【精选】北师大版高中数学(必修5)1.3《等比数列》word学案-数学知识点总结
高中数学北师大版必修5 1.3 教学设计 《等比数列》(数学北师大版必修5)
《等比数列》【知识与能力目标】正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比数列在生活中的应用。
【过程与方法目标】通过对等比数列概念的归纳，培养学生严密的思维习惯；通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维能力并进一步培养学生善于思考，解决问题的能力。
启发式和讨论式相结合,类比教学【情感态度与价值观】培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，实事求是的科学态度，调动学生的积极情感，主动参与学习，感受数学文化。
【教学重点】等比数列的概念和通项公式。
【教学难点】1、在具体问题中抽象出数列的模型和数列的对比关系；2、对比数列与等差数列的关系。
（一）复习回顾师出示课件第2页，回顾之前了解的关于等差数列的知识，带领学生进行一个简短的复习。
请同学们回忆一下等差数列的定义和什么是等差中项。
1.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等比数列的公差。
公差通常用字母d表示.2.由三个数a,A,b组成的等差数列，A叫做a与b的等差中项。
（二）等比数列1、引例打开课件第3页①如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：1，2，8，16…②我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。
这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。
如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到的数列是：打开课件第5页。
数学：1.3.2等比数列中项 教案 (北师大必修5)
1.3.2等比数列中项教学目标: 1．明确等比中项概念．2．进一步熟练掌握等比数列通项公式. 3．培养学生应用意识.教学重点: 1.等比中项的理解与应用2.等比数列定义及通项公式的应用教学难点: 灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题. 教学方法: 启发引导式教学法 教学过程:(I)复习回顾:我们共同来回忆上节课所学主要内容. 生：等比数列定义：)0(1≠=-q q a a n n等比数列通项公式：)0,(111≠⋅=-q a q a a n n（Ⅱ）讲授新课:与等差数列对照，看等比数列是否也具有类似性质？ 生：（1）b A a ,,成等差数列2ba A +=⇔ 如果在b a 与中间插入一个数G,使b G a ,,成等比数列，即ab G Gb a G =∴=2 若ab G =2，则Gba G =，即b G a ,,成等比数列 ∴b G a ,,成等比数列0)b (a 2≠⋅=⇔ab G师：综上所述，如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等经中项.生：（2）若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+师：若在等比数列中，m+n=p+q ，q p n m a a a a ,,,有什么关系呢？生：由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11q 11 --⋅==q p p q a a q a a221221-+-+=⋅=⋅q p q p n m n m qa a a q a a a（2）若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ⋅=⋅师：下面来看应用这些性质可以解决哪些问题？例1：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么：1221=q a ，①1831=q a ， ②由②÷①可得第23=q ③ 把③代入①可得8 316121==∴=q a a a 答：这个数列的第1项与第2项是316和8.例2：已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q 1;{}n b 的首项为b 1，公比为q 2，那么数列{}n n b a ⋅的第n项与第n+1项分别为：n n nnn n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++Θ它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列. （Ⅲ）课堂练习:课本P23练习1.(老师结合学生所做，讲评练习.) 书面练习:课本P25练习1、2、3 （Ⅳ）课时小结:（1） 若a ，G ，b 成等比数列，则G ab G ,2=叫做a 与b 的等经中项. （2） 若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅ 2．预习提纲：①等比数列前n 项和公式； ②如何推导等比数列的前n 项公式？ 小结：作业：P30习题A组7题。
高二数学北师大版必修5教学教案1-3-1等比数列(2)Word版含解析
等比数列教学设计一、教学目标1.知识与技能目标：理解等比数列的定义，掌握等比数列通项公式及推导过程。
掌握等比中项的定义并能进行相关运算。
能运用等比数列通项公式解决相关问题。
