第四章 常微分方程

欧拉方程 x2
d2 y dx 2
+ 4x dy dx
+ 2y
=0
(x
> 0) 的通解为
例
2：微分方程
x2
d2 y dx 2
−
x
dy dx
+
y
=
0
满足初始条件
y(1) = 2 ， y′(1) = 3 的特解。
例 3：求 x2 y′′ − 2xy′ + 2 y = x 的通解，并求满足初始条件 y(−1) = 0 ， y′(−1) = 0 的特解。
7
第 5 讲 利用线性方程性质求解
解的性质和结构定理： 设 y′′ + p(x) y′ + q(x) y = f (x)
（Ⅰ）
y′′ + p(x) y′ + q(x) y = 0
（Ⅱ）
（1）若 y1(x) 、 y2 (x) 是（Ⅱ）的解，则 C1 y1(x) + C2 y2 (x) 仍是（Ⅱ）的解.
第四章 常微分方程
第 1 讲 基本题（一阶方程通过代换变为基本类型）
（一） 概念 微分方程及其阶、解、通解特解、初始条件。
注：① n 阶微分方程的通解，含 n 个任意常数
②求 n 阶微分方程的特解，含 n 个初始条件： y(x0 ) = y0 ， y′(x0 ) = y1 ，…， y (n−1) (x0 ) = yn−1
（初始条件往往自己从题目中寻找） （二） 求解微分方程（重点）（关键：判断类型，掌握求解方法）
一阶微分方程类型：
1. 可分离变量方程： dy = g(x) f (y)
dx
解法：1 分离 dy = g(x)dx f (y)
2
积分 ∫
dy f (y)
=
∫ g(x)dx + C
注意：满足 f ( y) = 0 的常值函数 y ≡ y0 也是方程的解
3x 0
f
⎛ ⎜⎝
t 3
⎞⎟⎠dt
+
e2 x
，求
f
(x)
∫ ∫ ∫ 例 2：设 f (x) 在 (0, +∞) 内可导， f (1) = 3 ，且
xy
y
x
f (t)dt = x f (t)dt + y f (t)dt ，求 f (x)
1
1
1
∫ 例 3：设 f (x) 连续，满足 x f (x − t)dt = 1 f (x) +1，求 f (x)
原方程化为一阶方程 P dP = f ( y, P) 或 dP2 = 2 f ( y, P)
dy
dy
例 10：解方程 y′′′ = 1+ x
例 11：解方程 (1− x2 ) y′′ = xy′ 满足初始条件 y(0) = 1 ， y′(0) = 2 下的特解.
例 12： yy′′ − y′2 = 0 满足初始条件 y(0) = 1 ， y′(0) = 1 下的特解. 2
4
第 3 讲 二阶线性常系数方程求解
非齐次线性常系数方程 y′′ + py′ + qy = f (x) ①
先解对应的齐次线性微分方程 y′′ + py′ + qy = 0 ② 特征方程: ρ 2 + pρ + q = 0 ③
(1)两个实根 ρ1 ≠ ρ2 ， 则②的通解 y0 (x) = C1eρ1x + C2eρ2x
0
2
∫ 例 4：设 f (x) 连续，满足 1 f (xt)dt = 1 f (x) +1，求 f (x)
0
2
∫∫ ( ) 例 5：若
⎛ f (t) = x2 + y2 ≤t2 x ⎜⎜⎜⎝1+
f
x2 + y2 x2 + y2
⎞
⎟ ⎟⎟⎠
dxdy
， ( x ≥ 0 , y ≥ 0 , t > 0 ) ，求 f (t)
（4） y′′ − 5 y′ + 6 y = 3 + xe2x
（5） y′′ − 5 y′ + 6 y = x2e5x
（6） y′′ + y = sin 2x
（7） y′′ + y = e−x
（8） y′′ + y = x sin x
（9） y′′ + y = xex cos 2x
（10） y′′ + y = x2e3x sin 2x
八、利用代换 y = u 将方程 y′′cos x − 2 y′sin x + 3y cos x = ex 化简，并求通解。 cos x
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第 4 讲 欧拉方程 （数学一）
( ) 欧拉方程： xn y(n) + a1xn−1 y (n−1) + " + an−1xy′ + an y = f (x) 其中 ai i = 1 , 2 ," , n 为常数.
