2019-2020年新人教A版高中数学第3章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课件必修1
2019-2020人教A版数学必修1 第3章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例
3.2.2函数模型的应用实例1．常用函数模型思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？[提示]利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()AC．指数函数模型D．对数函数模型A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.]2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到() A．300只B．400只C．600只D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1)得，100＝a log2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是() A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)D ．y ＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)D [由题意知，变速车存车数为(2 000－x )辆次，则总收入y ＝0.5x ＋(2 000－x )×0.8＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)．]4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．7 [设二次函数y ＝a (x －6)2＋11，又过点(4，7)， 所以a ＝－1，即y ＝－(x －6)2＋11.解y ≥0，得6－11≤x ≤6＋11，所以有营运利润的时间为211.又6<211<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12th ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？[解] 先设定半衰期h ，由题意知 40－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h，即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，解之，得h ＝10，故原式可化简为T －24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，当T ＝32时，代入上式，得 32－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10＝864＝18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，∴t ＝30. 因此，需要30 min ，可降温到32 ℃.已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．1.某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为： P ＝⎩⎨⎧t ＋20（0<t <25）－t ＋100（25≤t ≤30）.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？[解] 设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800（0<t <25），t 2－140t ＋4 000（25≤t ≤30）.(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大.畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域． (2)求羊群年增长量的最大值．思路点拨：畜养率―→空闲率―→y 与x 之间的函数关系――→单调性求最值[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m ，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m (0<x <m )．(2)对原二次函数配方，得y ＝－km (x 2－mx )＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4，即当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4.自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”． 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？ 提示：不一定．2．对于收集的一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x n ，y n )我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．【例3】 某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示：(1)画出2015～(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？思路点拨：描点――――→依散点图选模――――→待定系数法求模――→误差验模→用模[解] (1)画出散点图，如图所示． (2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝1.5，b ＝2.5， ∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1， f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．函数拟合与预测的一般步骤是： (1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y ＝a ·b x 得： ⎩⎨⎧7.9＝a ·b 70，47.25＝a ·b 160，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x 得y ＝2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．1.思考辨析(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． ( ) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型． ( ) (3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数A [由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝0.957 6x100 B ．y ＝(0.957 6)100x C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.957 6100xD ．y ＝1－0.042 4x100A [由题意可知y ＝(95.76%)x 100，即y ＝0.957 6x100.]4．已知A ，B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50 km/h 的速度返回A 地．(1)把汽车离开A 地的距离s 表示为时间t 的函数(从A 地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象． [解] (1)①汽车由A 地到B 地行驶t h 所走的距离s ＝60t (0≤t ≤2.5)． ②汽车在B 地停留1小时，则汽车到A 地的距离s ＝150(2.5＜t ≤3.5)． ③由B 地返回A 地，则汽车到A 地的距离s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t (3.5＜t ≤6.5)．综上，s ＝⎩⎨⎧60t （0≤t ≤2.5），150（2.5＜t ≤3.5），325－50t （3.5＜t ≤6.5），它的图象如图(1)所示．(1) (2)(2)速度v (km/h)与时间t (h)的函数关系式是v ＝⎩⎨⎧60（0≤t ≤2.5），0（2.5＜t ≤3.5），－50（3.5＜t ≤6.5），它的图象如图(2)所示．。
2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课件新人教A版必修1
拓展提升 构造函数模型解决实际问题
(1)用已知函数模型解决问题时，将题中的数据代入函 数模型，即可求得函数模型中的参数，再转化为求函数值或 自变量的值．
(2)在函数应用题中，已知的等量关系是解题的依据， 像此题中的利润＝总收益－总成本，又如“销售额＝销售价 格×销售数量”等．像几何中的面积、体积公式，物理学中 的一些公式等，也常用来构造函数关系．
即前六个月所获纯利润 y 关于月投资 A 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润 y 关于月投资 B 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝0.25x.
设下月投入 A、B 两种商品的资金分别为 xA，xB(万元)， 总利润为 W(万元)，那么
xWA＋ ＝xyBA＝ ＋1yB2＝，－0.15xA－42＋2＋0.25xB. 所以 W＝－0.15xA－1692＋0.15×1692＋2.6.
