2.4抛物线及其标准方程
课件1：2.4.1 抛物线及其标准方程
4．抛物线 y2＝－2px(p>0)上有一点 M 的横坐标为－9， 它到焦点的距离为 10，求此抛物线方程和 M 点的坐标． 【解】 设焦点为 F(－2p，0)， M 点到准线的距离为 d， 则 d＝|MF|＝10，即 9＋p2＝10，∴p＝2， ∴抛物线方程为 y2＝－4x. 将 M(－9，y)代入抛物线的方程， 得 y＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
(p2，0)
x＝－p2
y2＝－2px(p>0) (－p2，0) x＝p2
x2＝2py(p>0)
(0，p2)
y＝－p2
x2＝－2py(p>0) (0，－p2)
y＝p2
互动探究
题型一：求抛物线的标准方程
例 1 求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点 M(－6,6)； (2)焦点 F 在直线 l：3x－2y－6＝0 上．
课堂小结
1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为 到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便， 要注意运用定义解题． 2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式， 易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线 焦点位置)→定量(参数 p 的值)”的程序求解．
第二章 圆锥曲线与方程
§2.4.1 抛物线及其标准方程
高中数学选修2-1·同步课件
自主导学
1.掌握抛物线的定义及其标 课标 准方程．(重点、难点) 解读 2．会由抛物线方程求焦点
坐标和准线方程．(易错点)
知识点1：抛物线的定义
【问题导思】 如图 2－4－1，把一根直尺固定在图板内直线 l 的位置，一 块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，再把一条绳子的一 端固定于三角板的另一条直角边上的点 A，截取绳子的长等 于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳子的另一端固定在图板 上的一点 F，用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直 角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样 铅笔描出一条曲线，思考下面两个问题：
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.4.1抛物线及其标准方程》课件
4
②x=ay2(a≠0).
【解题探究】1.题(1)由圆与抛物线的准线相切,能得出什么结 论? 2.题(2)当抛物线方程中含参数时,如何求焦点和准线? 【探究提示】1.可得出圆心到准线的距离等于圆的半径.
2.如果抛物线方程中含参数,要先把其化成标准方程,对参数应
分类讨论,再求焦点和准线.
4
2.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为 __________.
【解析】1.因为焦点F为 ( 3 ， 所以抛物线方程可设为y2= 0)，
4
-2px(p＞0)，由 p 3 ，所以 p ,
2 4
3 2
故标准方程为y2=-3x. 答案：y2=-3x
2.根据抛物线的定义，点P到抛物线准线的距离为9， 设P(x0,y0)，则 x 0 p 9,
(2)若抛物线的方程为x=2ay2(a>0),则焦点到准线的距离 p= . .
(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为
【解析】(1)因为y2=4x，所以p=2，所以焦点坐标为(1，0),
准线方程为x=-1.
答案：(1,0)
x=-1
2a
(2)因为x=2ay2(a＞0)，所以 y 2 1 x,
【微思考】
(1)定义中若去掉条件“l不经过F”,则此时点的轨迹是什么?
提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直
于l的直线,而不是抛物线.
(2)确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个量?
提示:确定两个量,一个是p,另一个是一次项系数的正负.
【即时练】 1.以 F( 3 ， 0) 为焦点的抛物线的标准方程是_________.
的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物 线顶点)间的距离是 .
人教A版2019学年高中数学选修2-1优化练习：第二章 2.4 2.4.1 抛物线及其标准方程_含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或 x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线标准方程为 y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C. 答案：C2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0， 则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A. 答案：A3．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，则M 点的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8，∴其轨迹方程为y 2＝16x ，故选D. 答案：D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝b a x ， 即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为|a ×p2|a 2＋b2＝2，即ap ＝4a 2＋b 2＝4c ，所以c a ＝p 4，双曲线的离心率为c a ＝2，所以c a ＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线方 程为x 2＝16y .故选D. 答案：D5．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.答案：A6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．解析：依题意得，直线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p 2的距离等于半径4，于是有3＋p2＝4，即p ＝2.答案：27．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 解析：抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 答案：3248．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是________．解析：设Q (x 0，±2x 0)(x 0≥0)，则|PQ |＝(x 0－a )2＋4x 0≥|a |对∀x 0≥0恒成立， 即(x 0－a )2＋4x 0≥a 2对∀x ≥0恒成立．