2017届二轮复习 小题精练系列专题12导数 理 专题卷(全国通用)
《三维设计》2017届高三数学(理)二轮复习(通用版)第一部分重点保分题专题检测(十)导数的简单应用Word
专题检测（十） 导数的简单应用（高考题型全能练）一、选择题1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在2．(2016·四川高考)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．23．(2016·重庆模拟)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( )A ．e －12B ．2e －12C ．e 12D ．2e 124．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]5．(2016·石家庄模拟)已知a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．96．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若x 2f ′(x )＋xf (x )＝sin x (x ∈(0，6))，f (π)＝2，则下列结论正确的是( )A ．xf (x )在(0，6)上单调递减B ．xf (x )在(0，6)上单调递增C ．xf (x )在(0，6)上有极小值2πD ．xf (x )在(0，6)上有极大值2π 二、填空题7．(2016·兰州模拟)若f (x )＋⎠⎛01f (x )d x ＝x ，则⎠⎛01f （x ）d x ＝________. 8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a的取值范围为________．9．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x －12ax 2－ln(1＋x )(a >0)． (1)若x ＝2是f (x )的极值点，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间．11．(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝xln x ＋ax ，x >1. (1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值．12．已知函数f (x )＝ax －2x －3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．答 案1. 解析：选A ∵f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.2. 解析：选D 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.3. 解析：选B 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12，选B.4. 解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：又f (k ≤－3.5. 解析：选D ∵f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2，∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，∴t ＝ab ＝a (6－a )＝－(a －3)2＋9，∴当且仅当a ＝b ＝3时，t 取得最大值9，故选D.6. 解析：选D 因为x 2f ′(x )＋xf (x )＝sin x ，x ∈(0，6)，所以xf ′(x )＋f (x )＝sin xx ，设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，6)，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝sin x x ，由g ′(x )>0得0<x <π，g ′(x )<0得π<x <6，所以当x ＝π时，函数g (x )＝xf (x )取得极大值g (π)＝πf (π)＝2π.7. 解析：⎠⎛01f (x )d x 是一个常数，设为c ，则有f (x )＝x －c ，∴x －c ＋⎠⎛01(x －c )d x＝x ，解得c ＝14，即⎠⎛01f (x )d x ＝14.答案：148. 解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立． 又∵y ＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递减，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞9. 解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ， 由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－（ax ＋1）（x －1）x .①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a . 因为x ＝1是f (x )的极大值点， 所以－1a >1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞) 10. 解：(1)f ′(x )＝x （1－a －ax ）x ＋1，x ∈(－1，＋∞)．依题意，得f ′(2)＝0，解得a ＝13. 经检验，a ＝13符合题意，故a 的值为13. (2)令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1a －1.①当0<a<1时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是⎝ ⎭⎪0，1a －1，单调减区间是(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞；②当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)； ③当a >1时，－1<x 2<0，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：∴f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a －1和(0，＋∞)．综上，当0<a<1时，f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －1，单调减区间是(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞； 当a ＝1时，f (x )的单调减区间是(－1，＋∞)；当a >1时，f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a －1和(0，＋∞)．11. 解：(1)f ′(x )＝ln x －1ln 2x ＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14.∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴当1ln x －12＝0时函数t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14的最小值为－14，∴a ≤－14，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14.(2)当a ＝2时，f (x )＝xln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x ，令f ′(x )＝0得2ln 2x ＋ln x －1＝0，解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1<x<e 12时，f ′(x )<0，当x >e 12时，f ′(x )>0，∴f (x )的极小值为f (e 12)＝e 1212＋2e 12＝4e 12.12. 解：(1)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x (x>0)， 由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，解得a ＝1.故f (x )＝x －2x －3ln x ， ∴f ′(x )＝（x －1）（x －2）x 2，根据题意由f ′(x )＝0，得x ＝2. 于是可得下表：∴f (min (2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x 2(x >0)．由题意可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根， 不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，x 1＋x 2＝3a >0，x 1x 2＝2a >0，⎝⎛⎭⎪⎪⎫也可以为⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a >0，－－32a >0，h （0）>0， 解得0<a <98.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，98.。
【20份】2017高考数学(理)二轮专题复习小题标准练及答案
【20份】2017高考数学（理） 二轮专题复习小题标准练及答案高考小题标准练(一)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ∈R ，且(a ＋i)2·i 为正实数，则实数a ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 详细分析：(a ＋i)2·i ＝(a 2＋2a i ＋i 2)·i ＝(a 2－1)i －2a .又(a ＋i)2·i 为正实数，所以⎩⎨⎧a 2－1＝02a ＜0，解得a ＝－1.故选D. 答案：D2．已知f (x )是R 上的奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x ＋2，则f (7)＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1 详细分析：由题知f (7)＝f (3)＝f (－1)．又因为f (x )是奇函数，所以f (7)＝－f (1)＝－3.故选B.答案：B3．若集合A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )＜0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：当a ＝1时，B ＝{x |－2＜x ＜1}，所以A ∩B ＝∅，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分条件；当A ∩B ＝∅时，得a ≤2，则“a ＝1”不是“A ∩B ＝∅”的必要条件，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．故选A.答案：A4．对于下列四个命题：( )p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x ＞log 13x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞log 12x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜log 13x . 其中为真命题的是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4详细分析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＞0，要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＜1，故x ＜0，p 1错误；取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32＜1，p 2正确；取x ＝12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝22，log1212＝1，故⎝⎛⎭⎪⎫12x＜log12x，p3错误；当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝⎛⎭⎪⎫12x＜1，而log13x＞1，p4正确．故选D.答案：D5．设a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则a⊥b的充分条件是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β详细分析：由b⊥β，α∥β得b⊥α.又a⊂α，因此可证得b⊥a.故选C.答案：C6．某程序框图如下图所示．若输出的S＝0，则判断框中可能的语句是()A．i≤6? B．i≥6? C．i≥5? D．i≤5?详细分析：由于输出的S＝0，显然当i＝4时，S＝1；当i＝5时，S＝0，此时i＝5＋1＝6，所以判断框中可能的语句是“i≥6？”．故选B.答案：B7．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是()A．甲运动员成绩的极差大于乙运动员成绩的极差B．甲运动员成绩的中位数大于乙运动员成绩的中位数C．甲运动员的成绩平均值大于乙运动员的成绩的平均值D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定详细分析：由茎叶图可知甲运动员成绩的极差为47－18＝29，乙运动员成绩的极差为33－17＝16，故A正确；甲运动员成绩的中位数为35，乙运动员成绩的中位数为27，故B正确；甲运动员成绩的平均数为113×(18＋18＋19＋20＋21＋26＋30＋32＋33＋35＋40＋41＋47)＝38013，乙运动员成绩的平均数为113×(17＋17＋19＋19＋22＋25＋26＋27＋29＋29＋30＋32＋33)＝32513，故C正确，因为甲运动员成绩的极差大，且成绩分布比较广，因而成绩相对乙运动员来说，不稳定．故选D.答案：D8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，在等差数列{b n }中，b 2＝5，公差d ＝2.使a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＞60n 成立的最小正整数n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5详细分析：因为a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋1，两式作差得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ，即a n ＋1＝3a n ，当n ＝1时，a 2＝2S 1＋1＝2＋1＝3，满足a 2＝3a 1，综上有a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为q ＝3的等比数列，则a n ＝3n －1.在等差数列{b n }中，b 2＝5，公差d ＝2.所以b n ＝b 2＋(n －2)d ＝5＋2(n －2)＝2n ＋1，因为a n ·b n ＝(2n ＋1)·3n －1，令T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，则T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)×3n －2＋(2n ＋1)×3n －1 ①，则3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)×3n －1＋(2n ＋1)×3n ②，①－②得－2T n ＝3×1＋2(3＋32＋…＋3n －1)－(2n ＋1)×3n ，所以T n ＝n ×3n ＞60n ，即3n ＞60，因为33＝27,34＝81，所以满足题意的n 的最小值为4. 故选C.答案：C9．给定区域D ⎩⎨⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ＋y ≥2，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z }，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点最多能确定三角形的个数为( )A ．15B ．25C ．28D ．32详细分析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，因为直线z ＝x ＋y 与直线x ＋y ＝4，直线x ＋y ＝2平行，所以直线z ＝x ＋y 过直线x ＋y ＝4上的整数点(4,0)，(3,1)，(2,2)，(1,3)，(0,4)时，直线的纵截距最大，即z 最大；直线z ＝x ＋y 过直线x ＋y ＝2上的整数点(0,2)，(1,1)，(2,0)时，直线的纵截距最小，即z 最小．所以满足条件的点共有7个，则T 中的点最多能确定三角形的个数为C 37－C 35＝35－10＝25.故选B.答案：B10．若实数a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t)d t ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1ax 6的展开式中常数项是( )A ．－18B .18C ．－52D .52详细分析：a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t)d t ＝(－cos t ＋sin t)π0＝2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫12r x 6－2r，由题意得6－2r ＝0，所以r ＝3，所以所求常数项为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52.故选D . 答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A|＋|F 2B|＝12，则|AB|＝________.详细分析：|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a.又由a ＝5可得|AB|＋|BF 2|＋|AF 2|＝20，即|AB|＝8.答案：812．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________.详细分析：解法1 如图1，过点C 分别作OB ，OA 的平行线CD ，CE ，交OA ，OB 的延长线于D ，E 两点，则OC →＝OD →＋OE →＝xOA →＋yOB →.而|OA →|＝|OB →|＝1，故x ＝|OD →|，y ＝|OE →|.设∠AOC ＝α(0°≤α≤120°)，则在△DOC 中，1sin60°＝x sin (120°－α)＝y sin α，即x ＝23sin(120°－α)，y ＝23sin α，从而x ＋y ＝23[sin α＋sin(120°－α)]＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．因为0°≤α≤120°，所以30°≤α＋30°≤150°，故当α＝60°时，x ＋y 取得最大值2.解法2 如图2，以O 为坐标原点，以OA 所在射线为x 轴正半轴，建立直角坐标系．设∠AOC ＝α(0°≤α≤120°)，则点C (cos α，sin α)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，由OC →＝xOA →＋yOB →得(cos α，sin α)＝x (1,0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，则x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)，下同解法1. 答案：213．在△ABC 中，若AB ＝8 3 cm ，C ＝60°，A ＝90°，则△ABC 的外接圆的半径为________cm.详细分析：设△ABC 的外接圆的半径为r cm ，则2r ＝83sin60°＝16，所以r ＝8.答案：814．设A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点与右焦点．若在其右准线上存在点P ，使得线段P A 的垂直平分线恰好经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________．详细分析：由题意知|F A |＝|FP |＝a ＋c ，设右准线与x 轴交于点H (如图)，则|FH |＝a 2c －c ，|FP |≥|FH |，即a ＋c ≥a 2c －c ，解得e ≥12.又0＜e ＜1，故e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，115．设函数f (x )＝x 2k ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，且数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和为S n ，则S n ＝________.详细分析：f ′(x )＝2kx 2k －1＋a ＝2x ＋1，所以k ＝1，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以1f (n )＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.答案：n n ＋1高考小题标准练(二)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则∁U (M ∪N )＝( )A ．{5,7}B ．{2,4}C ．{2,4,8}D ．{1,3,5,6,7}详细分析：因为M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，所以M ∪N ＝{1,3,5,6,7}，又U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U (M ∪N )＝{2,4,8}．故选C.答案：C2．设i 是虚数单位，则复数(2＋i)(1－i)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限详细分析：(2＋i)(1－i)＝3－i ，在复平面内对应的点为(3，－1)，位于第四象限. 故选D.答案：D3．设条件p ：a ＞0；条件q ：a 2＋a ≥0，那么p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件详细分析：由a 2＋a ≥0得a ≥0或a ≤－1，所以p ⇒q ，但是q ⇒/p .故选A. 答案：A4．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象与y ＝1的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图像，只需把y ＝sin ωx 的图像( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度详细分析：依题意，函数y ＝f (x )的最小正周期为π，故ω＝2.因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，所以把函数y ＝sin2x 的图像向左平移5π12个单位长度即可得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像. 故选A.答案：A5．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中存在常数项，则实数n 的值可以是( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．14详细分析：展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r n x 3n －5r 6，要存在常数项，则需3n －5r ＝0，故n 为5的正整数倍．故选A.答案：A6．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的表面积是( )A ．2(1＋6) cm 2B ．4(1＋2) cm 2C ．2(2＋6) cm 2D ．2(3＋6) cm 2详细分析：该几何体是一个底面为等腰三角形的三棱锥，且右侧面和底面垂直，从而表面积为S ＝12×2×2＋12×2×2＋2×12×22＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＋22＝(4＋26) cm 2.故选C.答案：C7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1详细分析：y ＝f (f (x ))＋1＝⎩⎨⎧x ＋3，x ≤－1，log 2(x ＋1)＋1，－1＜x ≤0，log 2x ＋2，0＜x ≤1，log 2(log 2x )＋1，x ＞1，令y ＝0可得x的值分别为－3，－12，14，2，故有4个零点．故选A.答案：A8．若△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →，则△ABC 一定是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形详细分析：由题意OA →·(－OC →－OA →)＝(－OC →－OA →)·OC →⇒|OA →|＝|OC →|.