2020届高考数学精选预测41 理 大纲人教版
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2020 年高考理科数学《考试大纲》新解《考试大纲》是高考命题的规范性文件和标准，是考试评价、复习备考的依据. 国家教育部有关部门每年都邀请专家，依据高校人才选拔需求、国家课程标准调整以及考生实际水平变化，对《考试大纲》进行修订，以适应高校对新生基本能力和综合素质的要求.日前教育部考试中心函件《关于 2020 年普通高考考试大纲修订内容的通知》（教试中心函﹝2020﹞ 179 号），公布了 2020 年高考各学科考试大纲的修订内容，其中数学学科的修订内容如下：1．在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，增加了数学文化的要求，同时对能力要求进行了加细说明，使能力要求更加明确具体. 具体内容详见（二）考纲综合解读中的第二点内容. 2．在现行考试大纲三个选考模块中删去“几何证明选讲”，其余 2 个选考模块的内容和范围都不变，考生从“坐标系与参数方程”“不等式选讲” 2 个模块中任选 1 个作答 . 具体内容详见（二）考纲综合解读中的第三点内容 .“一不变”：核心考点不变2020 年的高考中，核心考点仍然是函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、选考内容等.在选择题或填空题中，集合、复数、程序框图、三视图、三角函数的图象和性质、线性规划、平面向量、数列的概念与性质、圆锥曲线的简单几何性质、解三角形、导数与不等式的结合、函数的性质仍然是高频考点 . 在解答题中，除数列和三角函数轮流命题外，立体几何、概率与统计、解析几何、函数导数与不等式、选考内容仍然是必考内容 .备考锦囊1．函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系. 首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；2．选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；3．求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或不等式，用函数的定义域或值域或解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；4．恒成立问题或它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复、不遗漏；5．圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系求解，使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方程及根的判别式；6．求椭圆或双曲线的离心率，建立关于a、 b、 c 之间的关系等式即可；7．求三角函数的周期、单调区间或最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；8．数列的题目与和有关，优选作差的方法；解答的时候注意使用通项公式及前n 项和公式，体会方程的思想；9．导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；10．概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；“二变”：数学文化解读名师解读教育部考试中心函件《关于2020 年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用. 比如，在数学中增加数学文化的内容”因此我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.样题展示一、数学文化与算法【例 1】在《算法统宗》中有一“以碗知僧”的问题，具体如下“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，恰合用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共进一碗羹.请问先生能算者，都来寺内几多僧.”记该寺内的僧侣人数为S0，运行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为A． 414B． 504C． 462D． 540【答案】 C【例 2】《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m的值为，则输入的a的值为214593189 A．8B．16C．32D．64【答案】 C【解析】起始：m2a 3 ， i 1 ，第一次循环：m2(2a3)34a 9， i 2 ；第二次循环：m2(4 a9)38a 21， i3；第三次循环：m2(8a21)3 16 a45， i 4 ；接着可得93m2(16a45)332a 93，此时跳出循环，输出m的值为32a93 ．令 32a93，解得a32 ，故选 C．二、数学文化与数列【例 3】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为5345A．3 钱B．2 钱C．3钱D．4钱【答案】C【例 4】《孙子算经》是中国古代重要的数学专著，其中记载了一道有趣的数学问题：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．”则这个数学问题中动物有 ______________只．（数字作答）【答案】 590490【解析】由题意，知“堤、木、枝、巢、禽、雏、毛”的数量构成一个首项a 19，公比q 9的等比数列a n，其通项公式为 a n 9 9n 19na 5 a 6 95 96 951 9 590490（只）．，则动物的数量为三、数学文化与概率统计【例 5】欧阳修《卖油翁》中写到： （翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见 “行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为 1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，现随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为49A ． 9B ． 44C ． 9D ． 4【答案】 Ar2(1.5)29 (cm 2 )0.520.251(cm 2 )【解析】圆的面积为216 ，正方形的面积为4，所以油（油滴14P49 9的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为16，故选 A.【例 6】南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率 π3.1415927之间，的值在 3.1415926与 成为世界上第一个把圆周率的值精确到7 位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值 的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平 . 我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内切圆随机投掷豆子，在正方形中的 80 颗豆子中，落在圆内的有64 颗，则估算圆周率的值为A ． 3.1B ．3.14C ． 3.15 D．3.2【答案】 D四、数学文化与立体几何【例 7】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语。
2020届高考数学命题猜想及专题练习--函数与方程﹑函数模型及其应用1(含解析)
2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用1【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即. 又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x2－3x(x ≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－1x，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x ≤a ，x2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x3（x ≤a ），h （x ）＝x2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a3>a2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x ≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200. （2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x ≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。
2020年普通高等学校招生全国统一数学考试大纲
2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲湖北卷数学学科考试说明Ⅰ．考试性质根据教育部考试中心《2020普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》，结合我省高中基础教育的实际情况，制定了《2020年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷考试说明》的数学科部分.Ⅰ、考试性质普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业和具有同等学力的考生参加的选拔性考试。
高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。
高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度.Ⅱ、命题指导思想1.普通高等学校招生全国统一考试是为高校招生而进行的选拔性考试.命题遵循“有助于高校选拔人才，有助于中学实施素质教育，有助于推动高中数学新课程改革”的原则，确保安全、公平、公正、科学、规范.2．命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现课程目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）的要求.3．命题遵循《普通高中数学课程标准（实验）》和《2020普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》，试题在源于教材的同时又具有一定的创新性、探究性和开放性，既考查考生的共同基础，又考查考生的学习潜能，以满足选拔不同层次考生的需求.Ⅲ、考核目标与要求一、知识要求对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次. 分别用A，B，C表示.（1）了解（A）要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能解决相关的简单问题.（2）理解（B）要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，并加以解决.（3）掌握（C）要求系统地掌握知识的内在联系，能够利用所学知识对具有一定综合性的问题进行分析、研究、讨论，并加以解决.二、能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.（1）空间想象能力能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.（2）抽象概括能力能在对具体的实例抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从足够的信息材料中，概括出一些合理的结论.（3）推理论证能力会根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题的正确性.（4）运算求解能力会根据法则、公式进行正确的运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找和设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似运算.（5）数据处理能力会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断. 数据处理能力主要依据统计方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.（6）应用意识能够运用所学的数学知识、思想和方法，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.（7）创新意识能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.三、考查要求（1）对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合.（2）数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括. 对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行，考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧.（3）对数学能力的考查，以抽象概括能力和推理论证能力为核心，全面考查各种能力.强调探究性、综合性、应用性. 突出数学试题的能力立意，坚持素质教育导向.（4）注重试题的基础性、综合性和层次性. 合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查.Ⅳ.考试范围与要求层次根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据教育部2020年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》，结合我省高中基础教育的实际，确定文史类高考数学科的考试范围为必修课程数学1、数学2、数学3、数学4、数学5的内容、选修课程系列1（选修1-1、选修1-2）的内容，选修课程系列4中的《不等式选讲》的部分内容（详见下表）；确定理工类高考数学科必做题的考试范围为必修课程数学1、数学2、数学3、数学4、数学5的内容、选修课程系列2（选修2-1、选修2-2、选修2-3）的内容，选修课程系列4中的《不等式选讲》的部分内容；选做题的考试范围为选修课程系列4中的《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》的部分内容.具体内容及层次要求详见下表.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.Ⅴ、考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式.考试时间为120分钟，全卷满分为150分.湖北省2020年普通高等学校招生全国统一考试仍不允许使用计算器.二、试题类型与试卷结构全卷分选择题、填空题、解答题三种题型.选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程.文、理科全卷题型、题量和赋分分别如下： 文科卷：1. 全卷22道试题均为必做题；2. 试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；填空题7道，每道5分，共35分；解答题5道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共65分.理科卷：1. 全卷22道试题，分为必做题和选做题.其中，20道试题为必做题，在填空题中设置2道选做题（需要考生在这2道选做题中选择一道作答，若两道都选，按前一道作答结果计分），即考生共需作答21道试题；2. 试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；填空题6道，每道5分，考生需作答5道，共25分；解答题6道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共75分；试题按难度（难度=实测平均分/满分）分为容易题、中等题和难题. 难度在0.70以上的题为容易题，难度在0.40～0.70之间（包括0.40和0.70）的题为中等题，难度在0.40以下的题为难题.控制三种难度的试题的合适分值比例，试卷总体难度适中.Ⅵ.题型示例为让考生对高考试题获得一定的认识，我们从近几年高考数学（湖北卷）和其他省市的高考试题中选择了部分试题编制成题型示例.题型示例中的试题与2020年高考试卷的结构、形式、测试内容、题目排序、题量、难度等均没有任何对应关系.理科题型示例一、必考内容题型示例（一）选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【试题1】（2020年湖北卷理科卷第2题）已知2{|log ,1}U y y x x ==>，1{|,2}P y y x x==>，则U P =ðA ．1[,)2+∞B ．1(0,)2C ．(0,)+∞D ．1(,0][,)2-∞+∞U【答案】A【说明】本题主要考查集合、对数函数和幂函数的基本概念和性质．本题属于容易题.【试题2】（2020年湖北卷理科第1题）设(1,2)=-a , (3,4)=-b , (3,2)=c , 则(2)+⋅=a b cA. (15,12)-B. 0C. 3-D. 11- 【答案】C【说明】本题考查向量的加法、实数与向量的积和平面向量的数量积等向量的有关概念.