用等量代换求面积

合集下载

巧用等量代换求面积

S
S
BDE
CD P

S
BD P
2
S ADE 6.36 2 3.18 cmΒιβλιοθήκη 即 S 阴影 3.18 cm
2
例５.在下图的直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积。 4 Ａ′ ６乙ＡＢ′ Ｂ４ 6 由图可知： A=A′ , B=B′
甲
S
6 4 24 S 甲乙
例1 如下图，两个完全相同的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米)
S A
B 3
? 17 梯形梯形ABOD ABOD
D O 7 2 E 10
C
S S S F
根据差不变性质
ΔABC = ΔOCD
S S
ΔDEF ΔOCD
梯形ABOD =
（10+7）×2÷2=17
- =
S
- =
梯形OEFC
例2
A
如下图，ABCD是7×4长方形，DEFG是 10×2长方形，求三角形BCO与三角形 EFO的面积之差。 B 延长BC交FG于点H.
D G
6
C O H
E
SBHF 3 6 2 9
3
F
S
长方形 CEFH
3 2 6
即 S BCO S EFO 3 cm
2
例3 下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。 A
B 等量代换法
E
D
4
C
2） =4 × 4 ÷ 2=8 （ cm S ABC S BCD
例4.下图中ABCD是个直角梯形，以AD向外为边作长方形ADEF,其面积为6.36平方厘米。连接BE交AD于P，连接PC。求图中阴影部分的面积。面积转化法连结BD、连接AE

_用等量代换求面积的方法

用等量代换求面积的方法一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。

前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。

这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。

例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。

因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。

直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。

所以，阴影部分的面积是17厘米2。

例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC 长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。

分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。

例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。

求ED的长。

分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。

因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。

也就是说，只要求出梯形ABCD 的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。

阴影部分面积(五年级)

阴影部分面积计算一、直接与间接方法求阴影部分面积例1:已知右面得两个正方形边长分别为６分米与４分米,求图中阴影部分得面积。

1、如图,ＡBDC就就是一个长１2厘米,宽5厘米得长方形,已知DE长3厘米,求阴影部分三角形ＡCE得面积。

二、等量代换法求阴影部分得面积例2:右图就就是两个相同得直角三角形叠在一起,求阴影部分得面积。

(单位：厘米)１、下图中两个完全一样得三角形重叠在一起,求阴影部分得面积。

(单位：厘米)例3：在右图中,平行四边形ＡBCD得边BＣ长10厘米，直角三角形EＣB得直角边EＣ长8厘米。

已知阴影部分得总面积比三角形EFＧ得面积大10平方厘米,求平行四边形ABCＤ得面积。

1、在右图中,三角形EDＦ得面积比三角形AＢE得面积大75平方厘米，已知正方形ABＣD得边长为１5厘米,(1)求三角形ＡCＦ得面积（2)ＤF得长就就是多少厘米?四、平移法求面积例4:右图就就是一块长方形公园绿地，绿地长24米,宽16米，中间有一条宽为2米得道路，求草地(阴影部分）得面积。

1、下图得长方形就就是一块草坪，中间有两条宽１米得走道,求植草得面积。

五、等高求面积例5:求下图中阴影部分得面积。

六、按一定得比求面积把下图三角形得底边BＣ四等分,在下面括号里填上“>”、“<”或“=”。

甲得面积( )乙得面积。

例6:（选讲）两条对角线把梯形ABＣＤ分割成四个三角形。

已知两个三角形得面积(如图所示),求另两个三角形得面积各就就是多少?(单位:平方厘米)1、如下图，图中BＯ=２ＤO，阴影部分得面积就就是4平方厘米,求梯形ABCD得面积就就是多少平方厘米?作业:1、已知正方形甲得边长就就是８厘米，正方形乙得面积就就是３6平方厘米,那么图中阴影部分得面积就就是多少？2、图中两个正方形得边长分别就就是6厘米与4厘米,求阴影部分得面积。

3、求下图长方形AＢＣD得面积（单位:厘米)。

4、图中两个正方形得边长分别就就是1０厘米与６厘米，求阴影部分得面积。

初中几何题解题技巧(带例题)