又因为OB →＝－(OA →＋OC →)，所以OB 是AC 的中垂线，点B 在AC 的中垂线上，故AB ＝BC ，所以△ABC 是等腰三角形. 故选D.答案：D9．如图所示，A ，B ，C 是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC 且|BF |＝|CF |，则该双曲线的离心率是( )A.102B.10C.32D ．3详细分析：由题意可得在Rt △ABF 中，OF 为斜边AB 上的中线，即有|AB |＝2|OA |＝2|OF |＝2c ，设A (m ，n )，则m 2＋n 2＝c 2，又m 2a 2－n 2b 2＝1，解得m ＝a c 2＋b 2c，n ＝b 2c ，即有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋b 2c ，b 2c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a c 2＋b 2c ，－b 2c .又F (c,0)，由于BF ⊥AC 且|BF |＝|CF |，可设C (x ，y )，即有y x －c ·b 2c 2＋a c 2＋b 2＝－1，又⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a c 2＋b 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c 2＝(x －c )2＋y 2，可得x ＝b 2＋c 2c ，y ＝－a c 2＋b 2＋c 2c，将C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2c ，－a c 2＋b 2＋c 2c 代入双曲线方程，可得(b 2＋c 2)2c 2a 2－(a c 2＋b 2＋c 2)2c 2b 2＝1，化简可得c 2＋b 2(b 2－a 2)＝a 3，由b 2＝c 2－a 2，e ＝ca ，可得(2e 2－1)(e 2－2)2＝1，令k ＝e 2，即(2k －1)(k －2)2＝1，故(k 2－4k ＋4)(2k －1)＝1，即2k 3－9k 2＋12k －4－1＝0，即(2k －5)(k －1)2＝0，解得k ＝52或k ＝1. 所以e 2＝52或e 2＝1(舍去)，e ＝102(舍负)．故选A. 答案：A10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S n ＝2n －a ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n (a n ＋a )(a n ＋1＋a )的前100项和为( )A.2101－12101＋1B.2100－12100＋1C.2101－12×(2101＋1)D.2100－12×(2100＋1) 详细分析：由等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，可得a n ＝S n －S n －1＝2n －a－(2n －1－a )＝2n －1，所以a 1＝2－a ，即20＝2－a ，解得a ＝1.又因为a n(a n ＋a )(a n ＋1＋a )＝2n －1(2n －1＋1)(2n ＋1)＝11＋2n －1－11＋2n ，所以S 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋1－11＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋2－11＋22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋299－11＋2100＝12－11＋2100＝2100－12×(1＋2100).故选D.答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，在(－∞，0)上有2xf ′(2x )＋f (2x )＜0且f (2)＝0，则不等式xf (2x )＜0的解集为________．详细分析：由2xf ′(2x )＋f (2x )＜0，知(xf (2x ))′＜0，因此y ＝xf (2x )在(－∞，0)上为减函数．因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以y ＝xf (2x )为偶函数．因为f (2)＝0，所以f (－2)＝0. 从而(－|x |)f (－2|x |)＜(－1)f (－2×1)，即0＞－|x |＞－1，解得x ∈(－1,0)∪(0,1)．答案：(－1,0)∪(0,1)12．如图，给出一个算法的程序框图．如果a ＝sin2，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则输出的结果是________(直接写出结果)．详细分析：程序运行的功能是输出a ，b ，c 三个数中最小的一个．由于0＜a ＝sin2＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1，所以b ＜a ＜c ，所以程序输出的结果是log 1.10.9.答案：log 1.10.913．设全集U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}．若∁U A ＝{1,3}，则实数m ＝________.详细分析：因为∁U A ＝{1,3}，所以A ＝{0,2}，故m ＝－2. 答案：－214．甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分情况如下面茎叶图所示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别是________．详细分析：由茎叶图可知甲的中位数为19，乙的中位数为13. 答案：19,1315．若函数f (x )＝13x 3－x 在区间(a,10－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是________．详细分析：令f ′(x )＝x 2－1＝0得x ＝±1，从而f (x )在(－∞，－1)单调递增，在[－1,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，要使函数f (x )＝13x 3－x 在(a,10－a 2)上有最小值，必须a ＜1＜10－a 2，解得－3＜a ＜1.答案：(－3,1)高考小题标准练(八)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：(2＋i )(1－i )21－2i＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i详细分析：(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i ＝2－4i1－2i＝2.故选A .答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为18.若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．27D ．36详细分析：联立⎩⎨⎧a n ＋a n －1＋a n －2＝3，a 1＋a 2＋a 3＝1得3(a 1＋a n )＝4，所以a 1＋a n ＝43.又因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝18，故n ＝36a 1＋a n＝27.故选C .答案：C3．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形详细分析：由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0，所以|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形．故选A .答案：A4．已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4C ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4D ．f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4详细分析：f ′(x)＝Aωcos (ωx ＋φ)，由图象知T ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫－π2＝4π，所以ω＝12，A ＝4，f ′(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0代入导函数解析式得φ＝π4.故选B .答案：B5．2015年国庆节某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A ．504种B ．960种C ．1008种D ．1108种详细分析：分两类：①甲、乙排1,2号或6,7号共有2A 22A 14A 44＝384(种)方法；②甲、乙排中间，丙排7号或不排7号，共有4A 22(A 44＋A 13A 13A 33)＝624(种)方法，故共有384＋624＝1008(种)不同的排法．故选C .答案：C6．某校为了了解学生课外阅读情况，随机抽查了50名学生，得到他们某一天各自课外阅读的时间数据如图所示，根据条形图可得到这50名学生该天每人的平均课外阅读时间为( )A ．0.6 hB ．0.9 hC ．1.0 hD ．1.5 h详细分析：平均课外阅读时间为150×(5×2＋10×1＋10×1.5＋20×0.5)＝0.9(h )．故选B .答案：B 7．已知在抛物线y 2＝2px 上有一个横坐标为4的点到焦点的距离为5，则实数p ＝( )A .12 B ．1 C ．2 D ．4详细分析：由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离，所以4＋p2＝5，解得p ＝2.故选C .答案：C8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从“k ”到“k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1详细分析：当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ](2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，所以左端应增乘2(2k ＋1)．故选B.答案：B9．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是n (n ≥3，n ∈N *)个江西普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z .如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，则这n ＋1个数据中，下列说法正确的是( )A ．年收入平均数增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变详细分析：若加上一个最大的数x n ＋1，则平均数增大，方差也会变大，但中位数可能改变也可能不变．故选B.答案：B10．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →，且|OA →|＝|AB→|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A ．－32 B.32C ．－12 D.12详细分析：取线段BC 中点M ，则由2AO →＝AB →＋AC →，得AO →＝AM →，即O ，M两点重合．又|OA →|＝|AB →|，则△ABC 是一个直角三角形，且∠B ＝60°，故向量BA→在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝12.故选D.答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知正数a ，b 分别为回归直线方程y ^＝bx ＋a 的常数项和一次项系数，其中x 与y则4b ＋a ＝__________.详细分析：x ＝4，y ＝92，回归直线y ^＝bx ＋a 通过样本中心点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，92，所以4b ＋a ＝92.答案：9212．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ∈(－∞，1)，log 81x ，x ∈[1，＋∞)，则满足f (x )＝14的x ＝__________.详细分析：令2－x ＝14，得x ＝2∉(－∞，1)，故舍去；令log 81x ＝14，所以x ＝8114＝3∈[1，＋∞)，所以x ＝3.答案：313．已知△ABC 的内角A ，B ，C 对边的长分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝__________.详细分析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，即a 2＋2－622a ＝－12，化简得a2＋2a －4＝0，解得a ＝2(负根舍去)．答案： 214．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x x n (n >1)的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于__________．详细分析：展开式的通项T r ＋1＝C r n (x 3)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r nx 3(n －r )－32r ，令3(n －r )－32r ＝0，解得r ＝23n ，故n 必须是3的倍数，所以n 的最小值等于3.答案：315．设实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx 的最大值是__________．详细分析：可行域为以⎝ ⎛⎭⎪⎫83，23，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为顶点的三角形内部(含边界)，y x 即为可行域内的点与原点连线直线的斜率，令y x ＝k ，所以所求y x 的最大值即为过原点的直线斜率的最大值，k max ＝32.答案：32高考小题标准练(二十)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝1，则|AD →|的最小值是( ) A.32 B.12 C.32 D.62详细分析：因为∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝1，所以|AB →|·|AC →|＝2，又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)≥14(2|AB →|·|AC →|＋2)＝32，当且仅当|AB →|＝|AC →|时取等号，所以|AD →|的最小值是62.答案：D2．如图，A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点，过原点O作直线CD 交线段AB 于点M (异于点A ，B )，交椭圆于点C ，D ，若BM →＝MA →，直线OM 的方程是y ＝32x ，则椭圆的离心率为( )A.13B.12C.14D.15详细分析：根据题意可知，A (a,0)，B (0，b )，由于BM →＝MA →，所以M 是线段AB 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，由于点M 在直线OM 上，所以b 2＝32×a 2，所以b ＝32a ，从而c ＝a 2－b 2＝a 2－34a 2＝a 2，所以e ＝c a ＝12.答案：B3．已知(1＋x )(x －a x)5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A ．2或－32B ．－2或32C ．2或32D ．－2或－32详细分析：(1＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5，而⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中，通项T r ＋1＝C r 5(－1)r a r x 52－r ，由52－r ＝32得r ＝1，由52－r ＝12得r ＝2，所以－5a ＋10a 2＝30，解得a ＝2或－32.答案：A4．已知正三角形ABC 的边长为23，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使二面角B －AD －C 的大小为π3，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A ．8πB ．9πC ．11πD ．13π详细分析：根据题意可知四面体ABCD 中，BD ＝DC ，且BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，则∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，故∠BDC ＝π3，则△BCD 是正三角形，故该四面体的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，其中三棱柱的底面为边长为3的正三角形，高为3，且三棱柱的底面中心连线的中点为球心，中点到顶点的距离就是外接球的半径，设球心为O ，外接球的半径为r ，则球心到底面的距离为32，底面的中心到底面三角形的顶点的距离为23×32×3＝1，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1＝132，故四面体ABCD 的外接球的表面积为4πr 2＝13π.答案：D5．已知集合A ＝{1,2，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 2 B ．0或2 C ．1或 2 D ．1或2详细分析：将m ＝0代入集合A ，B ，满足题意，所以排除C ，D ，将m ＝2代入集合A ，B ，也满足题意，故选B.答案：B6．已知i 是虚数单位，若复数a ＋i2－i为负实数，则实数a ＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D.12详细分析：由复数的除法运算法则可得，a ＋i 2－i＝(a ＋i )(2＋i )5＝2a －15＋a ＋25i ，∴a ＋25＝0，即a ＝－2，此时a ＋i 2－i＝－1为负实数，满足要求．答案：A7．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( )A ．10B ．30C ．40D ．20详细分析：由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.答案：B8．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ≥－212x ＋y ≥16x ＋3y －21≤0，若z ＝a 2x ＋y (a >0)的最大值为5，则a ＝( )A ．1或62B ．1C ．4或62 D ．2详细分析：先将不等式组化简得⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x ＋2y －2≥0.2x ＋y －7≤0作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝a 2x ＋y ，∴y ＝－a 2x ＋z ，z 的最大值即直线y ＝－a 2x ＋z 在y 轴上的截距的最大值，显然当直线y ＝－a 2x ＋z 过点A 或点B 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝02x ＋y －7＝0解得A (2,3)，由⎩⎨⎧2x ＋y －7＝0x ＋2y －2＝0解得B (4，－1)，由2a 2＋3＝5，可得a ＝±1，∵a >0，∴a ＝1，由4a 2－1＝5，可得a ＝±62，∵a >0，∴a ＝62.代入验证可知只有a＝1符合题意，故选B.答案：B9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为()A ．55B ．－55C ．－66D ．66详细分析：由题意知，当n ＝10时跳出循环，则S ＝(－1)1×12＋(－1)2×22＋(－1)3×32＋…＋(－1)10×102＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－92＋102)＝1＋2＋3＋4＋…＋9＋10＝55，故选A.答案：A10．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝( )A ．1 B.116 C.14 D ．－12详细分析：以O 为原点，OB →的方向为x 轴正方向，OA →的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则A (0,1)，B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，所以OP →＝12OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，AP→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34，故AP →·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＝116. 答案：B二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若这两组数据的中位数和平均数都相同，则mn ＝__________.详细分析：根据茎叶图中的数据可知，乙组的中位数是32＋342＝33，所以甲组的中位数也是33，故m ＝3，又甲组数据的平均数为27＋33＋393＝33，所以乙组数据的平均数也为33，即20＋n ＋32＋34＋384＝33，解得n ＝8，所以m n ＝38.答案：3812．一个几何体的正视图与俯视图如图所示，其中俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为__________．详细分析：由该几何体的正视图与俯视图可知，该几何体的侧视图由一个长方形和一个等腰三角形组成．长方形的长为3，宽为2，故其面积为2×3＝6；等腰三角形的底边长是21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，高为3，故其面积为12×3×3＝32.所以该几何体的侧视图的面积为6＋32＝152.答案：15213．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x －1x －1，又g (x )＝2x 2，则方程f (x )＝g (x )的实根的个数为__________．详细分析：设x >0，则f (－x )＝－2x －1－x －1＝2x ＋1x ＋1，又f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )＝－2x ＋1x ＋1，且f (0)＝0，故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x －1，x <00，x ＝0－2x ＋1x ＋1，x >0.①当x <0时，由f (x )＝g (x )可得2x －1x －1＝2x 2，即2x 3－2x 2－2x ＋1＝0，令F (x )＝2x 3－2x 2－2x ＋1，由F ′(x )＝6x 2－4x －2＝0可得x ＝－13(舍正根)，故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13上单调递增，所以F (x )的极大值为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0，而F (－1)＝－1<0，且当x 无限接近于0时，F (x )无限接近于1，故F (x )＝0在(－∞，0)上恰有1个根；②当x ＝0时，f (x )＝g (x )显然成立；③当x >0时，由f (x )＝g (x )可得－2x ＋1x ＋1＝2x 2，即2x 3＋2x 2＋2x ＋1＝0，由x >0易得2x 3＋2x 2＋2x ＋1＝0无实根．综上可知，f (x )＝g (x )恰有2个实数根．答案：214．设f (x )＝⎩⎨⎧log 4x －1，x >0x 2＋2x ＋∫a 0t 2d t ，x ≤0，若f(f(4))＝13，则a ＝__________. 详细分析：由题意知，f(4)＝log 44－1＝0，所以f(f(4))＝f(0)＝∫a 0t 2d t ＝13a 3＝13，所以a ＝1.答案：115．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，底面△ABC 是边长为1的正三角形，棱SC 是球O 的直径，且SC ＝2，则此三棱锥的体积为__________．详细分析：过点B 作BD ⊥SC 于点D ，连接AD ，易知△SBC ≌△SAC ，所以AD⊥SC，又BD∩AD＝D，所以SC⊥平面ABD.因为SB⊥BC，SC＝2，BC＝1，所以BD＝AD＝32，又AB＝1，所以S△ABD＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫322－⎝⎛⎭⎪⎫122＝24，所以V S－ABC ＝13×S△ABD×SC＝13×24×2＝26.答案：26高考小题标准练(九)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！姓名：________班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．满足条件A⊆{1,2,3,4}，且A∩{x|x2<2x，x∈N}≠∅，则这样的集合A的个数是()A．6B．7C．8D．9详细分析：因为{x|x2<2x，x∈N}＝{1}，故A∩{1}＝∅，所以1∈A，所以集合A有23个．故选C.