河北省保定市八校联合体2015-2016学年高二上学期期中联考数学(文)

2015-2016学年第一学期河北省保定市八校联合体高二期中联考高二数学（文科）（满分150分，考试时间：120分钟）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，注意事项：1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效。

2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级”、和“考号”写在答题卷上。

3．考试结束，只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“若A a ∉，则B b ∈”的否命题是（ ）A ．若B b ∈，则A a ∉ B ．若A a ∈，则B b ∉C ．若B b ∉，则A a ∈D ．若A a ∉，则B b ∉ 2．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <”，则“a b <”的逆命题是真命题 B ．命题“若2,0x R x x ∃∈->”，的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤” C ．命题“p 或q ”，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 D ．已知x R ∈，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件3．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a 等于（ ）A18 B 14 C 12D 1 4．如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ）A 、36B 、2C 、4D 、1 5．当x 在(,)-∞+∞上变化时，导函数/()f x 的符号变化如下表：则函数()f x 的图象的大致形状为（ ）6．记定点M 10(3,)3与抛物线22y x =上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线的准线l 距离为d 2，则当d 1+d 2取最小值时，P 点坐标为（ ）A ．(0,0)B ．C ．（2，2）D ．11(,)82- 7. 下列求导运算正确的是( )A ．2'11)1(xx x +=+B ．2ln 1)(log '2x x = C ．')3(x =e x3log 3D ．x x x x sin 2)cos ('2-=8.函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点A ，B ，C ，D 构成的四边形为菱形，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（ ）A ．2 B ．38+ C ． 12 D ．1410．如果()f x 为偶函数，且导数()f x 存在，则()0f '的值为 （ ） A 、2 B 、1 C 、0 D 、－111.抛物线x y 82=的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B ,n m ==则=+nm 11 （ ）A. 4B. 8C.21D. 1 12、右上图是函数y=f(x)的导函数y=f ′(x)的图象,则下面判断正确的是 （ ） A.在区间(-3,1)内f(x)是增函数 B.在x=2时f(x)取得极大值 C.在(4,5)内f(x)是增函数 D.在x=2时f(x)取到极小值第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 13．已知命题21:"[1,2],ln 0"2p x x x a ∀∈--≥与命题 2:",2860"q x R x ax a ∃∈+--=都是真命题, 则实数a 的取值范围是 .14．在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A （-4,0），C （4,0）且顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A CB +=____________。

15．曲线xxx f cos sin 2)(+=在点))0(,0(f 处的切线方程为 ．16．给出下列命题：①R ∈∃α，使得ααsin 33sin =； ②,R k ∈∀曲线11622=--ky k x 表示双曲线； ③2,x ae y R a x =∈∀+的递减区间为)0,2(- ④,R a ∈∃对R x ∈∀，使得022<++a x x . 其中真命题为 （填上序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本大题满分10分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆； 命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若p 、q 有且只有一个为真，求m 的取值范围.18．（本题满分12分）已知椭圆12222=+by a x (a>b>0)（1）当椭圆的离心率12e =，一条准线方程为x ＝4 时，求椭圆方程； （2）设(,)P x y 是椭圆上一点，在（1）的条件下，求2z x y =+的最大值及相应的P 点坐标。

（3）过B(0,－b)作椭圆12222=+by a x (a>b>0)的弦，若弦长的最大值不是2b ，求椭圆离心率的取值范围。

19. （本题满分12分）设3211()232f x x x ax =-++.若()f x 在 2(,)3+∞存在单调增区间，求a 的取值范围. 20．（本题满分12分）已知：如图，圆O ：222=+y x 交x 轴于A ，B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为22的椭圆，其左焦点为Ｆ，若Ｐ是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆的左准线l 于点Ｑ。

（1）求椭圆的标准方程； （2）若点P 的坐标为（1，1），①求线段PQ 的长；②求证：直线PQ 与圆O 相切； 21．（本小题满分12分） 已知函数()ln f x x ax =-()a ∈R .（1）当2=a 时，求函数()f x 的单调区间； （2) 当a >0时，求函数()f x 在[1,2]上最小值. 22．（本小题满分12分）已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M （1，2），它们在x 轴上具有相同的焦点F 1，且两者的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在坐标原点。

（1） 求抛物线的方程和椭圆方程；（2） 假设椭圆的另一个焦点是F 2，经过F 2的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，且满足22F P mF Q =，求m 的取值范围。

高二数学试卷答案一、选择题 BBBBC CAADC CC 二、填空题13． (]1,42,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦；14．；54；15． 02=+-y x ；16．①③三、解答题：17．解：将方程11222=--m y m x 改写为11222=-+my m x ， 只有当,021>>-m m 即310<<m 时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，所以命题p等价于310<<m ；………………………………………………………………………4分 因为双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ， 所以0>m ，且1455<+<m，解得150<<m ，…………………………………6分所以命题q 等价于150<<m ； ……………………………………………………8分若p 真q 假，则∅∈m ；若p 假q 真，则1531<≤m 综上：m 的取值范围为1531<≤m (12)分18．解：（1）212,1,2,4c e a c a b a c⎧==⎪⎪∴===⎨⎪=⎪⎩ 22143x y +=……………3分 （2）因为(,)P x y 在椭圆22143x y +=上，所以可设2cos ,x y θθ==，则2cos 4sin()46z πθθθ=+=+≤，max 4z ∴=，此时2()3k k Z πθπ=+∈，相应的P 点坐标为3(1,)2。