2.过程与方法：在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力3、情感态度与价值观：通过对等比数列通项公式的推导，培养学生分析解决问题的能力，逻辑思维的严密性。
二、教学重点等比数列的概念及应用。
等比数列的通项公式及应用。
三、教学难点应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题四、教学过程1、温故知新等差数列的概念一般地如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。
数学表达式：)2(1≥=--n d a a n n 或da a n n =-+1等差中项的概念：如果三个数a,A,b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
2A=a+b 等差数列通项公式:d m n a d n a a m n)()1(1-+=-+=那么，还有像等差数列这样前项与后项的关系特殊的数列吗？ （设计意图：复习旧知识，为新知识的学习做准备。
） 2、引入概念举出2个关于等比数列的实际例子，让学生归纳总结出其特点，从而引入等比数列的定义观察下面问题中的数列，归纳它们的共同特点。
（1）你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸，捏合、再拉伸，再捏合，如此反复几次，拉成多少根细面条？ (2) 我国古代学者提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ①1,2,4,8,16，…； ② ,81,41,21,1 （设计意图：通过创设问题情景激起学生学习性趣） 类比等差数列的定义概括出等比数列的定义：一般地如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 来表示(q ≠0)(设计意图:为了增加学生对等比数列定义的理解和记忆，同时培养学生的总结能力和习惯)等比数列的定义还可以用怎样的数学式子来刻画？师生互动得出等比数列数学语言：a na n －1＝q (n >1)(或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N ＋).思考：等比数列的各项能否为0？公比q 能否为0？ 师生互动得出结论。
北师大版高中高三数学必修5《等比数列》教案及教学反思
北师大版高中高三数学必修5《等比数列》教案及教学反思一、教学目标1.知识目标•掌握等比数列的概念、性质以及用通项公式求解等比数列问题的方法。
•看出等比数列的规律，理解等比数列的递推公式和通项公式，并能够熟练地应用它们解决等比数列中的各种问题。
2.能力目标•培养学生的逻辑思维和数学分析能力，提高学生的数学运用能力。
•培养学生的解决问题的能力，使学生能够灵活应用所学知识解决实际问题。
3.情感目标•培养学生对数学的兴趣和爱好，增强学生学习数学的意愿和信心。
•培养学生良好的学习习惯和态度，使学生能够积极参与课堂学习，自主学习，提高自己的学习水平。
二、教学过程1.引入老师通过提问，让学生回忆起他们在初中学习的等比数列的相关知识，例如等比数列的定义，等比数列的通项公式等，并向学生阐明本课的主要内容，即如何理解与运用等比数列的概念和公式解决实际问题。
2.讲授老师依次介绍等比数列的概念、特点和性质，重点讲解了等比数列的通项公式、求和公式以及等比数列与几何图形之间的关系等知识点。
并通过例题向学生解释和学习。
3.引导老师通过一系列的实际问题引导学生运用所学知识解决等比数列的各种问题。
通过练习，让学生更好地理解和掌握等比数列的性质和运算技巧。
4.练习老师通过不同难度的练习题，巩固学生对等比数列的基础知识和解题方法的掌握，逐步提高学生的解决问题的能力。
5.测试老师通过考试测试学生的学习成果，以评估学生的学习水平和掌握情况，进一步发现学生的问题和不足，及时进行针对性的指导和帮助。
三、教学反思1.教学特点等比数列作为高中数学中的一大重要内容，需要考虑到学生的具体实际情况，通过运用丰富的教学资源和对学生的实际情况进行分析，制定针对性的教学方案，注意符合学生的学习特点，进而达到促进学生的学习效果和提高教学质量的目的。
2.教学方法在等比数列的教学过程中，应注重引导学生自主学习，发展学生的综合运用能力，加强对学生的引导和帮助，使学生能够在实践中体验到知识的实用价值，并在思考和操作的过程中产生对数学的兴趣和热情。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3 等比数列》
数列通项公式求法教学设计宿州市时村中学 张朝海教学目标：①掌握形如：1n n a p a q +=⋅+的数列通项公式求法②培养学生分析问题和解决问题弄得能力。
教学重难点：①重点：理解《pq 诗》②难点：会求形如：1n n a p a q +=⋅+的数列的通项公式。
教学内容：一类数列（已知：1a a =，1n n a p a q +=⋅+，求n a ）通项公式的求法设计教学过程：一、诗引入 , 提兴趣首先欣赏下面一首诗，名字是《pq 诗》：观察方程构等比，消常同除记心里，换元转化皆用上，终归等差或等比。
析词：观察——数学中使用的方法：观察法；方程——数学中使用的方法：解方程法；消常——数学中使用的技巧：消除常数；同除——数学中使用的技巧：等式两边同除以一个数；换元——即换元思想；转化——即转化思想；终归——最终化成。
释义：对于已知：1a a =，1n n a p a q +=⋅+，求n a ，可以通过两种方法（观察法、方程法）、两种技巧（消常数、同除）、两种思想（换元、转化），最终化成两种最基本、最简单的等差数列或等比数列处理。
二、典例析，诗数联下面详谈这首诗与通项公式的关系，体现诗歌与数学也可以密不可分。
★之一、基础型：1,p q =是常数或0,q p =为非零常数。