答案：C2．已知两条不同的直线a，b，三个不同平面α，β，γ，则下列条件中能推出α∥β的是()A．a∥α，b∥β，a∥bB．a⊥γ，b⊥γ，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b⊥β，a∥bD．a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α详细分析：对于A，B，可推出α∥β或α与β相交；对于C，因为a⊥α，b ⊥β，a∥b，所以a，b方向相同．而直线与平面垂直，则α与β平行或为同一个平面．又由题意α与β为不同平面，所以由C可推出α∥β；对于D，可推出α∥β或α与β相交．故选C.答案：C3．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝()A．－43 B.54C．－34 D.45详细分析：sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.故选D.答案：D4．在△ABC 中，若AC →·AB →|AB →|＝1，BC →·BA→|BA →|＝2，则AB ＝( )A ．1B ．3C ．5D ．9详细分析：由AC →·AB →|AB →|＝1得|AC →|cos A ＝1.由BC →·BA→|BA →|＝2得|BC →|cos B ＝2，所以AB＝|AC →|cos A ＋|BC →|cos B ＝3.故选B.答案：B5．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图．由图可知寿命在100～300 h 的电子元件的数量与寿命在300～600 h 的电子元件的数量的比是( )A.12B.13C.14D.16详细分析：由图可知100～300 h 与300～600 h 所占阴影面积之比即为数量之比，又面积之比为⎝ ⎛⎭⎪⎫100×12 000＋100×32 000 ⎝ ⎛⎭⎪⎫100×1400＋100×1250＋100×32 000＝1 4，故数量之比是14.故选C. 答案：C6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 详细分析：令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ，当t <1时，3t －1＝2t ，由g (t )＝3t －1－2t 的导数为g ′(t )＝3－2t ln2，在t <1时，g ′(t )>0，g (t )在(－∞，1)递增，即有g (t )<g (1)＝0，则方程3t －1＝2t 无解；当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，即3a －1≥1，解得a ≥23，且a <1；或a ≥1,2a ≥1，解得a ≥0，即为a ≥1.综上可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选C.答案：C7．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1ax 9(a ∈R )展开式中x 9的系数是－212，则∫a0sin x d x ＝( )A ．1－cos 2B ．2－cos 1C ．cos 2－1D ．1＋cos 2详细分析：由题意得T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r (－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax r ＝(－1)r C r 9x 18－3r 1a r ，令18－3r ＝9得r ＝3，所以－C 391a 3＝－212，解得a ＝2，所以∫20sin x d x ＝(－cos x)|20＝－cos 2＋cos 0＝1－cos 2.故选A .答案：A8．一个多面体的直观图和三视图如图，则多面体AB －CDEF 外接球的表面积是( )A ．3πB ．43πC ．12πD ．48π详细分析：易得该多面体为正方体的一部分，所以其外接球的一条直径为正方体的体对角线，由三视图易求得外接球半径为3，故S ＝4πR 2＝12π.故选C .答案：C9．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字且比20 000大的五位偶数的个数为( )A ．48B ．24C ．36D ．18详细分析：分类讨论：①形如“2？？？4”形式时，情况有A 33＝6(种)；②形如“3？？？X ”形式时，情况有C 12A 33＝12(种)；③形如“4？？？2”形式时，情况有A 33＝6(种)；④形如“5？？？X ”形式时，情况有C 12A 33＝12(种)，共36种情况．故选C .答案：C10．若在区间[1,4]上任取实数a ，在区间[0,3]上任取实数b ，则关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实根的概率为( )A .38B .516C .ln 29D .2ln 29 详细分析：由题意知，关于x 的方程有实根，所以Δ＝4－4ab ≥0，即ab ≤1，所求概率即平面区域⎩⎨⎧1≤a ≤4，0≤b ≤3，ab ≤1的面积S 1与平面区域⎩⎨⎧1≤a ≤4，0≤b ≤3的面积S 2的比值．又S 1＝∫411a d a ＝ln 4－ln 1＝2ln 2，S 2＝9，所以S 1S 2＝2ln 29.故选D .答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．给出定义：若函数f(x)在D 上可导，即f ′(x)存在，且导函数f ′(x)在D 上也可导，则称f(x)在D 上存在二阶导函数，记f ″(x)＝(f ′(x))′.若f ″(x)<0在D 上恒成立，则称f(x)在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是______．①f(x)＝sin x ＋cos x ②f(x)＝ln x －2x ③f(x)＝－x 3＋2x －1 ④f(x)＝－x e －x详细分析：若f(x)＝sin x ＋cos x ，则f ″(x)＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x)<0，故选项①为凸函数；若f(x)＝ln x －2x ，则f ″(x)＝－1x 2，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x)<0，故选项②为凸函数；若f(x)＝－x 3＋2x －1，则f ″(x)＝－6x ，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x)<0，故选项③为凸函数；若f(x)＝－x e －x ，则f ″(x)＝2e －x －x e －x ＝(2－x)e －x ，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x)>0，故选项④不为凸函数．答案：④12．若函数f(x)＝ln (－x)－ax 的减区间是(－1,0)，则实数a ＝__________.详细分析：f ′(x)＝1x －a ，则由题意知x<0且f ′(x)<0的解集为(－1,0)，又由1x －a<0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0，故a ＝－1.答案：－113．下列关于棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的叙述，叙述正确的是__________(填序号)．①任取四个顶点，共面的情况有8种；②任取四个顶点顺次连结总共可构成10个正三棱锥； ③任取六个表面中的两个，两个平面平行的情况有5种；④如图把正方体展开，正方体原下底面A 1B 1C 1D 1与标号4对应；⑤在原正方体中任取两个顶点，这两点间的距离在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤102，3上的情况有4种．详细分析：任取四个顶点，共面的情况有12种，故①错误；任取四个顶点顺次连结总共可构成以每个顶点为顶点的8个正三棱锥，相对面异面的两条对角线的四个顶点可构成2个正四面体，故可构成10个正三棱锥，故②正确；任取六个表面中的两个，两面平行的情况有3种，故③错误；④明显正确；两顶点间的距离在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤102，3上，则这两顶点的连线为正方体的体对角线，共有4种情况，故⑤正确．答案：②④⑤14．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥32，lg (3－x )，x<32.若方程f(x)＝k 无实数根，则实数k的取值范围是__________．详细分析：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f(x)与y ＝k 的图象，如图所示．若两函数图象无交点，则k<lg 32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，lg 3215．已知P(x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px(p>0)上的一点，过点P 的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法，求得双曲线x 2－y 22＝1在点P(2，2)处的切线方程为__________________．详细分析：对x 2－y 22＝1两边求导，得2x －yy ′＝0，则y ′＝2x y ，从而k＝2x 0y 0＝2，故切线方程为y －2＝2(x －2)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝0高考小题标准练(六)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若z ＝cos θ－isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( )A ．0 B.π2 C ．π D ．2π详细分析：特殊值验证θ＝π2，z ＝－i ，则z 2＝－1. 故选B. 答案：B2．设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)＜1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则下图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ≤1}详细分析：A ＝(0,2)，B ＝(－∞，1)，图中阴影部分表示的为A ∩(∁U B )＝(0,2)∩[1，＋∞)＝[1,2)．故选B.答案：B3．若沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )详细分析：由侧视图的定义得之．故选B. 答案：B4．如图所示，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，则其面积是( )A ．1 B.12 C.13 D.22详细分析：由图可知，阴影部分面积为S ＝2⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 2d x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2210－x 3310＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＝13.故选C .答案：C5．阅读所给的程序，程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为( )INPUT N i ＝1S ＝1WHILE i ＜＝N S ＝S*i i ＝i ＋1WEND PRINT S ENDA ．6B ．720C ．120D ．1详细分析：程序在i ＞6时结束，依次执行的结果是：S ＝1，i ＝2；S ＝2，i ＝3；S ＝6，i ＝4；S ＝24，i ＝5，S ＝120，i ＝6；S ＝720，i ＝7，输出720，结束程序. 故选B .答案：B6．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，a ，b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[－2,2] D ．[0,2]详细分析：a ，b 均为非零向量，所以a |a |，b|b |都是单位向量，所以|p |的取值范围是[0,2]. 故选D.答案：D7．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项的和为S (1)，第二项及以后所有项的和为S (2)，第三项及以后所有项的和为S (3)，……，第n 项及以后所有项的和为S (n )．若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n ＝( )A ．－12n －2 B.12n －2 C ．－12n －1 D.12n －1详细分析：因为n ＜m ，所以m ≥n ＋1. 又S (n )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝4－12n －2，所以S (n＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1.故选C答案：C8．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称详细分析：由题意知T ＝2πω＝π，解得ω＝2. 将x ＝π3代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3可知y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是函数y ＝sin(2x ＋π3)的对称中心点．故选A.答案：A9．如果点P 在平面区域⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A.5－1B.455－1 C ．22－1 D.2－1详细分析：作出可行域(如图所示)可知曲线上的点Q 到直线x －2y ＋1＝0上的点P 之间的距离满足条件．而直线斜率为12，直线x －2y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)与圆心(0，－2)连线的斜率为0－(－2)－1－0＝－2，故连结点(－1,0)与圆心(0，－2)交圆于点Q ，此时|PQ |最小，|PQ |min ＝22＋12－r ＝5－1.故选A.答案：A10．已知函数y ＝f (x )(x ∈R 且x ≠2n ，n ∈Z )是周期为4的函数，其部分图像如下图，给出下列命题：①f (x )是奇函数②|f (x )|的值域是[1,2)③关于x 的方程f 2(x )－(a ＋2)f (x )＋2a ＝0(a ∈R )必有实根④关于x 的不等式f (x )＋kx ＋b ≥0(k ，b ∈R 且k ≠0)的解集非空． 其中正确命题的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1详细分析：命题①②显然正确；命题③的方程可化为[f (x )－2][f (x )－a ]＝0，故f (x )＝2或f (x )＝a .而f (x )＝2无解；当x ∉[1,2)或(－2，－1]时，f (x )＝a 无解，故命题③错误；由于k ≠0，所以kx ＋b ≥2必有解，故f (x )＋kx ＋b ＞－2＋kx ＋b ≥0的解集非空，故命题④正确. 正确命题有3个，故选B.答案：B二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5项的系数是__________． 详细分析：由于(1＋x )10的展开式的二次项、五次项系数分别为C 210＝45，C 510＝252，所以(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数为252－45＝207.答案：20712．如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD .若双曲线C 1以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为________．详细分析：设∠DAB ＝α，梯形周长为l . 连接BD .因为∠ADB ＝π2，所以AD ＝BC ＝2R cos α，故DC ＝2R －2AD cos α＝2R －4R cos 2α，从而l ＝2R ＋4R cos α＋2R－4R cos 2α＝－4R ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－122＋5R ，故当cos α＝12时，l 取得最大值，此时AD ＝R ，BD ＝3R ，所以e ＝2c 2a ＝2R3R －R＝3＋1.答案：3＋113．阅读下边的程序框图，若输入m ＝4，n ＝6，则输出的结果是________．详细分析：因为m ＝4，n ＝6，当i ＝3时，a ＝m ×i ＝4×3＝12，此时6整除12，故输出的结果是(12,3)．答案：(12,3)14．若随机变量X ～N (2，σ2)，且P (ξ≥5)＝0.2，则P (ξ≤－1)＝________. 详细分析：由正态分布的对称性知P (ξ≤－1)＝P (ξ≥5)＝0.2. 答案：0.215．若长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中有三个面的面积分别为2,6,3，则其外接球球面上的点到面ABCD 的距离的最大值为________．详细分析：设从长方体同一顶点出发的三条棱长分别为x ，y ，z ，不妨设xy。
2017全国二卷数学真题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =I ，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.112.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ） A.2- B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
2017年四川省成都市高考数学二诊试卷(理科)(详细解析)
2017年省市高考数学二诊试卷（理科）（附详细解析）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．[1，4] B．[1，2] C．[﹣1，0] D．[0，2]2．若复数z1=a+i（a∈R），z2=1﹣i，且为纯虚数，则z1在复平面所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在等比数列{an }中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（）A．12 B．18 C．24 D．364．已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则+2与的夹角是（）A．B．C．D．5．若曲线y=lnx+ax2（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值围是（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，+∞） C．（0，+∞） D．[0，+∞）6．若实数x，y满足不等式，且x﹣y的最大值为5，则实数m的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣57．已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）的反函数的图象经过点（，）．若函数g （x）的定义域为R，当x∈[﹣2，2]时，有g（x）=f（x），且函数g（x+2）为偶函数，则下列结论正确的是（）A ．g （π）＜g （3）＜g （）B ．g （π）＜g （）＜g （3）C ．g （）＜g （3）＜g （π） D ．g （）＜g （π）＜g （3）9．执行如图所示的程序框图，若输入a ，b ，c 分别为1，2，0.3，则输出的结果为（ ）A ．1.125B ．1.25C ．1.3125D ．1.37510．已知函数f （x ）=sin （ωx +2φ）﹣2sinφcos（ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）在（π，）上单调递减，则ω的取值围是（ ） A ．（0，2] B ．（0，] C ．[，1] D ．[，]11．设双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以OF 1（O 为坐标原点）为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．12．把平面图形M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M 在这个平面上的射影．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，BD ⊥CD ，AB ⊥DB ，AC ⊥DC ，AB=DB=5，CD=4，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为S 1，S 2，S 3，S 4，设面积为S 2的三角形所在的平面为α，则面积为S 4的三角形在平面α上的射影的面积是（ ）A．2 B．C．10 D．30二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在二项式（ax2+）5的展开式中，若常数项为﹣10，则a=．14．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是．15．如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA 至点C，使|OA|=|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为．16．在数列{an }中，a1=1，an=an﹣1（n≥2，n∈N*），则数列{}的前n项和Tn=．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．18．（12分）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次 x 555559 551 563 552y 601605 597 599 598 （Ⅰ）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；（Ⅱ）求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=， =﹣）19．（12分）如图，已知梯形CDEF与△ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9．CD=12，连接BC，BF．（Ⅰ）若G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG∥平面BCF；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x+，其中a＞0（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上存在极值点，求a的取值围；（Ⅱ）设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若f（x2）﹣f（x1）存在最大值，记为M（a）．则a≤e+时，M（a）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为（2，θ），其中θ∈（，π）（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=4﹣|x|﹣|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x+）≥0的解集；（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值．2017年省市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．[1，4] B．[1，2] C．[﹣1，0] D．[0，2]【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A=[﹣1，2]，B={y|y=x2，x∈A}=[0，4]，∴A∩B=[0，2]．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．若复数z1=a+i（a∈R），z2=1﹣i，且为纯虚数，则z1在复平面所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z1=a+i（a∈R），z2=1﹣i，且===+i为纯虚数，∴ =0，≠0，∴a=1．则z1在复平面所对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．在等比数列{an }中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（）A．12 B．18 C．24 D．36【考点】等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，由题意求出公比，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：设公比为q，∵a3=6，a3+a5+a7=78，∴a3+a3q2+a3q4=78，∴6+6q2+6q4=78，解得q2=3∴a5=a3q2=6×3=18，故选：B【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了学生的计算能力，属于基础题．4．