本题属于容易题.【试题3】（2020年安徽卷理科第7题）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是 A. 所有不能被2整除的整数都是偶数 B. 所有能被2整除的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数 D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数【答案】D【说明】本题考查正确地对含有一个量词的命题进行否定. 本题属于容易题.【试题4】（2020年湖北卷理科第8题）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇. 现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用. 每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台. 若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 A ．2000元 B ．2200元 C ．2400元 D ．2800元 【答案】B【说明】本题考查简单的线性规划. 本题属于容易题.【试题5】（2020年湖北卷理科第7题）如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统. 当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作. 已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 【答案】B【说明】本题主要考查相互独立事件和互斥事件的概率计算. 本题属于容易题.【试题6】（2020年湖北卷理科第5题）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<=A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 【答案】C【说明】本题主要考查正态曲线的性质及正态分布相关概率的计算. 本题属于容易题.【试题7】（2020年湖北卷理科第8题）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A. 54B. 90C. 126D. 152 【答案】C【说明】本题考查有限制条件下的排列组合问题. 本题属于中等题.【试题8】（2020年全国卷理科第11题）设函数π()sin()cos()(0,)2f x x x ωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则A.()f x 在π(0,)2单调递减B.()f x 在π3π(,)44单调递减C.()f x 在π(0,)2单调递增D.()f x 在π3π(,)44单调递增【答案】A【说明】本题考查三角函数的性质，三角恒等变换以及图象.本题属于中等题.【试题9】（2020年江西卷理科第6题） 变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5），变量U 与V 相对应的一组数据为(10，5)，(11. 3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（可参考两个变量的相关系数的计算公式：()()nii xx y y r --=∑A. 2r <1r <0B. 0<2r <1rC.2r <0<1rD.2r =1r 【答案】C【说明】本题考查两个变量的线性相关. 本题属于中等题.【试题10】（2020年湖北卷理科第4题）将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．0n =B ．1n =C ．2n =D ．3n ≥ 【答案】C【说明】本题考查直线与抛物线的位置关系. 本题属于中等题.【试题11】（2020年山东卷理科第8题）已知双曲线221(0,0)22x y a b a b -=>>的两条渐近线均和圆C ：22650x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A. 22154x y -=B. 22145x y -=C. 22136x y -=D. 22163x y -=【答案】A【说明】本题考查双曲线、圆的方程和圆的切线的性质. 本题属于中等题.【试题12】（2020年湖北卷理科第6题）若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n ∈*N ），则称{}n a 为“等方比数列”. 甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列.则A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【说明】本题以新定义“等方比数列”为载体，考查充分条件与必要条件的判断. 本题属于中等题.【试题13】（2020年湖北卷理科第4题） 函数ln e 1x y x =--的图象是yA. B. C. D.【答案】D【说明】本题考查绝对值的概念、对数运算、函数的图象与性质，同时考查分类讨论和数形结合的思想. 本题属于中等题.【试题14】（2020年湖北卷理科第10题）0810. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c >；④1212c c a a <.其中正确的式子序号是A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④ 【答案】B【说明】本题考查椭圆的定义、几何图形及简单的几何性质. 本题属于中等题.【试题15】（2020年湖北卷理科第9题）设球的半径为时间t 的函数()R t . 若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径A ．成正比，比例系数为cB ．成正比，比例系数为2cC ．成反比，比例系数为cD ．成反比，比例系数为2c 【答案】D【说明】本题考查导数概念、求导公式、球的体积和表面积公式. 本题属于难题.【试题16】（2020年全国卷理科第12题）函数11y x =-的图像与函数2sin π(24)y x x =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于A ．2B ．4C ．6个D ．8个 【答案】D【说明】本题考查函数的图象与性质. 本题属于难题（二）填空题：把答案填在题中横线上. 【试题17】（2020年湖北卷理科第12题）复数i ,,z a b a b =+∈R ，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对(,)a b 可以是.（写出一个有序实数对即可）【答案】(2,1)（或满足2a b =的任一个非零实数对(,)a b ） 【说明】本题考查复数的概念和运算. 本题属于容易题.【试题18】（2020年天津卷理科第11题）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和.【答案】24，23【解析】本题主要考查茎叶图的应用. 本题属于容易题.【试题19】（2020年湖北卷理科第11题）18()3x x -的展开式中含15x 的项的系数为．（结果用数值表示） 【答案】17【说明】本题考查二项式定理. 本题属于容易题. 【试题20】（2020年浙江卷理科第12题）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是. 【答案】5【说明】本题考查算法的基本逻辑结构中的顺序结构、条件结构、循环结构. 本题属于中等题.【试题21】（2020年湖北卷理科第13题）已知函数22()2,()962f x x x a f bx x x =++=-+，其中x ∈R ，,a b 为常数，则方程()0f ax b +=的解集为.【答案】∅【说明】本题考查函数的概念、待定系数法以及二次方程的解集等内容.本题属于中等题.【试题22】（2020年陕西卷理科第13题）从如图所示的长方形区域内任取一个点M （x ，y ）,则点M 取自阴影部分的概率为.【答案】13【说明】本题与定积分结合，考查几何概型. 本题属于容易题.【试题23】（2020年湖北卷理科第14题）已知函数π()()cos sin 4f x f x x '=+，则π()4f 的值为.【答案】1【说明】本题主要考查函数导数的概念、求法和特殊的三角函数的值和导数. 本题属于中等题.【试题24】（2020年天津卷文科第10题） 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m .【答案】π6+【说明】本题考查简单组合体的三视图及其体积. 本题属于中等题.y23y x = 3 O 1 x【试题25】（2020年湖北卷理科第15题）设0,0a b >>，称2aba b+为,a b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且,AC a =CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD , AD , BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是,a b 的算术平均数，线段的长度是,a b 的几何平均数，线段的长度是,a b 的调和平均数． 【答案】CD ；DE 【说明】本题主要考查算术平均、几何平均的概念与即时定义的理解运用. 本题属于中等题.【试题26】（2020年湖北卷理科第15题） 观察下列等式：211122ni i n n ==+∑， 2321111326ni i n n n ==++∑， 34321111424ni i n n n ==++∑， 45431111152330ni in n n n ==++-∑， 5654211151621212ni i n n n n ==++-∑， 67653111111722642ni in n n n n ==++-+∑， ………………………………………………112112101nkk k k k k k k k i ia n a n a n a n a n a +--+--==++++++∑L ，可以推测，当*2()k k ≥∈N 时，111k a k +=+，12k a =，1k a -=，2k a -=． 【答案】12k；0 【说明】本题考查学生的创新思维，通过观察、综合进而合情推理得到答案. 本题属于难题.A E DB O（三）解答题 【试题27】（2020年全国卷理科第17题）等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269.a a a =（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）设31323log log log ,n n b a a a =+++L 求数列1{}nb 的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得22349a a =，所以219q =. 由条件可知0q >,故13q =. 由12231a a +=得11231a a q +=，所以113a =. 故数列{}n a 的通项式为13n n a =. （Ⅱ）31323(1)log log log (12)2n n n n b a a a n +=+++=-+++=-L L . 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++， 121111111122[(1)()()]22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++L L . 所以数列1{}n b 的前n 项和为21nn -+. 【说明】本题考查等比数列、等差数列的通项公式与前n 项和公式. 本题属于容易题.【试题28】（2020年湖北卷理科第19题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1(0)a a a =≠，*1(,,1)n n a rS n r r +=∈∈≠-N R . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在*k ∈N ，使得1k S +，k S ，2k S +成等差数列，试判断：对于任意的*m ∈N ，且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +是否成等差数列，并证明你的结论.【答案】（Ⅰ）由已知1n n a rS +=，可得21n n a rS ++=，两式相减可得2111()n n n n n a a r S S ra ++++-=-=，即21(1)n n a r a ++=+. 又21a ra ra ==，所以 当0r =时，数列{}n a 即为：a ，0，…，0，…；当1,0r ≠-时，由已知0a ≠，所以*0()n a n ≠∈N ，于是由21(1)n n a r a ++=+可得 *211()n n a r n a ++=+∈N ，由定义知2a ，3a ，…，n a ，…成等比数列，所以当2n ≥时，2(1)n n a r r a -=+.综上，可得数列{}n a 的通项公式为2,1,(1), 2.n n a n a r r a n -=⎧=⎨+≥⎩ （Ⅱ）对于任意的*m ∈N ，且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +成等差数列. 证明如下：当0r =时，由（Ⅰ）知，,1,0, 2.n a n a n =⎧=⎨≥⎩，n S a =，即数列{}n S 是等差数列，且对于任意的*m ∈N ，且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +成等差数列；当1,0r ≠-时，∵212k k k k S S a a +++=++，11k k k S S a ++=+．若存在*k ∈N ，使得1k S +，k S ，2k S +成等差数列，则122k k k S S S +++=， ∴12222k k k k S a a S ++++=，即212k k a a ++=-.由（Ⅰ）知，2a ，3a ，…，n a ，…的公比12r +=-，于是 对于任意的*m ∈N ，且2m ≥，12m m a a +=-，从而24m m a a +=， ∴122m m m a a a +++=，即1m a +，m a ，2m a +成等差数列.【说明】本题考查等差数列、等比数列的基础知识. 本题属于难题.【试题29】（2020年湖北卷理科第16题）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . 已知1a =，2b =，1cos 4C =． （Ⅰ）求△ABC 的周长； （Ⅱ）求cos()A C -的值． 【答案】（Ⅰ）∵22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯=， ∴2c =.∴△ABC 的周长为1225a b c ++=++=.（Ⅱ）∵1cos 4C =，∴sin C ==.∴sin 4sin 2a C A c ===. ∵a c <，∴A C <，故A 为锐角，∴7cos 8A ==.∴7111cos()cos cos sin sin 8416A C A C A C -=+=⨯+=.【说明】本题考查三角函数的基本知识，包括余弦定理、正弦定理、和角差角公式的综合应用．本题属于容易题.【试题30】（2020年湖北卷理科第16题）已知函数()f t =()cos (sin )sin (cos )g x x f x x f x =⋅+⋅，(,]12x 17π∈π.（Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++(0,0,[0,2π))A ωϕ>>∈的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.【答案】（Ⅰ）解法1：()cos sin g x x x =cos sin x x =1sin 1cos cos sin cos sin x x x x x x --=⋅+⋅ ∵(,]12x 17π∈π，∴cos cos x x =-，sin sin x x =-.∴1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x --=⋅+⋅--πsin cos 2)24x x x =+-=+-.（Ⅱ）解法1：由17ππ12x <≤，得5ππ5π443x <+≤， sin t 在5π3π(,]42上为减函数，在3π5π(,]23上为增函数，又5π5πsin sin 34<，所以当17π(π,]12x ∈时，恒有3ππ5πsin sin()sin244x ≤+<成立，即π1sin()42x -≤+<-，∴π2)234x ≤+-<-，故(g x )的值域为[2,3)-.解法2：∵π())24g x x =+-，17(12x ∈π, π]，∴())4g x x π'=+，x [π，5π4) 5π4 (5π4，1712π]'()f x -+()f x极小值所以得到当5π4x =时，min ()2g x =；又1711sin(ππ)sin(ππ)12442+<+=-，1ππ)23,4+-=-因此函数(g x )的值域为[2,3)-. 【说明】本题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力. 本题属于中等题.【试题31】（2020年湖北卷理科第18题） 如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π(0).2VDC θθ∠=<<（Ⅰ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围. 