例1：已知数列{}n a 满足：111,2,n n a a a +==+求n a 。
解：12n n a a +=+12n n a a +∴-+{}n a ∴是等差数列，且11,2a d ==1(1)221n a n n ∴=+-⋅=-。
例2：已知数列{}n a 满足：111,2n n a a a +==，求n a 。
解：12,n n a a +=及11a =12n na a +∴= {}n a ∴是等比数列，且11,2a q ==11122n n n a --∴=⋅=。
评述：这是1n n a p a q +=⋅+型中最简单的，最基础的，其它的复杂问题大都能化成这两种情况之一，同时也说明等差数列和等比数列的重要性和基础性，这是数列之“根”。
北师大版高中必修5《等比数列》教案
北师大版高中必修5《等比数列》教案《北师大版高中必修5《等比数列》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！3.4.1等比数列教案课题：3.4.1等比数列(一)教学目标教学知识点等比数列的定义.等比数列的通项公式.能力训练要求掌握等比数列的定义.理解等比数列的通项公式及推导.德育渗透目标培养学生的发现意识.提高学生的逻辑推理能力.增强学生的应用意识.教学重点等比数列的定义及通项公式.教学难点灵活应用等比数列的定义及通项公式解决一些相关问题.教学方法比较式教学法采用比较式教学法,从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.教学过程Ⅰ 复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容1、等差数列定义：an-an-1=d(n≥2)(d为常数)a+b22、等差数列性质：①若a、A、b成等差数列，则A=②若m+n=p+q，则，am+ an= ap+ aq,③Sk ，S2k - S3k，S2k…成等差数列.3、等差数列的前n项和公式：Ⅱ 新课讲授下面我们来看这样几个数列，有何时共特点?1，2，4，8，16，…，263 ;①5，25，125，625，…; ②1418121，- ，，- ，…; ③仔细观察数列，寻其共同特点：数列①：;数列②:数列③:共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.(也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的式都具有“相等”的特点)1、定义12等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即：an ：an-1= q(q≠0)数列①②③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，- ，与等差数列比较，仅一字之差。
总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”这常数，则为等差数列，之“比”这常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意公差①“d”可为0，②公比“q”不可为0.2、等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一推等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得a2= a1qa3= a2q=( a1q)q= a1q2a4= a3q=( a2q)q=( (a1q)q)q= a1q3……an= an-1q= a1qn-1(a4，q≠0)，n=1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立.解法二：由定义式可得：(n-1)个等式①②a2a1= qa3a2= qn-1n-1a na n-1……若将上述n-1个等式相乘，便可得：即: an = a1qn-1(n≥2)当n=1时，左=a1，右=a1，所以等式成立.∴等比数列通项公式为： an= a1qn-1(a1，q≠0)写出数列①②③的通公式.数列①: an=1×2n-1(a1，q≠0)数列②: an=5×5n-1=5n(a1，q≠0)数列③: an=与等差数列比较,两者均可用归纳法求得通项公式.或者, 等差数列是将由定义得到的n-1个式子相“加”，便可求得通项公式;而等比数列则需将由定义行到的n-1个式子相“乘”，方可求得通项公式.[例1]一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q，= q②÷①得：③③代入①得：∴∴答：这个数列的第1项与第2项分别是评析：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.Ⅳ课堂练习课本P128练习1、2，Ⅴ课时小结：本节为要学习了等比数列的定义，即：.等比数列的通项公式：an= a1qn-1(n≥2)及推导过程.Ⅵ课后作业(一)课本P129 习题3.9 1(二)1、预习内容：课本P127～P1282、预习提纲：⑴什么是等比中项?⑵等比数列有哪些性质?③怎样应用等比数列的定义式、通项公式以有重要性质解决一些相关问题.北师大版高中必修5《等比数列》教案这篇文章共5020字。
北师大版必修5高中数学1.3等比数列导学案(二)
高中数学 1.3等比数列导学案北师大版必修5【学习目标】个性笔记1.在等差数列的基础上，通过类比的方法复述等比数列的定义；2．利用上述的定义、公式能判断一个数列是否为等比数列，并能确定其公比；3.记住等比数列的通项公式，能类比等差数列通项公式的推导方法推导等比数列的通项公式。
【学习重点】等比数列的定义和通项公式。