化简得x 20＋(4－2a )x 0≥0.当4－2a ≥0时，对∀x 0≥0，x 20＋(4－2a )x 0≥0恒成立，此时a ≤2； 当4－2a ＜0时，0＜x 0＜2a －4时不合题意． 答案：(－∞，2]9．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解析：如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1， ∴|PQ |＝r ＋1， 又|AP |＝r ＋1. ∴|AP |＝|PQ |.故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．∴点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点． 直线x ＝2为准线． ∴p2＝2.∴p ＝4.∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .10.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到整数位)解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，依题意有P (－1，－1)，在此抛物线上，代入得p ＝12， 故得抛物线方程为x 2＝－y . 又因为B 点在抛物线上， 将B (x ，－2)代入抛物线方程 得x ＝2，即|AB |＝2，则水池半径应为|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2)，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.[B 组 能力提升]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3| D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2， ∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋| FP 3|. 答案：C2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5 解析：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋p2＝3，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，∵M (2，y 0)在抛物线上，∴y 20＝8，∴|OM |＝22＋y 20＝22＋8＝2 3.答案：B3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线 x 2a －y 2＝1的左顶点为A .若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于________．解析：由抛物线定义知1＋p2＝5，∴p ＝8， ∴抛物线方程为y 2＝16x ，∴m 2＝16， ∴m ＝4，即M (1,4)，又∵A (－a ，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±1a x ，由题意知41＋a ＝1a ，∴a ＝19.答案：194．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba ＝________.解析：∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b .又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，解得ba ＝2＋1.答案：2＋15．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解析：(1)证明：设A (－y 21，y 1)，B (－y 22，y 2)． 则y 1＝k (－y 21＋1)，y 2＝k (－y 22＋1)， 消去k 得y 1(1－y 22)＝y 2(1－y 21)．∴(y 2－y 1)＝y 1y 2(y 1－y 2)， 又y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－1，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝y 1y 2(1＋y 1y 2)＝0， ∴OA ⊥OB .(2)S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|，由⎩⎨⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，得ky 2＋y －k ＝0， ∴S △OAB ＝12×1×|y 2－y 1|＝121k 2＋4＝10，∴k ＝±16.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)．试问：(1)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等？(2)在抛物线上是否存在点P ，使得点P 到x 轴的距离与点P 到准线的距离相等？ 解析：(1)假设在抛物线上存在点P ，使得点P 到焦点F 的距离与点P 到y 轴的距离相等．那么根据抛物线定义，得点P到准线的距离与点P到y轴的距离相等，这显然是不可能的．所以在抛物线上不存在点P，使得点P到焦点F的距离与点P到y轴的距离相等．(2)假设在抛物线上存在点P，使得点P到x轴的距离与点P到准线的距离相等，则由抛物线定义，得点P到x轴的距离与点P到焦点的距离相等．这样的点是存在的，有两个，即当PF与x轴垂直时，满足条件.。
2.4.1-抛物线及其标准方程(2)
A．3 4
B．1
C．5 4
D．7 4
2．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线 焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为 ( )
A.( 1 , 1) B. ( 1 ,1) C．(1,2)
4
4
D．(1，－2)
3．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程 是__________.
得 x＝2，∴点 P 的坐标为(2,2).
三、合作探究、问题解决
题型三：利用抛物线的定义求轨迹
【例3】点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离 小1，求点M的轨迹方程.
解：如图所示，设点M的坐标为（x,y) 由已知条件可知，点M与点F的距离等于 它到直线x+4=0的距离. 根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F （4，0）为焦点的抛物线.
p
∵ 2=4，∴p=8, 因为焦点在x轴的正半轴 上，所以点M的轨迹方程为y2=16x.
三、合作探究、问题解决
题型三：利用抛物线的定义求轨迹
【变式训练4】点P与点F（0，2）的距离比它到直线y+4=0的距 离小2，求点P的轨迹方程.
解：设点P的坐标为（x, y)，由已知条件 可知，点P与点F的距离等于它到直线 y+2=0的距离.根据抛物线的定义，点M的 轨迹是以F（0，2）为焦点的抛物线.
