求圆面积需要知道半径吗

求圆的面积需要半径吗
摘要：本文首先从日常教学中教师的不严谨的叙述出发提出求圆面积是否需要半径的问题；其次从化圆为方的方向说明要估算一个圆的面积不需要知道圆的半径；再次从分割的方向说明要计算圆的面积可以先算部分，再算整体；然后从圆面积公式出发说明知道2r不需要算出半径同样可求圆的面积；最后从圆面积公式出发说明知道圆的半径可以求圆的面积。

从而得出解决问题，得出结论，求圆的面积并不是非要知道圆的半径。

关键词：圆；面积；半径
圆的面积是小学阶段学习的最后一个平面图形的面积。

它让我想起了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积。

它们同属于平面图形，但又有着彼此的不一样。

偶然的机会，我幸运的阅读了沈徐建和朱乐平两位老师撰写的《求长方形的面积必须知道它的长和宽吗》一文，笔者在文中详细的阐释了长方形的长和宽是求长方形面积的充分条件而非必要条件。

现实教学中，有的老师偏偏采用了文中所阐述的错误叙述：“要求一个长方形的面积，必须要知道长方形的长和宽。

”这句话他们不仅会在长方形的面积计算中运用，正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算中，老师们都不约而同的效仿了前面那句错误的说法。

圆作为小学阶段学习的唯一个由曲线围成的平面图形，也没有逃过部分老师在面积教学时的错误借鉴：“同学们，要求圆的面积，必须要知道圆的什么呢？必须要知道圆的半径。

”借用《求长方形的面积必须知道它的长和宽吗》文中逻辑，同理可得，圆的半径也是求圆面积的充分条件非必要条件。

也就是说，要求圆的面积，知道圆的半径可以求，不知道圆的半径也可以求，不是必须要知道圆的半径，有的时候，当圆的半径未知时，圆的面积照样可求，也许还会变得更加简便。

下文笔者会从不同角度阐述求圆的面积不是一定要知道圆的半径。

一、化圆为方
求圆的面积在现在看来可能是一个非常简单的小学生问题，可在古代，有着文明古国之称的埃及却把圆看成是神赐予人的神圣图形。

当时，要求圆的面积是数学对人类智慧的一次考验，是一个世界性的数学难题，不少数学家都为了它绞尽脑汁。

它们认为，
既然正方形的面积那么容易求，只要想办法做出一个正方形，使它的面积恰好等于圆面积就行了。

可怎样才能做出这样的正方形呢？这就是古代的三大几何难题之一——化圆为方。

虽然古人“化圆为方”的方法不能精确的计算出一个圆的面积，但是他们给我们提供了一种新的解题思路，一种能让人们估计圆面积的估算方法。

有时，当我们不需要知道一个圆的具体面积时，估算会显得十分有用和方便。

在西师版六年级上册教材中就出现了“化圆为方”的这种估算圆面积的方法。

如图1：
图1
图1虽然不是画圆的内接正方形，但它是以圆半径作为正方形的边长画正方形，与“化圆为方”有着同样的思想，有着相同的目标——求圆的面积。

观察图1，学生非常容易就能确定圆面积一定会比四个正方形面积小，可能会比三个正方形面积大的结论，从而把圆面积固定在这一区间内。

为了让学生的估算更接近圆的面积，教材给出了图2。

图2
图2将正方形平均分成了16个小正方形，通过数小正方形的个数，进一步缩小圆面积所在的区间，使得估算结果更接近圆面积。

随着圆中画的正方形个数越来越多，每个小正方形的面积越来越小，即单位面积越来越小的时候，圆的面积也会越来越接近于这些单位面积之和，当圆中的小正方形分到无限多个时，圆的面积也会无限的接近于小正方形面积之和。

这样类似于化圆为方的方法，教师们通常叫做数方格，其实就是选择合适的单位面积对事物进行测量，当单位面积越小，结果精确度越高。

在运用这种方法的时候，学生只需要知道每个单位面积的大小，根本不需要去管圆半径是多少，就可以通过数数的方式直接得出圆面积的具体存在区间。

因此，“化圆为方”在不知道半径的前提
下能确定圆面积的实际区间，也应当是求圆面积的方法之一，或是验证圆面积的方法之一。

二、 化整为零
切西瓜在夏天是人们经常做的事情。

“切”在数学中叫分割，这种方式却被广泛的应用于数学研究和教学中。

在研究圆面积时，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。

要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次。

直到16世纪，天文学家开普勒运用自己发明的无穷分割法，把圆分割成无穷多个小扇形，求出了圆的面积。

他的无穷分割法很快被传开。

数学家们也高度评价开普勒，称赞他创造了求圆面积的新方法。

既然古人已经把分割作为求圆面积的方法，在现实教学和学习中也可以直接采用“化整为零”的方式把圆进行分割，先求部分，再求整体。

例1已知由某个圆分割出的一个扇形的面积是52m ，这个扇形是圆的
101，求这个圆的面积？
分析：已知圆中扇形的面积是52m ，它又是圆的
101，即圆面积是这个扇形面积的10倍，显然圆面积就是5×10﹦50()
2m 。