【学法指导】通过类比等差数列的知识研究等比数列的定义和通项公式。
【使用说明】．．．．．．1．请同学们认真阅读课本21-----23页内容，规范完成导学案上的内容，用红笔做好疑难标记。
2．该学案分为AB三个层次，其中A,B每个同学都必须完成；C为拓展延伸，供学有余力的同学选作。
3．在课堂上联系课本知识和已学过的知识，小组合作、讨论完成导学案上的内容；组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。
【学习过程】一、基础学习1. 自主阅读课本第21页至23页内容，思考：（1）等比数列的定义是什么？焦点词语有哪些？（用红笔画出来）（2）类比等差数列的定义，请你用数学符号表示出等比数列的定义。
（3）定义的作用是什么？2．自主阅读课本第22页至23页内容，思考：（1）等比数列的通项公式是？怎样推导？除了课本的方法，你还有没有其他的方法进行推导？（请类比等差数列推导方法，即等差数列用“累加法”，想一想，等比数列用什么方法？请你动手推导，将你所用到的方法写在下面的空白处。
）（2）它的作用是什么？(B)【探究二】（1）已知等比数列的第2项与第3项分别是10与20，求这个数列的第1项与第4项。
（2）已知{a n }为等比数列，且a 5＝8，a 7＝2，该数列的各项都为正数，求a n .. （思路点拨：结合知识点2完成）【探究三】(C)+11{}3a 2 4.(1){}12n n n n a a a a ==-已知数列满足，且求证：是等比数列。
（2）-13是否是这个数列中的项？如果是，是第几项？(请参照结合课本24也例3，写出详细规范的解答过程，相信你一定能做到。
高一数学必修5等比数列知识点自己总结
高一数学必修5等比数列知识点自己总结等比数列是数学中常见的数列，其特点是每个数与前一个数的比例保持不变。
等比数列在高中数学中常用于解题和推导。
下面是关于高一数学必修5中等比数列的知识点总结。
一、等比数列的定义等比数列是一种数列，它的每一项与前一项之比都相等。
记作a1、a2、a3、...、an、...的等比数列，它的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
二、等比数列的性质1. 公比为0时，等比数列为常数列。
2. 公比大于1时，等比数列呈递增趋势。
3. 公比小于1但大于0时，等比数列呈递减趋势。
4. 公比小于-1但大于-1时，等比数列呈交替增减趋势。
5. 等比数列的首项与公比的正负关系决定了数列的增减趋势。
三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过下述推导得出：设等比数列的首项是a1，公比是r，第n项是an，第n-1项是an-1。
an=a1*r^(n-1) （等比数列的通项公式）an-1=a1*r^(n-2) （等比数列的通项公式）将第一个式子除以第二个式子得：an/an-1=(a1*r^(n-1))/(a1*r^(n-2))=r即等比数列的两项之比恒等于公比r。
四、等比数列的和等比数列的前n项和可以通过以下公式计算得出：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r) （等比数列的前n项和公式）其中Sn是前n项的和。
特殊情况下，当公比r=1时，等比数列的前n项和可以简化为Sn=n*a1。
五、等比中项等比数列中，若数列中的某个数是它前后两个数的几何平均数，则称该数为等比数列的等比中项。
设该数为x，前一项是a，后一项是b，根据等比数列的性质可得：a/x=x/b即x^2=ab，解得x=√(ab)。
六、等比数列的应用1. 判断一组数是否构成等比数列，可通过两项之比是否恒等于公比来判断。
2. 求等比数列的前n项和，可使用等比数列的前n项和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
北师大版数学高二-必修5教案 1.3等比数列(二)
求证：（1）这个数列成等比数列；
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 ；
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．
证：（1） （常数）∴该数列成等比数列．
（2） ，即： ．
（3） ，∵ ，∴ ．
∴ 且 ，
∴ ，（第 项）．
练习：教材第53页第3、4题．
活动四：归纳整理，提高认识（2分钟）
这三个数为8,4,2或2,4,8.
2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
在等比数列中，m+n=p+q， 有什么关系呢？
由定义得：
，
则
例2. 已知{ }是等比数列，且 , 求 ．
解： ∵{ }是等比数列，∴ ＋2 ＋ ＝( ＋ ) ＝25,
又 >0, ∴ ＋ ＝5;
3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法
4．等比数列的增减性：当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列;
当q>1,a1<0,或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列;
当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列．
思考：通项为 的数列的图象与函数 的图象有什么关系？
活动三：合作学习，探究新知（18分钟）
则 ，
反之，若G =ab,则 ，即a,G,b成等比数列
∴a,G,b成等比数列 G =ab（a·b≠0）
例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.