解 设日销售金额为 y(元)，则 y＝PQ， 所以 y＝－ t2－t2＋ 14200t＋t＋480000002<5≤t<2t≤5，30 (t∈N*)． ①当 0<t<25 且 t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900， 所以当 t＝10 时，ymax＝900(元)． ②当 25≤t≤30 且 t∈N*时，y＝(t－70)2－900， 所以当 t＝25 时，ymax＝1125(元)． 结合①②得 ymax＝1125(元)． 因此，这种商品日销售额的最大值为 1125 元，且在第 25 天时日销售金额达到最大．
第三章 函数的应用
3．2 函数模型及其应用 3．2.2 函数模型的应用实例
课前自主预习
1．函数模型应用的两个方面
(1)利用 □1 已知函数模型 解决问题；
2019-2020年高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修
2019-2020年高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修复习指导考点一：几类不同增长的函数模型1．三种函数模型的性质2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x.解题指导：三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．例题：1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝50 B．y＝1 000xC．y＝2x－1D．y＝11 000ln x解析：指数函数模型增长速度最快，故选C. 答案：C2.若x∈(0，1)，则下列结论正确的是( )A ．2x >x 12>lg xB ．2x>lg x >x 12 C ．x 12>2x >lg x D ．lg x >x 12>2x解析：如图所示，由图可知当x ∈(0，1)时，2x >x 12>lg x .答案：A考点二：函数模型的应用实例 1．解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：2．数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．解题指导：1. 用已知函数模型解决问题；2. 建立函数模型解决实际问题. 例题：为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与t 的函数关系式为 (a 为常数),如图所示.根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室.答案：（1）（2）0.62. 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:时间(t)50110 250种植成本(Q) 150 108 150(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系:Q=at+b,Q=at 2+bt+c,Q=a·b t ,Q=a·log b t;(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.答案：（1）（2）当3215012200t -=-=⨯ (天)时,西红柿种植成本最低为21342515015010020022Q =⨯-⨯+= (元/102kg) 巩固练习一、选择题1．下面对函数，g (x )＝与h (x )＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( ) A. f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢 B. f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快 C. f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢 D. f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快2．如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（ ）A. B. C. D.3．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ( )A. y1，y2，y3B. y2，y1，y3C. y3，y2，y1D. y1，y3，y24．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A. f1(x)＝x2B. f2(x)＝4xC. f3(x)＝log2xD. f4(x)＝2x5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A. y＝2x－2B. y＝ (x2－1)C. y＝log2xD. y＝6．某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司xx年全年投入的研发资金为100万无，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是（）（参考数据：）A. 2022年B. 2023年C. 2024年D. 2025年二、解答题7．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：现有如下5个模拟函数：①y ＝0.58x －0.16；②y ＝2x－3.02；③y ＝x 2－5.5x ＋8；④y ＝log 2x ；⑤y ＝＋1.74 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．8．复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息．(1)写出x 年后，需要还款总数y (单位：万元)和x (单位：年)之间的函数关系式； (2)计算5年后的还款总额(精确到元)；(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x 元，分5次还清，求每次还款的金额x (精确到元)． (参考数据：1.073＝1.225 0，1.074＝1.310 8，1.075＝1.402 551，1.076＝1.500 730)9．根据统计，某机械零件加工厂的一名工人组装第（）件产品所用的时间（单位：分钟）为()9 992cx x f x c x x <⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，，（为常数）.已知该工人组装第件产品用时小时.（1）求的值；（2）试问该工人组装第件产品比组装第件产品少用多少时间？10．在热学中，物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，如果物体的初始温度是，经过一定时间后，温度将满足，其中是环境温度， 称为半衰期．现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡，放在75F 的房间内，如果咖啡降到105F 需要20分钟，问降温到95F 需要多少分钟？（F 为华氏温度单位，答案精确到0.1.参考数据： ， ）11．某企业生产 ， 两种产品，根据市场调查与预测， 产品的利润与投资关系如图（1）所示； 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元）．（1）分别将 ， 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）已知该企业已筹集到 万元资金，并将全部投入 ， 两种产品的生产．问怎样分配这 万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?参考答案与解析1．C【解析】画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C.因为三个函数都是下凸函数。
高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课件新人教A版必修1
nxí
ng)预测.
