：C．20．（2023•柘城县模拟）如图，平面直角坐标系中，A为第一象限一点，B（2，0），∠OBA＝120°，OB＝AB，将△OAB绕O点逆时针旋转30°，此时点A 的对应点A1的坐标为（ ）A．（3，）B．（，3）C．（2，2）D．（2，2）【答案】B【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点A1作A1H⊥OB于H．∵B（2，0），∠OBA＝120°，OB＝AB，∴∠AOB＝30°，∠ABD＝60°，AB＝OB＝2，∴AD＝AB＝，∴OA＝2AD＝2，∵OA1＝OA＝2，∴△OAB绕点O逆时针旋转30°得到△OA1B1，则∠A1OH＝60°，∴OH＝OA1＝，A1H＝OH＝3，∴点A1的坐标是（，3），故选：B．21．（2023•大冶市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（﹣2，4），AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C的坐标是（ ）A．（4，3）B．（4，4）C．（5，3）D．（5，4）【答案】C【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．∵A（1，0），B（﹣2，4），∴OA＝1，BE＝4，OE＝2，AE＝3，∵∠AEB＝∠AFC＝∠BAC＝90°，∴∠B+∠BAE＝90°，∠BAE+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∵AB＝AC，∴△BEA≌△AFC（AAS），∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝4，OF＝1+4＝5，∴C（5，3），故选：C．【题型5 作图-旋转变换】22．（2023•蜀山区校级三模）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）见解答；（2）见解答；（3）见解答．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；（3）如图所示，P即为所求．23．（2023•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点），直线l也经过格点．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；（2）将线段AB绕点A′顺时针旋转90°得到线段DE，画出线段DE．【答案】（1）见解答．（2）见解答．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求.（2）如图，线段DE即为所求．24．（2023春•崂山区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图，网格中小正方形边长为1，点A坐标为（1，2），请解答下列问题：（1）作出△ABC绕点O的逆时针旋转90°得到的△A1B1C1；（2）计算△A1B1C1的面积．【答案】（1）见解析；【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1的面积＝4×2﹣＝．25．（2022秋•雄县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2）．（1）△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，请在图中画出△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点A1逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．【答案】（1）图见解析，C1的坐标为（4，1）；（2）图见解析，点C2的坐标为（2，﹣5）．【解答】解：（1）△A1B1C1如图，点C1的坐标为（4，1）；（2）解：△A2B2C2如图；点C2的坐标为（2，﹣5）．【题型6 旋转对称图形】26．（2023•东方校级二模）将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）A．B．【答案】C【解答】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，∴作图正确的是C选项图形．故选：C．27．（2023•宁江区三模）下列图形绕某点旋转90°后，能与原来图形重合的是（ ）A．B．【答案】B【解答】解：A、绕它的中心旋转60°才能与原图形重合，故本选项不合题意；B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项符合题意；C、绕它的中心旋转180°能与原图形重合，故本选项不合题意；D、绕它的中心旋转120°能与原图形重合，故本选项不合题意．故选：B．35．（2023•海安市模拟）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（ ）A．45B．60C．72D．144【答案】C【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．28．（2023•南关区校级三模）如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）平方厘米．A．2B．4C．6D．8【答案】B【解答】解：∵三个叶片的总面积为12平方厘米，∴一个叶片的总面积为4平方厘米，∵∠AOB＝120°，∴阴影部分的面积之和一个叶片的总面积为4平方厘米，故选：B．29．（2022春•丰县月考）如图，以点O为旋转中心旋转如图所示的图形，若旋转后的图形与原图形重合，是旋转角可以为（ ）A．60°B．180°C．90°D．120°【答案】D【解答】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点，即可得到∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，所以旋转120°或240°后与原图形重合．故选：D．30．（2021春•子洲县期中）将图绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角不能是（ ）A．90°B．120°C．180°D．270°【答案】B【解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转90°所组成，故最小旋转角为90°．则该图形绕其中心旋转90°n（n取1，2，3…）后会与原图形重合．故这个角不能是120°．故选：B．31．（2022秋•澄海区期末）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 72 度时，旋转后的五角星能与自身重合．【答案】见试题解答内容【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为72°．故答案为：72．【题型7 旋转中周期性问题】32．（2023•渠县校级模拟）如图，正方形OABC的顶点A，C在坐标轴上，将正方形绕点O第1次逆时针旋转45°得到正方形OA1B1C1，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形OA2023B2023C2023．若点A的坐标为（1，0），则点B2023的坐标为（ ）A．（1，﹣1）B．C．D．（﹣1，1）【答案】C【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，∵四边形OABC是正方形，∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，∴B（1，1），连接OB，如图：由勾股定理得：，由旋转的性质得：，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴，B 2（﹣1，1），，B4（﹣1，﹣1），，B 6（1，﹣1），…，发现是8次一循环，则2023÷8＝252…7，∴点B2023的坐标为；故选：C．33．（2023春•中原区校级期中）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．故选：B．34．（2023•叶县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x 轴上，点B（3，0），点D（1，2），将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，每次旋转90°，当第2023次旋转结束时，点C的坐标是（ ）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）【答案】D【解答】解：由题可知，将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，∴每旋转4次则回到原位置，∵2023÷4＝505……3，∴第2023次旋转结束后，图形顺时针旋转了90°，∵点B（3，0），点D（1，2），∴C（3，2），∴第2023次旋转结束时，点C的坐标是（3，﹣2），故选：D．35．（2023春•迁安市期中）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，第一次旋转时：过点A′作x轴的垂线，垂足为C，如图所示：由A的坐标为可知：，AB＝3，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝60°，，由旋转性质可知：△AOB≌△A′OB′，∴∠A′OB′＝∠AOB＝60°，OA′＝OA，∴∠A′OC＝180°﹣∠A′OB′﹣∠AOB＝60°，在△A′OC与△AOB中：，∴△A′OC′≌△AOB（AAS），∴，A′C＝AB＝3，∴此时点A′对应坐标为，当第二次旋转时，如所示：此时A′点对应点的坐标为．当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为，当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A′点对应点中心对称，故坐标为，当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A′点对应点中心对称，故坐标为．第6次旋转时，与A点重合．故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、．由于2023÷6＝337⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，故第2023次旋转时，A点的对应点为．故选：D．36．（2023•太康县一模）如图，平面直角坐标系中，有一个矩形ABOC，边BO 在x轴上，边OC在y轴上，AB＝1，BO＝2．将矩形ABOC绕着点O顺时针旋转90度，得到矩形A1B1OC1，再将矩形A1B1OC1，绕着点C1顺时针旋转90°得到矩形A2B2O1C1，依次旋转下去，则经过第2023次旋转，点A的对应点的坐标是（ ）A．（3033，1）B．（3033，2）C．（3033，0）D．（3032，0）【答案】C【解答】解：由题意，A1（1，2），A2（3，0），A3（3，0），A4（4，1），……，四次应该循环，∵2023÷4＝505…3，∴A2023在x轴上，坐标为（505×6+3，0），即（3033，0）．故选：C．37．（2023•鲁山县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B在第一象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转后，点B的坐标为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图，过点B作BH⊥y轴于H，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠BAH＝180°﹣120°＝60°，AB＝OA＝2，∴∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝1，OH＝OA+AH＝3，由勾股定理得BH＝＝，∵AB＝OA＝2，∠OAB＝120°，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2BH＝2，∴B（，3），B1（﹣，3），B2（﹣2，0），B3（﹣，﹣3），B4（，﹣3），B5（2，0），....，6次一个循环，∴2023÷6＝337……1，∴第2023次旋转后，点B的坐标为（﹣，3）．故选：D．38．（2023•阜新模拟）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转2024次后，点P的坐标为（ ）A．（6070，2）B．（6072，2）C．（6073，2）D．（6074，1）【答案】C【解答】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2024÷4＝506，P2024的纵坐标与P4相同为2，横坐标为1+12×506＝6073，∴P2024（6073，2）．故选：C．。
2019-2021北京初二(下)期中数学汇编：四边形章节综合3
2019-2021北京初二（下）期中数学汇编四边形章节综合3一、解答题1．（2021·北京市文汇中学八年级期中）如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF．2．（2019·北京五十五中八年级期中）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．（1）若∠DBC=25°，求∠ADC′的度数；（2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积．3．（2019·北京市第三十一中学八年级期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF4．（2019·北京五十五中八年级期中）已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．5．（2020·北京铁路二中八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的三等分点．求证：四边形AFCE是平行四边形．6．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）已知，如图，E、F分别为□ABCD的边BC、AD上的点，且∠1=∠2，求证：AE=CF．7．（2021·北京广渠门中学教育集团八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长．8．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF 与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．9．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB 于点H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.10．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB 的延长线于点F．求证：AB=BF．11．（2019·北京·海淀教师进修学校附属实验学校八年级期中）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．12．（2019·北京市第四十一中学八年级期中）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF//BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．（1）求证：DE=BF；（2）求证：四边形MFNE是平行四边形．13．（2019·北京市第三十一中学八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将长方形ABCD沿CE 折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积．14．（2019·北京市第一六一中学八年级期中）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．15．（2019·北京市第四十一中学八年级期中）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE=BF，求证：AF⊥DE．16．（2020·北京市文汇中学八年级期中）阅读下列材料∶问题：如图1，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G．使得∠EGB=∠EAB，连接AG．求证∶EG=AG+BG．小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交CE于点H，构造全等三角形，经过推理解决问题．参考小明同学的思路，探究并解决下列问题∶(1)完成上面问题中的证明；(2)如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变(如图2)，请探究线段EC、AG、BG 之间的数量关系，并证明你的结论．解∶线段EG、AG、BG之间的数量关系为___________________________________________________．