福建省福州市八县(市)一中2021届高三上学期期中联考数学试题 Word版含答案
2021届福建省福州市八县(市)一中高三上学期期中联考数学试卷及答案
（2）设 ,求数列 的前 项和 .
18．（本小题满分12分）
在① ,② ,
③ 这三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答．
已知 的角 , , 对边分别为 , ,而且______．
（1）求 ；
（2）求 周长的范围．
19．（本小题满分12分）
已知如图①,在菱形 中, 且 , 为 的中点,将 沿 折起使 ,得到如图②所示的四棱锥 .
C．关于直线 对称D．关于直线 对称
8．已知可导函数 的定义域为 ,其导函数 满足 ,则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
二、选择题（每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的5分,有选错的得0分,部分选对得3分）
9．已知复数 满足 为虚数单位 ,复数 的共轭复数为 ,则（）
A． B．
C．复数 的实部为 D．复数 对应复平面上的点在第二象限
10．已知 ,如下四个结论正确的是（）
A． ；B．四边形 为平行四边形；
C． 与 夹角的余弦值为 ；D．
11．在 中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 , ,则下列结论正确的是（）
A． B． C． D． 的面积为6
12．已知直三棱柱 中, , , 是 的中点, 为 的中点.点 是 上的动点,则下列说法正确的是（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 是定义在 上的偶函数,且函数 在 上是减函数,如果 ,则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
4．右图是一个正方体的展开图,则在该正方体中（）
A．直线 与直线 平行B．直线 与直线 相交
C．直线 与直线 异面且垂直D．直线 与直线 异面且所成的角为60°
福建省福州市八县(市、区)一中高三数学上学期期中联考试题 理
福建省福州市八县〔市、区〕一中2021届高三数学上学期期中联考试题 理考试日期：11月14日 完卷时间： 120 分钟 总分值：150 分一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.〕1. 复数z 满足()132z i i -=+，那么复数z ＝( )A ．1322i + B ．1322i - C ．1522i - D ．1522i +2. 集合{|A x y ==， {|31,}B x x n n N +==-∈，那么AB =〔 〕A ．{2}B ．{}2,5C ．{}2,5,8D ．{}1,2,5,8-3. 命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q a b >是11a b>的充要条件，那么以下为真命题的是〔 〕A ．p q ∧ B.p q ⌝∨ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝4. 数列{}n a 为等差数列，且满足251115a a a ++=，那么数列{}n a 的前11项和为〔 〕 A ．40B ．45C ．50D ．555. 函数(1)f x +是偶函数，函数()f x 在(]1-∞，上单调递增，0.512(4),(log 4)a f b f ==，(3)c f =，那么〔 〕A. b c a <<B.a c b <<C.c a b <<D. a b c << 6. 将函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，假设函数()g x 的图象关于y 轴对称，那么ϕ的最小值是( )A.6πB.3πC.23π D.56π 7. 假设1x =是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，那么()f x 的极大值为〔 〕A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 18. 函数22sin 22()(,00,)133x x f x x x ππ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥+⎣⎭⎝⎦的图像大致为〔 〕A B C D 9. 向量a ，b 的夹角为135，且1a =，2b =．假设向量m 满足4a m b m ⋅=⋅=，那么m = ( )A. 22B. 5C. 42D. 510. 函数()2018,2020,412022,2020,2019x m x f x m x x -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩数列{}n a 满足(),n a f n n N *=∈，且{}n a 是单调递增函数，那么实数m 的取值范围是〔 〕A.(]1,3B.()1,+∞C.[)3,+∞D.()3,+∞11. 函数()2sin cos (0,0)6f x x a x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭对任意12,x x R ∈都有()()1243f x f x +≤，假设()f x 在[0,]π上的值域为[3,3]，那么实数ω的取值范围为( ) A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 对于任意的实数[]1,x e ∈，总存在三个不同的实数[]1,4y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．3160,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23163,e e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．23161,e e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．3163,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二、填空题：本大题共4题，每题5分共20分，把答案填在答题卡相应位置上。
福建福州一中2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题及答案
福州一中2021—2022学年第一学期第一学段模块考试高三数学期中考试卷（完卷时间：120分钟 满分150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设43i z i ⋅=-(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ）A. 4-B. 4C. 4i -D. 4i 2.已知全集{}15,U x x x Z =-≤≤∈，集合{}0,1,2,3,4A =，{}1,0,1,2B =-，则()UAB =（ ）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}3,4D. {}3,4,53.已知21log 4a =，3log 2b =，322c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.b c a << 4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n a 是等比数列”为“存在R λ∈，使得11n n S a S λ+=+”的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知2sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．19B ．19- C ．19± D ．89-6.已知数列{}n a 满足：()*12211,n n n a a a a a n N ++===+∈.若35759611k a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=，则k =（ ） A. B.C. D.7.设a 、b 、c为非零不共线向量，若()()1a tc t b a c t R -+-≥-∈，则（ ）A.()()c a b a -⊥+B. ()()c b b a+⊥+C. ()()c a b a -⊥-D.()()cb c a+⊥- 8.若对任意的1x ，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 2x x x x x x -<-，则m 的最小值是（ ）A.1e B. e C. 1 D. 3e二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知0ab <，则（ ）A ．222a b ab +≥ B．a b +< C ．()0a a b -> D ．||2b aa b+≥10.设函数()f x 的定义域为D ，x D ∀∈，y D ∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称()f x 为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ） A ．()2f x x =B ．()11f x x =- C ．()()ln 23f x x =+D ．()2cos f x x =11.若正三棱锥V ABC -和正四棱锥11111V A B C D -的所有棱长均为a ，将其中两个正三角形侧面VAB ∆与111V A B ∆按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是（ ） A.五面体 B.七面体 C.斜三棱柱 D.正三棱柱12.数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：ABC ∆的外心O ，重心G ，垂心H ，依次位于同一条直线上，GH 与GO 的比值为定值，该直线被称为欧拉线. 若4AB =，2AC =，则下列各式正确的是（ ） A. 20GO GH += B. 4AG BC ⋅= C. 6AO BC ⋅=- D. OH OA OB OC =++三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等比数列{}n a ，若1317a S ==，，则6S =______. 14.在ABC ∆中，已知3,5AB AC ==，23BAC π∠=，点D 在边BC 上，且满足AD BD =，则BC =__________，sin DAC ∠=__________.15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点,M N 间隔3分钟先后从点P 出发， 绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的 纵坐标之差第5次达到最大值时，N 运动的时间为_________分钟.16.函数()int x 是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x 的最大整数，例如()int 3.94-=-，()int 2.42=.已知函数()()()int ,0,log ,0ax x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩（0a >，且1a ≠），若()f x 的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）首先将函数()f x 的图象上每一点横坐标缩短为原来的12， 然后将所得函数图象向右平移按8π个单位，最后再向上平 移1个单位得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的值域.18．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AC AA ==，E 、F 分别是BC 、11A B 的中点．（1）求证：//EF 平面11ACC A ；（2）求直线AF 与直线1B C 所成角的余弦值．19.（12分）在①三边长成等差数列，②三边长为连续奇数，③22244c a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ∆，它的内角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且a b c <<，2C A =，_____？注：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，1=1a ，点()*,n S n n N n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭均在斜率为12的直线上.数列{}n a 、{}n b 满足()111222+12n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅=-⋅. （1）求数列{}{}n n a b 、的通项n n a b 、；（2）若数列{}n a 中去掉数列{}n b 的项后，余下的项按原来的顺序组成数列{}n c ，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T .21. （12分）如图所示，在底半径为R 、高为H （,H R 为定值，且H R ≤）的圆锥内部内接一个底半径E FC 1B 1A BA 1为r 、高为h 的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）. （1）设1V 、2V 分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径r 为自变量分别表示1V 、2V ；（2）试分别求1V 、2V 的最大值()1max V 、()2max V ，并比较()1max V 、()2max V 的大小.22．（12分）形如()()k x y h x =的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得()ln ln ()()ln ()k x y h x k x h x ==，两边对x 求导数，得()()()ln ()()h x y k x h x k x y h x '''=+，于是()()()()()ln ()()k x h x y h x k x h x k x h x ⎡⎤⎢⎥⎣''=+⎦'. 已知()()()0,xf x xx =∈+∞，()21()22ag x x a R =+∈ （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()()0,,()x f x g x ∀∈+∞≥恒成立，求a 的取值范围.高三数学答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACAABCDA二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 答案ACDBCDACACD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ____63____; 14.（1）___7 ____（2）___437___; 15.___49.5____; 16.__11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭__ 四、解答题：本题共6小题，共70分.17【解析】（1）由图象得2A =，13332,212344T πππωω-==⋅=，........................2分.由()13522,21223k k k Z πππϕπϕπ⨯+=+=-+∈........................3分.0,3πϕπϕ≤≤∴=.......................4分 ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.......................5分（2）()2sin 412sin 41836g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.......................8分当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，114,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]sin 41,16x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，......9分()[]1,3g x ∴∈-....10分18.【解析】（Ⅰ）证明：如图，取11B C 的中点G ，连接EG ，FG ，...................1分 因为E ，F 分别是BC ，11A B 的中点，所以1//EG CC ，11//FG AC ，...................2分 又1111111,,//EG ACC A CC ACC A EG ACC A ⊄⊂∴平面平面平面，同理11//FG ACAC 平面...................4分又EGFG G =，1111CC A C C =，所以平面//EFG 平面11ACC A ，...................5分又EF ⊂平面EFG ，所以//EF 平面11ACC A ．...................6分（Ⅱ）法一：（几何法）取AB 中点M ，因连结1B M ，因为F 为11A B 中点，所以1//AF B M ，1CB M ∴∠（或其补角）为直线AF 与直线1B C 所成角....................8分124AC AA ==，E ，F 分别是BC ，11A B 的中点∴在1MB C ∆中，1MB1B CMC设直线AF 与直线1B C 所成角θ根据余弦定理得222+cosθ-==...................10分 所以直线AF 与直线1B C ．...................12分 法二：（向量法）如图所示，在平面ABC 内过A 作直线AX AE ⊥.