【答案】 解法1：（Ⅰ）∵AC BC a ==，∴ACB ∆是等腰三角形，又D 是AB 的中点，∴.CD AB ⊥又VC ⊥底面ABC ，∴.VC AB ⊥于是AB ⊥平面VCD ， 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面.VCD（Ⅱ）过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CH ⊥平面.VAB 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角.在CHD ∆Rt中，sin CH θ=； 设CBH ϕ∠=，在BHC ∆Rt 中，sin CH a ϕ=，∴sin .2θϕ=∵π0θ<<， ∴0sin 1θ<<，0sin 2ϕ<<又π02ϕ≤≤，∴π0.4ϕ<<即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π(0,)4.解法2：（Ⅰ）以CA 、CB 、CV 所在的直线分别为x 轴、y直角坐标系，则(0,0,0)C ，(,0,0)A a ，(0,,0)B a ，(,,0)22a aD ，tan )2V a θ，于是(,,tan )222a a VD θ=u u u r ，(,,0)22a aCD =u u u r ，(,,0)AB a a =-u u u r .从而2211(,,0)(,,0)002222a a AB CD a a a a ⋅=-⋅=-++=u u u r u u u r ，即.AB CD ⊥同理2211(,,0)(,,tan )002222a a AB VD a a a a θ⋅=-⋅=-++=u u u r u u u r ，即.AB VD ⊥又CD VD D =I ，∴AB ⊥平面VCD . 又AB ⊂平面VAB ， ∴平面VAB ⊥平面.VCD（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则由0,0,AB VD ⋅=⋅=u u u r u u u rn n 得0,tan 0.22ax ay a a x y θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 可取)θ=n ，又(0,,0)BC a =-u u u r ， 于是sin ||||||BC BC ϕθ⋅===u u u r u u u r n n ，∵π02θ<<，∴0sin 1θ<<，0sin 2ϕ<<又π02ϕ≤≤，∴π0.4ϕ<<即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π(0,)4.【说明】本题考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识. 考查应用向量知识解决数学问题的能力.本题属于容易题.【试题32】（2020年湖北卷理科第17题）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：() (010)35kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．【解题思路与方法】首先在()C x 的表达式中，令0x =，求出常数k ，得到每年的能源消耗费用函数()C x ．然后分别写出隔热层建造费用与20年的能源消耗费用的表达式，得到()f x ．再利用导数或均值不等式求出()f x 的最小值点与最小值．解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为()35kC x x =+，再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+．而建造费用为1()6C x x =．最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()206+6 (010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=≤≤++．（Ⅱ）由平均值不等式有：800800()62(35)1010703535f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当8002(35)35x x =++即5x =时，等式成立，此时函数()f x 取得最小值，最小值为800(5)6570155f =+⨯=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元．【说明】本题主要考查函数、导数及最值等基础知识．本题属于容易题.【试题33】（2020年湖北卷理科第20题）水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点. 根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为124(1440)e 50,010,()4(10)(341)50,1012.t t t t V t t t t ⎧⎪-+-+<≤=⎨⎪--+<≤⎩（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第i 月份(1,2,,12)i =L ，问一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e 2.7=计算）. 【答案】（Ⅰ）①当010t <≤时，124()(1440)e 5050t V t t t =-+-+<，化简得214400t t -+>，解得4t <，或10t >，又010t <≤，故04t <<. ②当1012t <≤时，()4(10)(341)5050V t t t =--+<， 化简得(10)(341)0t t --<，解得41103t <<，又1012t <≤，故1012t <≤. 综上得04t <<，或1012t <≤，故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()V t 的最大值只能在(4,10)内达到.由11244131()e (4)e (2)(8)424t t V t t t t t '=-++=-+-，令()0V t '=，解得8t =（2t =-舍去）. 当t 变化时，()V t '与()V t 的变化情况如下表：由上表，()V t 在8t =时取得最大值2(8)8e 50108.32V =+=（亿立方米）. 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.【说明】本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数知识分析和解决实际问题的能力.本题属于难题.【试题34】（2020年安徽卷理科第20题） 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人. 现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p 1，p 2，p 3.假设p 1，p 2，p 3,互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率. 若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q 1,q 2,q 3，其中q 1,q 2,q 3是p 1，p 2，p 3的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ； （Ⅲ）假定l ＞p 1＞p 2＞p 3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小. 【答案】（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是123(1)(1)(1)p p p ---，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于 1231231223311231(1)(1)(1)p p p p p p p p p p p p p p p ---⋅-=++---+.（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为123,,q q q 时，随机变量X 的分布列为X 1 2 3P1q 12(1)q q - 12(1)(1)q q --所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX 是 1121212122(1)3(1)(1)32EX q q q q q q q q q =+-+--=--+.（Ⅲ）（方法一）：由（Ⅱ）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，121232EX p p p p =--+.根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明：对于123,,p p p 的任意排列123,,q q q ，都有 121212123232q q q q p p p p --+≥--+ (※)事实上,12121212(32)(32)q q q q p p p p ∆=--+---+ 112212122()()p q p q p p q q =-+--+11221121222()()()()p q p q p q p q p q =-+-----211122(2)()(1)()p p q q p q =--+--[]11212(1)()()0q p p q q ≥-+-+≥即(※)成立.（方法二）：①可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为121213()q q q q q -++-，若交换前两人的派出顺序，则变为121223()q q q q q -++-.由此可见，当21q q >时，交换前两人的派出顺序可减小均值.②也可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为11232(1)q q q ---若交换后两人的派出顺序,则变为11332(1)q q q ---.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当32q q >时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.综合①②可知，当123123(,,)(,,)q q q p p p =时，EX 达到最小，即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.【说明】本题考查相互独立事件的概率计算，离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识.本题属于难题.【试题36】（2020年湖北卷理科第20题）设A 、B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的左、右顶点，椭圆长半轴．．．的长等于焦距，且4x =为它的右准线.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N ，证明点B 在以MN 为直径的圆内. 【答案】（Ⅰ）解：依题意得22,4,a c a c=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2,1.a c =⎧⎨=⎩从而b =故椭圆方程为221.43x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0),(2,0)A B -. 设00(,).M x y∵M 点在椭圆上，∴()220034.4y x =- ① 又M 点异于顶点A 、B ，∴02 2.x -<< 由P 、A 、M 三点共线可得0064,2y P x ⎛⎫⎪+⎝⎭. 从而00006(2,),2,.2y BM x y BP x ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭u u u u r u u u r∴()222000000622443.22y BM BP x x y x x ⋅=-+=-+++u u u u r u u u r ②将①式代入②式化简得BM BP ⋅=u u u u r u u u r 05(2).2x -∵020x ->，∴0BM BP ⋅>u u u u r u u u r.于是MBP ∠为锐角，从而MBN ∠为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内.【说明】本题考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.本题属于中等题.【试题37】（2020年湖北卷理科第19题）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0,)C p 作直线与抛物线22(0)x py p =>相交于A 、B 两点. （Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC。
2020届高考数学精选预测70 理 新人教版 精品
2020届新课标版高考精选预测（理70）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.不等式|2|x -≤1的解集是 ．2.函数21x y =-的反函数为 ．3.方程2sin 2sin 0x x -=的解集为 ．4.若实数对(,)x y 满足224x y +=，则xy 的最大值为 ．5.若关于x , y 的线性方程组的增广矩阵为0603m n ⎛⎫⎪⎝⎭，该方程组的解为3,4.x y =-⎧⎨=⎩则mn 的值为 ．6.在极坐标系中，点A 的极坐标为(2,0) ，直线l 的 极坐标方程为(cos sin )20ρθθ++=，则点A 到直 线l 的距离为 ．7.某算法的流程图如图所示，则该算法输出的n 值 是 ． 8.已知251(2)nx x +(n ∈N *)的展开式中含有常数项， 则n 的最小值是 ． 9．已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且 3tan 4α=，则sin β= ．10. 一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射影的坐标分别为(1,2),- (3,3), (3,5),- (1,6)，则此长方形的中心在此坐标平面内的射影的坐标是 ．11．某船在A 处看灯塔S 在北偏东30︒方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75︒方向，则此时该船到灯塔S 的距离约为 海里（精确到0.01海里）． 12.已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(,0)p 作两条互相垂直的直线12, l l ，1l 与抛物线交于, P Q 两点，2l 与抛物线交于, M N 两点，设1l 的斜率为k ．若某同学已正确求得弦PQ 的中垂线在y 轴上的截距为32p pk k+，则弦M N 的中垂线在y 轴上的截距为 ．13．已知向量OA u u u r ，OB u u u r 的夹角为π3，||4OA =u u u r ，||1OB =u u u r ，若点M 在直线OB 上，则||OA OM -u u u r u u u u r的最小值为 ．（第7题图）14.已知集合2(21)cos ,n A x x n m -π⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，当m 为4022时，集合A 的元素个数 为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．“πϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+是奇函数”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件16．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则lim n n S →∞的值为 （ ） A ．23 B ．43 C ．83D ．163 17.已知复数z满足z 12i z 2i ---++=i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为 （ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线18.已知234101()1234101x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，234101()1234101x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-， 若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则有 （ ） A ．12(0,1),(1,2)x x ∈∈ B ．12(1,0),(1,2)x x ∈-∈ C ．12(0,1),(0,1)x x ∈∈ D ．12(1,0),(0,1)x x ∈-∈三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）已知矩形ABCD 内接于圆柱下底面的圆O ，PA 是圆柱的母线，若6AB =，8AD =，此圆柱的体积为300π，求异面直线AC 与PB 所成角的余弦值．20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5某校10有关数据统计如下：（1）从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从“科服队”中任选2人，用ξ表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知椭圆E ：22221x y a b +=(0a b >>)过点(3, 1)P ，其左、右焦点分别为12, F F ，且126F P F P ⋅=-u u u r u u u u r．