【数学】2021年内蒙古包头市中考模拟(解析版)
专练03(选择题-压轴)(20题)-2021年中考数学考点必杀500题(通用版)(解析版)
2021中考考点必杀500题专练03（选择题-压轴）（20道）1．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）如图，矩形ABCD中，AB：AD=2：1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，当PB的最小值为AD的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1．当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12 CE，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP∥P1P2时，PB取得最小值，∴矩形ABCD中，AB∴AD=2∴1，E为AB的中点，∴∥CBE，∥ADE，∥BCP1均为等腰直角三角形，CP1=BC，∴∥ADE=∥CDE=∥CP1B=45°，∥DEC=90°，∴∥DP2P1=90°，∴∥DP1P2=45°，∴∥P2P1B=90°，即BP1∥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2在等腰直角三角形BCP 1中，CP 1=BC ，∴BP 1BC ，又PB 的最小值是，∴AD=BC=3，故选B ．2．（2020·苏州新草桥中学九年级二模）如图，点O 是边长为的等边△ABC 的内心，将△OBC 绕点O 逆时针旋转30°得到△OB 1C 1，B 1C 1交BC 于点D ，B 1C 1交AC 于点E ，则DE ＝（ ）A ．2B．2 C1 D．3【答案】D 令1OB 与BC 的交点为F ，11B C 与AC 的交点为M ，过点F 作FN OB ⊥于点N ，如图，将∥OBC 绕点O 逆时针旋转30°得到∥OB 1C 1，30BOF ∴∠=︒点O 是边长为∥ABC 的内心，302OBF OB AB ∴∠=︒==，∴∥FOB 为等腰三角形，112BN OB ==cos 3BN BF OF OBF ∴===∠ 11OBF OB D BFO B FD ∠=∠∠=∠，∴∥BFO ∥1B FD11B D B F OB BF∴=1123B F OB OF =-=-12B D ∴=在∥BFO 和∥CMO 中==OBF OCM OB OCBOF COM ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∥BFO ≅∥()CMO ASA12OM BF C M ===- 在∥1C ME 中，160C ME MOC MCO ∠=∠+∠=︒，130C ∠=︒160C EM ∴∠=︒111sin (21C E C M C EM ∴=⋅∠==11112)1)3DE BC B D C E ∴=--=-= 故选：D ．【点睛】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 43．（2020·湖北孝感市·九年级其他模拟）如图，点M 是正方形ABCD 内一点，MBC △是等边三角形，连接AM MD 、对角线BD 交CM 于点N ，现有以下结论：△150AMD ∠=︒；△2MA MN MC =⋅；△23ADMBMC S S ∆∆=；△3DN BN =( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∥四边形ABCD 是正方形，∥AB=BC=CD=DA ，∥ABC=∥BCD=∥CDA=∥BAD=90°，∥ADB=45°，∥∥BCM 是等边三角形，∥BM=MC=BC ，∥MBC=∥BMC=∥BCM=60°，∥∥ABM=∥DCM=30°，AB=BM=CM=CD ，∥∥BAM=∥CMD=∥CDM=75°，∥∥DAM=∥ADM=15°，∥∥AMD=180°-∥DAM-∥ADM=150°，故∥正确；∥∥DAM=∥ADM=15°，∥AM=MD ，∥∥ADB=45°，∥∥MDN=30°=∥MCD ，∥∥CMD 是公共角，∥∥DMN∥∥CMD ，∥DM ：CM=MN ：DM ，∥DM 2=MN•CM ，∥AM 2=MN•CM ，故∥正确；设BC=CD=2a ，过点M 作EH∥BC 于点H ，交AD 于点E ，∥∥MBC是等边三角形，∥BH=a，，，∥AD=BC，∥1·3213·2ADMBMCAD EMSS BC MH===，故∥错误；过点D作DF∥MC于点F，过点B作BG∥MC于点G，则有，DF=12CD=a，DF//BG，∥∥DFN∥∥BGN，∥DN DFBN BG===，故∥正确，所以正确的结论有∥∥∥，故选：C．4．（2020·广东深圳市·）如图，过坐标原点O的直线AB与两函数()18y xx=>，()2y xx=<的图象分别交于A，B两点，作AH y⊥轴于H，连接BH交x轴于点C，则下列结论：△9AOHS∆=；△3OAOB=；△13OCAH=；△34BOCS=△．其中正确的是（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△【答案】B∥根据反比例函数的性质，得到11892AOH S ∆=⨯=，故∥正确；设A 点坐标为（m ，18m ），则H （0，18m ）设直线AB 的解析式为y kx =，代入A 点坐标，得18m km =，解得2=18k m∥直线AB 的解析式为218y x m = 将218y x m =和2y x =联立，求得3mx =-∥B 点坐标为（3m-，6m -）设直线BH 的解析式为()0y kx b k =+≠，代入B 、H 坐标得，6318mk b m b m ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得7218k m b m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∥直线BH 的解析式为7218m y x m =+当y=0时，x=14-∥OC∥AH∥BOC BHA∥相似比为64124m m=∥3OA OB =，14OC AH =，故∥正确，∥错误 ∥1118=3223BOH S OH h m m =⨯⨯⨯⨯=△ ∥3912BAH S =+=△ ∥2131244BOC S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭△，故∥正确故选B ．【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，对于反比例函数()0k y k x=≠，k 过图像上的点向两坐标轴做垂线，所形成的矩形的面积． 5．（2020·深圳市福田区南华实验学校九年级其他模拟）如图，在正方形ABCD 中，点M 是AB 上一动点，点E 是CM 的中点，AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接DE ，DF 给出结论：△DE EF =；△45CDF ∠=︒；△75AM DF =；△若正方形的边长为2，则点M 在射线AB 上运动时，CF 有最小值．其中结论正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】B ∥如图，延长AE 交DC 的延长线于点H ，∥点E是CM的中点，∥ME＝EC，∥AB∥CD，∥∥MAE＝∥H，∥AME＝∥HCE，∥∥AME∥∥HCE（AAS），∥AE＝EH，又∥∥ADH＝90°，∥DE＝AE＝EH，∥AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∥AE＝EF，∥AEF＝90°，∥AE＝DE＝EF，故∥正确；∥∥AE＝DE＝EF，∥∥DAE＝∥ADE，∥EDF＝∥EFD，∥∥AEF＋∥DAE＋∥ADE＋∥EDF＋∥EFD＝360°，∥2∥ADE＋2∥EDF＝270°，∥∥ADF＝135°，∥∥CDF＝∥ADF−∥ADC＝135°−90°＝45°，故∥正确；∥∥EP∥AD，AM∥AD，CD∥AD，∥AM∥PE∥CD，∥AP ME=PD EC＝1，∥AP＝PD，∥PE是梯形AMCD的中位线，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8∥PE ＝12（AM ＋CD ）， ∥∥FDC ＝45°，FN∥CD ，∥∥DFG ＝∥FDC ＝45°，∥DG ＝GF ，DF ，∥∥AEP ＋∥FEN ＝90°，∥AEP ＋∥EAP ＝90°，∥∥FEN ＝∥EAP ，又∥AE ＝EF ，∥APE ＝∥ENF ＝90°，∥∥APE∥∥ENF （AAS ），∥AP ＝NE ＝12AD ， ∥PE ＝12（AM ＋CD ）＝NE ＋NP ＝12AD ＋NP ， ∥12AM ＝NP ＝DG ，∥AM ＝2DG ＝DF ，∥AM DF ，故∥错误； ∥如图，连接AC ，过点E 作EP∥AD 于点P ，过点F 作FN∥EP 于N ，交CD 于G ，连接CF ，∥EP∥AD ，FN∥EP ，∥ADC ＝90°，∥四边形PDGN 是矩形，∥PN ＝DG ，∥DGN ＝90°，∥∥CDF ＝45°，∥点F 在DF 上运动，∥当CF∥DF 时，CF 有最小值，∥CD ＝2，∥CDF ＝45°，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∥CF，故∥正确； 故选：B ． 6．（2020·湖北武汉市·九年级一模）如图．ABC ∆的面积为1．分别取,AC BC 两边的中点11A B 、，则四边形11A ABB 的面积为34，再分别取的11,A C B C 中点2222,,,A B A C B C 的中点33,A B ，依次取下去…．利用这一图形．计算出233333···4444n ++++的值是（ ）A ．11414n n ---B ．414nn - C ．212n n - D ．1212n n --【答案】B∥A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点，且∥ABC 的面积为1，∥∥A 1B 1C 的面积为114⨯，∥四边形A 1ABB 1的面积=∥ABC 的面积-∥A 1B 1C 的面积=31144=-，∥四边形A 2A 1B 1B 2的面积=∥A 1B 1C 的面积-∥A 2B 2C 的面积=22113444-=，…，∥第n 个四边形的面积1113444n n n --=， 故2321333311111···(1)()()444444444n n n -++++=-+-++-114n =-414n n -=．故选：B ．【点睛】本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．7．（2020·浙江杭州市·九年级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF△PE交射线BC于点F，联结PF，设M是线段PF的中点，则点P运动的整个过程中，线段DM长的最小值为（）A B C．D．72 13【答案】A解：连接BE、EM、BM，作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、H，过D作DN∥GH于点N，连接EH，过H作HK∥AD，与AD的延长线交于点K，∥∥ABC＝∥PEF＝90°，M是PF的中点，∥BM＝EM，∥无论P点运动到什么位置时，M点始终在BE的垂直平分线上，∥M点在GH上，当M与N点重合时，DM＝DN的值最小，设EH＝x，∥GH是BE的垂直平分线，∥BH＝EH＝x，∥∥EHG＝∥BHG，∥GD∥BH，∥∥EHG＝∥BHG＝∥G，∥EG＝EH＝x，∥∥ABH＝∥BAK＝∥K＝90°，∥四边形ABHK为矩形，∥AK＝BH＝x，AB＝KH＝6，∥AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3，∥AE＝2，ED＝6，∥EK＝AK﹣AE＝x﹣2，∥EH2﹣EK2＝KH2，∥x2﹣（x﹣2）2＝62，解得，x＝10，∥GE＝x＝10，GD＝EG+DE＝x+6＝10+6＝16，∥OE∥DN，∥∥GEO∥∥GDN，∥105168 EO GEDN GD===，∥DN＝85 EO，∥BE==∥EO＝12BE，∥DN=即线段DM，故选：A．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、相似三角形、直角三角形的性质及勾股定理等，灵活运用所学的知识点进行分析是解题的关键．8．（2020·东莞市松山湖实验中学九年级一模）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE△AB，AF＝原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！122AE ，FC 交BD 于O ，交AB 于M ，下列说法正确的有（ ）个△AF ＝BD△△DOC ＝60° △34EFM M S S △△BC△AF 2＝OD•FMA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：连接FB ，∥四边形ABCD 是正方形，∥AB ＝BC ＝AD ，∥ABD ＝∥CBD ＝45°，BDAB ，∥FE∥AB ，AF ＝2AE ，∥sin∥AFE ＝12，∥∥AFE ＝30°，∥∥FAE ＝60°，EF＝2AF ，∥E 是AB 的中点，EF∥AB ，∥AF ＝BF ，∥∥AFB 是等边三角形，∥∥ABF ＝∥FAB ＝60°，AB ＝FB ＝BC ＝AD ＝CD ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14∥AF≠BD ，故∥错误；∥BC ＝BF ，∥∥CFB ＝∥BCF ＝18090602︒-︒-︒＝15°， ∥∥DOC ＝∥DBC+∥BCO ＝45°+15°＝60°，故∥正确；∥EF∥AB ，BC∥AB ，∥EF∥BC ，∥∥EFM∥∥BCM ，∥22324EFMM AF S EF S BC AF ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=== ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭△△BC ，故∥正确； ∥∥BCM ＝15°，∥∥DCO ＝75°，∥BMC ＝75°＝∥AMF ，∥∥AMF ＝∥DCO ，又∥∥BAF ＝∥DOC ＝60°，∥∥AFM∥∥ODC ， ∥AF FM OD CD=， ∥AF•CD ＝OD•FM ，又∥AF ＝CD∥AF 2＝OD•FM ，故∥正确；故选：C ．9．（2020·山东济南市·九年级其他模拟）如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠，分别交,BC BD 于点,E P ，连接OE ，ADC 60∠=，112AB BC ==，则下列结论：△30CAD ∠=；△BD =△S 平行四边形ABCD AB AC =；△14OE AD =；△APO S =△（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】C∥∥AE平分BAD∠，∥∥BAE=∥DAE，∥四边形ABCD为平行四边形，∥AD∥BC，∥ABC＝∥ADC=60°，∥∥DAE=∥BEA，∥BAE=∥BEA，∥AB=BE=1，∥∥ABE是等边三角形，∥BC=2，∥EC=1，∥AE=EC，∥∥EAC=∥ACE，∥∥AEB=∥EAC+∥ACE=60°，∥∥ACE=30°，∥AD∥BC，∥∥CAD=∥ACE=30°，故∥正确；∥∥BE=EC，OA＝OC，∥OE=12AB=12，OE∥AB，∥∥EOC=∥BAC=60°+30°=90°，在RT∥EOC中，2OC∥四边形ABCD是平行四边形，∥∥BCD=∥BAD=120°，∥∥ACB=30°，∥∥ACD=90°，在RT∥OCD中，OD，故∥正确；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16∥由∥知，∥DCA=∥BAC=90°，∥S 平行四边形ABCD AB AC =故∥正确；∥由∥知：OE 是∥ABC 的中位线， ∥OE=12AB ， ∥AB=12BC ， ∥OE=11=44BC AD ， 故∥正确；∥∥四边形ABCD 是平行四边形，∥111===222AOE EOC S S OE OC ⨯△△， ∥OE∥AB ，∥EOP∥∥ABP ， ∥12EP OE AP AB ==,∥12POEAOP SS =, ∥2233AOP AOE S S ==△△ 故∥错误；本题正确的有4个，故选择C ．【点睛】本题是一道几何的综合题目，掌握平行四边形的性质及求面积方法、等腰三角形的性质、勾股定理、中位线定理、相似等是解答本题的关键．10．（2020·四川眉山市·九年级其他模拟）已知如图，在正方形ABCD 中AD ＝4，E ，F 分别是CD ，BC上的一点，且△EAF ＝45°，EC ＝1，将△AED 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，过点B 作BM△AG 交AF 于M ，则下面结论：△△AGF△△AEF ；△DE ＋BF ＝EF ；△BF ＝47；△32175MBF S ，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D解：∥AG ＝AE ，∥FAE ＝∥FAG ＝45°，AF ＝AF ，∥∥AGF∥∥AEF （SAS ），故∥正确，∥EF ＝FG ，∥DE ＝BG ，∥EF ＝FG ＝BG ＋FB ＝DE ＋BF ，故∥正确，∥BC ＝CD ＝AD ＝4，EC ＝1，∥DE ＝3，设BF ＝x ，则EF ＝x ＋3，CF ＝4﹣x ，在Rt∥ECF 中，（x ＋3）2＝（4﹣x ）2＋12，解得x ＝47，∥BF ＝47，故∥正确，∥BM∥AG ，∥∥FBM∥∥FGA ， ∥FBMFGA S S △△＝（FB FG）2，∥S ∥FBM ＝32175，故∥正确，故选：D.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1811．（2020·广东深圳市·九年级三模）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且△EAF ＝45°，BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧BD ．下列结论：△DE ＋BF ＝EF ；△BN 2+DM 2=MN 2；△△AMN△△AFE ；△弧BD 与EF 相切；△EF△MN ．其中正确结论的个数是（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B解：延长CB 到G ，使BG=DE ，连接AG ．在∥ABG 和∥ADE 中，AD ABADE ABG DE BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥ABG∥∥ADE （SAS ），∥AG=AE ，∥DAE=∥BAG ，又∥∥EAF=45°，∥DAB=90°，∥∥DAE+∥BAF=45°∥∥GAF=∥EAF=45°．在∥AFG 和∥AFE 中，AE AGGAF EAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥AFG∥∥AFE （SAS ），∥GF=EF=BG+BF ，又∥DE=BG ，∥EF=DE+BF ；故∥正确；在AG 上截取AH=AM ，连接BH 、HN ，在∥AHB 和∥AMD 中，AD AB HAB MAD AH AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥AHB∥∥AMD ，∥BH=DM ，∥ABH=∥ADB=45°，又∥∥ABD=45°，∥∥HBN=90°．∥BH 2+BN 2=HN 2．在∥AHN 和∥AMN 中，AM AH HAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥AHN∥∥AMN ，∥MN=HN ．∥BN 2+DM 2=MN 2；故∥正确；∥AB∥CD ，∥∥DEA=∥BAM ．∥∥AEF=∥AED ，∥BAM=180°-∥ABM-∥AMN=180°-∥MAN-∥AMN=∥AND ，∥∥AEF=∥ANM ，又∥MAN=∥FAE ，∥∥AMN∥∥AFE ，故∥正确；过A 作AP∥EF 于P ，∥∥AED=∥AEP ，AD∥DE ，∥AP=AD ，BD ∴与EF 相切；故∥正确；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ∥∥ANM=∥AEF ，而∥ANM 不一定等于∥AMN ，∥∥AMN 不一定等于∥AEF ，∥MN 不一定平行于EF ，故∥错误，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（2020·广东汕头市·九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别是（﹣1，0）、（2，0）．点C 在函数 k y x= （x ＞0）的图象上，连结AC 、BC ．AC 交y 轴于点D ，现有以下四个结论：△ AC BC 3<+ ；△ ΔOBC ΔOAC S 2S = ；△若△C=90°，点C 的横坐标为1，则k =；△若 AC AD 9⋅= ，则△ABC=△C ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ∥三条边能构成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边且两边之差小于第三边，所以AC BC 3-<，即AC BC 3<+，故 ∥ 正确；∥ ∥点A 、B 的坐标分别是（﹣1，0）、（2，0），∥OA=1，OB=2，设C （a ，b ），由题意可知：a 0>且b 0>；OBC 1SOB b b 2=⨯⨯=； OAC 11S AO b b 22=⨯⨯=； ΔOBC ΔOAC S 2S =，故∥正确；∥ 由题意可知：C （1，b ），∥C=90°；过点C 作AB 边的高交AB 于一点E ；AE2=；CE b=；AC==EB1=；BC==；根据三角形的面积相等可得：AC BC AB b⨯=⨯；代入数据解得和b=；，故∥正确；∥ 当∥ABC=∥C时，AB=AC=3；∥AC AD9⋅=.解得AD=3.这与题干矛盾，故∥错误；故∥∥∥正确；∥错误；故答案为：C.【点睛】此题考查了反比例函数的图象，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的三边关系，利用数形结合思想处理函数图像的相关问题，同时注意逆推思想的应用.13．（2020·广西钦州市·九年级一模）如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH△DE交DG的延长线于点H，连接BH，那么BHAE的值为（）A．1BCD．2【答案】B如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，，∥AD=AB，∥DM=BE，∥点A关于直线DE的对称点为F，∥∥ADE∥∥FDE，∥DA=DF=DC，∥DFE=∥A=90°，∥1=∥2，∥∥DFG=90°，在Rt∥DFG和Rt∥DCG中，∥DF DC DG DG ⎧⎨⎩＝＝，∥Rt∥DFG∥Rt∥DCG（HL），∥∥3=∥4，∥∥ADC=90°，∥∥1+∥2+∥3+∥4=90°，∥2∥2+2∥3=90°，∥∥2+∥3=45°，即∥EDG=45°，∥EH∥DE，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22∥∥DEH=90°，∥DEH 是等腰直角三角形，∥∥AED+∥BEH=∥AED+∥1=90°，DE=EH ，∥∥1=∥BEH ，在∥DME 和∥EBH 中，∥1DM BE BEH DE EH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∥∥DME∥∥EBH （SAS ），∥EM=BH ，Rt∥AEM 中，∥A=90°，AM=AE ，∥EM =，∥BH，即BH AE= 故选：B.【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．14．（2020·辽宁沈阳市·九年级其他模拟）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，点A 在（0，0）（-1，0）之间，抛物线与y 轴交于C 点，OA OC =．则由抛物线的特征写出如下结论：△0abc >；△240ac b ->；△0a b c -+>；△10ac b ++=．其中正确的个数是（ ）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 观察图象可知，开口向上a >0，对称轴在右侧b <0，与y 轴交于负半轴c <0，∥abc >0，故正确；∥∥抛物线与x 轴有两个交点，∥2b −4ac >0,即4ac −2b <0，故错误；∥当x =−1时y =a −b +c ,由图象知(−1,a −b +c )在第二象限，∥a −b +c >0，故正确∥设C (0,c )，则OC =|c |，∥OA =OC =|c |，∥A (c ,0)代入抛物线得20ac bc c ++=，又c ≠0，∥ac +b +1=0，故正确；故正确的结论有∥∥∥三个，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质为解题关键．15．（2020·山东泰安市·九年级二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -，顶点坐标()1,n ，与y 轴的交点在()0,2，()0,3之间（包含端点），则下列结论：△30a b +<；△213a -≤≤-；△对于任意实数m ，2a b am bm +≥+总成立；△关于x 的方程21ax bx c n ++=+有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C∥抛物线的开口向下∥a<0∥对称轴x=−b2a =1∥b=−2a∥3a+b=a∥3a+b<0，故∥正确；∥ A(−1,0)在抛物线上∥a−b+c=0∥3a +c=0∥c=−3a∥c 在2,3之间∥2≤−3a≤3 ∥−1≤a≤−23，故∥正确；∥顶点坐标()1,n ，且当x=1时，y 有最大值，最大值为n∥对于任意实数m ，a+b+c≥am 2+bm+c∥a+b≥am 2+bm ，故∥正确∥顶点坐标()1,n∥y=ax 2+bx+c 与y=n 只有一个交点∥y=ax 2+bx+c 与y=n+1没有交点，故∥错误原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 26故选C16．（2020·天津红桥区·九年级二模）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()10A -，，与y 轴的交点B 在点()02，与点()03，之间（不包括这两点），对称轴为直线2x =．有下列结论： △0abc ＜；△530a b c ++＞；△3255a --＜＜；△若点()19M a y -，，253N a y ⎛⎫⎪⎝⎭，在抛物线上，则12y y <．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C抛物线的开口向下，且与y 轴的交点B 在点()02，与点()03，之间（不包括这两点）0a ∴<，23c << 对称轴为22bx a =-=40b a ∴=->0abc ∴<，则结论∥正确由二次函数的对称性可知，抛物线与x 轴的另一个交点为(5,0)则当3x =时，0y >即930a b c ++>0a <40a ∴<453053a a b c a b c ∴+++<+++，即9353a b c a b c ++<++53930a b c a b c ∴++>++>，则结论∥正确将点()10A -，代入抛物线得：0a b c -+=，即c b a =-4b a =-45c a a a ∴=--=-又23c <<253a ∴<-< 解得3255a -<<-，则结论∥正确 ()19M a y -，，253N a y ⎛⎫⎪⎝⎭， 由结论∥可知，3255a -<<- 1827955a ∴<-<，52133a -<<- 由对称性可知，当543x a =-时，2y y = 52133a -<<- 1454533a ∴<-< 由二次函数的性质可知，当2x ≥时，y 随x 的增大而减小虽然9a -和543a -均大于2，但它们的大小关系不能确定 所以1y 与2y 的大小不能确定，则结论∥错误综上，正确结论的个数是3个故选：C ．17．（2020·云南昆明市·九年级二模）如图所示，菱形ABCD 的顶点A 在反比例函数y =5x (x ＞0)的图象上，函数y =k x(k ＞5，x ＞0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点．若AB =2，△DAB =30°，如下结论：△O 、A 、C 三点在同一直线上；△点A ；△点D 的坐标是；△比例系数k 的值为10+( )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 28A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】B 如图，连接OC 、AC ，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，延长DA ，与x 轴交于点G ，则//AE DF 函数k y x=的图象关于直线AC 对称 ∴O 、A 、C 三点在同一直线上，且45COE ∠=︒，则结论∥正确OA AE ∴=设(0)OE AE a a ==>，则点(,)A a a将(,)A a a 代入函数5y x=得：5a a =解得a =a =A ∴即点A∥不正确四边形ABCD 是菱形，30DAB ∠=︒，2AB =1152OAG DAC DAB ∴∠=∠=∠=︒，2AD = 45COE OAE ︒=∠=∠451530OAE OA EAG G ∠-∠=︒-=︒=∴∠︒在Rt AEG 中，tan EG EAG AE ∠=tan30=︒=解得3EG =23AG EG ∴==23DG AG AD =+=+ //AE DF30EAG FDG ∴=∠=∠︒则在Rt DFG 中，121GF DG =+=，cos DF FDG DG ∠=cos302)DF DG ∴=︒==1133OF OE EF OE GF EG =+=+-=+-=∴点D 的坐标为D ，则结论∥不正确点D 在函数k y x=的图象上=解得1)5k =⨯=+∥不正确 综上，不正确的结论是∥∥∥故选：B ．18．（2020·湖北武汉市·九年级其他模拟）如图，反比例函数(0)k y x x=>的图象分别与矩形OABC 的边AB ，BC 相交于点D ，E ，与对角线OB 交于点F ，以下结论：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 30 △若OAD △与OCE △的面积和为2，则2k =；△若B 点坐标为(4,2)，:1:3AD DB =，则1k =；△图中一定有ADCEBD BE =；△若点F 是OB 的中点，且6k =，则四边形ODBE 的面积为18． 其中一定正确个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∥D 、E 均在反比例函数图象上，OAD OCE S S ，又OAD 与OCE ∆的面积和为2，1OAD OCE S S ，2k ∴=；故本选项正确；∥B 点坐标为(4,2)，4AB ∴=，2AO =，:1:3AD DB ，1AD ∴=，2AO =，122k ∴=⨯=；故本选项错误；∥OAD 与OCE ∆的面积相等， ∴1122AD AO OC CE ， ∴OC AO AD CE ， ∴AB CB AD CE ， ∴AB AD CB CEADCE ，∴DB BE AD CE ， ∴AD CE BD BE=，故本选项正确； ∥过F 点作FG OC ⊥交OC 于G 点，过F 点作FHOA 交OA 于H 点， 6k ， 6OGFHS 四边形， 又∥点F 是OB 的中点，6424ABCOS 四边形， 1632AOD CEOS S ， 243318ODBE S 四边形，故本选项正确；总上所述，正确的有3个，故选：C ．19．（2020·云南昆明市·九年级二模）如图，在反比例函数3y x=的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC BC =，当点A 运动时，点C 始终在函数k y x=的图象上运动，若tan 2CAB ∠=，则k 的值为（ ）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 A ．12-B ．6-C ．18-D ．24-【答案】A 解：连接OC ，作CM∥x 轴于M ，AN∥x 轴于N ，如图，∥A 、B 两点为反比例函数与正比例函数的两交点，∥点A 、点B 关于原点对称，∥OA=OB ，∥CA=CB ，∥OC∥AB ，在Rt∥AOC 中，tan∥CAO=2CO AO=， ∥∥COM+∥AON=90°，∥AON+∥OAN=90°，∥∥COM=∥OAN ，∥Rt∥OCM∥Rt∥OAN ， ∥2)4(COM OAN S CO S OA ==， 而13223OAN S =⨯=， ∥S ∥CMO =6，∥12|k|=6，而k ＜0， ∥k=-12．故选：A ．20．（2020·绵阳市富乐实验中学九年级期中）如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG ．以下四个结论：△EAB GAD ∠=∠；△AFC AGD ∆∆∽；△22AE AHAC =⋅；△DG AC ⊥．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 解：∥∥四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∥∥EAG=∥BAD=90°又∥∥EAB=90°-∥BAG ，∥GAD=90°-∥BAG∥∥EAB=∥GAD∥∥正确∥∥四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∥AD=DC ，AG=FGAD ，AG∥AC AD =，AF AG= 即AC AF AD AG= 又∥∥DAG+∥GAC=∥FAC+∥GAC∥∥DAG=∥CAF∥AFC AGD ∆∆∽∥∥正确∥∥四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，AF 、AC 为对角线 ∥∥AFH=∥ACF=45°又∥∥FAH=∥CAF∥∥HAF∥∥FAC ∥AF AC AH AF= 即2·AF AC AH =原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 34 又AE∥22AE AH AC =⋅∥∥正确∥由∥知AFC AGD ∆∆∽又∥四边形ABCD 为正方形， AC 为对角线 ∥∥ADG=∥ACF=45°∥DG 在正方形另外一条对角线上 ∥DG∥AC∥∥正确故选：D ．。
内蒙古呼和浩特市中考数学试卷(解析版)
2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷一、选择题〔每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分〕1．〔分〕﹣3﹣〔﹣2〕的值是〔〕A．﹣1B．1C．5D．﹣52．〔分〕二十四节气是中国古代办感人民长久经验累积的结晶，它与日间时长亲密有关．当春分、秋分时，日夜时长大概相等；当夏至时，日间时长最长，依据如图，在以下选项中指出日间时长低于11小时的节气〔〕A．惊蛰B．小满C．立秋D．大寒3．〔分〕一个多边形的内角和为1080°，那么这个多边形是〔〕A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形4．〔分〕下边是几个同样的小正方体摆出的立体图形的三视图，由三视图可知小正方体的个数为〔〕A．6个B．5个C．4个D．3个5．〔分〕某学习小组做“用频次预计概率〞的实验时，统计了某一结果出现的频次，绘制了以下折线统计图，那么切合这一结果的实验最有可能的是〔〕A．袋中装有大小和质地都同样的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超出96．〔分〕假定以二元一次方程y=﹣x+b﹣l上，那么常数b=〔x+2y﹣b=0〕的解为坐标的点〔x，y〕都在直线A．B．2C．﹣1D．17．〔分〕跟着“三农〞问题的解决，某农民近两年的年收入发生了显然变化，前年和去的年收入分别是60000元和80000元，下边是依照①②③三种农作物每种作物每年的收入占该年年收入的比率绘制的扇形统计图．依照统计图得出的以下四个结论正确的选项是〔〕A．①的收入昨年和前年同样B．③的收入所占比率前年的比昨年的大C．昨年②的收入为万D．前年年收入不只①②③三种农作物的收入8．〔分〕按序连结平面上A、B、C、D四点获得一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取此中两个，能够得出“四边形ABCD是平行四边形〞这一结论的状况共有〔〕A．5种B．4种C．3种D．1种9．〔分〕以下运算及判断正确的选项是〔〕#ERR1A．﹣5×÷〔﹣〕×5=1B．方程〔x2+x﹣1〕x+3=1有四个整数解C．假定a×5673=103，a÷103=b，那么a×b=D．有序数对〔m2+1，m〕在平面直角坐标系中对应的点必定在第一象限10．〔分〕假定知足＜x≤1的随意实数x，都能使不等2x3﹣x2﹣mx＞2成式立，那么实m的取值范围是〔〕数A．m＜﹣1B．m≥﹣5C．m＜﹣4D．m≤﹣418分〕二、填空题〔本题共6小题，每题3分，共11．〔分〕分解因式：a2b﹣9b=．12．〔分〕同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．13．〔分〕文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这类笔袋，结账时店员说：“假如你再多买一个就能够打九折，价格比此刻低价36元〞，小华说：“那就多买一个吧，感谢，〞依据两人的对话可知，小华结账时实质付款元．14．〔分〕函数y=〔2k﹣1〕x+4〔k为常数〕，假定从﹣3≤k≤3中任取k值，那么获得的函数是拥有性质“y随x增添而增添〞的一次函数的概率为．15．〔分〕假定不等式组的解集中的随意x，都能使不等式x﹣5＞0建立，那么a的取值范围是．16．〔分〕如图，正方形ABCD，点M是边BA延伸线上的动点〔不与点A重合〕，且AM＜AB，△CBE由△DAM平移获得．假定过点E作EH⊥AC，H为垂足，那么有以下结论：①点M地点变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②不论点M运动到哪处，都有DM=HM；③不论点M运动到哪处，∠CHM必定大于135°．此中正确结论的序号为．9题，72分〕三、解答题〔本题共17．〔分〕计算〔1〕计算：2﹣2+〔3﹣〕÷﹣；°3sin45〔2〕解方程：+1=．18．〔分〕如图，A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．1〕求证：△ABC≌△DEF；2〕假定EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．19．〔分〕下表是随机抽取的某企业局部职工的月收入资料．月收入/45000180001000055005000340030002000元人数1113611121〕请计算以上样本的均匀数和中位数；2〕甲乙两人分别用样本均匀数和中位数来预计推测企业全体职工月收入水平，请你写出甲乙两人的推测结论；3〕指出谁的推测比较科学合理，能真切地反应企业全体职工月收入水平，并说出另一个人的推测依照不可以真切反应企业全体职工月收入水平的原由．20．〔分〕如图，A〔6，0〕，B〔8，5〕，将线段OA平移至CB，点D在x正半上〔不与点A重合〕，接OC，AB，CD，BD．〔1〕求角AC的；〔2〕点D的坐〔x，0〕，△ODC与△ABD的面分S1，S2．S=S1S2，写出S对于x的函数分析式，并研究能否存在点D使S与△DBC的面相等？假如存在，用坐形式写出点D的地点；假如不存在，明原由．21．〔分〕如，一座山的一段斜坡BD的度600米，且段斜坡的坡度i=1：3〔沿斜坡从B到D，其高升的高度与水平前的距离之比〕．在地面B得山A的仰角33°，在斜坡D得山A的仰角45°．求山A到地面BC的高度AC是多少米？〔果用含非特别角的三角函数和根式表示即可〕22．〔分〕量x、y关系以下表呈的律．x⋯43211234⋯y⋯1221⋯〔1〕依照表中出的关系写出函数分析式，并在出的坐系中画出大概象；〔2〕在个函数象上有一点P〔x，y〕〔x＜0〕，点P分作x和y的垂，并延与直y=x2交于A、B两点，假定△PAB的面等于，求出P点坐．23．〔分〕对于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有两个实数根x1，x2，请用配方法研究有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1?x2=．24．〔分〕如图，BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延伸线与BC的交点，且=．〔1〕求证：PD是⊙O的切线；〔2〕假定AD=12，AM=MC，求的值．25．〔分〕某市方案在十二年内经过公租房建设，解决低收入人群的住宅问题．前7年，每年完工投入使用的公租房面积y〔单位：百万平方米〕，与时间x〔第x年〕的关系组成一次函数，〔1≤x≤7且x为整数〕，且第一和第三年完工投入使的公租房面积分别为和百万平方米；后5年每年完工投入使用的公租房面积y〔单位：百万平方米〕，与时间x〔第x年〕的关系是y=﹣x+〔7＜x≤12且x为整数〕．〔1〕第6年完工投入使用的公租房面积可解决20万人的住宅问题，假如人均住宅面积，最后一年要比第6年提升20%，那么最后一年完工投入使用的公租房面可解决多少万人的住宅？2〕受物价上等要素的影响，12年中，每年完工投入使用的公租房的租金各不同样，且第一年，一年38元/m2，第二年，一年40元/m2，第三年，一年42元/m2，第四年，一年44元/m2⋯⋯以此推，剖析明每平方米的年租金和可否组成函数，假如能，直接写出函数分析式；〔3〕在〔2〕的条件下，假每年的公租房当年所有出租完，写出12年中每年完工投入使用的公租房的年租金W对于x的函数分析式，并求出W的最大〔位：元〕．假如在W获得最大的一年，老租用了58m2的房屋，算老一年交托的租金．2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题〔每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分〕1．【解答】解：﹣3﹣〔﹣2〕=﹣3+2=﹣1．应选：A．2．【解答】解：A、惊蛰日间时长为小时，高于11小时，不切合题意；B、小满日间时长为小时，高于11小时，不切合题意；C、秋分日间时长为小时，高于11小时，不切合题意；D、大寒日间时长为小时，低于11小时，切合题意，应选：D．3．【解答】解：依据n边形的内角和公式，得n﹣2〕?180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．应选：B．4．【解答】解：综合三视图，这个立体图形的基层应当有3个，第二层应当有1个小正方体，所以组成这个立体图形的小正方体的个数是3+1=4个．应选：C．5．