并证明．17．（2020·北京·北外附中八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，DB=DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．（1）求证：AE=EF；（2）当AF=AE时，设∠ADB=α，∠CDB=β，求α，β之间的数量关系式．18．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF．猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明．19．（2020·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，点E是平行四边形ABCD边CD上的中点，AE、BC 的延长线交于点F，连接DF，求证：四边形ACFD为平行四边形20．（2020·北京市文汇中学八年级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF=CD；23（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA=60°，BE=，求平行四边形ABCD的周长．21．（2020·北京市顺义区第五中学八年级期中）已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．22．（2020·北京·北外附中八年级期中）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE求证：四边形BECD是矩形．23．（2021·北京·北大附中八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的角平分线．求证：四边形DEBF是平行四边形．24．（2021·北京师范大学昌平附属学校八年级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．25．（2021·北京广渠门中学教育集团八年级期中）如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．⑴请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；并要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹）；⑵三种方法所拼得的平行四边形的面积和周长是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积和周长各是多少．26．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．(1)求证：四边形DBEC是菱形；(2)若AD＝3，DF＝1，求四边形DBEC面积．27．（2019·北京十五中八年级期中）把一个含45°角的直角三角板BEF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B 重合，联结DF ，点M ，N 分别为DF ，EF 的中点，联结MA ，MN ．（1）如图1，点E ，F 分别在正方形的边CB ，AB 上，请判断MA ，MN 的数量关系和位置关系，直接写出结论； （2）如图2，点E ，F 分别在正方形的边CB ，AB 的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．28．（2019·北京四中八年级期中）在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F（1）在图1中证明CE =CF ；（2）若∠ABC =90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC =120°，FG CE ，FG =CE ，分别连接DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．∥29．（2020·北京铁路二中八年级期中）对于正数，用符号表示的整数部分，例如：，，x [x]x [0.1]=0[2.5]=2．点在第一象限内，以A 为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直. 其中垂直于轴[3]=3A(a,b)y 的边长为，垂直于轴的边长为，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点A 的矩形域．例如：点的矩形域a x [b]+1(3,32)是一个以为对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6． (3,32)图1图2根据上面的定义，回答下列问题： （1）在图2所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是 ；(2,72)（2）点的矩形域重叠部分面积为1，求的值；P(2，72)，Q(a ，72)(a >0)a （3）已知点在直线上， 且点B 的矩形域的面积满足，那么的取值范围B(m, n)(m >0)y =x +1S 4<S <5m 是 ．（直接写出结果）30．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，在正方形ABCD 中，点M 在CD 边上，点N 在正方形ABCD 外部，且满足∠CMN ＝90°，CM ＝MN ．连接AN ，CN ，取AN 的中点E ，连接BE ，AC ，交于F 点．（1）①依题意补全图形；②求证：BE ⊥AC ．（2）请探究线段BE ，AD ，CN 所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设AB ＝1，若点M 沿着线段CD 从点C 运动到点D ，则在该运动过程中，线段EN 所扫过的面积为______________（直接写出答案）．参考答案1．详见解析【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出DE=BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE=DF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决问题的关键．2．(1) 40° （2）10【分析】（1）求出∠ADB，求出∠BDC，根据折叠求出∠C′DB，代入∠ADC′=∠BDC′-∠ADB即可；（2）先证BE=DE，然后设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC=25°，∴∠BDC=90°-25°=65°，∵沿BD折叠C和C′重合，∴∠C′DB=∠CDB=65°，∴∠ADC′=∠BDC′-∠BDA=65°-25°=40°；（2）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8-x）2=x2，解得：x =5，所以S △BDE =DE ×AB =×5×4=10．12123．详见解析【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE ≌△CDF ，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF ．【详解】证：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠B=∠D ，又∵BE=DF ，∴△ABE ≌△CDF ，∴AE=CF. （其他证法也可）4．证明见解析【分析】根据矩形的对边相等可得AB =CD ，四个角都是直角可得∠A =∠C =90°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△CDF 全等，【详解】证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴，．AB =CD ∠A =∠C =90°∵在和中， △ABE △CDF ， {AE =CF ∠A =∠C AB =CD∴，△ABE≌△CDF ∴．BE =DF 【点睛】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，掌握矩形的对边相等的性质、四个角都是直角是解题的关键． 5．证明见解析．【分析】根据题意与平行四边形的性质得∠ADB =∠DBC ，DA =BC ，DE =BF ，则△ADE ≌△CBF ，所以AE =CF ，同理可证得AF =CE ，故可得四边形AFCE 是平行四边形．【详解】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADB =∠DBC ，DA =BC ，∵E ，F 为BD 的三等分点，∴DE =BF ，在△ADE 和△CBF 中，， {DA =BC ∠ADE =∠CBF DE =BF∴△ADE ≌△CBF （SAS ），∴AE =CF ，同理△CDE ≌△ABF ，∴AF =CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解此题的关键在于灵活运用平行四边形的性质来证明三角形全等，再利用全等三角形的性质证明已知四边形为平行四边形．6．详见解析【分析】通过证明三角形全等求得两线段相等即可．【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形∴∠B =∠D ，AB =CD∵∠1=∠2，∠B =∠D ，AB =CD∴△ABE ≌△CDF∴AE =CF ．【点睛】本题主要考查平行四边形性质与全等三角形，解题关键在于找到全等三角形.7．FC =32【分析】根据翻转前后，图形的对应边和对应角相等，可知EF =BF ，AB =AE ，故可求出DE 的长，然后设出FC 的长，则EF =4-FC ，再根据勾股定理的知识，即可求出答案．【详解】解：由题意，得AE =AB =5，AD =BC =4，EF =BF ，在Rt △ADE 中，由勾股定理，得DE =3．在矩形ABCD 中，DC =AB =5．∴CE =DC -DE =2．设FC =x ，则EF =4-x ．在Rt △CEF 中，x 2+22=（4-x ）2．解得x ＝．32即FC =．32【点睛】本题考查了翻转变换的知识，属于基础题，注意掌握图形翻转前后对应边和对应角相等．8．（1）见解析；（2）EF =2【分析】（1）由四边形ABCD 是菱形，可得AB ∥CD ，OA =OC ，继而证得△AOE ≌△COF ，则可证得结论．（2）利用平行四边形的判定和性质解答即可．（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AO =CO ，AB ∥CD ，∴∠EAO =∠FCO ，∠AEO =∠CFO ．在△OAE 和△OCF 中，∠EAO =∠FCO ，AO =CO ，∠AEO =∠CFO ，∴△AOE ≌△COF ，∴AE =CF ；（2）∵E 是AB 中点，∴BE =AE =CF ．∵BE ∥CF ，∴四边形BEFC 是平行四边形，∵AB =2，∴EF =BC =AB =2．【点睛】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 9．证明见解析.【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD =OB ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH =OB ，然后根据等边对等角求出∠OHB =∠OBH ，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH =∠ODC ，然后根据等角的余角相等证明即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，∠COD =90°，∵DH ⊥AB ，∴OH =BD =OB ，12∴∠OHB =∠OBH ，又∵AB ∥CD ，∴∠OBH =∠ODC ，在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO =90°，在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB =90°，∴∠DHO =∠DCO ．10．见解析【分析】由平行四边形的性质知AB=CD ，再有中点定义得CE=BE ，从而可以由ASA 定理证明△CED △BEF ，则≌CD=BF ，故AB=BF ．证明：∵E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∴∠DCB=∠FBE ，在△CED 和△BEF 中，， {∠DCB =∠FBE CE =BE ∠CED =∠BEF∴△CED △BEF （ASA ），≌∴CD=BF ，∴AB=BF ．【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理．11．见解析【分析】根据条件可以得出AD =AB ，∠ABF =∠ADE =90°，从而可以得出△ABF ≌△ADE ，就可以得出∠FAB =∠EAD ，就可以得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠ABC =∠D =∠BAD =90°，∴∠ABF =90°．∵在△BAF 和△DAE 中， ， {AB ＝AD ∠ABF ＝∠ADE BF ＝DE∴△BAF ≌△DAE （SAS ），∴∠FAB =∠EAD ，∵∠EAD +∠BAE =90°，∴∠FAB +∠BAE =90°，∴∠FAE =90°，∴EA ⊥AF ．12．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BFDE 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFCE 是平行四边形，从而得AF ∥CE ，再根据四边形BFDE 是平行四边形，从而可得DF ∥BE ，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ，∵DF ∥BE ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE =BF ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD //BC 且AD =BC ，∵DE =BF ，∴AD -DE =BC -BF ，即AE =CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴AF ∥CE ，∵四边形BFDE 是平行四边形，∴DF //BE ，∴四边形MFNE 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键．13．（1）EF =3；（2）梯形ABCE 的面积为39．【详解】试题分析：（1）根据折叠的性质，折叠前后边相等，即 得： 在CF =CD ，DE =EF ，AE =AD−EF ，Rt △ACD 中，根据勾股定理，可将的长求出，知的长，可求出的长，在中，根据，可将AC CF AF Rt △AEF AE 2=EF 2+AF 2EF 的长求出；（2）根据S 梯形=，将各边的长代入进行求解即可． (AE +BC )×AB 2试题解析：(1)设EF =x 依题意知：△CDE ≌△CFE ，∴DE =EF =x ，CF =CD =6.∵在中,Rt △ACD AC =62+82=10，∴AF =AC −CF =4，AE =AD −DE =8−x .在中,有Rt △AEF AE 2=EF 2+AF 2即(8−x)2=42+x 2解得x =3，即：EF =3.(2)由(1)知：AE =8−3=5，梯形ABCE 的面积S =(AE +BC )×AB 2=(5+8)×62=39.14．（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．【详解】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．【点睛】本题考查作图—应用与设计作图．15．见解析【分析】由题意先证明△ADE≌△BAF，得出∠EDA=∠FAB，再根据∠ADE+∠AED=90°，推得∠FAE+∠AED=90°，从而证出AF⊥DE．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴DA=AB，∠DAE=∠ABF=90°，又∵AE=BF，∴△DAE≌△ABF，∴∠ADE=∠BAF，∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FAE+∠AED=90°，∴∠AGE=90°，∴AF⊥DE．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形的判定定理．216．（1）详见解析；（2）EG+BG=AG，证明详见解析．【分析】（1）作∠GAH=∠EAB交GE于点H，证△ABG≌△AEH，再证ΔACH是等边三角形，得AG=HG，EG=AG+BG；（2）作∠GAH =∠EAB 交GE 的延长线于点H ，则∠GAB =∠HAE ，证ΔABG ≌ΔAEH ，得BG =EH ，AG =AH ，再证ΔAGH 是等腰直角三角形，可得AG =HG ．故EG +BG =AG ．22【详解】(1)证明：如图1，作∠GAH =∠EAB 交GE 于点H ，则∠GAB =∠HAE ．