（1）求椭圆E 的方程；（2）若,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由． 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．已知数列c b a ,,是各项均为正数的等差数列，公差为d （d >0）．在b a ,之间和b,c 之间共插入n 个实数，使得这3n +个数构成等比数列，其公比为q ． （1）求证：||1q >；（2）若1,1 a n ==，求d 的值；（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a,b 之间，t 个位于b,c 之间，且,s t 都为奇数，试比较s 与t 的大小，并求插入的n 个数的乘积（用,,a c n 表示）.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于定义域为D 的函数()y f x =，若有常数M ，使得对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈满足等式12()()2f x f x M +=，则称M 为函数y =f (x )的“均值”． （1）判断1是否为函数()21(1f x x =+-≤x ≤1)的“均值”，请说明理由；（2）若函数2()2(12,f x ax x x =-<<a 为常数）存在“均值”，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 是单调函数，且其值域为区间I ．试探究函数()f x 的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I 之间的关系，写出你的结论（不必证明）． 说明：对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分 ．参考答案一、选择题：（每小题4分）1. [1,3]2.2log (1)y x =+3. {|,}Ζx x k k =π∈4. 25. 24-6. 7. 5 8． 7 9．725-10．(0,4) 11．14.14 12. 32pk pk -- 13． 14.1006 二．选择题（每小题5分）15．A 16．D 17．C 18．B19．解：设圆柱下底面圆O 的半径为r ，连AC ， 由矩形ABCD 内接于圆O ，可知AC 是圆O 的直径，于是210r AC ===，得5r =， ……………3分 又圆柱的体积25300V PA =π⋅=π，可得12PA =．……6分分别以直线,,AB AD AP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，可得(6,8,0),(6,0,12)AC PB ==-u u u r u u u r，………8分 设异面直线AC 与PB 所成角所成的角θ，向量AC u u u r 与PB u u ur 的夹角为ϕ，则||cos |cos |||||AC PB AC PB θϕ⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，故异面直线AC 与PB． ………………………………12分 20．解：（1）3人参加活动次数各不相同的概率为111235310C C C 1C 4P == 故这3名同学中参加活动次数各不相同的概率为14． ……………………………5分（2）由题意知：ξ=0, 1, 2，222235210C C C 14(0)C 45P ξ++===； ……………7分 11112335210C C C C 217(1)C 4515P ξ+====； ……………9分 1125210C C 102(2)C 459P ξ====． ……………10分……………11分所以ξ的数学期望:1472410124515945E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………13分 21．解：（1）设点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)(0)c c c ->，则12(3,1),(3,1),F P c F P c =+=-u u u r u u u u r故212(3)(3)1106F P F P c c c ⋅=+-+=-=-u u u r u u u u r，可得4c =， …………………2分所以122||||a PF PF =+=4分 故22218162a b a c ==-=-=，所以椭圆E 的方程为221182x y +=． ……………………………6分（2）设,M N 的坐标分别为(5,),(5,)m n ，则12(9,),(1,)F M m F N n ==u u u u r u u u u r，又12F M F N ⊥u u u u r u u u u r ，可得1290F M F N mn ⋅=+=u u u u r u u u u r，即9mn =-， …………………8分又圆C 的圆心为(5,),2m n +半径为||2m n -， 故圆C 的方程为222||(5)()()22m n m n x y +--+-=，即22(5)()0x y m n y mn -+-++=，也就是22(5)()90x y m n y -+-+-=， ……………………11分 令0y =，可得8x =或2，故圆C 必过定点(8,0)和(2,0)． ……………………13分 （另法：（1）中也可以直接将点P 坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C 直径的两端点直接写出圆C 的方程） 22．解：（1）由题意知2n cq a +=，2c a d =+， 又0,0a d >>，可得2211n c d q a a+==+>， ………………………………2分 即2||1n q +>，故2||1n q +>，又2n +是正数，故||1q >．………………………………4分 （2）由,,a b c 是首项为1、公差为d 的等差数列，故d c d b 21,1+=+=，若插入的这一个数位于,a b 之间，则21q d =+，321q d =+， 消去q 可得32)1()21(d d +=+，即320d d d --=，其正根为251+=d ．………7分 若插入的这一个数位于,b c 之间，则q d =+1，321q d =+，消去q 可得3)1(21d d +=+，即3230d d d ++=，此方程无正根．故所求公差251+=d ． ………………………………………9分（3）由题意得1s b a d q a a ++==，12t c a dq b a d++==+，又0,0a d >>， 故220()a d a d d a a d a a d ++-=>++，可得2a d a d a a d ++>+，又20a da d+>+， 故110s t q q ++>>，即11||||s t q q ++>．又||1q >，故有11s t +>+，即s t >． ………………………………………12分 设3n +个数所构成的等比数列为}{n a ，则123,,2s n a ca a ab ac +++====， 由413(2,3,4,k n k n a a a a ac k +-+===…，2)n +，可得32(a a …222231)()()n n n a a a a a +++=…11322()()()n n n a a a a ac +++=， ……………………14分又10s b q a +=>，01>=+bcq t ，由,s t 都为奇数，则q 既可为正数，也可为负数，①若q 为正数，则23a a …2n a +12()n ac +=，插入n 个数的乘积为122()n ac a c++；②若q 为负数，,,32a a …2,n a +中共有12n+个负数，故32a a …1(1)222(1)()n n n a ac +++=-，所插入的数的乘积为2a c+1(1)22(1)()n n ac ++-． 所以当42(n k k =-∈N*)时，所插入n 个数的积为122()n ac a c++；当4(n k k =∈N*）时，所插入n 个数的积为122()n ac a c+±+． …………………18分（另法：由又10s b q a +=>，01>=+b c q t ，20n cq a+=>由,s t 都为奇数，可知n 是偶数，q 既可为正数也可为负数． 23a a …2n a +23()()()aq aq aq =…(1)(2)112()n n n n aqaq++++=①若q 为正数，则23a a …2n a +111121222()()()n n n n n n c aq aac a++++++===， 故插入n 个数的乘积为122()n ac a c++； …………………15分②若q 为负数，由n 是偶数，可知(1)(2)2n n ++的奇偶性与22n +的奇偶性相同， 可得23a a …2n a +2122(1)()n n ac ++=-．所以当42(n k k =-∈N*)时，所插入n 个数的积为122()n ac a c++；当4(n k k =∈N*）时，所插入n 个数的积为122()n ac a c+±+． …………………18分）23．解：（1）对任意的1[1,1]x ∈-，有1[1,1]x -∈-，当且仅当21x x =-时，有1212()()112f x f x x x +=++=，故存在唯一2[1,1]x ∈-，满足12()()12f x f x +=， ……………………2分所以1是函数()21(11)f x x x =+-≤≤的“均值”． ……………………4分 (另法：对任意的1[1,1]x ∈-，有1[1,1]x -∈-，令21x x =-，则2[1,1]x ∈-，且1212()()112f x f x x x +=++=，若2[1,1]x '∈-，且12()()12f x f x '+=，则有22()()f x f x '=，可得22x x '=， 故存在唯一2[1,1]x ∈-，满足12()()12f x f x +=， ……………………2分所以1是函数()21(11)f x x x =+-≤≤的“均值”． ……………………4分） （2）当0a =时，()2(12)f x x x =-<<存在“均值”，且“均值”为3-；…………5分 当0a ≠时，由2()2(12)f x ax x x =-<<存在均值，可知对任意的1x ， 都有唯一的2x 与之对应，从而有2()2(12)f x ax x x =-<<单调，故有11a ≤或12a ≥，解得1a ≥或0a <或102a <≤， ……………………9分 综上，a 的取值范围是12a ≤或1a ≥． ……………………10分（另法：分0,a =1111,12,2a a a≤<<≥四种情形进行讨论）（3）①当I (,)a b =或[,]a b 时，函数()f x 存在唯一的“均值”． 这时函数()f x 的“均值”为2a b+； …………………12分 ②当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………14分③当I (,)a =+∞或(,)a -∞或[,)a +∞或(,]a -∞或[,)a b 或(,]a b 时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………16分 [评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分]①当且仅当I 形如(,)a b 、[,]a b 其中之一时，函数()f x 存在唯一的“均值”． 这时函数()f x 的“均值”为2a b+； ……………………13分 ②当且仅当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………16分③当且仅当I 形如(,)a +∞、(,)a -∞、[,)a +∞、(,]a -∞、[,)a b 、(,]a b 其中之一时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………18分 （另法：①当且仅当I 为开区间或闭区间时，函数()f x 存在唯一的“均值”．这时函数()f x 的均值为区间I 两端点的算术平均数； ……………………13分②当且仅当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………16分 ③当且仅当I 为除去开区间、闭区间与(,)-∞+∞之外的其它区间时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………18分） [评分说明：在情形①与②中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分]。
2020届全国卷1理科数学高考“压轴题题型解法”大纲(李老师编)
3.线性回归和类线性回归（大数据整体计算型）
难
4.极坐标与参数方程的几何意义法（求长度、长度之积/和）
难
5.新定义、新材料阅读理解题
难
6.类比推理和演绎推理
难
难
3.不规则锥体的外接球（万能公式，见于杂志）
难
4.1向量的四心问题（性质秒杀）
难
4.2角平分线定理
难
5.向量的奔驰定理（公式秒杀）
难
6.解三角形（共边型、共角型、整体法型）
难
7.解三角形求动态参数（数形结合法、基本不等式法、三角函数法）
难
8.三角函数高难度化简与变换（函数求参数题（构建法+分类讨论法）
难
3.2构建函数的恒成立、存在性问题（单边构建、双边构建）
难
4.极值点偏移题（左偏移、右偏移、拉格朗日中值定理）
难
5.零点、交点、根的存在性问题（判断、个数、分布）
难
6.恒成立、存在性问题（特殊点型、隐零点型、虚假点型）
难
7.函数模型与缩放题（指数、对数：直接，裂项，并项，加强）
难
模块
2020全国卷1卷压轴考点和题型明细
难度
数列
1.数学归纳法
难
2.数列放缩类型和数列不等式的证明
难
3.数列递推
难
4.探索数列中的存在性（最大最小整数型、数列函数交汇型）
难
模块
2020全国卷1卷压轴考点和题型明细
难度
其他
1.可行域问题（生活应用综合型、动态型）
难
2.排列组合题（综合型、至少至多型）
2020全国卷1卷压轴考点和题型明细
难度
圆锥曲线
1.对称性问题
2020届高考数学精选预测64 理 新人教版 精品
2020届新课标版高考精选预测（理64）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知z 是纯虚数，iz -+12是实数（其中i 为虚数单位），则z = A ．2i B ．i C ．i -D ．2i -2．对命题:p A ⋂∅=∅，命题:q A A ⋂∅=，下列说法正确的是 A ．p q ∧为真 B ． p q ∨为假 C ．p ⌝为假 D ． p ⌝为真 3．图1是根据某班学生在一次数学考试 中的成绩画出的频率分布直方图，若80 分以上为优秀，根据图形信息可知： 这次考试的优秀率为 A ．25%B ．30%C ．35%D ．40%4．若直线)0,0(022>>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则ba 21+的最小值为 A ．1B ．322+C ．5D ．425．某器物的三视图如图2所示，根据图中数据可知 该器物的表面积为A ．4πB ．5πC ．8πD ．9π6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为A ．5B ．52C ．3D ．2 7．若关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解， 则实数a 的取值范围为A ．(,1)(3,)-∞+∞UB ．(1,3)C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--频率组距图1图2图38．若1212(,),(,)a a a b b b ==r r ，定义一种向量积：1122(,)a b a b a b ⊗=r r，已知1(2,),(,0)23m n π==u r r ，且点(,)P x y 在函数sin y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且点P 和点Q 满足：OQ m OP n =⊗+u u u r u r u u u r r（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为€网 ☆A ．2,π B ．2,4π C ．1,2πD ．1,42π 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．在二项式1(2)nx x-的展开式中，若第5项是常数项，则n =_______． （用数字作答）10．已知等差数列{}n a 中，有11122012301030a a a a a a ++++++=L L 成立． 类似地，在等比数列{}n b 中， 有_____________________成立．11．按如图3所示的程序框图运行程序后，输出的结果是63，则判断框中的整数H =_________．12．设2[0,1]()1(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则0()e f x dx =⎰_____． 13．在ABC ∆中,a b c 、、分别为内角A B C 、、所对的边，且ο30=A ．现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③3c b =．试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，并以此为依据求ABC ∆的面积．(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是(用序号填写)；由此得到的ABC ∆的面积为 ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，PT 为圆O 的切线，T 为切点，3ATM π∠=，圆O 的面积为2π，则PA = ．15．