已知平面向量，的夹角为，且||=1，||=，则+2与的夹角是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合题意设出，的坐标，求出+2的坐标以及+2的模，代入公式求出+2与的夹角余弦值即可求出角的度数．【解答】解：平面向量，的夹角为，且||=1，||=，不妨设=（1，0），=（，），故+2=（，），|+2|=，（+2）•=×+×=，故cos＜+2，＞===，故+2与的夹角是，故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查向量夹角的余弦公式，是一道中档题．5．若曲线y=lnx+ax2（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值围是（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，+∞） C．（0，+∞） D．[0，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】令y′≥0在（0，+∞）上恒成立可得a，根据右侧函数的值域即可得出a的围．【解答】解：y′=+2ax，x∈（0，+∞），∵曲线y=lnx+ax2（a为常数）不存在斜率为负数的切线，∴y′=≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a≥﹣恒成立，x∈（0，+∞）．令f（x）=﹣，x∈（0，+∞），则f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（x）=﹣＜0，∴a≥0．故选D．【点评】本题考查了导数的几何意义，函数单调性与函数最值，属于中档题．6．若实数x，y满足不等式，且x﹣y的最大值为5，则实数m的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣5【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．【解答】解：画出约束条件，的可行域，如图：x﹣y的最大值为5，由图形可知，z=x﹣y经过可行域的A时取得最大值5，由⇒A（3，﹣2）是最优解，直线y=m，过点A（3，﹣2），所以m=﹣2，故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．7．已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，即可得出结论．【解答】解：①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，l与n相交则α⊥β，不正确．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．8．已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）的反函数的图象经过点（，）．若函数g （x）的定义域为R，当x∈[﹣2，2]时，有g（x）=f（x），且函数g（x+2）为偶函数，则下列结论正确的是（）A．g（π）＜g（3）＜g（）B．g（π）＜g（）＜g（3）C．g（）＜g（3）＜g（π）D．g（）＜g（π）＜g（3）【考点】反函数．【分析】根据函数的奇偶性，推导出g（﹣x+2）=g（x+2），再利用当x∈[﹣2，2]时，g（x）单调递减，即可求解．【解答】解：函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）的反函数的图象经过点（，），则a=，∵y=g（x+2）是偶函数，∴g（﹣x+2）=g（x+2），∴g（3）=g（1），g（π）=f（4﹣π），∵4﹣π＜1＜，当x∈[﹣2，2]时，g（x）单调递减，∴g（4﹣π）＞g（1）＞g（），∴g（）＜g（3）＜g（π），故选C．【点评】本题考查反函数，考查函数单调性、奇偶性，考查学生的计算能力，正确转化是关键．9．执行如图所示的程序框图，若输入a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为（）A．1.125 B．1.25 C．1.3125 D．1.375【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=1.25，b=1.5时满足条件|a﹣b|＜0.3，退出循环，输出的值为1.375．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=2，c=0.3执行循环体，m=，不满足条件f（m）=0，满足条件f（a）f（m）＜0，b=1.5，不满足条件|a﹣b|＜c，m=1.25，不满足条件f（m）=0，不满足条件f（a）f（m）＜0，a=1.25，满足条件|a﹣b|＜c，退出循环，输出的值为1.375．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基础题．10．已知函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，）上单调递减，则ω的取值围是（）A ．（0，2]B ．（0，]C ．[，1]D ．[，] 【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用积化和差公式化简2sinφcos （ωx +φ）=sin （ωx +2φ）﹣sinωx．可将函数化为y=Asin （ωx +φ）的形式，在（π，）上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求ω的取值围．【解答】解：函数f （x ）=sin （ωx +2φ）﹣2sinφcos（ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）．化简可得：f （x ）=sin （ωx +2φ）﹣sin （ωx +2φ）+sinωx =sinωx，由+，（k ∈Z ）上单调递减， 得： +，∴函数f （x ）的单调减区间为：[，]，（k ∈Z ）． ∵在（π，）上单调递减， 可得： ∵ω＞0， ω≤1． 故选C ．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．11．设双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以OF 1（O 为坐标原点）为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F 1N=ON=MN=r ，则OF 2=2r ，根据勾股定理NF 2=2r ，再利用相似三角形和双曲线的离心率公式即可求得 【解答】解：设F 1N=ON=MN=r ， 则OF 2=2r ，根据勾股定理NF2=2r，又△MF2N∽△PF1F2，∴e======，故选：D【点评】此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．12．把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为S1，S2，S3，S4，设面积为S2的三角形所在的平面为α，则面积为S4的三角形在平面α上的射影的面积是（）A．2 B．C．10 D．30【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】由题意，面积为S4的三角形在平面α上的射影为△OAC，即可得出结论．【解答】解：如图所示，面积为S4的三角形在平面α上的射影为△OAC，面积为=2，故选A．【点评】本题考查射影的概念，考查三角形面积的计算，比较基础．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在二项式（ax2+）5的展开式中，若常数项为﹣10，则a= ﹣2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．==a5﹣r，【解答】解：二项式（ax2+）5的展开式中，通项公式Tr+1令10﹣=0，解得r=4．∴常数项=a=﹣10，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s2可能的最大值是36 ．【考点】极差、方差与标准差．【分析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，得到x+y=10，表示出S2，根据x的取值求出S2的最大值即可．【解答】解：设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，则9+10+11+（10+x）+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x，故S2= [1+0+1+x2+（﹣x）2]= + x2，显然x最大取9时，S2最大是36，故答案为：36．【点评】本题考查了求数据的平均数和方差问题，是一道基础题．15．如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA 至点C，使|OA|=|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，|EG|=y2﹣2y1=y2+，利用基本不等式即可得出结论．【解答】解：设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴|EG|=y2﹣2y1=y2+≥4，当且仅当y2=4时，取等号，即|EG|的最小值为4，故答案为4．【点评】本题考查|EG|的最小值的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16．在数列{an }中，a1=1，an=an﹣1（n≥2，n∈N*），则数列{}的前n项和Tn=．【考点】数列的求和．【分析】由条件可得=•，令bn =，可得bn=•bn﹣1，由bn=b1••…•，求得bn，进而得到an，可得==2（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：在数列{an }中，a1=1，an=an﹣1（n≥2，n∈N*），可得=•，令bn =，可得bn=•bn﹣1，由bn =b1••…•=1••…•=，可得an=，即有==2（﹣），则前n项和Tn=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查数列的求和，注意运用构造数列法，结合数列恒等式，考查裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2017•模拟）如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）在△CBE中，正弦定理求出sin∠BCE；（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，得CB．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC⇒sin∠BEC、cos∠AED在直角△ADE中，求得DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°即可【解答】解：（Ⅰ）在△CBE中，由正弦定理得，sin∠BCE=，（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，即7=1+CB2+CB，解得CB=2．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=．⇒sin∠BEC=，sin∠AED=sin（1200+∠BEC）=，⇒cos∠AED=，在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，⇒DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°=49∴CD=7．【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题18．（12分）（2017•模拟）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次 x 555559 551 563 552y 601605 597 599 598（Ⅰ）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；（Ⅱ）求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=， =﹣）【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，可得结论；（Ⅱ）求出回归系数，即可求特征量y关于x的线性回归方程=x+；并预测当特征量x为570时特征量y的值．【解答】解：（Ⅰ）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，共有=10种方法，都小于600，有=3种方法，∴至少有一个大于600的概率==0.7；（Ⅱ）=554， =600， ===0.25， =﹣=461.5，∴ =0.25x+461.5，x=570， =604，即当特征量x为570时特征量y的值为604．【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，正确计算是关键．19．（12分）（2017•模拟）如图，已知梯形CDEF与△ADE所在平面垂直，AD ⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9．CD=12，连接BC，BF．（Ⅰ）若G为AD边上一点，DG=DA，求证：EG∥平面BCF；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EG∥平面BCF．（Ⅱ）求出平面BEF的法向量和平面BFC的法向量，利用向量法能求出二面角E ﹣BF﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵梯形CDEF与△ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，∴以D为原点，DC为x轴，DE为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，∵AE=2DE=8，AB=3，EF=9．CD=12，连接BC，BF．G为AD边上一点，DG=DA，∴E（0，4，0），G（0，0，），B（3，0，4），C（12，0，0），F（9，4，0），=（9，0，﹣4），=（6，4，﹣4），=（0，﹣4，），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则，取z=3，得=（4，3，3），∵=﹣12+12=0，EG⊄平面BCF，∴EG∥平面BCF．解：（Ⅱ） =（3，﹣4，4），=（9，0，0），设平面BEF的法向量=（a，b，c），则，取c=1， =（0，，1），平面BFC的法向量=（4，3，3），设二面角E﹣BF﹣C的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角E﹣BF﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2017•模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： +=1（a ＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E 相交于A，B两点．（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=﹣x+m的距离为半径1，⇒m=，⇒A（0，），B（，0）代入椭圆方程，求出a、b即可（2）由原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径r⇒m2=（1+k2）r2．联立直线方程和与椭圆的方程，利用求解．【解答】解：（Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=﹣x+m的距离为半径1，∴，⇒m=，切线l：y=﹣x+，⇒A（0，），B（，0）∴a=，b=，∴椭圆E的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．．．∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，∴；⇒（k2+1）x1x2+km（x1+x2）=m2（a2+b2）=（k2+1）a2b2…①又∵圆O的一条切线l：y=kx+m，∴原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径r⇒m2=（1+k2）r2…②由①②得r2（a2+b2）=a2b2．∴以AB为直径的圆经过坐标原点O，则a，b，r之间的等量关为：r2（a2+b2）=a2b2．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．21．（12分）（2017•模拟）已知函数f（x）=alnx﹣x+，其中a＞0（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上存在极值点，求a的取值围；（Ⅱ）设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若f（x2）﹣f（x1）存在最大值，记为M（a）．则a≤e+时，M（a）是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，得到a=x+在x∈（2，+∞）上有解，由y=x+在x∈（2，+∞）上递增，得x+∈（，+∞），求出a的围即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，得到[f（x2）﹣f（x1）]max=f（n）﹣f（m），求出M（a）=f（n）﹣f（m）=aln+（m﹣n）+（﹣），根据函数的单调性求出M（a）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣1﹣=，x∈（0，+∞），由题意得，x2﹣ax+1=0在x∈（2，+∞）上有根（不为重根），即a=x+在x∈（2，+∞）上有解，由y=x+在x∈（2，+∞）上递增，得x+∈（，+∞），检验，a＞时，f（x）在x∈（2，+∞）上存在极值点，∴a∈（，+∞）；（Ⅱ）若0＜a≤2，∵f′（x）=在（0，+∞）上满足f′（x）≤0，∴f（x）在（0，+∞）上递减，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x2）﹣f（x1）不存在最大值，则a＞2；∴方程x2﹣ax+1=0有2个不相等的正实数根，令其为m，n，且不妨设0＜m＜1＜n，则，f（x）在（0，m）递减，在（m，n）递增，在（n，+∞）递减，对任意x1∈（0，1），有f（x1）≥f（m），对任意x2∈（1，+∞），有f（x2）≤f（n），∴[f（x2）﹣f（x1）]max=f（n）﹣f（m），∴M（a）=f（n）﹣f（m）=aln+（m﹣n）+（﹣），将a=m+n=+n，m=代入上式，消去a，m得：M（a）=2[（+n）lnn+（﹣n）]，∵2＜a≤e+，∴ +n≤e+，n＞1，由y=x+在x∈（1，+∞）递增，得n∈（1，e]，设h（x）=2（+x）lnx+2（﹣x），x∈（1，e]，h′（x）=2（1﹣）lnx，x∈（1，e]，∴h′（x）＞0，即h（x）在（1，e]递增，∴[h（x）]max=h（e）=，∴M（a）存在最大值为．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为（2，θ），其中θ∈（，π）（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程，利用点A的极坐标为（2，θ），θ∈（，π），即可求θ的值；（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求出A，B的坐标，即可求|AB|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为x2+（y﹣2）2=4，极坐标方程为ρ=4sinθ，∵点A的极坐标为（2，θ），θ∈（，π），∴θ=；（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x+y﹣4=0，点A的直角坐标为（﹣，3），射线OA的方程为y=﹣x，代入x+y﹣4=0，可得B（﹣2，6），∴|AB|==2．【点评】本题考查三种方程的转化，考查两点间距离公式的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•模拟）已知函数f（x）=4﹣|x|﹣|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x+）≥0的解集；（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（I）由题意，分类讨论，去掉绝对值，解不等式即可；（Ⅱ）运用柯西不等式，可3p+2q+r的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x+）≥0，即|x+|+|x﹣|≤4，x≤﹣，不等式可化为﹣x﹣﹣x+≤4，∴x≥﹣2，∴﹣2≤x≤﹣；﹣＜x＜，不等式可化为x+﹣x+≤4恒成立；x≥，不等式可化为x++x﹣≤4，∴x≤2，∴≤x≤2，综上所述，不等式的解集为[﹣2，2]；（Ⅱ）∵（++）（3p+2q+r）≥（1+1+1）2=9， ++=4∴3p+2q+r≥，∴3p+2q+r的最小值为．【点评】本题考查不等式的解法，考查运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．21 / 21。
高考数学真题导数专题及答案
高考数学真题导数专题及答案2017年高考真题：导数专题一、解答题（共12小题）1.已知函数f(x) = ae^(2x) + (a-2)e^x - x。
1) 讨论f(x)的单调性；2) 若f(x)有两个零点，求a的取值范围。
2.已知函数f(x) = ax^2 - ax - xlnx，且f(x) ≥ 0.1) 求a；2) 证明：f(x)存在唯一的极大值点x，且e^-2 < f(x) < 2^-2.3.已知函数f(x) = x^-1 - alnx。
1) 若f(x) ≥ 0，求a的值；2) 设m为整数，且对于任意正整数n，(1+1/n)^m 的最小值。
4.已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 (a。
0，b∈R)有极值，且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点。
1) 求b关于a的函数关系式，并写出定义域；2) 证明：b^2.3a；3) 若f(x)和f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于 -1，求a的取值范围。
5.设函数f(x) = (1-x^2)e^x。
1) 讨论f(x)的单调性；2) 当x≥1时，f(x) ≤ ax+1，求a的取值范围。
6.已知函数f(x) = (x-1)/(x+1)。
1) 求f(x)的导函数；2) 求f(x)在区间(-1.+∞)上的取值范围。
7.已知函数f(x) = x^2 + 2cosx，g(x) = e^x(cosx-sinx+2x^-2)，其中e≈2.…是自然对数的底数。
I) 求曲线y=f(x)在点(π。
f(π))处的切线方程；II) 令h(x) = g(x) - af(x) (a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。
8.已知函数f(x) = e^x*cosx - x。
1) 求曲线y=f(x)在点(0.f(0))处的切线方程；2) 求函数f(x)在区间[0.π]上的最大值和最小值。
9.设a∈Z，已知定义在R上的函数f(x) = 2x^4 + 3x^3 -3x^2 - 6x + a在区间(1.2)内有一个零点x，g(x)为f(x)的导函数。
2017高考数学(理)二轮专题复习高考小题标准练(十二)Word版含解析