以A 为原点，分别以1AX AE AA ，，的方向为x 轴，y 轴，，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系....................7分 则(0A ，0，0)，(1F2)，()1B ，(2C -，，0)，...................9分 所以(1AF =2)，()14,0,2B C =--，设直线AF 与直线1B C 所成角θ...................10分 所以1110cos =5AF B C AF BCθ⋅=⋅...................11分 所以直线AF 与直线1B C ．...................12分 19【解析】选①，不妨设()(),,0,,,0+a b d b b c b d d a b c =-==+>∈∞，..................1分 由正弦定理得sin 2sin b d b d A A +-=，得2sin cos sin b d b dA A A +-=，()cos 2b d A b d +=-，..................4分由余弦定理得()()()()()222244cos 222b b d b d b bd b dA b b d b b d b d ++--++===+++..................7分所以()()422b d b db d b d ++=-+，整理的25bd d =，因为0d >，所以5b d =..................9分而三边长为()45,60d d d d >，能构成三角形，所以()()()2224561cos 2458d d d C d d+-==⋅⋅..................11分 即1cos 8C =...................12分 (用正弦定理将三边关系转化为角的关系、结合三倍角公式也可解决此问题) 另解：由2b a c =+得，2sin sin sin B A C =+，..................1分 即()323sin 4sin sin 2sin cos A A A A A -=+，..................5分sin 0A >，化简得28cos 2cos 30A A --=，()()2cos 14cos 30A A +-=，..................9分2cos 10,A +>解得3cos 4A =，..................11分 1cos cos 28C A ==...................12分 选②，不妨设()2,,23a n b n c n n =-==+≥，且n 为奇数..................1分 由正弦定理得22sin 2sin n n A A +-=，222sin cos sin n n A A A+-=，得()2cos 22n A n +=-..................5分 由余弦定理得()()()222228cos 2224n n n n A n n n ++--+==++..................9分 所以()()82=2222n n n n +++-，整理的()()()2822n n n +-=+，所以10n =..................11分因为10n =不为奇数，不合题意，故不存在奇数满足要求..................12分选③，2C A =，222sin sin 2=2sin cos =2sin 2b c a C A A A A bc+-∴=⋅，..................3分由正弦定理得()2222222=22b c a ac a c b c a bc b+-⋅⇒=⋅+-..................6分 222222222114544,,4456a abc a b b a c c c c b b c ⎛⎫+=∴-=∴=⋅+∴== ⎪⎝⎭，，..................11分1cos 8C ∴=.................12分20【解析】（1）数列{}n a 的前n 项和是n S ，1=1a ，点()*,n S n n N n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭均在斜率为12直线上，()*112,12n n S S n n N n n -∴-=≥∈-，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是1以首项，12为公差的等差数列..................1分()2*1+,=22n n S n n n S n N n +∴=∴∈..................1分当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，1=1a 满足上式，故()*n a n n N =∈.................4分数列{}n a 、{}n b 满足()111222+12n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅=-⋅2n ≥时，()1122-1-12+22n n n a b a b a b n ++⋅⋅⋅=-⋅，两式相减得，2nn n a b n =⋅，1n =满足上式，故()*2n n n a b n n N =⋅∈..................6分()*2n n b n N ∴=∈ n a n ∴=，()*2n n n a b n n N =⋅∈.................8分（2）设数列{}n a 中前p 项中有数列{}n b 的q 项，则100p q -=，2qp ≤，即求满足2100q q ≤+的最大正整数q ，易得6q =，所以数列{}n a 中前106项有数列{}n b 的6项，..................10分所以()()()6261001062121106106=2225545212T S ⨯-+⨯-++⋅⋅⋅+=-=- (11)分1005545T ∴=.................12分21.【解析】（1）如图，设,,,AC H CB R DE x EF y ====，................1分根据三角形相似得，1,1,1x H y y y x x R y H R H H H R -⎛⎫⎛⎫==-∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭................2分 ①若圆柱“竖放”，则(),10r x r h y h H r R R ⎛⎫==∴=-<< ⎪⎝⎭，()3222110r r V r h r H H r r R R R πππ⎛⎫⎛⎫∴==-=-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭................4分②若圆柱“横放”，则22,21022h r H x y r h R r H ⎛⎫⎛⎫==∴=-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，322222221202r r H V r h r R R r r H H πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-=-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (6)分（2）①()221320r V H r r R R π⎛⎫'∴=-<< ⎪⎝⎭，由2132=0r V H r R π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，解得23r R = 当203r R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，10V '>；当23r R R ⎛⎫∈⎪⎝⎭，时，10V '<； ()221max 243327HV R R H ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.................8分②()226220r V R r r R H π⎛⎫'∴=-<< ⎪⎝⎭由22622=0r V R r H π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭解得13r H =当103r H ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，20V '>；当132H r H ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，20V '<；()222max223327H V R RH ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.................10分()()()2212max max 4222272727V V R H RH RH R H πππ-=-=-.......11分 ()()12maxmax ,H R V V ≤∴>.................12分22【解析】（1）由()xy f x x ==，不妨设()h x x =，()k x x =..............1分 由幂指函数导数公式得()(ln 1)x f x x x '=+，..............2分 所以(1)1f '=，又(1)1f =，所以，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x =..................3分（2）先寻找必要条件：若()()0,,()x f x g x ∀∈+∞≥恒成立，则()(1)1f g ≥，解得1a ≤.................4分证明充分性：当1a ≤时，若()()0,,()x f x g x ∀∈+∞≥恒成立， 构造()()()F x f x g x =-，(0,)x ∈+∞，则()()()(ln 1)x F x f x g x x x ax '''=-=+-，..............5分 令()()(ln 1),(0,)x M x F x x x a x '==+-∈+∞，所以()21ln 2(1)ln ()ln 11(ln 1)x x x x x x M x x x x e x e a --'=++-=++-，因为1x -与ln x 同号，所以(1)ln 0x x -，所以(1)ln 1x x e a -≥≥，..............7分（也可以对()0,1x ∈[)1+x ∈∞，分类讨论） ln 2(ln 1)0x x e x +≥所以()0M x '，所以()M x 即()F x '为(0,)+∞上增函数，.................8分又因为(1)0F '=，所以，当(0,1)x ∈时，()(1)0F x F ''<=； 当(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>=. 所以，()F x 为(0,1)上减函数，为(1,)+∞上增函数，.................10分所以，min ()(1)0F x F ==，无最大值.又因为(1)0F '=，所以，当(0,1)x ∈时，()(1)0F x F ''<=； 当(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>=.()()0,,()x f x g x ∴∀∈+∞≥恒成立，.................12分。
福建省福州市八县(市)一中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题及答案
2020--2021学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中一年数学科试卷命题学校：永泰一中命题教师：审核教师：考试日期:2020年11月12日完卷时间：120分钟满分：150分 ★★★★★祝考试顺利★★★★★第Ⅰ卷一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．设{}1,2,4,6,8U =，{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则下列结论中正确的是（ ） A.A B ⊆B ．B A ⊆ C.{}=2ABD ．(){}1U AC B =2．存在量词命题:p “2,220x R x x ∃∈-+≤”的否定是()A.2,220x R x x ∃∈-+≥B ．2,220x R x x ∃∈-+>C.2,220x R x x ∀∈-+>D ．2,220x R x x ∀∈-+≤3．已知函数1,2()(3),2x f x f x x ≥=+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（）A.1-B ．2-C.6D ．74．下列函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的一组是（）A.()f x x =与2()xg x x= B ．()f x =()g x =C.()f x x =与()||g x x =D ．()||f x x =与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩5. 某人骑自行车沿直线匀速．．行驶，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米()a b >，再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（）A.B ．C.D ．6. 已知函数2()=1f x x mx -+在区间(,2]-∞-上为减函数，则下列选项正确的是（） A.(1)6f <B ．(1)6f ≤ C.(1)2f ->-D ．(1)2f -≤-7.若不等式()(2)0a x x ++<成立的一个充分不必要条件是21x -<<，则实数a 的取值范围为（）A.1a ≤-B ．1a <- C.2a ≤-D ．2a <-8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c ---其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为( )A.6B ．9C.12D ．18二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列命题是真命题的是（）A.若,a b c d ><，则a c b d ->-B ．若a b >,则11a b< C.若0,0a b m >>>，则a a mb b m+>+D ．若,a b c d >>，ac bd > 10.设全集{}{0,1,2,3,4,5}0,(){2,4}U U A B C A B ===，且，{}()1,3U C B A =，则下列判断正确的是（） A.{}1,3A =B ．{}0,2,4B =C.{}0,1,2,3,4AB =D ．{}()5UC A B =11.若0,0m n >>，且11=1m n+，则下列说法正确的是（） A.mn 有最大值4B ．2211m n+有最小值12C.0,0m n ∀>>．0,0,m n ∃>>使得2m n += 12.某同学在研究函数2()=1xf x x+()x R ∈时，分别给出几个结论，其中错误．．的是（） A.,x R ∀∈都有()()=0f x f x -+B ．()f x 的值域为11()22-， C.若12=1x x ，则12()=()f x f x D ．()f x 在区间[1,1]-上单调递减第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，22()=f x x x-，则(1)=f -________ 14.已知正数．．,x y 满足11x y +=，则4y x+的最小值为____________ 15.已知函数()f x 满足()=()f x f x -,当12,(,0]x x ∈-∞时，总有1212()[()()]0x x f x f x -->，若(21)(1)f m f ->，则实数m 的取值范围是___________16.设偶函数．．．()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足(1)=1f ，对于任意1212,(0,)x x x x ∈+∞≠，，都有20202020211212()()0x f x x f x x x ->-成立，则2020()1f x x ≥的解集为______________四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知集合{}2=60A x x x --≤，集合{}131B x a x a =-<≤+（1）当1a =时，求A B ，A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围。
2021届福建省福州第一中学高三第一学期期中考试数学试题(教师版含解析)
福州一中2020—2021学年第一学期高三数学半期考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知命题2 :1,2log 1x p x x ∀-≥≥，则p ⌝为( ) A. 21,2log 1x x x ∀<-< B. 21,2log 1x x x ∀-<≥ C. 21,2log 1x x x ∃<-< D. 21,2log 1x x x ∃-<≥【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p 1x ∀≥，22log 1xx -≥，:p ⌝1x ∃≥，22log 1x x -<.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题. 2. 设复数z 满足1132z i z +=--，则||z =A. 5B.C. 2D.【答案】B 【解析】由1132z i z +=--，得1236z z zi i +=--+，即2z i =+，则z = B. 3. 已知集合{}2log (3)1P x x =-≤，322x Q x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q =( ) A. ()0,1 B. (]0,1C. []1,2D. (]1,2【答案】A 【解析】 【分析】先解对数不等式和分式不等式分别化简集合,P Q ，求得RP ，再进行交集运算即可.【详解】22log (3)1l g 2o x -≤=，032x ∴<-≤，即13x ≤<，集合{}13P x x =≤<，则{1RP x x =<或}3x ≥，又由322x x-≤，得20x x -≤等价于()20x x -≤且0x ≠，即02x <≤，集合{}02Q x x =<≤，故()R P Q ={}01x x <<.故选：A.4. 已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则6S =( )． A. 80 B. 85 C. 90 D. 95【答案】C 【解析】由题意，得2111(5)(45)a a a +=+⨯，解得152a =，所以6565659022S ⨯=⨯+⨯=． 故选C ．5. 设函数313log ,?0,()log (),? 0,x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是( ) A. (1,0)(0,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (1,0)(1,)D. (,1)(0,1)-∞-【答案】C 【解析】 【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解. 详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a >，所以22log 0a >，可得：1a >， 当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<， 综上可知：10a -<<或1a >. 故选：C6. 《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈(如图)．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是( )A. 5立方丈B. 6立方丈C. 7立方丈D. 9立方丈【答案】A 【解析】过点,E F 分别作平面EGJ 和平面FHI 垂直于底面，所以几何体的体积分为三部分中间是直三棱柱，两边是两个一样的四棱锥，所以113122131523V =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=立方丈，故选A.7. 设ln x a x =，ln y b y =，ln y c x =，其中x y >，则下列说法正确的是( ) A. a c b ≤≤ B. b c a ≤≤C. 2ab c <D. 2c ab <【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性可得答案.【详解】令ln ,ln x m y n ==，因为x y >，所以m n >，所以2m a e =，2n b e =，nm c e =，虽然xy e =是单调递增函数，而22,m n 无法比较大小，所以,a b 大小无法确定，排除AB ；22nm c e =2222+22m n m n nm ab e e e e c ==>=，故选：D.【点睛】本题考查比较大小，构造函数，利用函数的单调性是解答本题的关键点. 8. 已知函数()e e2xxf x a -=+⋅+(a R ∈， e 为自然对数的底数)，若()g f x =与()()y f f x =的值域相同，则a 的取值范围是 A. 0a < B. 1a ≤-C. 04a <≤D. 0a <或04a <≤【答案】A 【解析】排除法：当1a =时，令x e t = ，1()24f x t t=++≥ ，值域为[4,)+∞，(())f f x 在[4,)+∞上为增函数，值域为25[,)4+∞，不合题意舍去； 当0a <时，()2a f x t t =++ ，2223()120a t af x t t-=-+≥>' ，()f x 的值域为R (())y f f x =的值域也是R ，不符合题意，排除C 和D.当12a =-时，1()22f x t t =-+，21()102f x t =+>'，函数在(0,)+∞上单增，值域为R ，(())f f x 的值域也为R ，符合题意，排除B ，选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 已知2()2sin cos f x x x x =+，下列说法正确的有( ) A. ()f x 的最小正周期是2π B. ()f x 最大值为2 C. ()f x 的图象关于3x π=对称D. ()f x 的图象关于2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 【答案】BD 【解析】【分析】利用三角函数的性质，逐个判断选项即可求解【详解】2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-sin 23cos 22sin(2)3x x x π=+=+，明显可得， A 错，B 对；对于C ，因为()03f π=，所以，()f x 的图象不关于3x π=对称，C 错；对于D ，因为2()03f π-=，所以，()f x 的图象关于2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，D 对； 故选：BD10. 