第三页，共42页。
2.应用函数模型解决问题的基本过程
第四页，共42页。
第五页，共42页。
第六页，共42页。
做一做1 某种细胞分裂(fēnliè)时,由1个分裂(fēnliè)成2个,2个分裂(fēnliè)
成4个,……现有2个这样的细胞,分裂(fēnliè)x次后得到细胞的个数y与x的
销售的统计规律:每生产产品 x(单位:百台),其总成本为 G(x)(单位:万
元),其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万
元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入
-0.4 2 + 4.2,0 ≤ ≤ 5,
R(x)=
假定该产品产销平衡(即生产的产品
11, > 5.
三
探究四
第十六页，共42页。
思维辨析
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
探究四
第十七页，共42页。
思维辨析
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
思维辨析
变式训练 2 已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满
足关系 y=a·
3.2.2
函数模型(móxíng)的应
用实例
第一页，共42页。
学 习 目 标
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.
3.了解拟合函数模型并解决实际问题.
第二页，共42页。
思 维 脉 络
1.函数模型应用的两个方面
高中数学第三章函数的应用3.2.2.1一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例课件新人教A版必修1
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.
【解析】由甲、乙两地调运至A,B两地的机器台数及费
用列表如下:
调出地 调至地 台数 每台运 费 运费合 计 甲地 乙地
A地 10-x 400
B地 12-(10-x) 800
A地 x 300
B地 6-x 500 500·(6-x)
所以甲厂应该选取6千克/小时的生产速度,最大利润为
457500元.
【补偿训练】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产
某种机器12台和6台,现销售给A地10台,B地8台.已知从 甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元,
从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元.
(1)设从乙地调运x台至A地,求总运费y关于x的函数关
①当x=20×60=1200,即x>500时,
应付y=30+0.15×(1200-500)=135(元). ②90元已超过30元,所以上网时间超过500分钟,由
30+0.15(x-500)=90可得,上网时间为900分钟.
③令60=30+0.15(x-500),解得x=700.
故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选 择电脑上网,而当短时间上网(一个月使用量不超过700
x的取值范围. (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂
应该选取何种生产速度?并求最大利润.
【解析】(1)根据题意200 (5x 1 3 ) ≥3000⇒5x-14- 3
x x
≥0, 又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
3 900 (2)设利润为y元,则y= ·100 (5x 1 ) =9× x x 1 1 2 61 4 10 [3( ) ] ,故x=6时,ymax=457500. x 6 12
高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课件新人教A版必修12
N.
………………3
分
②设 Q=kt+b(k,b 为常数),将(5,25)与(10,20)代入,
得
5k b 25, 10k b 20,
解得
k=-1,b=30.
所以日交易量 Q(万份)与时间 t(天)的一次函数关系式为
Q=30-t,0≤t≤30,t∈N. …………………………………6 分
(2)由(1)可得
即时训练 2-1:某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%, 若初时含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 1 ,问至少应过滤几次才能使
3 产品达到市场要求?(已知:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
解:依题意得 2 ·( 2 )n≤ 1 ,即( 2 )n≤ 1 .
解:(2)2012 年诺贝尔奖发放后基金总额为 f(10)=19 800(1+3.12%)9=26 100(万美元), 2013 年度诺贝尔奖各项金额为 1 · 1 f(10)·6.24%≈136(万美元).
62
方法技能
求解与指数型函数有关的问题,应充分利用指数函数性质解题.而对于形如 ax>b(a>0 且 a≠1)型的不等式,需要变形为 ax> aloga b 后,利用指数函数单调性 解题.
2 100 分钟耗氧量的单位数,x0 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.(参考数据:lg 2≈ 0.30,31.2≈3.74,31.4≈4.66) (1)若 x0=2,候鸟每分钟的耗氧量为 8 100 个单位时,它的飞行速度是多少 km/min?
