课时跟踪检测(六十六) 几何概型

课时跟踪检测(六十六) 几何概型
一、选择题
1.(2015·广东七校联考)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地
撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )
A ．16.32
B ．15.32
C ．8.68
D ．7.68
2．在满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，
y ≥0
的平面点集中随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A 为
“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )
A.14
B.3
4
C.13
D.2
3
3．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |＜6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )
A.35
B.9
25
C.1625
D.2
5
4.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线
y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )
A.512
B.1
2
C.23
D.3
4
5．(2015·北京昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋2≥0，x ≤4，
y ≥－2
表示的平面区域为D .在区域D 内
随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( )
A.413
B.5
13
C.825
D.9
25
6．(2015·佛山二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4，0≤c ≤4.记函数f (x )满足
条件⎩
⎪⎨⎪⎧
f (2)≤12，
f (－2)≤4为事件A ，则事件A 发生的概率为( )
A.14
B.58
C.12
D.3
8
二、填空题
7．(2015·湖北八校二联)记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为________．
8．(2015·武汉调研)在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于6
5的概率是
________．
9．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．
10．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是1
4
，则此长方体的体积是________．
三、解答题
11．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12
.
(1)求n 的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .
(ⅰ)记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；
(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率．
12.(2015·潍坊一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15 °，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？
答案
A 卷：夯基保分
1．选A 设椭圆的面积为S ，则S 4×6＝300－96300，故S ＝16.32.
2.选B 如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，
y ≥0表示的平面区域的面
积S △ABC ＝1
2
×(1＋3)×2＝4；
不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，
y ≥0，
y ＜2x 表示的平面区域的面积S △AOC ＝1
2
×3×2＝3，因此所求的概
率等于3
4
，选B.
3.选B PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C
内部
任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝9
25
，故选B.
4．选C 图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝⎠⎛04
x d x ＝23x 32|40＝16
3，S 长方形
＝4×2＝8，∴所求概率P ＝S 阴
S 长方形＝16
38＝23
.故选C.
5．选D 作出平面区域D ，可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2.
∴P ＝S △AED S △ABC ＝1
2×6×3
1
2
×10×5＝9
25.
6．选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4，
0≤b ≤4，
0≤c ≤4，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2b ＋c －8≤0，
2b －c ≥0，0≤b ≤4，0≤c ≤4表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以
所求概率为1
2
，故选C.
7.解析：作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为
2
4π＝1
2π
.
答案：1
2π
8．解析：设随机取出的两个数分别为x ，y ，则0＜x ＜1,0＜y ＜1，依题意有x ＋y ＜6
5，
由几何概型知，所求概率为P ＝12－1
2×⎝
⎛⎭⎫1－15×⎝⎛⎭⎫1－1512
＝1725
. 答案：17
25
9．解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ，由4x (12－x )＞128得x 2－12x ＋32＜0,4＜x ＜8，因此所求的概率等于8－412＝1
3
.
答案：13
10．解析：设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h (2h ＋2)(2h ＋1)＝14
，解得h ＝3或h ＝－1
2(舍去)，
故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：3
11．解：(1)依题意n n ＋2＝1
2
，得n ＝2.
(2)(ⅰ)记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )(k ，s )，(h ，s )．
所以所求概率为P (A )＝412＝1
3
.
(ⅱ)记“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2＞4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＞4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4
.
12．解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 2
6
.
所以，在甲商场中奖的概率为P 1＝πR 2
6πR 2＝1
6
.
如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，
(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，
摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝1
5
.
由于P 1＜P 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．。