解:设m,G,n为所求的三个数,
有已知得m+n+G=14, ,
这三个数为8,4,2或2,4,8.
【教育资料】数学必修五北师大版等比数列教案学习精品
等比数列的概念（教学设计）董创峰一、教学目标1、 体会等比数列使用来刻画一类离散现象的重要模型，理解等比数列的概念。
2、 能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。
3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。
二、教学重点、难点重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。
难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。
三、教学过程1、 导入复习等差数列的相关内容:定义：*1,()n n a a d n N +-=∈通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈钱n 项和公式：*11()(1),()22n n n a a n n S na d n N ++==+∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……，1、12、14、18…… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系？2、 探究发现，建构概念问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗？是什么？<1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。
这个常数就叫做公比，用q 表示。
<2>数学表达式：*1,()n na q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么？也就是，这个公式在什么条件下成立？结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。
带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。
3、 运用概念例1 判断下列数列是否为等比数列：（1）1、1、1、1、1；（2）0、1、2、4、8；（3）1、111124816-、、-、.分析 （1）数列的首项为1，公比为1，所以是等比数列；（2）等比数列中的各项均不为零，所以不是等比数列；（3）数列的首项为1，公比为12-，所以是等比数列. 注 成等比数列的条件：11;20;30n n na q a q a +=≠≠. 练习47P 1、判断下列数列是否为等比数列：（1）1、2、1、2、1； （2）-2、-2、-2、-2；（3）11111392781--、、、、； （4）2、1、12、14、0. 分析 （1）3122122a a a a ==，，比值不等于同一个常数，所以不是等比数列； （2）首项是-2，公比是1，所以是等比数列；（3）首项是1，公比是13-，所以是等比数列；（4）数列中的最后一项是零，所以不是等比数列.例2 求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a ，8； （2）- 4，b ，c ，12. 分析 在做这种题的时候，可以根据等比数列的定义，列出一个或多个等式来求解。
数学北师大版高中必修5北师大版必修5《数列》第七课时§3.1等比数列(1)
3、正项等比数列｛ ｝，公比
解：由等比数列的定义，
五、课堂小结
本节学习内容：
1、等比数列的概念
2、等比数列的通项公式．
作业：P30习题1-3A组2、5、6；预习下一节。
板书设计：
1、等比数列的概念
2、等比数列的通项公式
例1
公式推导
例2
例3
教学反思：不求快，加强知识的训练。
例3.在各项为负数的数列｛ ｝中，已知 ，且
(1).求证：｛ ｝是等比数列，并求出通项；
(2)试问 是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由。
四、巩固练习:
课本P23练习1填表；
选练：
1、等比数列｛ ｝中，
方法一：求出第一项和公比方法二：整体的思想：先求公比
2、若 是等比数列的前3项，则第4项为( )
(2)星火化工厂今年产值为万元，计划在以后5年中每年比上一年产值增加10%，试列出从今年起6年的产值(单位：万元)
(二)抽象概括：
1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。
下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?
