[最新中考数学]-全国初中数学联赛分类汇编5 代数解答题 人教新课标版

2007-2012年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编5---代数解答题

1、 设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.（2007）

解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.

由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥.

由题意知，042

≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以

⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,

m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.

1,6n m 2、已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是

整数，求a 的值及方程的整数根. （2007）

解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得

[]

056)18()1(2=+++-x a x x

因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x

的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.

而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.

设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(2

2=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .

显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而

8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以

⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩

⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.

26,12k a

当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方

程的三个根为1，1-和56-.

当12=a 时，方程（1）即056302

=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.

3、设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值. （2007）

解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；

一元二次方程02)2(2

=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.

所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔ 09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）

由题意知，042

≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以

⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩

⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩

⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m

4、设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数x

y 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. （2007）

解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得

a x a x -+++38)17(2x

56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得

[]

056)18()1(2=+++-x a x x （1）

显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.

因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （2）

的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.

而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.

设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(2

2=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .

显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以

⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩

⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.

26,12k a

当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个

函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.

当12=a 时，方程（2）即056302

=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两