解:(1)将 x0=2,x=8 100 代入函数式可得 v= 1 log3 81-lg 2≈2-lg 2=2-0.30=1.70,
2019-2020年高中数学第三章函数的应用第2节函数模型及其应用4教案新人教A版必修1
2019-2020年高中数学第三章函数的应用第2节函数模型及其应用4教案新人教A版必修1教学分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》第三章的3.2.2“函数模型的应用实例”，即建立拟合函数模型解决实际问题．函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，它主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，建立拟合函数模型解决实际问题．而建立拟合函数模型解决实际问题是其重点，也是难点．函数模型的应用教学，既有不可替代的位置，又有重要的现实意义．本节通过实例来说明函数模型的应用，是因为函数模型本身就来源于现实，能给学生提供更多从实际问题中发现或建立数学模型的机会，并体会数学在实际问题中的应用价值．因此在中学教学中有重要的地位．学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了函数的图象和性质，理解了函数的图象与性质之间的关系，尤其是学习了3.2.1几类不同的函数增长模型和3.2.2函数模型的应用实例．学会了如何利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，已经具备了一定的函数模型应用能力．这为理解建立拟合函数模型解决实际问题提供了基础，也为深入理解如何建立合适的拟合函数模型提供了依据．但学生对于动态数据认识薄弱，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生选择合适的模型造成一定的困难．因此，在教学时应该为学生创设熟悉的问题情境，充分利用学生熟悉的函数图象来选择合适的模型．引导学生观察、计算、思考和理解问题的本质．教学目标知识与技能：了解函数拟合的基本思想，学会建立拟合函数模型解决实际问题．过程与方法：借助信息技术，利用数据画出函数图象，从拟合简单的一次函数模型入手，掌握多角度观察函数图象的技能，探究出各种合适的拟合函数模型．在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想．情感、态度与价值观：体验探究的乐趣，体验函数是描述变化规律的基本数学模型，培养学生分析解决问题的能力．重点与难点重点：将实际问题化为函数模型，建立合适的拟合函数模型解决简单的实际问题．难点：如何建立适当的函数模型来解决实际问题．教学过程设计思想一、创设应用情境，引出问题前面我们学习过两种函数模型的应用，分别是利用给定函数模型解决实际问题，建立确定性的函数模型解决问题，那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下，又该如何解决实际问题呢？二、组织探究例1下表是我校从实施研究性学习以来，高一年级段学生的研究性学习小论文在我市每析式．设计意图以学生熟悉的实际问题为背景，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值．探究：(1)组织学生读、议，小组讨论该如何分析题目？图1③根据点的分布特征，可以考虑以一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)作为描绘篇数与年份的变化趋势．取(1,14)，(4,35)，有⎩⎪⎨⎪⎧14＝k ·1＋b ，35＝k ·4＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝7b ＝7.这样，我们就得到函数模型y ＝7x ＋7.作出此模型函数图象如下：图2 根据上述图象，我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地图3由前三组数据，用计算器确定函数模型：；x＋92.5.图4可见，乙同学选择的模型较好.此变式训练是为进一步巩固例1的拟合函数思想，培养学生的应用数学意识与提高解决问题能力．体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高的同学体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常？设计意图本例题以学生熟悉的问题出发再创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生构建自身基础上的“再创造”，并通过小组合作学习，培养学生解决问题的能力，应用数学的意识．问题(1)的探究：①通过学生自主活动分析数据，发现本题只给出了通过测量得到的数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．②教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机，画出它们的散点图．教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型．图5由图可发现指数型函数y＝a×b x的图象可能与散点图的吻合较好，可选之．③教师再问：如何确定拟合函数模型中a，b值．④教师把学生每4人分成一小组合作探究，求出拟合函数模型中a，b的值，然后画出图形，得到的拟合函数效果如何？⑤教师下去巡视后，请小组中的1名成员上台到实物投影处讲解．组1：选取(150,42.9)，(154,46.5)两组数据，用计算器得a＝0.918，b＝1.026.从而得函数解析式为y＝0.918×1.026x，画出这个函数图象与散点图．图6我们发现，函数y＝0.918×1.026x不能很好地反映我校学生身高与体重的关系．