重点
难点
等比数列的定义及通项公式
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
教学
方法
自学指导、类比推理
教学过程：
一、复习引入：
首先回忆一下前几节课所学主要内容：
1．等差数列的定义： － =d，（n≥2，n∈N ）
2．等差数列的通项公式：
( 或 =pn+q (p、q是常数))
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3 等比数列》
§等比数列教案授课人：王超群【教学目标】知识与技能：通过对日常生活中实际问题的分析，比照等差数列建立等比数列模型，加强对等比数列定义的理解和认识，掌握等比数列的通项公式。
过程与方法：通过自主探究等比数列的通项公式，培养学生观察分析、探究的能力；并在此过程中鼓励学生大胆猜测，积极思考，培养学生的创新意识。
情感、态度与价值观：应用定义和公式解决问题，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力和应用数列知识解决实际问题的能力。
【教学重点】理解等比数列的定义，体会等比数列是自然规律的数学模型，探索并掌握等比数列的通项公式，利用有关知识解决相应的问题。
【教学难点】分析具体问题情景，建立等比数列的模型，应用概念和公式解决问题。
【教学方法】梳理-----探究-----训练【教学过程】一、复习梳理〔学生答复〕1等差数列的定义是什么？定义式是什么？2等差数列的通项公式是什么？一般形式是什么？3等差数列的通项公式是怎样推导出来的？归纳法，累加法。
二、新知探究1、等比数列的定义⑴观察下面的数列1,2,4,8,16,32,64,128 ①②③1,1,1,1,1,1,1 ④3,9,27,81,243 ⑤思考：上面的5个数列是等差数列吗？它们有什么共同特点？能不能类比等差数列的定义给出这个新数列模型的定义？⑵等比数列的定义：〔学生总结〕①定义式：或者②注意：ⅰ；ⅱ；ⅲ并非所有的常数列都是等比数列，非零的常数列才是等比数列。
⑶例题探究:例1 判断以下数列，哪些是等比数列？〔学生思考答复〕① 1,1,2,4,8,16,32 〔×〕② 1,2,4,8,12,16,2021 〔×〕③ -1,1，-1,1，-1,1 〔∨〕〔〕④ 0,1，0,1，0,1,0,1 〔×〕⑤〔分类讨论〕时是等比数列；时，不是等比数列；⑥〔∨〕隐含条件⑦〔∨〕〔用定义式判断〕2、等比数列的通项公式⑴公式推导：已经数列是一个首项为，公比为的等比数列方法一：归纳法，〔学生探究完成，老师指导〕由等比数列的定义可以知道从而，，，…由此归纳出：当n=1时，也成立，方法二：累积法，〔师生共同完成〕由等比数列的定义可以知道。
北师大版高中数学必修5知识点总结
北师大版必修5知识点总结1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．2、正弦定理的变形公式：，，；，，；；．（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
）⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
（一解、两解、无解三中情况）3、三角形面积公式：．4、余弦定理：在中，有，，．5、余弦定理的推论：，，．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。
2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设、、是的角、、的对边，则：若，则；若，则；若，则．等差数列1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:。
注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数2、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．3、若等差数列的首项是，公差是，则．4、通项公式的变形：；；；；．5、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．6、等差数列的前项和的公式：；．③23、等差数列的前项和的性质：若项数为，则，且，．若项数为，则，且，（其中，）．等比数列1、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).3、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．（注：由不能得出，，成等比，由，，）4、若等比数列的首项是，公比是，则．5、通项公式的变形：；；；．6、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．7、等比数列的前项和的公式：①．②8、对任意的数列{}的前项和与通项的关系：[注]：①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{}前n项和→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）附：几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列前n 项和公式对应函数 等差数列（时为二次函数） 等比数列（指数型函数）⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
高中数学北师大版必修5 1.3 教学课件 《等比数列 》(北师大)
9
（3） an 7
8
：7，7，7，7，7，7，7，…
7
●
●●
●
●●
●
●
●
●
6
等比数 ：1，-1，1，-1，1，-1，1，…
2
1
●
●
●
●
●
0
1 2 34
5 6 7 8 9 10
●
●
●
●
●
等比数列的图象4
北京师范大学出版社 | 必修五
数列单调性分析
等比数列 ������������ 中，������3=12 ，������4=18
求：（1）数列的首项和公比；（2） ������6
变式 2：
已知等比数列 ������������
中, ������3=12,
q=1
2
,求：������6
16
●
（1） 1，2，4，8，16，…
5
14
4.5
12
an 2n1
10
4 3.5
3
8
●
2.5
6
2
4
●
2
●
●
0 1 234 5
等比数列的图象1
1.5
1
0.5 0.25
0
北京师范大学出版社 | 必修五
（2）1，1 ，1 ，1 ， 2 48
an
1
n1
2
●
●
●
●
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
等比数列的图象2
北京师范大学出版社 | 必修五
a2 a1q
a3 a2q (a1q)q a1q2
高二数学北师大版必修5教学教案1-3-1等比数列 Word版含解析
等比数列
一、教学目标：
知识与技能目标：等比数列的定义；2.等比数列的通项公式．
过程与能力目标：明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，
会解决知道
n a ，1a ，q ，n 中的三个，求另一个的问题．
情感态度与价值观 1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究
精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力; 2.通过对有关实际问题的解决，体现数学 与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
教学重点：1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用． 教学难点：等差数列＂等比＂的理解、把握和应用． 三. 教法、学法
本课采用“探究—类比—发现”教学模式． 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.