∵∠EAB =∠EGB ，∠AOE =∠BOF ，∴∠ABG =∠AEH在ΔABG 和ΔAEH 中{∠GAB =∠HAE AB =AE ∠ABG =∠AEH所以△ABG ≌△AEH （ASA ）∴BG =EH ，AG =AH∵∠GAH =∠EAB =60°∴ΔAGH 是等边三角形∴AG =HG ． ∴EG =AG +BG(2)EG +BG =AG2证明：如图2，作∠GAH =∠EAB 交GE 的延长线于点H ，则∠GAB =∠HAE∵∠EGB =∠EAB =90°∴∠ABG +∠AEG =∠AEG +∠AEH =180°∴∠ABG =∠AEH ．在ΔABG 和ΔAEH 中{∠HAE =∠GAB AB =AE ∠AEH =∠ABG∴ΔABG ≌ΔAEH （ASA ）∴BG =EH ，AG =AH∵∠GAH =∠EAB =90°∴ΔAGH 是等腰直角三角形 ∴AG =HG2∴EG +BG =AG2【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．17．（1）见解析；（2）α，β之间的数量关系式为2α+β=60°．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到EF=CD ，根据直角三角形的性质得到AE=BD ，于是得到结论； 1212（2）根据题意得到△AEF 是等边三角形，求得∠AEF=60°，根据三角形中位线的性质和三角形外角的性质即可得到结论．【详解】（1）∵点E 、F 分别为DB 、BC 的中点，∴EF=CD ，12∵∠DAB=90°，∴AE=BD ，12∵DB=DC ，∴AE=EF ；（2）∵AF=AE ，AE=EF ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF=60°，∵∠DAB=90°，点E 、F 分别为DB 、BC 的中点，∴AE=DE ，EF ∥CD ，∴∠ADE=∠DAE=α，∠BEF=∠BDC=β，∴∠AEB=2∠ADE=2α，∴∠AEF=∠AEB+∠FEB=2α+β=60°，∴α，β之间的数量关系式为2α+β=60°．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．（1）作图见解析；（2）菱形，证明见解析【详解】解：（1）如图所示，（2）四边形AECF 的形状为菱形．理由如下：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵AM 平分∠DAC ，∴∠DAM=∠CAM ，而∠DAC=∠ABC+∠ACB ，∴∠CAM=∠ACB ，∴EF 垂直平分AC ，∴OA=OC ，∠AOF=∠COE ，在△AOF 和△COE 中，， {∠FAO =∠ECO OA =OC ∠AOF =∠COE∴△AOF ≌△COE ，∴OF=OE ，即AC 和EF 互相垂直平分，∴四边形AECF 的形状为菱形．【点睛】本题考查①作图—复杂作图；②角平分线的性质；③线段垂直平分线的性质．19．证明见解析.【分析】根据平行四边形的性质证出∠ADC=∠FCD ，然后再证明△ADE ≌△FCE 可得AD=FC ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论【详解】证明：∵在▱ABCD 中，AD ∥BF ．∴∠ADC=∠FCD ．∵E 为CD 的中点，∴DE=CE ．在△ADE 和△FCE 中，， {∠AED =∠FEC∠ADE =∠FCE DE =CE∴△ADE ≌△FCE （ASA ）∴AD=FC ．又∵AD ∥FC ，∴四边形ACFD 是平行四边形．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行．20．（1）证明见解析；（2）12【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAF =∠BFA ，即可得出AB =BF ；（2）由题意可证△ABF 为等边三角形，点E 是AF 的中点. 可求EF 、BF 的值，即可得解．【详解】解：（1）证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB =CD ，∠FAD =∠AFB又∵ AF 平分∠BAD ，∴ ∠FAD =∠FAB∴ ∠AFB =∠FAB∴ AB =BF∴ BF =CD（2）解：由题意可证△ABF 为等边三角形，点E 是AF 的中点在Rt △BEF 中，∠BFA =60°，BE =，23可求EF =2，BF =4∴ 平行四边形ABCD 的周长为1221．证明见解析．【分析】利用SAS 证明△AEB ≌△CFD ，再根据全等三角形的对应边相等即可得．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB //DC ，AB =DC ，∴∠BAE =∠DCF ，在△AEB 和△CFD 中，， {AB =CD ∠BAE =∠DCF AE =CF∴△AEB ≌△CFD （SAS ），∴BE =DF ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．22．见解析【分析】根据已知条件易推知四边形BECD 是平行四边形．结合等腰△ABC “三线合一”的性质证得BD ⊥AC ，即∠BDC =90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD 是矩形．【详解】证明：∵AB =BC ，BD 平分∠ABC ，∴BD ⊥AC ，AD =CD ．∵四边形ABED 是平行四边形，∴，BE =AD ，BE//AC ∴BE =CD ，∴四边形BECD 是平行四边形．∵BD ⊥AC ，∴∠BDC =90°，∴▱BECD 是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．23．见解析．【分析】根据题意利用平行四边形的性质求出∠ABF ＝∠AED ，即DE ∥BF ，即可解答【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ADC ＝∠ABC ．又∵DE ，BF 分别是∠ADC ，∠ABC 的平分线，∴∠ABF ＝∠CDE ．又∵∠CDE ＝∠AED ，∴∠ABF ＝∠AED ，∴DE ∥BF ，∵DE ∥BF ，DF ∥BE ，∴四边形DEBF 是平行四边形.【点睛】此题考查平行四边形的性质和判定，利用好角平分线的性质是解题关键24．（1）证明见解析；（2）．23【分析】（1）由平行四边形的判定得出四边形OCED 是平行四边形，根据矩形的性质求出OC =OD ，根据菱形的判定得出即可．（2）解直角三角形求出BC =2，AB =DC =2，连接OE ，交CD 于点F ，根据菱形的性质得出F 为CD 中点，求出3OF =BC =1，求出OE =2OF =2，求出菱形的面积即可．12【详解】证明：，，(1)∵CE //OD DE //OC 四边形OCED 是平行四边形，∴矩形ABCD ，∵，，，∴AC =BD OC =12AC OD =12BD ，∴OC =OD 平行四边形OCED 是菱形；∴在矩形ABCD 中，，，，(2)∠ABC =90∘∠BAC =30∘AC =4，∴BC =2，∴AB =DC =23连接OE ，交CD 于点F ，四边形OCED 为菱形，∵为CD 中点，∴F 为BD 中点， ∵O ，∴OF =12BC =1，∴OE =2OF =2．∴S 菱形OCED =12×OE ×CD =12×2×23=23【点睛】 本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．25．（1）如图所示见解析；（2）面积均为12，周长分别为：8+6，8+2.210，210+62【分析】（1）用边长为1、3的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为3的两侧拼上边长都为3的直角三角形；用边长都为3的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为3的两侧拼上边长都为3、1的直角三角形；以四个直角三角形的直角边拼出对角线为4的平行四边形即可；（2）每个平行四边形的面积都等于四个直角三角形的面积之和，为定值，周长不是定值．【详解】（1）3种拼法；（2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是定值，这个定值==12；三种方法所拼得的平2×(12×3×3+12×1×3)行四边形的周长不是定值，它们的周长分别是8+6，8+2．210，210+62【点睛】本题考查了四边形综合题，其中涉及到了平行四边形的判定与性质，平行四边形的面积，灵活掌握平行四边形与三角形之间关系是解题的难点．26．(1)见解析；(2)42【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC 为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD =BD ，得证；（2）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB 边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．【详解】（1）证明：∵CE ∥DB ，BE ∥DC ，∴四边形DBEC 为平行四边形．又∵Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 是AC 的中点，∴CD =BD =AC ，12∴平行四边形DBEC 是菱形；（2）∵点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，AD =3，DF =1，∴DF 是△ABC 的中位线，AC =2AD =6，S △BCD =S △ABC12∴BC =2DF =2．又∵∠ABC =90°，∴AB = = = 4．AC 2−BC 262−222∵平行四边形DBEC 是菱形，∴S 四边形DBEC =2S △BCD =S △ABC =AB •BC =×4×2=4． 121222【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理.由点D 是AC 的中点，得到CD =BD 是解答（1）的关键，由菱形的性质和三角形的面积公式得到S 四边形DBEC =S △ABC 是解（2）的关键.27．（1）MA=MN ，MA ⊥MN ；（2）成立，理由详见解析【详解】（1）解：连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD=AB=BC ，∠DAB=∠DCE=90°，∵点M 是DF 的中点，∴AM=DF ．12∵△BEF 是等腰直角三角形，∴AF=CE ，在△ADF 与△CDE 中，， {AB =CD∠DAF =∠DCE AF =CE∴△ADF ≌△CDE （SAS ），∴DE=DF ．∵点M ，N 分别为DF ，EF 的中点，∴MN 是△EFD 的中位线，∴MN=DE ，12∴AM=MN ；∵MN 是△EFD 的中位线，∴MN ∥DE ，∴∠FMN=∠FDE ．∵AM=MD ，∴∠MAD=∠ADM ，∵∠AMF 是△ADM 的外角，∴∠AMF=2∠ADM ．∵△ADF ≌△CDE ，∴∠ADM=∠CDE ，∴∠ADM+∠CDE+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，∴MA ⊥MN ．∴MA=MN ，MA ⊥MN ．（2）成立．理由：连接DE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．在Rt △ADF 中，∵点M 是DF 的中点，∴MA=DF=MD=MF ，12∴∠1=∠3．∵点N 是EF 的中点，∴MN 是△DEF 的中位线，∴MN=DE ，MN ∥DE ．12∵△BEF 是等腰直角三角形，∴BF=BF ，∠EBF=90°．∵点E 、F 分别在正方形CB 、AB 的延长线上，∴AB+BF=CB+BE ，即AF=CE ．在△ADF 与△CDE 中， {AD =CD∠DAF =∠DCE AF =DE∴△ADF ≌△CDE ，∴DF=DE ，∠1=∠2，∴MA=MN ，∠2=∠3．∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，∴∠3+∠5=90°，∴∠6=180°﹣（∠3+∠5）=90°，∴∠7=∠6=90°，MA ⊥MN ．28．(1)见解析；(2)45°；(3)见解析【分析】（1）根据AF 平分∠BAD ，可得∠BAF =∠DAF ，利用四边形ABCD 是平行四边形，求证∠CEF =∠F 即可; （2）根据∠ABC =90°，G 是EF 的中点可直接求得；（3）分别连接GB 、GC ，求证四边形CEGF 是平行四边形，再求证△ECG 是等边三角形,由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE =∠AEB ，求证△BEG ≌△DCG ，然后即可求得答案．【详解】（1）证明：如图1，∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF =∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ，AB CD ，∥∥∴∠DAF =∠CEF ，∠BAF =∠F ，∴∠CEF =∠F ．∴CE =CF ．（2）解：连接GC 、BG ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC =90°，∴四边形ABCD 为矩形，∵AF 平分∠BAD ，∴∠DAF =∠BAF =45°，∵∠DCB =90°，DF ∥AB ，∴∠DFA =45°，∠ECF =90°∴△ECF 为等腰直角三角形，∵G 为EF 中点，∴EG =CG =FG ，CG ⊥EF ，∵△ABE 为等腰直角三角形，AB =DC ，∴BE =DC ，∵∠CEF =∠GCF =45°，∴∠BEG =∠DCG =135°在△BEG 与△DCG 中，∵，{EG =CG∠BEG =∠DCG BE =DC ∴△BEG ≌△DCG ，∴BG =DG ，∵CG ⊥EF ，∴∠DGC +∠DGA =90°，又∵∠DGC =∠BGA ，∴∠BGA +∠DGA =90°，∴△DGB 为等腰直角三角形，∴∠BDG =45°．（3）解：延长AB 、FG 交于H ，连接HD ．∵AD GF ，AB DF ，∥∥∴四边形AHFD 为平行四边形∵∠ABC =120°，AF 平分∠BAD∴∠DAF =30°，∠ADC =120°，∠DFA =30°∴△DAF 为等腰三角形∴AD =DF ，∴CE =CF ，∴平行四边形AHFD 为菱形∴△ADH ，△DHF 为全等的等边三角形∴DH =DF ，∠BHD =∠GFD =60°∵FG =CE ，CE =CF ，CF =BH ，∴BH =GF在△BHD 与△GFD 中，∵ ， {DH =DF ∠BHD =∠GFD BH =GF∴△BHD ≌△GFD ，∴∠BDH =∠GDF∴∠BDG =∠BDH +∠HDG =∠GDF +∠HDG =60°.【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．29．（1）8；（2）所以的值为或；（3）a 5611243< m <53【分析】（1）点（2，）的矩形域的定义，求出矩形边长分别为2，4，画出图形即可解决问题；72（2）分两种情形，重叠部分在（1）中矩形的左边或右边，分别构建方程即可解决问题；（3）利用特殊值法．推出平行于y 轴的矩形的边长为3，由此即可解决问题；【详解】解：（1）根据题意可得：点矩形域为，长为4，宽为2，(2,72)点的矩形域如图所示， (2,72)该该矩形域的面积是8；故答案为：8；（2）如图所示，因为点的矩形域重叠部分面积为1，且平行于轴的边长均为4， P (2，72)，Q (a ，72)(a >0)y 所以点的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于轴的边长为4，平行于轴的边长为. P (2，72)，Q (a ，72)(a >0)y x 14①当时，，解得；0<a <2a +a 2=1+14a =56②当时，，解得. a >2a−a 2=3−14a =112所以的值为或.a 56112（3）当m =1时，S =3，当m =2时，S =8，∵4＜S ＜5，∴1＜m ＜2，∴平行于y 轴的矩形的边长为3，∴平行于x 轴的矩形的边长m 的范围为43< m <53。
2024八年级数学上册期末复习3二次根式3常考题型专练习题课件新版北师大版
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类型3利用 ≥0求最值
6. 当 x 取何值时， + ＋3的值最小？最小值是多少？
解：∵ + ≥0，∴当 + ＝0，即当 x ＝－
时， + ＋3的值最小，最小值是3.
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类型4利用二次根式的非负性解决代数式化简求值问题
7. 等式 ( − ) ＋ ( − ) ＝ − － − ＝0恒成
所以 − － − + ＝ − － ( − ) ＝
− － − ＝ y －3－ y ＋1＝－2.
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类型2利用 ≥0求代数式的值或平方根
4. [2024十堰实验中学月考]若 ＋ + ＋｜2 a － b ＋1｜
＝0，则( b － a )2 024等于(
当 b ＝3时，此式的值最大，即 S 最大，最大值为 ＝
2 .
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有意义，
∴ m －4≥0，即 m ≥4.
当 m ≥4时， ( − ) ＋ ( − ) ＝( m －3)＋( m －
4)＝2 m －7.