（坐标系与参数方程选做题）曲线3=ρ截直线1)4cos(=+πθρ所得的弦长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、P TMAO图4ABCDE F图5证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知平面上三点)0,2(A ，)2,0(B ，)sin ,(cos ααC ．（1）若2()7OA OC +=u u u r u u u r （O 为坐标原点），求向量与夹角的大小；（2）若⊥，求α2sin 的值．17．（本小题满分12分）第16届亚运会将于2020年11月在广州市举行，射击队运动员们正在积极备战. 若某运动员每次射击成绩为10环的概率为13. 求该运动员在5次射击中，（1）恰有3次射击成绩为10环的概率；（2）至少有3次射击成绩为10环的概率；（3）记“射击成绩为10环的次数”为ξ，求E ξ.（结果用分数表示）18．（本小题满分14分）如图5，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）过点0(1,0)P 作曲线3:((0,))C y x x =∈+∞的切线，切点为1Q ，过1Q 作x 轴的垂线交x 轴于点1P ，又过1P 作曲线C 的，切点为2Q ，过2Q 作x 轴的垂线交x 轴于点2P ，…，依次下去得到一系列点123,,Q Q Q ，…，设点n Q 的横坐标为n a ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求和1ni ii a =∑；（3）求证：1(2,)2nna n n N *>+≥∈． 20．（本小题满分14分）已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足NP uuu r ＝2NQ uuu r ，GQ uuu r ·NP uuur ＝0．（1）若1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；（2）若动圆M 和（1）中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ，是否存在一组正实数,,m n r ，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）己知函数1()(1)ln(1)f x x x =++．(1) 求函数()f x 的定义域；(2) 求函数()f x 的增区间； (3) 是否存在实数m ，使不等式112(1)m x x +>+在10x -<<时恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B D A A D 1.选D.提示：)0(≠=b bi z 设. 2.选C.提示：由已知p 为真，q 为假.3.选B.提示：3.010005.010025.0=⨯+⨯.4.选B.提示：,1,12=+b a 所以），直线过圆心（. 22323)21)((21+≥++=++=+∴baa b b a b a b a 5.选D.提示：圆锥上面有一球，半径为1，ππππ9422111422=⋅++=∴S .6.选A.提示：5,5,5,,2222222==∴=∴=+=e e c a c b a abΘ. 7.选A.提示：034,421322>+-∴-<--+≤-a a a a x x .8.选D.提示： ),sin 21,32(x x π+=. )621sin(21)(,sin 21)32(ππ-=∴=+∴x x f x x f二.填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．8； 10．30302110201211b b b b b b ΛΛ=； 11．5；12．43； 131）； 14．23； 15．24．9.8.提示：8,08,)1(2)1()2(84444445==-∴-=-=---n n x C xx C T n n n n n .10.30302110201211b b b b b b ΛΛ=.提示：算术平均数类比几何平均数.11.5.提示：5H S ,663=∴==，不满足条件时输出时A S . 12.43.提示：34131|ln |31111031102=+=+=+=⎰⎰ee x x dx x dx x 原式.13.1）.提示：由正弦定理求出b ， 再根据C ab S sin 21=. 14.23.提示：23,22=+==OA PO PA PO OT ，连接. 15.24.提示：转化为直角坐标系求解三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）∵)sin ,cos 2(αα+=+，2()7OA OC +=u u u r u u u r ，∴7sin )cos 2(22=++αα， ………………… 2分 ∴21cos =α． ………………… 4分 又)2,0(B ，)sin ,(cos ααC ，设与的夹角为θ，则：23sin 2sin 2cos ±====ααθ， ∴OB uuu r 与OC 的夹角为6π或π65． …………… 7分（2）(cos 2,sin )AC αα=-u u u rQ ，)2sin ,(cos -=ααBC ，… 9分 由AC BC ⊥u u u r u u u r ， ∴0AC BC ⋅=u u u r u u u r，可得21sin cos =+αα，①………………… 11分 ∴41)sin (cos 2=+αα，ABCDE FMHG ∴43cos sin 2-=αα，432sin -=α． …………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查随机变量的分布列.二项分布.数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识）解：设随机变量X 为射击成绩为10环的次数，则 1~(5,)3X B .…2分 （1）在5次射击中，恰有3次射击成绩为10环的概率为：323511(3)133P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭144010279243=⨯⨯= ………4分 （2）在5次射击中，至少有3次射击成绩为10环的概率为：(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ≥==+=+= …………6分32450345555111111111333333C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭401011724324324381=++=. …………8分 （3）方法一：随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 5P32243 80243 80243 40243 10243 1243故3232323232325()0123452432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…12分方法二:因为1~(5,)3X B ，所以5()3E X =. …………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系.面面关系.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力） 解法一：(1) 证：取CE 的中点G ，连结FG BG 、．∵F 为CD 的中点， ∴//GF DE且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ．又12AB DE =， ∴GF AB =．∴四边形GFAB 为平行四边形， 则//AF BG ．∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ． ………… 4分(2) 证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF CD ⊥∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ， ∴DE AF ⊥． 又CD DE D =I ， 故AF ⊥平面CDE ． ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ． …………8分 (3) 解：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH ． ∵平面BCE ⊥平面CDE ， ∴FH ⊥平面BCE ．∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角． …………10分 设22AD DE AB a ===，则2sin 452FH CF a =︒=， 2222(3)2BF AB AF a a a =+=+=，在R t △FHB 中，2sin 4FH FBH BF ∠==13分 ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24………14分解法二：设22AD DE AB a ===，建立如图所示的坐标系A xyz -， 则(,0,0)A a (0,0,)B a (2,0,0)C a(3,0)D a a (3,2)E a a a∵F 为CD 的中点，∴33,02F a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． (1) 证：()()33,,0,3,,2,0,22AF a a BE a a a BC a a ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，∵()12AF BE BC =+u u u r u u u r u u u r，AF ⊄平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ． …………4分(2)证：∵()()3,0,,0,0,0,22AF a CD a ED a ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，∴0,0AF CD AF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴,AF CD AF ED ⊥⊥u u u r u u u r u u u r u u u r． ∴AF ⊥u u u r平面CDE ，又//AF 平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ． …………8分(3) 解：设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =r， 由0,0n BE n BC ⋅=⋅=r u u u r r u u u r可得：0,20x z x z ++=-=，取()1,n =． …………10分又3,2BF a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ， 设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则422222sin =⋅==a a θ． …………13分 ∴直线BF 和平面BCE所成角的正弦值为4． ………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列.导数.不等式.数学归纳法等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力.运算求解能力和创新意识）解：（1）∵3y x =，∴23y x '=． 若切点是3(,)n n n Q a a ，则切线方程为323()n n n y a a x a -=-． …………………1分当1n =时，切线过点0(1,0)P ，即：3211103(1)a a a -=-，依题意10a >．所以132a =． …………………2分 当1n >时，切线过点11(,0)n n P a --，即：32103()n n n n a a a a --=-，依题意0n a >，所以13(1)2n n a a n -=>． ………………3分所以数列{}n a 是首项为32， 公比为32的等比数列．所以32nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭． …………4分（2）记121121n n nn nS a a a a --=++++L ， 因为11213n n a a -=⋅， 所以23121213n n n n n S a a a a +-=++++L ． …………………5分 两式相减， 得：12111113n n n n S a a a a +=+++-L 2122223333n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L12213322313nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭- 1222133n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． …………………7分∴1nn i ii S a ==∑ 12261333n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦262(3)3nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． …………………9分（3）证法1：112nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2012111222nn n n n n C C C C ⎛⎫⎛⎫=+⋅+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L0111(2)22n n n C C n ⎛⎫>+=+≥ ⎪⎝⎭． …………………14分证法2：当2n =时，223952112442a ⎛⎫===+>+ ⎪⎝⎭．…………………10分假设n k =时，结论成立，即12k k a >+， 则13313111111222222222k k k k k k a a ++⎛⎫=>+=++⋅>++=+ ⎪⎝⎭．即1n k =+时．1112k k a ++>+． …………………13分 综上，12n na >+对2,n n N *≥∈都成立． …………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆.直线与圆锥曲线位置关系等知识，考查数形结合.化归与转化.函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：（1）2,NP NQ =∴u u u r u u u rQ∴点Q 为PN 的中点，又0GQ NP ⋅=u u u r u u u rQ ，GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG = …………2分 又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，且2,1a c ==，∴b G ==∴∴G 的轨迹方程是221.43x y +=…………6分(2)解：不存在这样一组正实数，下面证明： …………7分由题意，若存在这样的一组正实数，当直线MN 的斜率存在时，设之为k ，故直线MN 的方程为：(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)D x y ， 则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=．…………9分 注意到12121y y x x k-=--， 且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ， 则00314x y k= ， ② 又点D 在直线MN 上，00(1)y k x ∴=-，代入②式得：04x =．因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内，故022x -<<，这与04x =矛盾，所以所求这组正实数不存在． …………13分当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =，则此时1212,2y y x x =+=，代入①式得120x x -=，这与,A B 是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在． …………14分21．（本小题满分14分）解（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）:（1）根据函数解析式得10,11x x +>⎧⎨+≠⎩解得1x >-且0x ≠．∴函数()f x 的定义域是{},1.x x R x ∈>-≠且x 0…………3分（2）1(),(1)ln(1)f x x x =++Q 22ln(1)1()(1)ln (1)x f x x x ++'∴=-++……………………5分 由()0f x '>得ln(1)10.x ++<11 1.x e -∴-<<-∴函数()f x 的增区间为1(1,1)e ---． …………………………8分（3）110,e x --<<Q 11 1.e x -∴<+<1ln(1)0.x ∴-<+<ln(1)10x ∴++>∴当110e x --<<时,22ln(1)1()0.(1)ln (1)x f x x x ++'=-<++ ∴在区间()1,0-上,当11x e -=-时, ()f x 取得最大值． []1()(1)f x f e e -∴=-=-最大．……………………………10分112(1)m x x +>+Q 在10x -<<时恒成立． 1ln 2ln(1)1m x x ∴>++在10x -<<时恒成立． ln 2(1)ln(1)m x x ∴>++在10x -<<时恒成立． ln 2(1)ln(1)x x ++Q 在10x -<<时的最大值等于ln 2e -． ln 2.m e ∴>- ∴当ln 2m e >-时，不等式112(1)m x x +>+在10x -<< 时恒成立．………14分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学(带答案)教学提纲