∵点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH
与准线垂直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别
交于点 N，M．由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，
|AN|＝|AF|－1．在△CAN 中，BM∥AN，
∴||BACC||＝||BAMN||＝||BAFF||－ －11．
高中数学选修2-1精品学案：2.4.1 抛物线及其标准方程
§2.4抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程学习目标1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中参数p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题．知识点一抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．知识点二抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？[答案](1)是关于x，y的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，根据平方项可以确定一次项的取值范围．(2)p的几何意义是焦点到准线的距离．梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：(1)抛物线的方程都是二次函数．(×) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p .(√) (3)抛物线的开口方向由一次项确定．(√)类型一 抛物线定义及应用例1 (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 [答案] A[解析] 由题意，知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义，得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，所以x 0＝1，故选A.(2)若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则P 点的轨迹方程是( ) A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－32x C ．y 2＝16x D ．y 2＝32考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 [答案] C[解析] ∵点P 到点(4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1， ∴将直线x ＋5＝0右移1个单位， 得直线x ＋4＝0，即x ＝－4，易知点P 到直线x ＝－4的距离等于它到点(4,0)的距离．根据抛物线的定义，可知P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线． 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，可得p2＝4，得2p ＝16，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x ， 即P 点的轨迹方程为y 2＝16x ，故选C.反思与感悟 依据抛物线定义可以实现点线距离与线线距离的转化．跟踪训练1 (1)抛物线x 2＝4y 上的点P 到焦点的距离是10，则P 点的坐标为________． 考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 [答案] (6,9)或(－6,9)[解析] 设点P (x 0，y 0)，由抛物线方程x 2＝4y ， 知焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1， 由抛物线的定义，得|PF |＝y 0＋1＝10， 所以y 0＝9，代入抛物线方程得x 0＝±6.(2)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，点P 在抛物线上，且|PM |＝2|PF |，则△PMF 的面积为( ) A ．4B ．8C ．16D ．32考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 [答案] B[解析] 如图所示，易得F (2,0)， 过点P 作PN ⊥l ，垂足为N . ∵|PM |＝2|PF |，|PF |＝|PN |， ∴|PM |＝2|PN |.设P ⎝⎛⎭⎫t 28，t ，则|t |＝t28＋2， 解得t ＝±4，∴△PMF 的面积为12×|t |·|MF |＝12×4×4＝8.类型二 求抛物线的标准方程例2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上． 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程解 (1)设抛物线的标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p ＞0)， 又点(－3,2)在抛物线上，∴2p ＝43或2p ＝92，∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)当焦点在y 轴上时，已知方程x －2y －4＝0， 令x ＝0，得y ＝－2，∴所求抛物线的焦点为(0，－2)， 设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 由p2＝2，得2p ＝8， ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y ； 当焦点在x 轴上时，已知x －2y －4＝0， 令y ＝0，得x ＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)， 设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)， 由p2＝4，得2p ＝16， ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .综上，所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x . 反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值． 跟踪训练2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义，得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9， 故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .类型三 抛物线的实际应用问题例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高0.75m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．反思与感悟 涉及拱桥，隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3 如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m ，P 距抛物线的对称轴1m ，则水池的直径至少应设计多长？(精确到1m)考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用解 如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．依题意有P (－1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12，故抛物线方程为x 2＝－y .又B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2， 即|AB |＝2，则|O ′B |＝|O ′A |＋|AB |＝2＋1， 因此水池的直径为2(1＋2)m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.1．抛物线y 2＝x 的准线方程为( ) A ．x ＝14B ．x ＝－14C ．y ＝14D ．y ＝－14考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的准线方程 [答案] B[解析] 抛物线y 2＝x 的开口向右，且p ＝12，所以准线方程为x ＝－14.2．以F (1,0)为焦点的抛物线的标准方程是( ) A ．x ＝4y 2B ．y ＝4x 2C ．x 2＝4y D ．y 2＝4x 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程[答案] D[解析] ∵抛物线焦点为F (1,0)，∴可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，且p 2＝1，则p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x . 3．已知抛物线x 2＝4y 上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是( )A ．0B.12C ．1D ．2 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用[答案] C[解析] 根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线定义，得y M ＋1＝2，解得y M ＝1.4．一动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，圆心在抛物线x 2＝4y 上，则l 的方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝116C ．y ＝－1D ．y ＝－116考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用[答案] C[解析] 因为动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l 的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x 2＝4y 上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l 为抛物线的准线，所以l ：y ＝－1.5．动点P 到直线x ＋4＝0的距离比它到点M (2,0)的距离大2，则点P 的轨迹方程是________． 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用[答案] y 2＝8x[解析] 由题意可知，动点P 到直线x ＋2＝0的距离与它到点M (2,0)的距离相等，利用抛物线定义求出方程．1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m 4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4. 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p 2. 3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线及其标准方程》知识导学