…………………………………6分（3）设弦为BP ，其中P(x,y)，222222222()2a BP x y b a y y by b b=++=-+++ ＝22342222222222()(),()c c b b y by a b y a b f y b y b b b c c-+++=--+++=-≤≤，因为BP 的最大值不是2b ，又2()4f b b =， …………………………………8分所以f （y ）不是在y=b 时取最大值，而是在对称轴32b y c=处取最大值，所以32b b c <，所以22b c <，解得离心率(,1)2e ∈ (12)分19. 解:（1）由2211()2()224f x x x a x a '=-++=--++……………………………2分当222[,),()()2;339x f x f a ''∈+∞=+时的最大值为 令2120,99a a +>>-得 所以，当12,()(,)93a f x >-+∞时在上存在单调递增区间. ……………………………4分（2）令1211()0,22f x x x -+'===得两根所以12()(,),(,)f x x x -∞+∞在上单调递减，在12(,)x x 上单调递增 ………………8分当1202,14,()a x x f x <<<<<时有所以在上的最大值为2()f x 又27(4)(1)60,(4)(1)2f f a f f -=-+<<即所以()f x 在上的最小值为 4016(4)833f a =-=- …………………………………10分得21,2a x ==，从而()f x 在上的最大值为10(2).3f =… ……………12分20．（本题满分12分）解：（1）设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x因为圆O: 222=+y x 交x 轴于A 、B 两点，所以AB=22即2,222==a a ………………………………………………………………1分而椭圆的离心率为22，所以1=c ，故1=b … ………………………………………2分因此椭圆的标准方程为1222=+y x ………………………………………………3分（2）①由（1）知椭圆的左焦点F(—1，0)，而点P （1，1）所以直线PF 的方程为)1(21+=x y ………………………………………………4分直线QO 的方程为x y 2-= …………………………………………………………6分 而椭圆的左准线方程为2-=x 所以点Q 的坐标为（—2，4）因此23=PQ ……………………………………………………………………8分 ②证明：直线PQ 的方程为：1)1(+--=x y ，即02=-+y x ……………………10分 而点O 到直线PQ 的距离为r d ==2所以直线PQ 与圆O 相切 …………………………………………………………12分21．解： (Ⅰ) 21)(-='xx f (0x >), …………………………………1分 ①由021)(>-='xx f ，得210<<x ……………… …………………2分②由021)(<-='xx f ，得21>x ……………………………3分故函数()f x 的单调递增区间为)21,0(,单调减区间是),21[+∞. ………………4分 (Ⅱ)①当11a≤,即1a ≥时,函数()f x 在区间上是减函数, ∴()f x 的最小值是(2)ln 22f a =-. ………………6分 ②当12a ≥，即12a ≤时，函数()f x 在区间上是增函数， ∴()f x 的最小值是(1)f a =-. ………………8分 ③当112a <<，即112a <<时，函数()f x 在1[1,]a 上是增函数，在1[,2]a是减函数． 又(2)(1)ln 2f f a -=-， ∴当1ln 22a <<时,最小值是(1)f a =-； 当ln 21a ≤<时,最小值为(2)ln 22f a =-. ………………10分 综上可知,当0ln 2a <<时, 函数()f x 的最小值是a x f -=min )(；当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是a x f 22ln )(min -=. ………………12分 22．解：（1）由题意可设抛物线方程为22(0)y px p =>，把M 点代入方程得：抛物线方程为24y x =………………………………………………..2分所以F 1（1，0），且经过点M ，故设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，联立方程得22221141a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得2232a b =+=+ 故椭圆方程为221=………………………………………………………………..6分（2）易知F2（-1，0），设直线的方程为y=k(x+1)，联立方程得2y=k(x+1)4y x ⎧⎨=⎩，消去y 得2222(24)0k x k x k +-+=，因为直线l 与抛物线相交于P 、Q 两点，所以222k 0(24)40k k ≠⎧⎨-->⎩，解得-1<k<1且0k ≠ (9)分设P （11,x y ）Q （22,x y ），则212212421k x x k x x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ ，由22F P mF Q = 得1122(1,)(1,)x y m x y +=+，所以12121(1)x m x y my +=+⎧⎨=⎩，∵P 、Q 为不同的两点，∴222121,m y m y ≠=，即21244x m x = ，∴212x m x =解得211,x x m m ==，∴121x x m m +=+………………………………………………..10分 即2142m m k +=-，∵201k <<，∴2422k ->，即12m m+> 所以m>0且1m ≠……………………………………………………………………………….12分。