2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学(带答案)2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考理科数学（模拟试题卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．若512z i=+,则z 的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -- D ．12i -+2．集合{|}310A x x ≤≤＝，27{|}B x x =<<，A B I =（ ） A ．{|210}x x <… B ．{|210}x x << C ．{|37}x x <… D ．{|37}x x 剟3．已知向量,a b r r ，满足2,2,1a b a b ==⋅=r r r r ，则向量a r 与b r的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．2 C ．23D ．2 4．，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．b >c >a5．已知直线3y kx =+和圆226450x y x y +--+=相交于,M N 两点，若23MN =,则k 的值为A ．122或B ．122--或 C ．122或-D ．122-或6．设函数()cos23sin2f x x x =-，把()y f x =的图象向左平移()2πϕϕ<个单位后，得到的部分图象如图所示，则()f ϕ的值等于（ ）A ．3-B ．3C ．1-D ．17．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（）A．8B．12C．16D．248．过抛物线：的焦点F作倾斜角为的直线，若直线与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省2020届高考数学-权威预测-圆锥曲线的定义、性质和方程二-新人教版
山东省2020届高考数学-权威预测-圆锥曲线的定义、性质和方程二-新人教版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2020届山东新课标高考数学权威预测：圆锥曲线的定义、性质和方程(二)【例5】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，向量AB 与OM 是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-=。
∵AB OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴ab ac b -=-2，∴b=c,故22=e 。
（2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈。
【例6】设P 是双曲线116422=-y x 右支上任一点. （1）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E ，F ，求||||PF PE ⋅的值；（2）过点P 的直线与两渐近线分别交于A 、B 两点，且AOB PB AP ∆=求,2的面积.解：（I ）设16414),,(20202000=-⇒=y x x y x P 则 ∵两渐近线方程为02=±y x由点到直线的距离公式得.5165|4|||||2020=-=⋅∴y x PF PF（II ）设两渐近线的夹角为α， ,53tan 11cos ,34|4122|tan 2=+==-+=ααα则54sin =∴α,1368,136)2(36)2(,1164,342,32,2.5||||)(,5||,5||),2,(),2,(,212212212221021*********==+-+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=∴==⋅∴==∴--=∠∴x x x x x x y x x x y x x x PB AP x x OB OA AB P x OB x OA x x B x x A AOB 即得代入又的内分点是设 απ2921=∴x x 95429521)sin(||||21=⋅⋅⋅=-⋅=∆απOB OA S AOB【例7】如图，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率． 解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题意，记A (－c ，0)，C (2c，h )，B (c ，0)，其中c 为双曲线的半焦距，c =21|AB |，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c c c x E 19711812118-=+⨯+-=， h hy E19811811180=+⨯+=． 设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ace =．由点C 、E 在双曲线上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅=-⋅.136********,14122222222b h ac b h a c 由①式得1412222-⋅=a c b h 代入②式得922=ac 所以，离心率322==ac e【例8】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：（I ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-= ∴椭圆的标准方程为22143x y += （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，① ②22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x •=---， 1212122()40y y x x x x ∴+-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++，2271640m mk k ∴++= 解得：12m k =-，227km =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫⎪⎝⎭， ★★★自我提升1.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是(C )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 2．如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ C ）A ．36B ．4C ．2D ．13．抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B)( A ) 1617 ( B ) 1615 ( C ) 87( D ) 04．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，F 1、F 2分别是它的左，右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB|为（A ）.A 、28B 、24C 、22D 、85．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 221164+=y x ． 6．过椭圆左焦点F ，倾斜角为60︒的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA |=2|FB |，则椭圆的离心率为( B )(A)23 (B) 23 (C) 12(D)22 7．椭圆+=1的离心率e=，则m=___________m=8或2。
2020届高考数学精选预测46 理 大纲人教版 精品
2020届大纲版高考精选预测（理46）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集U =R ，集合M ={x |2x ＞2},N ={x |log x 7＞log 37},那么M ∩(UN )是A.{x |x ＜－2}B.{x |x ＜－2或x ≥3}C.{x |x ≥3}D.{x |－2≤x ＜3}2.若函数f (x )=lg(x 2－ax －3)在(－∞,－1)上是减函数，则a 的取值范围是 A.a ＞2 B.a ＜2 C.a ≥2 D.a ≤23.已知|a |=3，|b |=2，a ，b 的夹角为60°，如果(3a +5b )⊥(m a －b )，则m 的值为A.2332 B.4223 C.4229D.3242 4.已知相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β，内若p :l 、m 中至少有一条与β相交;q : α与β相交.则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件5.已知数列10111，10112，10113，…，1011n ，…它的前n 项的积大于105，则正整数n 的最小值是A.12B.11C.10D.86.设m ,n 都是不大于6的自然数，则方程C m6x 2－C n6y 2=1表示双曲线的个数是A.16B.15C.12D.67.若复数z 满足|z +4+3i |=3，则复数Z 的模应满足的不等式是A.|z |＜8B.|z |≤|－4－3i |C.2≤|z |≤8D.5≤|z |≤88.在100件产品中，有60件正品，40件次品，从中有放回地抽取3次，每次抽取1件，那么恰有2次抽到正品的概率是A.0.024B.0.144C.0.236D.0.4329.已知cot α=2,tan(α－β)=－52，则tan(β－2α)的值是 A.41B.－121C.81D.－81 10.直线l :x +2y －3=0与圆C ：x 2+y 2+x －6y +m =0有两个交点A 、B ，O 为坐标原点，若OB OA ⊥，则m 的值是A.2B.3C.－1D.22 11.用6种不同的颜色把下图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一色涂不同的区域，但相邻的区域不能涂同一色，则不同的涂法共有A.400种B.460种C.480种D.496种12.若1])1(1[lim =--∞→nn kk ，则k 的取值范围 A.0＜k ＜21 B.k ＜21 C.|k |＜21D.21＜k ＜1 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.函数y =x 3－3x 的单调减区间是___________.14.如果x ,y 满足x 2+y 2－2x +4y =0，那么x －2y 的最大值是___________.15.点P (a ,b )是单位圆上的动点，则点Q (a +b ,ab )的轨迹方程是___________.16.平面α∥β，A 、B 分别为α、β内的定点，AB 与平面α成30°角，α、β间的距离为1,A ∈l 1,B ∈l 2,l 1⊂α,l 2⊂β，则l 1与l 2间的距离的取值范围是___________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=3sin x cos x －cos 2x +21,x ∈R ,求函数f (x )的最小正周期. 18.(本小题满分12分){a n },{b n }都是各项为正数的数列，对任意的自然数n ，都有a n 、b n 2、a n +1成等差数列，b n 2、a n +1、b n +12成等比数列.(1)试问{b n }是否是等差数列？为什么？(2)求证：对任意的自然数p ,q (p ＞q ),b p －q 2+b p +q 2≥2b p 2成立；(3)如果a 1=1,b 1=2,S n =na a a 11121+++Λ，求n n S ∞→lim .19.(本小题满分12分)已知：正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AA 1=AB =a ,D 为CC 1的中点，F 是A 1B 的中点，A 1D 与AC 的延长线交于点M ，(Ⅰ)求证：DF ∥平面ABC ； (Ⅱ)求证：AF ⊥BD ；(Ⅲ)求平面A 1BD 与平面ABC 所成的较小二面角的大小. 20.(本小题满分12分)科华电子商城是“奔达”牌电脑的特约经销单位，为了在来年的电脑销售中居于有利地位，2002年5~7月，商城对“奔达”牌电脑的市场销售情况进行了摸底调查，经过对市场情报的分析，预计从2003年1月开始的10个月内(称为销售期)，电脑的销售总量y 与销售的时间h (单位：月)近似地满足函数关系y =910h (h +2)(18－h )，试问： (1)哪个月的销售量超过130台？(2)在2003年的销售期内哪几个月的销售量最大？(3)在2003年的销售期内，商场每个月月初从厂家等量进货，为了保证该品牌电脑不脱销(即商城始终有货可售)，每月应至少进多少台该电脑？21.(本小题满分12分)函数f (x )=log a (x －3a )(a ＞0且a ≠1)，当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，Q (x －2a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点.(Ⅰ)写出函数y =g (x )的解析式；(Ⅱ)当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1，试确定a 的取值范围. 22.(本小题满分14分)已知双曲线的两个焦点分别为F 1、F 2，点F 1又是抛物线y 2=4x 的焦点，点A (－1，2)、B (3，2)在双曲线上.(1)求点F 2的轨迹方程；(2)是否存在直线l :y =x +m 与点F 2的轨迹有两个公共点？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分) 1.B2.解析：使x 2－ax －3在(－∞,－1)上单减且在(－∞,－1)上恒为正， 故令2a ≥－1,(－1)2－a (－1)－3≥0. 答案：C 3.C 4.C5.解析：注意是前n 项的积，而非和. 答案：B6.A7.解析：利用数形结合，研究圆上的点到原点距离的范围. 答案：C 8.D9.解析：用角的变换, β－2α=(β－α)－α.答案：B 10.B11.解析：分用三种颜色涂和用四种颜色涂两种，只有A 与D 两区可以同色. 答案：C12.解析：由题意得－1＜kk-1＜1. 答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)13.［－1，1］ 14.10 15.x 2=1+2y 16.［1,2］三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分) 17.解：f (x )=23sin2x －2122cos 1++x =)62sin(2cos 212sin 23π-=-x x x .8分最小正周期为T =22π=π.12分18.解：依题意2b n 2=a n +a n +1， ① a n +12=b n 2·b n +12. ② (1)∵a n ＞0，b n ＞0，∴由②式得a n +1=b n ·b n +1，从而n ≥2时，a n =b n －1·b n ,代入①2b n 2= b n－1b n +b n b n +1,∴2b n =b n －1+b n +1(n ≥2),∴{b n }是等差数列. 4分 (2)因为{b n }是等差数列，∴b p －q +b p +q =2b p .∴b p －q 2+b p +q 2≥2222)(p q p q p b b b =++-.7分(3)由a 1=1,b 1=2及①②两式易得a 2=3,b 2=223， ∴{b n }中公差d =22， ∴b n =b 1+(n －1)d =22(n +1), ∴a n +1=21(n +1)(n +2).③又a 1=1也适合③,∴a n =2)1(+n n (n ∈N ),∴)111(2)1(21+-=+=n n n n a n , ∴S n =2［1－)111()3121(21+-++-+n n Λ］ =2(1－11+n ), ∴n n S ∞→lim =2.12分19.(Ⅰ)证明：取AB 中点E ，连EF 、CE ， ∵F 为AB 中点，∴EF ∥AA 1∥CC 1，且EF =21AA 1=21CC 1. ∵D 为CC 1中点，∴CD =21CC 1.又AA 1∥CC 1,∴EF ∥CD 且EF =CD ， ∴四边形EFDC 为平行四边形， ∴DF ∥CE .∵DF ⊄面ABC ，∴DF ∥面ABC . 4分(Ⅱ)证明：∵A 1A =AB ，F 为A 1B 中点， ∴AF ⊥A 1B .∵AA 1⊥面ABC ，∴AA 1⊥CE . 又DF ∥CE ，∴DF ⊥AA 1.∵A 1ACC 1，B 1BCC 1为正方形，D 为CC 1中点, ∴A 1D =BD ，∴DF ⊥A 1B . ∴DF ⊥面AA 1B ，∴DF ⊥AF .∴AF ⊥面A 1BD ，∴AF ⊥BD . 8分(Ⅲ)解：∵CD ∥AA 1， ∴CD =21AA 1，D 为A 1M 中点， 又F 为A 1B 中点，∴DF ∥BM .由(Ⅱ)知DF ⊥面AA 1B ， ∴BM ⊥面AA 1B ，∴BM ⊥A 1B ，BM ⊥AB .∴∠A 1BA 为平面A 1BM 与面ABC 所成二面角的平面角.即∠A 1BA 为平面A 1BD 与平面ABC 所成的二面角的平面角. ∵A 1ABB 1为正方形，∴∠A 1BA =45°即为所求二面角大小.20.