2
（三）（仅数一、二）可降阶的高阶微分方程（关键：转化成一阶方程）
y(n) = f (x) 解法：将方程两边依次积分 n 次，即可求得通解。 y′′ = f (x, y′) 解法：令 u = y′ ，原方程化为一阶方程 u′ = f (x,u)
y′′ = f ( y, y′) 解法：令 P = y′ ，并将 P 看作是是 y 的函数，则 y′′ = dP = dP dy = P dP dx dy dx dy
（四）经简单代换变基本类型
例 13： e y y′ − 1 e y = x2 x
dy = (4x + y +1)2
dx
y′ = cos(x + y)
yy′′ − y′2 = y 2 ln y
3
第 2 讲 变变花样的题型
基本知识点：变限积分，定积分换元
∫ 例 1：已知连续函数 f (x) 满足条件
f (x) =
（2）两个实根 ρ1 = ρ2 ， 则②的通解 y0 (x) = (C1 + C2 x) eρ1x （3）两共轭复根α ± β i ( β ≠ 0) ，则②的通解 y0 (x) = eαx (C1cosβx + C2 sin βx)
f (x) 的类型
特解 y∗ 的形式
f (x) = pn (x)eαx
（1）α 不是③的根， y∗ = Rn (x)eαx
（2）α 是③的单根， y∗ = xRn (x)eαx
（3）α 是③的重根， y∗ = x2 Rn (x)eαx
[ ] [ ] f (x) = e λx Pl (x) cos ωx + Pn (x)sin ωx y∗ = xk e λx Rm(1) cos ωx + Rm(2) sin ωx
该点的切线重合，求函数 y = y(x) .
五(10 年数二)、3 阶常系数线性齐次微分方程 y′′′ − 2 y′′ + y′ − 2 y = 0 的通解为 y =
六、设函数 y = y(x) 在 (−∞,+∞) 内具有二阶导数，且 y′ ≠ 0 , x = x( y) 是 y = y(x) 的反函数．
（2）若 y1(x) 、 y2 (x) 是（Ⅰ）的解，则 y1(x) − y2 (x) 是（Ⅱ）的解.
（3）若 y1(x) 是（Ⅰ）的解， y2 (x) 是（Ⅱ）的解,则 y1(x) + y2 (x) 是（Ⅰ）的解.
（4）若 y1(x) 、 y2 (x) 是（Ⅱ）的两个线性无关解(
即
y1 ( x) y2 (x)
例 1：（08 年数一）微分方程 xy′ + y = 0 满足条件 y(1) = 1 的解是 y = __________
例 2：求微分方程 dy = 2 y(1− y) 满足 y = 2 的特解.
dx
x=0
2.
齐次方程
形式（1）： dy dx
=
ϕ
⎛ ⎜⎝
y⎞ x ⎟⎠
解法：令 u = y x
将
dy dx
解法:令 x = et ,将原方程(变系数线性方程)变成关于 y 对 t 的线性常系数方程的求解
y′ = dy = dy dt = dy 1 ⇒ xy′ = dy
dx dt dx dt x
dt
y′′
=
d2
y
=
d⎜⎛ ⎝
dy dx
⎟⎞ ⎠
=
d⎜⎛ ⎝
1 x
dy dt
⎟⎞ ⎠
=
d⎜⎛ ⎝
1 x
dy dt
的特解,则 y1(x) + y2 (x) 是 y′′ + p(x) y′ + q(x) y = f1(x) + f2 (x) 的特解.
一、写出下列非齐次方程的特解形式
（1） y′′ − 5y′ + 6 y = 3
（2） y′′ − 5y′ + 6 y = x
（3） y′′ − 5y′ + 6 y = xe2x
=
ϕ
⎛ ⎜⎝
y x
⎞ ⎟⎠
化成可分离变量的方程
x
du dx
=
ϕ (u )
−u
。
形式（2）：
dy dx
=ϕ
⎛ ⎜ ⎝
a1x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2
⎞ ⎟ ⎠
例 3：求 x2 y′ + xy = y2 的通解。
例 4：求 y′ = y − x + 1 的通解。 y+ x+5
例 2（ 0812 ）在下列微分方程中，以 y = c1ex + c2 cos 2x + c3 sin 2x（ c1, c2 , c3 为任意常数）为通解的是（ ）. (A) y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0 (B) y′′′ + y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 (C) y′′′ − y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 (D) y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0