学生的学法突出探究、类比、发现与交流. 五.教学过程
教学过程设计为六个教学环节：（如下图）
六、教学过程：
教学环节 教学内容 师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知
一、温故知新，提出问题 1、回顾等差数列的定义； 2.观察下列数列； （1）1、2、4、8、16…… （2）由一句文言文引出一个数列；
1、21 、41、1
8、116
……
1、创设学习情境。
2、激发学生学习的兴趣。
由复习引
入，通过数学知识的内部发现问题。
北师大版高中数学必修五《数列知识点总结》.pdf
北师⼤版⾼中数学必修五《数列知识点总结》.pdf S=a+a+……+a+an12n?1n相加2S=a+a+a+a+…+a+a…()()()n1n2n?11nS=a+a+……+a+annn?121?2x［练习］已知fx()=，则21+x111f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=2342122??11xxx由f(x)+f=+=+=12222x1+x1+x1+x11+x11111∴原式=f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=+1+1+1=323422(附：a.⽤倒序相加法求数列的前n项和如果⼀个数列{an}，与⾸末项等距的两项之和等于⾸末两项之和，可采⽤把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到⼀个常数列的和，这⼀求和⽅法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同⼀类知识的⼯具，例如：等差数列前n项和公式的推导，⽤的就是“倒序相加法”。
b.⽤公式法求数列的前n项和对等差数列、等⽐数列，求前n项和Sn可直接⽤等差、等⽐数列的前n项和公式进⾏求解。
运⽤公式求解的注意事项：⾸先要注意公式的应⽤范围，确定公式适⽤于这个数列之后，再计算。
c.⽤裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的⼀项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从⽽求出数列的前n项和。
d.⽤错位相减法求数列的前n项和错位相减法是⼀种常⽤的数列求和⽅法，应⽤于等⽐数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等⽐数列，在和式的两边同乘以公⽐，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.⽤迭加法求数列的前n项和迭加法主要应⽤于数列{an}满⾜an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等⽐数列的条件下，可把这个式⼦变成a-a=f(n)，代⼊各项，得到⼀系列式⼦，把所有的式⼦加到⼀起，经过整理，可求出a，n+1nn从⽽求出S。
高二数学北师大版必修5教学教案1-3-1等比数列(1)Word版含解析
1.3.1 等比数列教学目标一、知识与技能1. 理解等比数列的概念；2. 掌握等比数列的通项公式；3. 理解这种数列的模型应用．二、过程与方法1. 通过实例，理解等比数列的概念；2. 探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3. 体会等比数列与指数函数的关系.三、情感、态度与价值观通过证明、猜想，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点和难点教学重点：等比数列的定义和通项公式.教学难点：等比数列与指数函数的关系.教学关键：等比数列通项公式的推导及性质.教学突破方法：“观察-归纳-猜想-演绎证明”是一条很好的教学思路，但不见得每种情况都用，这里，由于同等差数列强烈的类比，学生已猜想出推导等比数列通项公式的大体思路，因而采用“类比”的方法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.教法与学法导航教学方法采用“启发式、谈话式”的教学方法，引导学生进行类比推理可以使学生不知不觉地参与教学的全过程，为使学生自己探索发现等比数列的有关知识营造了良好的氛围．学习方法首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式.教学准备教师准备投影仪、多媒体、电脑.学生准备课本、稿纸.教学过程一、创设情境，导入新课情景一：给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了42次的时候，所达到的厚度有多少？让学生动手操作感受成倍增加的体验，并得到一个数列。
情景二：庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”将每日取木后剩余的木棒长度列成一个数列。
情景三：我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫《出门望九堤》：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列？思考以上三个情景中得到的数列有什么共同特点？共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。
北师大版必修5数学1.3.1等比数列1
备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间2周
集体备课
个人空间
1、课题：1.3.1等比数列（第一课时）
2、学习目标
1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列，并确定等比数列的公比
2.探索并掌握等比数列的通项公式，能够应用其解决等比数列的问题
重点：等比数列的定义和通项公式
③ 如何判断一个数列为等比数列？
2、等比数列通项公式
【合作探究】
一、等比数列的判断及通项公式
例1、见22页例1。
例2、归纳等比数列的通项公式。
二、等比数列通项公式的使用
例3、在等比数列 中，
⑴ ，q＝－3，求 ；⑵ ， ，求 和q；
⑶ ， ，求 。
例4、见23页练习1。
【检测训练】
1、某数列既是等差数列又是等比数列，那么这个数列一定是（ ）
A、公差为0的等差数列 B、公比为1的等比数列
C、常数列 1.1.1…D、以上都不是
2、在 为等比数列， ， ，则 （）.