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题型3利用二次根式的性质进行计算
4. (1)设 ＝ a ， ＝ b ，试用含 a ， b 的代数式表示
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解：(1) ＝6 ＝6
立，且 x ， y ， a 互不相等，求
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04平行四边形(基础题)-【人教版期末真题精选】广西2022-2023八年级数学下学期期末复习专练
04平行四边形（基础题） -【人教版期末真题精选】广西2022-2023八年级数学下学期期末复习专练一、单选题1．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）．A．两组对边分别平行B．一组对边平行，另一组对边相等C．一组对边平行且相等D．两组对边分别相等2．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．A．对角互补B．邻角互补C．对角相等D．对边相等. 3．（2022春·广西南宁·八年级统考期末）如图，将□ABCD中，AB=3，BC=4，则□ABCD 的周长（ ）A．6B．7C．12D．14 4．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且互相平分，则图中全等三角形的对数是（）A．1B．2C．3D．45．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图在□ABCD中，已知AC=5cm，若△ACD 的周长为16cm，则□ABCD的周长为（ ）A ．22cmB ．23cmC ．24cmD ．25cm6．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，G ，H 分别是对角线BD ，AC 的中点，若5HF =，则EG 的长为（ ）A ．10B ．2.5C ．5D ．3.57．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD 的周长为80，BOC V 的周长比AOB V 的周长多20，则BC 长为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30二、填空题8．（2022春·广西贵港·八年级统考期末）在ABC V 中，D 、E 分别为AB 和AC 中点，若6BC =，则DE 的长为___________．9．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）点D 、E 、F 分别是ABC V 三边的中点，若DEF V 的周长是16．则ABC V 的周长是______．10．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，若ABCD Y 的周长为72cm ，过点D 分别作,AB BC 边上的高,DE DF ，且8cm,10cm DE DF ==，则ABCD Y 的面积为___________．11．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC BC ，，分别取AC BC ，的中点D ，E ，测得30m DE =，则AB 的长是___________m ．12．（2022春·广西贺州·八年级统考期末）如图，点D ，E ，F 分别为ABC V 三边的中点．若ABC V 的周长为10，则DEF V 的周长为______．三、解答题13．（2022春·广西桂林·八年级统考期末）已知四边形,,ABCD CD AC AB AC ⊥⊥，垂足分别为C 、A ，AD BC =．(1)求证：Rt ACD Rt CAB △≌△．(2)求证：四边形ABCD 是平行四边形．14．（2022春·广西崇左·八年级统考期末）已知：如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE CF =，DF BE =，DF BE ∥．(1)求证：AFD CEB △≌△．(2)求证：四边形ABCD 是平行四边形．15．（2022春·广西河池·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AC BD ⊥，垂足为O ，过点D 作BD 的垂线交BC 的延长线于点E ．(1)求证：四边形ACED 是平行四边形．(2)若4AC =， 1.5AD =，34BD DE =，求BC 的长．18．（2022·广西百色·九年级统考期末）且BC DE =．(1)求证：ABC FDE △≌△；(2)连接AE ，CF ，求证：四边形参考答案：1．B【分析】根据平行四边形的判定定理，即可求解．【详解】∵①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．∴ A 、D 、C 均符合是平行四边形的条件，B 则不能判定是平行四边形．故选B ．2．A【详解】根据平行四边形性质可知：B. C. D 均是平行四边形的性质，只有A 不是．故选A.点睛：本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分.3．D【分析】利用平行四边形的性质求解即可【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∴平行四边形ABCD 的周长＝3+3+4+4＝14，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等是解答此题的关键．4．D【分析】根据OA ＝OC ，OD ＝OB 推出四边形ABCD 是平行四边形，根据全等三角形的判定定理SAS ，SSS ，推出即可．【详解】解：共4对，△ABD ≌△CDB ，△ACD ≌△CAB ，△AOD ≌△COB ，△AOB ≌△COD ，理由是：∵OA ＝OC ，OD ＝OB∴四边形ABCD 是平行四边形∴AB ＝CD ，AD ＝BC在△ABD 和△CDB 中AB CD AD BC BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，17．证明见解析【分析】先根据平行四边形的性质可得,OA OC ADBC =P ，再根据平行线的性质可得,OAE OCF OEA OFC ∠=∠∠=∠，然后利用AAS 定理证出AOE COF ≅V V ，最后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，,OA OC AD BC ∴=P ，,∴∠=∠∠=∠OAE OCF OEA OFC ，在AOE △和COF V 中，OAE OCF OEA OFC OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE COF AAS ∴≅V V ，OE OF ∴=．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．18．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由AD BF =得到AD DB DB BF +=+，即AB FD =，由BC DE ∥得到12∠=∠，即可证明ABC FDE △≌△；（2）连接AE ，CF ，由（1）知ABC FDE △≌△，可得34∠∠=，AC EF =，则AC EF P ，即可证得结论．【详解】（1）证明：如图所示：∵AD BF =，∴AD DB DB BF +=+．∴AB FD =．∵BC DE ∥，∴12∠=∠．在ABC V 和FDE V 中，∵12AB FD BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC FDE △≌△()SAS ．（2）连接AE ，CF ，由（1）知ABC FDE △≌△，∴34∠∠=，AC EF =．∴AC EF P ．∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，证明ABC FDE △≌△是解题的关键．。
9-3 平行四边形-2020-2021学年八年级数学下册课时同步练(苏科版)(解析版)
第九单元第3课时平行四边形一、选择题1．如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC 边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【答案】：C【解析】：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC-BE=4cm．故答案为：C．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．2.在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD 是（）A．61°B．63°C．65°D．67°【答案】：C【解析】：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD 的度数．3．如图，P 为平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，E，F 分别为PB，PC 的中点，△PEF，△PDC，△PAB 的面积分别为S，S 1，S 2．若S=3，则S 1+S 2的值为（）A．24B．12C．6D．3【答案】：B【解析】：过P 作PQ∥DC 交BC 于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S △PDC =S △CQP ，S △ABP =S △QPB ，∵EF 为△PCB 的中位线，∴EF∥BC，12EF BC ∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S △PEF ：S △PBC =1：4，S △PEF =3，∴S △PBC =S △CQP +S △QPB =S △PDC +S △ABP =S 1+S 2=12．故选：B．分析：过P 作PQ 平行于DC，由DC 与AB 平行，得到PQ 平行于AB，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF 为BC 的一半，且EF 平行于BC，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC 的面积，而△PBC 面积=△CPQ 面积+△PBQ 面积，即为△PDC 面积+△PAB 面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．4．如图，▱ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB【答案】：C【解析】：对角线不一定相等，A错误；、对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．5．平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为（）A．6＜AC＜10B．6＜AC＜16C．10＜AC＜16D．4＜AC＜16【答案】：D【解析】：分析：根据平行四边形周长公式求得AB、BC的长度，然后由三角形的三边关系来求对角线AC的取值范围．6．已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下四种说法正确的是()①如果再加上条件BC=AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件∠BAD=∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件AO=CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件∠DBA=∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形．A.②③B.①③④C.①②D.②③④【答案】：A【解析】：①也可能是等腰梯形．②可得AD∥BC，故正确．③可判定△ABO≌△CDO，就有AB=CD，故可判定为平行四边形，正确．④也可能是等腰梯形．故选A【分析】根据已知，结合题意，画出图形，再根据平行四边形的判定，逐一判断即可．7．【答案】：B7．若平行四边形的两条对角线长为6cm和16cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（）A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm【答案】：B【解析】：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8﹣3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．只有选项B在此范围内，故选B．【分析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断．二、填空题8．如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、AF、CE、CF，添加_____条件，可以判定四边形AECF是平行四边形．(填一个符合要求的条件即可)【答案】：BE=DF（答案不唯一）【解析】：可以添加的条件有BE=DF等；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF；（SAS）∴AE=CF，∠AEB=∠CFD；∴∠AEF=∠CFE；∴AE∥CF；∴四边形AECF是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）故答案为BE=DF．【分析】本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．9．已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：(1)如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；(2)如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；(3)如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；(4)如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是_____．答案：（2）（3）【解析】：其中正确的说法是（2）、（3）．因为再加上条件“∠BAD=∠BCD”，即可求得另一组对角相等，那么四边形ABCD一定是平行四边形；如果再加上条件“AO=OC”，即可证明△AOB≌△COD，所以，AB=DC，那么四边形ABCD一定是平行四边形．故答案为：（2）（3）．【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角【解析】：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B=∠D，∠A=∠C，∵∠C=∠B+∠D，∴∠C=2∠D，∠C+∠D=180°，∴∠A=∠C=120°，∠D=60°．故答案为120°．【分析】根据平行四边形的对边平行，对角相等，可得AD∥BC，∠B=∠D，∠A=∠C，易得∠C=2∠D，∠C+∠D=180°，解方程组即可求得．11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于E，若AB=10cm，AD=12cm，则EC=．【答案】：2cm【解析】：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=12cm，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=10cm，∴EC=BC﹣BE=12﹣10=2（cm）．故答案为：2cm．【分析】由在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于E，易得△ABE是等腰三角形，继而求得答案．三、解答题12．如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．【答案】：见解答过程．【解析】：证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；又∵AE=CG，AH=CF（已知），∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH；∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．【分析】易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．13．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【答案】：见解答过程．【解析】：证明：∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∠2+∠D+∠CAD=180°，∠B=∠D，∠1=∠2，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC=∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．14．如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF．求证：DE=BF．【答案】：见解答过程．【解析】：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∵AE=CF．∴BE=FD，BE∥FD，∴四边形EBFD是平行四边形，∴DE=BF．【分析】由“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB=CD，AB∥CD．然后根据图形中相关线段间的和差关系求得BE=FD，易证四边形EBFD是平行四边形．15．如图，已知E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】：见解答过程．【解析】：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出即可．16.如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长【答案】：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC．∴∠1=∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC=CF=10，∴DF=BF-DC=10-6=4．【解析】：首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6，AD=BC=10，AB ∥DC，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明∠2=∠3，根据等角对等边可得BC=CF=10，再用CF-CD即可算出DF的长．17．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；【答案】：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB。
数学八年级下 第二十二章 四边形 课课练及单元测试卷一和参考答案
数学八年级下 第二十二章 四边形22.1 多边形（1）一、选择题1．四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是 （ ）A ．80°B ．90°C ．170°D ．20°2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．63．内角和等于外角和2倍的多边形是 （ ）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形4．凸n 边形的内角中，锐角的个数最多有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角 （• ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6、各内角相等的n 边形的一个外角等于 （ ）A 、n n )2(1800-B 、n 0180C 、nn )2(3600- D 、n 0360 7、n 边形所有的对角线条数是 （ ）A 、2)1(-n nB 、2)2(-n nC 、22nD 、2)3(-n n 8、如果正n 边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么n 的值是 （ ）A 、4B 、5C 、6D 、7二、填空题9. 五边形的内角和等于_______度．10．六边形的内角和等于_______度．11．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．12．如图，你能数出 个不同的四边形。
第12题13、如图所示，∠1=∠C+________，∠2=∠B+___________。