解：设f (n )=910n (n +2)(18－n ), (1)第一个月的销售量为f (1)=3170＜130,当n ≥2时，第n 个月的销售量f (n )－f (n －1)=－910(3n 2－35n －19), 根据题意，要f (n )－f (n －1)＞130,只要－910(3n 2－35n －19)＞130， 只要3n 2－35n +98＜0,即314＜n ＜7,即n =5或6，所以2003年5、6月份的销售量超过130台.5分(2)由(1)知，销售量最大的月份应是5月份或6月份， ∵［f (6)－f (5)］－［f (5)－f (4)］=920＞0， ∴6月份的销售量最大. 8分(3)设每月应至少进该电脑x 台，依题意nx ＞f (n ),对一切n (1≤n ≤10)恒成立,即9x ＞－10(n －8)2+1000对一切n (1≤n ≤10)恒成立， ∴x ＞91000,即x ≥112, ∴每月份应至少进该电脑112台. 12分 21.解：(Ⅰ)设P (x 0,y 0)是y =f (x )图象上的点，Q (x ,y )是y =g (x )图象上的点，则⎩⎨⎧-=-=.,200y y a x x ∴⎩⎨⎧-=+=.,200y y a x x ∴－y =log a (x +2a －3a ), ∴y =log aax -1(x ＞a ).5分 (Ⅱ)⎩⎨⎧>->-.0,03a x a x ∴x ＞3a .∵f (x )与g (x )在［a +2,a +3］上有意义， ∴3a ＜a +2,∴0＜a ＜1.∵|f (x )－g (x )|≤1恒成立，∴|log a (x －3a )(x －a )|≤1恒成立..1)2(,10,1])2[(log 12222aa a x a a a a x a ≤--≤⇔⎩⎨⎧<<≤--≤-⇔对x ∈［a +2,a +3］上恒成立，令h (x )=(x －2a )2－a 2,其对称轴x =2a .2a ＜2,2＜a +2, ∴当x ∈［a +2,a +3］时，h (x )min =h (a +2),h (x )max =h (a +3).∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≤,691,44,)(1,)(max min a a a a x h ax h a 125790-≤<⇒a .12分 22.解：(1)∵F 1(1，0)，∴由题意,得||F 1A |－|F 2A ||=||F 1B |－|F 2B ||.(*)∵A (－1，2)，B (3，2)，∴|F 1A |=22，|F 1B |=22，设点F 2的坐标为(x ,y ),①当(*)取|F 1A |－|F 2A |=|F 1B |－|F 2B |时，则有|F 2A |=|F 2B |，∴x =1.②当(*)取|F 1A |－|F 2A |=|F 2B |－|F 1B |时，则有|F 2A |+|F 2B |=42＞|AB |=4.∴F 2的轨迹表示椭圆4)2(8)1(22-+-y x =1. ∵F 1,F 2不重合，∴除去点(1，0).∵A 、B 两点到两焦点距离不等，∴除去点(1,4).③综上，F 2的轨迹方程为x =1(y ≠0,y ≠4)和4)2(8)1(22-+-y x =1(y ≠0,y ≠4).8分(2)F 2的轨迹如图所示，当直线l 与椭圆相切时符合题意，由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=.14)2(8)1(,22y x m x y消y ，得3x 2+(4m －10)x +2m 2－8m +1=0,由Δ=0，得m =1±23.14分。
2020届高考数学精选预测51 理 大纲人教版 精品
2020届大纲版高考精选预测（理51）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。
1．已知命题p ：抛物线22y x =的准线方程为12y =-；命题q ：若函数(1)f x +为偶函数，则()f x 的图像关于1x =对称，则下列命题是真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨2．在下列函数中，图象关于y 轴对称的是（ ） A ．y =x 2sin x B ．11212x y =+- C ．y =x ln x D ．π2sin3()16y x =--+3．若3cos25θ=，4sin 25θ=-，则角θ的终边一定落在直线（ ）上A ．7240x y +=B ．7240x y -=C ．2470x y +=D ．2470x y -=4．已知下列四个命题：①平行于同一直线的两平面互相平行；②平行于同一平面的两平面互相平行；③垂直于同一直线的两平面互相平行；④与同一直线成等角的两条直线互相平行。
其中正确命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④5．已知等比数列{},{n n a b }，,n n P Q 分别表示其前n 项积，且(1)(3)n n n n P Q -=，则55a b =（ ） A ．981()2 B ．59()2 C ．812D ．92 6．若关于x 的方程24cos sin 40x x m ++-=恒有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．［0，5］ B ．［-1，8］ C ．［0，8］ D ．［-1，+∞）7．某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法：①1423248248C C C C +；②555048C C -；③14249C C ；④14324948C C C -。
2020届高考数学精选预测49 理 大纲人教版 精品
2020届大纲版高考精选预测（理49）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数2221,z i z z =-+则等于（ ） （A ）1i -+（B ）1i +（C ）12i -+（D ）12i +2．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）（A ）求数列}1{n 的前10项和)(*N n ∈ （B ）求数列}21{n 的前10项和)(*N n ∈（C ）求数列}1{n 的前11项和)(*N n ∈（D ）求数列}21{n的前11项和)(*N n ∈3．下列命题中，真命题是（ ） （A ）0,,sin cos 22x x x π⎡⎤∃∈+≥⎢⎥⎣⎦（B ）2(3,),21x x x ∀∈+∞>+ （C ）2,1x R x x ∃∈+=-（D ）,,tan sin 2x x x ππ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭4．“2=m ”是“直线m x y +=与圆122=+y x 相切”的（ ）(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件5．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为（ ） （A ）32 （B ）0.2 （C ）40（D ）0.256．已知集合21{||21|6},0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=≤⎨⎬-⎩⎭则R A B I ð=（ ） （A ）517,3,222⎛⎤⎛⎫-- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U（B ）517,3,222⎛⎫⎡⎫-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U输出S第2题图k=k+1 开始 n=2 k=1S=0 k ≤10 结束否 1S S n=+是n=n+2（C ）1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦（D ）1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭7．要得到函数2cos()sin()163y x x ππ=+--的图象，只需将函数13sin 2cos 22y x x =+的图象（ ）（A ）向左平移8π个单位 （B ）向右平移2π个单位 （C ）向右平移3π个单位（D ）向左平移4π个单位8．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）（A ）122n +- （B ）31n-（C ）3n（D ）2n9．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(,0)x y a b a b-=>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l的斜率可以在下列给出的某个区间内，该区间可以是（ ） （A ）3(0,) （B ）3(,1) （C ）(1,2) （D ）(2,)+∞ 10．已知函数3221,0()31,()468,0x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，则方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的根的个数不可能．．．为（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．抛物线24y x =的焦点坐标是_______________． 12．在二项式3()n x x+的展开式中，各项的系数和比各项的二项系数和大240，则n 的值为 ．13．某同学在电脑中打出如下若干个符号：W d W W d W W W d W W W W d W W W W W d K K 若将这些符号按此规律继续下去，那么在前130个符号中d 的个数为_____________个．14．如图，过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的B M OO O AO x Oy O -2O-1 O 1 O 2 O -2动点M 引圆222:O x y b +=的两条切线,MA MB ， 其中,A B 分别为切点，，若椭圆上存在点M ， 使2BMA π∠=，则该椭圆的离心率为____________.15．设O 为ABC ∆的外心，若0xOA yOB zOC ++=u u u r u u u r u u u r r，C 为ABC ∆的内角，则cos2C =___________.（用已知数,,x y z 表示）16．已知220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则|25|z x y =++的最大值与最小值的差为______________．17．设1a ，2a ，…，n a 是1，2，…，n 的一个排列，把排在i a 的左边．．且比i a 小．的数的个数称为i a 的顺序数（12i n =，，，L ）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为________________．（结果用数字表示） 三、解答题（满分72分）18．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=⋅.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅u r r u r r且的最大值是5，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n 层第m 个竖直通道（从左至右）的概率为(,)P n m ．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）（Ⅰ）求(2,1),(3,2)P P 的值，并猜想(,)P n m 的表达式．（不必证明）（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m 个竖直通道得到分数为ξ，其中4,133,46m m m m ξ-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求ξ的分布列及数学期望．20.（本小题满分14分）已知214)(xx f +-=数列}{n a 的前n 项和为n S ，点)1,(1+-n n n a a P 在曲线)(x f y =上)(*N n ∈且0,11>=n a a .层 层（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）数列}{n b 的前n 项和为n T 且满足381622121--+=++n n a T a T n n nn ，设定1b 的值使得数}{n b 是等差数列；（Ⅲ）求证：*,11421N n n S n ∈-+>.21.（本小题满分15分）如图，在ABC ∆中，已知(3,0),(3,0),A B CD AB -⊥于D ，ABC ∆的垂心为H 且9CD CH =u u u r u u u r．（Ⅰ）求点H 的轨迹方程；（Ⅱ）设(1,0),(1,0)P Q -，那么111,,||||||HP PQ QH 能否成等差数列？请说明理由；（Ⅲ）设直线,AH BH 与直线:9l x =分别交于,M N 点，请问以MN 为直径的圆是否经过定点？并说明理由．22.（本小题满分15分） 已知函数|21|||112(),(),,16x a x a f x ef x e x R a -+-+==∈≤≤（Ⅰ）若2a =，求12()()()f x f x f x =+在[]2,3上的最小值；（Ⅱ）若1221|()()|()()f x f x f x f x -=-对于任意实数x 恒成立，求a 的取值范围；第21题图（Ⅲ）求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f xg x +-=-在[]1,6上的最小值．参考答案：1-5DBAAB6-10CDDDA11．1(0,)1612． 4 13．14 14． 15． 2222z x y xy--16．5 17．144 18．【解析】（I ）∵(2a －c )cos B =b cos C ，∴（2sin A －sin C ）cos B =sin B cos C即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π，∴2sin A cos B =sin A∵0<A <π,∴sin A ≠0.∴cos B =21 ∵0<B <π，∴B =3π（II ）m n ⋅u r r =4k sin A +cos2A =－2sin 2A +4k sin A +1，A ∈（0，322）设sin A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅u r r =－2t 2+4kt +1=－2(t －k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(∵k >1，∴t =1时，m n ⋅u r r 取最大值. 依题意得，－2+4k +1=5，∴k =2319．【解析】（1）0101111(2,1)222P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1112111(3,2)222P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 111(,)2m n n C P n m ---=（2）01555515(6,1)(6,6),(6,2)(6,5),232232C C P P P P ====== 25510(6,3)(6,4)232C P P ===16E ξ=20.【解析】(1)014)(121>+-==-+n nn n a a a f a 且∴21141nn a a +=+∴*)(411221N n a a nn ∈=-+，∴数列}1{2na 是等差数列，首项211a 公差d=4∴)1(4112-+=n a n∴3412-=n a n∵0>na ∴*)n a n N =∈(2)由*)n a n N =∈，381622121--+=++n n a T a T n n n n 得)14)(34()14()34(1+-++=-+n n T n T n n n ，∴134141=--++n T n T nn ∴1341-+=-n T n Tn∴)1)(34(1-+-=n T n T n 若}{n b 为等差数列，则11,01111===-b T T 即 ∴*78N n n b n ∈-=(3)341-=n a n∴143423422++->-=n n n an23414--+=nn∴)59()15(2121-+->+++=n n a a a S Λ 112++=L21.【解析】（1）设点(,),C x y 由题意得8(,)9H x y ，则8(3,),(3,)9AC x y BH x y =+=-u u u r u u u r，由于AC BH ⊥，于是228909AC BH x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，又0y =时,AC BH u u u r u u u r 共线，不合题意．故点C 的轨迹方程为2289(0)9x y y +=≠．设点00(,),(,)H x y C x y ，则2200089(0)9x y y +=≠，由00008998x x x xy y y y ==⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩点H 的轨迹方程为221(0)98x y y +=≠．（2）设()()(3cos ),(0,,2)H αααπππ∈U，则(3cos 1,)PH αα=+u u u r，(3cos 1,)QH αα=-u u u u r，故21111663213cos 3cos 9cos 84||||||PQ PH QH ααα+=+=<=<=+--u u u r u u u u r所以111,,||||||HP PQ QH 不能构成等差数列．（3）设(9,),(9,)M m N n ，则(3,0),(3,0)A B -，于是(12,),(3cos 3,)AM m AH αα==+u u u u r u u u u r，由,,A H M三点共线得12(3cos 3)0m m αα⨯-+=⇒=由,,B H N三点共线得n =又M N ，以MN 为直径的圆的方程为(9)(9)(0x x y y --+=，即22(9)640x y y -+--=解得10x y =⎧⎨=⎩（舍）或17x y =⎧⎨=⎩．