组2：选取(168,61.4)，(172,66.2)两组数据，用计算器算出a＝3.065，b＝1.018.这样得到函数模型为y＝3.065×1.018x，画出这个函数图象与散点图．图7我们发现，函数y＝3.065×1.018x不能很好地反映我校学生身高与体重关系．组3：选取(154,46.5)，(168,61.4)两组数据，用计算器算出a＝2.2，b＝1.02.这样得出函数模型为y＝2.2×1.02x，画出这个函数图象与散点图．图8我们发现，散点图上的点基本上或大多数接近函数y＝2.2×1.02x的图象，所以函数y＝2.2×1.02x很好地刻画了我校学生身高与体重的关系．教师引导学生回顾问题的特点及解决问题的过程与方法．本题需要判断选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样，需不断修正．当然本题若运用计算器或计算机的拟合功能，那么获得的函数模型会更精确，下课后同学们自己试一试，并且本例题体现了一个完整的建立函数模型进而解决问题的过程．在教师引导下，请一学生归纳解决问题的基本过程：设计意图引导学生进行反思和总结，并将之一般化，用流程的形式表达出来，培养了学生的反思能力及总结提升的能力．问题(2)探究：由于是研究学生自身的体重问题，因而学生的兴趣很高，每人很快都编好了自己的问题，解答起来．如一男生身高175 cm，体重80 kg，他的计算如下：将x＝175代入y＝2.2×1.02x，得y＝2.2×1.02175≈70.4.由于80÷70.4≈1.136<1.2.所以，该男生体重正常．设计意图采用师生平等对话交流，学生单独完成的模式．因为本题是测算自己本身体重的问题，所以学生兴趣很高．本题问题难度不大，但意义重大，是培养数学应用意识的重要素材，即用拟合函数来预测自己关心的日常生活问题，学生体验过程方式教学，体现了新课程的理念．三、练习反馈教材本节练习1.学生完成后在小组中互相批改、交流．设计意图本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的理念，使学生及时巩固所学知识、方法，以达到教学目标．四、小结反思以小组中1人总结，3人倾听的方式，对本课内容进行自主小结，教师归纳强调建立拟合函数模型解决实际问题的基本过程．设计意图提高学习主动性，培养学生表达、交流的数学能力，自主小结的形式是将课堂还给学生，是对所学内容的回顾与梳理．五、课外作业教材习题3.2A组1题，B组1题．六、课外实践通过拟合函数模型看温州经济发展．上网收集1995～xx年温州的国内生产总值、财政收支、对外经济三项数据，建立适当的拟合函数模型，画出拟合函数模型的图象，并通过拟合函数图象来预测温州在xx年的经济发展状况．设计意图课外作业为巩固作业，课外实践为拓展作业，培养学生应用数学知识、提高解决问题的能力，培养学生的探究和再创造能力．教学流程创设情境——实际问题引入，激发学生兴趣．↓组织探究——画出散点图，建立模型，体会不同函数模型拟合的准确程度．↓探索研究——由数据画出散点图，建立拟合函数模型，尝试选择不同的函数拟合数据并不断修正．↓巩固反思——师生交流共同小结，归纳建立拟合函数模型应用题的求解方法与步骤．↓作业回馈——强化基本方法及过程，规范基本格式．↓课外实践——收集生活中的具体实际问题，运用拟合函数思想来解决，培养问题意识及提高应用数学的能力．知识结构问题探讨(1)第三章的3.2.2函数模型的应用实例是否可以设置为3课时，给定的函数模型、建立确定性函数模型、建立拟合函数模型解决实际问题各设置1课时，这样可以让学生感受到函数的广泛应用，真实体验到数学是有用的；体现新课程的问题性，应用性特点；培养学生的问题意识，更加拓展学生数学活动的空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．(2)在函数模型的应用中，建立拟合函数模型解决实际问题是实际应用最广泛、学生最陌生、也是难度最大的，尤其是如何建立适当的拟合函数模型来解决实际问题．建议在教材中是否可安排更多的建立拟合函数模型解决实际问题的例题，加深学生对如何建立适当拟合函数模型的理解．并在练习中多安排渗透拟合函数思想的思考题．学习资源.。
2019-2020学年人教A版数学必修一课件：3.2.2 函数模型的应用实例
利用二次函数模型解决问题的方法 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题 建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、 函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的 利润最大、用料最省等问题．
第十五页，编辑于星期六：二十二点 五十七分。
1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式 是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元．一个月本 地网内打出的电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图所示，当打出电话时间为 150 分钟时，这两种方式话费相差________元．
第十六页，编辑于星期六：二十二点 五十七分。
解析：设 A 种方式对应的函数解析式为 s＝k1t＋20，B 种方式 对应的函数解析式为 s＝k2t. 当 t＝100 时，100k1＋20＝100k2， 所以 k2－k1＝15. 当 t＝150 时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10. 答案：10
B．4 m
C．5 m
D．6 m
解析：选 A.设隔墙的长为 xm，矩形面积为 S，则 S＝x·24－2 4x ＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，所以当 x＝3 时，S 有最大值 18.