2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程第一课时课标解读1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握其定义、标准方程及几何图形. 学会思考1.把一根直尺固定在图板上直线l 的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A ,取绳长等于点A 到直角顶点C 的长(即点A 到直线l 的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F .用铅笔尖扣着绳子,使点A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.请问此曲线上任意一点到定点F 的距离与到l 的距离有何关系?此曲线为何曲线?2.抛物线的标准方程y 2=2px (p >0)中,p 具有一定的几何意义,它表示__________________. 答案:1.相等,抛物线.2.抛物线的焦点到准线的距离自学导引1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离_________的点的轨迹叫做抛物线点F 叫做抛物线的_________，直线l 叫做抛物线的_________.2.方程y 2=±2px ,x 2=±2py (p >0)叫做抛物线的_________方程.3.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是_________,它的开口方向_________.4.抛物线y 2=-2px (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是________,它的开口方向 ________.5.抛物线x 2=2py (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是_________,它的开口方向_________.6.抛物线x 2=-2py (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是_________,它的开口方向_________.答案:1.相等 焦点 准线2.标准3.(2p ,0) 2p x -= 向右 4.(2p -,0) 2p x = 向左 5.(0,2p ) 2p y -= 向上 6.(0,2p -) 2p y = 向下典例启示知识点1求抛物线的标准方程【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，-4)；(2)焦点在直线x +3y +15=0上.解:(1)∵点(3，-4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2=2px (p ＞0)或x 2=-2p 1y (p 1＞0).把点(3，-4)的坐标分别代入y 2=2px 和x 2=-2p 1y ，得(-4)2=2p ·3，32=-2p 1·(-4)， 即3162=p ,4219=p . ∴所求抛物线的方程为x y 3162=或y x 492-=. (2)令x=0,得y=-5；令y=0,得x=-15.∴抛物线的焦点为(0，-5)或(-15，0).∴所求抛物线的标准方程为y 2=-60x 或x 2=-20y .启示:求抛物线的标准方程需要：(1)求p ；(2)判断焦点所在坐标轴的位置.【例2】 分别求适合下列条件的抛物线方程.(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A (2,3);(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为25. 解:(1)由题意,方程可设为y 2=mx 或x 2=ny ,将点A (2,3)的坐标代入,得32=m •2或22=n •3,∴29=m 或34=n . ∴所求的抛物线方程为x y 292=或y x 342=. (2)由焦点到准线的距离为25,可知25=p , ∴所求抛物线方程为y 2=5x 或y 2=-5x 或x 2=5y 或x 2=-5y .启示:(1)抛物线的标准方程有四种形式,主要看其焦点位置或开口方向.(2)抛物线的标准方程只有一个参数p ,即焦点到准线的距离,常称为焦参数.知识点2抛物线定义及标准方程的应用【例3】 已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x 轴，求抛物线的方程解:设M (x ,y )为抛物线上的任意一点， 则由抛物线的定义，得||)3()3(22y y x =-+-. 平方整理，得3612+-=x x y 为所求抛物线的方程. 启示:当抛物线不在标准位置时，只有利用其定义来求方程.【例4】 平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,求动点P 的轨迹方程.解法一:设P 点的坐标为(x ,y ),则有1||)1(22+=+-x y x ,两边平方并化简得y 2=2x +2|x |.∴⎩⎨⎧<≥=,0,0,0,42x x x y 即点P 的轨迹方程为y 2=4x (x ≥0)或y=0(x <0).解法二:由题意,动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1,由于点F (1,0)到y 轴的距离为1,故当x <0时,直线y=0上的点适合条件;当x ≥0时,原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P 在以F 为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y 2=4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2=4x (x ≥0)或y=0(x <0).启示:求动点的轨迹方程时,可用定义法列等量关系,化简求解;也可判断后,用类似于公式法的待定系数法求解,但要判断准确,注意挖掘题目中的隐含条件,防止重、漏解.随堂训练1.已知抛物线过点(-11，13)，则抛物线的标准方程是( ) A.x y 221692= B.x y 111692-= C.x y 111692-=或y x 131212= D.y x 131212-= 解析:∵点(-11,13)在第二象限,∴抛物线的张口向左或向上.当抛物线的张口向左时,设抛物线的方程为y 2=-2px ,把点 (-11,13)的坐标代入方程得 132=-2p ·(-11),∴111692=p . ∴抛物线的标准方程为x y 111692-=. 当抛物线的张口向上时,设抛物线的方程为x 2=2p 1y ,把点(-11,13)的坐标代入得(-11)2=2p ·13, ∴131212=p . ∴抛物线的方程为y x 131212=. 答案:C2.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是( )A.x 2=-28yB.y 2=28xC.y 2=-28xD.x 2=28y解析:∵72=p , ∴p =14.∵抛物线的焦点在x 轴上,∴抛物线的方程是y 2=28x .答案:B3.已知抛物线的焦点在直线3x -y +36=0上，则抛物线的标准方程是( )A.x 2=72yB.x 2=144yC.y 2=-48xD.x 2=144y 或y 2=-48x解析:令x =0得y =36,令y =0得x =-12,∴抛物线的焦点为(0,36)或(-12,0).答案:D4.抛物线y 2=-4px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( )A.F 到l 的距离B.F 到y 轴的距离C.F 点的横坐标D.F 到l 的距离的41 解析:在抛物线的标准方程y 2=-2px (p >0)中,p 是焦点到准线的距离,2p 是焦点到y 轴的距离或y 轴与准线间的距离,所以在抛物线方程y 2=-4px (p >0)中,p 为焦点到y 轴或y 轴与准线间的距离.答案:B5.已知点(-2,3)与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离是5,则p 的值为( )A.4B.3C.2D.1解析:抛物线的焦点为(2p ,0), 由5)03()22(22=-+--p ,得p =4. 答案:A6.若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x +5=0的距离小1,则点P 的轨迹方程是( )A.y 2=-16xB.y 2=-32xC.y 2=16xD.y 2=16x 或y=0(x <0)解析:∵点F (4,0)在直线x +5=0的右侧,且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x +5=0的距离小1,∴点P 到F (4,0)的距离与到直线x +4=0的距离相等,故点P 的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右,p =8,故P 点的轨迹方程为y 2=16x .答案:C。
第2章2.4.1 抛物线及其标准方程
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 抛物线的焦点 F 的坐标为(p2，0)，线段 FA 的中
点 B 的坐标为(4p，1)，代入抛物线方程，得 1＝2p×p4，解得 p＝ 2，
故点
B
的坐标为(
42，1)，故点
B
到该抛物线准线的距离为
42＋
2 2
＝3
4
2 .