已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+(,x y R ∈)，则x y +的可能取值为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 2【答案】ABC 【解析】 【分析】以向量OA 、OB 方向为x ，y 轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量()cos ,sin OC θθ=，可计算cos sin x y θθ+=+取值范围，即得结果.【详解】依题意，OA 、OB 是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量OA 、OB 作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C ()cos ,sin θθ(θ表示由x 轴非负半轴旋转到OC 所形成的角)构成的向量OC ，[)0,2θ∈π，因为()1,0OA =，()0,1OB =，()cos ,sin OC θθ=，OC xOA yOB =+，所以cos ,sin x y θθ==，故cos sin 2sin 4x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，[)0,2θ∈π，故2,2x y ⎡⎤+∈-⎣⎦，故可以是选项中的0，1，2.故选：ABC.11. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有( )A. AC BE ⊥B. 异面直线,AE BF 所成的角为定值C. 点A 到平面BEF 的距离为定值D. 三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【解析】【详解】由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2=2AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是2，故C 正确；=2AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEFS =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为1134224⨯⨯=D 正确. 故选：ACD【点睛】求空间中点到平面的距离常见方法为： (1)定义法：直接作平面的垂线，求垂线；(2)等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； (3)向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可. 12. 在n n n A B C (1,2,3,n =)中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b++=，222124n n n a b c ++=，则( ) A.n n n A B C 一定是直角三角形B. {}n S 为递增数列C. {}n S 有最大值D. {}n S 有最小值【答案】ABD 【解析】 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c++=得，222222112244n n n n n n a c a b b c +++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=，故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bSS c cS +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--， 又22125=244n n n n n b c b c S +=≤(当且仅当==2n n b c ) 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD .【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 上的投影为3，则m =______． 【解析】 【分析】利用数量积的定义得到投影cos a b b aθ⋅=，再利用数量积和模长的坐标运算代入计算即可.【详解】设a 与b 的夹角是θ，利用投影定义，b 在a 上的投影为cos b θ，因为cos a b a b θ⋅=⋅，33,1a b m a ⋅=+=，所以33cos 32ma b ab θ⋅+===，解得m =. 14. 设变量x ，y 满足约束条件1,4,2,x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值为__________．【答案】6.5 【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．详解：由题作出可行域如图，联立1{4x y x y -=-+=35(,)22A ⇒化目标函数22x zy =-+由图可知过A 时截距最大，故z 的最大值为6.5，故答案为6.5点睛：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 15. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______． 【答案】23π 【解析】 【分析】 根据图象关于6x π=对称，分析得到6f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数最值，由此分析计算出a 的值并化简()f x ，根据条件表示出12,x x ，然后分析出12x x +的最小值. 【详解】因为()f x 的图象关于6x π=对称，所以213162f a π⎛⎫=±+=⎪⎝⎭， 所以解得3a =()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 又因为()112sin 23f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1112,32x k k Z πππ+=+∈，所以1112,6x k k Z ππ=+∈， 又因为()222sin 23f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以2222,32x k k Z πππ+=-+∈所以22252,6x k k Z ππ=-+∈， 所以121212522,,66x x k k k Z k Z ππππ+=+-+∈∈， 所以()12121222,,3x x k k k Z k Z ππ+=-++∈∈，显然当120k k +=时有最小值，所以12min2233x x ππ+=-=， 故答案为：23π. 【点睛】思路点睛：已知正、余弦型函数的一条对称轴求解参数的两种思路：(1)根据对称轴对应的是正、余弦型函数的最值，代入计算出函数值等于对应的最值，由此计算出参数值； (2)已知对称轴为x a =，则根据()()2f a x f x -=，代入具体x 的值求解出a 的值.16. 三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，2BC BD ==，面ACD 的面积为11，则此三棱锥外接球的表面积为___． 【答案】16π 【解析】 【分析】利用三角形全等和三角形面积公式求出高AE 为11，23AC AD ==，进而利用余弦定理，得出90ACB ADB ∠=∠=︒，即AC BC ⊥，AD DB ⊥，进而得出AB 为外接圆直径，进而求解【详解】如图，2BC BD ==，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，ABC ABD ∴≅，则AC AD =，∴2CD =，又由面ACD 11，则ACD △的高AE 11，且根据余弦定理，可得23AC AD ==，60ABC DBA ==∠∠，可得4AB =，90ACB ADB ∠=∠=︒，即AC BC ⊥，AD DB ⊥，明显地，当球内有一条边能同时对应两个面的三角形的直角，则该边必为球的直径，所以，24AB R ==，所以，三棱锥外接球的表面积为2416R ππ= 故答案为：16π【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用余弦定理和三角形性质得到AC BC ⊥，AD DB ⊥，进而根据球内有一条边能同时对应两个面的三角形的直角，则该边必为球的直径来求解，难度属于中等四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在①ABCS=1a b -=，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c =sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，？ 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】答案不唯一，见解析. 【解析】 【分析】先利用已知条件计算3C π=和227a b ab +-=，再利用所选条件逐一计算即可.【详解】因为sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以sin sin sin cos 6C A A C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2sin sin 3C C π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又因为(0,)C π∈，所以23C C π=-，所以3C π=．由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即227a b ab +-=，若选①：因为1sin 2ABCSab C =，所以8ab =，所以2()781a b -=-=-，与2()0a b -≥矛盾，所以满足条件的三角形不存在．若选②：因为1a b -=，所以2221a b ab +-=，又227a b ab +-=，所以6ab =，故22225a b ab ++=，即5a b +=，所以三角形周长5C a b c =++=．若选③：因为sin 2sin A B =，所以2a b =，联立227a b ab +-=，解得a =，b =，所以三角形周长C a b c =++=．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．(1)若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 面1AB M ； (2)若132C M =，求二面角1A B M C --的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)4π. 【解析】 【分析】(1)连接A 1B 交AB 1于P ，根据平行四边形AA 1B 1B 的性质，结合三角形中位线定理，可得NP 与CM 平行且相等，从而四边形MCNP 是平行四边形，可得CN ∥MP ，再结合线面平行的判定定理，得到CN ∥平面AB 1M ；(2)以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，根据题意得到C 、A 、、B 1、M 各点的坐标，从而得到向量AB 、1B M 的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求出平面AMB 1的法向量n =(5，﹣3，4)，结合平面MB 1C 的一个法向量CA =(2，0，0)，利用空间两个向量的夹角公式，得到n 与CA 的夹角，即得二面角A ﹣MB 1﹣C 的大小．【详解】(1)连结A 1B 交AB 1于P ．因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形，所以CN //MP ．因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ，所以CN //平面AB 1M ．(2)因为AC =BC =2，22AB = 所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．因为132C M =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-，13(0,2,)2B M =--． 设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅=．即5 (2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y zx y z⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，，令5x=，则3,4y z=-=，即(5,3,4)n=-．又平面MB1C的一个法向量是=(2,0,0)CA，所以2cos,>=||||n CAn CAn CA⋅<=．由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以二面角A-MB1-C的大小为4π．【点睛】关键点睛：解题关键在于由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．又因为CC1⊥平面ABC，进而以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量计算二面角，难度属于中档题19. 已知等比数列{}n a的公比1q>，满足：23428a a a++=，且32a+是24,a a的等差中项．(1)求数列{}n a的通项公式；(2)若12logn n nb a a=，n S为数列{}n b的前n项和，求使121000nnS n++⋅>成立的正整数n的最小值．【答案】(1)2nna=；(2)9.【解析】分析】(1)先根据已知条件列基础量1,a q满足的关系，结合1q>计算解得1,a q，再写通项公式即可；(2)先化简n b，再利用错位相减法求其前n项和n S，再代入不等式解得121002n+>，结合*n N∈，得到n 的取值范围，即得结果.【详解】解：(1)∵32a+是24,a a的等差中项，∴()32422a a a+=+，代入23428a a a++=，可得38a=，∴2420a a+=，∴21211820a qa q a q⎧=⎨+=⎩，解之得122aq=⎧⎨=⎩或13212aq=⎧⎪⎨=⎪⎩，∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a =；(2)∵1122log 2log 22n nnn n n b a a n ===-⋅，∴()212222n n S n =-⨯+⨯++⋅，①()2312122222n n n S n n +=-⨯+⨯++⋅+⋅，②②-①得()23111121222222222212n n n n n n nS n n n ++++-=+++-=-⋅=--⋅-∵1111222221000n n n n n S n n n +++++⋅=--⋅+⋅>，∴121002n +>，又因为*n N ∈，9102512,21024==，所以110n +≥，所以9n ≥， 所以使121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为9.【点睛】一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式，化简计算即可．20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，//,90AD BC ABC ︒∠=，2AD =，23AB =，6BC =．(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)23PA =，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35. 【解析】 【分析】(1)根据已知条件，得到BD PA ⊥，再利用正切函数的性质，求得030,BAC 60ABD ∠=∠=，得到BD AC ⊥，进而可证得平面PBD ⊥平面PAC ；(2)建立空间坐标系，得到()23,2,0BD =-，()0,2,DP t =-，()23,6,PC t =-，进而得到平面PBD 的一个法向量为231,3,n t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，进而可利用向量的公式求解 【详解】(1)∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥， 又3tan ,tan 33AD BCABD BAC AB AB∠==∠==， ∴0030,BAC 60ABD ∠=∠=，∴090AEB ∠=，即BD AC ⊥(E 为AC 与BD 交点)． 又PAAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以，平面PAC ⊥平面PBD(2)如图，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴，建立空间坐标系，如图， 设AP t =，则()()()()23,0,0,23,6,0,0,2,0,0,0,B C D P t ，则()23,2,0BD =-，()0,2,t DP =-，()23,6,PC t =-，设平面PBD 法向量为(),,n x y z =，则00n BD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即232020x y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得平面PBD 的一个法向量为231,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22226333cos ,1214448451PC n PC n PC nt t t t ⋅===++++， 因为22221441445151275t t t t +++=≥，当且仅当23t =时等号成立， 所以5c 33353os ,PC n ≤=，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,PC n θ=，故3sin 5θ≤， 即23t =时，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35． 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到BD ⊥平面PAC ，进而证明平面PAC ⊥平面PBD ；以及建立空间直角坐标系，求出法向量，进行求解直线PC 与平面PBD 所成角的最大值，难度属于中档题21. 一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=，(1)用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ；(2)当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值． 【答案】(1)11()833sin f vv v θθθ=++，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；(2)1cos 3θ= 【解析】 【分析】(1)先计算A 到E 弧长为θ，确定这一段的用时，再计算EF 长度确定此段用时，再相加即得结果； (2)对函数()f θ求导，研究其单调性得到极小值点，即得到最短时间时的cos θ值.【详解】解：(1)依题意，AOE θ∠=，半径是1，故A 到E 弧长为θ，通过A 到E 弧长所用时间是8vθ，过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，得11sin EF θ=+，则此时所用时间为1133sin 3EF v v vθ=+所以11()833sin f vv v θθθ=++，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； (2)222211cos 33cos 8cos (3cos 1)(cos 3)()83sin 24sin 24sin f v v v v θθθθθθθθθ----+'=+⋅==-，记0(0,)θπ∈，且01cos 3θ=，则0,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当0,4πθθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1cos 3θ>，所以()0f θ'<，()f θ单调递减，当03,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 3θ<，所以()0f θ'>，()f θ单调递增， 所以1cos 3θ=时，用时最短． 