【解答】解：A、袋中装有大小和质地都同样的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不切合题意；B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不切合题意；D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超出9的概率为，切合题意；应选：D．6．【解答】解：因为以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点〔x，y〕都在直线y=﹣x+b﹣l上，直线分析式乘以2得2y=﹣x+2b﹣2，变形为：x+2y﹣2b+2=0所以﹣b=﹣2b+2，解得：b=2，应选：B．7．【解答】解：A、前年①的收入为60000×=19500，昨年①的收入为80000×=26000，此选项错误；B、前年③的收入所占比率为×100%=30%，昨年③的收入所占比率为×1005=32.5%，此选项错误；C、昨年②的收入为80000×〔万元〕，此选项正确；D、前年年收入即为①②③三种农作物的收入，此选项错误；应选：C．8．【解答】解；当①③时，四边形ABCD为平行四边形；当①④时，四边形ABCD为平行四边形；当③④时，四边形ABCD为平行四边形；应选：C．9．【解答】解：A．﹣5×÷〔﹣〕×5=﹣1×〔﹣5〕×5=25，故错误；B．方程〔x2+x﹣1〕x+3=1有四个整数解：x=1，x=﹣2，x=﹣3，x=﹣1，故正确；C ．假定33，a÷103，那么××=，故错误；a×567=10=bab=2D．有序数对〔m+1，m〕在平面直角坐标系中对应的点必定在第一象限或第四象限或x轴正半轴上，故错误；10．【解答】解：∵知足＜x≤1的随意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2建立，∴m＜，m≤﹣4应选：D．二、填空题〔本题共6小题，每题3分，共18分〕11．【解答】解：a2b﹣9b=b〔a2﹣9〕=b〔a+3〕〔a﹣3〕．故答案为：b〔a+3〕〔a﹣3〕．12．【解答】解：设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，过O作OQ⊥BC于Q，连结OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴O为正方形ABCD的中心，∴∠BOC=90°，∵OQ⊥BC，OB=CO，∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，∴OQ=OC×cos45°=R；设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连结OG，即OH为正△EFG的边心距，∵正△EFG是⊙O的外接圆，∴∠OGF=∠EGF=30°，OH=OG×sin30°=R，OQ：OH=〔R〕：〔R〕=：1，∴故答案为：：1．∴∴∴13．∴【解答】解：设小华购买了x个笔袋，∴依据题意得：18〔x﹣1〕﹣18×0.9x=36，∴解得：x=30，∴18×0.9x=18××30=486．答：小华结账时实质付款486元．故答案为：486．14．【解答】解：当2k﹣1＞0时，解得：k＞，那么＜k≤3时，y随x增添而增添，故﹣3≤k＜时，y随x增添而减小，那么获得的函数是拥有性质“y随x增添而增添〞的一次函数的概率为：=．故答案为：．15．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2a，解不等式②得：x＞﹣a+2，又∵不等式x﹣5＞0的解集是x＞5，∴﹣2a≥5或﹣a+2≥5，∴解得：a≤﹣或a≤﹣6，∴经查验a≤﹣不切合，∴故答案为：a≤﹣6．∴∴∴16．∴【解答】解：由题可得，AM=BE，∴AB=EM=AD，∴∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，∴EH=AH，∴△MEH≌△DAH〔SAS〕，∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM=HM，故②正确；当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，∴∠ADM=45°﹣15°=30°，Rt△ADM中，DM=2AM，即DM=2BE，故①正确；∵点M是边BA延伸线上的动点〔不与点A重合〕，且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC=45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；故答案为：①②③．9题，72分〕三、解答题〔本题共17．【解答】解：〔1〕原式=﹣+〔9﹣〕÷﹣3×=﹣++﹣=3；2〕两边都乘以x﹣2，得：x﹣3+x﹣2=﹣3，解得：x=1，查验：x=1时，x﹣2=﹣1≠0，所以分式方程的解为x=1．18．【解答】〔1〕证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，AF=CD，AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF．〔2〕如图，连结AB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，'∴EO==，∴OF=OC==，CF=，AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．19．【解答】解：〔1〕样本的平均数为：=6150；这组数据共有26个，第13、14个数据分别是3400、3000，所以样本的中位数为：=3200．〔2〕甲：由样本均匀数6150元，预计企业全体职工月均匀收入大概为6150元；乙：由样本中位数为3200元，预计企业全体职工约有一半的月收入超出3200元，约有一半的月收入缺少3200元．〔3〕乙的推测比较科学合理．由题意知样本中的26名职工，只有3名职工的收入在6150元以上，原由是该样本数据极差较大，所以均匀数不可以真切的反应实质状况．20．【解答】解：〔1〕∵A〔6，0〕，B〔8，5〕，线段OA平移至CB，∴点C的坐标为〔2，5〕，∴AC==；〔2〕当点D在线段OA上时，S1==，S2==，∴S=S1﹣2=5x ﹣，S=15当点D在OA的延伸线上时，S1== ，S2==，∴S=S1﹣S2==15，由上可得，S=，S△DBC==15，∴点D在OA的延伸线上的随意一点都知足条件，∴点D的坐标为〔x，0〕〔x＞6〕．21．【解答】解：作DH⊥BC于H．设AE=x．DH：BH=1：3，在Rt△BDH中，DH2+〔3DH〕2=6002，∴DH=60，BH=180，在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，∴DE=AE=x，∵又HC=ED，EC=DH，∴HC=x，EC=60，在Rt△ABC中，tan33°=，∴x=，∴AC=AE+EC=+60=．答：山顶A到地面BC的高度AC是米22．【解答】解：〔1〕由图可知：y=2〕设点P〔x，〕，那么点A〔x，x﹣2〕由题意可知△PAB是等腰三角形，∵S△PAB=，PA=PB=5，∵x＜0，PA=y P﹣y A=﹣x+2即﹣x+2=5解得：x1=﹣2，x2=﹣1∴点P〔﹣2，1〕或〔﹣1，2〕23．【解答】解：∵ax2+bx+c=0〔a≠0〕，x2+x=﹣，x2+x+〔〕2=﹣+〔〕2，即〔x+〕2=，4a2＞0，∴当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根，∴x+ =±，∴当b2﹣4ac＞0时，x1=，x2=；当b2﹣4ac=0时，x12﹣；=x=∴x12===，?x=或x12〔﹣〕2==，?x==∴x1?x2=．24．【解答】〔1〕证明：连结OD、OP、CD．=，∠A=∠A，∴△ADM∽△APO，∴∠ADM=∠APO，MD∥PO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，OD=OM，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，OP=OP，OD=OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP=∠OCP，BC⊥AC，∴∠OCP=90°，OD⊥AP，PD是⊙O的切线．2〕连结CD．由〔1〕可知：PC=PD，∵AM=MC，∴AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，∴R2+122=9R2，∴R=3，∴OD=3，MC=6，∵==，DP=6，∵O是MC的中点，==，∴点P是BC的中点，BP=CP=DP=6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠CDM=90°，在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，BM=6，∵△BCM∽△CDM，∴=，即=，MD=2，==．25．【解答】解：〔1〕设y=kx+b〔1≤x≤7〕，由题意得，，解得k=﹣，b=4y=﹣x+4〔1≤x≤7〕x=6时，y=﹣×6+4=3∴300÷20=15，15〔1+20%〕=18，又x=12时，y=﹣×12+=∴×100÷万人，所以最后一年可解决万人的住宅问题；2〕因为每平方米的年租金和时间都是变量，且对于每一个确立的时间x的值，每平方米的年租金m 都有独一的值与它对应，所以它们能组成函数．由题意知m=2x+36〔1≤x≤12〕3〕解：W=∵当x=3时W max=147，x=8时W max=143，147＞143∴当x=3时，年租金最大，W max亿元当x=3时，m=2×3+36=42元58×42=2436元答：老张这一年应交租金为2436元．。
中考数学复习考点知识与题型专题讲解3--- 一元一次方程(解析版)
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题03一元一次方程【思维导图】【知识要点】知识点一一元一次方程的基础等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
注意：1.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等。
2.不能将等式和代数式概念混淆，等式含有等号，表示两个式子相等关系，而代数式不含等号，你只能作为等式的一边。
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
特征：它含有未知数，同时又是—个等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。
标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是已知数且a≠0）【特征】1. 只含有一个未知数x2. 未知数x的次数都是13. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。
方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
一元方程的解又叫根。
知识点二等式的性质（解一元一次方程的基础）等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
表示为：如果a=b，则a±c=b±c等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。
表示为：如果 a=b，那么ac = bc如果 a=b(c≠0)，那么 =【注意事项】1．等式两边都要参加运算，并且是同一种运算。
2．等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。
3．等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.4.等式左右两边互换，所得结果仍是等式。
知识点三解一元一次方程合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。
移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
（依据：等式的性质1）去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。
去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。
去分母时不要漏乘不含分母的项。
当分母中含有小数时，先将小数化成整数。
解一元一次方程的基本步骤：知识点四实际问题与一元一次方程用方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.【考查题型】考查题型一 一元一次方程概念的应用【解题思路】关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．典例1．（2021·四川中考真题）关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1， 可得：a-2=1，2+m=4， 解得：a=3，m=2， 所以a+m=3+2=5， 故选：C ．变式1-1．（2021·内蒙古中考真题）关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程，则其解为_____． 【详解】 解：关于x 的方程2m 1mx m 1x 20+﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程，2m 11∴﹣＝，即m 1＝或m 0＝，方程为x 20﹣＝或x 20--＝， 解得：x 2＝或x 2=-， 当2m-1=0，即m=12时， 方程为112022x --= 解得：x=-3，故答案为：x=2或x=-2或x=-3．变式1-2．（2021·四川南充市·中考真题）关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（） A ．9 B ．8C ．5D ．4【答案】C【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C ． 考查题型二 解一元一次方程【解题思路】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化．典例2．（2021·重庆中考真题）解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（）A ．3(1)12x x +=-B ．2(1)13x x +=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x +=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ，故选：D ．变式2-1．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（）． A ．1- B ．1 C ．0 D ．2【答案】C【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解． 【详解】解：由题意知：2211☆=+-=+x x x ， 又21x =☆， ∴11x +=， ∴0x =． 故选：C ．变式2-2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解． 【详解】解：221123x x x ---=- ()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x =27x =考查题型三 配套问题和工程问题【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据.【工程问题解题关键】常把总工作量看做1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题典例3．（2021·哈尔滨市模拟）某车间有27名工人，每个工人每天生产64个螺母或者22个螺栓，每个螺栓配套两个螺母，若分配x个工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程中正确的是（）A．22x＝64（27﹣x）B．2×22x＝64（27﹣x）C．64x＝22（27﹣x）D．2×64x＝22（27﹣x）【答案】B【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺母数量=2倍的螺栓数量，可得出方程．【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母64个或螺栓22个，∴可得2×22x＝64（27﹣x）．故选：B．变式3-1．（2021·黑哈尔滨市二模）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为（）A．1200x＝2000（22﹣x）B．1200x＝2×2000（22﹣x）C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母，可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程．【详解】解：设每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000（22-x），即2×1200x=2000（22-x），故选D．变式3-2．（2021·山西阳泉市模拟）在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱. 问共有多少人家，每头牛的价钱是多少元？若设有x户人家，则可列方程为（）A．1902703303079x x+=-B．1902703303079x x-=+C．7190927033030x x⨯⨯+=-D．7190927033030x x⨯⨯-=+【答案】A【分析】根据“如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱”，可得每头牛的价钱是1903307x+或270309x-，即可得出关于x的方程.【详解】解：∵如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱，∴每头牛的价钱是1903307x+；∵如果每9家共出270元，又多了30元钱，∴每头牛的价钱又可以表示为270309x-，∴可列方程为：19027033030 79x x+=-，故选A.变式3-3．（2021·广西南宁市一模）某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（）A．120350506x x+-=+B．350506x x-=+C．120350506x x+-=+D．120350650x x+-=+【答案】C【分析】关系式为：零件任务÷原计划每天生产的零件个数-（零件任务+120）÷实际每天生产的零件个数=3，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，所以根据时间列的方程为：12035050+6x x +-= 故选C ．变式3-4．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x 人，则 （ ） A ．237230x xB ．327230x xB ．C ．233072x xD ．323072x x【答案】D【分析】先设男生x 人，根据题意可得323072x x .【详解】男生x 人，则女生有(30－x)人，由题意得：323072x x，故选D.变式3-5．（2021·哈尔滨市模拟）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的13，应从乙队调多少人去甲队？如果设应从乙队调x 人到甲队，列出的方程正确的是（） A ．1(96)723x x -=-B ．196723x x ⨯-=-C ．1(96)723x x +=-D ．196(72)3x x +=-【答案】C【分析】根据等量关系：乙队调动后的人数=13甲队调动后的人数，列出一元一次方程即可． 【详解】设应从乙队调x 人到甲队，此时甲队有（96+x ）人，乙队有（72-x ）人， 根据题意可得：13（96+x ）=72-x ．故选C ． 考查题型四 销售盈亏问题 销售金额=售价×数量利润= 商品售价-商品进价利润率=（利润÷商品进价）×100%现售价 = 标价×折扣售价 = 进价×（1+利润率）典例4．（2021·长沙市一模）随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（）A．180 B．170 C．160 D．150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，由题意得：80%x﹣120=20%×120，解得：x=180．即该超市该品牌粽子的标价为180元．故选：A．变式4-1．（2021·广东深圳市模拟）某商贩在一次买卖中，以每件135元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，在这次买卖中，该商贩（）A．不赔不赚B．赚9元C．赔18元D．赚18元【答案】C【分析】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得:135-x=25%x;y-135=25%y；求出成本可得.【详解】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得135-x=25%xy-135=25%y解方程组，得x=108元，y=180元135+135-108-180=-18亏本18元故选：C变式4-2．（2021·长沙市二模）中国总理李克强2021年6月1日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起来，国家才能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”，长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售，该小商品的利润率（）A．40% B．20% C．60% D．30%【答案】B【分析】设该小商品的利润率为x，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设该小商品的利润率为x，依题意，得：10×（1+100%）×0.6﹣10＝10x，解得：x＝0.2＝20%．故选：B．考查题型五比赛积分问题比赛总场数=胜场数+负场数+平场数比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分典例5．（2021·大庆市模拟）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】解答此题可设该队获胜x场，则负了（6-x）场，根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设该队获胜x场，则负了(6－x)场．根据题意得3x＋(6－x)＝12，解得x＝3.经检验x＝3符合题意.故该队获胜3场．故选B.变式5-1．（2021·武汉市模拟）一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（）A．17道B．18道C．19道D．20道【答案】C【分析】设作对了x道，则错了（25-x）道，根据题意列出方程进行求解.【详解】设作对了x道，则错了（25-x）道，依题意得4x-(25-x)=70，解得x=19故选C.变式5-2．（2021·广东深圳市模拟）在2018﹣2021赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x场，则可列方程为（）A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3 （30﹣x）＝74C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3 （26﹣x）＝74【答案】C【分析】根据题意分析，可以设曼城队一共胜了x场，则平了（30-x-4）场，找出等量关系：总积分=3×获胜场数+1×踢平场数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】设曼城队一共胜了x场，则平了（30﹣x﹣4）场，依题意，得：3x+（30﹣x﹣4）＝74，即3x+（26﹣x）＝74．故选：C．考查题型六方案选择问题结合实际，分情况讨论，给出合理建议。
2021年中考数学模拟试卷含答案解析 (15)
2021年中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．在下列六个数中：0，，，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（1，﹣3）4．下面命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直B．方程x2＝14x的解为x＝14C．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等5．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（）A．小时B．小时C．小时D．小时6．若a是﹣1的整数部分，b是5+的小数部分，则a（﹣b）的值为（）A．6B．4C．9D．37．一次数学竞赛共有30道题，规定答对一道得10分，答错一道或者不答扣3分，在这次竞赛中，小亮想至少得120分，设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（）A．10x﹣（30﹣x）≤120B．10x≥120C．10x＞120D．10x﹣3（30﹣x）≥1208．根据流程图中的程序，当输入x的值为﹣2时，输出y的值为（）A．4B．6C．8D．109．用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，其中，第①幅图中黑、白色瓷砖共5块；第②幅图中黑、白色瓷砖共12块：第③幅图中黑、白色瓷砖共21块．则第6幅图案中黑、白色瓷砖共（）块．A．45B．49C．60D．6410．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．直径为5的⊙O分别与AC、BC相切于点F、E，与AB交于点M、N，过点O作OP⊥MN于P，则OP的长为（）A．1B．C．D．11．“大金鹰”雕塑，雄居在重庆南山671米高的鹞鹰岩上，家住南山的小星同学利用周末去测量大金鹰的大致高度．大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面BC长15米，坡度i＝1：0.75，小星站在距离C点16米的D点，测得大金鹰顶部A的仰角为64°，则大金鹰AB的高度约为（）米．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，结果保留一位小数）A．37.3B．37.2C．39.3D．39.212．关于x的分式方程+＝﹣2的解为正数，且关于x的不等式组有解，则满足上述要求的所有整数a的和为（）A．﹣16B．﹣12C．﹣10D．﹣6二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达35.578公里，整个大桥造价超过720亿元人民币.720亿用科学记数法可表示为元．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）15．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为，则袋中共有小球只．16．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值为．17．上周日，小飞与小林参加了“青春劲跑”长跑比赛．点A，点B及终点C顺次在一条直线上比赛时，小飞从A点起跑，同时小林则从与A点相距200米的B点起跑，小飞全程都保持匀速跑，小林按某一速度匀速跑一段时间后，感觉状态良好，于是将跑速提高了40米/分，并按新的速度匀速前进直至终点C．如图为比赛开始后，两人的跑步时间x （单位：分）与两人距离终点的距离y（单位：米）之间的函数图象．则在本次比赛中，小林从出发到完成比赛，共用时分．18．某个“清凉小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料．A、B、C三种饮料的单价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A饮料的数量（单位：瓶）是B饮料数量的2倍，B饮料的数量（单位：瓶）是C饮料数量的2倍．某个周六，A、B、C三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，60%，50%，且全部售出，但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按某种饮料1瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了403元，则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是元．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）（x+2y）2﹣（x﹣y）（x﹣4y）（2）（﹣x+2）÷20．（10分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．21．（10分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题：收集数据（1）若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有．（只要填写序号即可）①随机抽取两个班级的96名学生；②在全年级学生中随机抽取96名学生；③在全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；④从全年级学生中随机抽取96名男生．整理数据（2）将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下．请根据图表中数据填空：①C类和D类部分的圆心角度数分别为、；②估计全年级A、B类学生大约一共有名．成绩（单位：分）频数频率A类（80～100）0.5B类（60～79）0.25C类（40～59）16D类（0～39）8分析数据（3）学校为了解其它学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：学校平均数（分）极差（分）方差A、B类的频率和第一中学71524320.75第二中学71804970.82你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个合理解释来支持你的观点．22．（10分）亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩意”瘾，重温那份久违的童真．某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，其中每套甲款亲子装进价200元，每套乙款亲子装进价160元，进行试销售，供不应求，很快全部销售完毕，已知每套乙款亲子装售价为240元，（1）求购进甲、乙两款亲子装各多少套？（2）六一儿童节临近，专卖店又购入第二批甲、乙两款亲子装并进行促销活动，在促销期间，每套甲款亲子装在进价的基础上提高（a+10）%销售，每套乙款亲子装在第一批售价的基础上降低a%销售，结果在促销活动中，甲款亲子装的销售量比第一批甲款销售量降低了a%，乙款亲子装的销售量比第一批乙款销售量上升了25%，结果本次促销活动共获利5200元，求a的值．23．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（x，y），则定义：d（x，y）＝|x|+|y|为点P到坐标原点O的“折线距离”．（1）若已知P（﹣2，3），则点P到坐标原点O的“折线距离”d（﹣2，3）＝；（2）若点P（x，y）满足2x+y＝0，且点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝6，求出P的坐标；（3）若点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝3，试在坐标系内画出所有满足条件的点P构成的图形，并求出该图形的所围成封闭区域的面积．24．（10分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a，b为实数，i是虚数单位）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（2+）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i﹣（﹣1）＝3+i．根据以上信息，解答下列问题：（1）下列等式或命题中，错误的是A．i4＝1B．复数（1+i）2的实部为0C．（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣iD．i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1（2）计算：①（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2；②（1+2）3（1﹣2i）3．25．（10分）在平行四边形ABCD中，BC的垂直平分线交AC于F，连线AE、BF．（1）如图1，若BF⊥AC，AE＝3，AD＝6，求AF的长；（2）如图2，若AE，BF交于点G，且∠ACD＝∠BGE，求证：AF+2FG＝FC．26．（8分）综合与探究：如图1，Rt△AOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA＝4，OB＝2．将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥x 轴于点D，抛物线y＝ax2+3x+c经过点C，与y轴交于点E（0，2），直线AC与x轴交于点H．（1）求点C的坐标及抛物线的表达式；（2）如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F （点F在第一象限）．设点G的横坐标为m．①点G的纵坐标用含m的代数式表示为；②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结论；③在②的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等，请直接写出点N的坐标．2021年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．在下列六个数中：0，，，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据分数的定义解答即可．【解答】解：在下列六个数中：0，，，0.101001，﹣10%，5213中，分数有，0.101001，﹣10%共3个．故选：B．2．如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从上面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：如图所示：它的俯视图是：．故选：C．3．二次函数y＝2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（1，﹣3）【分析】二次函数的顶点式方程：y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是P（h，k）．【解答】解：∵二次函数的顶点式方程是：y＝2（x﹣1）2﹣3，∴该函数的顶点坐标是：（1，﹣3）；故选：D．4．下面命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直B．方程x2＝14x的解为x＝14C．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；由方程x2＝14x的解为x＝14或x＝0得出选项B不正确；由六边形内角和为（6﹣2）×180°＝720°得出选项C不正确；由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．【解答】解：A．矩形对角线互相垂直，不正确；B．方程x2＝14x的解为x＝14，不正确；C．六边形内角和为540°，不正确；D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选：D．5．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（）A．小时B．小时C．小时D．小时【分析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．设CD＝x海里．解Rt△CAD，得出AD＝x海里．解Rt△CBD得出BD＝x海里．根据AD﹣BD＝AB列出方程x﹣x ＝20（﹣1），求出x＝20，那么BC＝CD＝20海里，再利用时间＝路程÷速度求解．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．由题意，得∠CAD＝30°，设CD＝x海里．在Rt△CAD中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2x海里，AD＝CD＝x海里．在Rt△CBD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x海里．∵AD﹣BD＝AB，∴x﹣x＝20（﹣1），解得x＝20，∴BC＝CD＝20海里，∵救援艇的速度为30海里/小时，∴救援艇到达C处所用的时间为＝（小时）．故选：C．6．若a是﹣1的整数部分，b是5+的小数部分，则a（﹣b）的值为（）A．6B．4C．9D．3【分析】先估算和的大小，然后求出a、b的值，代入所求式子计算即可．【解答】解：∵2＜﹣1＜3，∴a＝2，又∵7＜5+＜8，∴5+的整数部分为7∴b＝5+﹣7＝﹣2；∴a（﹣b）＝2×（﹣+2）＝4．故选：B．7．一次数学竞赛共有30道题，规定答对一道得10分，答错一道或者不答扣3分，在这次竞赛中，小亮想至少得120分，设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（）A．10x﹣（30﹣x）≤120B．10x≥120C．10x＞120D．10x﹣3（30﹣x）≥120【分析】将答对题数所得的分数减去答错或不答所扣的分数，在由题意知小亮答题所得的分数大于等于120分，列出不等式即可．【解答】解：设他答对了x道题，根据题意可得：10x﹣3（30﹣x）≥120．故选：D．8．根据流程图中的程序，当输入x的值为﹣2时，输出y的值为（）A．4B．6C．8D．10【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，将x的值代入对应的函数即可求得y的值．【解答】解：∵x＝﹣2，不满足x≥1∴对应y＝﹣x+5，故输出的值y＝﹣x+5＝﹣×（﹣2）+5＝1+5＝6．故选：B．9．用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，其中，第①幅图中黑、白色瓷砖共5块；第②幅图中黑、白色瓷砖共12块：第③幅图中黑、白色瓷砖共21块．则第6幅图案中黑、白色瓷砖共（）块．A．45B．49C．60D．64【分析】设第n幅图案中黑、白色瓷砖共a n块（n为正整数），观察图形，根据各图案中黑、白色瓷砖数量的变化可得出变化规律“a n＝n2+4n（n为正整数）”，再代入n＝6即可求出结论．【解答】解：设第n幅图案中黑、白色瓷砖共a n块（n为正整数）．观察图形，可知：a1＝12+1×4＝5，a2＝22+2×4＝12，a3＝32+3×4＝21，…，∴a n＝n2+4n（n为正整数），∴a6＝62+4×6＝60．故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．直径为5的⊙O分别与AC、BC相切于点F、E，与AB交于点M、N，过点O作OP⊥MN于P，则OP的长为（）A．1B．C．D．【分析】连结OE，OF，则四边形OFCE为正方形，可证明△AFG∽△ACB，可求出OG 长，证明△OGP∽△ABC可求出OP的长．【解答】解：连结OE，OF，∵⊙O分别与AC、BC相切于点F、E，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∵OE＝OF，∴四边形OFCE为正方形，设FG＝x，∵FG∥BC，∴△AFG∽△ACB，∴，∴，解得x＝，∴OG＝，∵∠OGP＝∠AGF＝∠ABC，∴△OGP∽△ABC，∴，∴，∴．故选：B．11．“大金鹰”雕塑，雄居在重庆南山671米高的鹞鹰岩上，家住南山的小星同学利用周末去测量大金鹰的大致高度．大金鹰是雄踞在一人造石台上，石台侧面BC长15米，坡度i＝1：0.75，小星站在距离C点16米的D点，测得大金鹰顶部A的仰角为64°，则大金鹰AB的高度约为（）米．（参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，结果保留一位小数）A．37.3B．37.2C．39.3D．39.2【分析】延长AB交DC的延长线于H，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AH，结合图形计算得到答案．【解答】解：延长AB交DC的延长线于H，则AH⊥DC，设CH＝3x米，∵石台侧面BC的坡度i＝1：0.75，∴BH＝4x米，在Rt△BCH中，BC2＝CH2+BH2，即152＝（3x）2+（4x）2，解得，x＝3，则CH＝3x＝9，BH＝4x＝12，∴DH＝DC+CH＝25，在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，∴AH＝DH•tan∠ADH≈25×2.05＝51.25，∴AB＝AH﹣BH＝39.25≈39.3，故选：C．12．关于x的分式方程+＝﹣2的解为正数，且关于x的不等式组有解，则满足上述要求的所有整数a的和为（）A．﹣16B．﹣12C．﹣10D．﹣6【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a＞﹣5，找出﹣5＜a＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．【解答】解：解分式方程得x＝，因为分式方程的解为正数，所以＞0且≠4，解得：a＜2且a≠1，解不等式，得：x≤a+5，∵不等式组有解，∴a+5＞0，解得：a＞﹣5，综上，﹣5＜a＜2，且a≠1，则满足上述要求的所有整数a的和为﹣4+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣10，故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，其中主体工程“海中桥隧”长达35.578公里，整个大桥造价超过720亿元人民币.720亿用科学记数法可表示为7.2×1010元．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：720亿＝72000000000＝7.2×1010．故答案为：7.2×1010．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为2﹣π．