∠A+∠B +∠C +∠D+∠E= ________+∠1+∠2=________度。
14、一个多边形的每一个外角等于300，则这个多边形为___________ 边形。
15、当多边形边数增加一条边时，其内角和增加___________度 。
16、若正多边形的一个外角等于其一个内角的52，则这个多边形的内角和是___________ 。
2022年最新人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形专题训练试题(无超纲)
人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC=．点B到原点的最大距离为（）AC=，6BC AC⊥于点C．已知16A．22 B．18 C．14 D．102、如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（）A．75°B．60°C．55°D．40°3、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则纸条的宽为（）A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm4、如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若20∠=︒，则DGFBAG∠等于（）A．70︒B．60︒C．80︒D．45︒5、如图所示，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠DBC＝30°，BE=1cm，则AE的长为（）A．3cm B．2cm C．D6、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（）A．16 B．24 C．32 D．407、如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（）A．5 B．6 C．8 D．108、如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，且AB=24，BC=10，将AC绕点C顺时针旋转90°至CE．连接AE，且F、G分别为AE、EC的中点，则四边形OFGC的面积是（）A．100 B．144 C．169 D．2259、在菱形ABCD中，两条对角线AC=10，BD=24，则此菱形的边长为（）A．14 B．25 C．26 D．1310、下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3C．1：2：2：1 D．3：2：3：2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，Rt△ABD中，∠D＝90°，AB＝8，BD＝4，在BD延长线上取一点C，使得DC＝BD，在直线AD 左侧有一动点P满足∠PAD＝∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为________．2、如图，在正方形ABCD中，点O在ACD△内，OAC ODA∠=∠，则AOD∠的度数为______．3、如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝30cm，将纸片对折后展开得到折痕EF．点P为BC边上任意一点，若将纸片沿着DP折叠，使点C恰好落在线段EF的三等分点上，则BC的长等于_________cm．4、如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 _____．5、在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8cm，则四边形ABCD 的面积为______cm2．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）如图a ，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作DP ∥OC ，且DP=OC ，连接CP ，判断四边形CODP 的形状并说明理由．（2）如图b ，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如图c ，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．2、如图，ABD △中，ABD ADB ∠=∠．（1）作点A 关于BD 的对称点C ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接BC ，DC ，连接AC ，交BD 于点O ．求证：四边形ABCD 是菱形．3、如图：在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，30A ︒∠=，点O 为AB 的中点，点P 为直线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），连接OC ，OP ，以OP 为边在OC 的上方作等边OPQ ∆，连接BQ ．（1）OBC 是________三角形；（2）如图1，当点P 在边BC 上时，运用（1）中的结论证明CP BQ =；（3）如图2，当点P 在CB 的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，连接BD，ED，EB．求证：∠1＝∠2．5、（1）如图1中，∠A＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请画出直线，并标注底角的度数．（3）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大的内角可能值为．---------参考答案-----------一、单选题1、B【解析】【分析】首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．【详解】解：取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC＝90°，AC＝16，∴OE＝CE12=AC＝8，∵BC⊥AC，BC＝6，∴BE=10，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝18．若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝18，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为18．故选：B【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．2、C【解析】【分析】证EF是△ABC的中位线，得EF∥BC，再由平行线的性质即可求解．【详解】解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B=55°，故选：C．【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证出EF∥BC是解题的关键．3、B【解析】【分析】由题意作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR=AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据勾股定理求出AB，最后利用菱形ABCD的面积建立关系得出纸条的宽AR的长．【详解】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA=3cm，OB=4cm，∴AB cm，∵平行四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=5cm，∴菱形ABCD的面积12AC BD BC AR=⋅=⋅,即16852AR⨯⨯=，解得：244.85AR==cm.故选：B．【点睛】本题主要考查菱形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形以及菱形的面积等于对角线相乘的一半．4、A【解析】【分析】由题意可得∠AGF=∠DAB=90°，由平行线的性质可得DGA BAG∠=∠，即可得∠DGF=70°．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形∴∠AGF=∠DAB=90°，DC//AB∴20∠=∠=︒DGA BAG∴902070DGF AGF DGA∠=∠-∠=︒-︒=︒故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．5、D【解析】【分析】根据矩形和直角三角形的性质求出∠BAE=30°，再根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∠BDA=∠DBC=30°，∵AE⊥BD，∴∠DAE=60°，∴∠BAE=30°，在Rt△ABE中，∠BAE=30°，BE=1cm，∴AB=2cm，∴AE cm)，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．6、C【解析】【分析】由中点的定义可得AE =CE ，AD =BD ，根据三角形中位线的性质可得DE //BC ，DE =12BC ，根据平行线的性质可得∠ADE =∠ABC =90°，利用ASA 可证明△MBD ≌△EDA ，可得MD =AE ，DE =MB ，即可证明四边形DMBE 是平行四边形，可得MD =BE ，进而可得四边形DMBE 的周长为2DE +2MD =BC +AC ，即可得答案．【详解】∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴AE =CE ，AD =BD ，DE 为△ABC 的中位线，∴DE //BC ，DE =12BC ，∵∠ABC ＝90°，∴∠ADE =∠ABC =90°，在△MBD 和△EDA 中，90MDB A BD AD MBD ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△MBD ≌△EDA ，∴MD =AE ，DE =MB ，∵DE //MB ，∴四边形DMBE 是平行四边形，∴MD =BE ，∵AC ＝18，BC ＝14，∴四边形DMBE 的周长=2DE +2MD =BC +AC =18+14=32．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．7、A【解析】【分析】由菱形的性质可得OA =OC =3，OB =OD =4，AO ⊥BO ，由勾股定理求出AB ．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AC =6，BD =8，∴OA =OC =3，OB =OD =4，AO ⊥BO ，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：5AB =，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．8、C【解析】【分析】先根据矩形的性质、三角形中位线定理可得//,13FG AC FG OC ==，再根据平行四边形的判定可得四边形OFGC 为平行四边形，然后根据旋转的性质可得,90AC CE ACE =∠=︒，从而可得OC CG =，最后根据正方形的判定可得四边形OFGC 为正方形，由此即可得．【详解】 解：四边形ABCD 为矩形，24,10AB AD ==，1126,1322BD OC AC BD ∴====， ,F G 分别为,AE EC 的中点，11//,,22FG AC FG AC CG EC ∴==， FG OC ∴=，∴四边形OFGC 为平行四边形，又AC 绕点C 顺时针旋转90︒，,90AC CE ACE ∴=∠=︒，OC CG ∴=，∴平行四边形OFGC 为正方形，∴四边形OFGC 的面积是2213169OC ==，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．9、D【解析】【分析】由菱形的性质和勾股定理即可求得AB 的长．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OB=OD=12BD=12，OA=OC=12AC=5，在Rt△ABO中，AB，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出AB=13是解题的关键．10、D【解析】【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．二、填空题1、【解析】【分析】如图，取AD的中点O，连接OP、OC，然后求出OP、OC的长，最后根据三角形的三边关系即可解答．【详解】解：如图，取AD的中点O，连接OP、OC∵∠PAD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠PAD+∠ADP=90°，即∠APD=90°，∵AO=OD，∴PO=OA=AD，∴AD∴OP=∵BD=CD=4，OD=∴OC==∵PC≤OP+OC，∴PC≤∴PC的最大值为故填：【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键在于正确添加常用辅助线，进而求得OP、OC的长．2、135°【解析】【分析】先根据正方形的性质得到∠OAC+∠OAD=45°，再由∠OAC=∠ODA，推出∠ODA+∠OAD=45°，即可利用三角形内角和定理求解．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAD=45°，∴∠OAC+∠OAD=45°，又∵∠OAC=∠ODA，∴∠ODA+∠OAD=45°，∴∠AOD=180°-∠ODA-∠OAD=135°，故答案为：135°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握正方形的性质．3、【解析】【分析】分为将纸片沿纵向对折，和沿横向对折两种情况，利用折叠的性质，以及勾股定理解答即可【详解】如图：当将纸片沿纵向对折根据题意可得：30AB EF DC DC '====C '为EF 的三等分点22302033EC EF '∴==⨯=∴在Rt DEC '△中有DE =2AD DE ∴==BC AD ∴==如图：当将纸片沿横向对折根据题意得：30AB DC DC '===，11301522DF DC ==⨯=∴在Rt DFC '△中有C F 'C '为EF 的三等分点23C F EF '∴=32EF ∴=⨯=故答案为： 【点睛】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理解直角三角形，解题关键是分两种情况作出折痕EF ，考虑问题应全面，不应丢解．4、【解析】【分析】由正方形的对称性可知，PB ＝PD ，当B 、P 、E 共线时PD +PE 最小，求出BE 即可．【详解】解：∵正方形中B 与D 关于AC 对称，∴PB ＝PD ，∴PD+PE＝PB+PE＝BE，此时PD+PE最小，∵正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，∴BE＝∴PD+PE最小值是故答案为：【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．5、24【解析】【分析】根据题意作图，得出四边形ABCD为菱形，再根据菱形的性质进行求解面积即可．【详解】解：根据题意作图如下：由题意得四边形ABCD为菱形，AC BD ∴⊥，且平分，8AC =，4OA =，由勾股定理：3OB ==，6BD =∴，2118624()22ABCDS AC BD cm ∴=⋅⋅=⨯⨯=， 故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的判定及形，勾股定理，解题的关键是判断四边形是菱形．三、解答题1、（1）四边形CODP 是菱形，理由见解析；（2）四边形CODP 是矩形，理由见解析；（3）四边形CODP 是正方形，理由见解析【分析】（1）先证明四边形CODP 是平行四边形，再由矩形的性质可得OD =OC ，即可证明平行四边形OCDP 是菱形；（2）先证明四边形CODP 是平行四边形，再由菱形的性质可得∠DOC =90°，即可证明平行四边形OCDP 是矩形；（3）先证明四边形CODP 是平行四边形，再由正方形的性质可得BD ⊥AC ，DO =OC ，即可证明平行四边形OCDP 是正方形；【详解】解：（1）四边形CODP 是菱形，理由如下：∵DP ∥OC ，且DP=OC ，∴四边形CODP 是平行四边形，又∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴平行四边形OCDP是菱形；（2）四边形CODP是矩形，理由如下：∵DP∥OC，且DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴∠DOC=90°，∴平行四边形OCDP是矩形；（3）四边形CODP是正方形，理由如下：∵DP∥OC，且DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，DO=OC，∴∠DOC=90°，平行四边形CODP是菱形，∴菱形OCDP是正方形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定条件．2、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作BD 的垂直平分线，再截取MA MC =即可；（2）先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质可得：BO DO =，依据菱形的判定定理即可证明．【详解】（1）解：如图所示，作BD 的垂直平分线，再截取MA MC =，点C 即为所求．（2）证明：如图所示：∵ABD ADB ∠=∠，AC BD ⊥，∴90AOD AOB ∠=∠=︒，在ABO 与ADO 中，ABD ADB AOD AOB AO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABO ADO ∆≅∆；∴BO DO =，又∵AO CO =，AC BD ⊥∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题考查了尺规作图和菱形的证明，解题关键是熟练运用尺规作图方法和菱形的判定定理进行作图与证明．3、（1）等边；（2）见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明12BC OC OB AB ===，即可证明△OBC 是等边三角形； （2）先证明COP BOQ ∠=∠，即可利用SAS 证明COP BOQ ≌，得到CP BQ =；（3）先证明COP BOQ ∠=∠，即可利用SAS 证明COP BOQ ≌，得到CP BQ =．【详解】（1）∵∠ACB =90°，∠A =30°，O 是AB 的中点， ∴12BC OC OB AB ===， ∴△OBC 是等边三角形，故答案为：等边；（2）由（1）可知，OB OC =，60BOC ∠=︒， OPQ 是等边三角形，OP OQ ∴=，60POQ ∠=︒，60COP BOP BOQ ∴∠=︒-∠=∠，即COP BOQ ∠=∠，在COP 和BOQ △中OC OB COP BOQ OP OQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()COP BOQ SAS ∴≌，CP BQ ∴=；（3）成立，CP BQ =证明：由（1）可知，OB OC =，60BOC ∠=︒， OPQ 是等边三角形，OP OQ ∴=，60POQ ∠=︒，60COP BOP BOQ ∴∠=︒+∠=∠，即COP BOQ ∠=∠，在COP 和BOQ △中OC OB COP BOQ OP OQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()COP BOQ SAS ∴≌，CP BQ ∴=．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．4、见解析【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质即可证明．【详解】解：∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴△ABC 和△ADC 是直角三角形，∵点E 是AC 的中点，∴EB ＝12AC ，ED ＝12AC ，∴EB＝ED，∴∠1＝∠2．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5、（1）见解析；（2）见解析；（3）108°【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作BC的垂直平分线即可确定点E，连接AE即可；（2）分别以24°为底角，可分割出两个等腰三角形；（3）利用图1、2、3中三角形内角之间的关系进行判断．【详解】解：（1）如图，作BC的垂直平分线交BC于E，连接AE，则直线AE即为所求；（2）如图：（3）根据（1）（2）中三个角之间的关系可知：当三角形是直角三角形时，肯定可以分割成两个等腰三角形，此时最大角为90°；当一个角是另一个三倍时，也肯定可以分割成两个等腰三角形，此时最大角为99°；如图3，此时最大角为108°．综上所述：最大角为108°，故答案为：108°．【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图、直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图、直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质是解题的关键．。