S△ACD ，则 S 四边形 EFGO＝S 阴影－S△ACD 。四边形 EFGO 的面积为：880 －1500÷2＝130（平方厘米）。
练一练 7：如图 19 所示，已知平行四边形 EFGH 的底是 8 厘米，高是 6 厘米，阴影部分的面积是 16 平方厘米，求四边形 ABCD 的面积。
八、两次求差法两次求差法是指根据图形之间相容相斥的原理，通过两次求差求出面积的方法。例 8 如图 20，长方形 ABCD 的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：通过作辅助线，可以将三角形 ABC 平均分成 16 个完全一样的小三角形（如图 11 所示），阴影部分为其中 3 个小三角形，即阴影部分的面积占三角形 ABC 的面积的。阴影部分的面积为：48×＝9（平方分米）。
练一练 4：如图 12 所示，长方形 ABCD 的长是 10 厘米，宽是 6 厘米，E、F 分别是 AB 和 AD 的中点，求阴影部分的面积。
七、等量代换法等量代换法是指根据题目中图形之间面积相等的关系，以此代彼，相互替换，从而求出面积的方法。例 7 如图 18，长方形 ABCD 的面积为 1500 平方厘米，阴影部分的面积为 880 平方厘米，求四边形 EFGO 的面积。
分析与解：在长方形 ABCD 中，△ABF 与△DBF 同底（即 BF 的长）、等高（即长方形的宽），所以 S△ABF＝ S△DBF 。若从这两个三角形中同时减去△BEF，则剩下的图形面积相等，即：S△ABE＝S△DEF 。这样 S 阴影＝S 四边形 EFGO＋
分析与解：通过仔细观察图形，我们可以发现：在大圆中，与阴影Ⅰ、阴影 Ⅱ、阴影Ⅲ面积相等的图形均有 4 个，其中阴影 1 个，空白 3 个。要求阴影部分的面积，就相当于把大圆的面积平均分成 4 份，求其中一份的面积，列式为： 3.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4×（20÷2）2÷4＝78.5（平方厘米）。

阴影部分面积(五年级)

阴影部分（一）面积计算一、直接和间接方法求阴影部分面积例1：已知右面的两个正方形边长分别为6分米和4分米，求图中阴影部分的面积。

1、如图，ABDC是一个长12厘米，宽5厘米的长方形，已知DE长3厘米，求阴影部分三角形ACE的面积。

二、等量代换法求阴影部分的面积例2：右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。

（单位：厘米）1、下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。

（单位：厘米）例3：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。

1、在右图中，三角形EDF的面积比三角形ABE的面积大75平方厘米，已知正方形ABCD的边长为15厘米，(1)求三角形ACF的面积（2）DF的长是多少厘米？四、平移法求面积例4：右图是一块长方形公园绿地，绿地长24米，宽16米，中间有一条宽为2米的道路，求草地（阴影部分）的面积。

1、下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。

五、等高求面积例5：求下图中阴影部分的面积。

六、按一定的比求面积把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。

甲的面积（）乙的面积。

例6：（选讲）两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。

已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）1．如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？作业：1、已知正方形甲的边长是8厘米，正方形乙的面积是36平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？2、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。

3、求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。

4、图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

5、求图中阴影部分的面积。

（单位：厘米）6、如图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。

小学奥数第九讲-图形的面积(二)

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】第九讲图形的面积（二）阅读与思考上讲里我们学习了几何图形中一些面积计算的相关知识和方法。