所以，当1cos 3θ=时，小球从A 到F 所用的时间最短．【点睛】利用导数研究实际问题时，首先构建模型得到函数关系，再通过导数研究其单调性和极值，尤其是开区间上只有一个极值点，也就是最值点，再将数据反馈到实际问题中去.22. 已知函数12()(2)e (1)x f x x a x +=-++(0a >，e 是自然对数的底数)，()'f x 是()f x 的导函数． (1)若12a ≥，求证：()'f x 在(1,)-+∞单调递增； (2)证明：()f x 有唯一的极小值点(记为0x )，且()203e f x -<<-．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)函数()f x 求导，记()()g x f x '=，函数()g x 求导，二次求导，分析函数的单调性，即可得证；(2)当12a ≥，102a <<利用零点存在性定理得到()'f x 在(1,)-+∞有唯一的零点．设()'f x 有唯一的零点，记为s ，分析函数单调性得到s 是()f x 唯一的极小值点，由单调性知0()(1)3f x f <-=-，20()(1)e h x h >=-，即可得出结论.【详解】(1)1'()(1)e 2(1)x f x x a x +=-++，记()()g x f x '=， 则1'()e2x g x x a +=+，1()(1)e x g x x +''=+，因为1x >-， 所以()0g x ''>，所以()'g x 在(1,)-+∞单调递增， (1)12g a '-=-+，当12a ≥时，()(1)0g x g ''>-≥，所以()'f x 在(1,)-+∞单调递增， (2)当12a ≥时，()'f x 在(1,)-+∞单调递增， 又(1)20f '-=-<，(1)40f a '=>， 所以函数()'f x 在(1,)-+∞有唯一的零点． 当102a <<时，(1)0g '-<，(0)20g a '=>， 故(1,0)t ∃∈-，使得()0g t '=，且(1,)x t ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减，(,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，又(1)20g -=-<，(1)40g a =>， 所以函数()g x 在(1,)-+∞有唯一的零点． 综上所述，()'f x 在(1,)-+∞有唯一的零点． 当1x ≤-时，1()(1)e 0x f x x +'-<≤， 又()'f x 有唯一的零点，记为s ，且当x s <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当x s >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以s 是()f x 唯一的极小值点，即0(1,1)x s =∈-且满足0100(1)e 2(1)0x x a x +-++=，由单调性知0()(1)3f x f <-=-， 另一方面，00001111222000000000(1)e 1()(2)e(1)(2)e(1)(23)e 2(1)2x x x x x f x x a x x x x x x ++++-=-++=--+=--++， 记211()(23)e 2z h z z z +=--+，则211()(1)e 02z h z z +'=-+<，所以()h z 单调递减， 又因为0(1,1)x ∈-， 所以20()(1)e h x h >=-，综上所述， ()203e f x -<<-．【点睛】方法点睛：究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点.。
福建省八县（市）一中2021届高三数学上学期期中试题 理 新人教A版(1)
福建省八县（市）一中2021届高三上学期期中考试数学理试题命题学校：福清一中一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求，每题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1.已知R 为实数集，M =}02|{2<-x x x ，N =}1|{-=x y x ，那么)(N C M R =( )A ．}10|{<<x x B. }20|{<<x x C ．}2|{<x x D.Φ2. 同时知足两个条件：（1）概念域内是减函数；（2）概念域内是奇函数的函数是（ ）A 、()x x x f -=B 、()x x x f 1+=C 、()x x f tan =D 、()xx x f ln = 3. 函数()x e x f x cos =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( )A ．4πB ．0C ．43π D ．14. 设,x y ∈R ，向量)4,2()2,(),,2(-=-==c y b x a ，且c b c a //,⊥+等于（ ）A B C ． D ．105. 以下结论错误的选项是（ ）A ．命题：“若0>>b a ，那么22b a >”的逆命题是假命题； B ．假设函数)(x f 可导，那么0)(0='x f 是0x 为函数极值点的必要不充分条件；C ．向量b a ,的夹角为钝角的充要条件是0<⋅b a ；D ．命题:p “1,+≥∈∃x e R x x ”的否定是“1,+<∈∀x e R x x” 6. 已知函数)sin()(ϕω+=x x f (其中,0>ω2πϕ<)图象相邻对称轴的距离为2π，一个对称中心为)0,6(π-,为了取得x x g ωcos )(=的图象，那么只要将)(x f 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π12个单位 7. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)8. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且知足2AP PM =，那么()PA PB PC ⋅+的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．49. 函数f (x )的部份图象如下图，那么函数f (x )的解析式能够是( )A ．f (x )＝x －sin xB ．f (x )＝cos x xC ．f (x )＝2x cos xD ．f (x )＝x ·(|x|－π2)·(|x|－3π2) 10. 偶函数()x f 知足())1(1-+=x f x f ,且在]1,0[∈x 时, ()2x x f = ,()x x g ln = ， 则函数()x f 与)(x g 图象交点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．411. 已知0>x 时，0)()1(<'-x f x ，假设ABC ∆是锐角三角形，那么必然成立的是（ ）A ．)(cos )(sinB f A f > B ．)(cos )(sin B f A f <C ．)(sin )(sin B f A f >D ．)(cos )(cos B f A f >12. 若存在关于概念域为R 的函数()f x ，假设存在非零实数0x ，使函数()f x 在0(,)x -∞和0(,)x +∞上均有零点，那么称0x 为函数()f x 的一个“纽点”．那么以下四个函数中，不存在“纽点”的是（ ）A ．2()1()f x x bx b =+-∈RB ．2()2x f x x =- C ．()133--=x x x f D ．()21f x x =-- 二、填空题 ：本大题共4小题，每题4分，共16分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
2021届福建省福州第一中学高三上学期期中考试数学试卷
福州一中2020—2021学年第一学期高三数学半期考试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题2 :1,2log 1x p x x ∀-≥≥ ，则p ⌝为A ．21,2log 1x x x ∀<-<B ．21,2log 1x x x ∀-<≥C ．21,2log 1x x x ∃<-<D ．21,2log 1x x x ∃-<≥2．设复数z 满足113i 2z z +=--，则||z = A ．5 BC ．2 D3．已知集合{}2log (3)1P x x =-≤，322x Q x x ⎧-⎫=⎨⎬⎩⎭≤，则()R P Q =A ．()0,1B ．(]0,1C ．[]1,2D ．(]1,2 4．已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且125,,a a a 成等比数列，则6S =A ．80B ．85C ．90D ．95 5．设函数313log , 0,()log (), 0,x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞ D ．(,1)(0,1)-∞-6．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是A ． 5立方丈B ． 6立方丈C ． 7立方丈D ． 9立方丈7．设ln x a x =，ln y b y =，ln y c x =，其中x y >，则下列说法正确的是A ．a c b ≤≤B ．b c a ≤≤C ．2ab c ≤D ．2c ab ≤8．已知函数()e e 2x x f x a -=++（a R ∈，e 为自然对数的底数），若()y f x =与))((x f f y =的值域相同，1234则a 的取值范围是A ．0a <B ．1a -≤C ．04a <≤D ．0a <或04a <≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分 9．已知2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-，下列说法正确的有A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 最大值为2C ．()f x 的图象关于3x π=对称D ．()f x 的图象关于2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称10．已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+（,x y R ∈），则x y +的可能取值为A ．0B ．1C ．2D ．211．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到BEF 平面的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值12．在n n n A B C △（1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C △的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b++=，222124n n n a b c ++=，则 A ．n n n A B C △一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 上的投影为3，则m =______．14．设变量x ，y 满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则目标函数2z x y =+的最大值为______．15．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______．16．三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，2BC BD ==，面ACD 的面积为11，则此三棱锥外接球的表面积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①23ABC S =△，②1a b -=，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7c =，sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ？注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ABC ⊥平面，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．（1）若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：1CN AB M ∥平面； （2）若132C M =，求二面角1A B M C --的大小．19．（12分）32a +是已知等比数列{}n a 的公比1q >，满足：23428a a a ++=，且24,a a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，0,90AD BC ABC ∠=∥，2AD =，23AB =，6BC =． （1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值．21．（12分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=，（1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ；（2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值．22．（12分）已知函数12()(2)e (1)x f x x a x +=-++(0e a >，是自然对数的底数),()f x '是()f x 的导函数．（1）若12a ≥，求证：()f x '在(1,)-+∞单调递增；（2）证明：()f x 有唯一的极小值点（记为0x ），且()20e 3f x -<<-．高三数学半期考参考答案1-4 DBAC 5-8 CADA 9 BD 10 ABC11 ACD 12 ABD13 14．132 15．23π16．16π 17．解：若选①：因为sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以sin sin sin cos 6C A A C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2sin sin 3C C π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又因为(0,)C π∈，所以23C C π=-，所以3C π=．由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即227a b ab +-=，因为1sin 2ABC S ab C =△，所以8ab =，所以2()781a b -=-=-，与2()a b -≥0矛盾， 所以满足条件的三角形不存在．若选②：…………即227a b ab +-=，又因为1a b -=，所以2221a b ab +-=，所以6ab = 故22225a b ab ++=，即5a b +=，所以三角形周长57C a b c =++=+． 若选③：…………即227a b ab +-=， 又因为sin 2sin A B =，所以2a b =，联立，解得221a =，21b =，所以三角形周长217C a b c =++=+． 18．证明：（1）连结A 1B 交AB 1于P ．因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点， 所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形， 所以CN //MP ．因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， 所以CN //平面AB 1M ．（2）因为AC =BC =2，22AB =， 所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ． 因为132C M =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-，13(0,2,)2B M =--． 设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅=． 即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-． 又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA ， 所以2cos ,>=||||n CA n CA n CA ⋅<=． 由图可知二面角A-MB 1-C 为锐角， 所以二面角A-MB 1-C 的大小为4π． 19．（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴21211820a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解之得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =（2）∵1122log 2log 22n n n n n n b a a n ===-，∴()212222n n S n =-⨯+⨯++，．．．．．．．．．．．．．．．① ()2312122222n n S n n +=-⨯+⨯+++，．．．．．．．．．．．．．② ②—①得()23111121222222222212n n n n n n n S n n n ++++-=+++-=-=---∵121000n n S n ++⋅>，∴121002n +>，又因为*n N ∈， 所以110n +≥，所以9n ≥，所以使121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为920．解：（1）∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥，又3tan ,tan 3AD BCABD BAC AB AB∠==∠==， ∴030,BAC 60ABD ∠=∠=，∴090AEB ∠=，即BD AC ⊥（E 为AC 与BD 交点）．又PA AC ，∴BD ⊥平面PAC又因为BD PBD ⊂平面，所以PAC PBD 平面⊥平面．（2）解：如图，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴，建立空间坐标系，如图， 设AP t =，则()()()()23,0,0,23,6,0,0,2,0,0,0,B C D P t ， 则()23,2,0BD =-，()0,2,DP t =-，()23,6,PC t =-，设平面PBD 法向量为(),,n x y z =，则00n BD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即232020x y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得平面PBD 的一个法向量为1,3,n ⎛= ⎝⎭，所以cos ,48PC n PC n PC n⋅===因为2221441445151275t t t t+++=≥，当且仅当t = 所以33cos ,55PC n ≤，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,PC n θ=，故3sin 5θ≤，即t =PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35．21．(1)A 到E 弧长为θ，1OE =，1sin OF θ=，所以11sin ()833f v v v θθθ=++，所以11()833sin f v v v θθθ=++，3,44ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）222211cos 33cos 8cos (3cos 1)(cos 3)()83sin 24sin 24sin f v v v v θθθθθθθθθ----+'=+==-， 记0(0,)θπ∈，且01cos 3θ=，则0,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当0,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 3θ>，所以()0f θ'<，()f θ单调递减，当03,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 3θ<，所以()0f θ'>，()f θ单调递增，所以1cos 3θ=时，用时最短．答：当1cos 3θ=时，小球从A 到F 所用的时间最短．22．解（1）1'()(1)e 2(1)x f x x a x +=-++，记()'()g x f x =，则1'()e 2x g x x a +=+，1()(1)e x g x x +''=+，因为1x >-，所以()0g x ''>，所以()g x '在(1,)-+∞单调递增， (1)12g a '-=-+，当12a ≥时，()(1)0g x g ''>-≥，所以()f x '在(1,)-+∞单调递增，（2）当12a ≥时，()f x '在(1,)-+∞单调递增，又(1)20f '-=-<，(1)40f a '=>，所以函数()f x '在(1,)-+∞有唯一的零点．当12a <时，(1)0g '-<，(0)20g a '=>，故(1,0)t ∃∈-，使得()0g t '=，且 (1,)x t ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减， (,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，又(1)20g -=-<，(1)40g a =>，所以函数()g x 在(1,)-+∞有唯一的零点．综上所述，()f x '在(1,)-+∞有唯一的零点．当1x -≤时，1()(1)e 0x f x x +'-<≤，又()f x '有唯一的零点，记为s ，且当x s <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x s >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以s 是()f x 唯一的极小值点，即0(1,1)x s =∈-且满足0100(1)e 2(1)0x x a x +-++=，由单调性知0()(1)3f x f <-=-， 另一方面， 00001111222000000000(1)e 1()(2)e(1)(2)e(1)(23)e 2(1)2x x x x x f x x a x x x x x x ++++-=-++=--+=--++ 记211()(23)e 2z h z z z +=--+，则211()(1)e 02z h z z +'=-+<，所以()h z 单调递减，又因为0(1,1)x ∈-，所以20()(1)e h x h >=-， 综上所述，()20e 3f x -<<-．。