第十页，编辑于星期六：二十二点 五十七分。
甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距 离与乙同学家到公园的距离都是 2 km.如图表示甲从家出发到 乙同学家经过的路程 y(km)与时间 x(min)的关系，其中甲在公 园休息的时间是 10 min，那么 y＝f(x)的解析式为____________．
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 五十七 分。
(变问法)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100 个 单位时，它的游速是多少？ (2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数． 解：(1)将 θ＝8 100 代入函数解析式， 得 v＝12log381＝12×4＝2 (m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是 8 100 个单位时，它的游速是 2 m/s. (2)令 v＝0，得12log31θ00＝0，即1θ00＝1，则 θ＝100，所以一条 鲑鱼静止时的耗氧量为 100 个单位．
2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课件新人教A版
解析：(1)由 v＝12log310θ0可知，当 θ＝900 时，v＝12log3910000＝12log39 ＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是 1 m/s.
(2)由 v2－v1＝1，即12log31θ020－12log31θ010＝1，得θθ21＝9.所以耗氧 量的单位数为原来的 9ห้องสมุดไป่ตู้倍．
1.审题 2．建模 3．求解
类型二 分段函数模型
例 2 为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供 自行车出租．该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自 行车的费用是每日 115 元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超 过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每超过 1 元，租 不出的自行车就增加 3 辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元) 只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一次函数模型中，系数 k 的取值会影响函数的性质．( √ ) (2)在幂函数模型的解析式中，a 的正负会影响函数的单调 性．( √ )
2．某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)的关系式为 y ＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副 10 元，则该厂为了不亏本， 日产手套至少为( )
1)(37－
2x)]＝
1150x(72－6x)＝
1 25
x(12－x)．
∴g(x)＝215x(12－x)(x∈N 且 x≤12)．
(2)g(x)＝2x5(12－x)＝－215(x2－12x＋36－36)＝－215[(x－6)2－ 36]＝－215(x－6)2＋3265，
∴当 x＝6 时，g(x)有最大值3265.即第六个月需求量最大，为3265万 件．
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跟踪训练 5 某公司生产一种产品的固定成本为 0.5 万元，但每生产 100 件需
要增加投入 0.25 万元，市场对此产品的需要量为 500 件，销售收入为函数 R(x) ＝5x－x22(0≤x≤5)万元，其中 x 是产品售出的数量(单位：百件). (1)把利润表示为年产量的函数f(x)；
解 设年产量为x(百件)， 当 0≤x≤5 时，f(x)＝5x－x22－(0.5＋0.25x)； 当 x>5 时，销售收入为225万元，此时 f(x)＝225－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x， ∴f(x)＝－x22＋149x－12，0≤x≤5，
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在
学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
解 当0＜x≤10时，令f(x)＝55，
则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.
所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，故x＝6.
当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.
y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432， ∴当x＝42时，获得利润最大，应定价为42元.
反思与感悟
跟踪训练1 某公司市场营销人员的个人月 收入与其每月的销售量成一次函数关系， 如图所示，由图中给出的信息可知，营销 人员没有销售量时的收入是( B ) A.310元 B.300元 C.290元 D.280元 解析 由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将 (1,800)，(2,1 300)代入，得a＝500，b＝300. 当销售量为x＝0时，y＝300.