高考小题标准练 (十二 )小题加强练，练就速度和技术，掌握高考得分点！姓名：________班级： ________一、选择题 (本大题共10 小题，每小 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1 ．已知 sinα＋ cosα＝2 ，α∈π π－2，2，则 tanα＝()A．－1B．－2 22C. 2D．1分析：由已知得 (sinα＋cosα)2＝ 2，所以 2sinαcosα＝1，所以 sinα－cosα2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝ 0 ，所以sinα＝cosα，所以 tanα＝1.应选 D.答案： D2．设会合 A＝{1,2,4} ，会合 B＝{ x|x ＝a＋b，a，b∈A} ，则会合 B 中的元素个数为 ()A．4 B．5C．6D．7分析：由于 a，b∈A，x＝a＋b，所以 x 可能的取值为 2,3,4,5,6,8，所以 B 中有 6 个元素．应选 C.答案： Ci 3．已知i 为虚数单位，则3＋4i＝()A．3＋4i B．4＋3i4343C.25－25iD.25＋25i分析：i ＝i 3－4i＝4＋33＋4i3＋4i3－4i25 i.应选 D.25答案： D的前项n为等差数列 { a n n 4．已知 S}和， a2＋a8＝6，则 S9＝ ()27A. 2B．27C．54D．108分析：在等差数列 { a n} 中，由a2＋9 a1＋a9a8＝a1＋a9＝6，得 S9＝2＝27.故选 B.答案： B5．设α，β是两个不一样的平面，l 是一条直线，以下命题①若 l⊥α，α⊥β，则 l∥β；②若 l ∥α，α∥β，则 l∥β；③若 l⊥α，α∥β，则 l⊥β；④若 l ∥α，α⊥β，则 l⊥β.此中正确命题的个数是 ()A．1 B．2C．3 D．4分析：①中，若 l⊥α，α⊥β，则 l∥β或 l? β，故①错误；②中，若 l∥α，α∥β，则l∥β或l? β，故②错误；③中，假如一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个，故③正确；④中，l∥α，α⊥β，没法判断l 与β的关系，故④错误．综上，正确命题的个数为 1.应选 A.答案： A→→6．已知 |OA|＝1，|OB|＝ k ，∠ AOB＝2π → →，点 C 在∠ AOB 内， OC＝0，3·OA→→→若 OC ＝2mOA ＋ mOB(m ≠0)，则实数 k＝()A ．1B ．2C.3 D ．4→→→→ →分析：由OC ＝2mOA ＋mOB ，OC ·－1OA→ →＝ 0.又＝ 0，得 OC · ＝ 2m ＋ mk ·OA2m ≠0，所以 k ＝4.应选 D.答案： D7 ． 已 知 实 数 x ， y 满 足x －2y ＋1≥0，若 ＝ －－，则x<2，z|2x 2y1|x ＋y －1≥0，z 的取值范围是 ()5A. 3，5B ．[0,5]5C．[0,5) D. 3，5分析：画出拘束条件x－2y＋1≥0，x<2，x＋y－1≥0表示的可行域如图暗影地区所示，u＋1令 u＝2x－2y－1，则 y＝x－2.平移直1 2线 y＝x，当经过点 A(2，－1)，B 3，3时，5代入计算 u，得 u 的取值分别为 5，－3，5可知－3≤u<5，所以 z＝|u|∈[0,5)．应选 C.答案： C8．若正数 a，b，c 知足 c2＋4bc＋2ac＋8ab＝8，则 a＋2b＋c 的最小值为()A. 3 B．23C．2 D．2 2分析： (a＋ 2b＋ c)2＝ a2＋ 4b2＋ c2＋4ab＋2ac＋4bc，由于 c2＋8ab＋2ac＋4bc＝8，所以 (a＋2b＋c)2＝a2＋4b2－4ab＋8＝(a－2b)2＋8≥8，故 a＋2b＋c≥2 2.答案： D9．4 名学生从 3 个体育项目中每人选择 1 个项目参加，而每个项目都有学生参加的概率为 ()88A.9B.2741C.9D.4分析：每个项目都有学生参加分为以下三种状况：第一种状况，先从 4 名学生中选择 1 名参加第一个项目，有 C14种方法；再从剩下的 3 名学生中选择 1 名参加第二个项目，且 C13种方法；最后的 2 名学生所有安排到第三个项目，所以，有 C14C13＝ 12(种)方法，以此类推，第二种状况，2 名学生所有安排到第二个项目，也有 C14C13＝12(种)方法；第三种状况， 2 名学生所有安排到第一个项目，也有 C14C13＝12(种)方法；故每个项目都有学生参加的选法种数为 12＋12＋12＝36；而每名学生能够随意选择三个项目中的一个，所以，所有的选法种数为3×3×3×3＝ 81，综上，每个项目都有学生参加的概率36 4P＝81＝9.应选C.答案： C10．已知函数log2 1－x ＋1，－ 1≤x<k，f(x)＝x3－3x＋2，k≤x≤a，若存在k 使得函数 f(x)的值域是 [0,2]，则实数 a 的取值范围是 ()1A．[ 3，＋∞ ] B.2， 3C．(0， 3]D．{2}分析：明显－ 1<k ≤1，且 f(x)在[－1，k)上单一递减．对 f(x)＝log 2(1－x)＋1，f(－1)＝2，f12 ＝0；对 f(x)＝x3－3x ＋2，f(－1)＝4>2，f(0)＝2.由 x 3－3x ＋2＝2 得x＝ 0， ± 3.将 f(x)＝ x 3－ 3x ＋ 2 求导得f ′(x)＝3x 2－3.所以 f(1)＝0 是 f(x)的极小值． f(x)＝x 3－3x ＋2 在[1，＋ ∞)上单调递加．作出 f(x)＝log 2(1－x)＋1 和 f(x)＝x 3－3x ＋2 的图象以下列图所示． 由图可1知，当2≤a ≤3时，存在 k 使得函数 f(x)的值域是 [0,2] ．答案： B二、填空题 (本大题共 5 小题，每小 5 分，共 25 分．请把正确答案填在题中横线上 )11.2x ＋x (1－ x)4的睁开式中 x 的系数是 __________．－11 4分析：原式＝ (2x＋x)(1－x 2) ，因1 4r1 rr为(1－x 2)的通项为 T r ＋1＝C 4(－x 2)＝C 4r rr－1rrr(－1)x 2，则 x 2·2x＝2x 2－1或 x 2·x ＝x 2＋1.当 r－1＝1，即 r ＝4 时，此时 x 的系24·＝ ；当 r ＋1＝1，即 r ＝0数为 C 44(－1)2 22时，此时 x 的系数为 C 04(－1)0＝1，所以原式睁开式中 x 的系数为 2＋1＝3.答案： 312．在△ ABC 中，C ＝60°，|AB|＝ 3，边 AB 上的高为43，则 (|AC|＋ |BC|)2＝__________.分析：过点 C 作 CH ⊥AB 于点 H ，则 |CH|＝ 43.由余弦定理，得 |AB|2＝ |AC|2＋ |BC|2－ 2|AC||BC|cosC ＝ 3 ；由面积公S △ ABC ＝ 13式 ， 得2 |AC||BC|sinC ＝412 3，故 |AC||BC||AC| ·|BC|＝2|AB||CH|＝3＝83，所以 (|AC|＋ |BC|)2＝ |AC|2＋ |BC|2＋2|AC| ·|BC|＝(3＋|AC| ·|BC|)＋2|AC| ·|BC|＝83＋3|AC| ·|BC|＝3＋3×3＝11.答案： 1113．在平面几何中有以下结论：若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接S11圆面积为 S2，则S2＝4.推行到空间几何体中能够获得近似结论：若正四周体ABCD 的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，V1则V2＝__________.分析：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得以下结论：正四周体的内切球和外接球的半径之比是13，故正四周体 ABCD 的内切球体积与外接球体积V2之比等于V1＝13＝V23 127.1答案： 2714．如图，∠ ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥ DB 交 DB 于点 E ，AF ⊥DC交 DC 于 F ，且 AD ＝AB ＝2，则三棱锥D －AEF 体积的最大值为 __________．分析：由于 DA ⊥平面 ABC ，所以DA ⊥BC.又由于 BC ⊥ AC ，AC ∩ DA ＝A ，所以 BC ⊥平面 ACD ，所以 BC ⊥ AF.又因为 AF ⊥DC ，BC ∩DC ＝C ，所以 AF ⊥平面 DBC ，又 EF ，DB? 平面 DBC ，所以 AF ⊥ EF ， AF ⊥ DB.又由于 AE ⊥ DB ，AF ∩AE ＝A ，所以 DB ⊥平面 AEF ，所以111V DAEF ＝ 3S △ AEF ·DE ＝ 3 × 2 AF ·EF ·DE. 又AD ＝AB ＝2，所以 AE ＝DE ＝ 2，所以AF 2 ＋ EF 2 ＝ AE 2＝ 2，所以 V DAEF ＝2AF 2＋EF2622AF·EF≤6×2＝6，当且仅当AF＝EF 时等号建立．故三棱锥DAEF2体积的最大值为6 .答案：2615．某班级有一个7 人小组，现任选此中 3 人互相调整座位，其他 4 人座位不变，则不一样的调整方案的种数为__________．分析：从 7 个人中任选 3 人有 C37种方法，选出的 3 人互相调整座位其他 4 人座位不变，只有 2 种方法 (如 abc 只可调整为 cab 或 bca)，故不一样的调整方案的种数有 2C37＝70(种)．答案： 70。
高考数学真题导数专题及答案
2017年高考真题导数专题一．解答题（共12小题）2（a﹣2）﹣（x）x．1．已知函数f（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．2﹣﹣，且f（xx））≥0．2．已知函数f（（1）求a；．）＜2＜f（x）存在唯一的极大值点x，且e（xf（2）证明：003．已知函数﹣﹣22f（x）﹣1﹣．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+，求m）＜+1（…）的最小值．m32）f（x）的极值点是1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x4．已知函数f （）x（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）的零点．的函数关系式，并写出定义域；b关于a（1）求2；＞（2）证明：b3a的取值范围．a，）若f（x）f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求（3 2．（x）=）﹣x（15．设函数f）的单调性；（1）讨论f（x的取值范围．，求a（fx）≤1（2）当x≥0时，．xex6．已知函数f（x）=（﹣）（≥）﹣x）的导函数；（1）求f（x∞）上的取值范围．[，+）在区间）求（2f（x2是自然对数的底数．f．已知函数（x）+2，e）2，其中≈2.17828…（﹣xg（）2x﹣7）处的切线方程；πx）求曲线（）在点（，f（π）Ⅰ（）的单调性并判断有无极值，）（）令（Ⅱhx R∈a）x（）﹣x（a f（）（h，讨论x有极值时求出极值．8．已知函数f（x）﹣x．（1）求曲线（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．432﹣6在区间（1﹣3x，f（x）=2x2+3x）内∈9．设aZ，已知定义在R上的函数有一个零点x，g（x）为f（x）的导函数．0（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x）∪（x，2]，函数h（x）（x）（m﹣x）﹣f（m），求证：h000（m）h（x）＜0；0（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x）0∪（x，2]，满足|﹣x|≥．0023，ax）∈﹣R，10．已知函数f（（1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．32﹣3a（a﹣4），g（x）（，≤a，b∈R1．已知函数f（x）﹣6xx）．11．设（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x，y）处有相同的切线，00（i）求证：f（x）在处的导数等于0；0（）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x﹣1，x+1]上恒成立，求b的取值范00围．2xa．）（﹣a）﹣x．已知函数12 f（（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．2017年高考真题导数专题参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）2（a﹣2x））﹣x．1．（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．22（a﹣2）﹣1，）﹣x，求导f′（x））由【解答】解：（1f（x）=2（a﹣2，＜02﹣1）0时，f′（x=﹣当）单调递减，（xR，f∴当x∈，）（）（﹣）（21（﹣1）=2a当a＞0时，f′（x）=，，解得：x）=0令f′（，＞0，解得：x当f′（x）＞，＜，解得：xf′当（x）＜0∞）单调递增；+∈（，f（x）单调递减，x∴x∈（﹣∞，）时，，恒成立，）＜0=2a（）（﹣）当a＜0时，f′（x）单调递减，（x∈R，f∴当x单调减函数，）在Rf（x综上可知：当a≤0时，∞）是增函数；+）在（﹣∞，）是减函数，在（，＞0时，f（xa当）最多有一个零点，（x0时，由（1）可知：f≤（2）①若a2，xa﹣2（a＞0时，fx））﹣（当2x，→0，→0当x→﹣∞时，e∞，→+﹣∞时，x→f（x）∴当2x，∞，且远远大于和→+e当x→∞，x∞，+（fx）→∞，∴当x→即可，xf∴函数有两个零点，（）的最小值小于0∞）是增函数，）是减函数，在（，+f（x）在（﹣∞，由（）×（）+（a﹣2f∴（x））×﹣＜0，﹣1＞＜0，即0，∴1﹣﹣设，则g（t）﹣1，（t＞0），求导g′（t）1，由g（1）=0，∴＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．22（a﹣2）﹣1，求导f′（x）=2，方法二：（1）由f（x）x（a﹣2）﹣当0时，f′（x）=2﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（21）（﹣1）=2a（）（﹣），令f′（x）=0，解得：﹣，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣，∴x∈（﹣∞，﹣）时，f（x）单调递减，x∈（﹣，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（）（﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣）是减函数，在（﹣，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当﹣时，f（x）取得最小值，f（x）（﹣）=1﹣﹣，当1，时，f（﹣）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣＞0，即f（﹣）＞0，故f（x）没有零点，，f（﹣）＜01﹣﹣＜0，当）时，a∈（0，1+2＞0+2＞﹣+2e（a﹣2）e）由f（﹣2，﹣﹣﹣224故f（x）在（﹣∞，﹣）有一个零点，假设存在正整数n，满足n＞（﹣1），则f（n）=（﹣2）﹣n＞﹣0000n＞﹣n＞0，00由（﹣1）＞﹣，因此在（﹣，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．2﹣﹣，且f（x））≥0．．（2017?新课标Ⅱ）已知函数f（x2（1）求a；．2f（x）存在唯一的极大值点x，且ex）＜＜（2）证明：f（002﹣﹣（﹣a ﹣﹣22﹣）（x＞））解：因为f（x0），【解答】（1则f（x）≥0等价于h（x）﹣a﹣≥0，求导可知h′（x）﹣．则当a≤0时h′（x）＜0，即（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．00因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）（），又因为h（1）﹣a﹣1=0，所以=1，解得1；2﹣x﹣，f′（x）=2x﹣2﹣，）（2）证明：由（1）可知f（x令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣0，记t（x）=2x﹣2﹣，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）（）2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x，x，20．∞）上为x，+x）上为正、在（x，x且不妨设）上为负、在（f′（x）在（0，2002正，f（x）必存在唯一极大值点x，且2x﹣2﹣所以=0，000所以f（x）=﹣x﹣x=﹣x+2x﹣2﹣，0000000由x＜可知f（）﹣x）＜（x﹣；000，＜＜）＜0可知x由f′（0所以f（x）在（0，x）上单调递增，在（x，）上单调递减，00所以f（x）＞f（）=；0﹣﹣22．2f（）存在唯一的极大值点x，且ex）＜＜综上所述，f（x003．（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）﹣1﹣．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求的最小值．m，0x解：（1）因为函数f（x）﹣1﹣，＞【解答】．1）=1﹣=，且f（）=0x所以f′（所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾；当a＞0时令f′（x）=0，解得，所以（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）（a），又因为f（x）（a）≥0，所以1；（2）由（1）可知当1时f（x）﹣1﹣≥0，即≤x﹣1，所以（1）≤x当且仅当0时取等号，*．∈N+）＜，k所以（1）+…（1+）＜…1﹣＜1，+1（）+1（一方面，；+）＜e1+）…（即（11+）（（1+）（1+）…（（1+）=＞2；另一方面，1+）＞（1+）（1+）从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），）…（1+）＜m成立，因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+所以m的最小值为3．321（a＞0，b）∈R）有极值，且导函数f′（x）的f4．（2017?江苏）已知函数（x极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；2＞3a；2）证明：b（（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．321，（fx）【解答】（1）解：因为2+2，g′（）=3xx）=62a，所以g（x）′（x令g′（x）=0，解得﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，．0）（a＞所以321（a＞0，b∈R（因为fx））有极值，2+20的实根，（x）=3xf′所以22﹣+≥0，解得，即aa≥3，0所以4a﹣12b≥．≥所以（a3）2333，27（27（﹣4a﹣）a﹣）﹣）a（h）可知1）证明：由（2（2；b3a＞h（a）＞0，即由于＞a3，所以，）﹣）的极小值为f′（﹣）解：由（1）可知f′（x（3，=）的两个极值点，则x=，xxx设x，是（x212112）（x）+））（x（+2所以f（x121222﹣2xx]（）x）+[（x）2﹣3xx][（x=（x）121221212211=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，3﹣63a﹣542a≤0，因为a＞3，所以2﹣36）+9（a﹣所以2a（a6）≤0，2+129）≤（2a0，所以（a﹣6）2+129＞时2a0，由于a＞3所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．2）．1﹣xf（x）=（Ⅱ5．（2017?新课标）设函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围．2），x∈﹣xR，=（1）因为f（x）（1解：【解答】2）x，1﹣2x﹣x所以f′（）=（令f′（x）=0可知﹣1±，时f′（x）＜0，当﹣1﹣＜x＜﹣1+时f′1或x＞﹣+（x）＞＜﹣当x1﹣，0，∞）上单调递减，在（﹣1﹣+（﹣），﹣）在（﹣∞，﹣（所以fx11+，）上单调递增；+1﹣（2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1）．下面对a的范围进行讨论：①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x），则h′（x）=﹣＜0（x＞0），∞）上单调递减，+[0因此，h（x）在0）=1，所以h（（x）≤1，又因为h所以f（x）=（1﹣x）h（x）≤1≤1；②当0＜a＜1时，设函数g（x）﹣x﹣1，则g′（x）﹣1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）=1﹣0﹣1=0，所以≥1．2，）（1）＞（1﹣x）因为当0＜x＜1时f（x22），﹣x﹣a﹣）（1）x﹣﹣1（11所以（﹣x2﹣﹣1=0（1），10，1），则（﹣x）取x=∈（0000所以f（x）＞+1，矛盾；002=1≥+）1，矛）＞（x1﹣x）（xa≤0时，取=1，∈（01），则f（③当00000盾；．综上所述，a的取值范围是+∞）[1，．（﹣x≥）e）x2017?6．（浙江）已知函数f（）=（x ﹣x）的导函数；x）求1f（（∞）上的取值范围．+）在区间）求2f（x[，（，≥（（（【解答】解：1）函数fx）=x﹣）e）（x﹣x﹣（e）ex﹣?=xf′导数（）（1﹣?2）﹣﹣xx（1﹣xe））（）e1﹣（=1﹣；﹣﹣x，）1﹣e﹣x）=（1x）（）的导数）由（2f（xf′﹣x（，或时，）=01（可得f′x）递减；，（1时，f′x）＜0f（x＜＜当x）递增；xf′＜＜当1x时，（）＞f，0（x）递减，x，f（＞时，f′（x）＜当0x22，）0≥1?（x﹣且x≥?x1≥2x﹣．0（x）≥则f，f（）f（1）=0，由f（），．1）=0x）的最大值为e，最小值为f（即有f （．，e]，+∞）上的取值范围是[0（则fx）在区间[2是自≈2.17828…﹣2），其中e））+2，g（x（﹣2x7．（2017?山东）已知函数f （x然对数的底数．）处的切线方程；π））在点（π，f（（Ⅰ）求曲线（x）的单调性并判断有无极值，（xR），讨论hx）﹣a f（x）（a∈）（Ⅱ）令h（x （有极值时求出极值．2．=2πf′（π）f′（x）=2x﹣2，∴【解答】解：（I）f（π）=π﹣2．2．）x﹣π﹣（π﹣2）=2π（∴曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y2．π2=0﹣化为：2πx﹣y﹣2）+2﹣2）﹣a（x（h（x）（x）﹣a fx）（﹣2x（））2x﹣2（﹣﹣2）﹣a（h′（x）（﹣2x﹣2）．﹣）（﹣）a）=2（x=2（x﹣）（﹣上单调递增．Rx，∴函数u（）在x）﹣，则u′（x）=1﹣≥0令u（．0（x）＜0；x＜0时，uu0∵u（）=0，∴x＞0时，（x）＞（1）a≤0时，﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣）（﹣）=0．解得x，x=0．21．）单调递增；x0，函数h（∈（﹣∞，）时，﹣＜0，h′（x①）＞0＜a＜1时，x ）单调递减；x0，函数h（）时，﹣＞0，h′（x）＜x∈（，0）单调递增．x，函数h（0∞）时，﹣＞0，h′（x）＞x∈（0，+．1﹣2a﹣x）取得极小值，h（0）=∴当0时，函数h（2a﹣2（）（）+﹣a[2]．h当时，函数h（x）取得极大值，（）=②当1时，0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，＞0，x∈（﹣∞，0）时，﹣＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，）时，﹣＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（，+∞）时，﹣＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．2a﹣2（）（）+2]．（x）取得极小值，h（）=﹣a[当时，函数h综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，）是单调递增；函数h（x）在x∈（，0）上单调递减．当0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当时，函数h2a﹣2（）（）a[+2]．=（x）取得极大值，h（）﹣当1时，0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，）上单调递减．当0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当时，函数h2a﹣2（）（）+2h（）=﹣a[]．（x）取得极小值，8．（2017?北京）已知函数f（x）﹣x．（1）求曲线（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）﹣x的导数为f′（x）（﹣）﹣1，0（0﹣0））处的切线斜率为）﹣1=0，00可得曲线（x）在点（，f（00﹣0），即为（00，e，1），切点为（曲线（x）在点（0，f（0））处的切线方程为1；（2）函数f（x）﹣x的导数为f′（x）（﹣）﹣1，令g（x）（﹣）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）（﹣﹣﹣）=﹣2?，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2?≤0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，即有g（x）在[0，则f]递减，（x）在[0，0即有函数f]上的最大值为f（0）（0﹣0=1；x）在区间[0，最小值为f（﹣=．）﹣432﹣63x在区﹣上的函数f（x）=2x3x+9．（2017?天津）设a∈Z，已知定义在R间（1，2）内有一个零点x，g（x）为f（x）的导函数．0（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x）∪（x，2]，函数h（x）（x）（m﹣x）﹣f（m），求证：h000（m）h（x）＜0；0（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x）0∪（x，2]，满足|﹣x|≥．0043232﹣6x+9x=8xx）′（xf（x）=2x3x+）﹣3xg﹣6，可得（）解：由【解答】（Ⅰ﹣6，2+18x﹣6．令g′（x）=24x进而可得g′（x）=0，解得﹣1，或．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，+∞）++﹣xg′（）↗↘↗）g（x，单调递减区间是（﹣∞）+，（，）1）的单调递增区间是（﹣∞，﹣x（g所以，．，1），m）x）﹣f（（m）（m）（m﹣（）证明：由h（x）（x）（m﹣x）﹣fm），得hⅡ（00f（mx））﹣．（x）（x）（m﹣h000令函数H（x）（x）（x﹣x）﹣f（x），则H′（x）′（x）（x﹣x）．0110由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x）时，H′（x）＜0，H（x）单调递减；101当x∈（x，2]时，H′（x）＞0，H（x）单调递增．101因此，当x∈[1，x）∪（x，2]时，H（x）＞H （x）=﹣f（x）=0，可得H1100010（m）＞0即h（m）＞0，令函数H（x）（x）（x﹣x）﹣f（x），则H′（x）′（x）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，02200g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x）时，H′（x）＞0，H（x）单调递220增；当x∈（x，2]时，H′（x）＜0，H（x）单调递减．