福建省福州市2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题含解析
福州2021-2022学年第一学期期中考数学试卷（答案在最后）一､选择题（共8小题）1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B ⋂=（）ðA.{}3 B.{}2,5 C.{}1,4,6 D.{}2,3,5【答案】B 【解析】【详解】{}2,3,5A =,{}2,5U B =ð,则{}2,5U A B ⋂=（）ð,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2.命题“2,10x Q x x ∀∈++>”的否定为（）A.2,10x Q x x ∃∈++>B.2,10x Q x x ∀∈++≤C.2,10x Q x x ∃∈++≤D.2,10x Q x x ∃∉++≤【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“2,10x Q x x ∀∈++>”的否定为“2,10x Q x x ∃∈++≤”，故选：C.3.下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（）A.1()f x x=-B.()3xf x = C.3()log f x x= D.()f x =【答案】AD 【解析】【分析】由幂函数、指数函数、对数函数的奇偶性与单调性即可求解.【详解】解：对A ：1()f x x=-是奇函数，且是增函数，符合题意；对B ：()3x f x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；对C ：3()log f x x =不具有奇偶性，是增函数，不符合题意；对D ：13()f x x==是奇函数，且是增函数，符合题意；故选：AD.4.设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，则当0x <时，()f x =（）A.e 1x -- B.e 1x -+ C.e 1x --- D.1x e -+【答案】D 【解析】【分析】首先设0x <，得到0x ->，再代入()1x f x e -=-，利用函数的奇偶性求解即可.【详解】设0x <，则0x ->，因为函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，()()1x f x e f x -=-=-，即：()1x f x e =-+.故选：D5.某高校为加强学科建设，制定了第“十四五”（2021-2025）规划，计划逐年加大科研经费投入，已知该校计划2021年全年投入科研资金20万元，2025年全年投入科研资金28万元，则第“十四五”期间，投入科研资金的年均增长率约为（）A.141.41- B.151.41- C. 1.4log 51- D.1.4log 41-【答案】A 【解析】【分析】设年增长率为x ，由题意可得()420128x +=，从而即可求解.【详解】解：设年增长率为x ，由题意可得()420128x +=，即()4281 1.420x +==，所以141 1.4x +=，解得141.41x =-，所以投入科研资金的年均增长率约为141.41-，故选：A.6.函数2()21x xf x x =-+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义证明()f x 是偶函数，可排除B 、C ；再由()20f >可排除D.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为R ，()221x x f x x =-+2=21xxx x⋅-+，则()f x -22=2121x x xxx x x x---⋅+⋅-=++，所以()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，故可排除B 和C ；当2x =时，()605f x =>，故可排除D.故选：A7.冈珀茨模型()tb y k a=⋅是由冈珀茨（Gompertz ）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t 年后的种群数量y 近视满足冈珀茨模型：0.1251.40tey k e -=⋅（当0=t 时，表示2020年初的种群数量），若()m m N*∈年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m 的最小值为（）(ln 20.7)≈A.9 B.7 C.8D.6【答案】D 【解析】【分析】由已知模型列出不等式后，取对数变形求解．【详解】由已知0.12501.4 1.40012me e k ek e -⋅≤⋅，显然00k >，0.1251.4 1.412me ee -≤，两边取自然对数有：0.1251.4 1.4ln 20.7m e -≤-≈，0.12512m e -≤，所以0.125ln 20.7m -≤-≈-， 5.6m ≥．m 的最小值为6．故选：D ．8.设34c =，4log 3b =，5log 4a =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b c a >>B.b a c >>C.a b c>> D.c b a>>【答案】C 【解析】【分析】对于a ，b 的比较，构造函数，通过研究函数的单调性来进行比较，对于a ，c 或b ，c 的比较通过作差法来进行比较【详解】444444log 33l 8164og og 0l b c ---=>=，故b c>；555444log 43lo 2561250g log a c --=->=，故a c >；4ln 3log 3ln 4b ==，5ln 4log 4ln 5a ==令()()ln ln 1xf x x =+，（0x >），则()()()()()()()()()()2221ln 1ln ln 1ln 11ln 1ln 1ln 11ln 11ln 1x xx x x x x x x x x f x x x x x x x x ⎛⎫++++- ⎪++-⎝⎭+'===+++++因为0x >，所以111x +>，1ln 10x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()ln 10x +>，故()0f x '>恒成立，()()ln ln 1xf x x =+在0x >上单调递增，所以()()43f f >，故a b>综上：a b c >>故选：C二､多选题（共4小题）9.下列结论正确的是（）A.lg(25)lg 2lg 5+=⋅B.1= C.1383272-⎛⎫=⎪⎝⎭D.24log 3log 6=【答案】BC 【解析】【分析】AD 选项应用对数运算法则进行计算，B 选项利用根式化简法则进行求解；C 选项，利用指数运算法则进行计算【详解】lg(25)lg 2lg 5+=⋅错误，正确的应该是lg(25)lg 2lg 5⨯=+，故A错误；，B 选项正确；1131338223==27332---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，C 选项正确；4221log 6=log 6=log 2D 选项错误.故选：BC10.下列四个命题中，真命题是（）A.22a b ac bc >⇒> B.22||a b a b >⇒> C.11a b a b>⇒< D.22||a b a b>⇒>【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的性质分别对选项进行验证，即可得到答案.【详解】对于A 选项，当0c =时，22=ac bc ，故A 错误；已知||0b ≥，即||0a b >≥，左右两边同时平方即可得到22a b >，故B 正确.；当,a b 同号时，11a b a b>⇒<，当,a b 异号时，11a b a b>⇒>，故C 错误；22||||||a b a b a b >⇒>⇒>，故D 正确.故选：BD.11.下列命题中真命题的是（）A.“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B.若(1)f x +是偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =-轴对称C.若(2)()f x f x +=--，则()f x 的图像关于点(1,0)-中心对称D.[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解的充要条件是1a ≥【答案】AD 【解析】【分析】解不等式21x >，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断A ；根据偶函数的图像的特征及函数()f x 与函数(1)f x +图像的关系即可判断B ；由(2)()f x f x +=--，可得()()()111f x f x f x +=---=--+⎡⎤⎣⎦，再根据函数()f x 与函数(1)f x +图像的关系即可判断C ；根据方程21ax =有解，求得a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断D.【详解】解：对于A ，由21x >，得1x >或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，若(1)f x +是偶函数，则(1)f x +的图像关于y 轴对称，()f x 的图像是由函数(1)f x +向右平移1个单位得到的，所以函数()f x 的图像关于直线1x =轴对称，故B 错误；对于C ，若(2)()f x f x +=--，所以()()()111f x f x f x +=---=--+⎡⎤⎣⎦，令1m x =+，则()()f m f m =--，所以函数()f m 关于原点对称，又()f x 是由函数()f m 向右平移1个单位得到的，所以函数()f x 的图像关于点(1,0)中心对称，故C 错误；对于D ，[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解，当0x =时，01=不成立，舍去，当0x ≠时，即[)(]1,00,1x ∈- ，则211a x=≥，所以1a ≥，综上所述1a ≥，所以[1,1]x ∃∈-，使得方程21ax =有解的充要条件是1a ≥，故D 正确.故选：AD.12.已知函数()2xf x e x =+-的零点为1x ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为2x ，则（）A.122x x +=B.122x x > C.122x x e e e+> D.122x x <【答案】ACD 【解析】【分析】依题意可得112x e x =-，22ln 2x x =-，根据反函数的性质可得122x x +=，再利用基本不等式判断C ，利用零点存在性定理得到1102x <<、21x <<函数的单调性判断B 、D ；【详解】解：函数()2x f x e x =+-的零点为1x ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为2x ，可得112x e x =-，22ln 2x x =-，即有1221ln 4()x e x x x +=-+，由x y e =的反函数ln y x =关于直线y x =对称，x y e =与直线2y x =-的交点为11(,2)x x -，ln y x =与直线2y x =-的交点为22(,2)x x -，可得122x x =-，即122x x +=，故A 正确；由基本不等式得，122x x e e e += ，而12x x ≠，∴等号不成立，故122x x e e e +>，故C 正确；因为()010f =-<，11221112 2.2520222f e ⎛⎫=+->+-= ⎪⎝⎭，所以1102x <<所以()12111220232x x x x x =----<=，所以122x x <，故B 错误；又()1ln1121g =+-=-，11221122 2.252022g e ==+->+-=，所以21x <<则()1222222ln x x x x x x -==，因为ln y x x =在(上单调递增，所以1222ln 2x x x x =<=，故D 正确；故选：ACD三､填空题（共4小题）13.函数()f x =___________，值域为___________.【答案】①.(,3]-∞②.[0,)+∞【解析】【分析】由真数大于0和被开方数大于等于0，可得不等式组，解不等式组，即可得定义域，根据对数函数的值域可知()f x 的值域.【详解】由题意得：()40,4,3lg 40,3,x x x x x -><⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨-≥≤⎩⎩，∴函数的定义域为(],3-∞,(,3]x ∈-∞ ,lg(4)0x ∴-≥,0≥∴,即()f x =的值域为[0,)+∞.故答案为：(],3-∞；[0,)+∞14.已知函数()22x x f x a -=⋅-是偶函数，则=a ___________.【答案】-1【解析】【分析】根据奇偶函数的性质可得()()f x f x =-，列出方程，进而解出a 的值.【详解】因为函数()22x x f x a -=⋅-是偶函数，所以()()f x f x =-，又()22x x f x a --=⋅-，所以22x x a -⋅-=22x x a -⋅-，即(1)(22)0x x a -+-=，所以1a =-.故答案为：-115.已知a R ∈，函数2()log f x a x =.若2t ∀≥，使得(2)()1f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________.【答案】1【解析】【分析】化简(2)()1f t f t +-≤，得到212log a t t≤+在2t ∀≥上恒成立，故求出212log t t+在2t ≥的最小值1，让1a ≤即可【详解】(2)()1f t f t +-≤，即2222log (2)log log 1t a t a t a t++-=≤，因为2t ≥，所以22222log log 1log 10t t t +⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭，所以212log a t t≤+恒成立，其中2222log log 1t y t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭在2t ≥时单调递减，故22222log log 12t t ++≤≤，所以2112log t t≥+，所以1a ≤，故实数a 的最大值是1故答案为：116.已知函数()f x 满足21,0()lg ,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程22[()]4()20f x mf x m -++=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为___________.【答案】3m >或13m <<【解析】【分析】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x 的图象，由题意，原问题等价于22420t mt m -++=有两个大于1的不等实数根，根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】解：令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x的图象如下图所示，由题意，方程22[()]4()20f x mf x m -++=有四个不相等的实数根，即22420t mt m -++=有两个大于1的不等实数根，令22()42h t t mt m =-++，则()()22224420412(1)1420m m m h m m ⎧∆=--+>⎪⎪-->⎨⎪=-++>⎪⎩解得3m >或13m <<，则实数m 的取值范围为3m >或13m <<，故答案为：3m >或13m <<.四､解答题（共6小题）17.已知全集U =R ，集合{}{}2log 21,3327xA x x aB x =-≥=<<.（1）当3a =时，求A B ；（2）在①B A ⊆；②A B ⋂≠∅；③()U A B A ⋃=ð中任选一个条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）5|32x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先解指数不等式、对数不等式及绝对值不等式求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得；（2）根据所选条件，得到不等式组，即可求出参数的取值范围；【小问1详解】解：由3327x <<，即13333x <<，解得13x <<，即{}{}|3327|13xB x x x =<<=<<，由21l g 2o x a -≥，即22log log 22x a -≥，所以22x a -≥，即22x a -≥或22x a -≤-，解得12a x ≥+或12a x ≤-，即{}2log 21A x x a =-≥{|12a x x =≥+或1}2a x ≤-当3a =时5{|2A x x =≥或1}2x ≤所以5|32⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭A B x x 【小问2详解】解：由（1）可知{|12a A x x =≥+或1}2ax ≤-，{}|13B x x =<<；若选①，B A ⊆，则112a +≤或132-≥a，解得0a ≤或8a ≥，即(][),08,a ∈-∞⋃+∞；若选②，若A B =∅ ，则132112a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得4a =，所以4a ≠时A B ⋂≠∅；若选③，因为{}|13B x x =<<，所以{|1U B x x =≤ð或3}x ≥，因为()U A B A ⋃=ð，所以()U B A ⊆ð，所以132112aa ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得4a =；18.设函数2()2(2)1f x mx m x =+++.（1）若()f x 在[1,)+∞单调递增，求实数m 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x ≤.