本讲我们继续探讨平面几何图形面积的计算问题。

对于较为复杂的组合图形的面积问题，要注意观察图形的特点，寻找图形中的内在联系，灵活运用典型的数学思想方法、技巧解题。

1、利用弦图分割拼补求面积：如图1 弦图是由四个相同的长方形拼成一个大正方形，大正方形的边长等于长方形的长和宽的和，小正方形的边长等于长方形的长和宽的差。

根据大小正方形的边长和长方形的长与宽之间的关系可以巧妙地解决许多面积问题。

2、利用等量代换的思想计算有部分图形重叠的组合图形面积计算问题。

这类问题需要我们认真观察图形的特点，从组合图形中重叠的部分出发，寻找图形中的内在联系，巧妙地利用已知图形面积的和与差之间的关系建立等式，等量代换。

从而巧妙地求出组合图形的面积。

3、添加合适的辅助线构造成特殊图形如平行四边形、正方形、等腰直角三角形或等积形等。

添加辅助线的一般技巧有“见中点连中线，见中线延长一半”；“四十五度旁边想直角，分割拼补成等腰”等等。

典型例题|例①|如图2 从一个正方形木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为5平方米。

问锯下的长方形木条面积是多少？分析与解这类题可以巧妙地运用弦图来求面积。

如图2 可以看出剩下的长方形的长是原正方形的边长，它的宽比长少0.5米。

根据弦图的启发，我们可以假设有四个与剩下的长方形一样的长方形，把它们拼成如图 3 的大正方形，这个大正方形的边长是长方形的长和宽的和，阴影小正方形的边长是长方形长和宽的差，正好等于0.5米，问题迎刃而解了。

大正方形的面积=0.5×0.5+4×5=20.25，大正方形的边长为4.5米，于是剩下的长方形中长+宽=4.5，长-宽=0.5，长=（4.5+0.5）÷2=2.5（米）。

用等量代换求面积

用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。

前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。

例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。

直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。

所以，阴影部分的面积是17厘米2。

例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。

例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。

求ED的长。

分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。

因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD 比三角形ECB的面积大18厘米2。

也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB 的面积和EC的长，从而求出ED的长。

普通面积

普面积题及解法一般求面积有以下五种解法：⑴直接求面积。

⑵大面积减小面积。

⑶割补法求面积。

⑷等量代换求面积①三角形：等低等高、等第同高、同底等高面积都相等。

（例题奥数1+2上19页第1题）②关于两面积差的题，一般将这两面积同时加上同一个图形，再求面积。

③两图形一样，它们重合一部分，则剩下的面积相等。

⑸比例求面积（难点）习题⑴直接求面积与大面积减小面积1.如图，大长方形被分成了四个小长方形。

已知四个小长方形的周长分别是1、2、3、4，且有一个恰是正方形。

大长方形的面积是多少2.如图，求出图中梯形ABCD的面积，其中BC=56厘米。

（单位：厘米）3.已知A的面积是8平方厘米，B的面积是12平方厘米，C的面积是23平方厘米。

求涂色部分面积4.梯形 ABCD中上底为2，下底为3，三角形ADO的面积为12，那么梯形ABCD的面积为多少？5. 如图，一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？6. 正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中DBF 的面积为多少平方厘米？7. AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE 的面积是( )平方厘米．8. 在一个长为60cm ，宽为30cm 的长方形黑板上涂满白色，现有一块长为10cm 的长方形黑板檫，用他在黑板内紧紧沿着黑板的边檫黑板一周（黑板檫只能平移不能旋转）。

如果黑板上没有擦到部分的面积恰好是黑板面积的一半，那么这个黑板擦的宽是多少厘米？9. 把20分米长的线段分成两段,并在每一段上作一正方形.已知两个正方形的面积差为40平方分米,求每个正方形的面积.10. 如下图,在三角形ABC 中, BC =8厘米, AD =6厘米,E 、F 分别为AB 和AC 的中点.那么三角形EBF 的面积是______平方厘米.11. 长方形ABCD 中, AB =24cm,BC =26cm,E 是BC 的中点,F 、G 分别是AB 、CD 的四等分点, H 为AD 上任意一点,求阴影部分面积.20分米12.一块长方形钢板，长截下4分米，宽截下1分米后，成了一块正方形钢板，面积比原来减少了49平方米.原来长方形钢板的面积是多少平方米？13.三个正方形如图放置，中心都重合，它们的边依次是1cm、3cm、5cm，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？14.在图中三角形ABE、ADF和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF的面积？15.用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框，如右图.边框的周长为264厘米.里边小正方形的面积为900平方厘米，问每块长方形条砖的长和宽各是多少厘米？16.乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

小升初数学课程：第八讲组合图形和阴影部分计算

第八讲组合图形和阴影部分计算一、知识梳理（一）常用的面积公式及其联系图（二）几种常见的解题方法对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。