（结果保留π）【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，∴AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，∴AC＝2，BD＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为：2﹣π．15．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为，则袋中共有小球10只．【分析】直接利用概率公式计算．【解答】解：设袋中共有小球只，根据题意得＝，解得x＝10，所以袋中共有小球10只．故答案为10．16．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值为．【分析】连接AF，由矩形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质得∠AEF＝∠GFE，由折叠的性质得∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，推出∠AEF＝∠AFE，则AF＝AE，AE ＝FG，得出四边形AFGE是平行四边形，则AF∥EG，得出∠EGF＝∠AFB，设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝，即可得出结果．【解答】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEF＝∠GFE，由折叠的性质可知：∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE，∴AE＝FG，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，∴∠EGF＝∠AFB，设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝＝，∴cos∠EGF＝，故答案为：．17．上周日，小飞与小林参加了“青春劲跑”长跑比赛．点A，点B及终点C顺次在一条直线上比赛时，小飞从A点起跑，同时小林则从与A点相距200米的B点起跑，小飞全程都保持匀速跑，小林按某一速度匀速跑一段时间后，感觉状态良好，于是将跑速提高了40米/分，并按新的速度匀速前进直至终点C．如图为比赛开始后，两人的跑步时间x （单位：分）与两人距离终点的距离y（单位：米）之间的函数图象．则在本次比赛中，小林从出发到完成比赛，共用时分．【分析】小飞全程匀速，速度为10200÷34＝300米/分，经过2分小飞追上小林，因此速度差为200÷2＝100米/分，小林的速度为300﹣100＝200米/分，小林15分钟行15×200＝3000米，15分钟以后的速度为200+40＝240米/分，以后行至C地所用时间为（10000﹣3000）÷240＝分，因此行完全程的时间为15+＝分．【解答】解：小飞的速度：10200÷34＝300米/分，速度差为：200÷2＝100米/分，小林的原速度为300﹣100＝200米/分，小林后速度为：200+40＝240米/分，小林前15分钟行驶的路程200×15＝3000米，小林行完剩下路程需要时间（10000﹣3000）÷240＝分，因此小林从出发到完成比赛，共用时15+＝分，故答案为：．18．某个“清凉小屋”自动售货机出售A、B、C三种饮料．A、B、C三种饮料的单价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A饮料的数量（单位：瓶）是B饮料数量的2倍，B饮料的数量（单位：瓶）是C饮料数量的2倍．某个周六，A、B、C三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，60%，50%，且全部售出，但是由于软件bug，发生了一起错单（即消费者按某种饮料1瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了403元，则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是760元．【分析】设C饮料数量工作日时有x瓶，根据题意，得A、B两种饮料数量工作日时4x 瓶、2x瓶，A、B、C三种饮料周六数量分别为：6x（瓶），3.2x（瓶），1.5x（瓶），设变化了y元，得10.1x+y＝403，其中x为整数，即可求得y的值，进而求得工作日销售额．【解答】解：设C饮料数量工作日时有x瓶，根据题意，得A、B两种饮料数量工作日时4x瓶、2x瓶，A、B、C三种饮料周六数量分别为：4x（1+50%）＝6x（瓶），2x（1+60%）＝3.2x（瓶），x（1+50%）＝1.5x（瓶），∴工作日钱数：2×4x+3×2x+5x＝19x（元），周六钱数：2×6x+3×3.2x+5×1.5x＝29.1x（元），当不发生任何故障时，多出29.1x﹣19x＝10.1x（元），其中x为整数，由于发生了故障，周六的销售额发生了变化，设变化了y元，则10.1x+y＝403，其中x为整数，y＝1、2、3、﹣1、﹣2、﹣3，得y＝﹣1时，x＝40，所以工作日销售额为：19×40＝760（元）．故答案为760．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）（x+2y）2﹣（x﹣y）（x﹣4y）（2）（﹣x+2）÷【分析】（1）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项即可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣4xy﹣xy+4y2）＝x2+4xy+4y2﹣x2+4xy+xy﹣4y2＝9xy；（2）原式＝÷＝•＝﹣．20．（10分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC 于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠ABE＝∠CBE＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC＝75°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质计算，即可证明．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝4CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．21．（10分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生．请按要求回答下列问题：收集数据（1）若要从全年级学生中抽取一个96人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有②、③．（只要填写序号即可）①随机抽取两个班级的96名学生；②在全年级学生中随机抽取96名学生；③在全年级12个班中分别各随机抽取8名学生；④从全年级学生中随机抽取96名男生．整理数据（2）将抽取的96名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下．请根据图表中数据填空：①C类和D类部分的圆心角度数分别为60°、30°；②估计全年级A、B类学生大约一共有432名．成绩（单位：分）频数频率A类（80～100）0.5B类（60～79）0.25C类（40～59）16D类（0～39）8分析数据（3）学校为了解其它学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：学校平均数（分）极差（分）方差A、B类的频率和第一中学71524320.75第二中学71804970.82你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个合理解释来支持你的观点．【分析】（1）根据抽样调查的代表性和可靠性求解可得；（2）①用360°分别乘以C、D类人数所占比例即可得；②用总人数乘以A、B的频率和可得；（3）根据极差、方差和A、B的频率的意义给出合理解释即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）抽样方法中比较合理的有②、③，故答案为：②、③；（2）①C类部分的圆心角度数为360°×＝60°，D类部分的圆心角度数为360°×＝30°；②估计全年级A、B类学生大约一共有12×48×（0.5+0.25）＝432名．故答案为：60°，30°，432；（3）第一中学教学效果好，极差、方差小于第二中学，说明第一中学学生两极分化，学生之间的差距较第二中学好．第二中学教学效果好，A、B类的频率和大于第一中学，说明第二中学学生及格率较第一中学学生好．（答案不唯一）．22．（10分）亲子装是现代家庭中的一种流行趋势，亲子装不仅能表达“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情，同时家长可以过一把“孩意”瘾，重温那份久违的童真．某专卖店购进一批甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，其中每套甲款亲子装进价200元，每套乙款亲子装进价160元，进行试销售，供不应求，很快全部销售完毕，已知每套乙款亲子装售价为240元，（1）求购进甲、乙两款亲子装各多少套？（2）六一儿童节临近，专卖店又购入第二批甲、乙两款亲子装并进行促销活动，在促销期间，每套甲款亲子装在进价的基础上提高（a+10）%销售，每套乙款亲子装在第一批售价的基础上降低a%销售，结果在促销活动中，甲款亲子装的销售量比第一批甲款销售量降低了a%，乙款亲子装的销售量比第一批乙款销售量上升了25%，结果本次促销活动共获利5200元，求a的值．【分析】（1）设购进甲、乙两款亲子装分别为x、y套，根据甲、乙两款亲子装，共花费了18400元，甲款比乙款多20套，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意先分别求出促销活动中甲、乙两款亲子装单件利润和销售总量（用a表示），然后由促销活动共获利5200元，可以列出相应的方程，从而可以求得a的值．【解答】解：（1）设购进甲、乙两款亲子装分别为x、y套．依题意得，解得：，答：购进甲款亲子装60套，乙款亲子装40套．（2）依题意可知：第二批甲亲子装每件利润为：200（a+10）%＝（2a+20）（元），第二批乙款亲子装售价为：240•（1﹣a%）＝240﹣1.2a（元），乙亲子装每件利润为：（240﹣1.2a﹣160）＝（80﹣1.2a）元第二批甲款亲子装的销售量为：60•（1﹣a%）＝（60﹣0.6a）（件）第二批乙款亲子装的销售量为：40×（1+25%）＝50（件）依题意得：（2a+20）（60﹣0.6a）+50（80﹣1.2a）＝5200解得：a1＝0（不合题意舍去），a2＝40，∴a的值为40．答：a的值为40．23．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（x，y），则定义：d（x，y）＝|x|+|y|为点P到坐标原点O的“折线距离”．（1）若已知P（﹣2，3），则点P到坐标原点O的“折线距离”d（﹣2，3）＝5；（2）若点P（x，y）满足2x+y＝0，且点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝6，求出P的坐标；（3）若点P到坐标原点O的“折线距离”d（x，y）＝3，试在坐标系内画出所有满足条件的点P构成的图形，并求出该图形的所围成封闭区域的面积．【分析】（1）根据新定义和绝对值的意义计算；（2）利用题意得到|x|+|y|＝6和y＝﹣2x，然后解方程组求出x和y即可得到P点坐标；（3）利用题意得到所有满足条件的点P构成的图形为正方形ABCD，然后计算它的面积即可．【解答】解：（1）点P到坐标原点O的“折线距离”d（﹣2，3）＝|﹣2|+|3|＝2+3＝5；故答案为5；（2）根据题意得|x|+|y|＝6，而2x+y＝0，即y＝﹣2x，∴|x|+|﹣2x|＝6，∴3|x|＝6，解得x＝2或﹣2，当x＝2时，y＝﹣2x＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝﹣2x＝4，∴P点坐标为（2，﹣4），（﹣2，4）；（3）如图，所有满足条件的点P构成的图形为正方形ABCD，该图形的所围成封闭区域的面积＝×6×6＝18．24．（10分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a，b为实数，i是虚数单位）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（2+）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣1×i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i﹣（﹣1）＝3+i．根据以上信息，解答下列问题：（1）下列等式或命题中，错误的是CA．i4＝1B．复数（1+i）2的实部为0C．（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣iD．i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1（2）计算：①（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2；②（1+2）3（1﹣2i）3．【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；（2）①原式利用多项式乘以多项式法则，完全平方公式化简，再利用题中的新定义计算即可求出值；②原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，再利用新定义化简即可求出值．【解答】解：（1）A．i4＝i2•i2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，不符合题意；B．复数（1+i）2＝1+2i﹣1＝2i，实数部分为0，不符合题意；C．（1+i）×（3﹣4i）＝3﹣4i+3i+4＝7﹣i，符合题意；D．i+i2+i3+i4+…+i2019＝i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i＝﹣1，不符合题意，故选C；（2）①原式＝2﹣i+4i+2+4﹣4i﹣1＝7﹣i；②原式＝27（﹣3﹣4i）（1﹣2i）＝27（﹣3+6i﹣4i﹣8）＝27（﹣11+2i）＝﹣297+54i．25．（10分）在平行四边形ABCD中，BC的垂直平分线交AC于F，连线AE、BF．（1）如图1，若BF⊥AC，AE＝3，AD＝6，求AF的长；（2）如图2，若AE，BF交于点G，且∠ACD＝∠BGE，求证：AF+2FG＝FC．【分析】（1）过点E作EG⊥AC于点G，由平行四边形的性质BC＝AD＝6，由等腰直角三角形的性质可得GE＝FC＝3，由勾股定理可求AG的长，即可求AF的长；（2）通过证明△DAC∽△BGE，可得＝，AC＝2BG，即可得结论．【解答】解：（1）如图，过点E作EG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形∴BC＝AD＝6，∵BC的垂直平分线交AC于F，∴BF＝CF，且∠BFC＝90°，BC＝6∴BF＝CF＝6，EF＝BE＝EC＝3，∵EF＝CE，EG⊥AC∴GE＝FC＝3在Rt△AEG中，AG＝＝6，。
2021年中考一模考试《数学卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（ ） A. 14-B. -4C.14D. 42.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（ ）A. B. C. D.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（ ） A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×1064.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形7.化简()22x 的结果是（ ） A. x 4B. 2x 2C. 4x 2D. 4x8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ） A.16B.13C.12D.239.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A.103B. 4C. 4.5D. 510.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c += C. 1bc a +=D. 以上都不是二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，EABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．12.如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC ＝1，则OF ＝_____．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况： 捐书(本) 3 4 5 7 10 人数 5710117该班学生平均每人捐书______本．14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：1332)182+18.化简： 2212(1)244x x xx x x +--÷--+ 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？22.如图，函数12y x=的图象与函数kyx=（x＞0）的图象相交于点P（4，m）．（1）求m，k的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．23.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且DE 是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE ＝12∠BAC ； （2）若AB ＝3BD ，CE ＝4，求⊙O 的半径．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围． 25.阅读下面材料，完成()()13-题． 数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．” 小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE数量关系．”老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出ABCH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠； （2）求ADAE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则ABCH的值为 (用含k 的式子表示)． 26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）． （1）b=__________（用含m 的代数式表示）； （2）求△ABC 的面积； （3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．答案与解析一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)1.实数4的相反数是（）A.14B. -4C.14D. 4【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义即可解答．【详解】∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴4的相反数是﹣4；故选B．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键．2.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图的概念即可快速作答.【详解】解：立体图形的主视图，即正前方观察到的平面图，即选项A符合题意；故答案为A.【点睛】本题考查了三视图的概念及正确识别主视图，解题的关键在于良好的空间想象能力.3.2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（）A. 38×104B. 3.8×104C. 3.8×105D. 0.38×106【答案】C 【解析】 【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.【详解】380000=3.8×105. 故选C.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4.（2018乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy 中，将点()12N --，绕点O 旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）A. ()12， B. ()12-， C. ()12--， D. ()12-， 【答案】A 【解析】【详解】点N 绕着点O 旋转180°，恰好关于原点对称，点(1,2)N --的中心对称点为(1，2)，故选A ．5.不等式组12220360x x -<⎧⎨-≤⎩的解集是（ ）A. 46x -<≤B. 4x ≤-或2x >C. 42x -<≤D. 24x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再确定出解集的公共部分即可得解. 【详解】解不等式12220x -<，得：4x >-， 解不等式360x -≤，得：2x ≤， 则不等式组的解集为42x -<≤， 故选C ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 正三角形B. 正五边形C. 等腰直角三角形D. 矩形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得.【详解】A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.化简()22x的结果是（）A. x4B. 2x2C. 4x2D. 4x【答案】C【解析】【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．【详解】(2x)²=2²·x²=4x²，故选C.【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.8.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A. 16B.13C.12D.23【答案】A【解析】【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16，故选A．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．9.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）A. 103B. 4C. 4.5D. 5【答案】D【解析】【分析】设FC ′=x ，则FD=9-x ，根据矩形的性质结合BC=6、点C ′为AD 的中点，即可得出C ′D 的长度，在Rt △FC ′D 中，利用勾股定理即可找出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设FC′=x ，则FD=9﹣x ，∵BC=6，四边形ABCD 为矩形，点C′为AD 的中点，∴AD=BC=6，C′D=3，在Rt △FC′D 中，∠D=90°，FC′=x ，FD=9﹣x ，C′D=3，∴FC′2=FD 2+C′D 2，即x 2=（9﹣x ）2+32，解得：x=5，故选D ．【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt △FC′D 中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元二次方程是解题的关键．10.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，且,OA OC =则（ ）A. 1ac b +=B. 1ab c +=C. 1bc a +=D. 以上都不是【答案】A【解析】【分析】 根据题意可知，本题考察二次函数图像与系数的关系，根据图像与坐标轴的交点，运用两边相等求出交点坐标，代入坐标进行求解．【详解】∵OA OC =∴点A 、C 的坐标为(-c ，0)，(0，c)∴把点A 的坐标代入2y ax bx c =++得∴2=0ac bc c -+∴()10c ac b -+=∵0c ≠∴10ac b -+=∴1ac b +=故选A【点睛】本题考察二次函数图像与系数关系，解题关键是根据图像得出系数取值范围，再代入点的坐标进行解决． 二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，E 为ABC ∆边CA 延长线上一点，过点E 作//ED BC ．若070BAC ∠=，050CED ∠=，则B ∠=________°．【答案】60【解析】【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED=∠C=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【详解】解：∵ED ∥BC ，∴∠CED=∠C=50°，又∵∠BAC=70°，∴△ABC中，∠B=180°-50°-70°=60°，故答案为60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12.如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．【答案】2【解析】【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】作EH⊥OA于H．∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．故答案2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．13.为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七(1)班40名学生的捐书情况：捐书(本) 3 4 5 7 10人数 5 7 10 11 7该班学生平均每人捐书______本．【答案】6【解析】【分析】利用加权平均数公式进行求解即可得. 【详解】该班学生平均每人捐书3547510711107640⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(本)， 故答案为6．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键.14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为_____________．【答案】46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【解析】【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．【详解】解：设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为： 46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩ 故答案是：46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．15.如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45，测得该建筑底部C 处的俯角为17．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为__m ．（参考数据：sin170.29≈，cos170.96≈，tan170.31≈）【答案】262【解析】【分析】作AE BC ⊥于E ，根据正切的定义求出AE ，根据等腰直角三角形的性质求出BE ，结合图形计算即可．【详解】作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，62EC AD ∴==，在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=， 则62200tan 0.31EC AE EAC =≈=∠， 在Rt AEB ∆中，45BAE ∠=，200BE AE ∴==，20032262()BC m ∴=+=，则该建筑的高度BC 为262m ，故答案为262．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米.【答案】175【解析】试题解析：根据题意得，甲的速度为：75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m 米/秒，则（m -2.5）×（180-30）=75，解得：m =3米/秒，则乙的速度为3米/秒， 乙到终点时所用的时间为：15003=500（秒）， 此时甲走的路程是：2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500-1325=175（米）．【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．三．解答下列各题(本题共4小题，其中17、18、19题9分、20题12分，共39分)17.计算：2)+【答案】-1．【解析】【分析】先利用平方差公式简便运算乘法，同时化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】解：2)+=3-4+=-1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，二次根式的化简，掌握利用平方差公式进行简便运算是解题的关键．18.化简： 2212(1)244x x x x x x +--÷--+ 【答案】3x ． 【解析】【分析】先通分，计算括号内的减法，把除法转化为乘法，约分后得到结论． 【详解】解：原式＝212(2)122()22(2)2x x x x x x x x x x x x+--+-+--÷=•----323.2x x x x-=•=- 【点睛】本题考查的是分式的化简，考查了分式的加减法，分式的除法，掌握以上运算是解题的关键． 19.如图，EF=BC ，DF=AC ，DA=EB ．求证：∠F=∠C ．【答案】见解析.【解析】【分析】欲证明∠F ＝∠C ，只要证明△ABC ≌△DEF(SSS)即可.【详解】证明：DA BE =，DE AB ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ∴∆≅∆，C F ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质.20.某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据(单位：分钟)：306070103011570607590，，，，，，，，，，157040751058060307045，，，，，，，，，对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：根据以上提供的信息，解答下列问题：()1填空：①a=，b=；②c=，d=；()2如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．【答案】（1）①5，3；②65，70；（2）130人．【解析】【分析】（1）①根据数据统计出a、b；②根据中位数和众数的定义求出c，d即可；（2）先求出样本用样本达到平均水平及以上的学生的概率，然后用九年级学生数×样本达到平均水平及以上的学生的概率即可．【详解】解：()1①经统计：该组数据处于30≤t＜60的数据有5个, 处于90≤t＜120的数据有3个,∴a=5；b=3故答案为：5；3②将这组数据从小到大排序，位于第10个的数据是60，第11个的数据是70∴中位数为（60+70）÷2=65这组数据中出现次数最多的是70 ∴众数为70 ∴6570，c d==故答案为：65；70．()132********⨯=(人)，答：估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数为130人．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、样本估计总体的思想等知识，掌握中位数、众数、平均数等基本知识是解答本题的关键．四、解答题(本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分)21.改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？【答案】小路的宽应为1m ．【解析】【分析】设小路的宽应为x 米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x ），（9-x ）；那么根据题意得出方程，解方程即可．【详解】解：设小路的宽应为x 米，根据题意得：(162)(9)112x x --=，解得：11x =，216x =．∵169>，∴16x =不符合题意，舍去，∴1x =．答：小路的宽应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键． 22.如图，函数12y x =的图象与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点P （4，m ）． （1）求m ，k 的值；（2）直线y=3与函数12y x =的图象相交于点A ，与函数k y x=（x ＞0）的图象相交于点B ，求线段AB 长．【答案】（1）m=2，k=8；（2）103．【解析】【分析】(1)将点P（4，m）代入y=x，求出m=2，再将点P（4，2）代入kyx=即可求出k的值；(2) 分别求出A、B两点的坐标，即可得到线段AB的长．【详解】（1）∵函数12y x=的图象过点P（4，m），∴m=2，∴P（4，2），∵函数kyx=（x＞0）的图象过点P，∴k=4×2=8；（2）将y=3代入12y x=，得x=6，∴点A（6，3）．将y=3代入8yx=，得x=83，∴点B（83，3）．∴AB=6﹣83=103．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，解题时注意：点在图象上，点的坐标就一定满足函数的解析式．23.如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O 的切线．（1）求证：∠CDE＝12∠BAC；（2）若AB＝3BD，CE＝4，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）14．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC=90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可得到答案；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，-∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC，∵DE是⊙O的切线；∴OD⊥DE∴∠ODE＝90°∴∠ADC＝∠ODE∴∠CDE＝∠ADO ∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∴∠CDE＝∠CAD，∠CAD＝12∠BAC，∴∠CDE＝12∠BAC．（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD2222,AC DC x-=∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴CE DC DE DE AD AE∴==，即43422DE DE xx==+∴DE＝82,，x＝283，∴AC＝3x＝28，∴⊙O的半径为14．【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．五、解答题(本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分)24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、．点D 是x 轴上动点，点D 从点B 出发向原点O 运动，点E 在点D 右侧，2DE BD =．过点D 作DH AB ⊥于点,H 将DBH △沿直线DH 翻折，得到,DCH 连接CE ．设,BD t =DCH 与AOB 重合部分面积为.S 求：（1）求线段BC 的长(用含t 的代数式表示)；（2）求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）55t BC =；（2）222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【解析】【分析】（1）先根据直线112y x =+求得点A 、B 的坐标，利用勾股定理求得AB 的长，进而可求得5555sin ABO cos ABO ∠=∠=，由翻折知DB DC t ==，12BH CH BC ==，最后根据255BH cos ABO BD ∠==求得55t BH =，即可求得BC 的长； （2）分类讨论：当203t <≤时，当2534t <≤时，当524t <≤时，分别画出相应图形，然后利用相似三角形的性质分别表示出对应的底和高，进而可得S 关于t 的函数解析式即可． 【详解】解：()1∵直线112y x =+与y 轴，x 轴分别相交于点A B 、， ∴点()()012,0A B -，,，∴由勾股定理得22125AB =+=∴在直角AOB 中，525,55sin ABO cos ABO ∠=∠=， 由翻折知：DB DC t ==，12BH CH BC ==， 255BH cos ABO BD∠==， 255t BH ∴=， 455t BC ∴=， ()2当203t <≤时， 过点C 做CG BO ⊥于点G ，45CG t ∴=， 55CG sin ABO BC∴∠==， 45GC t ∴=， 14225S t t ∴=⨯⨯ 245t = 当2534t <≤时， 设OA 交CE 于点F ，45CD BD t GC t ===,， ∴由勾股定理得35GD t =，37255GE t t t ∴=-=， 382255GO t t t =--=-， 78 23255OE EG OG t t t ∴=-=-+=-， //OF CG ，EOFCGE ∴， OF OE CG OG∴=， ()4327OF t ∴=-， 12OFE S OE OF =⋅ ()()14323227t t =⋅-⋅- 222(73)t -= ， DCE OFE S S S =-∴2622483577t t =-+-， 当524t <≤时， 设CD 交OA 于点P ，//,OP CG,DOP DGC ∴OP OD CG DG∴=， 2OD t =-，()423OP OP t ∴==-，12S OD OP =⋅⋅∴ 2288333t t =-+， ∴综上所述，222420536224825357734288523334t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，解直角三角形、相似三角形的判定及性质，根据点D 的位置画出相应的图形然后运用分类讨论思想以及相似三角形的性质是解决本题的关键．25.阅读下面材料，完成()()13-题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在ABC 中，,.BA BC AB kAC ==点F 在AC 上，点E 在BF 上，2BE EF =．点D 在BC 延长线上，连接,180AD AE ACD DAE ∠+∠=、．探究线段AD 与AE 的数量关系并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现CAD ∠与EAB ∠相等．”小亮：“通过观察和度量，发现FAE ∠与D ∠也相等．”小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理， 可以得到线段AD 与AE 的数量关系．” 老师：“保留原题条件，延长图1中的,AE 与BC 相交于点H (如图2)，若知道DH 与AH 的数量关系，可以求出AB CH的值．”（1）求证：CAD EAB ∠=∠；（2）求AD AE的值(用含k 的式子表示)； （3）如图2，若,DH AH =则AB CH 的值为 (用含k 的式子表示)． 【答案】（1）证明见解析；（2）3AD AE k =；（3）2115AB k CH ++= 【解析】【分析】（1）由BA BC =可知BAC BCA ∠=∠，再通过180ACD DAE ∠+∠=以及平角为180°，可以得到CAD EAB ∠=∠；（2）方法一：过点C 做ACM ABE ∠=∠，交AD 于点M ，通过AEB AMC 可知AC AM CM AB AE BE ==，通过DCM AFE 可知DM CM AE EF =，通过比例关系可推导出AD AE的值；方法二：过点B 做//BN AC 交AE 延长线于点N ，通过AHC DHA 和ACD ABN 相似得到的比例关系即可可推导出AD AE的值； （3）同方法二辅助线，通过证明AHC DHA ，AFE NBE ，然后由对应边成比例即可推导出结论．【详解】()1BA BC =,BAC BCA ∴∠=∠180,ACD DAE ∠+∠=180,ACD ACB ∠+∠=∴∠=∠ADE ACB,∴∠=∠DAE BAC,∴∠=∠DAC BAE,()2方法一：∠=∠，交AD于点M 过点C做ACM ABE∠=∠,DAC BAE∴AEB AMCAC AM CM∴==AB AE BE=AB kAC1∴=AM AEk1=CM BEk=2BE EF2∴=CM FEk∠=∠+∠AEF EAB ABE∠=∠+∠DMC MAC ACM∴∠=∠DMC AEFACB D DAC∠=∠+∠∠=∠+∠DAE DAC FAEDAE ACB∠=∠∴∠=∠D FAE∴DCM AFEDM CM∴=AE EF2∴=DM AEk3∴=+=AD AM DM AEkAD3∴=AE k方法二：BN AC交AE延长线于点,N 过点B做//,∴∠=∠N FAE∠=∠,AFE EBN∴,AFE NBEAE EF∴=NE BE=BE EF2,∴=NE EA2,NA EA∴=3,∠=∠+∠ACB D DAC,DAE DAC FAE∠=∠+∠,DAE ACB∠=∠,∴∠=∠,D FAE,DAC BAE ∴∠=∠ ACD ABN ∴ AC AD AB AN ∴= ,AB kAC = ,AN kAD ∴= 3,AE kAC ∴= 3AD AE k ∴= ()3同方法二辅助线,D CAH ∠=∠ ,AHC DHA ∠=∠ AHC DHA ∴ 2AH HC DH ∴=⋅ 23AH AC DH AD == 23AD AC ∴= AB kAC = 32AD AB k ∴= 3AD AE k =12AE AB ∴= 设2AH a AB BC b ===,13,2DH a AE b ∴== 2NE AE =NE b ∴=EH AH AE EN NH =-=-322NH b a ∴=- 2AH HC DH =⋅43CH a ∴= 53CD a ∴= ∴由方法二相似得53BN ak = ADHNBH ' AD DH NB NH∴= 33253232b a k ak b a ∴=- 222912200b ab a k ∴--=(123a b -∴=（舍），(223ab +=12AB CH +∴= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．26.已知抛物线2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ），C （m ，53n -）．（1）b=__________（用含m 的代数式表示）；（2）求△ABC 的面积；（3）当1222m x m ≤≤+时，均有6y m -≤≤，求m 的值．【答案】（1）b=-2m-2；（2）24；（3）m =． 【解析】【分析】（1）根据A(m-2，n)， B （m+4，n ）纵坐标一致，结合对称轴即可求解；（2）先用含m 的代数式表示c ，再带入A 点坐标即可求出n=3，最后利用铅锤法即可求出△ABC 的面积； （3）先用只含m 的代数式表示二次函数解析式，再结合带取值范围的二次函数最值求法分类讨论即可．【详解】（1）∵2y x bx c =++过点A(m-2，n)， B （m+4，n ）， ∴对称轴2422b m m x -++=-= ∴22b m =--(2)∵22b m =--∴2(22)y x m x c =-++把C （m ，53n -）代入2(22)y x m x c =-++ ∴2523c m m n =+-∴225(22)23y x m x m m n =-+++-把A(m-2，n)代入225(22)23y x m x m m n =-+++-得583n n =-∴n=3∴A(m-2，3)， B （m+4，3），C （m ，5-）∴AB=6C 点到x 轴的距离为：3﹣(-5)=8，∴S △ABC=12×6×8=24 (3)∵n=3∴22(22)25y x m x m m =-+++-∴2(1)6y x m =---∴当1x m =+时-6y =最小∵6y m -≤≤ ∴由函数增减性知11222m m m ≤+≤+ 即1m ≥-∴当10m -≤<时 由函数增减性知12x m =时，y m =最大 ∴21(1)62m m m =---∴m =±当0m ≥时由函数增减性知22x m =+时，y m =最大∴2(221)6m m m =+---∴1m =（舍）2m =∴12m -+=【点睛】本题考查二次函数综合运用，当参数比较多时可以带入解析式，利用解方程消元法消去多余的参数，在最后一问中对于带取值范围的二次函数最值需要根据对称轴与取值范围的关系确定范围内的最值．。