【答案】（1）0m ≥（2）当2m ≤-时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ；当20m -<<时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；当0m =时，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；当02m <<时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当2m ≥时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据m 是否为0分类讨论，不等于0时根据二次函数的性质列式求解即可；（2）根据m 与0的大小分类讨论求解即可.【小问1详解】当实数0m =，()21f x x =+，()f x 在[1,)+∞单调递增，符合题意.当实数0m ≠，根据二次函数的性质，函数()f x 的对称轴为24m m+-，要使得()f x 在[1,)+∞单调递增，则2140m m m +⎧-≤⎪⎨⎪>⎩，解得0m >综上述，0m ≥.【小问2详解】当实数0m =，()21f x x =+，()0f x ≤时，12x ≤-.当实数0m >，()()2()2(2)11210f x mx m x mx x =+++=++≤如果112m -<-，即02m <<时，()0f x ≤得112x m -≤≤-，如果112m -≥-，2m >时，()0f x ≤得112x m-≤≤-.当实数0m <，此时1102m ->>-，()()()1210f x mx x =++≤，()()()1210f x mx x =--+≥解得12x ≤-或1x m ≥-综上述，()0f x ≤的解集为：当0m <时，11,,2m ⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；当0m =时，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；当02m <<时，11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；当2m ≥时，11,2m ⎡⎤--⎢⎣⎦.19.已知函数2()4mx n f x x +=+是定义在[2,2]-上的奇函数，且1(1)5f =.（1）求m ，n 的值，判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明；（2）求使()2(1)10f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围.【答案】（1）1,0==m n ，增函数，证明见解析（2）11a -≤<【解析】【分析】（1）因为函数()f x 为定义在[2,2]-上的奇函数，所以(0)0f =，又1(1)5f =，由此可得m ，n 的值，再由单调性定义判断函数的单调性；（2）()2(1)10f a f a -+-<，即()2(1)1f a f a -<-，根据定义域及单调性列出不等式组，从而可得出答案.【小问1详解】解：因为函数2()4mx nf x x +=+是定义在[2,2]-上的奇函数，所以()00f =，即04n=，解得0n =，又因1(1)55m f ==，所以1m =，所以1,0==m n ，2()4xf x x =+，经检验符合题意，在[2,2]-上任取1x ，2x ，且12x x <，则1212121222221212()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1222x x -< ，所以120x x -<，1240x x ->，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在[2,2]-单调递增；【小问2详解】解：因为()2(1)10f a f a -+-<，所以()2(1)1f a f a -<--，即()2(1)1f a f a -<-，因为函数()f x 在[2,2]-单调递增，所以2211212212a a a a ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得11a -≤<.20.已知函数44()32log ,()log f x x h x x =-=.（1）当[1,16]x ∈时，求函数()[()1]()g x f x h x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[1,16]x ∈，不等式()2()f x f m h x ⋅>⋅恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[0,2]（2）3m <-【解析】【分析】（1）设4log t x =，把函数转化为二次函数，利用二次函数性质可得值域；（2）设4log t x =换元，分类0=t 时不等式成立，在(0,2]t ∈时，分离参数后应用函数单调性求得最小值得结论．【小问1详解】设4log t x =，由[1,16]x ∈得[0,2]t ∈，22()(321)242(1)2g x t t t t t =-+=-+=--+，所以1t =时，max ()2g x =，2t =或0时，min ()0g x =，所以所求值域为[0,2]；【小问2详解】设4log t x =，又[1,16]x ∈，所以[0,2]t ∈，不等式()2()f xf m h x ⋅>⋅为2444(32log )(32log log x m x -->，即(34)(3)t t mt -->，0=t ，不等式显然成立，(]0,2t ∈时，不等式化为(34)(3)9415t t m t t t--<=+-，9415153t t +-≥-=-,当且仅当32t =时，等号成立，所以3m <-．综上，3m <-．21.已知福州地铁2号线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时，地铁为满载状态，载客量为400人；当210t ≤<时，载量会减少，减少的人数与()210t -成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记地铁的载客量为()p t .（1）求()p t 的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为()123000150p t Q t-=-（元）.问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）()()2400210,210400,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为368人.（2）当地铁发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大.【解析】【分析】（1）当210t ≤<时，设()()240010p t k t =--，由()2272p =可求出k 的值，结合已知条件可得出函数()p t 的函数解析式，进而可求得()6p 的值；（2）分210t ≤<、1020t ≤≤两种情况讨论，求出Q 关于t 的函数解析式，利用基本不等式以及函数的单调性可求得Q 的最大值及其对应的t 值，即可得出结论.【小问1详解】解：当210t ≤<时，设()()240010p t k t =--，则()240064272p k =-=，解得2k =.由题意可得()()2400210,210400,1020t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩.所以，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为()2640024368p =-⨯=（人）.【小问2详解】解：当210t ≤<时，()21230004802460060015015033024p t t t Q t t t t ---⎛⎫=-=-=-+ ⎪⎝⎭33090≤-（元），当且仅当5t =时，等号成立；当1020t ≤≤时，()1230001800150150p t Q tt-=-=-，此时函数1800150Q t =-单调递减，则18001503010Q ≤-=，当且仅当10t =时，等号成立.综上所述，当地铁发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大.22.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数.①对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x x f x f x +≥+成立.已知函数2()g x x =与()21x h x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数.（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，（i ）求实数a 的值；（ii ）讨论关于x 的方程()21()()xg h x m m R --=∈解的个数情况.【答案】（1）是，理由见解析；（2）（i ）1；（ii ）详见解析.【解析】【分析】（1）根据G 函数的定义求解；（2）（i ）根据函数()h x 是G 函数，由[0,1]x ∈，总有021x a ⋅-≥成立，求得1a ≥再由②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()121221222x x x x a a +≥⋅-+-成立，由()()12111221x x a -≤--，对11120,0,1x x x x ≥≥+≤时成立，求得1a ≤求解；（ii ）将方程()21()()xg h x m m R --=∈，转化为()()22121x xm ---=，令[]210,1xt =-∈，转化为221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭求解.【小问1详解】解：函数()g x 是为G 函数，理由如下：①对任意的[0,1]x ∈，总有2()0g x x =≥；②当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，()()()()222212122121212122x x x x x x g g x x x x x g x ==+++⋅=++≥+，所以函数()g x 是为G 函数，【小问2详解】（i ）因为函数()h x 是G 函数，则①[0,1]x ∈，总有021x a ⋅-≥成立，即12xa ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，对[0,1]x ∈成立，所以1a ≥②当11120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()121221222x x x x a a +≥⋅-+-成立，即()()12111221x x a -≤--，对11120,0,1x x x x ≥≥+≤时成立因为11120,0,1x x x x ≥≥+≤，所以12211,21100x x ≤≤--≤≤，因为12,x x 不同时为1，所以()()120211211xx <---≤，当120x x ==时，等号成立，所以1a ≤，综上：1a =，（ii ）方程()21()()xg h x m m R --=∈，即为()()22121x xm ---=，令[]210,1xt =-∈，则方程为221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，当14m <-或0m >时，方程无解；当14m=-时，方程一个解；当104m-<≤时，方程有两个解.。
福建省福州市八县(市)一中2021届高三上学期期中联考数学试题
12020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷高中三年数学科试卷命题学校：永泰一中 命题教师：审核教师：考试日期：11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150 分一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A ={x ∈Z |x 2−5x −6≤0}， B ={x |2<2x <128}，则A ∩B =（ ） A ．{x |1<x ≤6}B ．{2,3,4,5,6}C ．{x |1≤x ≤6}D ．{−1,0,1,2,3,4,5,6}2．已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“a >−2”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果f (3)=−1，则不等式f (x −1)+1≥0的解集为（ ） A ． (−∞，2]B ．[2，+∞)C ．[−2，4]D ．[1，4]4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）A ．直线AB 与直线CD 平行 B ．直线AB 与直线CD 相交C ．直线AB 与直线CD 异面且垂直D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°5．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若S 2=1，S 4=5，则S 7=（ ）． A ．S 7=10 B ．S 7=23 C ．S 7=623D ．S 7=12736．已知m >0，n >0，m +4n =2，则4m+1n的最小值为（ ）A ．36B ．16C ．8D ．417．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线x =π4对称D ．关于直线x =−π4对称8．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ）A ．(,2021)-∞-B ．(2021,2020)--C ．(2021,0)-D ．(2020,0)-二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限10．已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（ ）A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； B ．四边形ABCD 为平行四边形；C ．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗夹角的余弦值为145； D ． |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√85 11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ， 若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（ ）1A ．tan 2C =B ．4A π=C ．2b =D ．∆ABC 的面积为612．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111ABC 所成的角的正切值为5 B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若10cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2−3n −1，则n a =__________．15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，PA =PB =AB =AC =2√3，120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________ .16．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln xf x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
福建省福州市八县(市)一中2021届高三上学期期中联考数学试题
福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、未知1．已知集合{}{}2|560|22128xA x Z x xB x =∈--≤=<<，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|16x x <≤ B ．{}23456，，，， C ．{}|16x x ≤≤D ．{}10123456-，，，，，，， 2．已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“2a >-”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ）A ．](2-∞，B ．[)2，+∞ C ．[]24-，D ．[]14， 4．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S =B ．723S =C ．7623S =D ．71273S =5．已知0042m n m n >>+=，，，则41m n+的最小值为（ ） A ．36B ．16C ．8D ．46．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω，||2ϕπ<)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线4x π=对称D ．关于直线4πx =-对称7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（ ）A ．tan 2C =B ．4A π=C．b =D ．ABC 的面积为68．已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =--，则n a =__________.9．在三棱锥P ABC -中，PAB 平面垂直平面ABC，PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.10．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且233n n S a += （1）求{}n a 的通项公式； （2）设3311log log nn n b a a ，求数列{}n b 的前n项和n T .11()cos cos sin C a B b A c C +=，②sinsin 2A Ba c A +=，③()()2sin 2sin 2sin ab A b a Bc C -+-=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为,,a b c ，c =___________.（1）求C ∠； （2）求ABC 周长的范围.12．已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE △沿BE 折起使AD =A BCDE -.（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（2）若P 为AC 的中点，求二面角P BD A --的余弦值.13．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.（1）若6πθ=，求观光通道l 的长度；（2）用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 14．已知函数()axf x x e =的极值为1e-.（1）求a 的值并求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）已知函数()()0mxlnxg x em m=->，存在()0x ∞∈+，，使得()0g x ≤成立，求m 得最大值.15．已知函数()()()21002x f x ln ax a x x -=+->≥+，. （1）当12a =时，讨论函数()y f x =的单调性； （2）若不等式()1f x ≥在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：()()*11111ln 1357212n n N n ++++<+∈+.二、单选题16．下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）A ．直线AB 与直线CD 平行 B ．直线AB 与直线CD 相交C ．直线AB 与直线CD 异面垂直 D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°17．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ） A ．(,2021)-∞- B ．(2021,2020)-- C ．(2021,0)-D ．(2020,0)-三、多选题18．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限19．已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（ ） A ．AB AC ⊥；B ．四边形ABCD 为平行四边形；C ．AC 与BD夹角的余弦值为145； D ．85AB AC +=20．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A BC B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30°四、填空题21．若cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________． 22．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln xf x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.。