常用的基本方法有：1.直接求面积：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积。

2.相加、相减求面积：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加或相减求出所求图形的面积。

3．等量代换求面积：一个图形可以用与它相等的另一个图形替换，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大小；两个图形同时增加或减少相同的面积，它们的差不变。

4.借助辅助线求面积：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法求面积。

二、例题精讲1. 直接求面积：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积。

例1：求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。

解答：通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为：×2×4=4（平方厘米）变式1：如图，求下列图形总面积【解析】如图所示，该图形由三角形和平行四边形组成。

面积=三角形面积+平行四边形面积故总面积=10*32*1/2+20*32=800变式2：如图求下列图形总面积【解析】该图形由一个梯形和直角三角形组成。

总面积=(6+20)*15*1/2+3*4*1/2=201例2：正方形甲的边长是5厘米，正方形乙的边长是4厘米，阴影部分的面积是多少？解答：两个正方形的面积：+=41（平方厘米）三个空白三角形的面积和：（5+4）×5÷2+4×4÷2+5×（5-4）÷2=33（平方厘米）阴影部分的面积：41-33=8（平方厘米）变式1：如图，两个正方形边长分别为9厘米、6厘米，求图中阴影部分面积。

三年级面积计算、等量代换、重叠问题知识点

三年级面积计算专题简析：我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。

利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。

在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。

因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。

例题1 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。

这个正方形木板的面积是多少平方米？思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3米。

4米3米正方形的面积：3×3=9米。

练习一1，把一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？2，把一块长2米、宽6分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面积是多少？3，将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？例题2 学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20米。

花坛的面积是多少平方米？思路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。

根据绿篱总长是20米，可求出花坛的边长为20÷4=5米，所以花坛的面积是：5×5=25平方米。

练习二1，一个正方形的周长为36厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？2，运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长400米，求游泳池的面积是多少平方米。

3，在公园里有两个花圃，它们的周长相等。

其中长方形花圃长40米，宽20米，求另一个正方形花圃的面积。

例题3 求下面图形的面积。

（单位：厘米）1432思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分割成两个长方形。

如下图：1432从图上可以看出，左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2=8平方厘米；右边长方形的长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1=3平方厘米。

用等量代换求面积

预备知识____面积计算一、常用的基本图形面积公式：二、介绍几种常用来计算不规则图形面积的方法：1、分割法：过能对图形的分割，变成几个我们熟知的图形；2、割补法：过能对图形的割补（面积不变），使它变成我们熟知的图形；3、通过旋转、平移，把它变成我们能计算的图形。

用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。

前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。

例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

分析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。

因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，解：所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。

直角梯形OEFC的上底CD为10-3=7（厘米），下底EF=10（厘米），高EO=2（厘米）面积S=（7+10）×2÷2=17（厘米2）。

所以，阴影部分的面积是17厘米2。

例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。

分析：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，解：平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。

例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。

图形面积计算技巧

xcm,
( x 1) ( x 2) ( x 2) x ( x 1)
(6 7) (6 5)
143(cm ).
2
x6
• 练习13 六张大小不同的小正方形纸片, 拼成如图,已知最小的正方形面积为1 平方厘米,问图中红色正方形的面积? 最小正方形的边长为1, x 1 红设左上角正方形的边长 x 为 x, x 1 x 2 红色正方形的边长为:
练习 A 1 1. 在ΔABC中,AB、AC两边 21 2 3 分别被分成四等份,阴影部分 4 3 B C 面积与ΔABC的面积比是多少? 从上往下看 (1+2+3+4):(1+1+2+2+3+3+4)
=5:8.
• 2 如图,用面积为1,2,3,4的四张纸片拼成一个大长方形,问阴影部分的面积? 1 2
1 4
圆的面积-三角形面积
4
4
1 2 4 4 4 2 4
12.56 8 4.56(cm ).
2
• 12 小圆半径为10,大圆半径为20,那么阴影部分的面积是多少? 大圆面积-正方形面积 1 2 20 40 40 2
1256 800 456(cm ).
A B
C
24 24 2 2 30 19.2(cm),
(30 39) 19.2 2 662.4(cm ).
2
• 5.如图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,四边形BGHF的面积是多少平方厘米 ? A
解:连接GF, 由BF=FC
转化为:ΔABC的面积比ΔACE的面积大20平方厘米,