新定义类问题专练(2题型)—2023-2024学年八年级数学下学期期末真题(浙江专用)(解析版)
八下新定义类问题专练四边形新定义问题1．（2023春•义乌市期末）若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“半对称四边形”，这条角平分线称为四边形的“分割对角线”．例如：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，则称四边形ABCD是半对称四边形，BD称为四边形ABCD的分割对角线．（1）如图1，求证：BC∥AD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AC，AD∥BC，∠CAD＝2∠DBC．求证：四边形ABCD 是半对称四边形．（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，，D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是半对称四边形且AC为分割对角线时，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）利用等腰三角形的性质，角平分线的定义和平行线的判定定理解答即可得出结论；（2）利用“半对称四边形”的定义解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分①当DA＝DC，AC平分∠BAD时，②当DA＝DC，AC平分∠BCD时，画出符合题意的图形，先计算得到△ABC的三边长度和它的面积，再计算△ADC的面积，则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ADB，∴BC∥AD；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DAC．∵∠CAD＝2∠DBC，∴∠ABC＝2∠DBC，即BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD．这样，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∴四边形ABCD是半对称四边形；（3）解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，如图，∵CE⊥AB，∠A＝45°，∠ABC＝120°，∴∠ACE＝45°，∠EBC＝60°，∴AE＝EC，∠ECB＝30°，∴BE＝BC＝，∴EC＝＝＝3，∴AE＝EC＝3，∴AC＝EC＝3．∴AB＝AE﹣BE＝3﹣．∴AB•EC＝3＝．①当DA＝DC，AC平分∠BAD时，如图，由题意：∠DAC＝∠BAC＝45°，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠ADC＝90°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD＝AC＝3，∴AD•CD＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝+＝9﹣；②当DA＝DC，AC平分∠BCD时，如图，由题意：∠ACD＝∠BCA＝15°，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝15°，∴∠ADC＝150°，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，则∠CDF＝30°，∴CF＝CD，∴DF＝CD．设CD＝x，则AD＝x，CF＝x，AF＝AD+DF＝（1+）x，在Rt△ACF中，∵AC2＝AF2+CF2，∴，∴x＝3+3（不合题意，舍去）或x＝3﹣3，∴AD＝3﹣3，CF＝．∴S△ADC＝AD•CF＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝﹣+＝﹣6．综上，四边形ABCD的面积为9﹣或﹣6．2．（2022春•德清县期末）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，①若AB＝CD＝1，AB∥CD BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD＝CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF ＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝．②如图1中，连接AC、BD．∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6，∵AB＝5，∴AE≠AB∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5．②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9﹣2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．3．（2023春•余姚市期末）定义：一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，我们把这样的四边形叫做双距四边形．（1）下列说法正确的有①③（填序号）．①正方形一定是双距四边形．②矩形一定是双距四边形．③有一个内角为60°的菱形是双距四边形．（2）如图1，在四边形ABCD AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝∠DCB＝72°，求证：四边形ABCD为双距四边形．（3）如图2，四边形ABCD为双距四边形，，BC＝DC，AB＜BC，求BC的长．【分析】（1）由正方形的四条边都相等，两条对角线相等，可知正方形是双距四边形，可判断①正确；因为矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，所以矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，所以矩形不一定是双距四边形，可判断②错误；由菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，可知该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，则有一个内角为60°的菱形是双距四边形，可判断③正确，于是得到问题的答案；（2）作DG∥AB交BC于点G，则∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，所以DC＝DG，而四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DG，因为AB＝AD，所以AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，而∠ADB＝∠CBD，则∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，因为∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，所以∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，则BC＝BD，再证明△ABC和≌△DCB，即可证明AC＝BC＝BD，则四边形ABCD是双距四边形；（3）由四边形ABCD为双距四边形，AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，得AC＝BD＝BC＝DC，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，因为AC垂直平分BD，所以∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE＝BD＝BC＝x，则CE＝＝x，AE＝2x﹣x，由勾股定理得x2+（2x ﹣x）2＝（）2，求得符合题意的x值为，则BC的长是3+．【解答】（1）解：∵正方形的四条边都相等，两条对角线相等，∴正方形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，∴正方形是双距四边形，故①正确；∵矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，∴矩形的四条边和两条对角线这六条线段中可能有三种长度，∴矩形不一定是双距四边形，故②错误；∵菱形的四条边都相等，且有一个内角为60°，∴该菱形中60°角所对的对角线将该菱形分成两个全等的等边三角形，∴该菱形中较短的对角线长与该菱形的边长相等，∴有一个内角为60°的菱形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，∴有一个内角为60°的菱形是双距四边形，故③正确，故答案为：①③．（2）证明：作DG∥AB交BC于点G，∵∠ABC＝∠DCB＝72°，∴∠DBC＝∠ABC＝∠DCB＝72°，∴DC＝DG，∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DG，∴AB＝DC，∵AB＝AD，∴AB＝AD＝DC，∠ADB＝∠ABD，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∵∠CDA＝180°﹣∠DCB＝108°，∴∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝72°＝∠DCB，∴BC＝BD，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC＝BD，∴AC＝BC＝BD，∴四边形ABCD是双距四边形．（3）解：∵四边形ABCD AB＝AD，BC＝DC，AB＜BC，∴AC＝BD＝BC＝DC，如图2，设AC交BD于点E，AC＝BD＝BC＝2x，∵点A、点C都在BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝DE＝BD＝BC＝x，∴CE＝＝＝x，∴AE＝AC﹣CE＝2x﹣x，∵BE2+AE2＝AB2，AB＝，∴x2+（2x﹣x）2＝（）2，整理得x2＝，解得x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），∴BC＝2×＝3+，∴BC的长是3+．4．（2023春•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于正方形ABCD和它的边上的动点P，作等边△OPP'，且O，P，P′三点按顺时针方向排列，称点P'是点P关于正方形ABCD的“友好点”．已知A（﹣a，a），B（a，a），C（a，﹣a），D（﹣a，﹣a）（其中a＞0）．（1）如图1，若a＝3，AB的中点为M，当点P在正方形的边AB上运动时，①若点P和点P关于正方形ABCD的“友好点”点P′，恰好都在正方形的边AB上，则点P'的坐标为（，3）；点M关于正方形ABCD的“友好点”点M′的坐标为（，）；②若记点P关于正方形ABCD的“友好点”为P′（m，n），直接写出n与m的关系式（不要求写m的取值范围）；（2）如图2，E（﹣1，﹣1），F（2，2）．当点P在正方形ABCD的四条边上运动时，若线段EF上有且只有一个点P关于正方形ABCD的“友好点”，求a的取值范围；（3）当2≤a≤4时，直接写出所有正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积．【分析】（1）①如图，OP＝OP'＝PP'，Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，解得MP'＝，得P'（，3）；如图，过点M作MF⊥x轴，垂足为F，则∠OFM＝90°，OM′＝3，OF＝＝，得M'（，）：②如图，直线PM交轴于点G，可证△POM≌△P′OM′，得∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∠OGM′＝60°，可知点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），求得k＝﹣，b＝6，于是n＝﹣m+6；（2）由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a．求得点G（a，0），可求得直线A′B′解析式y＝﹣x+2a，经过F（2，2），得a＝+1，直线C′D′解析式为y＝﹣x+2a，经过（﹣1，﹣1），得a＝；于是＜a≤+1；（3）如图，分别求得a＝2时，4时，点P′轨迹所在四边形的面积，相减即得所有“友好点”组成图形的面积为48．【解答】（1）（，3）；（，）；′如图，OP＝OP'＝PP'，∴PM＝P′M，OM＝3，∠MOP＝∠MOP′＝30°，∴OP′＝2MP′，∴Rt△OMP中，OM2+MP2＝OP2，∴32+MP′2＝（2MP′）2，解得MP'＝，∴P（，3）；如图，过点M′作M′F⊥x轴，垂足为F，则∠OFM′＝90°，OM′＝3，∴∠M′OF＝90°﹣∠MOM′＝30°，∴M′F＝OM′＝，∴OF＝＝，∴M′（，）；②n＝﹣m+6；如图，直线P′M′交x轴于点G，∵∠POP′＝∠MOM′＝60°，∴∠POP′﹣∠MOP′＝∠MOM′﹣∠MOP′，即∠POM＝∠P′OM′，又∵OP＝OP′，OM＝OM′，∴△POM≌△P′OM′（SAS），∴∠OM′P′＝∠OMP＝90°，∵∠MOG＝90°﹣60°＝30°，∴∠OGM′＝90°﹣∠M′OG＝90°﹣30°＝60°，点P′（m，n）在直线M′G上，设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴n＝﹣m+6；（2）如上图，由（1）知若A（﹣a，a），则OM′＝OM＝a，在Rt△OM′G中，M′G＝OG，∴a2+（OG）2＝OG2，解得OG＝a，即点G（a，0），由（1）知点P在线段AB上时，直线P′M′与x轴相交锐角为60°，可设直线M′G为y＝﹣x+q，代入G（a，0），解得q＝2a，故点P′在直线y＝﹣x+2a上，即A′B′解析式为y＝﹣x+2a，如下图，同理可得，直线C′D′解析式为y＝﹣x﹣2a，经过（﹣1，﹣1），则一1＝﹣5×（﹣1）﹣2a，解得a＝；如下图，直线A′B′的解析式为y＝﹣x+2a，经过F（2，2），则2＝﹣×2+2a，解得a ＝+1．∴＜a≤+1；（3）如图，当a＝2时，点P′轨迹所在四边形A′B′C′D′的面积为（2×2）2＝16，当a＝4时，点P′轨迹所在四边形的面积为（2×4）2＝64，故2≤a≤4时，正方形ABCD的所有“友好点”组成图形的面积为64﹣16＝48．反比例函数新定义问题5．（2022•宜城市一模）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC ⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A 在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式；②补画x＜0时“Z函数”的图象；③并写出这个函数的性质（两条即可）．【分析】（1）由四边形ABED是正方形，得AB＝1，从而得出A（4，1），则k＝4；（2）①由题意，A（x，x﹣z），则x（x﹣z）＝4，即可得出“Z函数”的表达式；②利用描点法画出图象；③根据图象可得出性质．【解答】解：（1）∵AC＝4，CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝1，∵四边形ABED是正方形，∴AB＝1，∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，∴四边形ABOC是矩形，∴OB＝AC＝4，∴A（4，1），∴k＝4；（2）①由题意，A（x，x﹣z），∴x（x﹣z）＝4，∴z＝x﹣，②图象如图所示，③性质1：x＞0时，y随x的增大而增大，性质2：x＜0时，y随x的增大而增大，（答案不唯一）．6．（2022春•嵊州市期末）定义：在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2），x1≠x2，y1≠y2，且点M，N在同一象限，过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为点G，F，若|y1|＞|y2|，则过点M作y轴的垂线，交直线NF于点E，如图1．我们称矩形MEFG为过点M，N的伴随矩形．已知：如图2，点A（1，3），点B是反比例函数图象上的两点．（1）求k的值．（2）若过点A，B的伴随矩形是正方形，求点B的坐标．（3）若过点A，B的伴随矩形的面积是3，求点B的坐标．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案；（2）分两种情况：利用伴随矩形是正方形得出|m﹣1|＝3或|﹣1|＝，解方程即可求出答案；（3）分两种情况：过点A，B的伴随矩形的面积是3，得出3•|n﹣1|＝3或•|n﹣1|＝3，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝1×3＝3；（2）由（1）知，k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，设点B（m，）（m＞0），①当＜3，即m＞1时，∵过点A，B的伴随矩形是正方形，∴|1﹣m|＝3，∴m＝﹣2（舍去）或m＝3∴B（4，）；②当＞3，即m＜1时，∵过点A，B的伴随矩形是正方形，∴|m﹣1|＝，∴m＞1或m＝＜0，不符合题意，即点B（4，）；（3）由（1）知，k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，设点B（n，）（n＞0），①当＜3，即n＞1时，∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，∴3•|n﹣1|＝3，∴n＝0（舍去）或n＝2，∴B（2，）；②当＞3，即n＜1时，∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，∴•|n﹣1|＝3，∴n＝，∴B（，6）；即点B的坐标为（2，）或（，6）．7．（2023春•宁波期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．（1）矩形是勾股四边形（填“是”或“不是”）．（2）如图在直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与双曲线相交于A，B两点，点P（﹣3，0）在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．①分别求出A、B两点的坐标．②当四边形APQB是平行四边形时，如图（Ⅰ），请证明▱APQB是勾股四边形．（3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．【分析】（1）证矩形的对角线将矩形分成的两个直角三角形全等即可得出结论；（2）①直线y＝﹣x+1与双曲线联立成方程组，解方程组即可得点A，B的坐标；②利用待定系数法求出直线AP的解析式为y＝3x+9，直线BQ的解析式为y＝3x+11，直线PQ的解析式为y＝﹣x﹣3，解方程组，可得点Q（2，﹣5），然后证△APB为直角三角形，再证△APB和△QBP全等即可得出结论；（3）由∠APB＝90°得：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下三种情况：（ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时可得点Q的坐标；（ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q，证△APB和△P AQ可得四边形ABPQ为勾股四边形，连接BQ交AP于点E，先求出点E（﹣2.5，1.5），进而可求出点Q的坐标；（ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q，此时四边形APBQ为矩形，由（1）知矩形为勾股四边形，同（ⅱ）得点Q的坐标．【解答】（1）解：矩形是勾股四边形．理由如下：四边形ABCD为矩形，AC为对角线，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠C＝90°，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴矩形是勾股四边形．故答案为：是．