【答案】
32 4
第15页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
第18页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
②下图，当圆 P 与圆 A 内切时，有
||PPAB||＝＝rr－1⇒|PA|－|PB|＝－1， 即 （x－3）2＋y2－(x＋2)＝－1. 即 y2＝8(x－1)．
第19页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
题型二 求抛物线的标准方程 例 2 根据下列条件，求出抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在 x 轴上，且抛物线上一点 A(3，m)到焦点的距离为 5.
第24页
高考调研 ·新课标 ·数学选2-1
(2)直线 x－y＋2＝0 与两坐标轴的交点为(－2，0)，(0，2)． 若抛物线的焦点为(－2，0)，设其方程 y2＝－2px. 由－p2＝－2，得－2p＝－8，所求方程为 y2＝－8x； 若抛物线的焦点为(0，2)，设其方程为 x2＝2py. 由p2＝2，得 2p＝8，所求方程为 x2＝8y.
第23页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)设抛物线方程为 x2＝2py 或 y2＝－2px(p＞0)． 将点(－2，3)代入抛物线方程 x2＝2py，得 2p＝34.∴x2＝34y. 将点(－2，3)代入抛物线方程 y2＝－2px，得 2p＝92. ∴y2＝－29x. ∴满足条件的抛物线的标准方程为 x2＝43y 或 y2＝－29x.
2.4.1抛物线及其标准方程
1、抛物线定义,标准方程的焦点、准线， P的几何意义。 2、抛物线的定义,标准方程类型与图 象的对应关系以及判断方法
3、焦半径公式
4、注重数形结合的思想。
一、定义
平面内与一个定点F 和一条定直 l 线l的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线。 N 定点F 叫做抛物线的焦点。
M
定直线l 叫做抛物线的准线。
MF ︳ ︳ 若 1, 则点 ︳ ︳ MN
· F ·
即:
M 的轨迹是抛物线。
方程 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程
2 y
其中 p 为正常数，它的几何意 义是:
焦点到准线的距离
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
焦
点
准 线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
问题：
根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形，焦点坐标，准 线方程对应关系如何判断抛物线的 焦点位置，开口方向？ 第一：一次项的变量为X（或Y） 则X轴（或Y轴）为抛物线的对 称轴，焦点就在对称轴上 第二：一次项的系数决定了开口 方向
课堂作业：
课本P73 3 、8
练习 1 若抛物线y2=8x上一点M到原点的 距离 等于点M到准线的距离则点M的坐 标是
2 已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是 抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使 PA与PF的 距离之和最小，并求出这个最 小值。 若 A(3,7)呢？
例1:已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2= x 即2p= a 解：抛物线的方程化为：y a
①当a>0时,
高二数学 2.4.1 抛物线及其标准方程
第32页
返回导航
第一章 §2.4 2.4.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
解 如下图，易判断知点A在抛物线外侧，设P(x，y)， 则P到x轴的距离即y值，设P到准线y＝－1的距离为d，则y＝ d－1.
第30页
返回导航
第一章 §2.4 2.4.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
题型三 与抛物线有关的最值问题 例3 已知抛物线x2＝4y，点P是抛物线上的动点，点A 的坐标为(12,6)．求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和 的最小值．
第31页
返回导航
第一章 §2.4 2.4.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
第35页
返回导航
第一章 §2.4 2.4.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
变式训练3 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则
点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值
为( )
17 A. 2
B．3
9
C. 5
D.2
第36页
返回导航
第一章 §2.4 2.4.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
第6页
返回导航
第一章 §2.4 2.4.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
2．抛物线的标准方程的特点：
抛物线标 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py 准方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
抛物线及其标准方程
即:
MF MH
l
1
H
M
定点F------焦点 定直线l--------- 准线
· · F
想一想? 当直线l经过定点F，则点
M的轨迹是什么？ 经过点F且垂直于l的直线
F
l
·
如何求点M的轨迹方程？
M
H
想 一 想 ？
求曲线方 程的基本 步骤是怎 样的？
F ·
l
建系
设点 列式
找关系 化简、证明
[1]建系
P 即 2 得p=4 2
∴所求的标准方程为x2= -8y
总结: 求抛物线标准方程的一般步骤： （1）确定抛物线的形式. 注意:焦点或开 （2）求p值 口方向不定，则 （3）写抛物线方程 要注意分类讨论
例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）
求它的标准方程。
2=-8x y （1）焦点是F（-2，0），它的标准方程_______.