2021年全国中考数学真题分类汇编--数与式：实数的运算及比较大小(解析版)
【解答】解：原式＝﹣1+ ﹣4× +2
＝﹣1+2 ﹣2 +2
＝1．
13.（2021•浙江省台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．
C.当北京时间是15：00时，莫斯科时间是10:00，符合题意；
D.当北京时间 18：00时，不合题意．
故选：C
5.（2021•山东省泰安市）下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3小的数是（ ）
A．﹣4B．|﹣4|C．0D．﹣2.8
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【答案】C
【解析】
【分析】根据北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，逐项判断出莫斯科时间，即可求解．
【详解】解：由北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，
所以A.当北京时间是10：00时，莫斯科时间是5:00，不合题意；
B.当北京时间是12：00时，莫斯科时间是7:00，不合题意；
2021全国中考真题分类汇编（数与式）
----实数的运算及大小比较
一、选择题
1.（2021•湖南省常德市）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即 ，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）
中考数学专题训练第6讲分式1(解析版)
分式题型一 分式的概念1．（2021·浙江平阳·九年级期中）已知要使分式32x x +-有意义.则x 的取值应满足（ ）A ．2x ≠B ．3x ≠-C ．3x =-D ．2x =【答案】A 【分析】要使分式32x x +-有意义.则20x -≠.所以2x ≠．故选：A ． 2．（2021·内蒙古·包头市第四十八中学九年级月考）下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题.其中答对的是（ ） A ．若x 2＝4.则x ＝2 B ．若分式2232x x x --+的值为零.则x ＝2C ．x 2+x ﹣k ＝0的一个根是1.则k ＝2D ．若3x 2＝6x .则x ＝2 【答案】C【分析】解：A 、x 2＝4.则2x =±.选项错误.不符合题意；B 、分式2232x x x --+的值为零.则220320x x x -=⎧⎨-+≠⎩.21,2x x x =⎧⎨≠≠⎩.无解.选项错误.不符合题意；C 、x 2+x ﹣k ＝0的一个根是1.则110k +-=.解得2k =.选项正确.符合题意；D 、3x 2＝6x .解得0x =或2x =.选项错误.不符合题意；故选C3．（2021·陕西·西安高新一中实验中学九年级开学考试）如果分式||11x x -+的值为0.那么x 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．±1【答案】B 【分析】分式||11x x -+的值为0.10x ∴-=.1x =.解得1x =±.又10x +≠.1x ∴≠-.1x ∴=.故选：B ． 4．若代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零.则x 的取值是（ ）A ．2x =或1x =B ．2x =且1x =C ．2x =D ．1x =-【答案】C【分析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠.解得x =2或x =1.且x ≠±1∴2x =．故选C ．5．（2021·广西百色·中考真题）当x ＝﹣2时.分式2232796x x x -++的值是（ ）A ．﹣15B ．﹣3C ．3D ．15【答案】A【分析】解：2232796x x x -++()()22393x x -=+()()()23333x x x +-+=()333x x -=+ 把2x =-代入上式中.原式()3231523--==--+.故选A.6．（2021·四川省隆昌市第一中学九年级月考）3311a a a a --=++ ）A ．1a ≠-B ．3a ≥-且1a ≠C ．1a >-D ．3a ≥【答案】D【分析】解：根据题意得.30-≥a .10a +> ∴3a ≥.1a >- ∴3a ≥.故选D ． 7．（2021·云南昭通·二模）1x-.则实数x 的取值范围是（ ） A ．1x ≤ B ．1x ≤且0x ≠ C ．1x <且0x ≠ D ．1x <【答案】D【分析】由题意可得：10x -≥10x -≠.解得：1x <.故选：D 8．（2021·浙江瓯海·三模）若a b＝12.则a bb+的值是（ ） A ．3 B ．23C ．32D ．2【答案】C【分析】解：∵ab＝12.∴2b a =.将2b a =代入a bb +中.得2322a a a +=.故选：C ． 9．（2021·浙江浙江·九年级期末）下列分式一定有意义的是（ ）A ．11x -B ．1xC ．211x - D ．211x + 【答案】D【分析】∵当x =1时.|1-x |=0,∴A 不符合题意；∵当x =0时.分母为0.∴B 不符合题意；∵当x =1或-1时.21x -=0,∴C 不符合题意；∵220+110x x ≥，≥≠.∴D 符合题意；故选D 10．（2021·广东·执信中学模拟预测）不论x 取何值.下列代数式的值不可能为0的是（ ）A ．1x +B ．21x -C ．11x + D ．()21x +【答案】C【分析】解：A 、当x =-1时.x +1=0.故不合题意；B 、当x =±1时.x 2-1=0.故不合题意；C 、分子是1.而1≠0.则11x +≠0.故符合题意；D 、当x =-1时.()210x +=.故不合题意；故选C ．题型二 分式的性质、约分、通分11．（2021·贵州·贵阳市第十九中学九年级月考）若把x .y 的值同时缩小x 为原来的13倍.则下列分式的值保持不变的是（ ）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x + D ．222xy x - 【答案】C【分析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y ⨯⨯+++.选项说法错误.不符合题意；B. 61263=3616233y y x x y x +++=+++.选项说法错误.不符合题意；C. 22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==.选项说法正确.符合题意；D. 22222213112261())(33()3xx x y x y x y x ⨯==---⨯.选项说法错误.不符合题意.故选C12．（2021·重庆一中九年级开学考试）把代数式3xyx y+中的x 、y 同时扩大五倍后.代数式的值（ ） A ．扩大为原来的3倍 B ．不变 C ．缩小为原来的15D ．扩大为原来的5倍【答案】D 【分析】解：3xyx y+中的x 、y 都扩大为原来的5倍.得3557515555()x y xy xy x y x y x y ⨯⋅==+++.故选：D ． 13．分式11x--可变形为（ ）． A ．11x -- B ．11x+ C ．11x -+ D ．11x -【答案】D 【分析】解：1111=1(1)11x x x x -==----+-.故选项A 、B 、C 均不符合题意.选项D 符合题意.故选：D ．14．（2021·河北张家口·一模）下列各式从左到右的变形中.不正确的是（ ） A ．2233a a-=- B ．66b ba a-=- C ．3344a ab b=- D ．8833a ab b--=-- 【答案】C 【分析】解：A 、2233a a-=-.符号改变了两处.改变了分子与分式的符号.分式的值不变.正确.故选项A 不符合题意；B 、66b ba a-=-.符号改变了两处.改变了分子与分母的符号.分式的值不变.正确.故选项B 不符合题意；C 、3344a ab b=-.符号改变了一处.改变了分母的符号.分式的值发生改变.不正确.故选项C 符合题意； D 、8833--=a ab b. 符号改变了两处.改变了分子与分式的符号.分式的值不变.正确.故选项D 不符合题意；故选：C ． 15．下列各式中.正确的有（ ）①263333()22=b b a a ；②222224()=++x x x y x y ；③a b a b a b a b -++=---；④1x y x y -+=--；⑤0x y x y +=+；⑥2222()()()()---+=+-x y x y x y x y ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①2633327()28b b a a =.故不符合题意；②222224()2x x x y x xy y =+++.故不符合题意；③a b a ba b a b-+-=--+.故不符合题意；④1x y x y -+=--.故符合题意；⑤1x y x y +=+.故不符合题意；⑥2222()()()()---+=+-x y x y x y x y .故符合题意；所以正确的有2个．故选：B ．16．下列分式中属于最简分式的是（ ） A ．42xB ．11xx -- C ．211x x -- D ．221xx + 【答案】D 【分析】解：A 、42=2x x.不是最简分式.故此选项不符合题意；B 、111x x -=--.不是最简分式.故此选项不符合题意；C 、211x x --=11(1)(1)1x x x x -=+-+.不是最简分式.故此选项不符合题意；D 、221xx +是最简分式.故此选项符合题意.故选：D ． 17．（2021·河北唐山·一模）若221()3m n m n m n -=≠-.则m n +=（ ） A ．3 B ．-3 C ．13D ．13-【答案】C【分析】∵()()22,m n m n m n m n m n m n +--=≠--.∴2213m n m n m n -=+=-.故选：C ． 18．（2021·江苏·苏州市南环实验中学校二模）分式222()a b a b --化简为最简分式的结果为（ ） A ．a b + B ．-a b C ．a ba b+- D ．a ba b-+ 【答案】C【分析】解：222()a b a b --=2()()()a b a b a b +--=a ba b+-．故选C ．19．（2021·广东·广州市第十六中学二模）分式3x y xy +.232yx .26xy xy 的最简分母是（ ） A ．3x B ．xC ．26xD ．226x y【答案】D 【分析】解：3x y xy +.232y x .26xy xy的分母分别是3xy 、22x 、26xy .故最简公分母为226x y ．故选：D ．20．（2021·河北唐山·一模）要把分式232a b 与2a bab c-通分.分式的最简公分母是（ ） A ．222a b c B ．332a b C ．332a b c D ．336a b c【答案】A【分析】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数.∵系数2与1的公倍数是2.2a 与a 的最高次幂是2a .b 与2b 的最高次幂是2b .对于只在一个单项式中出现的字母c 直接作公分母中的因式.∴公分母为：222a b c ．故选择：A ．21．能使分式2321020224x x x x ---+-的值为正整数的所有x 的值的和为（ ） A ．10 B ．0 C ．8- D ．10-【答案】D【分析】∵20x ≥.∴220x +>.()()()22322102102010224222x x x x x x x x -+---==-+---+.若分式的值为正整数.则210x -=-.1-.2-.5-.所以8x =-.1.0.3-.所以()810310-+++-=-.故选D. 22．关于分式的约分或通分.下列哪个说法正确（ ） A ．211x x +-约分的结果是1x B ．分式211x -与11x -的最简公分母是x ﹣1 C ．22xx约分的结果是1D ．化简221x x -﹣211x -的结果是1【答案】D 【分析】解：A 、211x x +-＝11x - .故本选项错误；B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x 2﹣1.故本选项错误；C 、22x x ＝2x .故本选项错误；D 、221x x -﹣211x -＝1.故本选项正确；故选D ．题型三 分式的运算23．（2021·四川蓬安·九年级月考）卵细胞是人体中最大的细胞.直径约为0.0002米.直径用科学记数法表示为（ ）米． A ．0.2×10﹣3 B ．0.2×10﹣4 C ．2×10﹣4 D ．2×10﹣3【答案】C【分析】解：直径约为0.0002米.用科学记数法表示为2×10﹣4米．故选：C ． 24．（2021·河南·郑州外国语中学九年级开学考试）化简22111a a a+--的结果正确的是（ ） A ．2311a a +- B ．2311a a -- C ．11a + D ．11a - 【答案】C 【分析】221212(1)111(1)(1)1(1)(1)1a a a a a a a a a a a a -++=-==--+--+-+；故选：C ． 25．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）如果a ﹣b ＝3那么代数式（222a b a+﹣b ）•aa b-的值为（ ） A 3B ．3C ．3 D ．3【答案】A【分析】解：原式222()22a b ab aa a ab +=-⋅-2()2a b a a a b-=⋅-2a b -=. 当23a b -=.原式233==故选：A ． 26．（2021·湖北·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．-a bB ．a b +C ．1a b- D ．1a b+ 【答案】A【分析】解：2b a b a a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭=22a b aa ab -⨯+ =()()a b a b a a a b +-⨯+ =-a b ．故选：A ．27．（2021·山东乳山·模拟预测）如果2320a a +-=.那么代数式2231933a a a a ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】B【分析】解：2231933a a a a ⎛⎫+÷⎪-+-⎝⎭＝2333(3)(3)(3)(3)a a a a a a a ⎡⎤--+⋅⎢⎥+-+-⎣⎦.23(3)(3)a a a a a -=⋅+-213a a =+ 由a 2+3a ﹣2＝0.得到a 2+3a ＝2.则原式＝12.故选B ． 28．已知实数a .b 满足1a b ⋅=.那么221111a b +++的值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】解：∵•1a b =.∴()2221a b ab ==.∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ． 29．（2021·重庆市天星桥中学九年级开学考试）化简2111a a a +--的结果为（ ）A ．211a a +-B ．211a a+-C ．1a +D ．1a -【答案】C【分析】解：原式=2111a a a ---=211a a --=()()111a a a +--=1a +．故选C ． 30．（2021·河北桥东·二模）当2ab =-时.计算2b a ba a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A【分析】2b a b a a a ⎛⎫--÷⎪⎝⎭22a b a b a a --=÷()()a b a b aa ab -+=⋅-a b =+.把2a b =-代入得22a b b b +=-+=故选A ．31．（2021·河南·二模）下列各式计算正确的是（ ） A 42±B ．11011a a+=+- C ．2333122x y x x y ⎛⎫÷= ⎪⎝⎭D ．22()()a b b a b a +-=-【答案】D【分析】42=.故该选项计算错误.不符合题意.B.21111211(1)(1)1a a a a a a a -+++==+-+--.故该选项计算错误.不符合题意.C.233122x y x xy ⎛⎫÷= ⎪⎝⎭.故该选项计算错误.不符合题意.D.22()()a b b a b a +-=-.故该选项计算正确.符合题意.故选：D ． 32．（2021·山东诸城·二模）下列计算正确的是（ ） A ．1a ba b-+=-- B ．5333= C ．23193x x x -=-- D ．1122a a-=【答案】A 【分析】A.()1a b a b a b a b-+--==---.符合题意；B. 532333不符合题意；C. 23193x x x -=-+.不符合题意；D.1122a a -=.不符合题意．故选A ． 33．（2021·广东高要·二模）下列运算错误的是（ ） A ．224a a a += B ．34a a a ÷= C ．1a bb a-=-- D ．123ccc+=【答案】A【分析】A 、2222a a a +=.原式计算错误.符合题意；B 、34a a a ÷=.正确.不合题意；C 、1a b b a -=--.正确.不合题意；D 、123c c c+=.正确.不合题意；故选：A ．34．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知0b a >>.则分式a b 与11a b ++的大小关系是（ ）A ．11a ab b +<+B ．11a ab b +=+ C ．11a ab b +>+ D ．不能确定【答案】A 【分析】解：()()()()111111a b b a a a a bb b b b b b +-++--==+++.∵0b a >>.∴()1011a a a b b b b b +--=<++.∴11a ab b +<+.故选：A ．题型四 分式方程的概念与解法35．下列关于x 的方程.其中不是分式方程的是（ ） A ．1a ba xa++=B ．11b a a x b x-=+ C ．1x a x a b+-= D ．1x n x mx m x n-++=+- 【答案】C【分析】分式方程是分母含有未知数的等式．A 、1a ba xa++=分母含未知数.是分式方程.不符合题意；B 、11b a ax b x -=+分母含未知数.是分式方程.不符合题意；C 、1x a x a b+-=分母不含未知数.不是分式方程.符合题意；D 、1x n x mx m x n-++=+-分母含未知数.是分式方程.不符合题意；故选：C ． 36．下列结论正确的是（ ） A ．153y y+=是分式方程 B ．方程221624x x x --+-＝1无解 C ．方程223x xx x x x=++的根为x ＝0 D ．解分式方程时.一定会出现增根【答案】B【分析】解：A ．原方程中分母不含未知数.不是分式方程.所以A 选项不符合题意；B ．解方程.得x ＝﹣2.经检验x ＝﹣2是原方程的增根.所以原方程无解.所以B 选项符合题意；C ．解方程.得x ＝0.经检验x ＝0是原方程的增根.所以原方程无解.所以C 选项不符合题意；D ．解分式方程时.不一定会出现增根.只有使分式方程分母的值为0的根是增根.所以D 选项不符合题意．故选：B ．37．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级期中）方程5113x x =-+的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．4x =-D ．4x =【答案】C【分析】解：去分母得：5（x +3）=x -1. 去括号得：5x +15=x -1. 解得：x =-4.检验：把x =-4代入得：（x -1）（x +3）≠0. ∴分式方程的解为x =-4．故选：C ．38．（2021·重庆八中九年级月考）若关于x 的一元一次不等式组()31212x x x a ⎧-<+⎨≤+⎩的解集为4x <.且关于y 的分式方程2422y a ay y++=--的解是非负整数解.则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5B ．7C ．13D ．15【答案】C【分析】解不等式()3121x x -<+得.4x <.2x a ≤+不等式组的解集为：4x < 24a ∴+≥2a ∴≥解分式方程2422y a ay y++=--得 2422y a ay y +-=-- 24(2)y a a y ∴+-=-整理得8=3ay -. 20,y -≠ 则82,3a-≠ 2,a ∴≠分式方程的解是非负整数解.803a-∴≥ 8a ∴≤.且8a -是3的倍数. 28a ∴<≤.且8a -是3的倍数.∴整数a 的值为58，5813∴+=.故选：C ．39．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）关于x的分式方程114211a xx x---=++有整数解.且关于y的不等式组116232(1)5y yy a-⎧->-⎪⎨⎪-≤-⎩有解.则所有满足条件的正整数a的和是（）A．6 B．12 C．14 D．20 【答案】A【分析】解：∵11 623 2(1)5y yy a-⎧->-⎪⎨⎪-≤-⎩∴y＜52.y≥32a-∵关于y的不等式组116232(1)5y yy a-⎧->-⎪⎨⎪-≤-⎩有解∴不等式组的解集为32a-≤y＜52.∴32a-＜52.即a-3＜5.可得a＜8由114211a xx x---=++有整数解,可得：x=22a-,即a为偶数∵x≠-1∴x≠6∵正整数a∴a=2或a=4∴4+2=6．故选A．40．（2021·重庆一中九年级期中）若关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解.且关于y的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数.则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．﹣6 B．0 C．4 D．12 【答案】D【分析】解：不等式组整理得：822xx a≤⎧⎨≥+⎩.∵关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解.∴2a+2≤8.即a≤3.解分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3得y＝22a+.∵关于y 的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数. ∴22a +≥0.且22a +≠1. 解得.a ≥﹣2.且a ≠0. ∴﹣2≤a ≤3.且a ≠0. ∵a 为整数.∴a ＝﹣2或﹣1或1或2或3.∴满足条件的所有整数a 的值之积：（﹣2）×（﹣1）×1×2×3＝12．故选：D ． 41．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）若关于x 的一元一次不等式组3214x x x a+⎧>-⎪⎨⎪≤⎩的解集为x a ≤.且关于y 的分式方程52122y a yy y--+=--有正整数解.则所有满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】解：3214x x x a +⎧>-⎪⎨⎪≤⎩①②. 解不等式①.得：x ＜6. 解不等式②.得：x ≤a . ∵该不等式解集为x ≤a . ∴a ＜6； 由52122y a yy y--+=-- 分式方程去分母.得：y -a -（5-2y ）=y -2. 解得：y =32a +. ∵分式方程有正整数解.且y ≠2.∴满足条件的整数a 可以取5；3；-1；共3个；故选：B ． 42．（2021·重庆·西南大学附中九年级月考）已知关于x 的分式方程()()232626mx x x x x +=--+-无解.且关于y 不等式组()4434m y y y ->⎧⎨-≤+⎩有且只有三个偶数解.则符合条件的整数m 有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】解：分式方程无解的情况有两种.分式方程去分母得：(2)2(2)(6)3(2)(2)mx x x x x x ++--=+-.整理得：2(1)2(8)360m x m x -+-+=.情况一：整式方程无解时.即()()24843610m m ∆=--⨯-<且10m -≠时.方程无解. ∴2521000m m -+<. 解得250m <<.即当250m <<时方程无解；情况二：当整式方程有解.是分式方程的增根.即2x =.或6x =.或2x =-. ①当2x =时.4(1)4(8)360m m -+-+=.解得0m =. ②当6x =时.36(1)12(8)360m m -+-+=.解得2m =. ③当2x =-时.4(1)4(8)360m m ---+=.此方程无解. 综合两种情况得.当0m =或250m <≤时.分式方程无解.解不等式得48y m y <-⎧⎨≥-⎩. 根据题意得不等式的解集为84y m -<-. ∵不等式组有且只有三个偶数解为8-.6-.4-. ∴442m -<--≤. ∴02m <≤.综上所述当2m =时符合题目中所有要求．故选：B ．43．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级月考）若关于x 的分式方程211x kx x-=--有增根.则k 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．﹣2 D ．﹣1【答案】D【分析】解：去分母得： ()21--=-x x k .∴22x x k -+=-.∴2x k =+∵分式方程有增根.10x -=.解得x =1.即210k +-=解得：k ＝﹣1.故选D ．44．（2021·重庆酉阳·九年级期末）在321012-,-,-,,,这六个数中.随机取出一个数记为a .那么使得关于x 的一元二次方程2420x x a --=有解.且使得关于x 的方程1311x a x x+-=--有整数解的所有a 的值之和为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】A【分析】解：要使得关于x 的一元二次方程2420x x a --=有解.则Δ≥16-4×（-2a ）≥0.解得a ≥-2,∴a 的可能值为-2.-1、0、1、2.解1311x a x x+-=--可得.22a x=+.1,x ≠ 21,2a∴+≠2,a ∴≠- 使得方程有整数解满足条件的a 的值为0、2.综上所述满足条件的a 的值为0、2.0+2=2.故选：A ．45．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学九年级开学考试）关于x 的分式方程311x mx x -=--有增根.则m 的值是（ ） A ．﹣2 B ．3 C ．﹣3 D ．2【答案】A【分析】解：去分母.得：x -3=m .由分式方程有增根.得到x -1=0.即x =1.把x =1代入整式方程.可得：m =-2．故选：A ．46．（2021·黑龙江佳木斯·三模）已知关于x 的分式方程3102112kx x x-+=--有解.则k 的取值范围为（ ） A ．2k ≠- B ．6k ≠- C ．2k ≠-且6k ≠- D ．2k <-且6k ≠-【答案】C 【分析】解：3102112kx x x-+=--. 去分母得.3210kx x ++-=. 解得.22x k -=+. ∵关于x 的分式方程3102112kx x x-+=--有解. ∴2122k -≠+且20k +≠. 解得.2k ≠-且6k ≠-.故选：C ．题型五 分式方程的应用47．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）高铁为居民出行提供了便利.从铁路沿线相距360km 的甲地到乙地.乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h ．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍.设普通列车的平均速度为x km/h.依题意.下面所列方程正确的是（ ）A．36036033x x-=B．36036033x x-=C．360360313x x-=D．360360313xx-=【答案】A【分析】根据题意可得：列车的平均速度为x km/h.则高铁列车的平均速度为3x km/h.高铁列车所用的时间为：3603x.普通列车的时间为：360x.所列方程为：36036033x x-=.故选：A．48．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）某修路队计划x天内铺设铁路120km.由于采用新技术.每天多铺设铁路3km.因此提前2天完成计划.根据题意.可列方程为（）A．12012032x x=+-B．12012032x x=+-C．12012032x x=++D．12012032x x=++【答案】B【分析】解：原计划每天修建道路120xm.则实际用了（x﹣2）天.每天修建道路为1202x-m.根据采用新技术.每天多铺设铁路3km得.12012032x x=+-．故选：B．49．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学九年级月考）随着快递业务的增加.某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具.公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件.平均每人每周比原来多投递80件.若快递公司的快递人数不变.求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件.根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80 D．6000x＝840080x-【答案】A【分析】解：设原来平均每人每周投递快件x件.则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件.依题意得：6000x＝840080x+.故选：A．50．（2021·福建省厦门第六中学三模）某次列车平均提速v km/h.用相同的时间.列车提速前行驶s km.提速后比提速前多行驶50km.则方程50s svx x++=所表达的等量关系是（）A．提速前列车行驶s km与提速后行驶(s＋50)km的时间相等B ．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v kmC ．提速后列车行驶(s ＋50)km 的时间比提速前列车行驶s km 多v hD ．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km 【答案】B【分析】解：∵用相同的时间.列车提速前行驶s km.提速后比提速前多行驶50km .∴s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程.∵某次列车平均提速v km/h.路程=速度×时间.∴方程50s s v xx++=表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km.故选B.51．（2021·山东淄博·中考真题）甲、乙两人沿着总长度为10km 的“健身步道”健步走.甲的速度是乙的1.2倍.甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为km/h x .则下列方程中正确的是（ ） A ．1010121.2x x-= B ．10100.21.2x x-= C ．1010121.2x x-= D ．10100.21.2x x-= 【答案】D【分析】解：由题意得：10100.21.2x x-=；故选D ． 52．（2021·重庆市育才中学九年级月考）每年中秋节.某商家生产的甲、乙、丙三种月饼礼盒一直深受消费者喜爱．今年中秋节.该商家继续售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒.已知去年该商家售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为4:9:7．今年.由于商家加大了促销宣传力度.预计三种月饼礼盒的营业额都会增加.其中甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的815.此时.甲种月饼礼盒的营业额与今年三种月饼礼盒总营业额之比为4:15.为使今年乙、丙两种月饼礼盒的营业额之比为6:5.则今年乙种月饼礼盒增加的营业额与今年总营业额之比为______． 【答案】1:25【分析】解：∵甲种月饼礼盒的营业额与今年三种月饼礼盒总营业额之比为4:15.且乙、丙两种月饼礼盒的营业额之比为6:5.∴今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为4∶6∶5.设今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别为4a .6a .5a .则今年总营业额为15a .∵去年该商家售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为4:9:7.∴设去年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别为4b .9b .7b .则去年总营业额为20b .∴今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别增加了44a b -.69a b -.57a b -.总营业额增加了1520a b -.∵甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的815.∴448152015a b a b -=-.解得：0.6b a =.经检验：b＝0.6a 符合题意.∴今年乙种月饼礼盒增加的营业额与今年总营业额之比为69690.66 5.4115151525a b a a a a a a a --⨯-===.故答案为：1∶25． 53．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）重庆某笔记本电脑公司每年都会组织员工出国学习旅行.今年有A 、B 、C 、D 四个国家可供员工们选择（每名员工只能选择一个国家旅行）.但要求选择A 、C 两个国家的人数相同.选择B 、D 两个国家的人数也相同.选择A 、B 两国的人数总和为100人.A 、D 两国的费用单价相等.B 、C 两个国的费用单价也相等.A 、B 两国的费用单价之和不超过8万元.且选择A 、B 两个国家的员工总费用比选择C 、D 两个国家员工总费用多20万元.则选择A 、B 两个国家员工总费用的最大值为__万元． 【答案】410【分析】解：设有x 人选择A .A 单价为1y 万元.B 单价为2y 万元.依题意可知.B 有(100)x -人.即100x <.128y y +①.1221(100)[(100)]20xy x y xy x y +--+-=.即121050y y x -=-.100x .5050x ∴-.101505x -. 即1215y y -②.①+②得24125y .解得24110y .代入①中.13910y .代入②中.13910y .13910y ∴=.24110y ∴=.A ∴、B 两个国家员工总费用为12(100)xy x y +-.B 单价A >单价.0x ∴=时总费用最大.最大值为410(1000)41010+-⨯=（万元）．故选择A 、B 两个国家员工总费用的最大值为410万元．故答案为：410．54．（2021·四川省宜宾市第二中学校三模）某服装厂准备加工400套运动装.在加工完160套后.采用了新技术.使得工作效率比原计划提高了20%.结果共用了18天完成任务.问计划每天加工服装多少套？在这个问题中.设计划每天加工x 套.则根据题意可得方程为__________________．【答案】160x +()400160120%x -+=18【分析】根据题意.采用新技术前所用时间为：160x天.采用新技术后所用时间为：()400160120%x -+天.∴所列方程为：160x +()400160120%x -+=18.故答案为：160x +()400160120%x -+=18．55．（2021·辽宁鞍山·中考真题）习近平总书记指出.中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化.某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后.发现这批图书满足不了学生的阅读需求.图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书.于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元.则符合题意的方程是___________________． 【答案】3600240040.8x x-= 【分析】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元.则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x 元.依题意得：3600240040.8x x -=．故答案为：3600240040.8x x-=． 56．（2021·吉林省第二实验学校九年级月考）2021年4月8日世界园艺博览会在扬州拉开了帷幕.世园会以“绿色城市.健康生活”为主题.吸引了大批游客游览.世园会成人一日票分为平日票和指定日票.其中平日票比指定日票便宜30元/张.某一售票点在5月份售出平日票4万元.指定日票2.6万元.且售出的平日票数量是指定日票的2倍.这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各多少张？【答案】这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各400张.200张．【分析】解：设这一售票点在5月份售出的指定日票为x 张.则平日票为2x 张.由题意得：2600040000302x x-=. 解得：200x =.经检验200x =是原方程的解.∴2400x =.答：这一售票点在5月份售出的平日票和指定日票各400张.200张．57．某公司生产开发了960件新产品.需要经过加工后才能投放市场.现在有A .B 两个工厂都想参加加工这批产品.已知A 工厂单独加工这批产品比B 工厂单独加工这批产品要多用20天.而B 工厂每天比A 工厂多加工8件产品.公司需要支付给A 工厂每天80元的加工费.B 工厂每天120元的加工费．（1）A .B 两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成．在加工过程中.公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导.并负担每天5元的午餐补助费．请帮助公司选择哪家工厂加工比较省钱.并说明理由．【答案】（1）A 每天加工16件.B 每天加工24件；（2）两个工厂合作完成.理由见解析 【分析】解：（1）设A 每天加工x 件产品.则B 每天加工x ＋8件产品.由题意得960960208x x -=+.解得x ＝16件.答：A 每天加工16件产品.则B 每天加工24件产品； （2）A 单独加工完成需要960÷16=60天.费用为：60×（80+5）=5100元.B 单独加工完成需要960÷24=40天.费用为：40×（120+5）=5000元；A 、B 合作完成需要960÷（16+24）=24天.费用为：24×（120+80+5）=4920元．所以既省时又省钱的加工方案是A 、B 合作．58．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级月考）某单位在疫情期间用6000元购进A 、B 两种口罩1100包.购买A 种口罩与购买B 种口罩的费用相同.且一包A 种口罩的单价是一包B 种口罩单价的1.2倍． （1）求A .B 两种口罩一包的单价各是多少元？（2）若计划用不超过11000元的资金再次购进A 、B 两种口罩共2000包.已知A 、B 两种口罩的进价不变.