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
3、等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，这个数列的项数n＝（）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4、在等比数列中， 那么 的值是（ ）
反思栏
难点：灵活应用等比数列的定义和通项公式
三、教学过程
【自主预习】
阅读课本21页问题提出，得到数列①、②的共性：
1、一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数（又叫，通常用字母表示），那ห้องสมุดไป่ตู้这个数列叫作等比数列。
代数表达式为：
注：① 等比数列中，能否有某一项为0？公比能够为0吗？
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引导探：…
性质1（板书）：在等比数列中，若m+n＝p+q，有aman＝apaq
探究二. (引导学生通过类比联想发现进而推证出性质2)
因为 得 ，所以 或 ，于是 .
组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业
备注
五．课堂小结
（1）等比数列的性质1、性质2性质3内容及推导方法归纳。
（2）等比数列三性质的探寻，我们是通过类比等差联想到等比，猜想在等比数列中可能存在的性质规律。然后先从简单的等比数列加以验证，再推出一般式，并加以严格的逻辑证明。这个过程所用的类比、联想、猜想、从特殊到一般，最后给予证明得出结论的想法和方法，我们称为数学思想方法。是解决问题、科学发现、探究自然的一种重要的思维方法和手段。它无处不体现在我们解决问题的思维过程中，希望大家今后留心思考，对提高你们的学习能力及分析解决问题的能力将有极大的帮助。
三．应用举例：（理解、巩固）
例1．1）在等比数列｛an｝中，已知
2)在等比数列｛bn｝中，b4＝3，求该数列的前7项之积。
例2在等比数例中， 求
例3等比数列｛an｝的各项均为正数，且 ，求
的值
例4、在等比数列 中， , 求 的值.
解：因 是等比数列，所以 是等比数列，
所以
组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业
2、在等比数列 中， ， 则 的值为_______
3、在等比数列 中， ， ，求 的值.
解：因为
由上述等比数列性质知，构造新数列 其是首项为 ，公比为 的等比数列， 是新数列的第5项，所以 。
4、已知等比数列前 项的和为2，其后 项的和为12，求再后面 项的和.
解：由 ， ，
因 成等比数列，其公比为 ，所以问题转化为： 求 的值.
性质1探究二
性质2应用举例
探究三性质3
课后反馈
组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业
备注
一．导入新课
（一）回顾等比数列的有关概念
（1）定义式：
（2）通项公式：
导入本课题意：与等差数列类似，等比数列也是特殊的数列，它还有一些规律性质，本节课，就让我们一起来探寻一下它到底有一些怎样的性质。
二．推进新课
性质数列 是公比为 的等比数列， 为 的前 项之和，则新构成的数列 仍为等比数列，且公比为 。
组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业
备注
证明①当 时， ，
则 （常数），所以数列 是以 为首项，1为公比的等比数列；
②当 时，
则 （常数），所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
由①②得，数列 为等比数列，且公比为 。
已知｛an｝是等比数列.
（1） 是否成立？ 成立吗？为什么？
（2） 是否成立？你据此能得到什么结论？ 板书）：在等比数列中 （本质上就是等比中项）
探究三：一位同学发现：若 是等差数列 的前n项和，则 也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？
备注
四.练习（掌握，应用）
1、下列命题中:(1)常数列既是等差数列又是等比数列;
(2)若{an}是等差数列，则{3－2an}也是等差数列;
(3)若{an}是等比数列，则{an+an+1}也是等比数列;
(4)若{an}是等比数列，则 也是等比数列.
其中正确的命题是_____________(填命题序号)
设计
理念
采用比较式数学法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.
学习目标
知识目标
掌握等比数列的性质
能力目标
会求等比数列的通项公式,运用等比数列的性质。
德育目标
1.培养学生的发现意识、提高学生创新意识、提高学生的逻辑推理能力、增强学生的应用意识。
板书设计
3.1.2课题探究一练习
课题
3.1.2等比数列性质
课型
新课
课程
分析
等比数列是又一特殊数列，它与前面我们刚刚所探讨过的等差数列仅有一字之差，所以我们可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的性质。
学情
分析
学生已经学习了等差数列，对于等比数列学生对比等差数列学习较容易接受。