2、一次项的系数的符号 x 2 py 决定了抛物线的开口方 p 0 向.
2
四种抛物线的标准方程对比 图形 标准方程
y 2 px
2
p 0
2
抛物线的标准方程的 形式上的共同特点?
如何根据抛物线的标 y 2 px 准方程来判断抛物线 p 0 的焦点位置，开口方 向？ 2 x 2 py 1 、焦点在一次项字母 p 0 对应的坐标轴上. 2、一次项的系数的符号 2 x 2 py 决定了抛物线的开口方 p 0 向.
变式:
2=8y x （2）准线方程是y = -2，它的标准方程_______.
（3）焦点到准线的距离是2,它的标准方程 _____. 2 2
x =±4y 、y =±4x
第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程
[一点通]
涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问
题，通常用抛物线的标准方程解决.建立直角坐标系后， 要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据 准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．
返回
5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛 物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm， 则光源到反光镜顶点的距离是 ( )
返回
p＝4， 解得 m＝2 6，
p＝4， 或 m＝－2
6.
∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 6. 2 法二：设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0), p p 则焦点坐标 F(－ ，0)，准线方程 x＝ . 2 2 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5， 即点 M 到准线的距离等于 5，
答案：B
返回
4． 已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点， 则点 P 到点(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( 17 A. 2 C. 5 B．3 9 D.2 )
返回
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离 等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A(0,2)点，抛物线的 1 焦点 F( ，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离 d＝ 2 |AF|＝ 12 17 2 0－ ＋2－0 ＝ . 2 2
2
4，得 p＝8，故所求抛物线的标准方程为 y2＝16x.
答案：A
返回
2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)、 到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．
解：(1)法一：∵抛物线焦点在 x 轴上，且过点 M(－3，m)， ∴设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， p 则焦点坐标 F(－ ，0). 2 m2＝6p， 由题意知 p2 2 m ＋3－ ＝5， 2
课件11：2.4.1 抛物线及其标准方程
易知点 A(0,2)在抛物线 y2＝2x 的外部，
连接 AF，交 y2＝2x 于点 P′，
欲使所求距离之和最小，只需 A，P′，F 共线，
∴其最小7．
(2)若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F21，0的距离比它 到 y 轴的距离大12．求点 M 的轨迹方程．
初试身手
1．抛物线 x2＋8y＝0 的焦点坐标是( )
A．(0,2)
B．(0，－2)
C．(0,4)
D．(0，－4)
【解析】抛物线 x2＝－8y 的焦点在 y 轴的负半轴上，
且p2＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．
【答案】B
2．抛物线 y2＝8x 的焦点到准线的距离是( )
A．1
B．2 C．4
D．8
2．设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫做抛物线的焦 半径．若 M(x0，y0)在抛物线 y2＝2px(p＞0)上，则根据抛物线的定 义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所 以焦半径|MF|＝x0＋p2． 3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到 准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此 可以解决有关距离的最值问题．
解：(1)设所求抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)， 由p2＋3＝5 得 p＝4，因此抛物线方程为 x2＝－8y， 其准线方程为 y＝2， 由 m2＝24 得 m＝±2 6．
(2)如图，作 PN⊥l 于 N(l 为准线)，作 AB⊥l 于 B， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 当且仅当 P 为 AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5． 此时 yP＝2，代入抛物线得 xP＝1， ∴P(1,2)．
第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程
§2.4抛物线2．4.1抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程．知识点一抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.知识点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0) ⎝⎛⎭⎫p2，0x＝－p2y2＝－2px(p>0) ⎝⎛⎭⎫－p2，0x＝p2x2＝2py(p>0) ⎝⎛⎭⎫0，p2y＝－p2x2＝－2py(p>0) ⎝⎛⎭⎫0，－p2y＝p21．抛物线的方程都是二次函数．()2．抛物线的焦点到准线的距离是p.()3．抛物线的开口方向由一次项确定．()题型一求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5.题型二 抛物线定义的应用命题角度1 利用抛物线定义求轨迹(方程)例2 已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．反思感悟解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．跟踪训练2 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．命题角度2利用抛物线定义求最值例3如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．引申探究若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2)，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．反思感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训练3已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是() A. 3 B. 5 C．2 D.5－1抛物线的实际应用问题典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m 时，小船开始不能通航？