求A 种口罩最多能购进多少包？【答案】（1）A 种口罩一包的单价为6元.B 种口罩一包的单价为5元（2）A 种口罩最多能购进1000包【分析】(1) 设B 种口罩一包的单价为x 元.则A 种口罩一包的单价为1.2x 元.根据题意.得：3000300011001.2x x+=.解得：x = 5.经检验.x = 5是原方程的解.且符合题意.则1.2 x = 6.答：A 种口罩一包的单价为6元.B 种口罩一包的单价为5元；(2)设购进A 种口罩m 包.则购进B 种口罩(2000-m )包. 依题意.得：6m +5 (2000 - m )≤ 11000.解得：m ≤ 1000.答：A 种口罩最多能购进1000包．59．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级月考）杭州国际动漫节开幕前.某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销.就用32000元购进了一批这种玩具.上市后很快脱销.动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具.所购数量是第一批购进数量的2倍.但每套进价多了10元．（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？（2）如果这两批玩具每套的售价相同.且全部售完后总利润率不低于20%.那么每套售价至少是多少元？【答案】（1）600套；（2）200元【分析】解：（1）设动漫公司第一次购x 套玩具.由题意得：6800032000102x x-=.解这个方程.200x =.经检验.200x =是原方程的根．∴22200200600x x +=⨯+=.答：动漫公司两次共购进这种玩具600套．（2）设每套玩具的售价y 元.由题意得：600y 320006800020%3200068000--≥+.解这个不等式.200y ≥.答：每套玩具的售价至少是200元．60．（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液.进货时发现.甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元.用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用100元购进乙品牌洗衣液数量的45．销售时.甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶.乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶.且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元.超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶.才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶.乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶.乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大.最大利润是560元【分析】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为x 元/瓶.则乙品牌洗衣液进价为()6x -元/瓶. 由题意可得.18004180056x x =⋅-. 解得30x =.经检验30x =是原方程的解.答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶.乙品牌洗衣液进价为24元/瓶. （2）设利润为y 元.购进甲品牌洗衣液m 瓶. 则购进乙品牌洗衣液()120m -瓶. 由题意可得.()30241203120m m +-≤. 解得40m ≤.由题意可得.()()()363028*********y m m m =-+--=+. ∵20k =>.∴y 随m 的增大而增大.∴当40m =时.y 取最大值.240480560y =⨯+=最大值.答：购进甲品牌洗衣液40瓶.乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大.最大利润是560元． 61．（2021·重庆八中九年级月考）巫溪某村民承包土地发展李子种植.2020年开始大量投产增收.其中早熟李种植面积亩数是晚熟李种植面积亩数的3倍.早熟李、晚熟李分别收益60000元和40000元.而早熟李平均每亩收益比晚熟李少1000元． （1）2020年早熟李、晚熟李种植面积分别有多少亩？（2）在扶贫专家小组的精准帮助下.优化管理.淘汰了部分低产李子林改种其他经济作物增加收益.2021年.早熟李、晚熟李的种植面积比2020年分别降低了1%3a 和%a .然而平均每亩早熟李和晚熟李的收益在2020年基础上分别增加了%a 和1%2a .2021年两种李子的总收益与2020年两种李子总收益相等.求a 的值．【答案】（1）早熟李种60亩.晚熟李种20亩；（2）50．【分析】解：（1）设2020年晚熟李种植面积有x 亩.则早熟李种植面积为3x 亩. 根据题意.得40006000010003x x-= . 解方程.得20x. 经检验.20x是分式方程式得解.360x ∴= . 即2020年早熟李、晚熟李种植面积分别有60亩、20亩．（2）由（1）可得: 2020年早熟李、晚熟李种植面积分别有60亩、20亩.2020年早熟李平均每亩收益为60000100060=元.晚熟李平均每亩收益为40000200020=元. 由题意可得：2021 年早熟李、晚熟李种植面积分别有1601%3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭亩、()201%a -亩. 2021 年早熟李平均每亩收益为()10001%a + 元.晚熟李平均每亩收益为120001%2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元. 由2021 年两种李子的总收益与2020 年两种李子总收益相等.得.()()11601%10001%201%20001%600004000032a a a a ⎛⎫⎛⎫-⨯++-⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令%t a =.则()()11600001140000111000032t t t t ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()()()()31125t t t t -++-+= .223225t t t t +-+--=.220t t -=.()210t t -=.0t =或0.5=t .0a =（舍）.50a =．答：50a =．62．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液.已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元.若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液.则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半． （1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；（2）经商谈.商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠.如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个.且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元.那么该学校最多可购买多少个测温枪？【答案】（1）购买一个测温枪需要25元.购买一瓶洗手液需要5元；（2）该学校最多可购买50个测温枪．【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要x 元.则购买一个测温枪需要(20)x +元.依题意.得：4001160202x x=⨯+. 解得：5x =.经检验.5x =是原方程的解.且符合题意.2025x ∴+=．答：购买一个测温枪需要25元.购买一瓶洗手液需要5元．（2）设该学校购买m 个测温枪.则购买(28)m +瓶洗手液.依题意.得：255(28)1540m m m ++-.解得：50m ．答：该学校最多可购买50个测温枪．63．（2021·山东·青岛大学附属中学二模）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫.帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比.今年这种水果的产量增加了1000千克.每千克的平均批发价比去年降低了125.批发销售总额比去年增加了20%． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元.求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元?（2）今年某水果店从果农处直接批发.专营这种水果.调查发现.若每千克的平均销售价为41元.则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元.每天可多卖出180千克．工商部门规定.该水果利润率不得超过40%.设水果店一天的利润为W 元.当每千克的平均销售价为多少元时.该水果店一天的利润最大.最大利润是多少?（利润计算时.其他费用忽略不计.并且售价为整数）【答案】（1）24元；（2）每千克平均售价为33元.最大利润为7020元．【分析】解： （1）由题意.设这种水果去年每千克的平均批发价是x 元.则今年的批发价为1125x ⎛⎫- ⎪⎝⎭元 .今年的批发销售总额为10（1+20%）=12万元 ∴ 1000001200001000,1125x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭解得x =25经检验x =25是分式方程的解．。
专题4因式分解与分式-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】(第02期) (1)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）专题4因式分解与分式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·广西贺州市·中考真题）多项式32242x x x -+因式分解为（ ） A ．()221x x - B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x +【答案】A 【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可 【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=-故答案选：A ． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键． 2．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A ．1212a a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭B ．22()()a b a b a b +-=-C ．2221(1)x x x -+=-D ．268(6)8x x x x ++=++【答案】C 【分析】根据因式分解的定义解答． 【详解】解：1212a a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭中1a不是整式，故A 选项不符合题意； 22()()a b a b a b +-=-是整式乘法计算，故B 选项不符合题意； 2221(1)x x x -+=-是因式分解，故C 选项符合题意；268(6)8x x x x ++=++不是分解为整式的乘积形式，故D 选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键．3．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B 【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】 解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B ． 【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2021·内蒙古中考真题）下列运算结果中，绝对值最大的是（ ）A ．1(4)+-B ．4(1)-C ．1(5)--D【答案】A 【分析】计算各个选项的结果的绝对值，比较即知． 【详解】∴1+(−4)=−3，(-1)4=1，(-5)-1=15-2= 而33-=，11=，1155-=，22=，且13215>>> ∴1(4)+-的绝对值最大 故选：A ． 【点睛】本题考查了实数的运算、实数的绝对值等知识，掌握实数的运算法则是关键． 5．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．224347a a a +=B 11a= C ．31812()42-+÷-=D ．21111a a a a --=-- 【答案】D 【分析】根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可． 【详解】222347a a a +=，故A 错；当a ＞011a =，当a ＜011a=-，故B 错； 31812()262-+÷-=-，故C 错；21111a a a a --=--，D 正确；故选：D ． 【点睛】本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键． 6．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知0b a >>，则分式a b 与11a b ++的大小关系是（ ） A ．11a ab b +<+ B ．11a ab b +=+ C ．11a ab b +>+ D ．不能确定【答案】A 【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解． 【详解】解：()()()()111111a b b a a a a bb b b b b b +-++--==+++，∴0b a >>，∴()1011a a a b b b b b +--=<++， ∴11a ab b +<+， 故选：A ． 【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．7．（2021·山东济宁市·中考真题）计算2454(1)a a a a a--÷+-的结果是（ ）A ．22a a +-B ．22a a -+C ．()()222a a a-+ D ．2a a+ 【答案】A 【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果． 【详解】解：2454(1)a a a a a--÷+-24(1)(54)a a a a a a -+--=÷()()22254a a a a a aa+-+-+=÷()()()2222a a aa a +-=⋅-22a a +=-． 故选：A ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键．8．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）定义一种新的运算：如果0a ≠．则有2||a b a ab b -=++-▲，那么1()22-▲的值是（ ） A ．3- B ．5C ．34-D ．32【答案】B 【分析】根据题意列出算式，求解即可 【详解】2||a b a ab b -=++-▲2111()2=()()2|2|222-∴--+-⨯+-▲412=-+=5．故选B ． 【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等．9．（2021·河北中考真题）由1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭值的正负可以比较12c A c +=+与12的大小，下列正确的是（ ）A ．当2c =-时，12A =B ．当0c时，12A ≠C ．当2c <-时，12A > D ．当0c <时，12A <【答案】C 【分析】 先计算1122c c +⎛⎫-⎪+⎝⎭的值，再根c 的正负判断1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的正负，再判断A 与12的大小即可．【详解】 解：11=224+2c cc c+-+， 当2c =-时，20c +=，A 无意义，故A 选项错误，不符合题意；当0c时，04+2c c=，12A =，故B 选项错误，不符合题意；当2c <-时，04+2c c>，12A >，故C 选项正确，符合题意； 当20c -<<时，04+2c c <，12A <；当2c <-时，04+2c c>，12A >，故D 选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．10．（2021·黑龙江绥化市·0在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．–1x >B ．1x ≥-且0x ≠C ．1x >-且0x ≠D ．0x ≠【答案】C 【分析】在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可． 【详解】在实数范围内有意义，必须同时满足下列条件：10x +≥0≠，0x ≠，综上：1x >-且0x ≠， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子同时出现则必须同时满足．11．（2021·江苏南京市·中考真题）计算()323a a -⋅的结果是（ ）A ．2aB ．3aC ．5aD ．9a【答案】B 【分析】直接利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式=633·a a a -=； 故选：B ． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的运算法则，其中涉及到了负整数指数幂等知识，解决本题的关键是牢记相应法则，并能够按照正确的运算顺序进行计算即可，本题较为基础，考查了学生的基本功．二、填空题12．（2021·山东东营市·中考真题）因式分解：244a b ab b -+=________． 【答案】()221b a - 【分析】先提取公因式b ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可． 【详解】解：()()2224444121a b ab b b a a b a -+=-+=-故答案为：()221b a - 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．13．（2021·内蒙古中考真题）因式分解：24ax ax a ++=_______．【答案】2(1)2x a + 【分析】首先将公因式a 提出来，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】222(1)(1)442ax x xax a a x a ++=++=+， 故填：2(1)2xa +． 【点睛】本题考查提公因式因式分解，公式法因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法：提公因式因式分解和公式法因式分解．14．（2021·广东中考真题）若1136x x +=且01x <<，则221x x-=_____． 【答案】6536- 【分析】 根据1136x x +=，利用完全平方公式可得2125()36x x -=，根据x 的取值范围可得1x x-的值，利用平方差公式即可得答案． 【详解】∴1136x x +=， ∴2211125()()436x x x x x x -=+-⋅=，∴01x <<， ∴1x x<，∴1x x -=56-，∴221x x -=11()()x x x x +-=135()66⨯-=6536-，故答案为：6536- 【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．15．（2021·山东威海市·中考真题）分解因式：32218x xy -=________________．【答案】()()233x x y x y +- 【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可分解． 【详解】解：()()()322221829=233x xy x x yx x y x y -=-+-．故答案为：()()233x x y x y +- 【点睛】本题考查了整式的因式分解，因式分解的一般步骤是“一提二看三检查”，熟知提公因式法和乘法公式是解题关键．16．（2021·湖北中考真题）分解因式：4255x x -=________． 【答案】25(1)(1)x x x +- 【分析】先提取公因式25x ，再利用平方差公式进行因式分解即可得． 【详解】解：原式225(1)x x -=，25(1)(1)x x x +=-，故答案为：25(1)(1)x x x +-． 【点睛】本题考查了综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．17．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）在实数范围内分解因式：22ab a -=_________．【答案】(a b b +． 【分析】利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-分解因式得出即可． 【详解】 解：22ab a - =2(2)a b -=(a b b +-故答案为：(a b b +-． 【点睛】此题主要考查了利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 18．（2021·浙江温州市·中考真题）分解因式：2218m -=______． 【答案】()()233m m +- 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：2218m - =2（m 2-9） =2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．（2021·北京中考真题）分解因式：2255x y -=______________．【答案】()()5x y x y +- 【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．解：()()()22225555x y x yx y x y -=-=+-；故答案为()()5x y x y +-． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 20．（2021·贵州铜仁市·中考真题）要使分式1xx +有意义，则x 的取值范围是______________； 【答案】1x ≠- 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求得 【详解】 要使分式1xx +有意义 则10x +≠ 1x ∴≠-故答案为：1x ≠-． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件：分母不等于0，理解分式有意义的条件是解题的关键．21．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：(1012a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ==_____________． 【答案】2 【分析】利用负整数指数幂和零指数幂求出a 的值，利用平方差公式，求出b 的值，进而即可求解． 【详解】解：∴(112213a -⎛⎫=+ =⎪+⎝=⎭，221b ==-=，=2=，故答案是：2．本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂以及平方差公式，是解题的关键．22．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）当3x =时，代数式22319()369x x x x x x x x+---÷--+的值是____． 【答案】12021【分析】先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x 求值即可． 【详解】 解：由题意可知： 原式231()9(33)x x x xx x x ⎡⎤+-=-⨯⎢⎥--⎣⎦- 22(3)(3)((1)(3))93x x x x xx x x x x ⎡⎤+--=-⨯⎢⎥--⎣⎦- ()222993x x x xx x x --+=⨯-- 2(3)99x xx x x =⨯--- 21(3)x =-，当3x =时，原式12021==， 故答案为：12021． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解． 23．（2021·福建中考真题）已知非零实数x ，y 满足1xy x =+，则3x y xy xy-+的值等于_________． 【答案】4 【分析】由条件1xy x =+变形得，x -y =xy ，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值． 【详解】 由1xy x =+得：xy +y =x ，即x -y =xy ∴3344x y xy xy xy xyxy xy xy-++===故答案为：4 【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件1xy x =+，变形为x -y =xy ，然后整体代入．三、解答题24．（2021·四川宜宾市·中考真题）（1）计算：11(3)4sin 602π-⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）化简：2221121a aa a a ⎛⎫++÷ ⎪-⎝⎭-+． 【答案】（1）-1；（2）1a a- 【分析】（1）先算零指数幂，化简二次根式，锐角三角函数以及负整数指数幂，再算加减法即可求解； （2）先算分式的加法，再把除法化为乘法，进行约分，即可求解． 【详解】解：（1）原式=1422-⨯-=12- =-1；（2）原式=()a a a a a -+-⋅-+21211(1)=()a a a a a -+⋅-+2111(1)=1a a-． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质，锐角三角函数值以及分式的运算法则，是解题的关键．25．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）先化简，再求值：22211a a a a a ⎫⎛-÷⎪ +-⎝⎭，其中2cos601a =︒+． 【答案】1a a -；12【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再结合特殊角的三角函数值求出a 的值，再代入求解即可． 【详解】解：原式22(1)1(1)(1)a a a a a a a +-=÷++- 2(1)(1)1a a a a a +-=⨯+ 1a a-=；当12cos6012122a =︒+=⨯+=时， 原式121122a a --===． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值问题，掌握运算法则与顺序，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．26．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）（1）计算：()201 3.144cos 4512π-⎛⎫-+-+︒-- ⎪⎝⎭．（2）因式分解：3312xy xy -+．【答案】（1）6+（2）3(2)(2)xy y y -+- 【分析】（1）先计算乘方、特殊三角函数值、绝对值的运算，再利用四则运算法则计算即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式4141)=++-411=++6=（2）解：原式23(4)xy y =--3(2)(2)xy y y =-+-【点睛】本题考查的是实数的运算、因式分解，熟练运用乘方公式、特殊三角函数值、绝对值、正确提取公因式等是解题的关键．27．（2021·江苏盐城市·中考真题）先化简，再求值：21111m m m -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，其中2m =． 【答案】1m +，3 【分析】先通分，再约分，将分式化成最简分式，再代入数值即可． 【详解】 解：原式11(1)(1)1m m m m m-+-+=⋅- (1)(1)1m m m m m-+=⋅- 1m =+．∴2m =∴原式213=+=． 【点睛】本题考查分式的化简求值、分式的通分、约分，正确的因式分解将分式化简成最简分式是关键．28．（2021·湖北中考真题）（1）计算：0(346)-⨯-++（2）解分式方程：212112xx x+=--． 【答案】（1）8；（2）1x =． 【分析】（1）先计算零指数幂、去括号、立方根、化简二次根式，再计算实数的混合运算即可得；（2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得． 【详解】解：（1）原式1462⨯--+=44=+，8=；（2）212112xx x+=--， 方程两边同乘以21x -得：221x x -=-， 移项、合并同类项得：33x -=-， 系数化为1得：1x =，经检验，1x =是原分式方程的解， 故方程的解为1x =． 【点睛】本题考查了零指数幂、立方根、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握各运算法则和方程的解法是解题关键．29．（2021·山东威海市·中考真题）先化简2211(1)369a a a a a a -+--÷--+，然后从1-，0，1，3中选一个合适的数作为a 的值代入求值．【答案】2（a -3），当a =0时，原式=-6；当a =1时，原式=-4． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a 的值，继而代入计算可得答案． 【详解】2211(1)369a a a a a a -+--÷--+ =()()()221311333a a a a a a a +-⎡⎤-+-÷⎢⎥---⎣⎦ =()2223123331a a a a a a a -⎛⎫----⋅ ⎪--+⎝⎭=()222312331a a a a a a ---++⋅-+ =()()221331a a a a +-⋅-+=2（a -3）， ∴a ≠3且a ≠-1， ∴a =0，a =1，当a =0时，原式=2×（0-3）=-6； 当a =1时，原式=2×（1-3）=-4． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．30．（2021·黑龙江中考真题）先化简，再求值：22211a a a a a ⎫⎛-÷⎪ +-⎝⎭，其中2tan45a =︒+1． 【答案】1a a -，23【分析】先去括号，然后再进行分式的化简，最后代值求解即可． 【详解】解：原式=2222111a a a a a a a a+---⨯=+， ∴2tan45a =︒+1， ∴2113a =⨯+=， 代入得：原式=31233-=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求解及特殊三角函数值，熟练掌握分式的化简求解及特殊三角函数值是解题的关键．31．（2021·江苏无锡市·中考真题）计算： （1）31(2)sin 302；（2）482a a a． 【答案】（1）9；（2）12- 【分析】（1）先算绝对值，乘方和特殊角三角函数值，再算加减法，即可求解； （2）先通分化成同分母减法，进而即可求解． 【详解】 解：（1）原式=11(8)22=9； （2）原式=8822a a a=882a a =2a a - =12-．【点睛】本题主要考查实数的混合运算以及分式的减法运算，掌握特殊角三角函数以及分式的通分，是解题的关键． 32．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）先化简，再求值：2212(1)121x x x x x x +++-÷+++，其中x 满足220x x --=． 【答案】x （x +1）；6 【分析】先求出方程220x x --=的解，然后化简分式，最后选择合适的x 代入计算即可． 【详解】解：∴220x x --= ∴x =2或x =-1 ∴2212(1)121x x x x x x +++-÷+++ =()221212()111x x x x x x +++÷+++-=()2()11x x ÷++ =()()22112x x x x x ++⨯++=x （x +1）∴x =-1分式无意义，∴x =2当x =2时，x （x +1）=2×（2+1）=6． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x 的值是解答本题的易错点．33．（2021·山东东营市·中考真题）（1()()202120213tan 302π180.125︒--+⨯-．（2）化简求值：2224224n m mn m n n m n m +++--，其中15m n =．【答案】（1）2；（2）211,29n m n m +-． 【分析】（1）先化简二次根式、特殊角的正切三角函数、化简绝对值、零指数幂、积的乘方的逆用，再计算实数的混合运算即可得；（2）先计算分式的加法运算，再根据15m n =得出5n m =代入求值即可得． 【详解】解：（1）原式(20211321838⎛⎫=⨯-++-⨯ ⎪⎝⎭，211=+-，2=；（2）原式()()()()222422n n m m n m mnn m n m -+++=+-，()()22422422n mn mn m mn n m n m -+++=+-，()()22n m n m =+-， ()()()2222n m n m n m +=+-， 22n mn m +=-，∴15m n =， ∴5n m =， ∴原式1010119m m m m +=-=．【点睛】本题考查了化简二次根式、特殊角的正切三角函数、零指数幂、分式的化简求值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．34．（2021·湖南中考真题）先化简，再求值：23219aa a ⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，其中2a =． 【答案】23a -，2-． 【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后将2a =代入求值即可得． 【详解】 解：原式32(3)(3)a a a a a a ⎛⎫+⋅+=⎪-⎝⎭， 32(3)(3)a a a a a +=+⋅-， 23a =-， 将2a =代入得：原式222323a ===---． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 35．（2021·湖南娄底市·中考真题）先化简，再求值：23210119x x x x --⎛⎫⋅- ⎪--⎝⎭，其中x 是1,2,3中的一个合适的数． 【答案】13x x -+，15． 【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x 值代入计算即可． 【详解】 解：23210119x x x x --⎛⎫⋅- ⎪--⎝⎭2392101(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x ⎡⎤---=⋅-⎢⎥-+-+-⎣⎦23211(3)(3)x x x x x x --+=⋅-+- 23(1)1(3)(3)x x x x x --=⋅-+- 13x x -=+， ∴1x ≠，3x ≠±， ∴2x =， 原式211235-==+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．36．（2021·湖南娄底市·中考真题）计算：101)2cos 452π-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭． 【答案】2 【分析】直接利用零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：11)2cos 452π-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭1222=+-⨯112=++2=．【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．37．（2021·湖南张家界市·中考真题）先化简2222424421a a a aa a a a a ---++++-÷，然后从0，1，2，3中选一个合适的a 值代入求解． 【答案】2a ，6 【分析】将分子、分母因式分解除法转化为乘法，约分、合并同类项，选择合适的值时，a 的取值不能使原算式的分母及除数为0． 【详解】 解：原式()2(2)(2)(2)(1)212a a a a a a a a a -++-=⨯+--+ 2a =因为a =0，1，2时分式无意义，所以3a = 当3a =时，原式6= 【点睛】本题考查了分式的化简求值，关键是先化简，后代值，注意a 的取值不能使原算式的分母及除数为0．38．（2021·湖北鄂州市·中考真题）先化简，再求值：2293411x x x x x x-+÷+--，其中2x =．【答案】1x x +，32【分析】先通过约分、通分进行化简，再把给定的值代入计算即可． 【详解】 解：原式()()()313341x x x x x xx -=⨯++--+1x x+=， 当2x =时，原式32=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握因式分解，正确进行约分、通分．39．（2021·广西玉林市·中考真题）先化简再求值：()2112a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪⎝⎭，其中a 使反比例函数a y x =的图象分别位于第二、四象限． 【答案】1- 【分析】由题意易得0a <，然后对分式进化简，然后再求解即可． 【详解】解：∴a 使反比例函数ay x=的图象分别位于第二、四象限， ∴0a <，∴()2112a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪⎝⎭=()22211a a a a a -+-⨯- =1-． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及分式的化简求值，熟练掌握反比例函数的图象与性质及分式的运算是解题的关键．40．（2021·山东聊城市·中考真题）先化简，再求值：22212211111a a a a a a a a +--⎛⎫+÷-- ⎪+--⎝⎭，其中a ＝﹣32． 【答案】21aa +；6 【分析】先把分式化简后，再把a 的值代入求出分式的值即可． 【详解】解：原式＝22212(21)(1)(1)111a a a a a a a a a +---+-+÷+-- 2222122111a a a a aa a a +--+=+÷+-- 21111a a a +=-++ 21a a =+， 当32a =-时，原式＝6．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．41．（2021·湖北荆州市·中考真题）先化简，再求值：2221211a a a a a ++⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中a =【答案】1a a +，6【分析】先计算括号内的加法，然后化除法为乘法进行化简，继而把a =【详解】解：原式=()()21111a a a a a ++⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭()()211=1+1a a a a a +-⎛⎫ ⎪-⎝⎭1=a a+当a =6 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．42．（2021·浙江衢州市·中考真题）先化简，再求值：2933x x x+--，其中1x =． 【答案】3x +；4 【分析】先将这两个分式转化为同分母的分式，再将分母不变，分子相加减，最后化简即可． 【详解】解：原式29(3)(3)333x x x x x x +-=-=--- 3x =+当1x =时，原式4=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，涉及到了分式的通分和约分，解决本题的关键是牢记相关概念与法则，并灵活运用，最后的结果记得化简即可．。
内蒙古包头市2021年中考数学试题(解析版)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意将BD,BC算出来,再利用勾股定理列出方程组解出即可．
【详解】∵AC=2,BC= ,
∴ ,
∵D是AB的中点,
∴AD=CD=BD= ．
由题意可得:
两式相减得: ,
解得DE= ,BE= ,
故选A．
【点睛】本题考查直角三角形中点性质和勾股定理,关键在于找出等式列出方程组．
【详解】由题意知：MN垂直平分AB，
∴OA=OB，ED⊥AB，
∵OD=OE，
∴四边形ADBE是菱形，
∵ ， ，
∴OF∥BC，AF=CF，
∴FG是△ACD的中位线，
∴ ，故①正确；
∵四边形ADBE是菱形，
∴AD=BD，
在Rt△ACD中， ,
∴ ，故②正确；
∵FG是△ACD的中位线，
∴点G是AD的中点，
【详解】解：分别从标有数字1、2、3的3张卡片中随机抽取1张，放回后再机抽取1张，基本事件总数3×3=9，抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的情况有（1，2）、（1，3）和（2，3）3种情况
则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为： ．
故答案 ．
【点睛】本题考查了运用列举法求概率，运用列举法确定所有情况数和所需情况数是解答本题的关键．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上对应的横线上．
13.在函数 中，自变量 的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】
在函数 中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可.