反思与感悟
跟踪训练4 我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份 1999 2000 2001 2002
x/年
0
1
2
3
(1)画出函数图形，生猜产想总它们值之间8的.2函0数6关7系，8.近9似44地2写出9一.5个9函3 数3 关系10式.2；39 8
解 画出函数图形，如图.从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； 解 10年后该城市人口总数为 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人). (3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年). 解 由题意得100×(1＋1.2%)x>120， 两边取常用对数得lg[100×(1＋1.2%)x]>lg 120， 整理得2＋xlg 1.012>2＋lg 1.2，得x≥16， 所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人.
题型二 指数型函数、对数型函数模型 例 2 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现， 两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v＝5log21Q0，单位是 m/s，其中 Q 表 示燕子的耗氧量. (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ 解 由题意知，当燕子静止时，它的速度为 0，代入题目所给公式可得 0 ＝5log21Q0. 解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位.
(6)分段函数
自主学习
y＝kx＋b(k，b为常数，
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，
ax＋bx<m， cx＋dx≥m
a≠1)
y＝axn＋b(a，b为常数，
y＝
知识点二 解决函数应用问题的基本步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原. 这些步骤用框图表示如图：
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 设旅行社获利 S 元，则 S＝9x010x2－001－51000x0，－01<5x0≤003，0，30<x≤75， 即 S＝9－001x0－x－15600020＋，201<0x0≤0，303，0<x≤75. 因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上为增函数， 所以当x＝30时，S取最大值12 000元， 又S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上， 当x＝60时，S取得最大值21 000. 故当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润. 纠错心得 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切 注意函数的定义域，否则极易出错. (2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题.
1
15.2
28
2
10.4
21
雪深度x cm与当年灌溉面积y
3
21.2
hm2.现有连续10年的实测资料， 4
18.6
36
如右表所示.
5
26.4
49
6
23.4
45
7
13.5
29
8
16.7
34
9
24.0
45
(1)描点画出灌溉面积y(hm2)随积雪深度x(cm)变化的图象； 解 描点作图如图甲.
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象； 解 从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面 积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b. 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解 将耗氧量Q＝80代入公式得： v＝5log28100＝5log28＝15 (m/s)， 即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s. 反思与感悟 指数型函数模型：y＝max＋b(a>0且a≠1，m≠0)，在实际 问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数 型函数模型来表示.对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)， 对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.
反思与感悟
跟踪训练2 某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答 以下问题： ( 参 考 数 据 ： 1.0129≈1.113,1.01210≈1.127 ， lg 1.2≈0.079 ， lg 2≈0.301 0 ， lg 1.012≈0.005) (1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系； 解 2009年底人口总数为100万人， 经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)， 经 过 2 年 ， 2011 年 底 人 口 总 数 为 100×(1 ＋ 1.2%) ＋ 100×(1 ＋ 1.2%)×1.2% ＝ 100×(1 ＋ 1.2%)2， 经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋ 1.2%)3， …… 所以经过x年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x， 所以y＝100×(1＋1.2%)x.
线上.
设所求的函数为y＝kx＋b，
把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，
解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7.
因此，所求的函数关系式为y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较. 解 由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝ 0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4， f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1. 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元.
易错点 建立函数模型时忽略自变量的取值范围致误 例5 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游 客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每 多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.旅行社需付给航 空公司包机费每团15 000元. (1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式； 解 由题意，得 y＝990000， －01<0xx≤－3300，，30<x≤75， 即 y＝910200，0－0<1x0≤x，303，0<x≤75.
题型三 分段函数模型 例3 如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2，BC＝1，∠BAD ＝45°，直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM＝x，试将梯 形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域 和值域.
反思与感悟
跟踪训练3 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依 赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增， 中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的 注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念 的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间 (单位：min)，可有以下的公式：
所以 x＝17
1 3.
因此，学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为 17 13－6＝11 13＜13(min)，
所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.
题型四 拟合函数模型的应用 例4 为了估计山上积雪融化后 对下游灌溉的影响，在山上建 立了一个观察站，测量最大积
年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积
第三章 §3.2 函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例
学习 目标
1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 常见函数模型
(1)一次函数模型 常 (2)二次函数模型 用 (3)指数函数模型 函 (4)对数函数模型 数 模 (5)幂函数模型 型