求阴影部分面积的方法

求阴影部分面积的方法作者：徐洪梅来源：《小学生学习指导_趣味课堂·高年级》2019年第11期要求阴影部分的面积，首先要从整体上观察图形，看清图形的特征，其次还要善于挖掘题目中的隐蔽关系，发挥想象力，灵活、巧妙地進行解答。

1.等分法。

在组合图形中，知道了整个图形的面积，要求阴影部分图形的面积，我们要先了解这些图形的特征，然后根据它们的特征用等分的方法来解决。

【例1】右图长方形的面积是160平方厘米，点D、B分别是两边的中点，求阴影部分的面积。

【分析与解】阴影部分是一个梯形，根据梯形面积的计算公式，需要知道上底、下底和高三个条件，但从题中无法求出这三个条件，因此需要转换思维视角，另辟蹊径。

由于点D、B分别是两边的中点，可以想到运用长方形的对称性，把长方形进行等分。

先取另外两边中点F、G，再将FH、FG、GH连接起来（如右图），那么整个长方形就被平均分成8份，阴影部分占了其中的3份。

根据长方形的面积，就很容易求出阴影部分的面积了。

S ABDE=S长方形÷8x3=160÷8x3=60（平方厘米）2.等量代换法。

有些阴影部分的面积不能直接求出，我们可以采用转化的策略，通过等量代换求出结果。

【例2】如右图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，求阴影部分面积。

（单位：厘米）【分析与解】题中阴影部分虽然是个梯形，可是它的上底和下底都不知道，不能直接求出它的面积，阴影部分和三角形A合在一起，就是原来的直角三角形，同时梯形B和三角形A 合在一起，是与之完全一样的直角三角形。

因此梯形B的面积就和阴影部分的面积一样大。

阴影部分面积为：（12-5+12） x4÷2=38（平方厘米）。

《等量代换》知识清单

《等量代换》知识清单一、什么是等量代换等量代换是数学中一种基本的思想方法，它指的是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。

简单来说，如果两个量是相等的，那么在一定的条件下，它们可以相互替换。

例如，我们知道 1 个苹果的重量等于 2 个橘子的重量，如果有 3 个苹果，那么就相当于 6 个橘子。

这里就是用橘子的重量代替了苹果的重量，这就是等量代换。

二、等量代换的重要性1、解决数学问题等量代换在解决数学问题中经常用到。

比如在计算图形的面积或体积时，如果已知某些部分的等量关系，就可以通过代换来简化计算。

2、培养逻辑思维通过等量代换的练习，可以帮助我们锻炼逻辑推理能力，让我们更加清晰地理解事物之间的关系，从而更有条理地思考问题。

3、为后续学习打下基础等量代换是代数学习的重要前置知识，为以后学习方程、函数等内容做好铺垫。

三、等量代换的常见类型1、重量等量代换就像前面提到的苹果和橘子的例子，在比较不同物体的重量时，经常会用到等量代换。

2、长度等量代换比如，已知 1 米的绳子等于 3 尺，那么 5 米的绳子就等于 15 尺。

3、面积等量代换在计算几何图形的面积时，如果两个图形的面积相等，就可以相互代换进行计算。

4、货币等量代换不同国家的货币之间存在汇率，通过汇率进行货币的等量代换。

四、等量代换的应用实例1、简单算术题例如：已知 1 只鸡加 1 只鸭等于 10 斤，1 只鸡等于 3 斤，那么 1 只鸭是多少斤？我们可以用等量代换的思想，因为 1 只鸡加 1 只鸭等于 10 斤，而 1 只鸡等于 3 斤，所以 1 只鸭的重量就是 10 3 ＝ 7 斤。