【详解】在函数 中，分母不为0，
2024年内蒙古包头市中考数学模拟试卷(四)
2024年内蒙古包头市中考数学模拟试卷（四）一、单选题1．据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886000人，数据886000用科学记数法可以表示为（ ）． A ．58.8610⨯B ．68.8610⨯C ．588.610⨯D ．688.610⨯2．下列说法正确的是（ ）A ．14是12的算术平方根B ．2-是4的算术平方根C ．()21-的算术平方根是1 D ．9-的算术平方根是33．下列计算中正确的有（ ）个①623a a a ÷=；②()235a a =；③336a a a +=；④122-=-；⑤0(3)1π-=；⑥236=．A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，120,240∠=︒∠=︒，则3∠等于（ ）A ．50︒B ．40︒C ．30︒D ．20︒6．二维码的图案主要由黑，白两种小正方形组成．现对由4个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为（ ）A ．12B ．116C ．38D ．3167．如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，BOC=150∠︒，将B C O ∆绕点C 按顺时针旋转60︒得到ACD ∆，则下列结论不正确的是( )A ．BO=ADB ．DOC=60∠︒C ．OD AD ⊥ D ．OD//AB8．若关于x 的方程x 2＝﹣m 有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞0B ．m ≥0C ．m ＜0D ．m ≤09．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点O ；③作射线AO ，交BC 于点D ．若点D 到AB 的距离为2，则BC 的长为（ ）A ．2B ．2+C ．D ．210．如图，双曲线ky x=()0k >经过Rt OAB V 斜边OB 的中点D ，与边AB 相交于点C ，若OBC △的面积为6，则k 的值为（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12二、填空题11．已知1y =是方程13py p -=--的解，则代数式31p p p--的值为． 12．化简分式：ma mba b a b-=--； 13．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 的坐标分别为()2,0、()0,1，若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为．14．若点(),P a b 在抛物线221y x x =-+-，则a b +的最大值为．15．如图所示，扇形AOB 的圆心角是直角，半径为C 为OA 边上一点，将BOC V 沿BC 边折叠，圆心O 恰好落在弧AB 上的点D 处，则阴影部分的面积为 ．16．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于点F ．（1）图中APD △与哪个三角形全等：．（2）猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系：．三、解答题17．（1）解不等式：121x -≥-；（2）化简求值：()()()22132x x x -+-+，其中x18．实施乡村振兴战略，能够将发展机遇提供给农业生产，改善乡村面貌提高农民的生活质量，促进机械化发展以及农业现代化发展．为助力乡村产业振兴，某地利用网络销售农产品，一段时间后负责人随机抽取部分销售人员统计他们上一个月的销售额m (单位：万元)，绘制成如下统计图表(尚不完整)：其中B 等级销售人员的销售额分别是(万元)：5，6，7，8，8，8，9，9． 请根据图表中的信息，解答下列问题：(1)填空：=a __________，B 等级销售人员的销售额的众数是___________万元，所抽取销售人员的销售额的中位数是___________万元；(2)若想让一半左右的销售人员都能达到销售目标，你认为月销售额目标定为多少合适？说明理由；(3)若该地共有80位网络销售人员销售农产品，请估计该地上个月农产品的网络销售总额． 19．某校数学社团利用自制测角仪和皮尺测量河宽（把河两岸看作平行线）．如图，他们在河岸MN 一侧的A 处，观察到对岸P 点处有一棵树，测得31PAN ∠=︒，向前走45m 到达B 处，测得45PBN ∠=︒，求河的宽度（精确到1m ）（s i n310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈，1.41）．20．为进一步加强“书香校园”建设，某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用7200元购进的甲种书柜的数量比用7500元购进乙种书柜的数量少5个． (1)每个甲种书柜的进价是多少元？(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？21．如图，在Rt ABC △，90ACB ∠=︒，点D 在BC 边上，以CD 为直径的O e 与直线AB 相切于点E ，连接OA ，OA OB =．(1)求证：30ABC ∠=︒；(2)连接AD ，若AD =O e 的半径．22．操作：如图①在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，将ABE V 沿AE 折叠后得到AFE △，点F 在正方形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ，易知FG GC =．探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF 与GC 相等吗？请说明理由．拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD 改为平行四边形，其他条件不变，若3AB =，4=AD ，则AGD △的周长为______．23．抛物线22y ax bx =++交x 轴于()1,0A 、()3,0B 两点，交y 轴于点C ，点P 为线段BC 下方抛物线上一动点，连接BP ，CP ．(1)求抛物线解析式；(2)在点P 移动过程中，BPC △的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)设点D 为CB 上不与端点重合的一动点，过点D 作线段BC 的垂线，交抛物线于点E ，若DCE △与BOC V相似，请直接写出点E 的坐标．。
2021年内蒙古包头市中考数学试题及参考答案(word解析版)
包头市2021年初中学业水平考试试卷数学（满分为120分，考试时间为120分钟）一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项．1．据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（）A．6 B．5 C．4 D．32．下列运算结果中，绝对值最大的是（）A．1+（﹣4）B．（﹣1）4C．（﹣5）﹣1D．3．已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD 的长为（）A．1 B．3 C．1或3 D．2或34．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（）A．B．C．D．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣D．1﹣6．若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣27．定义新运算“⨂”，规定：a⨂b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，则m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C．若∠3＝50°，∠1+∠2+∠3＝240°，则∠4等于（）A．80°B．70°C．60°D．50°9．下列命题正确的是（）A．在函数y＝﹣中，当x＞0时，y随x的增大而减小B．若a＜0，则1+a＞1﹣aC．垂直于半径的直线是圆的切线D．各边相等的圆内接四边形是正方形10．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（）A．B．C．D．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在答题卡上对应的横线上。
2021年中考数学模拟试卷附答案解析 (2)
2021年中考数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．（4分）若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（）A．B．1C．.4D．32．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥3C．m＜5D．m≤53．（4分）函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．（4分）某中学有一块长30cm，宽20cm的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×305．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个6．（4分）若点A（﹣1，m）、B（1，m）、C（2，m﹣1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b ＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点P的坐标是（）A．（2020，1）B．（2020，0）C．（2020，2）D．（2019，0）二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）9．（5分）把多项式x2y﹣6xy+9y分解因式的结果是．10．（5分）已知+＝3，求＝．11．（5分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为．12．（5分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．13．（5分）已知直线y＝kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为．三．解答题（共4小题，满分43分）14．（5分）计算：﹣2tan60°．15．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝AD，求的值．16．（12分）五一假期某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，每辆42座比每辆60座客车租金便宜140元，租3辆42座和2辆60座客车租金共计1880元（1）求两种车租金每辆各多少元？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），总租金不超过3200元，有几种租车方案？请选择最节省的租车方案．17．（14分）如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．（1）求a、b的值；（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．2021年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．（4分）若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（）A．B．1C．.4D．3【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a、b是方程x2﹣4x+1＝0的两个不同的实数根，∴由根与系数的关系可知：ab＝1，a+b＝4，∴a2+1＝4a，b2+1＝4b，∴原式＝+＝＝＝1，故选：B．2．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥3C．m＜5D．m≤5【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝m﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得m≤5．故选：D．3．（4分）函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故A 错误．B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故B错误；C、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故D正确；故选：D．4．（4分）某中学有一块长30cm，宽20cm的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30【分析】根据空白区域的面积＝矩形空地的面积可得．【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，故选：B．5．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：①由图象开口可知：a＞0，c＜0，∵＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；②由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为：x＝，∴＜1，∴2a+b＞0，故③正确；④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于﹣2，故④错误；⑤由③可知抛物线的对称轴为x＝，∴由图象可知：x＜时，y随着x的增大而减小，故⑤正确；⑥由图象可知：x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故⑥错误；故选：B．6．（4分）若点A（﹣1，m）、B（1，m）、C（2，m﹣1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而减小，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，D错误；∵B（1，m），C（2，m﹣1），∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故B正确，C错误．故选：B．7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b ＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x＝﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．8．（4分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点P的坐标是（）A．（2020，1）B．（2020，0）C．（2020，2）D．（2019，0）【分析】分析点P的运动规律找到循环规律即可．【解答】解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，则2020＝505×4，所以，前505次循环运动点P共向右运动505×4＝2020个单位，且在x轴上，故点P坐标为（2020，0）．故选：B．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）9．（5分）把多项式x2y﹣6xy+9y分解因式的结果是y（x﹣3）2．【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝y（x2﹣6x+9）＝y（x﹣3）2，故答案为：y（x﹣3）210．（5分）已知+＝3，求＝﹣．【分析】由+＝3知＝3，即a+b＝3ab，整体代入到原式，计算可得．【解答】解：∵+＝3，∴＝3，则a+b＝3ab，所以原式＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．11．（5分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为．【分析】连接OD，由△OAB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据平行线的性质得到∠DEO＝∠AOB＝60°，推出△DEO是等边三角形，得到∠DOE＝∠BAO＝60°，得到OD∥AB，求得S△BDO＝S△AOD，推出S△AOB＝S△ABD＝，过B作BH⊥OA于H，由等边三角形的性质得到OH＝AH，求得S△OBH＝，于是得到结论．【解答】解：连接OD，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵四边形OCDE是菱形，∴DE∥OB，∴∠DEO＝∠AOB＝60°，∴△DEO是等边三角形，∴∠DOE＝∠BAO＝60°，∴OD∥AB，∴S△BDO＝S△AOD，∵S四边形ABDO＝S△ADO+S△ABD＝S△BDO+S△AOB，∴S△AOB＝S△ABD＝，过B作BH⊥OA于H，∴OH＝AH，∴S△OBH＝，∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，∴k的值为，故答案为：．12．（5分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加（4﹣4）m．【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA＝OB＝AB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣2，0）代入抛物线解析式可得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．13．（5分）已知直线y＝kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为0＜m＜．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y＝kx得，﹣5＝12k，∴k＝﹣；由y＝﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y＝﹣x+m （m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x＝0时，y＝m；当y＝0时，x＝m，∴A（m，0），B（0，m），即OA＝m，OB＝m；在Rt△OAB中，AB＝，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO＝OD•AB＝OA•OB，∴OD•m＝×m×m，∵m＞0，解得OD＝m由直线与圆的位置关系可知＜6，解得0＜m＜．故答案为：0＜m＜．三．解答题（共4小题，满分43分）14．（5分）计算：﹣2tan60°．【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式＝2+5﹣2﹣2＝3．15．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝AD，求的值．【分析】（1）连接OD，设OC交BD于K．想办法证明△ODC≌△OBC（SSS）即可解决问题．（2）由CD＝AD，可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．由△CDK∽△COD，推出＝，推出＝整理得：2（）2+（）﹣4＝0，解得＝或（舍弃），由此即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，设OC交BD于K．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OC∥AD，∴OC⊥BD，∴DK＝KB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，OC＝OC，CD＝CB，∴△ODC≌△OBC（SSS），∴∠ODC＝∠OBC，∵CB⊥AB，∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵CD＝AD，∴可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．∵DK＝KB，AO＝OB，∴OK＝AD＝a，∵∠DCK＝∠DCO，∠CKD＝∠CDO＝90°，∴△CDK∽△COD，∴＝，∴＝整理得：2（）2+（）﹣4＝0，解得＝或（舍弃），∵CK∥AD，∴＝＝＝．16．（12分）五一假期某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，每辆42座比每辆60座客车租金便宜140元，租3辆42座和2辆60座客车租金共计1880元（1）求两种车租金每辆各多少元？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），总租金不超过3200元，有几种租车方案？请选择最节省的租车方案．【分析】（1）设42座客车租金x元/辆，60座客车租金（x+140）元/辆，根据题意列出方程解答即可．（2）根据租用的8辆客车所载的总人数应大于等于师生的总人数和所需的费用应比单独租用车辆的费用少，列出不等式组进行求解，然后分类讨论．【解答】解：（1）设42座客车租金x元/辆，60座客车租金（x+140）元/辆，根据题意，得：3x+2（x+140）＝1880，解得：x＝320答：42座客车租金320元/辆，60座客车租金460元/辆；（2）设租42座客车m辆，则60座客车（8﹣m）辆，根据题意得：42m+60（8﹣m）≥385•，320m+460 （8﹣m）≤3200，解得：3≤m≤5∵m为整数，∴m的值可以是4、5，即有2种方案；设总费用为W，则W＝320m+460 （8﹣m）＝﹣140m+3680，∵W随m的增大而减小大，∴当m＝5时，W取得最小值，最小值为2980，17．（14分）如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．（1）求a、b的值；（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用对称轴方程，联立方程组，解方程组求得a、b的值；（2）设点C的坐标是（0，m）．由于没有指明直角△BCD中的直角，所以需要分类讨论：当∠CBD＝90°、∠CDB＝90°、∠BCD＝90°时，利用勾股定理列出关于m的方程，通过解方程求得m的值；然后利用三角形的面积公式解答；（3）利用待定系数法确定直线OA解析式为．由抛物线上点的坐标特征和两点间的距离公式求得：，所以利用二次函数最值的求得推知：当PQ最大时，线段BQ为定长．又因为MN＝2，所以要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．利用轴对称﹣最短路径问题得到点Q．最后利用方程思想解答．【解答】解：（1）∵过点的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，∴解之，得；（2）设点C的坐标是（0，m）．由（1）可得抛物线，∴抛物线的顶点D的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（4，0）．当∠CBD＝90°时，有BC2+BD2＝CD2．∴，解之，得，∴；当∠CDB＝90°时，有CD2+BD2＝BC2．∴，解之，得，∴；当∠BCD＝90°时，有CD2+BC2＝BD2．∴，此方程无解．综上所述，当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；（3）设直线y＝kx过点，可得直线．由（1）可得抛物线，∴，∴当时，PQ最大，此时Q点坐标是．∴PQ最大时，线段BQ为定长．∵MN＝2，∴要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．将点Q向下平移2个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线BQ2与对称轴的交点就是符合条件的点N，此时四边形BQMN的周长最小．设直线y＝cx+d过点和点B（4，0），则解之，得∴直线过点Q2和点B．解方程组得∴点N的坐标为，∴点M的坐标为，所以点Q、M、N的坐标分别为，，．。
2021年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试题及参考答案(word解析版)
2021年呼伦贝尔市、兴安盟初中毕业生学业考试数学（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共36分）1．的相反数是（）A．﹣2 B．2 C．D．2．下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2C．2a﹣1＝a（2﹣）D．x2+6x+8＝x（x+6）+83．下列计算正确的是（）A．﹣＝B．÷3x＝2y2C．（﹣3a2b）3＝﹣9a6b3D．（x﹣2）2＝x2﹣44．一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（）A．3 B．6 C．8 D．125．根据三视图，求出这个几何体的侧面积（）A．200π B．100π C．100π D．500π6．下列说法正确的是（）A．在小明、小红、小月三人中抽2人参加比赛，小刚被抽中是随机事件B．要了解学校2000名学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生C．预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包D．了解某班学生的身高情况适宜抽样调查7．用四舍五入法把某数取近似值为5.2×10﹣2，精确度正确的是（）A．精确到万分位B．精确到千分位C．精确到0.01 D．精确到0.18．点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y29．如图，▱ABCD中，AC、BD交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交AB于点E，交CD于点F，连接CE，若AD＝6，△BCE的周长为14，则CD的长为（）A．3B．6 C．8 D．1010．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（）A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝8111．若关于x的分式方程+＝2无解，则a的值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．0或312．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（）A．B．C．π﹣1 D．π﹣2二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）13．函数y＝（x﹣）0+中，自变量的取值范围是．14．74°19′30″＝°．15．将圆心角为120°的扇形围成底面圆的半径为1cm的圆锥，则圆锥的母线长为．16．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是．17．如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为．三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）18．（6分）计算：﹣2﹣2﹣2sin60°+|1﹣|﹣．19．（6分）解不等式组：，在数轴上表示解集并列举出非正整数解．20．（6分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF 与AD相交于点H．（1）求证：AD⊥EF；（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．21．（6分）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字﹣2，0.3，，0．（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出的小球上的数字是分数的概率（直接写出结果）；（2）从口袋中一次随机摸出两个小球，摸出的小球上的数字分别记作x、y，请用列表法（或树状图）求点（x，y）在第四象限的概率．四、（本题7分）22．（7分）如图，在山坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB（即AB⊥MN），为固定电线杆，在地面C处和坡面D处各装一根引拉线BC和BD，它们的长度相等，测得AC＝6米，tan∠BCA＝，∠PAN＝30°，求点D到AB的距离．五、（本题7分）23．（7分）某校九年级在“停课不停学”期间，为促进学生身体健康，布置了“云健身”任务．为了解学生完成情况，体育教师随机抽取一班与二班各10名学生进行网上视频跳绳测试，他的测试结果与分析过程如下：（1）收集数据：两班学生每分钟跳绳个数分别记录如下（二班一个数据不小心被墨水遮盖）：一班：100 94 86 86 84 94 76 69 59 94二班：99 96 82 96 79 65 96 55 96（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制了频数分布直方图如图；（3）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：班级平均数众数中位数方差一班①94 86 147.76二班83.7 96 ②215.21 根据以上数据填出表格中①、②两处的数据并补全二班的频数分布直方图；（4）得出结论：根据以上信息，判断哪班完成情况较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．六、（本题8分）24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，＝＝2，连接AC、CD、AD．CD交AB于点F，过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E．（1）求证：AC＝CD；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．七、（本题10分）25．（10分）移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如表：套餐月保底费（元）包通话时间（分钟）超时费（元/分钟）A 38 120 0.1BC 118 不限时设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为y1元，y2元．其中B套餐的收费金额y2元与通话时间x分钟的函数关系如图所示．（1）结合表格信息，求y1与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）结合图象信息补全表格中B套餐的数据；（3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由．八、（本题13分）26．（13分）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）．抛物线与x轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）．点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线l，把△CEF 沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．答案与解析一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共36分）1．的相反数是（）A．﹣2 B．2 C．D．【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答过程】解：的相反数是：﹣．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题的关键．2．下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2C．2a﹣1＝a（2﹣）D．x2+6x+8＝x（x+6）+8【知识考点】因式分解的意义；因式分解﹣十字相乘法等．【思路分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．【解答过程】解：A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；C．2a﹣1＝a（2﹣），等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D．x2+6x+8＝x（x+6）+8，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：B．【总结归纳】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．3．下列计算正确的是（）A．﹣＝B．÷3x＝2y2C．（﹣3a2b）3＝﹣9a6b3D．（x﹣2）2＝x2﹣4【知识考点】幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；分式的混合运算．【思路分析】A、原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，即可作出判断；B、原式利用除法法则变形，约分得到结果，即可作出判断；。
2021年内蒙古自治区包头市数学中考试题(含答案)
2021年中考数学试题（内蒙古包头）（本试卷满分150分,考试时间120分钟）第I 卷（选择题 共36 分）一、选择题（本大题共12 小题,每小题3 分,共36 分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 9 的算术平方根是【】 A .土3B.3C..一3【答案】B 。
2.联合国人口基金会的报告显示,世界人口总数在2011 年10 月31 日达到70 亿．将70 亿用科学记数法表示为【 】A .7×109B . 7×108C . 70×108 D . 0.7×1010【答案】A 。
3.下列运算中,正确的是【】A .B .C D 【答案】D 。
4.在Rt △ ABC 中,∠C=900,若AB =2AC ,则sinA 的值是【】B . 【答案】C 。
5.下列调查中,调查方式选择正确的是【 】A .为了了解1000个灯泡的使用寿命,选择全面调查B .为了了解某公园全年的游客流量,选择抽样调查C .为了了解生产的一批炮弹的杀伤半径,选择全面调查D .为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂,选择全面调查【答案】B 。
6.如图,过口ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ,那么图中的口AEMG 的面积S 1 与口HCFG 的面积S 2的大小关系是【 】32x x =x -623x x =x ÷12A .S 1 > S 2B.S 1 < S 2 C .S 1 = S 2 D.2S 1 = S 2【答案】C 。
7.不等式组的解集是【 】A .x > 2B .x ≤4 C.x < 2 或x ≥4 D .2 < x ≤4【答案】D 。
8.圆锥的底面直径是80cm,母线长90cm,则它的侧面展开图的圆心角是【】A .3200B.400 C .1600 D.800【答案】C 。
9.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,掷两次骰子,掷得面朝上的点数之和是5的概率是【】A . B. C. D . 【答案】B 。
2021年内蒙古包头市数学中考真题含答案解析
D．①②③④
13．（3 分）（2015•包头）计算：（ ﹣ ）× = ．
14．（3 分）（2015•包头）化简：（a﹣
）÷
= ．
15．（3 分）（2015•包头）已知关于 x 的一元二次方程 x2+
x﹣1=0 有两个不相等的实
数根,则 k 的取值范围是 ． 16．（3 分）（2015•包头）一个不透明的布袋里装有 5 个球,其中 4 个红球和 1 个白球,它们除
26．（12 分）（2015•包头）已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（﹣1,0）,B（3,0）两点,与 y 轴相 交于点 C,该抛物线的顶点为点 D． （1）求该抛物线的解析式及点 D 的坐标。 （2）连接 AC,CD,BD,BC,设△AOC,△BOC,△BCD 的面积分别为 S1,S2 和 S3,用等式表示 S1,S2,S3 之间的数量关系,并说明理由。 （3）点 M 是线段 AB 上一动点（不包括点 A 和点 B）,过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N,连 接 MC,是否存在点 M 使∠AMN=∠ACM？若存在,求出点 M 的坐标和此时刻直线 MN 的解 析式。若不存在,请说明理由．
23．（10 分）（2015•包头）我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共 700 尾,甲种鱼苗每尾 3 元,乙种鱼苗每尾 5 元,相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为 85%和 90%． （1）若购买这两种鱼苗共用去 2500 元,则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾？
（2）若要使这批鱼苗的总成活率不低于 88%,则甲种鱼苗至多购买多少尾？ （3）在（2）的条件下,应如何选购鱼苗,使购买鱼苗的费用最低？并求出最低费用． 24．（10 分）（2015•包头）如图,AB 是⊙O 的直径,点 D 是 上一点,且∠BDE=∠CBE,BD 与 AE 交于点 F． （1）求证：BC 是⊙O 的切线。 （2）若 BD 平分∠ABE,求证：DE2=DF•DB。 （3）在（2）的条件下,延长 ED,BA 交于点 P,若 PA=AO,DE=2,求 PD 的长和⊙O 的半径．
2021年内蒙古呼和浩特市中考数学真题试卷 解析版