福建省福州市八县一中高三上学期期中联考数学(文)试题(有答案)(精选)
第一学期八县（市）一中期中联考高三年数学（文科）试卷完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．. 1.已知M ={|02}x x <<，N =}1|{-=x y x ，则M N =( )A ．{|02}x x <<B. {|12}x x ≤< C ．{|0}x x >D. {|1}x x ≥2.复数z 与复数(12)i i -互为共轭复数，则z ＝（ ） A ．2i -+B ．2i --C ． 2i -D ． 2i +3.已知命题:,sin cos p x R x x ∃∈+≥，命题2:,0q x R x ∀∈>，则( )A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是假命题D ．命题()p q ∧⌝是真命题4.已知等差数列{}n a 中，若241,5a a =-=-，则5S =（ ）A ．-7B ．-13C ．-15D ．-175.若0.52a =，ln2b =，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6.函数4sin()(0,)y x ωϕωϕπ=+>< 部分图象如图，其中点A （23π，0），B （83π，0），则（ ） A ．1,3πωϕ==-B ．1,23πωϕ==-C. 21,3πωϕ==D ．12,23πωϕ==7.已知函数213log (2),2(),2x x f x xx -<⎧⎪=⎨⎪≥⎩ ,则不等式()2f x <的解集为( )A ．{28}x x <<B ．{22}x x -≤<C ．{28}x x -<<D ．{8}xx <8.M 是ABC ∆所在平面内一点，0MA MB MC ++=，D 为BC 中点，则ABCMBCS S ∆∆的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3 9.已知21(2),2+3()2p a a q b b b R a =+>=--∈-，则,p q 的大小关系为( ) A ．p q ≥B ．p q ≤C ．p q >D ．p q <10.为了得到函数cos(2)3y x π=+的图象，可将函数sin 2y x =的图象( )A ．向左平移56π个单位长度B ．向右平移56π个单位长度 C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 11.已知函数()21,x f x a b c =-<<，且()()()f a f c f b >> ，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．222ac +<B ．22ac -<C．0,0,0a b c <≥>D ． 00,0a b c <<<，12.设()f x 是定义在R 上的增函数，且对任意x ，都有()()0f x f x -+=恒成立，如果实数,x y 满足不等式22(6)(412)0f x x f y y -+-+≤，那么2y x-的最大值是( ) A. 1 B. 2C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．. 13.已知向量(1,1),(4,2),m n λ=+=-若//m n ，则=λ ．14.已知,x y 满足约束条件2024010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则4z x y =-的最小值为 .15.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，52S =，1514S =,则10S =________.16.给出下列命题：①已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件； ②若a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=；③命题:p “,1xx R e x ∃∈>+”的否定是“,1xx R e x ∀∈<+”；④方程sin x x =有且只有一个实数解； ⑤函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭. 其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 请在答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．. 17．（本小题满分10分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且S n 、n a 、1成等差数列． （1）证明数列{}n a 是等比数列； （2）若2log 2n n b a =+，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和为n T ．18.（本小题满分12分）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(cos ,cos )b x x =-，()f x a b = ， （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若75(,)126x ππ∈，54a b =-，求cos2x 的值. 19.（本小题满分12分）围建一个面积为300 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙足够长，利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为75元/m ，新墙的造价为150元/m ，设利用的旧墙的长度为x m(x ＞0).(1)将总费用y 元表示为x m 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用． 20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且满足cos (2)cos b A c a B =-． （1）求角B 的大小；（2）若4,4b BA BC ==，求c a +的值．21．（本小题满分12分）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且253,81a a ==, 等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，23922n T n n =-.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;(2)若对任意的n N *∈，1()2n n S k b +≥恒成立,求实数k 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为常数) .(1)当2a =-时，求()f x 的单调区间;(2)当(1,]x e ∈时,讨论方程()0=x f 根的个数； (3)若0>a ,且对任意的121211,,2x x x x e ⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦且,都有()()121211f x f x x x -<-,求实数a 的取值范围. 2016---2017学年度第一学期八县（市）一中期中联考高三年数学（文科）卷参考答案一、选择题（每题5分，共60分） 1-12 BCDCA BCDAC AD 二、填空题（每题5分，共20分） 13. -3 14.1215. 6 16. ②④二、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分） 17．（本小题满分10分）（1）证明：由题意n S 、n a 、1成等差数列，∴ 21n n a S =+………………………1分 当1n =时，1121a S =+ 1a ∴= 1 ……………………………………………………2分 当2n ≥时，1121,21,n n n n S a S a --=-=-两式相减得111222(2)02(2)nn n n n n n n a a a a a a n a n a ---=-∴=≥≠∴=≥……………4分 因此数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列…………………………………5分（2）解：由（1）知11122n n n a a --=⋅=122log 2log 221n n n b a n -∴=+=+=+…7分()()111111212n n b b n n n n +==-++++ ………………………………………………8分12111111...()()...()23341211.......................................................................................10222(2)n n T b b b n n n n n =+++=-+-++-++=-=++则分18.（本小题满分12分）2cos 21(1)()3sin cos cos sin 222x f x x x x x a b +=-=-=解：1sin(2) (36)2x π=--分 ()f x ∴的最小正周期是π ……………………………………………………………4分222()()26263()]() (66)3k x k k Z k x k k Z f x k k k Z πππππππππππππ-≤-≤+∈-≤≤+∈∴-+∈单调递增区间为[令得的，分1sin(2)sin(2)626cos(2)63)]53(2) (744)753(,),2(,)......8.. (66) (9126624)cos 2cos[(28a b x x x x x x x ππππππππππ=-∴-∴----=-=∈∴∈∴-==+-=分分分....12分 19（本小题满分12分）解：(1)设矩形的另一边长为a m ，则75150(2)1502225300300y x x ax a =+-+⋅=+- ………………2分 由已知xa ＝300，得300a x= ……………………………………………4分 ∴90000225300(0)y x x x=+-> ………………………………6分 (2)∵0x >，∴900002259000x x+≥= ……………8分 ∴900002253008700y x x =+-≥………………………………………10分 当且仅当90000225x x=即20x =时，等号成立．………………………11分 答：当20x m =时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是8700元.…12分 20（本小题满分12分） 解：（1）cos (2)cos b A c a B=-由正弦定理得sin cos 2sin cos sin cos ...............................1sin()2sin cos sin . (31)sin 0cos (52)(0,)B A C B A B A B C B C C B B π=-+==≠∴=∈∴分分分 (63)B π=分（2）4cos 48....................................................8BA BC ca B ac =∴=∴=分由余弦定理得22222222cos ()3=()2416b a c ac B a c ac a c ac a c =+-=+-=+-+-= ………………………………………………………………………………………………….………………………………11分a c ∴+=…………………………………………………………………….……………………………….12分 21（本小题满分12分） 解(1)设数列{}n a 的公比为q . 由题意352812733a q q a ===∴= ∴2212333n n n n a a q ---==⋅=……………3分 2n ≥时，2213939(1)(1)362222n n nb T T n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦…………4分1n =时，1139322b T ==-=- 也适合上式 ………………………………………5分 综上，*36()n b n n N =-∈ …………………………………………………………6分(2)解法一：11(1)13311,1132n n n n a q a S q ---====-- …………………………7分∴311()3622n k n -+≥-对n N *∈恒成立,∴6123nn k -≥对n N *∀∈恒成立 ……8分 令max 362()3n n nn c k c -=≥⋅则 由111136332.5333639 3.533n n n n n n nn n n c c n c c n n n ++----⎧≥⎪≥≥⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨≥--≤⎩⎩⎪≥⎪⎩2.53.5,3n n ∴≤≤∴= …………………………………………………………10分∴max 31()9n c c ==,即max 22()9n k c ≥= ……………………………………………11分 ∴实数的取值范围是2[,)9+∞. ……………………………………………………12分解法二：11(1)13311,1132n n n n a q a S q ---====-- ………………………………7分∴311()3622n k n -+≥-对n N *∈恒成立,∴6123nn k -≥对n N *∈恒成立………8分 令max 362()3n n n n c k c -=≥⋅则， 111363927333n n n n n n n n c c ------+-=-= 当3n ≤时,1n n c c ->,当4n ≥时, 1n n c c -< ………………………………………10分 ∴max 31()9n c c ==,即max 22()9n k c ≥= …………………………………………11分 ∴实数的取值范围是2[,)9+∞. ……………………………………………………12分 22. （本小题满分12分）解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-+ 定义域为(0,)+∞ …………………………1分22222(1)(1)'()2..........................................................2'()001,')(+(01)x x x f x x x x xf x x f x x f x -+-=-+==<<<>>∴∞的单调递减区间为（0，1），单调递增区间（1，）............分得得..4分(2)方程()0=x f 根的个数等价于方程xx a ln 2=-根的个数.设()x g =xxln 2, xx x xx x x x x g 222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(-=-=' ……………………………5分当()e x ,1∈时,0)(<'x g ,函数)(x g 递减,当]e e x ,(∈时,0)(>'x g ,函数)(x g 递增. 又2)(e e g =,e e g 2)(=,作出)(x g y =与直线a y -=的图象 ……………………6分 由图象知当22e a e ≤-<时,即e a e 22-<≤-时,方程()0=x f 有2个相异的根;当2e a -< 或e a 2-=时,方程()0=xf 有1个根;当e a 2->时,方程()0=x f 有0个根. ………………………………8分(3)当0>a 时,'()20a f x x x =+>，)(x f 在11,2x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时是增函数,不妨设12112x x e ≤≤<,则()()121211f x f x x x -<-等价于211211()()f x f x x x -<-即212111()()f x f x x x +<+,故原题等价于函数()x x f x h 1)(+=在11,2x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时是减函数…9分 012)(2≤-+='∴x x x a x h 恒成立,即221x x a -≤在11,2x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立………………10分21()2x x x ϕ=-在11,2x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时是减函数 13()22a ϕ∴≤= …………………………11分 3002a a >∴的取值范围是（，] ………………………………………………………12分。
福建省福州市八县一中高三上学期期中联考数学(理)试题(有答案)
第一学期八县（市）一中期中联考高中 三 年 数学科（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1.设集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}PQ =，则P Q =（ ）A.{3,0}B.{3,0,1}C.{3,0,2}D.{3,0,1,2} 2.已知复数131iz i+=-，则下列说法正确的是（ ） A.z 的共轭复数为12i -- B.z 的虚部为2iC.5z =D.z 在复平面内对应的点在第三象限 3.函数12()log cos ()22f x x x ππ=-<<的图象大致是( )4.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A.2B.4C.22D.24 5.下列命题中正确的是（ ）A.命题p ：“0x R ∃∈，200210x x -+<”，则命题p ⌝：x R ∀∈，2210x x -+>B ．“ln ln a b >”是“22ab>”的充要条件C.命题“若22x =，则x =x =的逆否命题是“若x ≠x ≠则22x ≠”D.命题p ：0x R ∃∈，001ln x x -<；命题q ：对x R ∀∈，总有20x>；则p q ∧是真命题6.如图，,,D C B 在地平面同一直线上，10DC m =，从,D C 两地测得A 点的仰角分别为30︒和45︒，则A 点离地面的高AB 等于( )A.10mB.C.1)mD.1)m7.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2586b b b π++=，则4637cos1b b a a +-⋅的值是（ ）A.12 B.2 C.12- D.2-8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0OA AB AC ++=且OA AB =，则向量CA 在CB 方向上的投影为（ ）A.12 B.12- D.9.若函数()f x 同时满足以下三个性质；①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()()4f x f x π-=-；③()f x 在3(,)82ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是A.()cos()8f x x π=+B.()sin 2cos2f x x x =+C.()sin cos f x x x =D.()sin 2cos 2f x x x =-10.已知数列{}n a ，{}n b ，满足11a =且1,n n a a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于( )A.64B.48C.32D.2411.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则方程6()log (3)f x x =-在),0(+∞解的个数是（ ）A.6B.5C.4D.312.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-．则实数m 的取值范围为( )A.[2,2]-B.[2,)+∞C.[0,)+∞D.(,2][2,)-∞-+∞二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