像例1这类题它并不需要求出圆半径便能轻易算出圆的实际面积。

如果学生受教师错误表述的影响，必须先求出半径，这个问题小学生可能将无法解决。

三、 化难为易
圆面积怎么求？这个问题是否很简单，只要用公式2r π=S 一算，结论就出来了。

现实往往不如学生们想像那么容易，就因为部分教师一句错误的阐述，他们的思维被固化。

他们但凡遇见与求圆面积有关的问题，就必须要知道圆的半径。

有些和圆面积相关的问题，他们的想法却背离了题目意思，他们越想求半径，从题目中就很难求出半径，最终他们越陷越深，直至放弃。

其实，老师们在教学时也经常提醒学生做题应先易后难，那我们为何不在求圆面积时，放弃难求的半径，化难为易，跳出固有的思维呢？
例2 如图1所示，已知阴影部分的面积为42m ，求圆的面积是多少2m ？
分析：受教师错误表述的影响，要求圆的面积，必须先求圆的半径。

于是大多数学生都会不自觉的先去求圆的半径。

题目中圆的半径就是正方形的边长，条件又告诉了正方形的面积。

学生很容易根据公式正方形的面积﹦边长×边长，得到2×2﹦4，求出圆的半径正好是2m ，从而求到圆的面积解决问题。

由于例2给出的条件数据较为特殊，学生即使在错误的固定思维的引导下也能解决问题。

可是当条件数据发生变化（如例3），不再能使用正方形面积公式算出边长时，学生面对求半径可能就是束手无策。

例3如图1所示，已知阴影部分的面积为32
m，求圆的面积是多少2
m？
分析：本题和例2属于同一类型题目，只是数据上有所变化。

如果照搬其思路，由于学生现有知识水平有限，还未曾接触过开方的知识，在求圆半径时很容易碰壁，求不出半径，从而求不出圆的面积。

从另一个角度看，正方形的面积﹦边长×边长，而其边长恰好是圆的半径，即正方形的面积﹦半径×半径，从而得出3
r2=，从而跨越了求圆半径，直接求出圆的面积，这样不就做到了“化难为易”吗？
对于上述类型题目而言，老师们应该借机把学生带出其固定的思维——求圆面积不是必须求出圆的半径，做到把题目“化难为易”，给学生相应的提示。

既然求半径是件很困难的事情，就可以考虑一些简单容易做的事情，比如是否能直接求半径的平方？学生的定势思维很快就会被一句不经意的话打破，从而得出另一种解决圆面积的简便方法。

四、化无为有
“无中生有”在数学教学和学习中是一种非常好的方法。

在解决一些几何题时，通常都需要人为的添加上一条或几条辅助线；在解决一些实际问题时，需要自己寻找和直接量有关的间接量，从而算出解决问题需要的直接量，我把它们叫“化无为有”。

这种方法其实是老师和学生们用得最多、最熟、最直接的方法。

例4 有一个圆的直径是4dm，它是面积是多少2
d m？
分析：要求圆的面积，如果知道半径或半径的平方，就可以直接用公式2rπ
S解决
=
问题。

但条件告诉的并不是直接需要的半径或半径的平方，只给出了直径这个间接的条件。

这时，就需要利用直径和半径的关系，把本来没有的半径给算出来，从而利用公式解决问题。

d m
例5 有一个圆的周长为6.28 dm，它是面积是多少2
分析：它与例4属于同一类型的题目，都可以用“化无为有”这种方法，先利用已知的周长和未知的半径之间的关系，求出圆的半径，从而求出圆面积。

类似于例4和例5这样的题型，在教学中，老师们把他们当成了重点。

其实根据老
师们的错误叙述，学生能根据已学，先求出圆的半径，再求圆的面积。

这种类型的题目往往是学生掌握得最快，也最容易掌握的题目。

综上“四化”，当直接知道圆半径或间接能求出圆半径时，圆的面积是可求的；当不知道圆的半径或求不出圆的半径时，圆的面积同样可求。

因此，求圆的面积不是必须知道半径。

虽然“必须”一词带来的思考到此已结束，也说明了数学是一门严谨的科学，但由“必须”一词带给学生的固定思维还需要教师们进行纠正，“必须”带给老师们的思考并未结束。