2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：气体氧气氢气氮气氦气液化温度℃﹣183﹣253﹣195.8﹣268其中液化温度最低的气体是（）A．氦气B．氮气C．氢气D．氧气2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（）A．3a2+4a2＝7a4B．•＝1C．﹣18+12÷（﹣）＝4D．﹣a﹣1＝5．已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（）A．a≥﹣B．a≥﹣2C．a＞﹣D．a＞﹣26．某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（）①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．A．3个B．2个C．1个D．0个7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝48．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝，π≈4sin22.5°C．d＝，π≈8sin22.5°D．d＝，π≈4sin22.5°9．以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是（）A．0＜ab＜B．0＜ab＜C．0＜ab＜D．0＜ab＜二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）11．因式分解：x3y﹣4xy＝．12．正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），则k1+k2＝．13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为．（用含π的代数式表示），圆心角为度．14．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是．15．已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为，最大值为．16．若把第n个位置上的数记为x n，则称x1，x2，x3，…，x n有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，y n，其中y n是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且y n＝并规定x0＝x n，x n+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算求解：（1）计算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；（2）解方程组．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需说明理由）19．（10分）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：年级平均数众数中位数优秀率大一a b43m大二39.544c n请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：（1）上表中a＝，b＝，c＝，m＝，n；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．20．（8分）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）21．（7分）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3．探究3电话计费问题下表中有两种移动电话计费方式．月使用费/元主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费考虑下列问题：月使用费固定收：主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：x表示问题中的，y表示问题中的．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）22．（7分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？23．（10分）已知AB是⊙O的任意一条直径．（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图2．求证：①BC2＝2BD；②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．（1）通过配方可以将其化成顶点式为，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴（填上方或下方），即4ah﹣k20（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0时，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：气体氧气氢气氮气氦气液化温度℃﹣183﹣253﹣195.8﹣268其中液化温度最低的气体是（）A．氦气B．氮气C．氢气D．氧气【分析】根据有理数大小比较的方法进行比较即可求解．【解答】解：∵﹣268＜﹣253＜﹣195.8＜﹣183，∴其中液化温度最低的气体是氦气．故选：A．2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据三角新内角和可以先求出∠BAC的度数，再根据平角的定义，可知∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，从而可以求得∠EAC的度数．【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵∠DAB＝50°，∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝180°﹣∠DAB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故选：D．3．如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．【解答】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：故选：B．4．下列计算正确的是（）A．3a2+4a2＝7a4B．•＝1C．﹣18+12÷（﹣）＝4D．﹣a﹣1＝【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：3a2+4a2＝7a2，故选项A错误；当a＞0时，＝a＝1，当a＜0时，＝﹣a＝﹣1，故选项B错误；﹣18+12÷（﹣）＝﹣18﹣18＝﹣36，故选项C错误；﹣a﹣1＝﹣（a+1）＝＝＝，故选项D正确；故选：D．5．已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（）A．a≥﹣B．a≥﹣2C．a＞﹣D．a＞﹣2【分析】分别解两个不等式，根据不等式组无实数解，得到关于a的不等式，解之即可．【解答】解：解不等式﹣2x﹣3≥1得：x≤﹣2，解不等式﹣1≥得：x≥2a+2，∵关于x的不等式组无实数解，∴不等式的解集为2a+2＞﹣2，解得：a＞﹣2，故选：D．6．某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（）①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7．②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据扇形统计图分别求出各组人数所占比例，进而得出答案．【解答】解：该校来自城镇的初一学生的扇形的圆心角为：360°﹣90°﹣60°＝210°，∴该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为90：60：210＝3：2：7，故①正确，不符合题意；若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为140÷＝840（人），故②错误，符合题意；120×＝30（人），120×＝20（人），120×＝70（人），故③正确，不符合题意；故选：C．7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4【分析】过D点作DH⊥x轴于H，如图，证明△ABO≌△DAH得到AH＝OB＝4，DH ＝OA＝3，则D（7，3），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，∵点A（3，0），B（0，4）．∴OA＝3，OB＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠ABO+∠DAH＝90°，∴∠ABO＝∠DAH，在△ABO和△DAH中，，∴△ABO≌△DAH（AAS），∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，∴D（7，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b，把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4．故选：A．8．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝，π≈4sin22.5°C．d＝，π≈8sin22.5°D．d＝，π≈4sin22.5°【分析】根据外接圆的性质可知，圆心各个顶点的距离相等，过圆心向边作垂线，解直角三角形，再根据圆周长公式可求得．【解答】解：如图，连接AD，BC交于点O，过点O作OP⊥BC于点P，则CP＝PD，且∠COP＝22.5°，设正八边形的边长为a，则a+2×a＝4，解得a＝4（﹣1），在Rt△OCP中，OC＝＝，∴d＝2OC＝，由πd≈8CD，则π≈32（﹣1），∴π≈8sin22.5°．故选：C．9．以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用三角形的中位线的性质、相似多边形的定义及平均数的知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分，正确，是真命题，符合题意；②由每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，A队已经赛完5场，则每个队均与A队赛过，E队仅赛一场（即与A队赛过），所以E队还没有与B队赛过，故原命题错误，是假命题，不符合题意．③两个正六边形一定相似但不一定位似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少，正确，是真命题，符合题意，正确的有2个，故选：B．10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是（）A．0＜ab＜B．0＜ab＜C．0＜ab＜D．0＜ab＜【分析】方法1、由二次项系数为1的抛物线判断出抛物线的开口向上，开口大小一定，进而判断出ab＞0，再根据完全平方公式判断出a＝b，且抛物线与x轴只有一个交点时，是ab的最大值的分界点，进而求出m＝n＝，进而求出a＝b＝，即可得出结论．方法2、先表示出b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），进而得出ab＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n ﹣）2+]，再判断出0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，即可得出结论．【解答】解法1、∵函数是一个二次项系数为1的二次函数，∴此函数的开口向上，开口大小一定，∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，∴a＞0，b＞0，∴ab＞0，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0（a＝b时取等号），即a2+b2≥2ab（当a＝b时取等号），∴当a＝b时，ab才有可能最大，∵二次函数过A（0，b），B（3，a）两点，∴点A，B关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线x＝1.5，∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，∴抛物线的顶点越接近x轴，ab的值越大，即当抛物线与x轴只有一个交点时，是ab最大值的分界点，当抛物线与x轴只有一个交点时，此时m＝n＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣）2＝x2﹣3x+，∴a＝b＝，∴ab＜（）2＝，∴0＜ab＜，故选：C．解法2、∵二次函数的图象经过（0，b）和（3，a）两点，∴b＝mn，a＝（3﹣m）（3﹣n），∴ab＝mn（3﹣m）（3﹣n）＝（3m﹣m2）（3n﹣n2）＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]∵0＜m＜n＜3，∴0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，∵m＜n，∴ab不能取，∴0＜mn＜，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）11．因式分解：x3y﹣4xy＝xy（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式xy，再利用平方差公式对因式x2﹣4进行分解．【解答】解：x3y﹣4xy，＝xy（x2﹣4），＝xy（x+2）（x﹣2）．12．正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），则k1+k2＝﹣8．【分析】根据待定系数法求得k1、k2，即可求得k1+k2的值．【解答】解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），∴﹣2＝k1，﹣2＝，∴k1＝﹣2，k2＝﹣6，∴k1+k2＝﹣8，故答案为﹣8．13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为12π．（用含π的代数式表示），圆心角为216度．【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r＝＝6，∴2πr＝2π×6＝12π，根据题意得2π×6＝，解得n＝216，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．故答案为：12π，216．14．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是．【分析】用概率乘以动物的总只数即可得出20年后存活的数量；先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.5x，故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为＝，故答案为：0.8a，．15．已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为，最大值为2+．【分析】由点E是一边BC上的中点及AE平分∠BAC，可得△ABC是等边三角形，根据菱形ABCD的面积为2，可得菱形的边长为2；求PE+PC的最小值，点E和点C是定点，点P是线段BD上动点，由轴对称最值问题，可求出最小值；求和的最大值，观察图形可知，当PE和PC的长度最大时，和最大，即点P和点D重合时，PE+PC的值最大．【解答】解：根据图形可画出图形，如图所示，过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，∴∠F＝∠CAE，∠EBF＝∠ACE，∵点E是BC的中点，∴△ACE≌△FBE（AAS），∴BF＝AC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF＝AC，在菱形ABCD中，AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形；∴∠ABC＝60°，设AB＝a，则BD＝，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝2，即＝2，∴a＝2，即AB＝BC＝CD＝2；∵四边形ABCD是菱形，∴点A和点C关于BD对称，∴PE+PC＝AP+EP，当点A，P，E三点共线时，AP+EP的和最小，此时AE＝；点P和点D重合时，PE+PC的值最大，此时PC＝DC＝2，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DE，∵AB∥CD，∠ABC＝60°，∴∠DCG＝60°，∴CG＝1，DG＝，∴EG＝2，∴DE＝＝，此时PE+PC＝2+；即线段PE与PC的和的最小值为；最大值为2+．故答案为：；2+．16．若把第n个位置上的数记为x n，则称x1，x2，x3，…，x n有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，y n，其中y n是这个数列中第n 个位置上的数，n＝1，2，…，k且y n＝并规定x0＝x n，x n+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是0，1，0，1．【分析】根据“伴生数列”的定义依次取n＝1，2，3，4，求出对应的y n即可．【解答】解：当n＝1时，x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，当n＝2时，x1≠x3，∴y2＝1，当n＝3时，x2＝x4，∴y3＝0，当n＝4时，x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生数列”B是：0，1，0，1，故答案为0，1，0，1．三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算求解：（1）计算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；（2）解方程组．【分析】（1）根据负整数指数幂、二次根式的除法法则和特殊角的三角函数值计算；（2）先把原方程组化简，然后利用加减消元法解方程组．【解答】解：（1）原式＝3﹣（﹣）+×＝3﹣（4﹣2）+1＝3﹣2+1＝2；（2）原方程整理为，①×12﹣②得：13x＝3900，解得x＝300，把x＝300代入①得：y＝400，∴方程组的解为．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需说明理由）【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，再由BE∥DF，可得∠AEB＝∠CFD，进而判断△ABE≌△CDF；（2）【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DF A，∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DF A，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），（2）连接ED，BF，BD，由（1）知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形，1°当四边形ABCD是矩形时，四边形BEDF是平行四边形，2°当四边形ABCD是菱形时，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．19．（10分）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：年级平均数众数中位数优秀率大一a b43m大二39.544c n请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：（1）上表中a＝41.1，b＝43，c＝42.5，m＝55%，n＝65%；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．【分析】（1）由平均数、众数、中位数的定义求解即可，再由两个年级的优秀率进行说明即可；（2）先求出样本合格率，再由参加此次测试活动的总人数乘以合格率即可；（3）画树状图，共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）将一年级20名同学成绩整理如下表：成绩25303739434950人数1242542'∴a＝（25×1+30×2+37×4+39×2+43×5+49×4+50×2）＝41.1，b＝43，c＝＝42.5，m＝（5+4+2）÷20×100%＝55%，n＝（3+5+2+3）÷20×100%＝65%，故答案为：41.1，43，42.5，55%，＝65%；从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%，因此估计二年级学生的优秀率高，所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好．（2）∵样本合格率为：＝92.5%，∴估计总体的合格率大约为92.5%，∴估计参加测试的两个年级合格学生约为：1240×92.5＝1147（人），∴估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能超过1000人；（3）一年级满分有2人，记为A，B，二年级满分有3人，记为C，D，E，画树状图如图：共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，∴两人在同一年级的概率为＝．20．（8分）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）【分析】过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米，根据直角三角形的三角函数得出x，进而解答即可．【解答】解：如图，过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米．由题意知，△ACP为等腰直角三角形，∴AP＝CP＝x（米），BP＝x﹣20（米），在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，∴，∴tan55°⋅x＝x+40，∴（tan55°﹣1）⋅x＝40，∴，所以河宽为米．答：河宽为米．21．（7分）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3．探究3电话计费问题下表中有两种移动电话计费方式．月使用费/元主叫限定时间主叫超时费/（元被叫/min/min）方式一581500.25免费方式二883500.19免费考虑下列问题：月使用费固定收：主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）【分析】（1）由题意可知，x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费；再根据分段计费的费用就可以得出各个时段各种不同的付费方法就可以得出结论；（2）画出图象，再根据图象解答即可．【解答】解：（1）由题意，可得x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费；方式一：y＝；方式二：y＝；故答案为：主叫时间，计费；（2）大致图象如下：由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二．22．（7分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？【分析】设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个，根据“购买A 品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍”列出分式方程，通过解方程求得A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个；然后设今年购进B足球的个数为a个，再根据“今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半”列出不等式并解答即可．【解答】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个．由题意得：，即，∴96（x+12）＝120x，∴x＝48．经检验，x＝48是原分式方程的解且符合题意．∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个．设今年购进B足球的个数为a个，则有：．∴50.4×50﹣50.4a+54a≤26403．∴6a≤120，∴．∴最多可购进33个B足球．23．（10分）已知AB是⊙O的任意一条直径．（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图2．求证：①BC2＝2BD；②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．。
专题11 利用X模型证明三角形全等(解析版)
1专题11 利用x 模型证明三角形全等知识对接考点一、一线三直角的应用(1)图形中已经存在“一线三直角”,直接应用模型解题;(2)图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;(3)图形中只有直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;(4)图形中只有一个直角,过该直角顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型;(5)对于平面直角坐标系,在x 轴或y 轴(也可以是平行于x 轴或y 轴的直线)上构造“一线三直角”是解决问题的关键.专项训练一、单选题1．（2021·四川）如图，在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，过点O 作射线OG 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ，且∠EOF ＝90°，BO 、EF 交于点P ．则下列结论中： （1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4倍；（3）BE +BFOA ；（4）AE 2+CF 2＝2OP •OB ．正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出（1）错误；由AOE BOF △≌△，得出四边形OEBF 的面积ABO =△的面积14=正方形ABCD 的面积，得出（2）正确；由BOE COF ≌，得出BE CF =，得出BE BF AB +==，得出（3）正确；由AOE BOF △≌△得出AE BF =，进而2222222AE CF BE BF EF OF +=+==，再证明OPF △∠OFB △，得出2•OF OP OB =，得出（4）正确．【详解】解：（1）不正确；图形中全等的三角形有四对：ABC ADC ≅△△，AOB COB ≅，AOE BOF ≅△△，BOE COF ≅△△；理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC CD DA ∴===，90BAD ABC BCD D ∠=∠=∠=∠=︒，45BAO BCO ∠=∠=︒， 在ABC 和ADC 中，AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC ADC SSS ∴≅；点O 为对角线AC 的中点，OA OC ∴=，在AOB 和COB △中，OA OC AB CB OB OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()AOB COB SSS ∴≅；AB CB =，OA OC =，90ABC ∠=︒，90AOB ∠=︒∴，45OBC ∠=︒，又90EOF ∠=︒，AOE BOF ∴∠=∠，在AOE △和BOF 中，45OAE OBF OA OBAOE BOF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOE BOF ASA ∴≅；同理：BOE COF ≅△△；（2）正确．理由如下：AOE BOF ≅，∴四边形OEBF 的面积ABO =△的面积14=正方形ABCD 的面积； （3）正确．理由如下：BOE COF ∆≅∆，BE CF ∴=，BE BF CF BF BC AB ∴+=+==；（4）正确．AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2OF）2＝2OF2，在∠OPF与∠OFB中，∠OBF＝∠OFP＝45°，∠POF＝∠FOB，∠∠OPF∠∠OFB，OP：OF＝OF：OB，OF2＝OP•OB，AE2+CF2＝2OP•OB．正确结论的个数有3个；故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等．解题的关键是正确寻找全等三角形、相似三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2021·广东佛山市·九年级）下列命题正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是正方形C．16的平方根是4D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等【答案】C【分析】对各选项依次进行判断分析，由此即可求解．【详解】选项A，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，故本选项错误；选项B，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；选项C，16的平方根是±4，故本选项正确；选项D，有两条边对应相等的两个直角三角形不一定全等，例如，一个直角三角形的一条直角边与另一个直角三角形的一条直角边对应相等，另一条直角边与斜边对应相等，这两个直角三角形不全等，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定、平方根及全等三角形的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键．33．如图，点C ，F ，B ，E 在同一直线上，∠C ＝∠DFE ＝90°，添加下列条件，仍不能判定∠ACB 与∠DFE 全等的是（ ）A ．∠A ＝∠D ，AB ＝DEB ．AC ＝DF ，CF ＝BE C ．AB ＝DE ，BC ＝EFD ．∠A ＝∠D ，∠ABC ＝∠E【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．【详解】 解：A 、∠∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠C ＝∠DFE ＝90°，根据AAS 判定∠ACB 与∠DFE 全等，不符合题意；B 、∠CF ＝BE ，可得，BC ＝EF ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠C ＝∠DFE ＝90°，根据SAS 判定∠ACB 与∠DFE 全等，不符合题意；C 、∠AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠DFE ＝90°，根据HL 判断Rt∠ACB 与Rt∠DFE 全等，不符合题意；D 、∠∠A ＝∠D ，∠ABC ＝∠E ，∠C ＝∠DFE ＝90°，由AAA 不能判定∠ACB 与∠DFE 全等，符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA OB 、于点C D 、．分别以C D 、两点为圆心，CD 长为半径画弧，两段弧交于点P ，作射线OP ，连接PC PD 、，则POC △与POD 全等，其全等的判定依据是（ ）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】A【分析】由画法得OC＝OD，PC＝PD，加上公共边OP，则可根据“SSS”可判定∠OCP∠∠ODP．【详解】解：由画法得OC＝OD，PC＝PD，又∠OP＝OP，∠∠OCP∠∠ODP（SSS），故选：A．【点睛】本题考查了基本作图：作已知角的角平分线，全等三角形的判定定理，熟练掌握“SSS”判定两个三角形全等，是解题的关键．5．（2021·河南师大附中九年级模拟预测）如图，直线m经过点B且平行于AC，点P为直线m上的一动点，连接PC，P A，随着点P在直线m上移动，则下列说法中一定正确的是（）A．ABC与PCA全等B．ABC与PCA的周长相等C．ABC与PCA的面积相等D．四边形ACBP是平行四边形【答案】C【分析】由全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等，可以得出正确的选项．【详解】解：选项A，因为点A，B，C是定点，而点P是直线m上的动点，所以ABC与PCA不一定全等，故A错误；选项B，ABC的周长是定值，而PCA的周长随着点P位置的变化而变化，所以B错误；选项C，由于ABC与PCA都可以看作是以AC为底边的三角形，且直线m平行于AC，可由平行线间的距离处处相等知道ABC与PCA属于同底等高的三角形，故二者面积相等，所以选项C正确；选项D，由于P是动点，点A，B，C，是定点，所以BP不总是等于AC，而平行四边形的对边应该相等，所以选项D错误．故选：C．【点睛】5本题是考查全等三角形和平行四边形的判定，以及同底等高三角形的面积相等的，属于中等难度的题目．6．（2021·内蒙古包头市·九年级）已知下列命题：∠若a b >，则ac bc >；∠若a a =，则0a >；∠内错角相等；∠周长相等的所有等腰直角三角形全等，其中真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据不等式的性质，绝对值的意义，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质判断即可．【详解】解：∠若a b >，0c >，则ac bc >；故∠错误；∠若a a =，则0a ≥；故∠错误；∠两直线平行，内错角相等；故∠错误；∠周长相等的所有等腰直角三角形全等，故∠正确；故选：A【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．（2021·山东）下列命题中，是真命题的是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等C ．两条直线被三条直线所截，内错角相等D ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形【答案】D【分析】根据平行四边形的判定、全等三角形的判定方法、平行线的性质、菱形的判定分别判断即可．【详解】解：A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故为假命题； B 、两边及其中一边的对角分别相等满足SSA ，则两个三角形不一定全等，故为假命题； C 、两条平行线被三条直线所截，内错角相等，故为假命题；D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为真命题；故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握三角形全等的判定方法，垂径定理，平行四边形的判定，7平行线的性质是解题的关键．8．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF △，CDG ，DAH 全等，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）A ．2B ．169C ．32 D【答案】C【详解】解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∠四边形EFGH 为正方形，∠EG FH =，∠ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∠AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∠ABE △∠CDG ，∠CDG 为等腰三角形，∠CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∠四边形ABCD 为正方形，∠AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∠MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ，EM GN ，∠正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ，∠4MN =，设EM GN x ，则42EG FH x ，∠正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，即2114(42)22x x ，解得：121,4x x ==，∠4x =不符合题意，故舍去，∠1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=ABE S ， ∠ABE △，BCF △，CDG ，DAH 全等，∠2====ABE BCF CDG DAH S S S S ，∠正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等， ∠1(4=AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=ABE S ， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．9．（2021·广东汕头市·）下列命题正确是( )A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．有两条边对应相等的两个直角三角形全等C ．垂直于圆的半径的直线是切线D ．对角线相等的平行四边形是矩形【答案】D【分析】根据平行四边形的判定、三角形全等的判定定理、圆的切线的判定、矩形的判定逐项判断即可．【详解】A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，此项错误B 、有两条边对应相等的两个直角三角形不一定全等，此项错误C 、垂直于圆的半径，且与圆只有一个交点的直线是切线，此项错误D 、对角线相等的平行四边形是矩形，此项正确故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定定理、圆的切线的判定、矩形的判定，熟记各判定方法是解题关键．10．（2021·全国）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．两直线平行，同位角相等C ．全等三角形的对应角相等D ．正方形的四个角相等9【答案】B【分析】先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判断即可得．【详解】A 、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题B 、逆命题：同位角相等，两直线平行由平行线的判定可知，此逆命题是真命题C 、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题D 、逆命题：如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是正方形如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，则此逆命题是假命题故选：B ．【点睛】本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．二、填空题11．（2021·北京海淀·人大附中九年级模拟预测）如图，正方形ABCD 是由四个全等的直角三角形围成的，若5CF =，13AB =，则EF 的长为___．【答案】【分析】由全等三角形的性质可得AE ＝BG ＝CF ＝DH ＝5，AH ＝BE ＝CG ＝DF ＝12，∠DAB ＝90°，∠DAH ＝∠ABE ，可得EG ＝GF ＝FH ＝HF ＝7，∠ABE ＋∠BAE ＝90°，可证四边形EGFH 是正方形，即可求EF 的长．【详解】解：∠正方形ABCD 是由四个全等的三角形围成的，∠AE ＝BG ＝CF ＝DH ＝5，AH ＝BE ＝CG ＝DF ＝12，∠DAB ＝90°，∠DAH ＝∠ABE∠EG ＝GF ＝FH ＝HF ＝7，∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∠四边形EGFH 是菱形，且∠AEB ＝90°∠四边形EGFH 是正方形∠EF EG ＝故答案为：【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，证明四边形EGFH 是正方形是本题的关键．12．（2021·浙江湖州市·）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90,3,10A BD CF ∠=︒==，则OE 的长度是_________．【答案】2【分析】设正方形ADOF 的边长为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，解方程即可，进而全等三角形的性质得出OE 的长．【详解】解：设正方形ADOF 的边长为x ，由题意得：BE =BD =3，CE =CF =10，∠BC =BE +CE =BD +CF =13，在Rt ∠ABC 中，AC 2+AB 2=BC 2，即（10+x ）2+（x +3）2=132，整理得，x 2+13x 30-=0，解得：x =2，或x =-15（舍去），即正方形ADOF 的边长是2，11∠DO =FO =2， ∠∠BOD ∠∠BOE ， ∠2OE OD ==． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．13．（2021·黑龙江九年级）如图，∠ABC=∠DEF ，AB=DE ，要证明∠ABC∠∠DEF ，需要添加一个条件为_______（只添加一个条件即可）；【答案】∠A=∠D （或BC=EF 或∠ACB=∠F ）． 【分析】若添加条件∠A=∠D ，可利用ASA 定理证明∠ABC∠∠DEF ．若添加条件BC=EF ，则利用SAS 定理证明∠ABC∠∠DEF ．若添加条件∠ACB=∠F ，则利用AAS 定理证明∠ABC∠∠DEF ． 【详解】解：可添加条件∠A=∠D ， 理由：∠在∠ABC 和∠DEF 中，A D AB DE B DEF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∠∠ABC∠∠DEF （ASA ）； 可添加条件BC=EF ，理由：∠在∠ABC 和∠DEF 中，AB DE B DEF BC EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABC∠∠DEF （SAS ）； 可添加条件∠ACB=∠F ， 理由：∠在∠ABC 和∠DEF 中，B DEF AB DE ⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝∠∠ABC∠∠DEF （AAS ）；故答案为∠A=∠D （或BC=EF 或∠ACB=∠F ）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．14．（2021·江苏九年级）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为1S ，空白部分的面积为2S ，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若12S S ，则nm的值为______．【分析】如图（见解析），设AB CD a ==，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出12,S S 的值，再根据12S S 建立等式，然后根据212S S m 建立等式求出a 的值，最后代入求解即可． 【详解】如图，由题意得：AC m =，BD n =，AB CD =，ABC 是直角三角形，且,m n 均为正数 则大正方形的面积为22AC m 小正方形的面积为22BD n 设(0)AB CD a a ==> 则222114422RtABDS S n AB BD n an n2214422ACDS SCD AB a 12S S13又212S S m ，即222S m224a m解得2m a =或2ma （不符题意，舍去） 将2ma =代入2222an n a 得：222m mn n 两边同除以22m 得：222()1n n m m 令0n x m则2221x x 解得x =3102x （不符题意，舍去）即n m【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出12,S S 的值是解题关键．15．（2021·邹城市看庄中学九年级一模）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()1,1-，点B 的坐标为()3,1，点C 的坐标为()2,3-，如果要使以A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等（点D 不与点C 重合），那么点D 的坐标是______．【答案】()2,1--或()4,3或()41-, 【分析】根据题意画出图形，根据A 、B 、C 的坐标和全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】 解：如图所示：∠点A 的坐标为()1,1-，点B 的坐标为()3,1，点C 的坐标为()2,3-， ∠D 1的坐标是（-2，-1），D 2的坐标是（4，-1），D 3的坐标是（4，3）， 故答案为：()2,1--或()4,3或()41-,． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大． 三、解答题16．（2021·黑龙江九年级）已知：在∠ABC 和∠DBE 中，AB ＝DB ，BC ＝BE ，其中∠ABD ＝∠CBE ．（1）如图1，求证：AC ＝DE ；（2）如图2，AB ＝BC ，AC 分别交DE ，BD 于点F ，G ，BC 交DE 于点H ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．【答案】（1）见解析；（2）∠ABC∠∠DBE；∠ABG∠∠EBH；∠DBH∠∠CBG；∠DFG∠∠CFH 【分析】（1）根据SAS证明∠ABC与∠DBE全等，利用全等三角形的性质解答即可．（2）根据全等三角形的判定解答即可．【详解】证明：（1）∠∠ABD=∠CBE，∠∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，即∠ABC=∠DBE，在∠ABC与∠DBE中，AB DBABC DBE BC BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABC∠∠DBE（SAS），∠AC=DE；（2）由（1）得∠ABC∠∠DBE，∠∠A=∠D，∠C=∠E，AB=DB，BC=BE，∠AB=BE，∠AB=BC，∠∠A=∠C，∠∠A=∠E，在∠ABG与∠EBH中，A EAB BEABD EBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠ABG∠∠EBH（ASA），∠BG=BH，在∠DBH与∠CBG中，BG BHDBH CBG DB CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠DBH∠∠CBG（SAS），15∠∠D=∠C，∠DB=CB，BG=BH，∠DG=CF，在∠DFG与∠CFH中，DFG CFHD CDG CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠DFG∠∠CFH（AAS）．【点睛】此题考查了及全等三角形的判定与性质，灵活掌握全等三角形的判定定理正确推理论证是关键．17．（2021·福建厦门双十中学思明分校九年级二模）如图，点E为正方形ABCD边BC上一点，∠O是∠ABE的外接圆，与AD交于点F．（1）尺规作图，在CD上求作点G，使∠ABE～∠FDG；（保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下∠证明：直线FG与∠O相切∠若AB＝4，DG＝1，求半径OA的长．【答案】（1）作∠DFG=∠BAE，图形见详解（2）∠证明见详解，【分析】（1）利用尺规作图作∠DFG=∠BAE，即可得到∠ABE～∠FDG；（2）∠连结OF，由半径OA=OF，可得∠OAF=∠OF A，根据四边形ABCD为正方形，可得∠BAF=90°，可得∠BAE+∠OF A=90°，由作法可得∠BAE=∠DFG可得∠DFG+∠OF A=90°，可求∠OFG=90°即可．∠连结EF，由AE为直径，可得∠AFE＝90°，可证四边形ABEF为矩形，可得AF=BE，设BE为x，由∠ABE～∠FDG，可列方程44-1xx=，解得=2x，在Rt∠ABE中，由勾股定理AE==【详解】解：（1）在AE上以点A为圆心，以任意长为半径画圆，交AE于H，交AB于K，再以点F为圆心，以同样长为半径画弧，交FD于I，再以点I为圆心，以KH为半径画弧，交前弧于L，过点L作射线FL交CD与G，则∠DFG=∠BAE，又∠四边形ABCD为正方形，∠∠ABE=∠FDG=90°，∠∠ABE～∠FDG；（2）∠连结OF，∠OA=OF，∠∠OAF=∠OF A，根据四边形ABCD为正方形，∠∠BAF=90°，∠∠BAE+∠EAF=90°，∠∠BAE+∠OF A=90°，由作法可得∠BAE=∠DFG，∠∠DFG+∠OF A=90°，∠∠OFG=180°-∠OF A-∠DFG=180°-（∠OF A+∠DFG）=90°，根据切线定义可得FG为∠O的切线．17∠AE为直径，∠∠AFE＝90°又∠∠ABE=∠BAF=90°∠∠ABE=∠BAF=∠AFE=90°，∠四边形ABEF为矩形，∠AF=BE设BE为x∠FD=AD-AF=AD-BE=4-x,∠∠ABE～∠FDG，∠AB BEFD DG=即44-1xx=解得=2x经检验=2x是方程的解，在Rt∠ABE中，由勾股定理AE=∠OA=12AE【点睛】本题考查尺规作图作一个角等于已知角构造相似三角形，圆的切线判定，掌握尺规作图作一个角等于已知角构造相似三角形方法，圆的切线判定由切点连半径证垂直是解题关键．18．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）如图，已知∠ABC是等腰三角形，顶角∠A＝108°．在BC边上求作一点D，使AD＝CD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）【答案】见解析19根据垂直平分线的作图步骤，首先以点A 为圆心大于线段AC 一半的长度画弧，再以点C 为圆心，以相同长度为半径画弧，两弧相交于两点，连接两点即可得出答案． 【详解】解：如图所示：点D 即为所求．【点睛】本题考查的是垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的作图方法以及步骤是解决本题的关键． 19．（2021·福建九年级）如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AD ∠BC ，垂足为D ． 