2、几何图形问题在一个三角形中，如果已知其中一条边的长度是另一条边的两倍，而另一条边的长度又已知，就可以通过等量代换来求出第一条边的长度。

3、实际生活中的问题比如在购物时，如果知道 1 瓶饮料的价格等于 2 包薯片的价格，而薯片的价格已知，就可以算出饮料的价格。

曹冲称象等量代换法

曹冲称象等量代换法曹冲是东汉末年三国时期的一位年仅十岁的少年英雄，以智勇双全而闻名于世。

据传，在曹魏大将军曹操的麾下，曹冲曾经利用等量代换的方法成功称象，为人们提供了一个经典的智慧故事。

本文将围绕曹冲称象等量代换法展开讨论。

等量代换法，顾名思义，指的是通过找到两个物体或情况之间的等量关系，来解决问题或进行交换的方法。

曹冲称象的故事正是一个很好的例子，它教会了我们用巧妙的方式解决繁琐的问题。

在故事中，曹冲要测量一头凶猛的大象的体重。

由于大象不可能直接放在秤上，曹冲需要运用自己的智慧来解决这个难题。

他首先找到了一个已知的等量关系：大象和石头的重量是相等的。

曹冲随后利用天平进行实验，先将大象抬起来固定好，然后将石头放在天平的另一端，通过调整石头的重量，最终使得天平达到平衡状态。

这时，曹冲就能够得出结论：石头的质量就是大象的质量。

这就是曹冲利用等量代换法成功称象的故事。

这个故事给我们提供了一个宝贵的思维方式：遇到棘手的问题时，我们应该思考是否存在其他等量的情况，通过找到等量关系，从而化繁为简，解决问题。

事实上，在日常生活中也有很多类似的例子。

举个例子，假设我们有一块土地要测量，但这块土地非常大，无法直接通过测量工具进行测量。

我们可以利用等量代换的思路，找到与土地相关的等量关系。

比如，我们可以通过测量一个小区域内的土地，然后再将这个小区域的土地扩大若干倍数，最终得出整块土地的面积。

这样，我们就通过等量代换的方法，解决了测量大面积土地的难题。

除了测量问题外，等量代换法在数学问题中也有广泛的应用。

例如，在代数方程的解题过程中，我们可以通过等量代换的思想，将复杂的方程转化为简单的形式。

通过等量代换，我们可以用一个新的变量替代原来复杂的变量，从而简化问题的求解过程。

总之，曹冲称象的故事给我们提供了一个很好的学习范例，即通过找到等量关系，使用等量代换的方法来解决问题。

在实际生活和学习中，我们可以运用等量代换法解决各种各样的问题，无论是测量问题、代数问题还是其他类型的问题，等量代换法都能够帮助我们化腐朽为神奇，找到问题解决的突破口。

阴影部分面积(五年级)

阴影部分面积计算一、直接和间接方法求阴影部分面积例1：已知右面的两个正方形边长分别为6分米和4分米，求图中阴影部分的面积。

1、如图，ABDC是一个长12厘米，宽5厘米的长方形，已知DE长3厘米，求阴影部分三角形ACE的面积。

二、等量代换法求阴影部分的面积例2：右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。

（单位：厘米）1、下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。

（单位：厘米）例3：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。

1、下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。

五、等高求面积例5：求下图中阴影部分的面积。

六、按一定的比求面积把下图三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。

甲的面积（）乙的面积。

例6：（选讲）两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。

3、求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。

4、图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

5、求图中阴影部分的面积。

（单位：厘米）6、如图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。

(完整)求面积(超多题)

S3=48÷2÷2÷2=6(平方厘米)
=48-（S1+S2+S3）=18（平方厘米）
【题目】正方形ABCD边长4厘米，E、F分别是BC、AD的中点，P是中方形任意一点，求阴影部分的面积。
【解析】
如下图，
△APF面积×4=矩形MNDA面积，
△PEC面积×4=矩形MBCN面积，
（△APE面积+△PEC面积）×4=正方形ABCD面积=16（平方厘米）
【题目】一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，图中阴影部分的面积是多少？
【解析】
因为阴影部分也是一长方形，所以只要求出它的长、宽是多少就行，为此设它的长、宽分别为a、b，面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d.
按公式便有：
a×c＝15，c×d＝18，b×d＝30，
因为三角形ABE、ADF是直角三角形，面积都是18平方厘米。而根据面积公式有
18=1/2×AB×BE,18=1/2×AD×DE,
AB＝6厘米，AD＝9厘米，即得两个简易方程：1/2×6×BE=18，1/2×9×DF=18，
BE＝6厘米，DF＝4厘米。
EC＝BC－BE＝9－6＝3（厘米）
CF＝CD－DF＝6－4＝2（厘米）
因为三角形BDC与CDE共顶点D，且CE=2BC，所以三角形CDE面积=2×三角形BDC面积=2×1=2
所以，三角形DEF面积=1+2+2+6+6+1=18。
【题目】平行四边形的面积是48平方厘米，E、F分别是BC、CD的中点，求阴影部分面积。
【解析】
如下图，
S1=48÷2÷2=12(平方厘米)
S2=48÷2÷2=12（平方厘米）

