直线和圆复习学案

第七章 直线和圆的方程知识点归纳一，直线的倾斜角和斜率1，直线的方程和方程的直线概念。

2，直线的倾斜角：倾斜角的取值范围是[)π,0 3，直线的斜率： （1）倾斜角为α，若2πα≠则斜率K=tan α，若2πα=直线的斜率不存在。

（2）直线上两点),(),,(222111y x P y x P ，若x 1≠x 2，则直线的斜率为 K 2121x x y y --=；若x 1=x 2 ，则直线的斜率不存在。

4，直线的方向向量（1，K ）或为n （1,k ）；若斜率不存在，则方向向量为（0，1） 注：（直线Ax+By+C=0的方向向量为(B,-A)） 5，可利用斜率相等判定三点共线。

二，直线的方程1，直线方程的五种形式：点斜式， 斜截式， 两点式， 截距式，一般式，。

2，确定动直线过定点的方法：将直线化为点斜式)(00x x k y y -=-，若K 变化，则动直线过定点（x 1，y 1）。

三、两直线的位置关系1，两直线平行的判定方法：→用直线的斜截式来判定，设222111:,:b x k y l b x k y l +=+=l 1∥l 2 ⇔K 1=K 2且b 1≠b 2两直线斜率不存在，显然l 1∥l 2。

→用直线的一般式来判定：设0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A ll 1∥l 2⇔212121C C B B A A ≠=，或A 1=A 2=0且B 1C 2≠B 2C 1，或B 1=B 2=0且A 1C 2=A 2C 1 。

2，两条直线垂直的判定→用直线的斜截式来判定：设直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=l 1⊥l 2⇔K 1K 2=-1(斜率存在)，一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为零则两直线垂直。

→用直线的一般式来判定：设0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A ll 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=03，对称性问题求已知点关于点的对称点：利用中点坐标求解，求点关于直线的对称点：利用垂直与中点关系建立方程组，求直线关于点的对称直线：已知直线l ： 0=++C By Ax ，点（x 0，y 0），可在直线l 上任取一点P 1（x 1，y 1），先求P 1关于点P 的对称点P /1 ，再利用所求直线经过P /1且与已知直线l 平行确定。

4，直线1l 到2l 的角，设1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=，1l 到2l 的角为θ，则有，当121-=k k 时θ=2π，当121-≠k k 时，21121tan k k k k +-=θ 角的范围（0，π） 直线1l 与2l 的夹角，夹角为θ，则有|1|tan 2112k k k k +-=θ（121-≠k k ）5．两直线的交点共点直线系：R C y B x A C y B x A ∈=+++++λλ,0)(222111，但不含0222=++C y B x A 这条直线。

6，点到直线的距离公式点P （x 0，y 0）到直线l ：0=++C By Ax 的距离2200||BA C By Ax d +++=0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 之间的距离2221||BA C C d +-=。

求直线方程提倡“先判断，后计算”，“特殊提前，通法接连”。

四、线性规划1，二元一次不等式表示的平面区域；一次不等式组表示的平面区域（直线定界；特殊点定域法；斜截式判断法）2，目标函数、约束条件、可行解、可行域、最优解。

3，寻求整数最优解（1）网格法，（2）调整法。

4，练习（试卷） 五、曲线与方程1、曲线与方程的概念：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标都是曲线上的点（完备性），那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

2、求曲线方程的一般步骤建系——设点——列式——化简——验证，步骤（5）可以省略。

3、求曲线（动点的轨迹）方程的主要方法 （1）条件直译法：”（2）动点转移法（相关点法）： （3）几何定义法：（4）参数法： 4，曲线的交点（1）两条曲线的交点，是这两条曲线的方程组成的方程组的实数解；交点的个数决定于方程组实数解的组数。

（2）直线与二次曲线的交点：把直线方程代入二次曲线方程，消去一个变量，得到另一个变量的二次方程，这个二次方程的判别式记作Δ， 当Δ>0时，直线与二次曲线有两个交点； 当Δ=0时，直线与二次曲线仅有一个交点； 当Δ<0时，直线与二次曲线无交点。

10、圆的方程：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=。

⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>， ⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。

圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==； 22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤。

⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=11、点与圆的位置关系： 已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。

12、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。

可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切。

提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。

13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：14、圆的切线与弦长：(1)切线：①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=，过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200()()()()x a x a y a y a R --+--=，②过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程； ③切线长：（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d ，弦长一半12a及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2221()2r d a =+；②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x y g x y λ+=，当1λ=-时，方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程.。

15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! 注意：（1）直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论（△法）。

（2）对称是平面几何的基本变换。

在掌握点关于点及直线对称的基础上，理解曲线与曲线之间的中心对称及轴对称。

善于利用对称的知识解题。

（3）本章主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数与方程，等价变换等。

§7.1 直线的方程学习目标：了解直线的方程和方程的直线概念；掌握直线的倾斜角；直线的斜率；直线的方向向量；斜率公式；直线方程的五种形式预习作业：1、直线l 的斜率)(12R m m k ∈-=，则直线l 的倾斜角的范围 。

2、已知直线1l 经过A （2，-1）和B （3，2），直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，求直线l 2的斜率。

3下列四个命题中的真命题是 （ ） A 、经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示； B 、经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程0))(())((112112=-----x x y y y y x x 表示；C 、不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示； D 、经过定点A （0，b ）的直线可以用方程b kx y +=表示。

例1 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线x y 3 的倾斜角的2倍.例2 求过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使： （1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA|·|PB|最小时l 的方程.1（06年北京卷）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于2.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为3.)0,1(),0,1(-N M ，直线b y x =+2与线段MN 相交，求b 的取值范围。

§7.2 两线的位置关系学习目标：掌握两直线平行的判定方法；两条直线垂直的判定；直线1l 到2l 的角和它们夹角；两直线的交点；点到直线的距离公式预习作业：1.已知直线06:1=++my x l 和023)2(2=++-m y x m l 。

（1）若1l ∥2l ，求m 的值。

（2）若21l l ⊥，求m 的取值。

2. 在ΔABC 中，已知点A （1，3），B （－2，－3）∠BAC 的平分线方程为x y 3=，求AC 所在的直线方程。

3.求与直线012=++y x 的距离为55的直线方程。

例1：如图，正方形的中心点为)0,1(-C ，一条边所在的直线方程是053:=-+y x l ，求其他三边所在的直线方程。

05=-例2.等腰三角形两腰所在的直线方程为04702=--=-+y x y x 与，原点在等腰三角形的底边上，求底边所在的直线方程。