因此，当x∈[1，x）0220∪（x，2]时，H（x）＞H（x）=0，可得得H（m）＜0即h（x）＜0，．022020所以，h（m）h（x）＜0．0（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，．）f（mx）（m﹣x）﹣）令，函数h（x（0）内有零点；，）在区间（mx，x）时，h（x由（Ⅱ）知，当m∈[100）内有零点．x，m]时，h（x）在区间（当m∈（x，200﹣）（（x）（x）内至少有一个零点，不妨设为h（x）在（1，2x，则h所以111．）=0x）﹣f（0，））＜g（2＜g（1）＜g（x1由（Ⅰ）知g（x）在[，2]上单调递增，故01．=﹣x≥于是|0因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x外没有其他的零点，而≠x，故f（）≠0．00432234|6q 是正整数，﹣a，q，均为整数，所以|2p+3pq﹣3pp又因为432234|≥6﹣2p从而|+3pq3pq﹣1．．x|≥．所以，只要取（2），就有|所以﹣|﹣x|≥0032，a∈Rf（x）10．（，2017?﹣山东）已知函数（1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．32，﹣x时，f（x）【解答】解：（1）当22，﹣2x∴f′（x），﹣9=06=3，f（3）=×27∴′（3）=9﹣9=0﹣x﹣3），即3x﹣y3∴曲线（x）在点（3，f（））处的切线方程3（23）﹣，x（﹣+﹣a2）函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣（，（x﹣）﹣x）=（xa）∴g′（，，解得，或0令g′（x）=0）上单调恒成立，故0g（x）在（﹣∞，0＜①若a＞0时，当x0时，g′（x）＞递增，∞）上单调递增，a）在（，+x当x＞a时，g′（）＞0恒成立，故g（x）上单调递减，a0x当0＜＜a时，g′（x）＜恒成立，故g（x）在（0，3﹣﹣a=g（a）∴当时，函数有极小值，极小值为，a0）=﹣时，有极大值，极大值为当0g（）上单调）在（﹣∞，恒成立，故）＞0g（x0（＞＜②若a0时，当x0时，g′x 递增，）上单调递增，）在（﹣∞，agxa当x＜时，g′（）＞0恒成立，故（x）上单调递减，＜，0axgxg′0时，（）＜0恒成立，故（）在（xa当＜3﹣=）﹣aag∴当时，函数有极大值，极大值为（a时，有极小值，极小值为当0g﹣）0（=，时，0③当x（g′）（）∞）上单调递增，+）在（0，）＞0恒成立，故g（x当时，x＞0g′（x）上单调递增，0（x）在（﹣∞，（x）＞0恒成立，故g当x＜0时，g′上单调递增，无极值．R（x）在∴g23，g（xa﹣4）f（x））﹣6x﹣3a（天津）设11．（2017?a，b∈R，≤1．已知函数（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x，y）处有相同的切线，00（i）求证：f（x）在处的导数等于0；0（）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x﹣1，x+1]上恒成立，求b的取值范00围．322﹣12x﹣3a（ax4），可得f'（x（Ⅰ）解：由f（））﹣6x=3x﹣3a（a﹣【解答】﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得，或4﹣a．由≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）++x）﹣f'（↗↘↗）xf（∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）（f（x）'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在处的导数等于0；0（）解：∵g（x）≤，x∈[x﹣1，x+1]，由＞0，可得f（x）≤1．00又∵f（x）=1，f'（x）=0，00故x为f（x）的极大值点，由（I）知x．00．，a＜4另一方面，由于≤﹣1，故1（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，）知由（Ⅰ1f）内单调递减，故当x时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，1]上恒成立，从而g（x）≤在[x﹣1，00x+1]上恒成立．03232+1，﹣1≤6aa≤13a（a﹣4）1，得2a．由f（a）6a﹣﹣﹣32+1，x∈[﹣1，t（x）=2x﹣6x1]，令2﹣12x=6x，∴t'（x）令t'（x）=0，解得2（舍去），或0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．2xa．（﹣a）﹣新课标Ⅰ）已知函数f（x）12．（2017?（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．22x2x，﹣﹣ax）（﹣a）﹣a【解答】解：（1）f（2x2=（2）（﹣﹣﹣aa）∴f′（x）=2e，①当0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，2＞0，令f′（x）=0，解得，当x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，③当a＜0时，﹣a＞0，令f′（x）=0，解得（﹣），当x＜（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述，当0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，（﹣））上单调递减，在（（﹣），+∞）上单调递增，2x＞0x）恒成立，2）①当0时，f（（2≥0a，）（）=﹣f②当a＞0时，由（1）可得（x∴≤0，∴0＜a≤1，2（﹣）≥0=）﹣a，（f0③当a＜时，由（1）可得（x）（﹣），）≤∴（﹣，a≤＜02∴﹣综上所述1，]a的取值范围为[﹣2。
2017年高考(全国通用)数学(理)大二轮专题复习(检测)专题二函数与导数2-2-4a含答案
一、选择题1．[2015·陕西高考]设f(x）＝x－sin x,则f(x）（)A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数答案 B解析∵f(－x)＝－x－sin（－x)＝－（x－sin x)＝－f(x），∴f（x）为奇函数．又f′（x)＝1－cos x≥0,∴f（x)单调递增,选B.2．［2016·河南洛阳质检］对于R上可导的任意函数f(x），若满足错误!≤0，则必有()A．f(0)＋f（2）>2f（1) B．f(0）＋f（2）≤2f（1）C．f（0)＋f(2）<2f(1）D．f（0)＋f（2)≥2f（1）答案 A解析当x〈1时，f′（x）〈0，此时函数f（x)递减；当x〉1时，f′（x)>0,此时函数f（x）递增，即当x＝1时，函数f（x)取得极小值同时也取得最小值f（1)，所以f(0）>f(1）,f(2）>f（1)，则f(0)＋f（2)>2f(1),故选A。
3．[2016·河北石家庄模拟]若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈（0，＋∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(－∞，0）B．（－∞，4］C．（0，＋∞）D．［4，＋∞)答案 B解析2x ln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋错误!.设h(x）＝2ln x＋x＋错误!(x〉0），则h′(x)＝错误!。
当x∈(0,1）时,h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1,＋∞）时,h′（x)〉0,函数h（x)单调递增,所以h（x)min＝h（1）＝4,所以a≤h(x)min＝4,故a的取值范围是(－∞，4］．4．[2016·河北衡水中学调研]已知函数f（x)＝错误!＋错误!的两个极值点分别为x1，x2,且x1∈(0,1），x2∈（1，＋∞）,点P(m,n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a(x＋4）(a>1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是(）A．（1,3）B．(1，3］C．(3，＋∞）D．[3,＋∞）答案 A解析f′（x)＝x2＋mx＋错误!＝0的两根为x1,x2,且x1∈（0，1），x2∈（1，＋∞)，则错误!⇔错误!即错误!作出区域D，如图阴影部分,可得log a（－1＋4)〉1，所以1〈a〈3.5．［2016·江西八校联考]已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．（－∞，0) B.错误!C．（0,1）D．（0,＋∞）答案 B解析∵f（x）＝x（ln x－ax）,∴f′(x）＝ln x－2ax＋1,故f′(x)在（0，＋∞）上有两个不同的零点,令f′（x）＝0，则2a＝错误!,设g(x）＝错误!，则g′(x）＝错误!，∴g(x）在（0,1)上单调递增，在(1，＋∞）上单调递减，又∵当x→0时,g（x）→－∞，当x→＋∞时,g（x)→0，而g（x）max＝g(1)＝1，∴只需0〈2a<1⇒0〈a<12.6．[2015·河北秦皇岛二模］已知函数y＝f（x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′（x）＋错误!>0，则函数F（x）＝xf（x）＋错误!的零点个数是(）A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析∵x≠0时,f′(x)＋错误!〉0，∴错误!>0,即错误!>0.①当x>0时，由①式知(xf（x））′〉0，∴U(x)＝xf(x)在（0，＋∞)上为增函数，且U(0)＝0·f（0)＝0，∴U(x）＝xf（x)〉0在(0，＋∞)上恒成立．又错误!>0,∴F（x）>0在(0，＋∞)上恒成立，∴F（x)在（0,＋∞)上无零点．当x<0时，(xf(x)）′<0，∴U(x)＝xf(x)在（－∞,0)上为减函数，且U（0）＝0·f(0）＝0，∴U(x)＝xf（x）〉0在（－∞，0）上恒成立，∴F(x）＝xf（x)＋错误!在(－∞，0）上为减函数．当x→0时，xf(x）→0，∴F（x）≈错误!〈0，当x→－∞时，错误!→0，∴F（x)≈xf(x)〉0，∴F(x）在（－∞,0)上有唯一零点．综上所述，F(x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上有唯一零点，故选B。
2017年高考全国通用数学理大二轮专题复习检测专题二
一、选择题1．[2015·陕西高考]设f(x)＝x－sin x，则f(x)()A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数答案 B解析∵f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sin x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f′(x)＝1－cos x≥0，∴f(x)单调递增，选B.2．[2016·河南洛阳质检]对于R上可导的任意函数f(x)，若满足1－xf′(x)≤0，则必有()A．f(0)＋f(2)>2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)<2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)答案 A解析当x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)递减；当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，则f(0)＋f(2)>2f(1)，故选A.3．[2016·河北石家庄模拟]若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，4]C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)答案 B解析2x ln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋3x.设h(x)＝2ln x＋x＋3x(x>0)，则h′(x)＝(x＋3)(x－1)x2.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，所以a≤h(x)min＝4，故a的取值范围是(－∞，4]．4．[2016·河北衡水中学调研]已知函数f (x )＝x 33＋mx 2＋(m ＋n )x ＋12的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，点P (m ，n )表示的平面区域为D ，若函数y ＝log a (x ＋4)(a >1)的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 A解析 f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n 2＝0的两根为x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)>0，f ′(1)<0⇔⎩⎨⎧ m ＋n 2>0，1＋m ＋m ＋n 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n ＋2<0， 作出区域D ，如图阴影部分，可得log a (－1＋4)>1，所以1<a <3.5．[2016·江西八校联考]已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)答案 B解析 ∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln x x 2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，而g (x )max ＝g (1)＝1，∴只需0<2a <1⇒0<a <12.6．[2015·河北秦皇岛二模]已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x >0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，∴xf ′(x )＋f (x )x >0，即(xf (x ))′x>0. ① 当x >0时，由①式知(xf (x ))′>0，∴U (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数，且U (0)＝0·f (0)＝0，∴U (x )＝xf (x )>0在(0，＋∞)上恒成立．又1x >0，∴F (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴F (x )在(0，＋∞)上无零点．当x <0时，(xf (x ))′<0，∴U (x )＝xf (x )在(－∞，0)上为减函数，且U (0)＝0·f (0)＝0，∴U (x )＝xf (x )>0在(－∞，0)上恒成立，∴F (x )＝xf (x )＋1x 在(－∞，0)上为减函数．当x →0时，xf (x )→0，∴F (x )≈1x <0，当x →－∞时，1x →0，∴F (x )≈xf (x )>0，∴F (x )在(－∞，0)上有唯一零点．综上所述，F (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选B.二、填空题7．[2015·山西四校联考]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x >1，若方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e解析 在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图，而函数y ＝mx －12恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12与函数y ＝ln x 的图象相切的直线为l 1，切点坐标为(x 0，ln x 0)．因为y ＝ln x 的导函数y ′＝1x ，所以图中y ＝ln x 的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，则1x 0＝ln x 0＋12x 0－0，解得x 0＝e ，所以k ＝1e.又图中l 2的斜率为12，故当方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e . 8．[2015·河南郑州质检三]设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2014)2f (x ＋2014)－4f (－2)>0的解集为________．答案 (－∞，－2016)解析 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3，∴[x 2f (x )]′<x 3<0.令F (x )＝x 2f (x )(x <0)，则F ′(x )<0(x <0)，即F (x )在(－∞，0)上是减函数，因为F (x ＋2014)＝(x ＋2014)2f (x ＋2014)，F (－2)＝4f (－2)，所以不等式(x ＋2014)2f (x ＋2014)－4f (－2)>0即为F (x ＋2014)－F (－2)>0，即F (x ＋2014)>F (－2)，又因为F (x )在(－∞，0)上是减函数，所以x ＋2014<－2，∴x <－2016.9．已知偶函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中成立的有________．(1)2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 (2)2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 (3)f (0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 (4)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 答案 (2)(3)(4)解析 因为偶函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0，且f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝f ′(x )cos x －f (x )(cos x )′，所以可构造函数g (x )＝f (x )cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(cos x )′cos 2x>0，所以g (x )为偶函数且在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6＝233f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6.由函数单调性可知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即233f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以(2)(4)正确，(1)错．对于(3)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>g (0)＝f (0)，所以(3)正确． 三、解答题10．[2016·珠海模拟]某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解 (1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3240x －5000(x ∈N *，且1≤x ≤20)；MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3275(x ∈N *，且1≤x ≤19)．(2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)，因为x >0，所以P ′(x )＝0时，x ＝12，当0<x <12时，P ′(x )>0，当x >12时，P ′(x )<0，所以x ＝12时，P (x )有极大值，也是最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．(3)MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305.所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x ∈N *.MP (x )是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少．11．已知函数f (x )＝x ＋a ln x －1.(1)当a ∈R 时，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )＋ln x 2x ≥0对于任意x ∈[1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围．解 (1)由f (x )＝x ＋a ln x －1，得f ′(x )＝1＋a x ＝x ＋a x ，当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，当a <0时，当0<x <－a 时，f ′(x )<0，当x >－a 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，－a )上为减函数，f (x )在(－a ，＋∞)上为增函数．(2)由题意知x ＋a ln x －1＋ln x 2x ≥0在x ∈[1，＋∞)恒成立，设g (x )＝x ＋a ln x ＋ln x 2x －1，x ∈[1，＋∞)，则g ′(x )＝1＋a x ＋1－ln x 2x 2＝2x 2＋2ax ＋1－ln x 2x 2，x ∈[1，＋∞)， 设h (x )＝2x 2＋2ax ＋1－ln x ，则h ′(x )＝4x －1x ＋2a ， 当a ≥0时，4x －1x 为增函数，所以h ′(x )≥32＋a >0，所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (1)＝0，当－32≤a <0时，h ′(x )≥32＋a ≥0，所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (1)＝0，当a <－32时，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，－2a ＋12时，2a ＋1<－2x ， 由(1)知，当a ＝－1时，x －ln x －1≥0，ln x ≤x －1，－ln x ≤1x －1，h (x )＝2x 2＋2ax －ln x ＋1≤2x 2＋2ax ＋1x ≤2x 2＋2ax＋x ＝2x 2＋(2a ＋1)x <0，此时g ′(x )<0，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，－2a ＋12上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，－2a ＋12上，g (x )<g (1)＝0，不符合题意． 综上所述a ≥－32.12．[2016·济宁模拟]已知函数f (x )＝e x －ax －a (其中a ∈R ，e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…)．(1)当a ＝e 时，求函数f (x )的极值；(2)当0≤a ≤1时，求证f (x )≥0；(3)求证：对任意正整数n ，都有⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e. 解 (1)当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －e ，f ′(x )＝e x －e ，当x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－e ，函数f (x )无极大值．(2)证明：由f (x )＝e x －ax －a ，得f ′(x )＝e x －a ，①当a ＝0时，f (x )＝e x >0恒成立，满足条件．②当0<a ≤1时，由f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值即为最小值f (x )min ＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －a ＝－a ln a因为0<a ≤1，所以ln a ≤0，所以－a ln a ≥0所以f (x )min ≥0，所以当0≤a ≤1时，f (x )≥0；(3)证明：由(2)知，当a ＝1时，f (x )≥0恒成立，所以f (x )＝e x －x －1≥0恒成立，即e x ≥x ＋1，所以ln (x ＋1)≤x ，令x ＝12n (n ∈N *)，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ≤12n ， 所以ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ≤12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e.典题例证[2016·全国卷Ⅱ](1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x ＋x ＋2>0；(2)证明：当a ∈[0,1)时，函数g (x )＝e x －ax －a x 2(x >0)有最小值．设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域.(1)f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0， 且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增．因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1.所以(x －2)e x >－(x ＋2)，(x －2)e x ＋x ＋2>0.(2)证明：g ′(x )＝(x －2)e x ＋a (x ＋2)x 3＝x ＋2x 3(f (x )＋a )． 由(1)知，f (x )＋a 单调递增．对任意的a ∈[0,1)，f (0)＋a ＝a －1<0，f (2)＋a ＝a ≥0.因此，存在唯一x a ∈(0,2]，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e x a －a (x a ＋1)x 2a ＝e x a ＋f (x a )(x a ＋1)x 2a ＝e x a x a＋2. 于是h (a )＝e x a x a ＋2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ＋2′＝(x ＋1)e x (x ＋2)2>0，得e xx ＋2单调递增． 所以，由x a ∈(0,2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e 24. 因为e xx ＋2单调递增，对任意的λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0,2]，a ＝－f (x a )∈[0,1)，使得h (a )＝λ，所以h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24. 综上，当a ∈[0,1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24. 模型归纳利用导数证明不等式的模型示意图如下：。