求作：∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点，并证明APQ 是等腰三角形． (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)【答案】见解析 【分析】以B 为圆心，任意长度为半径作弧，交,AB BD 于两点，分别以这两点为圆心，分别在∠ABC 的内部作弧交于一点，过B 与角的内部的这点作射线，交AD ，AC 于点P ，Q ，射线BQ 即为所求；先根据垂直的定义得出90CDA BAC ∠=∠=o ，故90C DAC ∠+∠=o 再根据余角的定义得出90BAP DAC ∠+∠=o ，根据角平分线的性质得出CBQ ABP ∠=∠，进而可得APQ AQP ∠=∠，即可证明． 【详解】如图所示，射线BQ 就是所求作的；证明：∠90BAC ∠=︒，AD ∠BC ， ∠90CDA BAC ∠=∠=o ∠90C DAC ∠+∠=o ，90∠+∠=oBAP DAC∠C BAP∠=∠，∠BQ平分∠ABC，∠CBQ ABP∠=∠，∠APQ ABP BAP∠=∠+∠，∠=∠+∠AQP C CBQ∠=∠，∠APQ AQP=，∠AP AQ∠APQ是等腰三角形．【点睛】本题考查了基本作图，作角平分线，三角形外角性质，等腰三角形的判定，熟练掌握基本以上知识是解题的关键．20．（2021·浙江九年级）如图，在4×4方格纸中，∠ABC的三个顶点都在格点上请按要求完成作图，仅用无刻度直尺．画出一个与∠ABC全等的且有公共边的格点三角形，并给出证明．【答案】见解析【分析】作点A关于BC的对称点D，连接CD，BD，即可．【详解】如图所示，21理由如下：∠点D 与点A 关于直线BC 对称， ∠AC =DC ，AB =DB ， 又∠BC =BC ， ∠ABC DBC △≌△． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握“SSS ”证明全等三角形，是解题的关键． 21．（2021·河北石家庄·九年级）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上任意一点（可与B ，D 重合），连接AM ，将线段AM 绕点A 逆时针旋转90︒得到线段AN ，连接MN ，DN ，设BM x =．（1）求证：ABM ADN ≅； （2）当x MN 的长；（3）嘉淇同学在完成（1）后有个想法：“ABM 与MND 也会存在全等的情况”，请判断嘉淇的想法是否正确，若正确，请直接写出ABM 与MND 全等时x 的值；若不正确，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MN =（3）正确；x = 【分析】（1）由旋转可知∠MAN =90°，然后得到BAM DAN ∠=∠，进而用SAS 证明ABM ADN ≅； （2）根据正方形的性质得到45ADB ∠=︒，由（1）中ABM ADN ≅可得到ABM ADN ∠=∠，然后得到∠MDN =90°，则∠MDN 为直角三角形，然后利用勾股定理计算MN 的长度即可； （3）由（2）可知∠MDN 为直角三角形，∠MDN =90°，所以要使得ABM 与MND 存在全等的情况，即AM ∠BD 时，此时结合（1）和（2）易证得ABM ∠NMD △，此时BM =12BD ． 【详解】（1）证明：∠90BAD MAN ∠=∠=︒， ∠BAM DAN ∠=∠， 在ABM 和AND △中， AB AD BAM DAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABM ADN ≅．（2）∠BD 是正方形ABCD 的对角线，且6AB =，∠BD =45ADB ∠=︒，∠MD BD BM =-== 由ABM AND ≅△△得：ND BM ==45ADN ABM ∠=∠=︒，∠454590MDN ADB ADN ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∠在Rt MDN 中，MN ==（3）正确； ∠ABM ADN ≅， ∠BM =ND ，由（2）可得∠MDN =90°， 当AM ∠BD 时，∠四边形ABCD 是正方形， ∠BM =AM =DM ， ∠BM =DM = ND =AM ，在ABM 和NMD △中BM ND AMB NDM AM MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABM ∠NMD △（SAS ） ∠BM =12BDx =故嘉淇的想法正确，此时x =23【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，结合勾股定理和正方形的性质，得到对应的边角数量关系是解题的关键．22．（2021·青岛市崂山区第三中学九年级）在四边形ABCD 中，,B C D E ∠=∠=∠是AB 边上一点，6,8.EB cm BC cm ==点P 从B 出发以2/cm 秒的速度沿线段BC CD 、运动，同时点Q从C 出发，沿线段CD 、射线DA 运动，当P 运动到D ，两点都停止运动．设运动时间为t （秒）：（1）当Q 与P 的速度相同，且1t =时，求证：EBP PCQ ∆≅∆（2）当Q 与P 的速度不同，且P Q 、分别在()BC CD CD EB >、上运动时（如图1），若EBP ∆与PCQ ∆全等，求此时Q 的速度和t 值；（3）当P 运动到CD 上，Q 运动到射线DA 上（如图2），若Q 的速度为2.5/cm 秒，是否存在恰当的边CD 的长，使在运动过程中某一时刻刚好BCP ∆与PDQ ∆全等，若存在，请求出此时t 的值和边CD 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）Q 的速度为3，t 的值为2；（3）CD 的长为321633或时，163t =两三角形全等 【分析】（1）根据SAS 即可证明∠EBP∠∠PCQ ．（2）正确寻找全等三角形的对应边，根据路程，速度，时间的关系即可解决问题． （3）分两种情形分别构建方程组即可解决问题． 【详解】（1）由题意：BP=CQ=1×2=2（cm ）， ∠BC=8cm ，BE=6cm ， ∠PC=8-2=6（cm ），EPB PCQ ∆∆在和中,EB PC =,B C ∠=∠,BP CQ =,EBP PCQ ∴∆∆≌（2）设Q 的速度为/xcm s ，则2,,82BP t CQ xt PC t ===-， 分两种情况：∠当EBP PCQ ∆∆≌时，,BE PC BP CQ ==，即8262t t xt -=⎧⎨=⎩，解得，12t x =⎧⎨=⎩（舍去）∠ 当EBP QCP ∆∆≌时，,BE CQ BP CP ==，即6282xt t t =⎧⎨=-⎩，解得，23t x =⎧⎨=⎩Q 的速度为3，t 的值为2.（3）设CD xcm =，则28,28, 2.5PC t PD x t DQ t x =-=-+=-，分两种情况：∠当BCP PDQ ∆∆≌时，,BC PD PC DQ ==， 即28828 2.5x t t t x -+=⎧⎨-=-⎩，解得，163323t x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∠BCP QDP ∆∆≌当时，,.BC DQ PC PD == 即 2.582828t x x t t -=⎧⎨-+=-⎩，解得163163t x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故：当CD的长为321633或时，163t 两三角形全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．23．（2021·河南九年级二模）（问题提出）如图∠，已知∠ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将∠BCE绕点C顺时针旋转60°至∠ACF连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图∠，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图∠的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．【答案】证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．【分析】（1）根据旋转的性质得出∠EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出∠EDB∠FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论．（2）先画出图形证明∠∠DEB∠∠EFA，方法类似于（1）；（3）画出图形根据图形直接写出结论即可．【详解】（1）证明：DE=CE=CF，∠BCE由旋转60°得∠ACF，∠∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∠∠CEF是等边三角形，∠EF=CE，∠DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，∠∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠∠DBE=120°，∠∠EAF=∠DBE，25又∠A，E，C，F四点共圆，∠∠AEF=∠ACF，又∠ED=DC，∠∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∠∠D=∠AEF，∠∠EDB∠FEA，∠BD=AF，AB=AE+BF，∠AB=BD+AF．类比探究（1）DE=CE=CF，∠BCE由旋转60°得∠ACF，∠∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∠∠CEF是等边三角形，∠EF=CE，∠DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∠∠FCG=∠FEA，又∠FCG=∠EAD∠D=∠EAD，∠∠D=∠FEA，由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，∠∠DBE=∠FAE=60°∠∠DEB∠∠EFA，∠BD=AE，EB=AF，∠BD=FA+AB．即AB=BD-AF．（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）如图∠，27，ED=EC=CF ，∠∠BCE 绕点C 顺时针旋转60°至∠ACF ， ∠∠ECF=60°，BE=AF ，EC=CF ，BC=AC ， ∠∠CEF 是等边三角形， ∠EF=EC ， 又∠ED=EC ， ∠ED=EF ，∠AB=AC ，BC=AC ， ∠∠ABC 是等边三角形， ∠∠ABC=60°， 又∠∠CBE=∠CAF ， ∠∠CAF=60°，∠∠EAF=180°-∠CAF -∠BAC =180°-60°-60° =60°∠∠DBE=∠EAF ； ∠ED=EC ， ∠∠ECD=∠EDC ，∠∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC ， 又∠∠EDC=∠EBC+∠BED ，∠∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC ， ∠∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC ， ∠∠BDE=∠AEF ， 在∠EDB 和∠FEA 中， DBE EAF BDE AEF ED EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠∠EDB∠∠FEA （AAS ）， ∠BD=AE ，EB=AF ，∠BE=AB+AE，∠AF=AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD．考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等。
专题3整式及运算-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】(第02期)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）专题3整式及运算姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．()257a a =B ．448x x x ⋅=C 3=± D【答案】B【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，算术平方根，以及实数的运算法则逐一判断．【详解】A 、(a 5)2=a 10，故A 错，B 、x 4⋅x 4=x 8，故B 正确，C 3=，故C 错，D -3-D 错，故选：B【点睛】本题考查了算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键．2．（2021·河南中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．22()a a -=-B ．2222a a -=C ．23a a a ⋅=D ．22(1)1a a -=- 【答案】C【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案．【详解】解：A 、22()a a -=，原计算错误，不符合题意；B 、2222a a a -=，原计算错误，不符合题意；C 、23a a a ⋅=，正确，符合题意；D 、22(1)21a a a -=-+，原计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了幂的运算性质和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2021·湖北鄂州市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a ⋅=B ．541a a -=C ．632a a a ÷=D ．()3326a a = 【答案】A【分析】直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方直接求解即可．【详解】A 、23a a a ⋅=，选项正确，符合题意；B 、54a a a -=，选项错误，不符合题意；C 、633a a a ÷=，选项错误，不符合题意；D 、()3328a a =，选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方，解题的关键是：掌握相关的运算法则．4．（2021·江苏无锡市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．352()a a =C ．824a a a ÷=D ．235a a a ⋅= 【答案】D【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，逐一判断选项，即可．【详解】解：A. 2a a +，不是同类项，不能合并，故该选选错误，B. 236()a a =，故该选项错误，C. 826a a a ÷=，故该选项错误，D. 235a a a ⋅=，故该选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，是解题的关键．5．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．335x x x +=B ．3321x x -=C ．347x x x ⋅=D ．()323626xy x y -=- 【答案】C【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．【详解】A.3332x x x +=，故该选项计算错误，不符合题意，B.3332x x x -=，故该选项计算错误，不符合题意，C.33744x x x x +⋅==，故该选项计算正确，符合题意，D.()323323362(2)8xy x y x y ⨯-=-=-，故该选项计算错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 6．（2021·湖南中考真题）已知0a ≠，下列运算正确的是（ ）A ．321a a -=B ．326a a a ⋅=C ．32a a a ÷=D ．()3326a a = 【答案】C【分析】根据合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可得．【详解】A 、32a a a -=，此项错误，不符题意；B 、2326a a a ⋅=，此项错误，不符题意；C 、32a a a ÷=，此项正确，符合题意；D 、()3328a a =，此项错误，不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 7．（2021·福建中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．22a a -=B ．()2211a a -=-C ．632a a a ÷=D ．326(2)4a a = 【答案】D【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．【详解】解：A ：()221a a a a -=-=，故 A 错误；B ：()22121a a a -=-+，故 B 错误；C ：63633a a a a -÷==，故C 错误；D ：()()2232332622?44a a a a ⨯===．故选：D【点睛】本题考查了整式的加减法法则、乘法公式、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟知上述各种不同的运算法则或公式，是解题的关键．8．（2021·四川宜宾市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．()32622a a =C ．623a a a ÷=D ．325a a a ⋅= 【答案】D【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可．【详解】解：选项A ：a 与2a 不是同类项，不能相加，故选项A 错误；选项B ：()32628a a =，故选项B 错误；选项C ：62624a a a a -÷==，故选项C 错误；选项D ：33522a a a a +⋅==，故选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查幂的运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解决本类题的关键．9．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．4=±B ．()2234636m n m n =C ．24833a a a ⋅=D ．33xy x y -= 【答案】A【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【详解】A 、4=±，正确，故该选项符合题意；B 、()2234639m n m n =,错误，故该选项不合题意；C 、24633a a a ⋅=，错误，故该选项不合题意；D 、3xy 与3x 不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．10．（2021·湖北中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a ⋅=B ．()325a a =C ．33(2)6a a =D ．1234a a a ÷=【答案】A【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可得．【详解】A 、23a a a ⋅=，此项正确，符合题意；B 、()326a a =，此项错误，不符题意；C 、33(2)8a a =，此项错误，不符题意；D 、1239a a a ÷=，此项错误，不符题意；故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．11．（2021·山东威海市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．236(3)9a a -=-B ．235()a a a -⋅=C ．222(2)4x y x y -=-D ．22445a a a += 【答案】B【分析】分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可．【详解】解：A . 236(3)27a a -=-，原选项计算错误，不符合题意；B . 235()a a a -⋅=原选项计算正确 ，符合题意；C. 222(2)44x y x xy y -=-+，原选项计算错误，不符合题意；D . 22245a a a +=，原选项计算错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答此题的关键．12．（2021·山东济宁市·中考真题）下列各式中，正确的是（ ）A ．223x x x +=B ．()x y x y --=--C ．()325x x =D ．532x x x ÷= 【答案】D根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A 、23x x x +=，此选项错误，不符合题意；B 、()+x y x y --=-，此选项错误，不符合题意；C 、()326x x =，此选项错误，不符合题意； D 、532x x x ÷=，此选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查合并同类项法则，同底数幂除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键． 13．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）下列运算中，计算正确的是（ ）A ．2352m m m +=B ．()32626a a -=- C ．()222a b a b -=- D =【答案】D【分析】根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项．【详解】解：A 、2m 与3m 不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意；B 、()32628a a -=-，错误，故不符合题意；C 、()2222a b a ab b -=-+，错误，故不符合题意；D =故选D ．【点睛】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟练掌握积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法是解题的关键．14．（2021·广东中考真题）已知93,274m n ==，则233m n +=（ ）A ．1B ．6C ．7D ．12【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可．【详解】解：⋅93,274m n ==，⋅232323333(3)(3)927=34=12m n m n m n m n +=⨯=⨯=⨯⨯，⋅故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键．15．（2021·内蒙古中考真题）若1x =，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．3- 【答案】C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算． 16．（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（ ）A ．23B ．511C ．59D ．12 【答案】D【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102= 故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．17．（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A ．2025B ．2023C ．2021D ．2019【答案】B【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，⋅第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，⋅第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题． 18．（2021·广西来宾市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．()325a a =D ．2232a a a -=【答案】A【分析】 分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、整式的加减法则进行计算，即可求解．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，原选项计算正确，符合题意；B. 624a a a ÷=，原选项计算错误，不合题意；C. ()326a a =，原选项计算错误，不合题意；D. 232a a -，不是同类项，无法相减，原选项计算错误，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、整式的加减等知识，熟知相关运算公式和法则是解题关键．19．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．224347a a a +=B 11a= C ．31812()42-+÷-= D ．21111a a a a --=-- 【答案】D【分析】 根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可．【详解】222347a a a +=，故A 错；当a ＞011a =，当a ＜011a=-，故B 错； 31812()262-+÷-=-，故C 错； 21111a a a a --=--，D 正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键． 20．（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21n n Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到： 11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，⋅944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B ．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题21．（2021·青海中考真题）已知单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项，则m n +=______．【答案】3【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m ，n 的值，再代入代数式计算即可．【详解】解：⋅单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项，⋅2m =4，n +2=-2m +7，解得：m =2，n =1，则m +n =2+1=3．故答案是：3．【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点．22．（2021·四川达州市·中考真题）已知a ，b 满足等式2690a a ++=，则20212020a b =___________． 【答案】-3【分析】先将原式变形，求出a 、b ，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．【详解】解：由2690a a ++=，变形得()230a +=， ⋅130,03a b +=-=， ⋅13,3a b =-=， ⋅()()()()20202020202020212020202120201113=33=33=3333a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：-3【点睛】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a 、b 的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．23．（2021·广东中考真题）若1136x x +=且01x <<，则221x x -=_____． 【答案】6536-【分析】 根据1136x x +=，利用完全平方公式可得2125()36x x -=，根据x 的取值范围可得1x x-的值，利用平方差公式即可得答案．【详解】 ⋅1136x x +=， ⋅2211125()()436x x x x x x -=+-⋅=， ⋅01x <<， ⋅1x x<， ⋅1x x-=56-， ⋅221x x -=11()()x x x x +-=135()66⨯-=6536-， 故答案为：6536- 【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．24．（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________． 【答案】12n n +【分析】 根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知： 第一项：1111122=+， 第二项：2112242=+，第三项：3113382=+， 第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +； 故答案为：12n n +． 【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．25．（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x 的值为3，则输出y 值为___________．【答案】2【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解．【详解】解：⋅x =3＜4⋅把x =3代入1(4)y x x =-≤， 解得：312y =-=，⋅y 值为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，读懂运算程序的要求是解题的关键．26．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n ．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．27．（2021·河北中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块．【答案】22a b + 4【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可．【详解】解：（1）⋅甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为,a b⋅取甲、乙纸片各1块，其面积和为22a b +；故答案为：22a b +．（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为224a b +，若再加上4ab （刚好是4个丙），则()222442a b ab a b ++=+，则刚好能组成边长为2+a b 的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想．28．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -． 【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点； 4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点； 5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点； ⋯ 20条直线相交最多有120191902⨯⨯=． 故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -． 29．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图①中有5个三角形，图①中有11个三角形，图①中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n -1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n -1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，⋅上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．30．（2021·江苏常州市·中考真题）计算：()2222a a -+=__________． 【答案】22a -【分析】先去括号，再合并同类项，即可求解．【详解】解：原式=2222a a --=22a -，故答案是：22a -．【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握去括号法则以及合并同类项法则，是解题的关键．31．（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．三、解答题32．（2021·湖南永州市·中考真题）先化简，再求值：()()212(2)x x x +++-，其中1x =．【答案】25x +，7．【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将1x =代入求值即可得．【详解】解：原式22214x x x =+++-， 25x =+，将1x =代入得：原式2157=⨯+=．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．33．（2021·吉林长春市·中考真题）先化简，再求值：(2)(2)(1)a a a a +-+-，其中4a =． 【答案】4,5a【分析】首先利用平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，然后将a 的值代入化简后的式子，即可解答本题．【详解】221a a a a224a a a =-+-4a =-当4a =时，原式44-=【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．34．（2021·贵州安顺市·中考真题）（1）有三个不等式()231,515,316x x x +--->，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集：（2）小红在计算()()211a a a +--时，解答过程如下： 2(1)(1)a a a +--22(1)a a a =+-- 第一步221a a a =+--第二步1a =-第三步小红的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．【答案】（1）x ＜-3；（2）第一步，正确过程见详解【分析】（1）先挑选两个不等式组成不等式组，然后分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可； （2）根据完全平方公式、去括号法则以及合并同类项法则，进行化简，即可．【详解】解：（1）挑选第一和第二个不等式，得231515x x +<-⎧⎨->⎩①②，由⋅得：x ＜-2，由⋅得：x ＜-3，⋅不等式组的解为：x ＜-3；（2）小红的解答从第一步开始出错，正确的解答过程如下：2(1)(1)a a a +--22(21)a a a a =+--+2221a a a a =+-+-31a =-．故答案是：第一步【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组以及整式的混合运算，掌握解不等式组的基本步骤以及完全平方公式，是解题的关键．35．（2021·吉林中考真题）先化简，再求值：()()()221x x x x +---，其中12x =． 【答案】4x -，132- 【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()221x x x x +--- 224x x x =--+4x =-， 当12x =时，原式114322=-=-． 【点睛】本题考查了平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，运用平方差公式是解题的关键．36．（2021·湖北鄂州市·中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由5510+==；112333+==；0.40.40.8+==；1525+>=；0.2 3.2 1.6+>=；111282+>猜想：如果0a >，0b >，那么存在a b +≥a b =时等号成立）．猜想证明：①20≥①①0=，即a b =时，0a b -=，①a b +=①当0≠，即a b 时，0a b ->，①a b +>综合上述可得：若0a >，0b >，则a b +≥a b =时等号成立）．猜想运用：（1）对于函数()10y x x x =+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 变式探究：（2）对于函数()133y x x x =+>-，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S （米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S 最大？最大面积是多少？【答案】（1）1x =，函数y 的最小值为2；（2）4x =，函数y 的最小值为5；（3）每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米 【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可； 变式探究：将原式转换为1333y x x =+-+-，再根据材料中方法计算即可； 拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．【详解】猜想运用：⋅0x >， ⋅10x>，⋅12y x x =+≥=， ⋅当1x x=时，min 2y =， 此时21x =，只取1x =，即1x =时，函数y 的最小值为2．变式探究：⋅3x >，⋅30x ->，103x ，⋅133353y x x =+-+≥=-， ⋅当133x x =--时，min 5y =， 此时()231x -=，⋅14x =，22x =（舍去），即4x =时，函数y 的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意得：91263x y +=，即3421x y +=，⋅30x >，40y >，⋅34x y +≥即21≥，整理得：14716xy ≤， 即14716S ≤， ⋅当34x y =时max 14716S =， 此时72x =，218y =， 即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米． 【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．。
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2018年内蒙古包头市中考数学真题
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项1．（3分）计算﹣﹣|﹣3|de结果是（）
A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
2．（3分）如图，是由几个大小相同de小立方块所搭几何体de俯视图，其中小正方形中de 数字表示在该位置de小立方块de个数，则这个几何体de主视图是（）
A．B．C．D．
3．（3分）函数y=中，自变量x de取值范围是（）
A．x≠1B．x＞0 C．x≥1D．x＞1
4．（3分）下列事件中，属于不可能事件de是（）
A．某个数de绝对值大于0
B．某个数de相反数等于它本身
C．任意一个五边形de外角和等于540°
D．长分别为3，4，6de三条线段能围成一个三角形
5．（3分）如果2x a+1y与x2y b﹣1是同类项，那么de值是（）
A．B．C．1 D．3
6．（3分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6de众数和方差分别是（）
A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，2
7．（3分）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分de面积是（）
A．2﹣B．2﹣C．4﹣D．4﹣
8．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE de顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC de度数为（）
A．17.5°B．12.5° C．12°D．10°
9．（3分）已知关于x de一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程de根都是整数，则符合条件de所有正整数m de和为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（3分）已知下列命题：
①若a3＞b3，则a2＞b2；
②若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣2x﹣1de图象上，且满足x1＜x2＜1，则y1＞y2＞﹣2；
③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；
④周长相等de所有等腰直角三角形全等．
其中真命题de个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A 和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k de值为（）
A．B．C．D．2
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC de中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF de长为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．
13．（3分）若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a de值为．
14．（3分）不等式组de非负整数解有个．
15．（3分）从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2de概率是．
16．（3分）化简；÷（﹣1）=．
17．（3分）如图，AB是⊙O de直径，点C在⊙O上，过点C de切线与BA de延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC=度．
18．（3分）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF de值为．
19．（3分）以矩形ABCD两条对角线de交点O为坐标原点，以平行于两边de方向为坐标轴，建立如图所示de平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE de值为．
20．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上de一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；
③DE2=2CF•CA；
④若AB=3，AD=2BD，则AF=．
其中正确de结论是．（填写所有正确结论de序号）
三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请写出必要de文字说明、计算过程或推理过程
21．（8分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人de综合成绩（满分为100分）．
他们de各项成绩如下表所示：
修造人笔试成绩/分面试成绩/分甲90 88
乙84 92
丙x 90
丁88 86
（1）直接写出这四名候选人面试成绩de中位数；
（2）现得知候选人丙de综合成绩为87.6分，求表中x de值；
（3）求出其余三名候选人de综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘de前两名de人选．。