北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四 边形1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质同步练习及答案

3 第1课时正方形的性质
知识点 1 利用正方形的性质求解与线段有关的问题
1．如图1－3－1，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为________．
1－3－1
1－3－2
2．如图1－3－2，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．
3．2017·广安如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.
图1－3－3
知识点 2 利用正方形的性质求解与角有关的问题
4．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( ) A．10° B．12.5° C．15° D．20°
1－3－4
1－3－5
5．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.
6．2017·怀化如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)求∠AED的度数．
图1－3－6
知识点 3 利用正方形的性质求解与面积有关的问题
7．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )
A．8 B．4 2 C．8 2 D．16
图1－3－7
8．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．
9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)求△AEF的面积．
图1－3－8
知识点 4 正方形对称性的应用
10．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(1，－1) D．(－1，1)
1－3－9
1－3－10
11.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．
12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )
A．45° B．55° C．60° D．75°
1－3－11
1－3－12
13.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．
14．如图1－3－13，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．
1－3－13 1－3－14
15．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．
16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.
图1－3－15
17．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1－3－16①)，求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图1－3－16②)，求证：EF2＝ME2＋NF2.
图1－3－16
1．213 2.2－1
3．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠A ＝∠CBE ＝90°. ∵BF ⊥CE ，
∴∠BCE ＋∠CBG ＝90°. ∵∠ABF ＋∠CBG ＝90°， ∴∠BCE ＝∠ABF .
在△BCE 和△ABF 中，∠BCE ＝∠ABF ，BC ＝AB ，∠CBE ＝∠A ， ∴△BCE ≌△ABF (ASA)， ∴AF ＝BE . 4．C 5．22.5
6．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形， ∴BA ＝BC ＝CD ＝BE ＝CE ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，∠EBC ＝∠ECB ＝60°， ∴∠ABE ＝∠ECD ＝30°.
在△ABE 和△DCE 中，AB ＝DC ，∠ABE ＝∠DCE ，BE ＝CE ， ∴△ABE ≌△DCE (SAS)． (2)∵BA ＝BE ，∠ABE ＝30°， ∴∠BAE ＝1
2×(180°－30°)＝75°.
∵∠BAD ＝90°，
∴∠EAD ＝90°－75°＝15°， 同理可得∠ADE ＝15°，
∴∠AED ＝180°－15°－15°＝150°. 7．A 8．2
9．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD ＝AB ，∠D ＝∠B ＝90°，BC ＝DC . ∵E ，F 分别为DC ，BC 的中点， ∴DE ＝12DC ，BF ＝1
2BC ，
∴DE ＝BF .
在△ADE 和△ABF 中，AD ＝AB ，∠D ＝∠B ，DE ＝BF ， ∴△ADE ≌△ABF (SAS)．
(2)由题知△ABF ，△ADE ，△CEF 均为直角三角形，且AB ＝AD ＝4，DE ＝BF ＝1
2
×4＝2，
CE ＝CF ＝12
×4＝2，
∴S △AEF ＝S 正方形ABCD －S △ADE －S △ABF －S △CEF ＝ 4×4－12×4×2－12×4×2－1
2×2×2＝6.
10．C
11．10 12.C 13．4 14．3 cm 15．(0，2
1009
)
16．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OD ＝OC . 又∵DE ＝CF ，
∴OD －DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF .
在△AOE 和△DOF 中，AO ＝DO ，∠AOE ＝∠DOF ，OE ＝OF ， ∴△AOE ≌△DOF (SAS)， ∴∠OAE ＝∠ODF .
∵∠OAE ＋∠AEO ＝90°，∠AEO ＝∠DEM ， ∴∠ODF ＋∠DEM ＝90°， 即AM ⊥DF .
17．证明：(1)∵△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ， ∴AG ＝AF ，∠GAF ＝90°. ∵∠EAF ＝45°，
∴∠GAE ＝∠GAF －∠EAF ＝90°－45°＝45°， 即∠GAE ＝∠EAF .
在△AEG 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AG ＝AF ，∠GAE ＝∠EAF ，AE ＝AE ，
∴△AEG ≌△AEF (SAS)．
(2)把△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，如图，连接GM ，则△ADF ≌△ABG ， ∴DF ＝BG .
由(1)知△AEG ≌△AEF ， ∴EG ＝EF . ∵∠CEF ＝45°，
∴△BME ，△DNF ，△CEF 均为等腰直角三角形，
∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝2DF，
∴BE＝DF，
∴BE＝BM＝DF＝BG，
∴∠BMG＝45°，
∴∠GME＝45°＋45°＝90°，
∴EG2＝ME2＋MG2.
又∵EG＝EF，MG＝2BM＝2DF＝NF，∴EF2＝ME2＋NF2.。