2017年高考全国通用数学理大二轮专题复习检测专题二
一、选择题1．[2016·郑州质检]函数f(x)＝e x cos x 的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0答案 C解析 依题意，f(0)＝e 0cos 0＝1，因为f ′(x)＝e x cos x －e x sin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C .2．[2016·南宁适应性测试(二)]设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1B .13 C .23 D .43答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝1得x ＝±1.由对称性与图形可知，S ＝2(1×1－⎠⎛01x 2d x)＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫1×1－13x 3⎪⎪⎪10＝43，选D . 3．[2016·广西质检]若函数f(x)＝(x 2－cx ＋5)e x在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．[－2,4]答案 B解析 f ′(x)＝[x 2＋(2－c)x －c ＋5]e x，因为函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，等价于x 2＋(2－c)x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5，c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．[2016·沈阳质检]已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B .12<x 0<1 C .22<x 0< 2 D .2<x 0< 3答案 D解析 由题令f(x)＝x 2，f ′(x)＝2x ，f(x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x(x ∈(0,1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎨⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x ，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2 <0，g(2)＝1－ln 2 2<0，g(3)＝2－ln 23>0，从而2<x 0<3，选D .5．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c(x ∈R )，则下列结论错误的是( )A ．函数f (x )一定存在极大值和极小值B ．若函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是增函数，则x 2－x 1≥233 C ．函数f (x )的图象是中心对称图形D ．函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))(x 0∈R )处的切线与f (x )的图象必有两个不同的公共点答案 D解析 对于选项A ，f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，方程3x 2＋2ax －1＝0的根的判别式Δ＝4a 2＋12>0恒成立，故f ′(x )＝0必有两个不等实根，不妨设为x 1，x 2，且x 1<x 2，令f ′(x )>0，得x <x 1或x >x 2，令f ′(x )<0，得x 1<x <x 2，所以函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 1时，函数f (x )取得极大值，当x ＝x 2时，函数f (x )取得极小值，故A 选项的结论正确；对于选项B ，令f ′(x )＝3x 2＋2ax －1＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2a 3，x 1x 2＝－13，易知x 1<x 2，所以x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 29＋43≥233，故B选项的结论正确；对于选项C ，易知两极值点的中点坐标为⎝⎛－a3，⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 23x ＋x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 23x －x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3成中心对称，故C 选项的结论正确；对于D 选项，令a ＝c ＝0得f (x )＝x 3－x ，f (x )在(0,0)处切线方程为y ＝－x ，且⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－xy ＝x 3－x有唯一实数解，即f (x )在(0,0)处切线与f (x )图象有唯一公共点，所以D 不正确，选D.6．已知函数f (x )＝(a －2)x －ax 3在区间[－1,1]上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A ．[2,10]B ．[－1,8]C ．[－2,2]D ．[0,9]答案 B解析 f ′(x )＝－3ax 2＋a －2.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝－2<0，f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(2)当0<a ≤2时，f ′(x )≤0恒成立，所以函数f (x )在定义域内为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(3)当a <0或a >2时，由f ′(x )＝0，解得x ＝±a －23a .①当－a －23a ≤－1，即 a －23a ≥1，即－1≤a <0时，函数f (x )在[－1,1]上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2，满足条件；②当－a －23a >－1，即a －23a <1，即a <－1或a >2时，若a <－1，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－a －23a 与⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －23a ，1上单调递增，在⎣⎢⎡－ a －23a，⎦⎥⎤a －23a 上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (1)＝－2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －23a ，而f ⎝⎛⎭⎪⎫－ a －23a >f (－1)＝2，不满足条件，若a >2，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－a －23a 与⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －23a ，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ a －23a ，a －23a 上单调递增，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a ，则必有f ⎝⎛⎭⎪⎫a －23a ≤2，即(a －2)a －23a －a ⎝⎛⎭⎪⎫ a －23a 3≤2，整理并因式分解得(a －8)(a ＋1)2≤0，所以由a >2可得2<a ≤8.综上可得－1≤a ≤8，故选B.二、填空题7．[2016·九江一模]已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.8．[2015·天津高考]曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．答案 16解析 由题意可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝12－13＝16. 9．[2016·石家庄一模]设过曲线f(x)＝－e x －x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g(x)＝ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 －1≤a ≤2解析 函数f(x)＝－e x －x 的导数为f ′(x)＝－e x －1，设曲线f(x)＝－e x －x 上的切点为(x 1，f(x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.函数g(x)＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x)＝a －2sin x ，设曲线g(x)＝ax ＋2cos x 上的切点为(x 2，g(x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x1＋1，对∀x 1，∃x 2使得等式成立，则有y 1＝1e x1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，即(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2.三、解答题10．[2016·石景山区高三统测]已知函数f(x)＝x －a ln x ，g(x)＝－1＋ax (a>0)．(1)若a ＝1，求函数f(x)的极值；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，求函数h(x)的单调区间；(3)若存在x 0∈[1，e ]，使得f(x 0)<g(x 0)成立，求a 的取值范围． 解 (1)f(x)＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时，f ′(x)＝x －1x . 由f ′(x)＝0，解得x ＝1.当0<x<1时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；所以当x ＝1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝1－ln 1＝1；(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x －a ln x ＋1＋ax ，其定义域为(0，＋∞)． 又h ′(x)＝x 2－ax －(1＋a )x 2＝(x ＋1)[x －(1＋a )]x 2. 由a>0可得1＋a>0，在x ∈(0,1＋a)上h ′(x)<0，在x ∈(1＋a ，＋∞)上h ′(x)>0，所以h(x)的递减区间为(0,1＋a)；递增区间为(1＋a ，＋∞)． (3)若在[1，e ]上存在一点x 0，使得f(x 0)<g(x 0)成立， 即在[1，e ]上存在一点x 0，使得h(x 0)<0. 即h(x)在[1，e ]上的最小值小于零．①当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，由(2)可知h(x)在[1，e ]上单调递减．故h(x)在[1，e ]上的最小值为h(e )， 由h(e )＝e ＋1＋a e －a<0，可得a>e 2＋1e －1.因为e 2＋1e －1>e －1，所以a>e 2＋1e －1；②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，由(2)可知h(x)在(1,1＋a)上单调递减，在(1＋a ，e )上单调递增． h(x)在[1，e ]上最小值为h(1＋a)＝2＋a －a ln (1＋a)． 因为0<ln (1＋a)<1，所以0<a ln (1＋a)<a.∴2＋a －a ln (1＋a)>2，即h(1＋a)>2不满足题意，舍去．综上所述：a ∈⎝⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.11．[2016·贵阳监测]设函数f(x)＝x ln (ax)(a>0)． (1)设F(x)＝12f(1)x 2＋f ′(x)，讨论函数F(x)的单调性；(2)过两点A(x 1，f ′(x 1))，B(x 2，f ′(x 2))(x 1<x 2)的直线的斜率为k ，求证：1x 2<k<1x 1.解 (1)f ′(x)＝ln (ax)＋1，所以F(x)＝12(ln a)x 2＋ln (ax)＋1，函数F(x)的定义域为(0，＋∞)，F ′(x)＝(ln a)x ＋1x ＝(ln a )x 2＋1x. ①当ln a ≥0，即a ≥1时，恒有F ′(x)>0，函数F(x)在(0，＋∞)上是增函数；②当ln a<0，即0<a<1时，令F ′(x)>0，得( ln a)x 2＋1>0, 解得0<x< －1ln a ； 令F ′(x)<0，得(ln a)x 2＋1<0，解得x> －1ln a .所以函数F(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，－1ln a 上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫ －1ln a ，＋∞上为减函数．(2)证明：因为k ＝f ′(x 2)－f ′(x 1)x 2－x 1＝ln (ax 2)－ln (ax 1)x 2－x 1＝ln x 2x1x 2－x 1，x2－x 1>0，要证1x 2<k<1x 1，即证x 2－x 1x 2<ln x 2x 1<x 2－x 1x 1，令t ＝x 2x 1，则t>1，则只要证1－1t <ln t<t －1即可，①设g(t)＝t －1－ln t ，则g ′(t)＝1－1t >0(t>1)，故g(t)在(1，＋∞)上是增函数．所以当t>1时，g(t)＝t －1－ln t>g(1)＝0，即t －1>ln t 成立． ②要证1－1t <ln t ，由于t>1，即证t －1<t ln t ，设h(t)＝t ln t －(t －1)，则h ′(t)＝ln t>0(t>1)，故函数h(t)在(1，＋∞)上是增函数，所以当t>1时，h(t)＝t ln t －(t －1)>h(1)＝0，即t －1<t ln t 成立． 故由①②知1x 2<k<1x 1成立，得证．12．[2016·广西质检]已知函数f(x)＝1x ＋a ln x(a ≠0，a ∈R )． (1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )<0得0<x <1，由f ′(x )>0得x >1，所以当x ＝1时，f (x )有极小值1.f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． (2)f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x 2，且a ≠0，令f ′(x )＝0，得到x ＝1a ， 若在区间(0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，即f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.当1a <0，即a <0时，f ′(x )<0在(0，e]上恒成立，即f (x )在区间(0，e]上单调递减，故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ， 由1e ＋a <0，得a <－1e ，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e .当1a >0，即a >0时，①若e ≤1a ，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]成立，所以f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a >0， 显然，f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立． ②若0<1a <e ，即a >1e 时，则有所以f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln 1a ， 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln 1a ＝a (1－ln a )<0，得1－ln a <0，解得a >e ，即a ∈(e ，＋∞)．综上，由①②可知：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)符合题意．。
高考数学(第02期)小题精练系列 专题12 导数 理(含解析)(2021年最新整理)
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专题12 导数1.已知函数()21(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的底数） 与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围是( )A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦C.21,2e ⎡⎤-⎣⎦ D ．)22,e ⎡-+∞⎣【答案】C 【解析】考点：函数性质的综合应用。
2. 函数x ax x f ln )(-=在区间),1[+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]2,(--∞ B ．]0,(-∞ C ．]1,(-∞ D ．),1[+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，函数的导函数为1()f x a x'=-，因为函数x ax x f ln )(-=在区间),1[+∞上为减函数，所以()0f x '≤恒成立，即10a x -≤在区间),1[+∞上恒成立，即1a x≤在区间),1[+∞上恒成立,所以0a ≤,故选B ．考点:利用导数研究函数的性质．3. 已知直线089=--y x 与曲线x mx x y C 3:23++=相交于B A ,两点,且曲线C 在B A ,两点处的切线平行，则实数m 的值为( ）A ．4-或3B ．4-或3或1C ．1或3D ．3 【答案】A 【解析】考点：导数的综合应用问题．4. 已知函数()f x （x R ∈）图象上任一点00(,)x y 处的切线方程为20000(2)(1)()y y x x x x -=---，那么函数()f x 的单调减区间是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,2]-∞C ．(,1)-∞-和(1,2)D ．[2,)+∞【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()(),f x x R ∈上任一点00(,)x y 的切线方程为20000(2)(1)()y y x x x x -=---，即函数在任一点00(,)x y 的切线斜率为()()20021k x x =--,即知任一点的导数为()()()221f x x x '=--.由()()()2210f x x x '=--<，得1x <-或12x <<,即函数()f x 的单调递减区间是(,1)-∞-和(1,2)。
2017届高三数学二轮复习 高考大题专攻练 12 函数与导数(B组) 理 新人教版
高考大题专攻练 12.函数与导数(B组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知函数f(x)=[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]e x(其中a∈R).(1)若x=0为f(x)的极值点,求a的值.(2)在(1)的条件下,解不等式f(x)>(x-1).【解析】(1)因为f(x)=[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]e x,所以f′(x)=[2ax+(a-1)2]e x+[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]e x=[ax2+(a2+1)x+a]e x.因为x=0为f(x)的极值点,所以由f′(0)=ae0=0,解得a=0,检验,当a=0时,f′(x)=xe x,当x<0时,f′(x)<0,当x>0时,f′(x)>0,所以x=0为f(x)的极值点,故a=0.(2)当a=0时,不等式f(x)>(x-1)(x2+x+1)⇔(x-1)e x>(x-1), 整理得(x-1)>0,即或令g(x)=e x-,h(x)=g′(x)=e x-(x+1),h′(x)=e x-1,当x>0时,h′(x)=e x-1>0,当x<0时,h′(x)=e x-1<0,所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(0)=0,即g′(x)>0,所以g(x)在R上单调递增,而g(0)=0;故e x->0⇔x>0;e x-<0⇔x<0,所以原不等式的解集为{x|x<0或x>1}.2.已知函数f(x)=lnx-e x+ax，其中a∈R，令函数g(x)=f(x)+e x+1.(1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程.(2)当a=-e时，证明：g(x)≤-1.(3)试判断方程|g(x)|=+是否有实数解，并说明理由.【解析】(1)当a=1时，f(x)=lnx-e x+x的导数为f′(x)=-e x+1，即有f(x)在x=1处的切线斜率为2-e，切点为(1，1-e)，可得f(x)在x=1处的切线方程为y-(1-e)=(2-e)(x-1)，即为y=(2-e)x-1.(2)当a=-e时，g(x)=f(x)+e x+1=lnx-ex+1，g′(x)=-e，由g′(x)=0，可得x=，当x>时，g′(x)<0，g(x)递减；当0<x<时，g′(x)>0，g(x)递增.可得g(x)在x=处取得最大值，且为-1.即有g(x)≤-1.(3)方程|g(x)|=+没有实数解.理由：由(2)知，g(x)max=-1，即|g(x)|≥1，设h(x)=+，x>0，h′(x)=，令h′(x)=0，可得x=e，由0<x<e可得h′(x)>0，h(x)递增；x>e时，可得h′(x)<0，h(x)递减.即有h(x)在x=e处取得最大值，且为+<1，即h(x)<1，即|g(x)|>h(x)，可得|g(x)|>+.故方程|g(x)|=+没有实数解.。
《高考调研》2017届高考数学(理)(新课标)二轮专题复习作业12导数及其应用Word版含解析