2020-2021学年福州市八县(市)一中高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年福州市八县(市)一中高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x||x|<2}，则A ∩B 等于( )A. (−1,2)B. (−2,−1)C. (−2,3)D. (−1,3)2.已知i 是虚数单位，则(1+i)2的共轭复数是( )A. −2iB. −2+iC. 2iD. 1+2i3.函数是( )A. 偶函数B. 既是奇函数又是偶函数C. 奇函数D. 非奇非偶函数函数4.已知函数f(x)是函数y =log a x(a >0且a ≠1)的反函数，则函数y =f(x)+2图象恒过点的坐标为( )A. (1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (0,3)5.“a >2”是“一元二次方程x 2+ax +1=0有实根”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)在R 上为奇函数，对任意的x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，总有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0且f(1)=0，则不等式f(x)−f(−x)x<0的解集为( )A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(0,1)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−1,0)∪(1,+∞)7.已知，且对任意，都有则的值是( )A.B.C.D.8.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若B =2A ，a =1，b =，则c = ( )．A. 2B. 2C.D. 19.已知三角形ABD 的边BD 上一点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +4y的最小值为( )A. 9B. 8C. 4D. 310. 函数y =Acos(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则函数y =Acos(ωx +φ)的递减区间是( )A. [2kπ+π4,2kπ+5π4],k ∈Z B. [2kπ−π4,2kπ+3π4],k ∈Z C. [kπ+π8,kπ+5π8],k ∈Z D. [kπ−π4,kπ+3π4],k ∈Z11. 下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是( )①已知ab ≠0，求ab +ba 的最小值；解答过程：a b+b a≥2√a b⋅ba=2；②求函数y =x 2+5√x 2+4的最小值；解答过程：可化得y =√x 2+4+1√x 2+4≥2；③设x >1，求y =x +2x−1的最小值；解答过程：y =x +2x−1≥2√2xx−1，当且仅当x =2x−1即x =2时等号成立，把x =2代入2√2x x−1得最小值为4．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12. 已知函数f(x)=sinx ，f(x)的导数是( )A. 偶函数B. 奇函数C. 增函数D. 减函数二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)的定义域[−1,5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y =f′(x)的图象如图所示 x−1 0245 F(x) 1 21.5 21下列关于函数f(x)的命题； ①函数f(x)的值域为[1,2]； ②函数f(x)在[0,2]上是减函数③如果当x ∈[−1,t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y =f(x)−a 最多有4个零点． 其中正确命题的序号是______ ．14. 等差数列{a n }中，a n 的前项和为S n ；若有a 1=−2014，S 20152015−S20132013=2，则S 2014= ______ ． 15. 已知变量x ，y 满足{x +3≥0x −y +4≥02x +y −4≤0，则z =x +3y 的最大值为______．16. 若方程2 ax 2−1=0在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是____________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在数列{a n }和{b n }中，已知a 1=2，a 2=6，a n+2a n =3a n+12(n ∈N ∗)，b n =a n+1a n，(1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若P n =1log 3a n+12，S n 为数列{p n }的前n 项和，求S n ．18. 已知函数f(x)=sinxcosx −sin 2x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)设△ABC 为锐角三角形，角A 的对边长√2，角B 的对边长√3，若f(A)=0，求△ABC 的面积．19. 已知函数f(x)=lnx +ax ．(1)当a >0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为1，求实数a 的取值范围；(其中e 为自然对数的底数)； (3)若f(x)<12x 在(1,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．20. 各项为整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =14a n2+12a n +14(n ∈N +). (1)求a n ；(2)设数列{a n +b n }的首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n ．21. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.向量m ⃗⃗⃗ =(a,√3b)，n ⃗ =(cosA,sinB)且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ． (I)求A ；(II)若a =3，求△ABC 周长的最大值．22. 已知函数f(x)=alnx+12x2−(1+a)x(x>0)，其中a为实数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对任意的正整数m，n，不等式1ln(m+1)+1ln(m+2)+⋯+1ln(m+n)>nm(m+n)恒成立．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}=(−1,3)，B={x||x|<2}=(−2,2)，∴A∩B=(−1,3)∩(−2,2)=(−1,2)故选：A．先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．本题考查集合的性质和运算，解题时要根据实际情况，注意公式的灵活运用．2.答案：A解析：解：复数(1+i)2=2i的共轭复数为−2i．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查共轭复数的定义、复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：试题分析：因为f(−x)=−f(x)，所以选C。
福建省福州市第一中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题
福州一中2021-2022学年第一学期期中考数学试卷一．选择题（共8小题）1．已知全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{2A =，3，5}，集合{1B =，3，4，6}，则集合(U A B = )A ．{3}B ．{2，5}C ．{1，4，6}D ．{2，3，5}2．命题“x Q ∀∈，210x x ++＞”的否定为( )A ．x Q ∃∈，210x x ++＞B ．x Q ∀∈，210x x ++≤C ．x Q ∃∈，210x x ++≤D ．x Q ∃∉，210x x ++≤3．下列函数中既是奇函数，又是增函数的是( )A ．1()f x x =−B ．()3x f x =C ．3()log f x x =D ．()f x =4．设()f x 为奇函数，且当0x 时，()1x f x e −=−，则当0x <时，()(f x = )A ．1x e −−B ．1x e −+C ．1x e −−−D ．1x e −+5．某高校为加强学科建设，制定了第“十四五”（2021-2025）规划，计划逐年加大科研经费投入，已知该校计划2021年全年投入科研资金20万元，2025年全年投入科研资金28万元，则第“十四五”期间，投入科研资金的年均增长率约为（ ）A ．141.41−B ．151.41−C ． 1.4log 51−D ． 1.4log 41− 6．函数2()21x x f x x =−+的图象大致为( )7．冈珀茨模型)(t b y k a =⋅是由冈珀茨（Gompertz ）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t 年后的种群数量y 近视满足冈珀茨模型：0.1251.40t e y k e −=⋅（当t=0时，表示2020年初的种群数量），若m(*()m N ∈ 年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m 的最小值为（ ）（20.7)ln ≈A ．9B ．7C ．8D ．68．设34c =，4log 3b =，54log a =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >>二．多选题（共4小题）9．下列结论正确的是( )A ．(25)lg 2lg5lg +=⋅B 1=C ．1383()272−= D ．24log 3log 6=10．下列四个命题中，真命题是( )A ．22a b ac bc >⇒>B ．22a b a b ⇒＞＞C ．11a b a b >⇒< D ．22a b a b >⇒>11．下列命题中真命题的是( )A ．“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B ．若(1)f x +是偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =−轴对称C ．若(2)(),f x f x +=−−则()f x 的图像关于点(1,0)−中心对称D ．[]1,1,x ∃∈− 使得方程21ax =有解的充要条件是1a ≥12．已知函数()2x f x e x =+−的零点为1x ，函数()2g x lnx x =+−的零点为2x ，则() A ．122x x += B ．122x x >C ．122x x e e e +＞D ．12x x <三．填空题（共4小题）13．函数()f x 的定义域为 ，值域为 ．14．已知函数()22x x f x a −=⋅−是偶函数，则a = ．15．已知a R ∈，函数2()log f x a x =．若2t ∀≥，，使得(2)()1f t f t +−≤，则实数a 的最大值是 ．16．已知函数()f x 满足21,0()lg ,0x x f x x x ⎧−⎪=⎨>⎪⎩，若方程22[()]4()20f x mf x m ++−=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为 ．四．解答题（共6小题）17．已知全集U R =，集合2{|log |2|1}A x x a =−≥，，{}|3327x B x =＜＜．（1）当3a =时，求A B ；（2）在①B A ⊆ ；②;A B ⋂≠∅ ③()U AB A =中任选一个条件，求实数a 的取值范围．18．设函数2()2(2)1f x mx m x +=++． （1）若()f x 在[)1,+∞单调递增，求实数m 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x ≤．19．已知函数2()4mx n f x x +=+是定义在[2−，2]上的奇函数，且f （1）15=． （1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明；（2）求使2(1)(1)0f a f a −+−<成立的实数a 的取值范围．20．已知函数3()32log f x x =−，4()log h x x =．（1）当[1x ∈，16]时，求函数()[()1]()g x f x h x =+的值域；（2）如果对任意的[1x ∈，16]，不等式2()()()f x f x m h x >⋅恒成立，求实数m 的取值范围；21．已知福州地铁2号线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t 相关，当1020t 时，地铁为满载状态，载客量为400人；当210t <时，载量会减少，减少的人数与2(10)t −成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记地铁的载客量为()p t ．（1）求()p t 的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为12()3000150p t Q t−=−（元)．问：当地铁发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？第6页（共6页）22．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数． ①对任意的[0x ∈，1]，总有()0f x ； ②当10x ，20x ，121x x +时，总有1212()()()f x x f x f x ++成立．已知函数2()g x x =与()21x h x a =⋅−是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，(I)求实数a 的值； （II ）讨论关于x 的方程(21)()()x g h x m m R −−=∈解的个数情况.。
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1 2020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷 高中三年数学科试卷 命题学校：永泰一中 命题教师：审核教师：
考试日期：11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150 分
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A ={x ∈Z |x 2−5x −6≤0}， B ={x |2<2x <128}，则A ∩B =（ ）
A ．{x |1<x ≤6}
B ．{2,3,4,5,6}
C ．{x |1≤x ≤6}
D ．{−1,0,1,2,3,4,5,6} 2．已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“a >−2”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条
件
3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如
果f (3)=−1，则不等式f (x −1)+1≥0的解集为（ ）
A ． (−∞，2]
B ．[2，+∞)
C ．[−2，4]
D ．[1，4]
4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）
A ．直线A
B 与直线CD 平行
B ．直线AB 与直线CD 相交
C ．直线AB 与直线C
D 异面且垂直 D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°
5．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若S 2=1，S 4=5，则S 7=（ ）．
A ．S 7=10
B ．S 7=23
C ．S 7=623
D ．S 7=127
3
6．已知m >0，n >0，m +4n =2，则4
m +1
n 的最小值为（ ）
1
A ．36
B ．16
C ．8
D ．4
7．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4
π，将函数()y f x =的图象向左平移316
π个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点,016π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．关于点,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称 C ．关于直线x =π4对称 D ．关于直线x =−π4对称
8．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ）
A ．(,2021)-∞-
B ．(2021,2020)--
C ．(2021,0)-
D ．(2020,0)-
二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）
A ．3||5z =
B ．12i 5
z +=- C ．复数z 的实部为1- D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限
10．已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（ ）
A ． A
B ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ； B ．四边形ABCD 为平行四边形； C ．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
； D ． |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√85
1 11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ， 若 22210,sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（ ）
A ．tan 2C =
B ．4A π
= C ．2b = D ．∆ABC 的面积为6
12．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A
B
C 所成的角的正切值为5
B ．无论点P 在1B
C 上怎么运动，都有11A P OB ⊥
C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113
PQ
QA =
D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30°
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若10
cos 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=________．
14．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2−3n −1，则n a =__________．
15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，PA =PB =AB =AC =2√3，120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________ .
16．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln x
f x x =，若
()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）。