[素养评析] 首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：(1)建系：建立适当的坐标系． (2)假设：设出合适的抛物线标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.1．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( )A ．抛物线B ．线段C ．直线D ．射线2．已知抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( )A ．(1,0) B.⎝⎛⎭⎫116，0 C.⎝⎛⎭⎫0，116 D ．(0,1)3．一动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，圆心在抛物线x 2＝4y 上，则l 的方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝116C ．y ＝－1D ．y ＝－1164．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．5．抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p 的值)”的程序求解.一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1 C.14 D.122．若动点P 与定点F (1,1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)4．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x 或x 2＝－8yB ．y 2＝x 或y 2＝8xC ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y5．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．4B ．2C ．1D ．86．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆7．已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离为5，则△PFO 的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716二、填空题9．已知双曲线x 2m －y 2＝1的右焦点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，则m ＝________.10．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．11．一抛物线形拱桥，当桥顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2米，则水面宽为________米．三、解答题12．根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.13．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|P A|＋|PQ|的最小值为()A．7 B．8 C．9 D．1014．平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．。
高中数学_抛物线的标准方程和简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
§2.4抛物线及其标准方程一：教学目标:1.知识与技能：（1）理解抛物线的定义，画出图形，并掌握其标准方程；（2）利用定义求标准方程，焦点，准线；（3）掌握简单运用。
2. 过程与方法：（1）根据抛物线特征选择不同解决方法；（2）从具体情境中抽象出抛物线模型；（3）用数学的思维和方法解决生活中与抛物线相关的问题。
3. 情感态度与价值观：在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处。
二、学习者特征分析：1.学生有一定的圆锥曲线的基础，在此前学习过圆，椭圆的知识；2.清楚初中二次函数的图像是抛物线；3.有很强的求知欲望，思维活跃。
三：教学策略选择与设计1.采用启发式教学；创设情境，引导学生发现问题，运用类比，归纳的数学方法解决问题，是学生有被动接受转向主动学习；2.通过类比椭圆的学习体系及运用的方法，进而学习抛物线体系；3.适当的例题讲解，一方面巩固所学知识，另一方面培养自主思考解决问题能力。
教学重点：抛物线定义及如何建立适当坐标系，完成标准方程的推导过程。
教学难点：抛物线标准方程的推导过程。
四、教学资源与工具设计1. 一个多媒体教室；2. 课前制作的ppt；3.学生人手一本北师大版高中数学选修2-1；4.事先准备好的纸板、直尺、三角板、细线、胶带。
五、教学过程1.创设情境，引出课题利用PPT给出嫦娥一号飞船的运行轨迹图，引起注意，同时简单复习上节椭圆的相关知识。
今天我们一起深入来研究抛物线。
2.动手实验，概括定义师：初中，我们从函数的角度学习过抛物线，这一节课我们会冲破限界从另一个角度来认识抛物线。
下面请大家一起动手做一做：（同桌一组）把一根直尺固定在纸板上面，把一块三角板地一条直角边紧靠在支持的边缘，取一根直线，它的长度与另一直角边相等，细绳的一端固定在顶点A 处，另一端固定在纸板上点F 处。
用笔尖扣紧绳子，靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，画出抛物线。
（走下讲台，及时对学生给予适当指导）师：思考一下，这个过程中有什么不变量？生：点P 到F 的距离和点P 到直尺的距离相等。
人教版高中数学选修(2-1)-2.4《抛物线及其标准方程(第1课时)》教学设计
2.4.1抛物线及其标准方程（第1课时）（名师：杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.理解抛物线的定义，明确焦点、准线的概念；2.掌握抛物线的方程及标准方程的推导；3.熟练掌握抛物线的四个标准方程.（二）学习重点1.抛物线的定义；2.选择适当坐标系探求抛物线的标准方程.（三）学习难点四种形式的抛物线的标准方程的由来和区分.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务写一写：（1）定义：平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，这个定点叫做抛物线的焦点，直线叫做准线.（2）抛物线的标准方程：焦点在x 轴上：22(0)y px p =>或22(0)y px p =-> 焦点在y 轴上：22(0)x py p =>或22(0)x py p =->.2.预习自测下列语句正确的个数（ ）（1）抛物线的方程都是二次函数;（2）抛物线的焦点到准线的距离是(0)p p >;（3）抛物线的开口方向由一次项确定;（4）焦点在坐标轴上的抛物线的开口方向有四种可能性.A.1B.2C.3D.4答案：C解析：【知识点】抛物线的定义与方程.【解题过程】抛物线的开口方向有四种，只有开口向上或向下的对应方程是二次函数，故（1）错误.点拨：利用抛物线的定义判断.（二）课堂设计探究一：结合实例，认识抛物线●活动①创设情景，引入新课展示彩虹、投篮、桥梁、隧道、太阳灶、手电筒等实例，引入新课，激发学生的学习热情.【设计意图】通过生活中的应用实例，一方面吸引学生的注意力，让学生对抛物线有一个感性上的认识，另一方面让学生意识到到研究抛物线的必要性，感受到数学来源与生活，生活离不开数学.提问：抛物线到底有什么样的几何性质？怎么样给抛物线下一个定义呢？如图，在黑板上画一条直线AB，使直尺与直线AB重合，然后取一个三角板，将一条拉链CD固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端用图钉固定在F点，将三角板的另一边直角边贴在直线AB上，在拉练M处放置一只粉笔，上下沿直线拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.●活动②归纳提炼，形成定义思考：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
例2
（1）已知抛物线的焦点是F（6，0），求它的标准方程．
1 (2)已知抛物线的准线方程是 x ,求它的标准方程． 4
巩固练习
根据下列条件写出抛物线的标准方程：
.