小题专练·作业(十二)一、选择题1．(2016·南昌调研)设p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋3m>0；q ：f(x)＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由q 知f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即Δ1＝16－12m ≤0，即m ≥43；由p 得Δ2＝16－12m<0，即m>43，故p 成立q 一定成立，q 成立p 不一定成立，即p 是q 的充分不必要条件．2．(2016·衡水调研)已知点A(1，2)在函数f(x)＝ax 3的图像上，则过点A 的曲线C ：y ＝f(x)的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0 答案 D解析 由于点A(1，2)在函数f(x)＝ax 3的图像上，则a ＝2，即y ＝2x 3，所以y ′＝6x 2.若点A 为切点，则切线斜率为6，若点A 不是切点，设切点坐标为(m ，2m 3)，则切线的斜率为k ＝6m 2.由两点的斜率公式，得2m 3－2m －1＝6m 2(m ≠1)，即有2m 2－m －1＝0.解得m ＝1(舍去)或m ＝－12.综上，切线的斜率为k ＝6或k ＝6×14＝32，则过点A 的曲线C ：y ＝f(x)的切线方程为y －2＝6(x －1)或y －2＝32(x －1)，即6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0.故选D.3．(2016·河南郑州二测)如图，y ＝f(x)是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线 y ＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g ′(x)是g(x)的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f(x)在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g(x)＝xf(x)，g ′(x)＝f(x)＋xf ′(x)，g ′(3)＝f(3)＋3f ′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.4．(2016·湖北七校)设曲线y ＝sinx 上任一点(x ，y)处切线斜率为g(x)，则函数y ＝x 2g(x)的图像可以为( )答案 C解析 ∵g(x)＝(sinx)′＝cosx ，∴y ＝x 2g(x)＝x 2cosx.根据函数的图像关于y 轴对称及过点(0，0)知，应选C.5．(2016·九江调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤a ，x ≥1其中a ＝⎠⎛03(x 2－1)dx ，则实数yx ＋1的最小值为( ) A.32 B.52 C.23 D.43答案 D解析 a ＝(13x 3－x)⎪⎪⎪30＝6，作出可行域如图阴影部分所示，y x ＋1＝y －0x －（－1）表示过点P(－1，0)，Q(x ，y)的直线的斜率，易知A(2，4)，显然k PQ ≥k PA ＝4－02－（－1）＝43，所以y x ＋1的最小值为43. 6．(2016·江西七校)已知函数g(x)＝ae x －x ＋2a 2－3能够取遍(0，＋∞)内的所有实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e]B ．(－∞，1]C ．[0，e]D ．[0，1]答案 B解析 因为g ′(x)＝ae x －1，当a ≤0时，g ′(x)＝ae x －1<0，g(x)在R 上单调递减，分析可知此时g(x)的值域为R ，满足题意；当a>0时，由g ′(x)＝ae x －1＝0，可得x ＝－lna ，当x<－lna 时，g(x)为单调递减函数，当x>－lna 时，g(x)为单调递增函数，所以可得g(x)min ＝g(－lna)＝lna ＋2a 2－2，若要使函数g(x)＝ae x －x ＋2a 2－3能够取遍(0，＋∞)内的所有实数，则应满足lna ＋2a 2－2≤0.设f(a)＝lna ＋2a 2－2，分析可以得到当a>0时，f(a)为单调递增函数，且f(1)＝0，所以0<a ≤1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，1]，故选B.7．(2016·西安模拟)已知实数a ，b 满足0≤a ≤2，0≤b ≤1，则函数y ＝13x 3－x 2＋(a ＋b)x ＋c 有极值的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.23答案 A解析 满足0≤a ≤2，0≤b ≤1的点(a ，b)对应区域是边长分别为2和1的长方形，面积为2.当函数y ＝13x 3－x 2＋(a ＋b)x ＋c 有极值时，y ′＝x 2－2x ＋a ＋b ＝0有两个不相等的实根，则Δ＝4－4(a ＋b)>0，即a ＋b<1.⎩⎨⎧0≤a ≤2，0≤b ≤1，a ＋b<1对应的区域是三角形，如图，面积为12.所以所求的概率为14. 8．(2016·广西质检)若关于x 的方程2x 3－3x 2＋a ＝0在区间[－2, 2]上仅有一个实根，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－4，0]B ．(1，28]C ．[－4，0)∪(1，28]D ．[－4，0)∪(1，28)答案 C解析 f(x)＝2x 3－3x 2＋a ，则f ′(x)＝6x 2－6x ＝6x(x －1)，x ∈[－2，2]．令f ′(x)>0，得x ∈[－2，0)∪(1，2]；令f ′(x)<0，得x ∈(0，1)．∴y ＝f(x)在(0，1)上单调递减，在[－2，0)，(1，2]上单调递增．又f(－2)＝－28＋a ，f(0)＝a ，f(1)＝－1＋a ，f(2)＝4＋a.∴－28＋a ≤0<－1＋a 或a<0≤4＋a ，即a ∈[－4，0)∪(1，28]． 9．(2016·河北五一名校联考)若y 1＝sin2x 1＋12(x 1∈[0，π])，y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A.212π＋52－64B.212πC ．(52－64)2D.（π－33＋15）272答案 D解析 设z ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，由y ＝sin2x ＋12，得y ′＝2cos2x ，直线y 2＝x 2＋3的斜率为1，由2cos2x ＝1，解得2x ＝π3，即x ＝π6，此时y ＝sin2x ＋12＝3＋12，即函数y ＝sin2x ＋12在(π6，3＋12)处的切线和直线y ＝x ＋3平行，则最短距离d ＝|π6－3＋12＋3|2＝|π－33＋15|62，所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝（π－33＋15）272，故选D.10．(2016·福州五校)定义在(－1，1)上的函数f(x)＝1＋x －x 22＋x 33－…－x 2 0162 016，设F(x)＝f(x ＋4)，且F(x)的零点均在区间(a ，b)内，其中a ，b ∈Z ，a<b ，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π答案 A解析 f ′(x)＝1－x ＋x 2－…－x2 015＝1－x 2 0161＋x>0，因而f(x)在(－1，1)上单调递增，f(－1)＝(1－1)－12－13－…－12 016<0，f(0)＝1>0，因而函数f(x)仅有1个零点，且在(－1，0)内，那么F(x)＝f(x＋4)也有1个零点在(－5，－4)内，故b－a 的最小值为1，则圆x2＋y2＝b－a的面积的最小值为π，故选A. 11．(2016·商丘二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x)，若f′(x)<f(x)，且f(x＋1)＝f(3－x)，f(2 015)＝2，则不等式f(x)<2e x－1的解集为() A．(1，＋∞) B．(e，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，1 e)答案 A解析由于f(x)是定义在R上的偶函数，那么f(x＋1)＝f(3－x)＝f(x－3)，即f(x＋4)＝f(x)，亦即函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(2 015)＝f(2 015－4×504)＝f(－1)＝f(1)＝2，即f(1)＝2，设函数g(x)＝f（x）e x，则有g′(x)＝f′（x）e x－f（x）e xe2x＝f′（x）－f（x）e x<0，故g(x)是R上的减函数，则不等式f(x)<2e x－1等价于f（x）e x<2e，即g(x)<g(1)，故解得x>1.12．(2016·唐山期末)已知函数f(x)＝(a－2)x－ax3在区间[－1，1]上的最大值为2，则a的取值范围是()A．[2，10] B．[－1，8]C．[－2，2] D．[0，9]答案 B解析f′(x)＝－3ax2＋a－2.(1)当a＝0时，f′(x)＝－2<0，f(x)在[－1，1]上为减函数，所以f(x)max＝f(－1)＝2，符合题意．(2)当0<a≤2时，f′(x)≤0恒成立，所以函数f(x)在定义域内为减函数，所以f(x)max＝f(－1)＝2，符合题意．(3)当a<0或a>2时，由f′(x)＝0，解得x＝±a－23a.①当－a－23a≤－1，即a－23a≥1，即－1≤a<0时，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f(－1)＝2，满足条件；②当－a－23a>－1，即a－23a<1，即a<－1或a>2时，若a<－1，函数f(x)在[－1，－a －23a ]与[a －23a ，1]上单调递增，在[－a －23a ，a －23a ]上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f(1)＝－2或f(－a －23a )，而f(－a －23a )>f(－1)＝2，不满足条件，若a>2，函数f(x)在[－1，－a －23a ]与[a －23a ，1]上单调递减，在[－a －23a ，a －23a ]上单调递增，所以此时函数在定义域内的最大值为f(－1)＝2或f(a －23a )，则必有f(a －23a )≤2，即(a －2)a －23a －a(a －23a )3≤2，整理并因式分解得(a －8)(a ＋1)2≤0，所以由a>2可得2<a ≤8.综上可得－1≤a ≤8，故选B.13．(2016·江西鹰潭模拟)设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且有3f(x)＋xf ′(x)>0，则不等式(x ＋2 015)3f(x ＋2 015)＋27f(－3)>0的解集为( )A ．(－2 018，－2 015)B ．(－∞，－2 016)C ．(－2 016，－2 015)D ．(－∞，－2 012)答案 A解析 由题可知，x<0，3f(x)＋xf ′(x)>0，则3x 2f(x)＋x 3f ′(x)>0，即[x 3f(x)]′>0，设F(x)＝x 3f(x)，即F ′(x)>0，F(x)为单调递增函数，F(x ＋2 015)＝(x ＋2 015)3f(x ＋2 015)，F(－3)＝－27f(－3)，则不等式(x ＋2 015)3f(x ＋2 015)＋27f(－3)>0，化简为F(x ＋2 015)>F(－3)，由于F(x)为单调递增函数，因此x ＋ 2 015>－3，解得x>－2 018，又因为x ＋2 015<0，解得x<－2 015，故解集为 (－2 018，－2 015)．14．(2016·武昌调研)已知函数f(x)＝sinx －xcosx.现在下列结论： ①∀x ∈[0，π]，f(x)≥0； ②若0<x 1<x 2<π，则x 1x 2<sinx 1sinx 2；③若a<sinx x <b 对∀x ∈(0，π2)恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 因为f ′(x)＝cosx －cosx ＋xsinx ＝xsinx ，当x ∈[0，π]时，f ′(x)≥0，故f(x)在[0，π]上是增函数，所以f(x)≥f(0)＝0，所以①正确；令g(x)＝sinxx ，则 g ′(x)＝xcosx －sinxx 2，由①知，当x ∈(0，π)时，g ′(x)≤0，所以g(x)在[0，π]上是减函数，所以sinx 1x 1>sinx 2x 2，即x 1x 2<sinx 1sinx 2，所以②正确；当x>0时，“sinxx >a ”等价于“sinx －ax>0”， 令g(x)＝sinx －cx ，则g ′(x)＝cosx －c ， 当c ≤0时，g(x)>0对x ∈(0，π2)恒成立； 当c ≥1时，因为对∀x ∈(0，π2)，g ′(x)＝cosx －c<0，所以g(x)在区间[0，π2]上单调递减， 从而，g(x)<g(0)＝0对∀x ∈(0，π2)恒成立；当0<c<1时，存在唯一的x 0∈(0，π2)使得g ′(x 0)＝cosx 0－c ＝0成立， 若x ∈(0，x 0)，g ′(x 0)>0，g(x)在(0，x 0)上单调递增，且g(x)>g(0)＝0； 若x ∈(x 0，π2)时，g ′(x 0)<0，g(x)在(x 0，π2)上单调递减， 要使g(x)＝sinx －cx>0在(0，π2)上恒成立，必须使g(π2)＝sin π2－π2c ＝1－π2c ≥0恒成立，即0<c ≤2π.综上所述，当c ≤2π时，g(x)>0对∀x ∈(0，π2)恒成立；当c ≥1时，g(x)<0，对∀x ∈(0，π2)恒成立， 所以若a<sinxx <b 对∀x ∈(0，π2)上恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1，所以③正确，故选D.二、填空题15．(2016·河北七校)已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，f ′(x)是f(x)的导函数，则f(π4)＝________． 答案 1解析 因为f ′(x)＝－f ′(π4)sinx ＋cosx ，所以f ′(π4)＝－f ′(π4)sin π4＋cos π4，解得f ′(π4)＝2－1，故f(π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π4＝22(2－1)＋22＝1. 16．(2016·长春质检)已知a>0，(a x －x)6展开式的常数项为15，则⎠⎛－aa(x 2＋x ＋4－x 2)dx ＝________． 答案 23＋2π3＋ 3 解析 由(ax －x)6的常数项为C 62a 4＝15，可得a ＝1，因此⎠⎛－11(x 2＋x ＋4－x 2)dx ＝2⎠⎛01(x 2＋4－x 2)dx ＝2(⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛014－x 2dx)＝2(13＋π×2212＋12×1×3)＝23＋2π3＋ 3.17．(2016·太原五校)函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a 的值为________． 答案 4解析 对f(x)求导得f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，因为函数在x ＝1时有极值10，所以有⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f （1）＝1＋a ＋b ＋a 2＝10解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当a ＝－3，b ＝3时， f ′(x)＝3(x －1)2≥0，即函数不存在极值，所以不符合，经验证只有a ＝4符合． 18．(2016·衡水调研)已知函数f(x)＝e1－12x ，g(x)＝1－1－2x ，对于任意m ≤12，存在n ∈R ，使得g(m)＝f(n)成立，则n －m 的最小值为________． 答案 32解析 当m ≤12时，g(m)＝1－1－2m ≤1.由题意，令e1－n2＝1－1－2m ＝t(0<t ≤1)，则n ＝2－2lnt ，m ＝t －12t 2，从而n －m ＝2－2lnt －t ＋12t 2.令h(t)＝2－2lnt －t ＋12t 2，则h ′(t)＝t －2t －1＝t 2－t －2t ＝（t －2）（t ＋1）t ，当0<t ≤1时，h ′(t)<0，所以h(t)在(0，1]上单调递减，所以当t ＝1时，h(t)min ＝32，即n －m 的最小值为32.19．(2016·洛阳模拟)若函数f(x)＝x 2(x －2)2－a|x －1|＋a 有四个零点，则a 的取值范围为________．答案 {a|a ＝－3227或－1<a<0或a>0}解析 函数f(x)有四个零点⇔关于x 的方程x 2(x －2)2＝a(|x －1|－1)有4个根⇔函数y ＝x 2(x －2)2与y ＝a(|x －1|－1)的图像有4个交点，作出函数y ＝x 2(x －2)2的图像如图，函数y ＝a(|x －1|－1)的图像经过点(0，0)和(2，0)，当x>1时，y ＝a(x －2)，斜率是a.当直线y ＝a(x －2)与y ＝x 2(x －1)2的图像相切时，设切点为(x 0，x 02(x 0－2)2)，因为y ′＝4x(x －1)(x －2)，所以4x 0(x 0－1)(x0－2)＝x02（x0－2）2x0－2＝a，解得x0＝43，a＝－3227，此时符合题意；当－1<a<0或a>0时，显然也符合题意．故a的取值范围是{a|a＝－3227或－1<a<0或a>0}．20．(2016·山西四校联考)已知曲线y＝e x＋a与y＝(x－1)2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，ln4－3)解析由y＝e x＋a可得y′＝e x＋a，则函数y＝e x＋a在点(m，e m＋a)处的切线方程为y－e m＋a＝e m＋a(x－m)，即y＝e m＋a(x－m＋1)，又直线y＝e m＋a(x－m＋1)与y＝(x－1)2相切，则关于x的方程e m＋a(x－m＋1)＝(x－1)2仅有一解，那么Δ＝(2＋e m＋a)2－4(me m＋a－e m＋a＋1)＝0，整理可得e m＋a＝4m－8，那么m＋a＝ln(4m－8)，即a＝ln(4m－8)－m(m>2)，令f(m)＝ln(4m－8)－m(m>2)，由于f′(m)＝44m－8－1，令f′(m)＝0，解得m＝3，当2<m≤3时，f(m)单调递增；当m>3时，f(m)单调递减，则f(m)max＝f(3)＝ln4－3，又两曲线恰好存在两条公切线，故有a<ln4－3.。
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专题12 导数
1.已知函数()ln(1)f x ax =-的导函数是'()f x ，且'(2)2f =，则实数a 的值为（ ） A ．
12 B ．23 C ．3
4
D ．1 【答案】B
【解析】
试题分析：由()ln(1)f x ax =-可得'()1a f x ax =
-，由'(2)2f =可得
221a a =-，解之得2
3
a =.故选B. 考点：1、对数函数的求导法则；2、复合函数的求导法则.
2.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足：当0≥x 时，x x x f sin )(-=，若不等式)2()4(2mt m f t f +>-对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．)2,(--∞
B ．)0,2(-
C ．),2()0,(+∞-∞
D ．),2()2,(+∞--∞ 【答案】A 【解析】
选A.
考点：1.导数的最值应用；2.奇函数的性质；3.分离参数的方法.
3.已知函数2()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（ ）
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，求出导函数)1(2)('+-=x e x f x
，利用导函数判断函数的单调性，求出交点的横坐
标的范围，然后根据范围判断函数的单调性得出选项，故选C ． 考点：1.导函数的应用；2.数形结合.
4.已知函数22,0
()ln(1),0
x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．(,0]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[]2,1-
D ．[]2,0- 【答案】D 【解析】
考点：1.函数与方程的应用；2.导数的综合应用.
5.点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =+的最小距离为（ ）
A ．．2 【答案】
B 【解析】
试题分析：点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，当过点P 到直线2y x =+平行时，点P 到直线2
y x =+的距离最小，直线2y x =+的斜率等于1，令2
ln y x x =-的导数1211y x x x '=-
=⇒=或1
2
x =-（舍去），所以曲线2ln y x x =-上和直线2y x =+平行的切线经过的切点坐标(1,1)，点(
1,1)到直线2y x =+
B.
考点：点到直线的距离公式、导数的几何意义.
6.设函数(),y f x x R =∈的导函数为'()f x ，且()()f x f x =-，'
()()f x f x <，则下列不等式
成立的是（ ）
A ．1
2
(0)(1)(2)f e f e f -<< B ．1
2
(1)(0)(2)e f f e f -<<
C ．21(2)(1)(0)e f e f f -<<
D ．21(2)(0)(1)e f f e f -<< 【答案】B 【解析】
考点：利用导数研究函数的单调性及其应用.
7.已知点P 为曲线3:C y x x =-上一点，曲线C 在点P 处的切线1l 交曲线C 于点Q （异于点P ），若直线1l 的斜率为1k ，曲线C 在点Q 处的切线2l 的斜率为2k ，则124k k -的值为（ ） A ．5- B ．4- C ．3-
D ．2
【答案】C 【解析】
试题分析：设3111(,)P x x x -，由3
y x x =-，则其导数为2
31y x '=-，可得切线
3211111:(31)()l y x x x x x -+=--，联立曲线3y x x =-，解得1x x =或12x x =-，由题意可得Q 的横坐标为12x -，可得切线2l 的斜率222113(2)1121k x x =⋅--=-，由2114124k x =-，即1243k k -=-，故选C ．
考点：利用导数研究曲线在某点点处的切线方程．
8.定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0,+∞
B ．()(),03,-∞+∞
C ．()(),00,-∞+∞
D ．()3,+∞
【答案】A 【解析】
试题分析：设()(),x x g x e f x e x R =-∈，则()()()()[()1]x x
x
x g x e f x e f x e
e f x f x '''=+-=+-，因为
()()1f x f x '+>，所以()()1f x f x '+-0>，所以()0g x '>，所以()y g x =是单调递增函数，因为
()e e 3x x f x >+，所以()3g x >，又因为()()00003g e f e =-=，即()()0g x g >，所以0x >，故选A ． 考点：利用导数研究函数的单调性． 9.若实数a ，b ，c ，d 满足(
)
()2
2
2
3ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22
a c
b d -+-的最小值为（ ）
A B ．2 C ．D ．8
【答案】D 【解析】
试题分析：因为实数,,,a b c d 满足(
)
()
2
2
2
3ln 20b a a
c d +-+-+=，所以2
3ln 0b a a +-=，设
考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用．
10.设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线
()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[]1,2-
B ．()3,+∞
C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．12,33⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：由()e x f x x =--，得()e 1x
f x '=--，因为11x
e +>，所以
1
(0,1)1
x e ∈+，由()32c o s g x a x x =+
，得()32s i n g x a x '=-，又2s i n [2,2]x -∈-，所以32sin [23,23]a x a a -∈-++，
要使过曲线()e x f x x =--上任意一点的切线1l ，总存在过曲线()32cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，
使得12l l ⊥，则230231
a a -+≤⎧⎨
+≥⎩，解得12
33a -≤≤，故选D ．
考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程． 11.已知定义在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上的函数()(),'f x f x 为其导数,且()()'tan f x f x x <恒成立，则（ ） A
．
43ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B
64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C
63f ππ⎛⎫⎛⎫<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．(
)1sin16f π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】
试题分析：构造函数()()()()''2sin ()cos ,0sin sin f x f x x f x x F x F x x x
-==>，单调递增，故63sin sin 63
f f ππππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<，故选C.
考点：函数导数与不等式. 12.函数
)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f 且有'3()()0f x xf x +<，
则不等式3
(2016)(2016)8(2)0x f x f +++-<的解集为（ ）
A ．()2018,2016--
B ．(),2018-∞-
C ．()2016,2015--
D ．(),2012-∞- 【答案】A 【解析】
考点：函数导数与不等式、构造函数．。