小升初数学专项题--等量代换(一)(二)

第十二讲等量代换（一）【知识梳理】等量代换-—用一种量（或一种量的一部分)来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分)，是指一个量用与它相等的量去代替。

【典例精讲1】1只小狗与3只小兔子一样重：1只小兔子和3只小鸡一样重：1只小狗和几只小鸡一样重？思路分析:由于1只小兔子和3只小鸡一样重,1只小狗与3只小兔子一样重，所以把每1只兔子都用3只小鸡代换，就得到1只小狗与3×3只小鸡一样重。

解答：3×3=9(只）答:1只小狗和9只小鸡一样重。

小结：解决这类为题关键是把每一只兔子都用小鸡换下来，就容易解决了. 【举一反三】1. 1只猴子重量=2只兔子重量,1只兔子重量=3只小鸡重量，已知1只小鸡重200克，1只猴子重多少克?2.根据图，想一想，一个圆等于几个三角形?3。

根据图,想一想，问号处该放什么？？【典例精讲2】学校要买足球和排球．买3个足球和4个排球共需190元，如果买6个足球和2个排球需要230元．一个足球和一个排球各需要多少元？思路分析：先看条件中的数量关系：3个足球的钱+4个排球的钱= 190元（1), 6个足球的钱+2个排球的钱=230元(2)，可得6个足球的钱+8个排球的钱= 380元（3）,通过（2)可得6个足球的钱= 230元－2个排球的钱（4）,把（4）代入（3），可得1个排球的排球的价钱，进而可得一个足球的价钱。

解答：3个足球的钱+4个排球的钱= 190元（1）,6个足球的钱+2个排球的钱=230元（2），(1)×2得6个足球的钱+8个排球的钱= 380元（3）由（2）得6个足球的钱= 230元－2个排球的钱（4)把（4）代入（3)得230元－2个排球的钱+8个排球的钱= 380元所以1个排球的钱=25(元）通过（1）得1个足球的钱=30（元）答：一个足球需要30元，一个排球需要25元。

小结:解决这类问题的关键是把条件变形，然后进行等量代换.【举一反三】4.6头牛和16只羊每天共吃青草186千克,10头牛和30只羊每天共吃青草330千克．问一头牛和一只羊每天各吃青草多少千克?5.【巩固】6米绵绸的价格与12米花布的价格相等．李阿姨买了12米绵绸和36米花布，共花费了240元．棉绸和花布的单价各是多少?答案及解析：1.【解析】由于1只猴子重量=2只兔子重量，1只兔子重量=3只小鸡重量，所以1只猴子重量=（2×3）只小鸡的重量，所以直接代入计算即可。

用等量代换求面积

巧用等量代换求面积

_用等量代换求面积的方法

阴影部分面积(五年级)

初中几何题解题技巧(带例题)

阴影部分面积(五年级)

小学奥数第九讲-图形的面积(二)

用等量代换求面积

普通面积

小升初数学课程：第八讲 组合图形和阴影部分计算

三年级面积计算、等量代换、重叠问题知识点

用等量代换求面积

图形面积计算技巧

求阴影部分面积的方法

《等量代换》 知识清单

曹冲称象等量代换法

阴影部分面积(五年级)

(完整)求面积(超多题)

小升初数学专项题--等量代换(一)(二)

小升初数学课程：第八讲组合图形和阴影部分计算

《等量代换》知识清单