（1）焦点坐标是
1 ,0 3
H
d
P
C
焦 点
·
F
准线
l
定直线l 叫抛物线的准线.
若d 为 P 到 l 的距离
问题2：设焦点F到准线l 的距离为p(p>0）, 如何求抛物线的方程呢？
P
想 一 想 ？
建系
求曲线方 程的基本 步骤是怎 样的？
H
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ·
l
设点
列式
化简
验证
方案1
方案2
方案3
抛物线标准方程的推导
解：如图，取过焦点F且垂直于准线l的直 y 线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) P p p H 则F（ 2 ，0）， l ：x =2 设动点P的坐标为（x，y） K o 由抛物线的定义可知， F
返回
抛物线标准方程的推导
如图，若以准线所在直线为y轴， 则焦点F(0,0),准线l:x=-p 由抛物线的定义，可导出 抛物线方程为 p 2 y = 2p(x+ 2 )(p＞0） H l
P
y
· · o F
x
2 2 y =2px+p (p＞0）
返回
如图,设焦点F到准线l 的距离为p(p>0）, 如何建立坐标系求抛物线的方程呢?
(2)点M到点（8，0）的距离比它到直线x＝－7的距离大1， 求M点的轨迹方程.
1. 知识方面：
2. 思想方法：
数形结合的思想
解答
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求 抛物线的标准方程 x 2 =－8 y 看图 （3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物 y 2 =－4 x 线的标准方程 看图 （4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程 9 4 2 2 看图 y = 3 x或 x = 2 y
小结： 2.4.1 抛物线的标准方程
喷泉
抛物线的生活实例
抛球运动
问题1：在三角板上下移动的过程中，线段PF的长与点P到l的距离 有什么关系？ 线段PF的长与点P到l的距离相等； 即：动点P与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离相等
一、抛物线的定义: 在平面内,与一个定点F和 一条定直线l(F l)的距离相等 的点的轨迹叫抛物线. 定点F叫抛物线的焦点,
· ·
x
p2 2 p (x ) y x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
返回
抛物线标准方程的推导
如图，若以准线所在直线为y轴， 则焦点F(p,0),准线l:x=0 由抛物线的定义，可导出 抛物线方程为 p 2 y = 2p(x- 2 )(p＞0） H y l
P
o
· · F
x
比较之下，显然方程 2 y = 2px（p＞0）更为简单
y
l
H
y
l H
P
· x p o · F ( ,0)
2
P ( x, y )
o
· x · F( p,0)
( x, y )
l H
y
· x o· F (0, 0)
P
( x, y )
p x 2
x0
x p
(1)y2=2px
(2)y2=2px-p2
(3)y2=2px+p2
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x 2 2 问题3：抛物线标准方程的特征是什么？
左边是二次项且系数是1，
右边是一次项且无常数项
例1
（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 12 x ，求 它的焦点坐标及准线方程 焦点F (3, 0 )准线：x =－3 （2）已知抛物线的标准方程是 y2 4 2x ，求它 的焦点坐标及准线方程
小结：
巩固练习
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 （1）y 2 = 20 x 焦点F ( 5 , 0 ) 准线方程：x =－5
（2）焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离是2. （3）焦点在x轴的正半轴上，经过点 A(2,3)
2
例3
抛物线y 2 = 12 x上的点P与其焦点F的距离为9， 求点P的坐标.
y
P （x0， y0)
O F
x= - p/2
．
x
巩固练习
2 y （1）抛物线 2 px( p 0) 上一点M 到焦点距离是a ，则 点 M到准线的距离是__________，点 的横坐标是________.