北师大 概论统计 作业

《概率统计》作业
本课程作业由二部分组成：第一部分为“客观题部分”，由15个选择题组成，每题1分，共15分； 第二部分为“主观题部分”，由4个解答题组成，第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分。

作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。

客观题部分
一、选择题（每题1分，共15分）
1． A , B , C 三个事件中至少有两个事件，可表示为（ C ）
A 、 ABC
B 、AB
C ABC ABC ++
C 、 _______
ABC D 、ABC BC A C B A C AB +++
2．设A , B , C 为任意三个事件，则_____________
A B C ++=（ B ）
A 、ABC
B 、ABC
C 、ABC ABC ABC ++
D 、A B C ++
3．设Ａ，Ｂ为任意两个事件，则（ A ）
Ａ、()()()()P A B P A P B P AB +=+-
Ｂ、()()()()P A B P A P B P AB -=--
Ｃ、()()()()P A B P A P B P AB +=++
Ｄ、()()()()P A B P A P B P AB -=-+
4．设随机变量ξ服从参数为５的指数分布，则它的数学期望值为（ B ） Ａ５ Ｂ、1
5 Ｃ、２５ Ｄ、1
25
5．设,[0,1],
()0,
[0,1].cx x p x x ∈⎧=⎨∉⎩若p(x)是一随机变量的概率密度函数，则c = ( C )
A 、0
B 、1
C 、 2
D 、3
6．设随机变量ξ服从参数为５的指数分布，则它的方差为（ A ） Ａ、125
Ｂ、25 Ｃ、15 Ｄ、5 7．设A, B 为任意两个事件，则________
A B +=（ B ）
A 、A
B B 、AB
C 、A B
D 、A B +
8．设a <b , 则1,()b-a 0,a x b p x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
是（ C ）分布的密度函数。

A 、指数
B 、二项
C 、均匀
D 、泊松
9．设总体Ｘ的均值μ与方差2
σ都存在但均为未知参数，12,,,n X X X 为来自总体Ｘ的简单随机样本，记1
1n
i i X X n ==∑，则μ的矩估计为（ A ） A 、X B 、1max{}i i n X ≤≤ C 、1min{}i i n X ≤≤ D 、2n 1
1(X )n i i X n =-∑ 10．已知事件A 与B 相互独立，且()P A B a ⋃=（a <1）,P (A )=b , 则P (B ) = ( C )
A 、a-b
B 、1-a
C 、b
b a --1 D 、1-b 11．当ξ服从（ B ）分布时，必有E D ξξ=
Ａ、指数 Ｂ、泊松 Ｃ、正态 Ｄ、均匀
12．设123,,X X X 为来自正态总体(,1)N μ的容量为３的简单随机样本，则（ B ）是关 于μ得最有效的无偏估计量。

A 、123111X X X 236++
B 、123111X X X 333
++ C 、1230.1X 0.2X 0.7X ++ D 、1230.3X 0.3X 0.4X ++
13．设（,ξη）是二维离散型随机向量，则ξ与η独立的充要条件是（ D ） Ａ、()()()E E E ξηξη⋅=⋅ Ｂ、()()()D D D ξηξη+=+ Ｃ、ξ与η不相关 Ｄ、对（,ξη）的任何可能的取值（,i j x y ），都有
}{}{},{j i j i y P x P y x P =⨯====ηξηξ
14．设12,,,n X X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，2σ未知，则μ的置 信区间是（ B ）
A
、/2/2(X Z X Z αα-+
B
、/2/2(X Z X Z αα-+ C 、()()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+----n S n t X n S n t X 1,12121αα D
、/2/2(((X t n X t n αα--+- 15．若12,,,n X X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，则统计量
2211
()n i i X μσ=-∑服从自由度为（ B ）的2χ－分布。

Ａ、ｎ Ｂ、ｎ－１ Ｃ、ｎ－２ Ｄ、ｎ－３
主观题部分
二、解答题（第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分）
1. 简述事件独立与互斥之间的关系。

一般来讲两者之间没有什么必然联系。

两个事件A,B 互斥指的是A B φ⋂=,此时必然有P(A+B)=P(A)+P(B)。

而相互独立指的是P(AB)=P(A)P(B). 由加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，可知除非A ，B 中有一个的概率为零，否则互斥不会独立，独立不会互斥。

2. 简述连续型随机变量的分布密度和分布函数之间的关系。

分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论，包括连续性和离散型，已知连续型随机变量的密度函数，可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数；当已知连续型随机变量的分布函数时，对其求导就可得到密度函数。

对离散型随机变量而言，如果知道其概率分布，也可求出其分布函数；当知道其分布函数时也可求出概率分布，分布密度刻画了随机变量在单位长度内的大小，分布函数则是小于某点的整个事件的概率，分布密度由分布函数求导而得。

3. 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.04，第二台出现废品的概率为0.03，加工出来的零件放在一起。

并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多两倍，求任意取出的一个零件是合格品的概率。

设第二台加工的零件为x个，因第一台加工的比第二台的多两倍，则第一台加工的零件为3x个
混合起来的废品数：0.04*3x+0.03*x=0.15x 所以，抽出废品的概率为0.15x/4x=3/80
因抽出的合格品与废品两个事件为互斥事件，所以抽出的为合格品的概率：1-3/80=77/80=0.9625
4．某仪器有3个独立工作的元件，它们损坏的概率均为0.1。

当一个元件损坏时仪器发生故障的概率为0.25；当两个元件损坏时仪器发生故障的概率为0.6；当三个元件损坏时仪器发生故障的概率为0.95，求仪器发生故障的概率。

P1：3*0.1*0.9*0.9*0.25= 0.06075
P2：3*0.1*0.1*0.6*0.9= 0.0162
P3：0.1*0.1*0.1*0.95=0.00095
所以，P=P1+P2+P3=0.06075+0.0162+0.00095=0.0779。