故以MN 为直径的圆必过椭圆外定点(17,0)．22.【解析】（1）对于[]|3||2|1312,2,3,()2x x x x a x f x ee e e e --+--=∈=+=+≥，当且仅当31x x e e --=，即2x = 时等号成立，故min ()2f x e =（2）由题意|21|||1x a x a ee -+-+≤对任意x R ∈恒成立，故|21|||1x a x a -+≤-+，即|21|||1x a x a -+--≤对任意x R ∈恒成立，又由16a ≤≤可知函数|21|||y x a x a =-+--的图像可得其最大值为1a -，故1112a a -≤⇒≤≤（3）112212(),()()()(),()()f x f x f xg x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩ ①当12a ≤≤时，由（2）知|21|121()()()()x a f x f x g x f x e-+≤⇒==，图像关于直线21x a =- 对称，又1213a ≤-≤，故对[]1,6x ∈，min 1()(21)1g x f a =-=②当26a <≤时，(21)1021a a a a a --=->⇒->，当x a ≤时，(21)1||1122()(),()()x a x a x a f x e e f x g x f x e -+--++-+=>===；当21x a ≥-时，(21)1|21|121()(),()()x a x a x a f x e e f x g x f x e -+--++-+=<=== 当21a x a <<-时，(21)112()(),x a x a f x ee f x -+--++=≤=得322a x -≥， 其中32212a a a -<<-．故32212a x a -≤<-时|21|1()()x a g x f x e -+==； 322a a x -<< 时||12()()x a g x f x e -+==．由此当26a <≤时，1232(),2()32(),2a f x x g x a f x x -⎧≥⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩令|21|112()22,2x a f x e e x a x a -+==⇒=-=，且32222a a -<-（A ）当622a a ≤≤-，即46a ≤≤时，min 2()()g x f a e ==；（B ）当22621a a -<≤-，即742a ≤<时，27min 1()(6)a g x f e -==（C ）当216a -<，即722a <<时，min 1()(21)1g x f a =-= 综上所述27min 71,127(),42,46a a g x e a e a -⎧≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪≤≤⎪⎪⎩。
2020届高考数学知识点一本全(人大附)
2. 函数 f : A B 是特殊的映射．
特殊在定义域 A 和值域 C 都是非空数集！注意值域 C B ．
函数的三要素：定义域、对应法则、值域，其中值域由定义域和对应法则确定，
也就是说，确定一个函数，只需确定函数的定义域和对应法则．
3. 求函数定义域的常用方法:
（1）偶次根式的被开方数非负；分式的分母不能为零；对数 loga x 中 x 0 ，a 0 且
子集，记作 A B 或 B A ．
如果集合 A 中存在着不是集合 B 的元素，则集合 A 不包含于 B ，记作 A B 或
B A．
（2）真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A ，那么集
合 A 叫做集合 B 的真子集，记作 A B 或B A ．
（3）维恩图：我们通常用一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图．
（2）集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性. （3）集合的分类：有限集、无限集．
特殊的集合有：空集 ，自然数集 N，正整数集 N*（或 N+），整数集 Z，
有理数集 Q，实数集 R，复数集 C．
（4）集合的表示：①列举法{a, b, c} ；②特征性质描述法{x I | p(x)}．
（5）几个特殊的集合：①{(x，y)|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}二、四象限的点集. ③{(x，y)|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
（4）集合的相等：如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，反过来，
集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元素，则称集合
A
A 与集合 B 相等，记作 A = B ．
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2020届大纲版高考精选预测（理41）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设I 为全集，M 、N 、P 都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是A.M ∩（N ∪P ）B.M ∩［（IN ）∩P ］C.［（IM ）∩（IN ）］∩P D.（M ∩N ）∪（M ∩P ）2.奇函数y =f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为3.设O 、A 、B 、C 为平面上四个点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，且a +b +c =0，a ，b ，c 两两数量积都为－1，则｜a ｜+｜b ｜+｜c ｜等于A.22B.23C.32D.334.下列函数中值域是（0，+∞）的函数是 A.y =x-215B.y =（21）1－xC.y =x21-D.y =121-x 5.三个数成等差数列，其公差为d ，如果最小数的2倍，最大数加7，则三个数成等比数列，且它们的积为1000，此时d 为A.8B.8或－15C.±8D.±156.设a >b >c ，且ca nc b b a -≥-+-11，则n 的最大值为 A.2B.3C.4D.57.已知0＜θ＜4π，则下列各式中正确的是 A.sin θ＜cos θ＜cot θ B.cos θ＜cot θ＜sin θ C.cot θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜sin θ＜cot θ8.如果AC <0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不通过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 9.有如下一些说法，其中正确的是①若直线a ∥b ，b 在面α内，则 a ∥α；②若直线a ∥α，b 在面α内， 则 a ∥b ； ③若直线a ∥b ，a ∥α， 则 b ∥α；④若直线a ∥α，b ∥α， 则 a ∥b .A.①④B.①③C.②D.均不正确10.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答及格的概率为54，乙答及格的概率为53，丙答及格的概率为107，三人各答一次，则三人中只有一人答及格的概率为A.203B.12542 C.25047D.以上都不对11.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小 值为A.1B.2C.2D.2212.已知曲线S :y =3x －x 3及点P （2，2），则过点P 可向S 引切线的条数为 A.0 B.1 C.2 D.3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13.已知双曲线2222by a x =1（a ＞0，b ＞0）的半焦距为c ，若b 2－4ac ＜0，则它的离心率的取值范围是 .14.地球北纬45°圈上有两点A 、B ，点A 在东经130°处，点B 在西经140°处，若地球半径为R ，则A 、B 两点在纬度圈上的劣弧长与A 、B 两点的球面距离之比是 .15.已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值为10，则a = ，b = . 16.有下列命题：① G =ab （G ≠0）是a ，G ，b 成等比数列的充分非必要条件；②若角α，β满足 cos αcos β=1，则sin （α+β）=0;③若不等式|x －4|+｜x －3|<a 的解集非空，则必有a ≥1;④函数y =sin x +sin ｜x ｜的值域是［－2，2］.其中错误命题的序号是 .（把你认为错误的命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知等差数列｛a n ｝的首项a 1=1，公差d >0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列｛b n ｝的第二、三、四项.（1）求数列｛a n ｝与｛b n ｝的通项公式；（2）设数列｛c n ｝对任意自然数n 均有nn bcb c b c b c ++++Λ332211=a n +1成立，求c 1+c 2+c 3+…+c 2020的值.18.（本小题满分12分）如图，已知：PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，PD ∶DC ∶BC =1∶1∶2.（1）求PB 与平面PDC 所成角的大小；（2）求二面角D —PB —C 的正切值. 19.（本小题满分12分） 在△OAB 中，21,41==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ， （1）用a ，b 表示OM ;（2）在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使E F 过M 点，设OE =p OA ，OF =q OB ，求证：pp 7371+=1. 20.（本小题满分12分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知该厂生产这种仪器，次品率p 与日产量x （件）之间大体满足关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈>∈≤≤-N),94(32N),941(961x x x x x.已知每生产一件合格的仪器可盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，厂方希望定出适当的日产量.（1）试判断：当日产量（件）超过94件时，生产这种仪器能否赢利？并说明理由； （2）当日产量x 件不超过94件时，试将生产这种仪器每天的赢利额T （元）表示成日产量x （件）的函数；（3）为了获得最大利润，日产量x 件应为多少件？ 21.（本小题满分12分）已知双曲线C :2222b y a x -=1（a ＞0，b ＞0）的一条准线方程为x =59，一个顶点到一条渐近线的距离为512. （1）求双曲线C 的方程； （2）动点P 到双曲线C 的左顶点A 和右焦点F 的距离之和为常数（大于|AF |），且cos APF 的最小值为－257，求动点P 的轨迹方程. 22.（本小题满分14分）已知函数f (x )满足对任意实数x ，y 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ）+xy +1,且f （－2）=－2.（1）求f （1）的值;（2）证明:对一切大于1的正整数t ，恒有f （t ）>t ; （3）试求满足f （t ）=t 的整数的个数，并说明理由.参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1.B2.解析：用图象平移或直接求出f （x －1）的解析式即得. 答案：D3.解析：利用a +b =－c 平方得. 答案：C4.B5.B6.解析：用基本不等式ba b a 1122+≥+（a ＞0，b ＞0）变形得. 答案：C7.解析：由tan θ=θθcos sin ＞sin θ得. 答案：A8.解析：利用AC <0，BC <0研究横纵截距. 答案：C9.D 10.C 11.D12.解析：设S 的切线方程，令切线过点P 可求得. 答案：D二、填空题（每小题4分，共16分）13.（1，2+5） 14.32∶4 15.4，－11 16.③三、解答题（17，18，19，20，21题每题12分，22题14分，共74分）17.解：（1）由题意得（a 1+d ）（a 1+13d ）=（a 1+4d ）2（d ＞0），解得d =2，∴a n =2n －1.可得b n =3n －15分 （2）当n =1时，c 1=3;当n ≥2时，由nn b c =a n +1－a n ，得c n =2·3n －1， 故c n =⎩⎨⎧≥⋅=-).2(32),1(31n n n 9分故c 1+c 2+c 3+…+c 2020=3+2×3+2×32+…+2×32002=32020. 12分18.解：（1）由PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 得PD ⊥BC .由AD ⊥DC ，AD ∥BC ，得BC ⊥DC . 又PD ∩DC =D ，则BC ⊥平面PDC .所以∠BPC 为直线PB 与平面PDC 所成的角. 3分令PD =1，则DC =1，BC =2，可求出PC =2. 由BC ⊥平面PDC ，PC ⊂平面PDC ，得BC ⊥PC . 在Rt △PBC 中，由PC =BC ，得∠BPC =45°， 即直线PB 与平面PDC 所成的角为45°. 5分（2）如图，取PC 中点E ，连DE ，则DE ⊥PC . 由BC ⊥平面PDC ，BC ⊂平面PBC ，得平面PDC ⊥平面PBC .则DE ⊥平面PBC . 7分作EF ⊥PB 于F ，连DF ， 由三垂线定理，得DF ⊥PB .则∠DFE 为二面角D —PB —C 的平面角. 9分在Rt △PDC 中，求得DE =22. 在Rt △PFE 中，求得EF =21. 在Rt △DEF 中，tan DFE =.2=EFDE11分 即二面角D —PB —C 的正切值为2. 12分19.（1）解：设OM =m a +n b ， 则=（m －1）a +n b ;=－a +21b ， ∵点A 、M 、D 共线，∴与共线，∴5.011nm =--，∴m +2n =1. ① 2分而)41(-=-=m OC OM CM a +n b ，41-=a +b ，∵C 、M 、B 共线，∴与共线，∴14141n m =--，∴4m +n =1. ② 4分 联立①②可得m =71，n =73，∴71=OM a +73b . 7分（2）证明：=（71－p ）a +73b ，=－p a +q b ，∵EF 与EM 共线，∴qp p7371=--. ∴71q －pq =－73p ，即q p 7371+=1. 12分20.解：（1）当x >94时，p =32，故每日生产的合格品约为31x 件，次品约为32x 件，合格品共可赢利31xA 元，次品共亏损32x ·312=A xA 元.因盈亏相抵，故当日产量超过94件时，不能赢利.5分（2）当1≤x ≤94时，p =x-961，每日生产的合格品约为x （1－x -961）件，次品约为x x -96件，∴T =x （1－x-961）A－x x -96·2A=［x －)96(23x x -］A （1≤x ≤94）.（3）由（1）可知，日产量超过94件时，不能盈利. 当1≤x ≤94时，.]96144)96(2196[)9614423(A xx A x x T ----=--+=. ∵x ≤94，96－x ＞0， ∴T ≤.02147]96144)96(22197[>=-⋅--A A x x 当且仅当（96－x ）=x-96144时，即x =84时，等号成立.故要获得最大利润，日产量应为84件.12分21.解：（1）易求得方程为16922y x -=1. 5分（2）A 、F 是定点，由圆锥曲线的定义知，点P 的轨迹为椭圆.设其长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c =8，在△PAF 中，应用余弦定理研究∠APF 的余弦，应用基本不等式可知，cos APF ≥1－232a， 当且仅当|PA |=|PF |=a 时取等号，故a 2=25，b 2=9，求出椭圆中心的坐标为（1，0），则所求方程为925)1(22y x +-=1. 12分22.（1）解：令x =y =0，得f （0）=－1.令x =y =－1，因f （－2）=－2，所以f （－1）=－2. 令x =1，y =－1，得f （0）=f （1）+f （－1）， 所以f （1）=1. 4分 （2）证明：令x =1，得f （y +1）－f （y ）=y +2， 故当y ∈N 时，有f （y +1）－f （y ）>0. 由f （y +1）>f （y ），f （1）=1可知， 对一切正整数y 都有f （y ）>0.当y ∈N 时，f （y +1）=f （y ）+y +2=f （y ）+1+y +1>y +1. 故对一切大于1的正整数，恒有f （t ）>t . 9分（3）解：由f （y +1）－f （y ）=y +2及（1）可知f （－3）=－1，f （－4）=1. 下面证明t ≤－4时，f （t ）＞t . ∵t ≤－4，∴－（t +2）≥2＞0.∵f （t ）－f （t +1）=－（t +2）＞0， ∴f （－5）－f （－4）＞0，同理可得f （－6）－f （－5）＞0，f （t +1）－f （t +2）＞0，f （t ）－f （t +1）＞0. 将各不等式相加得f （t ）＞f （－4）=1＞－4. ∵t ≤－4，∴f （t ）＞t .综上所述，满足条件的整数只有两个：1和－2. 14分。