（2）①解：解方程组，得：，，∴点A（﹣2，3），点B（3，﹣2）；②证明：设直线AP的解析式为：y＝k1x+b1，将点A（﹣2，3），P（﹣3，0）代入y＝k1x+b1，得，解得：，∴直线AP的解析式为：y＝3x+9，∵四边形APQB为平行四边形，∴BQ∥AP，PQ∥AB，AP＝QB，AB＝QP，∴设直线BQ的解析式为：y＝k2x+b2，∵BQ∥AP，∴k2＝3，即直线BQ的解析式为：y＝3x+b2，将点B（3，﹣2）代入y＝3x+b2，得：b2＝﹣11，∴直线BQ的解析式为：y＝3x﹣11，设直线PQ的解析式为：y＝k3x+b3，∵PQ∥AB，∴k3＝﹣1，即直线PQ的解析式为：y＝﹣x+b3，将点P（﹣3，0）代入y＝﹣x+b3，得：b3＝﹣3，∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x﹣3，解方程组，解得：，∴点Q（2，﹣5），∵点A（﹣2，3），B（3，﹣2），P（﹣3，0），Q（2，﹣5），∴AB2＝（﹣2﹣3）2+（3+2）2＝50，AP2＝（﹣2+3）2+（3﹣0）2＝10，PB2＝（3+3）2+（﹣2﹣0）2＝40，∴AB2＝AP2+PB2，∴△APB为直角三角形，即∠APB＝90°，∵BQ∥AP，∴∠APB＝∠QBP＝90°，∴△QBP为直角三角形，在△APB和△QBP中，，∴△APB≌△QBP（SSS），∴平行四边形APQB为勾股四边形．（3）解：点Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）．理由如下：由（2）可知：∠APB＝90°，∴当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下四种情况：（ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时点Q的坐标为（2，﹣5）；（ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q，则四边形ABPQ为平行四边形，∴APB＝∠P AQ＝90°，PB＝AQ，在△APB和△P AQ中，，∴△APB≌△P AQ（SAS），∴四边形ABPQ为勾股四边形，设点Q的坐标为（k，t），连接BQ交AP于点E，则点E既是AP的中点，又是BQ的中点，∵A（﹣2，3），P（﹣3，0），∴点E的横坐标为：，点E的纵坐标为：，即点E（﹣2.5，1.5），又点Q（k，t），B（3，﹣2），∴，，∴k＝﹣8，t＝5，∴点Q的坐标为（﹣8，5）；（ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q，则四边形APBQ为平行四边形，又∠APB＝90°，∴四边形APBQ为矩形，由（1）知：矩形为勾股四边形，∴四边形APBQ为勾股四边形，同（ⅱ）可得点Q的坐标为（4，1）．（ⅳ）由（2）可知：∠APB＝90°．作点P关于直线AB的对称点Q，连接PQ交AB于H，如图所示：根据轴对称性可知：△APB≌△AQB，∴四边形APBQ为勾股四边形，设直线PQ的表达式为：y＝mx+n，∵P，Q关于AB对称，∴PQ⊥AB，点H为PQ的中点，∴m＝1，∴直线PQ的表达式为：y＝x+n，将点P（﹣3，0）代入y＝x+n，得n＝3，∴直线PQ的表达式为：y＝x+3，解方程组，得，∴点H的坐标为（﹣1，2），∵点H为PQ的中点，∴点Q的坐标为（1，4）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）．1．（2023春•东阳市期末）对于平面直角坐标系xOy中的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），给出如下定义：若x1x2＝1，y1y2＝1，则称点A，B互为“倒数点”，例如：点，B（2，1）互为“倒数点”．（1）已知点A的坐标为（1，3），则点A的“倒数点”点B的坐标为，；将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′，则线段A′B′上不存在（填“存在”或“不存在”）“倒数点”．（2）如图，在正方形CDEF中，点C坐标为，点D坐标为，请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”，并说明理由．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得出x2＝1，，点B的坐标为，由平移的性质得出A′（3，3），，即可得出结论；（2）①若点M（x1，y1）在线段CF上，则，点N（x2，y2）应当满足x2＝2，可知点N 不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD上，则，点N（x2，y2）应当满足y2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则，点N（x2，y2）应当满足，得出，，此时点，在线段EF上，满足题意．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1x2＝1，y1y2＝1，A（1，3），∴x2＝1，，点B的坐标为，将线段AB水平向右平移2个单位得到线段A′B′，则A′（3，3），，∵3×3＝9，，∴线段A′B′上不存在“倒数点”，故答案为：（1，）；不存在；（2）正方形的边上存在“倒数点”M、N，理由如下：①若点M（x1，y1）在线段CF上，则，点N（x2，y2）应当满足x2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD则，点N（x2，y2）应当满足y2＝2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则，点N（x2，y2）应当满足，∴点N只可能在线段DE上，，，此时点，在线段EF上，满足题意；∴该正方形各边上存在“倒数点”，，，．2．（2023春•鄞州区期末）【新知学习】定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“筝形”．（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”ABCD，要求点D是格点；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，“筝形”EFGH的顶点E是AB的中点，点F，G，H分别在BC，CD，AD上，且，求对角线EG的长；【拓展思考】（3）如图3，在“筝形”ABCD中，AB＝AD，BC＝DC＝12，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，AE平分∠BEF，EF⊥CD，EF＝8，求“筝形”ABCD的面积．【分析】（1）根据“筝形”的定义找到点D即可；（2）分两种情况讨论：当EF＝EH，GH＝GF时，分别利用HL证得Rt△AEH和Rt△BEF全等，Rt△DGH和Rt△CGF全等，得出点G是CD的中点，从而得出EG＝AD，即可求出EG的长；当FE＝FG，HE＝HG时，利用勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出CG的长，最后利用勾股定理求出EG的长即可；（3）过点A作AH⊥EF于点H，根据角平分线的性质得出AB＝AH，结合已知条件证出四边形AHFD是正方形，设AD＝DF＝FH＝AH＝x，用x表示CF、CE的长，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出x的值，然后根据图形面积之间的关系计算即可．【解答】解：（1）如图1，点D是所求作的点，由勾股定理得，，，由图可得AB＝5，∴AB＝AD，CD＝CB，∴四边形ABCD是“筝形”；（2）如图2﹣1，EF＝EH，GH＝GF，∵E是AB的中点，AB＝10，∴AE＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，在Rt△AEH和Rt△BEF中，，∴Rt△AEH≌Rt△BEF（HL），∴AH＝BF，∴AD﹣AH＝BC﹣BF，即DH＝CF，在Rt△DGH和Rt△CGF中，，∴Rt△DGH≌Rt△CGF（HL），∴DG＝CG，∴EG＝AD＝12；如图2﹣2，FE＝FG，HE＝HG，过点G作GM⊥AB于点M，∴∠GME＝∠GMB＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形BMGC是矩形，∴BM＝CG，∵点E是AB的中点，AB＝10，∴AE＝BE＝5，GM＝BC＝12，在Rt△BEF中，BE＝5，，由勾股定理得，∵BC＝12，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣5＝7，在Rt△CFG中，CF＝7，，由勾股定理得，∴BM＝1，∴ME＝BE﹣BM＝5﹣1＝4，在Rt△GME中，GM＝12，ME＝4，由勾股定理得；综上，EG的长是12或；（3）如图3，过点A作AH⊥EF于点H，∵AE平分∠BEF，∠B＝90°，AH⊥EF，∴AB＝AH，∵AB＝AD，∴AH＝AD，∵AH⊥EF，∠D＝90°，EF⊥CD，∴∠AHF＝∠EFD＝∠D＝90°，∴四边形AHFD是矩形，又AH＝AD，∴四边形AHFD是正方形，∴AD＝DF＝FH＝AH，设AD＝DF＝FH＝AH＝x，则CF＝CD﹣DF＝12﹣x，EH＝EF﹣FH＝8﹣x，在Rt△ABE和Rt△AHE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴BE＝EH，∴BE＝8﹣x，∴CE＝CB﹣BE＝12﹣（8﹣x）＝x+4，在Rt△EFC中，由勾股定理得CE2＝EF2+CF2，∴（x+4）2＝82+（12﹣x）2，解得x＝6，∴AD＝AB＝DF＝AH＝6，BE＝2，CF＝6，∴S筝形ABCD＝S△ABE+S△AEF+S△ADF+S△EFC＝＝＝6+24+18+24＝72．3．（2022春•南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE 恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．【分析】【性质初探】过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，证明Rt△ABG≌Rt △ECG（HL），即可求解；【性质再探】证明△BFC≌△CEB（SAS），即可求解；【拓展应用】连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，分别证明△ACG是等腰三角形，△CDG是等腰直角三角形，△DGM是等腰直角三角形，从而可求AG＝2，GM＝DM，在Rt△AGM中，用勾股定理求出AD的长即为所求BC的长．【解答】【性质初探】解：过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，∵▱ABCD，∴AE∥BC，∴AG＝EH，∵四边形ABCE恰为等腰梯形，∵AB＝EC，∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），∴∠B＝∠ECH，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝80°；【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵四边形BCEF是等腰梯形，∴BF＝CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，∴△BFC≌△CEB（SAS），∴BE＝CF；【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，∵GO⊥AC，∴AC＝CG，∵AB∥CD，∠ABC＝45°，∴∠DCG＝45°，∴∠CDG＝90°，∴CD＝DG，∴BA＝DG＝2，∵∠CDG＝90°，∴CG＝2，∴AG＝2，∵∠ADC＝∠DCG＝45°，∴∠CDM＝135°，∴∠GDM＝45°，∴GM＝DM＝，在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，∴AD＝﹣，∴BC＝﹣．4．（2023春•东阳市期末）定义：在平面直角坐标系中，过点P，Q分别作x轴，y轴的垂线所围成的矩形，叫做P，Q的“关联矩形”，如图所示．（1）已知点A（﹣2，0）①若点B的坐标为（3，2），则点A，B的“关联矩形”的周长为14．②若点C在直线y＝4上，且点A，C的“关联矩形”为正方形，求直线AC的解析式．（2）已知点M（1，﹣2），点N（4，3），若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，求k的取值范围．【分析】（1）①画出点A，B的“关联矩形”，确定长和宽，最后确定周长；②画出点A，C的“关联矩形”为正方形的图形，点C有两个位置，分别求直线AC的解析式；（2）画出点M、N的“关联矩形”，若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，观察函数中k的变化，找到k的临界值，即函数的图象过点N（4，3、（4，﹣2）时，进而求出k的取值范围．【解答】解：（1）①点A，B的“关联矩形”的长为3﹣（﹣2）＝5，宽为2﹣0＝2，∴周长为（5+2）×2＝14．故答案为：14．②点A，C的“关联矩形”为正方形时点C有两个，C1（2，4），C2（﹣6，4），如图所示：设直线AC1的解析式为y＝k1x+b1，则，∴，∴直线AC1的解析式为y＝x+2；设直线AC2的解析式为y＝k2x+b2，则，∴，∴直线AC2的解析式为y＝﹣x﹣2；∴直线AC的解析式为y＝x+2或y＝﹣x﹣2．（2）如图所示：当k＞0时，若函数的图象过点N（4，3），则k＝12，所以0＜k≤12；当k＜0时，若函数的图象过点（4，﹣2），则k＝﹣8，所以﹣8≤k＜0；∴若使函数的图象与点M、N的“关联矩形”有公共点，k的取值范围为﹣8≤k＜0或0＜k≤12．5．（2023春•宁波期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD中，连接AC，在AD的延长线上取点E使得AC＝AE，以CA、AE为边作菱形CAEF，我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”．（1）如图2，在菱形ABCD中，连接AC，在BC的延长线上作CA＝CF，作∠ACF的平分线CE 交AD的延长线于点E，连接FE，求证：四边形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”．（2）①如图3，菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”，过C作CH垂直AE于点H，对角线AC、BD相交于点O，连接EO若，试判断ED与BD的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出的值．【分析】（1）可推出∠FCE＝∠AEC，∠FCE＝∠ACE，从而∠ACE＝∠AEC，从而得出AC＝AE，进而得出CF＝AE，进一步得出结论；（2）①作OT⊥AE于T，可证得△AOT∽△ACH，从而，于是不妨设OT＝1，则CH＝2，OE＝CH＝2，ET＝＝，设AT＝x，则AC＝AE＝x+，AO＝，在Rt△AOT中列出x2+1＝（）2，从而求得AT＝，OA＝，由tan∠OAT＝tan∠DOT得出，从而求得DT＝，从而得出ED＝ET﹣DT＝＝，由S△AOD＝得OD＝，进一步得出结论；②由①可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AE，∴∠FCE＝∠AEC，∵CE平分∠ACF，∴∠FCE＝∠ACE，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，∵AC＝CF，∴CF＝AE，∴四边形AEFC是平行四边形，∴▱AEFC是菱形，∴菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”；（2）解：①如图，ED＝BD，理由如下：作OT⊥AE于T，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC，BD⊥AC，∵CH⊥AE，∴OT∥CH，∴△AOT∽△ACH，∴，不妨设OT＝1，则CH＝2，OE＝CH＝2，∴ET＝＝，设AT＝x，则AC＝AE＝x+，∴AO＝，在Rt△AOTx2+1＝（）2，∴x1＝，x2＝（舍去），∴AT＝，OA＝，∵∠AOD＝90°，∴∠AOT+∠DOT＝90°，∵∠ATO＝90°，∴∠AOT+∠OAT＝90°，∴∠OAT＝∠DOT，∴tan∠OAT＝tan∠DOT，∴，∴，∴DT＝，∴ED＝ET﹣DT＝＝，AD＝DT+AT＝＝，由S△AOD＝得，∴，∴OD＝，∴BD＝2OD＝，∴ED＝BD；②由①知：CH＝2，ED＝，∴＝．。
2020-2021学年北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练(四)
北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练（四）1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q 同时出发，设运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示：AP＝；DP＝；BQ＝；CQ＝．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？2．【概念学习】在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角．如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝°【理解应用】习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）如图②，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°．①写出图中一对互组的角（两个平角除外）；②直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．3．（1）如图1，直线DE经过点A，且DE∥BC，求证：∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°；（2）如图2，在已知四边形ABCD，求∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA的度数；（3）如图3，AB⊥BC，点P为∠ABC内一点，点D为BC边上一点，连接PA、PD，且AQ、DQ分别平分∠PAB、∠PDC，判断∠P，∠Q的数量关系，并说明理由．4．如图，四边形OABC中，点O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（16，0）、（16，6）、（8，6）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒．（1）请用t（t＞5）表示点Q的坐标为；（2）是否存在某个时间t，使得P、Q两点和四边形OABC中的任意两个顶点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．5．如图，△ABC中AB＝AC，E是边AB上一点，过点E作ED∥AC，EF∥BC，在FE延长线上取点G使得BE＝BG，∠C＝30°，BD＝2．（1）求证：四边形BDEG为平行四边形；（2）求D，G两点间的距离．6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）连接AF、CE，判断四边形AECF的形状，并证明．7．四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图①所示，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（2）如图②所示，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．8．在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题：（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD ＝（直接写出结果）．（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为（直接写出结果）．②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由．9．如图，四边形DEBF是平行四边形，A、C在直线EF上且AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图中所有与△DFC面积相等的三角形．10．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，已知∠B＝80°，∠C＝70°．（1）求∠A的度数；（2）在图①，图②，图③中，写出∠1，∠2的数量关系，并选择一种情况说明理由．参考答案1．解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．∴t＝15﹣2t，解得t＝5．∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，∵AD＝12cm，BC＝15cm，∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．即：12﹣t＝2t，解得t＝4s，∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．2．解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，∴∠2＝360°﹣∠1＝225°；（2）钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D．理由如下：如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D＝360°，又∵优角∠BCD+钝角∠BCD＝360°´，∴钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D；（3）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∴∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM．令∠AQM＝∠BQM＝α，∠APM＝∠DPM＝β．∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β＝∠PMQ，在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β＝∠QCP，∴∠QCP+∠A＝2∠PMQ，∵∠A+∠QCP＝180°，∴∠PMQ＝90°．∴PM⊥QM．故答案为225；优角∠PCQ与钝角∠PCQ．3．（1）证明：如图1，∵DE∥BC，∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，又∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°；（2）解，如图2，连接AC，由（1）知：三角形的内角和为180°，∴∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠D+∠CAD+∠ACD＝180°，∴∠B+∠D+∠BAC+∠ACB+∠CAD+∠ACD＝360°，即∠BAD+∠B+∠BCD+∠D＝360°；（3）解：2∠Q﹣∠P＝90°，理由是：如图3，设∠QAB＝x，∠PDQ＝y，∵QA、QD分别平分∠PAB、∠PDC，∴∠PAB＝2x，∠PDC＝2y，在四边形PABD中，由（2）得：∠P+∠PAB+∠B+∠PDB＝360°，∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴∠P+2x+90°+180°﹣2y＝360°，∴x﹣y＝45°﹣∠P，同理得：∠Q+x+90°+180°﹣y＝360°，∴x﹣y＝90°﹣∠Q，∴45°﹣∠P＝90°﹣∠Q，∴2∠Q﹣∠P＝90°．4．解：（1）过C作CD⊥OA于D，如图所示：∵A、B、C的坐标分别为（16，0）、（16，6）、（8，6），∴OA＝16，OD＝8，CD＝6，BC＝AD＝OA﹣OD＝8，OA∥BC，∴OC＝＝10，∴OC+BC＝18，由题意得：总时间t＝18÷2＝9（s），当t＞5时，2t＞10，此时点Q在CB上，则CQ＝2t﹣10，∴Q（2t﹣2，6），故答案为：（2t﹣2，6）；（2）分三种情况：①P、Q与O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则OP＝CQ，∵OP＝t，CQ＝2t﹣10，∴t＝2t﹣10，解得t＝10，与t≤9矛盾（舍去），②P、Q与A、B为顶点的四边形为平行四边形时，则PA＝QB，∵PA＝16﹣t，QB＝18﹣2t，∴16﹣t＝18﹣2t，解得t＝2，此时Q在OC上，矛盾；③P、Q与O、B为顶点的四边形为平行四边形时，则OP＝QB，∵OP＝t，QB＝18﹣2t，∴t＝18﹣2t，解得t＝6，符合题意；④P、Q与C、A为顶点的四边形为平行四边形时，则PA＝CQ，∵PA＝16﹣t，CQ＝2t﹣10，∴16﹣t＝2t﹣10，解得，符合题意；综上所述，t的值为6或．5．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵EF∥BC，ED∥AC，∴∠G+∠GBD＝180°，∠BEG＝∠ABC，∠EDB＝∠C，∴∠BEG＝∠EDB＝∠ABC，又∵BE＝BG，∴∠G＝∠BEG，∴∠G＝∠EDB，∴∠EDB+∠GBD＝180°，∴BG∥DE，又∵EF∥BC，∴四边形BDEG为平行四边形；（2）解：过E作EM⊥BC于M，过G作GH⊥BC于H，连接DG，如图所示：由（1）得：∠EDB＝∠ABC＝∠C＝30°，∴BE＝DE，∵EM⊥BC，∴BM＝DM＝BD＝1，EM＝BM＝，BE＝2EM＝，∵BG＝BE，∴BG＝，∵BG∥DE，∴∠GBH＝∠EDB＝30°，∵GH⊥BC，∴GH＝BG＝，BH＝GH＝1，∴DH＝BD+BH＝3，∴DG＝＝＝，即D，G两点间的距离为．6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥DC，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．7．解：（1）∵BE∥AD，∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°．又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°，∴∠C＝180°﹣∠EBC﹣∠BEC＝180°﹣40°﹣80°＝60°．（2））∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D＝360°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D＝360°﹣140°﹣80°＝140°．∵∠EBC＝∠ABC，∠BCE＝∠BCD，∴∠E＝180﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝180°﹣×140°＝110°．8．解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．故答案为180°；（2）①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴∠OAB＝DAB，CBA，∠OCD＝BCD，∠ODC＝ADC，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∵∠AOB＝110°，∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70°；②AB∥CD，理由如下：∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴，CBA，，，∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°，在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；∴∠ADO+∠BOD＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝∠BOC＝90°．在∠AOD中，∠DAO＝∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，∵，∴＝90°，∴∠DAB+∠ADC＝180°，∴AB∥CD．9．（1）证明：连接BD交AC于O，如图1所示：∵四边形DEBF是平行四边形，∴OE＝OF，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：图中所有与△DFC面积相等的三角形为△ADE、△BEA，△CBF，理由如下：∵AE＝CF，∴△ADE的面积＝△DFC的面积，△ABE的面积＝△CBF的面积，由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴△ADE的面积＝△CBF的面积，∴△ADE的面积＝△DFC的面积＝△ABE的面积＝△CBF的面积．10．解：（1）∵∠B＝80°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（80°+70°）＝30°；（2）如图①，∵把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，∴∠A′＝∠A＝30°，∴∠3＝180°﹣∠A′﹣∠2＝150°﹣∠2，∵∠1+∠3+∠B+∠C＝360°，∴∠1+150°﹣∠2+80°+70°＝360°，∴∠1﹣∠2＝60°；如图②，∵把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED所在的平面上，点A的对应点为A'，∴∠A′＝∠A＝30°，∴∠AEA′+∠ADA′＝360°﹣∠A﹣∠A′＝300°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠AEA′﹣∠ADA′＝60°；如图③，方法同①，∠2﹣∠1＝60°．。
人教版八年级数学上册暑期课程跟踪——11.3.1多边形提优练习
11.3.1多边形提优练习一、选择题1．n边形内角大小的平均值与（n＋2）边形内角大小的平均值之和为255°，那么n等于（）A．6 B．7 C．8 D．92．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形3. 一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为()A. 15或16或17B. 16或17C. 15或17D. 16或17或184.如图所示的图形中，多边形的个数为（）A.4B.3C.2D.15.下列多边形中，不是凸多边形的是（）6. 从八边形的一个顶点出发，可以画出x条对角线，它们将八边形分成y个三角形，则x，y的值分别为()A. 6，5B. 5，5C. 5，6D. 6，67.一个六边形共有n条对角线，则n的值为( )A.7B.8C.9D.108.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是( )边形.A.13B.12C. 11D.109．能铺满地面的正多边形是（）A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形10. 如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD；②四边形ACBD；③四边形ABDC；④四边形ADCB．其中正确的有（）A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题11. 如图，把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长为.12．以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作_________个. 13．多边形_________组成的角叫做多边形的内角。
14.如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面几种多边形的顶点数、线段数及三角形个数统计结果，推断f,e,v三个量之间的数量关系是:______________多边形：顶点个数f1: 4 56 …线段条数e: 5 79 …三角形个数v1: 2 3 4 …三、解答题15.下面的说法正确吗?请说明理由。
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四边形1. 正方形具有菱形不一定具有的性质是 ( )A ．对角线互相垂直B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线平分一组对角2. 如图1，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（ ） A 、51 B 、41 C 、31 D 、1033．在梯形A B C D 中，A D ∥B C ，那么:::A B C D ∠∠∠∠可以等于（ ）（A ）4：5：6：3 （B ）6：5：4：3 （C ）6：4：5：3 （D ）3：4：5：6 4．如图2，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，若A B C D的周长为48，DE ＝5，DF ＝10，则A B C D的面积等于( )A.87.5B.80C.75D.72.55． A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD; ②AB=CD; ③BC ∥AD; ④BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ） A.3种 B.4种 C.5种 D.6种6．如图3，D 、E 、F 分别是A B C 各边的中点，A H 是高，如果5E D cm =，那么H F 的长为（ ）（A ）5cm （B ）6cm （C ）4cm （D ）不能确定7. 如图4：E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值是（ ） （A）2（B ）21 （C）2（D ）238．如图5，在梯形A B C D 中，A D ∥B C ，A B C D =，60C ∠=︒，B D 平分A B C ∠，如果这个梯形的周长为30，则A B 的长为 （ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）79如图6是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm ，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A 、B 之间的距离为203cm ，则∠1等于( ) A ．90° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．30°FE D C)2(题第HF ED CBA题）（第6题）第4(CAE DCB A RPA BCDl10．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ， 都有a+b ≥2ab 成立．某同学在做一个面积为3 600cm 2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备x cm ． 则x 的值是（ ） (A) 1202 (B) 602 (C) 120 (D) 60 二、仔仔细细填，记录自信！11．一个四边形四条边顺次是a 、b 、c 、d ，且bd ac d c b a 222222+=+++，则这个四边形是_______________． 12．在四边形A B C D 中，对角线A C 、B D 交于点O ，从（1）A B C D =；（2）AB C D ∥； （3）O A O C =；（4）O B O D =；（5）AC BD ⊥；（6）A C 平分B A D ∠这六个条 件中，选取三个推出四边形A B C D 是菱形．如（1）（2）（5）⇒A B C D 是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒A B C D 是菱形； ⇒A B C D 是菱形．13. 如图，已知直线l 把A B C D 分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是____________________.（只需填上一个你认为合适的条件）(第13题) (第16题)14. 梯形的上底长为6cm ，过上底的一顶点引一腰的平行线，与下底相交，所构成的三角形周长为21cm ，那么梯形的周长为_________cm 。
15. 已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为________.16．如图，在梯形A B C D 中，A D B C ∥，对角线AC BD ⊥，且8A C =cm ，6B D =cm ，则此梯形的高为cm ．17. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠B 与∠C 互余，AD=5,BC=13,M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则MN 的长为_________.(第17题) (第18题) (第19题)18. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 .19. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是20．如图，正方形是由k 个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置N MDCB AABECD的矩形，中间竖放若干个矩形，则k = .三、平心静气做，展示智慧！21．已知：如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是A B 、C D 上的点，A E C F =，M 、N 分别是D E 、B F 的中点。
求证：四边形E N F M 是平行四边形。
22．如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AB=CD ，点E 为梯形外一点，且AE=DE 。
求证：BE=CE ．23．如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE ＝DC ，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
24．如图，正方形A B C D 的边C D 在正方形E C G F 的边C E 上，连结B E 、D G ．（1）观察猜想B E 与D G 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．25．如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC BD =，M 、N 分别是A B 、C D 的中点，M N 分别交B D 、A C 于点E 、F .你能说出O E 与O F 的大小关系并加以证明吗？FGCCBM N FED A26．如图，等腰梯形A B C D 中，A D B C ∥．M 、N 分别是A D 、B C 的中点，E 、F 分别是BM 、C M 的中点．（１） 求证：四边形M E N F 是菱形；（２） 若四边形M E N F 是正方形，请探索等腰梯形A B C D 的高和底边B C 的数量关系并证明你的结论．四、发散思维，游刃有余！27．如图1、 2，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F 。
⑴如图1，当点E 在AB 边的中点位置时： ①通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ；③请证明你的上述两猜想。
⑵如图2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系。
ABEMNFCD图1 图2参考答案一、1—5：CBABB 6—10：AACBA二、 11．平行四边形12．开放性试题，答案不唯一.只要符合条件都可以. 13．开放性试题，答案不唯一.只要符合条件都可以. 14．33 15．96 16． 4.8 17. 4 18．30︒ 19． 3 20．8三、21．提示：先证四边形D E B F 为平行四边形，再证M E N F =22．证明：在等腰梯形ABCD 中，AB=CD ，∴∠BAD=∠CDA ，∵EA=ED ，∴∠EAD=∠EDA ，∴∠EAB=∠EDC ．在△ABE 和△DCE 中，∵AB=DC ，∠EAB=∠EDC ，EA=ED ，∴△ABE ≌△DCE ，∴EB=EC ． 23．证△ABF ≌△DEA 24．（1）BE D G =．证明：在△BC E 和△D C G 中，∵四边形A B C D 和四边形E C G F 都是正方形， ∴B C D C =，E C G C =，90BCE DCG ∠=∠=∴， ∴△BC E ≌△D C G ， B E D G =∴．（2）由（1）证明过程知，存在，是Rt △BC E 和Rt △D C G ． 将Rt △BC E 绕点C 顺时针旋转90，可与Rt △D C G完全重合．25．相等。
提示：取A D 的中点G ，连结,MG NG ，易知1122M G N G A C B D ===则G M N G N M ∠=∠，又M G ∥O E ，N G ∥O F ，所以O E F O F E ∠=∠，所以O E O F =。
26．(1)证明： 四边形A B C D 为等腰梯形，A B C D A D ∴=∠=∠，．M 为A D 中点，AM D M ∴=．.ABM D C M ∴△≌△ B M C M ∴=．E 、F 为M B 、C M 中点，BE EM =，M F F C =，N 为B C 的中点，EN FN FM EM ∴===∴，四边形E N F M 是菱形．（２）连结M N ，B M C M B N N C M N B C ==∴ ，⊥，M N ∴是梯形A B C D 的高．又已知四边形M E N F是正方形，B M C∴△为直角三角形．又N是B C的中点，12M N B C∴=．四、27．⑴①DE=EF；②NE=BF。
③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴ DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时，DE=EF。